Método de Integração pela Substituição de Variáveis e Diferenciais

Método de integração pela substituição de variável udu Diferencial de uma Função Se y fx é uma função derivável definese como diferencial de y fx como dyf x x dy diferencial de y ou seja a variação de y x acréscimo da variável independente Na notação de Leibniz a derivada de y em relação a x é indicada por dy dx que não indica uma razão divisão Vamos introduzir duas novas variáveis dy e dx e nesse caso se a razão existir será igual a derivada Definição Seja y fx uma função derivável A diferencial dx é uma variável independente A diferencial dy variável dependente é dy f x dx Observe dy é a variável dependente depende de x e de dx dx é uma variável independente Se atribuirmos um número do domínio de f a x e um valor específico para dx dy estará determinado Observe o exemplo Determine dy se y x 5 37x dy f x dx dy 5 x 4 37 dx b Determine dy quando x 1 e dx 02 dy 5 x 4 37 dx dy 5 1 4 37 0284 Exercícios de Aplicação Determime dy y x 3 3 x Resposta 3 x 2 3 2 x dx y 2x 1 x 2 Resposta 22 x 2 1 x 2 2 dx Método para o cálculo da Integral f g x g x dx quando f e g são funções contínuas Substituir u gx e du gx para obter a integral f u du Integre em relação a u Troque u por gx no resultado Exemplo 2x cos x 2 1 dx Observe que existem duas funções sendo multiplicadas e é falso dizer que a solução se obtém integrando as funções is chamar x oladamente e multiplicando os resultados A técnica para resolver esse tipo de integral e colocar outra variável fazendo uma substituição de forma conveniente Vamos 2 1 de y e achar dy y x 2 1 dy 2 xdx é preciso achar esse termo na Integral para que o Método da Substituição funcione Reescrever I cos x 2 12xdx Icosydy é uma integral imediata Isen y C voltar para a variável original que é x Isen x 2 1 C derivando essa função retornase à Integral Exercícios de Aplicação xcos x 2 dx x x 2 1 dx Lembrese Integral de 1 u ln u Atividade em Grupo Resolva o problema do valor inicial de ds dt 12t3 t 2 1 3 s 1 3 Calcule a integral indefinida usando a substituição dada sen3xdx para u3x Calcule a integral 32s ds A velocidade de um corpo que se desloca ao longo de um eixo s é dada por ds dt v98t3 Determine O deslocamento do corpo no intervalo de tempo de t 1 a t 3 dado que s 5 quando t 0 Determine o deslocamento do corpo t 1 a t 3 dado que s 2 quando t 0 Determine o deslocamento do corpo t 1 a t 3 dado que s s 0 quando t 0 Gabarito 1 2 3 t 2 1 4 5 1 3 cos3xC 1 3 32s 32 C a b e c 332 unidades Atividade de sistematização aplicação de integrais udu Um viveiro de arbustos normalmente vende certo tipo de arbusto após 5 anos de crescimento e formação A taxa de crescimento durante esses 5 anos é aproximada por dh dt 176t 176 t 2 1 em que t é o tempo em anos e h é a altura em polegadas As mudas tem 6 polegadas de altura quando são plantadas t0 Qual é a altura dos arbustos quando são vendidos Em 2009 o nível de pobreza nos Estados Unidos de uma família de 4 pessoas era de cerca de 21000 anuais As famílias nesse patamar de pobreza ou abaixo dele tendem a consumir 100 de sua renda ou seja usam toda a sua renda em necessidades básicas como comidas roupas e moradia À medida que o nível de renda aumenta o consumo médio tende a cair abaixo de 100 Por exemplo uma família que ganha 25000 ao ano pode conseguir economizar 50000 e consumir apenas 24500 98 de sua renda À medida que a renda aumenta a proporção do consumo em relação à economia tende a cair A taxa de variação do consumo em relação à renda é denominada propensão marginal ao consumo Para uma família de 4 pessoas em 2009 a propensão marginal ao consumo x em dólares pode ser modelada por dQ dx 098 x21999 002 para x22000 Q representa a renda consumida em dólares Use o modelo para estimar a quantia consumida por uma família de 4 pessoas cuja renda em 2009 foi de 40000 Uma família com essa renda anual teria condições de assumir uma dívida de 5000 anuais Justifique a sua resposta PAGE MERGEFORMAT 5 Digite textoPágina 1