Coordenadas Polares - Definição, Equações e Conversão para Cartesianas

Cálculo Diferencial e Integral II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Coordenadas Polares Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Esp Clovis Jose Serra Damiano Revisão Técnica Profª Me Edmila Montezani Revisão Textual Profª Esp Márcia Ota 5 Até o momento trabalhamos apenas com as coordenadas cartesianas para localizar pontos no espaço mas existem outras formas de localizar pontos no plano Assim vamos trabalhar a definição de coordenada polar sua representação e como podemos relacionar as coordenadas polares com as coordenadas cartesianas Por isso é interessante que você reveja a trigonometria básica para melhor entendimento da unidade Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Nesta Unidade estudaremos as coordenadas polares e as suas relações com as coordenadas cartesianas Um ponto no plano tem apenas um par de coordenadas cartesianas xy mas possui infinitos pares de coordenadas polares Desse modo leia com atenção a parte teórica Além disso os exercícios ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos E não se esqueça de aprofundar seus estudos investigando sobre o assunto na bibliografia indicada Coordenadas Polares Introdução Definindo coordenadas polares Equações gráficos polares Coordenadas polares e coordenadas cartesianas 6 Unidade Coordenadas Polares Contextualização Para determinar as coordenadas cartesianas do ponto abaixo dado em coordenadas polares é preciso desenvolver a competência necessária para transformálas em coordenadas cartesianas usando as relações conhecidas x rcosθ y rsenθ O ângulo 4 π radianos equivale à 45º O seno e o cosseno de 45º são iguais e valem 2 2 Coordenadas polares 2 4 P π 2 2 1 2 2 2 1 2 x y Portanto em coordenadas cartesianas o ponto P é representado por P11 7 Introdução Quando trabalhamos com as coordenadas cartesianas por convenção um ponto é sempre representando por um par ordenado Pxy por exemplo se tomarmos o ponto P 34 Esse ponto significa que nos deslocaremos 3 unidades à direita a partir da origem e quatro unidades para cima Podemos também localizar um ponto partindo da origem e indo diretamente ao ponto e escrever as coordenadas do ponto em relação ao comprimento do segmento que sai da origem em direção ao ponto e mais o ângulo que ele forma com o eixo polar Para tanto é preciso seguir algumas convenções Olhe na figura 1 o ângulo θ será medido conforme a seta indica ou seja no sentido antihorário O comprimento do segmento que liga a origem ao ponto nós chamaremos de r Figura 1 0 1 θ 1 2 2 3 x z 3 4 p 3 4 P r θ É possível reescrever as coordenadas desse mesmo ponto usando essas informações ou seja r é a distância que o ponto está da origem θ é o ângulo de inclinação do segmento em relação ao eixo x Caso você não se recorde é interessante rever os conceitos da trigonometria básica 8 Unidade Coordenadas Polares Teorema de Pitágoras 2 2 2 a b c catetooposto sen hipotenusa catetoadjacente cos hipotenusa catetooposto tg catetoadjacente α α Voltando à figura 1 verificase que por Pitágoras é possível calcular r que é o tamanho do segmento que vai da origem até o ponto P que no caso é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos com tamanhos 3 e 4 unidades 2 2 2 2 3 4 25 25 5 r r r r Já descobrimos o comprimento do segmento que liga a origem ao ponto P Nosso próximo passo será achar o ângulo que o segmento forma com o eixo do x Para solucionar esse problema usaremos as relações trigonométricas Voltando à figura 1 conhecemos o cateto oposto ao ângulo θ que mede 4 unidades e o cateto adjacente ao ângulo θ que mede 3 unidades portanto 4 tg 3 Se sabemos que o valor da tangente de θ com o auxílio de uma calculadora podemos usar a função inversa da tangente e descobrir qual é o ângulo cuja tangente é 4 3 1 0 4 5313 3 arctg outg Essas duas informações combinadas são chamadas coordenadas polares do ponto P P 5 53130 9 Defi nindo coordenadas polares Para definir as coordenadas polares fixase uma origem O chamada de polo e uma semirreta orientada a partir de O AO chamada eixo polar É possível portanto localizar qualquer ponto P no plano associando a esse