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Engenharia Civil ·
Cálculo 2
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Cálculo Diferencial e Integral II Professor Clovis J S Damiano Primitivas Até agora tratamos do problema das tangentes Dada uma curva achar o coeficiente angular de sua tangente ou de modo equivalente dada uma função achar sua derivada Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de derivação para trás ou antiderivação Este é às vezes chamado problema inverso das tangentes dada a derivada de uma função achar a própria função De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivação No entanto aqui essas regras são usadas no sentido contrário e levam em particular á Integração de polinômios Definição Uma função Fx é uma primitiva de uma função fx se Fx fx para qualquer x no domínio de f O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a x e é denotada por 𝑓𝑥 𝑑𝑥 Se F é uma primitiva de f em um intervalo I então a primitiva mais geral de f em I è 𝐹𝑥 𝐶 C Constante de integração ou constante arbitrária Fórmula para o cálculo de Primitivas 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑛 1 𝐶 Exemplo fx x3 Fx 𝑥4 4 𝐶 Fórmula de Primitivas Imediatas Nº Função Primitiva Geral 1 xn xn1 n 1 C 2 sen x cos x C 3 cos x sen x C 4 ex ex 5 ekx 1 k ekx C 6 1 x lnx C x 0 7 akx 1 k ln a akx C a 0 𝑒 𝑎 1 Regras de linearidade para integrais indefinidas primitivas Regra Função Primitiva Geral Regra da multiplicação por constante 𝑘𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝑓𝑥 𝑑𝑥 Regra da somasubtração 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 Valor Inicial e Equações Diferenciais Encontrar uma primitiva para uma função fx é chamada equação diferencial pois envolve uma função desconhecida y que está sendo derivada 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 Para resolvêla precisamos de uma função yx que a satisfaça e essa função pode ser obtida através da primitiva de fx Para fixar a constante arbitrária que entra na fórmula da primitiva especificase uma condição inicial yx0 y0 Essa condição implica que y é igual a y0 quando x for igual a x0 A combinação da equação diferencial e uma condição inicial é chamada de problema de valor inicial du u c un du un1n1 c n 1 duu ln u c au du auln a c a 0 a 1 eu du eu c sen u du cos u c cos u du sen u c tg u du ln sec u c cotg u du ln sen u c sec u du ln sec u tg u c cosec u du ln cosec u cotg u c sec u tg u du sec u c sec2 u du tg u c cosec2 u du cotg u c dux2 a2 12a ln u au a c u2 a2 duu2 a2 12a ln u au a c u2 a2 duu2 a2 ln u u2 a2 c duu2 a2 ln u u2 a2 c dua2 u2 arc senua c u2 a2 duuu2 a2 1a arc sec ua c
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