ponto um par de coordenadas polares rθ em que r é a distância orientada de O a P e θ é o ângulo orientado a partir do eixo polar até o segmento OP Vide a figura 2 Figura 2 θ 0 r P r θ Eixo polar Origem pólo x A trigonometria convencionou que quando medimos um ângulo no sentido antihorário é positivo portanto quando ele assume o sentido horário ele é negativo Observe a figura 3 e verifique que um ângulo associado a um ponto não é único O ponto que está distante das duas unidades da origem poderá ser representado pelas seguintes coordenadas polares 11 2 2 6 6 P ou P π π Figura 2 θ π6 θ 0 0 Eixo polar 11π 6 x 11π 6 π P 2 6 P 2 10 Unidade Coordenadas Polares Para fixar esses conceitos iniciais observe os exemplos a seguir Exemplo 1 Marque os pontos a seguir no sistema de coordenadas polares 2 0o P Resolução Qualquer ponto que faça um ângulo de 0o em relação a semirreta OP está contido nesse eixo Observe abaixo que o ponto P está sobre a semirreta OA ou sobre o eixo polar definido pela semirreta OA P 0 1 2 3 4 5 A 321 80o Q Resolução Observe que agora o ângulo OAQ faz ângulo de 180o com o eixo polar ou seja saindo da origem em direção a Q no sentido antihorário damos uma volta de 180o Q 3 2 1 0 1 2 A 3 3 2 R π Resolução Quando se trabalha com as coordenadas polares podemos usar a medida do ângulo em graus ou em radianos No ponto R a medida do ângulo 90o foi dada em radianos O ponto R portanto estará contido em uma semirreta distante 3 pontos da origem e fazendo um ângulo de 90o ou 2 π radianos com o eixo polar 3 2 1 0 A R 11 Exemplo 2 Marque o ponto 3 2 P π Resolução O exercício informa que o ponto P está a uma distância de 3 unidades da origem e que forma um ângulo de 270o o mesmo que 3 2 π rad a partir do eixo polar Para transformar graus em radianos e viceversa usamos a seguinte relação 1800 π Para transformar basta colocar informações iguais embaixo uma da outra e aplicar a regra de 3 para resolver o problema Exemplo Quanto mede 900 0 0 0 0 180 90 90 180 2 x x rad π π π Determinando coordenadas polares Exemplo Determine todas as coordenadas polares do ponto P 2 6 π Solução O primeiro passo é esboçar o eixo polar do sistema de coordenadas cartesianas e uma semirreta a partir da origem que forme um ângulo de 6 π radianos 300 com o eixo polar e marcase o ponto P 2 6 π Figura 4 Figura 4 0 Eixo polar x π 6 5π 7π6 5π6 6 π 2 6 2 7π 6 etc 2 12 Unidade Coordenadas Polares O ponto P 2 6 π tem infinitos pares de coordenadas polares Para r 2 os ângulos são 2 4 6 8 6 6 6 6 6 π π π π π θ π π π π Para r 2 os ângulos são 5 5 5 5 5 2 4 6 8 6 6 6 6 6 π π π π π θ π π π π Os pares correspondentes de coordenadas polares de P são 2 2 6 n π π Sendo n 12 3 e 2 5 2 6 n π π Sendo n 12 3 e As coordenadas polares podem ter valores negativos de r Há problemas em que se deseja que r seja negativo e por essa razão usamos a distância orientada na definição de Prθ O ponto 7 P 2 6 π pode ser obtido girando 7 6 π radianos no sentido antihorário a partir do eixo polar e caminhando 2 unidades para frente mas ele também pode ser alcançado girando 6 π radianos no sentido antihorário e voltando 2 unidades ou seja o ponto P tem as coordenadas polares 2 6 P π Figura 5 Figura 5 7π6 π6 θ π6 θ 0 x 0 π 6 7π 6 7π 6 2 θ P P 2 13 Equações gráfi cos polares Se mantivermos fixo o valor de r r a 0 isto implica que o ponto dado pelas coordenadas polares Prθ estará a uma distância de a da origem O Conforme o ângulo θ varia em qualquer intervalo de comprimento 2π uma volta o ponto P descreverá um círculo de raio a centrado na origem Figura 6 Figura6 x 0 a r a Quando se mantém θ fixo θ θ0 em um valor constante e fazse r variar entre e o ponto Prθ traça uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de θ0 com o eixo polar Equação Gráfico r a Círculo de raio a centrado na origem θ θ0 Reta que contém O e forma um ângulo θ0 com o eixo polar Determinando equações polares para gráficos a 1 1 r e r Ambas são equações para o círculo de raio 1 centrado na origem b 7 5 6 6 6 π π π θ No item b temos equações de reta aliás da reta descrita na figura 5 É possível combinar as equações da forma r a e θθo para definir regiões segmentos e semirretas Exemplo Desenhe o conjunto de pontos cujas coordenadas polares satisfazem as seguintes condições a 1 2 e 0 2 r π θ 14 Unidade Coordenadas Polares O tamanho de r está compreendido entre 1 e 2 e pode ser todos ao ângulos contidos no intervalo de zero graus a noventa graus Figura 7 Figura 7 x 0 1 2 y 1 r 20 θ π 2 b 3 2 e 4 r π θ O gráfico é uma reta que de comprimento de 3 até 2 e que forma um ângulo de 4 π radianos com o eixo polar Figura 8 Figura 7 y 3 r 2 x 0 2 3 π 4 π 4 θ Coordenadas polares e coordenadas cartesianas Quando se usa as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares em um único plano colocase as duas origens juntas e fazse o eixo polar coincidir com o eixo positivo das abscissas eixo x dos sistema de coordenadas cartesianas Feito isso a semirreta dada por 2 θ π r0 ficará sendo o eixo das ordenadas eixo y do sistema cartesiano Figura 9 15 Figura9 Origem comum Eixo polar 0 x x y y r Px y Pr θ θ 0 r 0 raio θ π 2 θ Portanto os dois sistemas de coordenadas estão relacionados pelas seguintes equações 2 2 2 cos x r y r sen x y r θ θ As duas primeiras equações determinam as coordenadas cartesianas x e y quando são dadas as coordenadas polares r e θ Quando x e y é dado a terceira equação fornece duas possíveis escolhas de r ou sejam um valor positivo ou um valor negativo Para cada seleção há um único θϵ 0 2π que satisfaz as duas primeiras equações e cada uma portanto fornece uma representação em coordenadas polares do ponto cartesiano xy As outras representações do ponto em coordenadas polares podem ser obtidas a partir dessas duas Vamos aprender a converter coordenadas cartesianas em coordenadas polares Determine uma equação polar do círculo x2y 329 O primeiro passo será expandir y 32 e para isso usaremos o produto notável quadrado de uma diferença a b2 a2 2ab b2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 6 9 y y y y y y 16 Unidade Coordenadas Polares Vamos reescrever a equação com esse termo expandido 2 2 6 9 9 x y y Perceba que o 9 se cancela basta passar um deles para o outro membro da equação portanto a equação ficará apenas 2 2 6 0 x y y Vimos que 2 2 2 x y r y r senθ Substituindo 2 6 0 r r senθ Colocando r em evidência 2 6 0 r r senθ Temos um produto com dois fatores cujo resultado é zero portanto ou r 0 Ou 6 0 r r senθ Grifado em amarelo temos as duas equações polares equivalentes à equação cartesiana x2 y 32 9 Também é possível converter coordenadas polares em coordenadas cartesianas Exemplo 1 Substitua a equação polar r cos θ 4 por uma equação cartesiana equivalente Solução Usar as relações conhecidas e fazer a substituição Lembrese que x r cosθ Portanto x 4 17 Exemplo 2 Substitua a equação cartesiana r2 4r cosθ por uma equação polar equivalente Solução Usar as relações conhecidas e fazer a substituição Lembrese que x r cosθ x2 y2 r2 Portanto fazendo as substituições teremos 2 2 2 2 2 4 cos 4 4 0 r r x y x x y x θ Para resolver vamos usar o método de completar o quadrado 2 2 2 2 2 2 4 0 2 4 4 2 4 x x y x x y x y Método de completar quadrados Esse método é usado como uma forma de resolver equações quadráticas ou no nosso caso o objetivo será transformar uma equação normal em uma equação geral Passo a passo para resolver Completar o quadrado de x2 y2 2x 4y 4 Juntar as variáveis semelhantes e separar das constantes Observe que o número 4 foi passado para o outro lado da igualdade com o sinal trocado x2 2x y2 4y 4 Vamos recordar também como se calcula o produto notável ab2 a2 2ab b2 Isso que usaremos para completar o quadrado Vamos reescrever o que tem x e y como um trinômio quadrado perfeito x2 2xĐ y2 4y Đ 4 Veja o termo do centro é 2ab portanto se dividirmos 2ab por 2 restará apenas ab O número encontrado deve ser elevado ao quadrado e completar o quadradinho vazio Vamos tomar o termo central da expressões dividir por 2 e elevar ao quadrado 18 Unidade Coordenadas Polares 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 2 2 4 x x y y Substituir os valores encontrados nos quadradinhos vazios 2 2 2 1 4 4 4 x x y y Se acrescentouse 1 e 4 de um lado da igualdade temos de somar o mesmo valor do outro lado 2 2 2 2 2 1 4 4 4 1 4 2 1 4 4 9 x x y y x x y y Para terminar basta reescrever os termos na forma ab2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 2 x x x y y y Portanto 2 2 1 2 9 x y Exercícios de Fixação Exercício 1 Represente as coordenadas cartesianas do ponto 2 7 3 A π Resolução Para transformar as coordenadas polares de A em coordenadas cartesianas usaremos as relações já conhecidas x r cosθ y r sen θ Portanto 7 2 3 7 2 3 x cos y sen π π Precisamos verificar qual é a primeira determinação positiva do ângulo em questão 7 3 π 19 7 2 3 7 6 3 3 π π π π π O ângulo 3 π é o mesmo que 60º o seno e cosseno de 60º valem 3 1 2 2 e respectivamente portanto 1 2 1 2 3 2 3 2 x y Portanto as coordenadas cartesianas de A são A 31 Vamos relembrar da Trigonometria o que é a primeira determinação positiva de um ângulo e o que são arcos côngruos Arcos côngruos são aqueles que estão localizados em um mesmo ponto do Ciclo Trigonométrico Se marcarmos o ponto P no Ciclo Trigonométrico como sendo o ponto que faz uma ângulo de 450 com o eixo das abscissas eixo do x Se a partir ponto ponto P dermos uma volta de 3600 esse novo ponto coincidirá com o ponto P ou seja ele terá dado por um volta completa mais 450 formando então um ângulo de 4050 com o eixo x Sempre que dermos uma volta completa o novo ponto sempre coincidirá com o ponto P Chamase de primeira determinação positiva ao ângulo 0 0 0 360 Para saber qual é a primeira determinação positiva basta dividir o ângulo por 360 O resto dessa divisão será a primeira determinação positiva Exemplo Qual é a primeira determinação positiva do ângulo de 4050 405 360 1 restode 45 Portanto 450 é primeira determinação positiva do ângulo 4050 ou seja damos uma volta a partir da origem e nos deslocamos mais 450 no sentido antihorário Para fazer o cálculo em radianos pense da seguinte forma Qual é a primeira determinação ângulo 12 5 π Busque o maior número do numerador que seja divisível 5 no caso é o número 10 e reescreva 20 Unidade Coordenadas Polares 12 10 2 2 2 5 5 5 5 π π π π π Portanto a primeira determinação positiva do ângulo 12 2 5 π é 5 π Uma última informação importante é que dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um múltiplo de 2π Exercício 2 Substitua a equação polar r cosθ 2pela sua equação cartesiana equivalente Resolução Vamos continuar usando as relações conhecidas Sabese que x r cosθ Basta substituir r cosθ 2 x 2 Exemplo 3 Substitua a equação cartesiana x 7 pela equação polar equivalente Resolução Sabese que x r cosθ Substituindo r cosθ 7 Exemplo 4 Determine os pontos do plano que satisfazem a equação r 6 cosθ Resolução O que se pede é a equação na forma cartesiana Vamos retomar as relações estabelecidas anteriormente x r cosθ y r sen θ x2 y2 r2 Veja que podemos manipular essas equações algebricamente de acordo com a nossa conveniência para resolver o problema Temos a seguinte equação 21 r 6 cosθ Manipulando as equações conhecidas podemos reescrevêlas das seguintes formas 2 2 r x y 2 2 cos cos x x r x y θ θ Fazendo as substituições teremos r 6 cos θ 2 2 2 2 6 x x y x y Multiplicando os dois lados da igualdade por 2 2 r x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 x x x y x y x y x y x y x y x y x y Passar todas as variáveis para um único lado x2 y2 6x 0 Para concluir teremos de utilizar o método de completar o quadrado x2 6x Đ y2 0 6 2 3 32 9 Completando x2 3x 2 9 y2 0 9 Voltado parta a forma a b2 x 32 y2 9 E equação obtida é a equação de um círculo de centro 30 e raio 3 22 Unidade Coordenadas Polares Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre coordenadas polares sugiro uma leitura de qualquer um dos livros textos da bibliografia no assunto em questão Explore Outras indicações httpsgooglcVjmxs httpsyoutubeacbOnil9WK8 23 Referências DEMANA Franklin D WAITS Bert K FOLEY Gregory D KENNEDY Daniel PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson 2013 FLEMMING Diva Marília GONCALVES Miriam Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART James Cálculo 6 Ed São Paulo Cengage Learning 2010 THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George B Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Em curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 20012002 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário