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Engenharia Industrial ·
Vibrações Mecânicas
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Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Dr Sérgio Turano Souza Revisão Textual Profª Me Natalia Conti Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Vibração com Amortecimento Tipos de Sistemas Amortecidos Introduzir o amortecimento ao movimento vibracional Identifi car os três tipos de movimentos amortecidos superamortecido criticamente amortecido e subamortecido OBJETIVOS DE APRENDIZADO Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você tam bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Vibração com Amortecimento Até agora analisamos movimentos de vibração sem incluir os efeitos de atrito ou amortecimento do sistema de modo que as soluções obtidas até agora são aproxi madas Com o tempo as vibrações livres desaparecem assim é necessário incluir na análise do movimento o efeito das forças de amortecimento Em muitos casos o amortecimento ocorre devido à resistência criada pela subs tância na qual o sistema vibra podendo ser água óleo ou ar por exemplo Se um corpo se move lentamente no meio fluido a resistência ao movimento é diretamente proporcional à velocidade do corpo Uma força deste tipo é denomina da força de amortecimento viscoso A intensidade da força de amortecimento viscoso é expressa na forma F cx em que c é uma constante chamada de coeficiente de amortecimento viscoso com unidades Nsm no Sistema Internacional ou libraspé Como exemplo consideraremos novamente um corpo de massa m suspenso por uma mola de constante elástica k e vamos supor que o corpo está preso a um pistão que está inserido em um óleo viscoso como é mostrado na Figura 1 Figura 1 Movimento vibratório de um corpo com amortecimento viscoso Fonte Acervo do Conteudista O efeito do amortecimento é incluído no modelo da figura pelo amortecedor ligado embaixo do bloco A simbologia para este amortecedor é Figura 2 Simbologia de um amortecedor Fonte Acervo do Conteudista Ocorre o amortecimento quando o pistão no interior do cilindro se move para cima ou para baixo O cilindro contém um fluido e o movimento do pistão é retar dado O amortecedor apresenta um coeficiente de amortecimento viscoso c Considere que o bloco foi deslocado de uma distância x abaixo de sua posição de equilíbrio A força restauradora da mola kx se opõe ao movimento ou seja aponta para cima e a força de amortecimento cx também faz o mesmo se opondo 8 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Também é comum descrever a relação entre os coeficientes de amorteci mento como cr c c ζ Chamado de Fator de Amortecimento ou Razão de Amortecimento ou ainda Relação de Amortecimento é uma grandeza adimensional Tipos de Sistemas Amortecidos Podemos distinguir três tipos diferentes de sistemas amortecidos dependendo do valor do coeficiente c Sistema Superamortecido c ccr Também chamado de amortecimento supercrítico as raízes λ1 e λ2 são reais negativas e a solução geral da equação 1 pode ser escrita como 1 2 t t x Ae Be λ λ O movimento correspondente a essa solução é não vibratório O efeito de amorte cimento é tão intenso que quando o bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio e solto volta para sua posição inicial sem oscilar Na Figura 3 temos alguns exemplos 010 005 000 005 0 1 2 3 4 5 6 7 Figura 3 Sistemas superamortecidos para o caso de ζ 14 e ωn 40 rads A linha vermelha representa a velocidade inicial de 20 ms e equação x 0132e098t 0032e1022t A verde tem velocidade inicial de 02 ms e equação x 0124e098t 0024e1022t A linha cinza tem velocidade inicial 004 ms e equação x 0115e098t 0015e1022t 10 11 Chamase Período Natural a grandeza Tn que é uma grandeza característica dos movimentos vibracionais e é calculada por 2 n n T π ω Sistema Criticamente Amortecido c ccr Também chamado de amortecimento crítico na solução as raízes são iguais λ1 λ2 ccr2m E a solução geral da equação 1 é nt x A Bt e ω O amortecimento é crítico pois representa a condição mínima de c para o siste ma ser não vibratório Estes sistemas são de interesse especial na engenharia pois retornam a sua posição de equilíbrio no menor tempo possível sem oscilação Ver exemplos na Figura 4 Um caso de aplicação é um robô mecânico em que deseja se que o movimento de um ponto ao outro se dê sem vibração por questões de precisão e no menor tempo por questões de produtividade 005 000 0 1 2 3 4 5 Figura 4 Sistema criticamente amortecido para o caso de ζ 1 e ωn 20 rads A linha azul representa a velocidade inicial de 02 ms e equação x 02 t e2t A vermelha tem velocidade inicial de 012 ms e equação x 012 t e2t A linha verde tem velocidade inicial 004 ms e equação x 004 t e2t 11 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Sistema Subamortecido c ccr Também chamado de amortecimento subcrítico as raízes são complexas e con jugadas e a solução geral tem a forma 2 sin cos c m t d d x e A t B t ω ω em que ωd é denominada a frequência angular ou pulsação natural amortecida se trata da frequência angular natural de um sistema com amortecimento e é de finida por 2 2 2 d k c m m ω substituindo 2 n k m ω e lembrando que 2 2 cr n c m k m mω temos 2 1 d n ω ω ζ em que a constante ζ c ccr é o fator de amortecimento E so lução geral pode ser escrita na forma 2 sin c m t d x De ω t φ 4 onde D e ϕ são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema Vemos um exemplo de sistema subamortecido na Figura 5 0 1 2 3 4 5 0 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 Figura 5 Sistema subamortecido para a equação x 10 et sen 10t 12 13 A Figura 5 mostra o gráfico da equação 4 O movimento é vibratório com amplitude decrescente Embora este movimento na realidade não se repita o intervalo de tempo Td 2πωd que corresponde a dois pontos sucessivos em que a curva toca as curvas limites é o período da vibração amortecida Como ωd ωn o período de vibração amortecida Td é maior do que o período da vibração não amortecida Note pelo gráfico que há variação no período Para modelos práticos dos tipos de movimento amortecido veja o link em Ma terial Complementar Exemplos Exemplo 1 A figura mostra um sistema blocomolaamortecedor O bloco tem massa 10 kg a rigidez da mola é k 60 Nm e o coeficiente de amortecimento viscoso é c 80 Nsm O bloco é deslocado para a oposição x 50 mm e sol to a partir do repouso Determine a equação que define o movimento do bloco Figura 6 Exemplo 1 Sistema amortecido Fonte Acervo do Conteudista Resolução Primeiro calculamos o coeficiente de amortecimento crítico 60 2 2 10 490 10 cr k N m s c m kg N m m kg Para saber mais sobre a unidade do coeficiente de amortecimento veja o quadro a seguir Unidade do coeficiente de amortecimento O coeficiente de amortecimento crítico é dado por 2 ccr m k m em que a massa é medida em kg e a rigidez por Nm Vamos fazer a análise dimensional para chegar à unidade da grandeza c N m N kg kg kg m kg 13 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Lembrando que N kg ms2 para recordarse desta relação basta lembrar que Força N massa kg x aceleração ms2 temos que 2 N kg m s e assim 2 2 1 N N kg kg kg kg m kg N s s s Substituindo agora 2 N kg m s 2 2 1 kg N N N N s m m s m s s m s s s Como queríamos demonstrar Que é a unidade do coeficiente de amortecimento Iniciamos identificando o tipo de movimento Como o coeficiente crítico obtido ccr 490 Nsm é menor que o coeficiente c 80 Nsm temos que o sistema é superamortecido A solução é dada por 1 2 t t x Ae Be λ λ onde 2 2 1 2 2 1 1 e 2 2 2 2 80 80 60 0838 2 10 2 10 10 c c k c c k m m m m m m N s m N s m N m s kg kg kg λ λ λ Analogamente obtemos λ2 7162 s1 E a solução Impomos agora as condições iniciais para obtermos os valores de A e B No instante inicial t 0 o deslocamento é x 50 mm 005 m assim 0838 7162 0838 0 7162 0 0 0 005 1 1 005 t t x Ae Be Ae Be Ae Be A B A B E podemos escrever que A 005 B A segunda condição inicial é que no instante inicial o bloco está parado ou seja 0 0 t x assim 14 15 0838 7162 0838 7162 0838 0 7162 0 0838 7162 0 0838 7162 0 0838 7162 0117 t t t t x Ae Be x A e B e A e B e A B B A Relacionando com a relação obtida anteriormente em que temos que A 005 B 005 0117 0057 e 0007 A A A B Portanto a equação do movimento é dada por 0838 7162 0057 0007 metros t x e e Exemplo 2 Na figura a seguir vemos um sistema vibratório amortecido A ri gidez de cada mola é k 100Nm o coeficiente de amortecimento de cada amortecedor é c 200 Nsm e a massa é m 25kg Determine a equação diferencial do movimento Que tipo de movimento ocorre neste sistema Figura 7 Exemplo 2 Sistema amortecido com 3 molas e dois amortecedores Fonte Acervo do Conteudista Resolução Para escrever a equação vamos supor que o bloco é puxado ligeiramente para baixo A força de restauração é realizada pelas 3 molas presas na parte superior do bloco 3 Fmola ky em que y é o deslocamento para baixo E a força de amortecimento é dada pelos dois amortecedores em baixo do bloco 2 Famortecimento cý A equação do movimento é 3 2 FR m a ky cý mÿ ou 2 3 0 my cy ky 15 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Substituindo os valores da massa do coeficiente de amortecimento e da rigi dez da mola temos 25 2 200 3 100 0 25 400 300 0 kg y N s m y N m y y y y que pode ser simplificado em 16 12 0 y y y Para definirmos qual o tipo de movimento precisamos do coeficiente de amortecimento crítico 3 100 2 2 25 173 25 cr N m k s c m kg N m m kg Como c ccr o sistema não vibra e é superamortecido Exercícios Propostos Exercício 1 O bloco da figura tem massa de 20 kg e a mola tem rigidez k 600 Nm formando um sistema subamortecido Determine a frequência angular natural Determine o coeficiente de amortecimento crítico Após o bloco ser deslocado e solto efetuaramse medidas da amplitude e obtevese o coeficiente de amortecimento de 189 Nsm Determine a frequ ência angular natural amortecida k c m Figura 8 Exercício proposto 1 Fonte Acervo do Conteudista Respostas ωn 548 rads ccr 2192 N sm ωd 546 rads Exercício 2 Chamamos de fator de amortecimento a grandeza adimensional cccr que pode ser determinada experimentalmente medindose as amplitu des sucessivas do movimento vibratório do sistema Sejam dois deslocamentos máximos x1 e x2 de um sistema subamortecido verifique que a quantidade ln x1x2 denominada decremento logaritmo é dada por 2 1 2 ln 2 1 cr cr x c c x c c π 16 17 Dica Considere os deslocamentos máximos de 2 sin c m t d x De ω t φ e também 2 2 1 2 e 1 d n d cr c t t c π ω ω ω Importante Vibração livre com amortecimento viscoso Uma força de amortecimento viscoso é provocada pelo fluido com o qual o sistema está em contato Para movimentos em bai xas velocidades essa força de arrasto é proporcional à velocidade isto é F cx A constante c é denominada coeficiente de amortecimento viscoso Comparando o valor de c com o valor do amortecimento crítico ccr 2mωn podemos especificar o tipo de vibração do sistema Se c ccr o movimento é superamortecido se c ccr o movimento é criticamente amortecido e se c ccr então ele é subamortecido Em Síntese Figura 9 Fonte Wikimedia Commons 17 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites ENGEVIBRA Controle de vibração e balanceamento Empresa especializada em análise vibracional httpbitly2IlX9Oa Vídeos Tema 02 Oscilações Amortecidas Experimentos Amortecimento subcrítico crítico e supercrítico httpsyoutubehJOS7ldl48 Leitura Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem httpsbitly2XzWuDf 5910170 Física II Ondas Fluidos e Termodinâmica httpbitly2IjjmMM 18 19 Referências BEER F P JOHNSTON E R CORNWELL JR P J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ed Porto Alegre AMCH 2012 ebook HIBBELER R C Dinâmica mecânica para Engenharia 12ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 ebook MERIAM J L Mecânica para engenharia dinâmica 7 ed Rio de Janeiro LTC 2016 ebook 19
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local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Vibração com Amortecimento Até agora analisamos movimentos de vibração sem incluir os efeitos de atrito ou amortecimento do sistema de modo que as soluções obtidas até agora são aproxi madas Com o tempo as vibrações livres desaparecem assim é necessário incluir na análise do movimento o efeito das forças de amortecimento Em muitos casos o amortecimento ocorre devido à resistência criada pela subs tância na qual o sistema vibra podendo ser água óleo ou ar por exemplo Se um corpo se move lentamente no meio fluido a resistência ao movimento é diretamente proporcional à velocidade do corpo Uma força deste tipo é denomina da força de amortecimento viscoso A intensidade da força de amortecimento viscoso é expressa na forma F cx em que c é uma constante chamada de coeficiente de amortecimento viscoso com unidades Nsm no Sistema Internacional ou libraspé Como exemplo consideraremos novamente um corpo de massa m suspenso por uma mola de constante elástica k e vamos supor que o corpo está preso a um pistão que está inserido em um óleo viscoso como é mostrado na Figura 1 Figura 1 Movimento vibratório de um corpo com amortecimento viscoso Fonte Acervo do Conteudista O efeito do amortecimento é incluído no modelo da figura pelo amortecedor ligado embaixo do bloco A simbologia para este amortecedor é Figura 2 Simbologia de um amortecedor Fonte Acervo do Conteudista Ocorre o amortecimento quando o pistão no interior do cilindro se move para cima ou para baixo O cilindro contém um fluido e o movimento do pistão é retar dado O amortecedor apresenta um coeficiente de amortecimento viscoso c Considere que o bloco foi deslocado de uma distância x abaixo de sua posição de equilíbrio A força restauradora da mola kx se opõe ao movimento ou seja aponta para cima e a força de amortecimento cx também faz o mesmo se opondo 8 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Também é comum descrever a relação entre os coeficientes de amorteci mento como cr c c ζ Chamado de Fator de Amortecimento ou Razão de Amortecimento ou ainda Relação de Amortecimento é uma grandeza adimensional Tipos de Sistemas Amortecidos Podemos distinguir três tipos diferentes de sistemas amortecidos dependendo do valor do coeficiente c Sistema Superamortecido c ccr Também chamado de amortecimento supercrítico as raízes λ1 e λ2 são reais negativas e a solução geral da equação 1 pode ser escrita como 1 2 t t x Ae Be λ λ O movimento correspondente a essa solução é não vibratório O efeito de amorte cimento é tão intenso que quando o bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio e solto volta para sua posição inicial sem oscilar Na Figura 3 temos alguns exemplos 010 005 000 005 0 1 2 3 4 5 6 7 Figura 3 Sistemas superamortecidos para o caso de ζ 14 e ωn 40 rads A linha vermelha representa a velocidade inicial de 20 ms e equação x 0132e098t 0032e1022t A verde tem velocidade inicial de 02 ms e equação x 0124e098t 0024e1022t A linha cinza tem velocidade inicial 004 ms e equação x 0115e098t 0015e1022t 10 11 Chamase Período Natural a grandeza Tn que é uma grandeza característica dos movimentos vibracionais e é calculada por 2 n n T π ω Sistema Criticamente Amortecido c ccr Também chamado de amortecimento crítico na solução as raízes são iguais λ1 λ2 ccr2m E a solução geral da equação 1 é nt x A Bt e ω O amortecimento é crítico pois representa a condição mínima de c para o siste ma ser não vibratório Estes sistemas são de interesse especial na engenharia pois retornam a sua posição de equilíbrio no menor tempo possível sem oscilação Ver exemplos na Figura 4 Um caso de aplicação é um robô mecânico em que deseja se que o movimento de um ponto ao outro se dê sem vibração por questões de precisão e no menor tempo por questões de produtividade 005 000 0 1 2 3 4 5 Figura 4 Sistema criticamente amortecido para o caso de ζ 1 e ωn 20 rads A linha azul representa a velocidade inicial de 02 ms e equação x 02 t e2t A vermelha tem velocidade inicial de 012 ms e equação x 012 t e2t A linha verde tem velocidade inicial 004 ms e equação x 004 t e2t 11 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Sistema Subamortecido c ccr Também chamado de amortecimento subcrítico as raízes são complexas e con jugadas e a solução geral tem a forma 2 sin cos c m t d d x e A t B t ω ω em que ωd é denominada a frequência angular ou pulsação natural amortecida se trata da frequência angular natural de um sistema com amortecimento e é de finida por 2 2 2 d k c m m ω substituindo 2 n k m ω e lembrando que 2 2 cr n c m k m mω temos 2 1 d n ω ω ζ em que a constante ζ c ccr é o fator de amortecimento E so lução geral pode ser escrita na forma 2 sin c m t d x De ω t φ 4 onde D e ϕ são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema Vemos um exemplo de sistema subamortecido na Figura 5 0 1 2 3 4 5 0 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 Figura 5 Sistema subamortecido para a equação x 10 et sen 10t 12 13 A Figura 5 mostra o gráfico da equação 4 O movimento é vibratório com amplitude decrescente Embora este movimento na realidade não se repita o intervalo de tempo Td 2πωd que corresponde a dois pontos sucessivos em que a curva toca as curvas limites é o período da vibração amortecida Como ωd ωn o período de vibração amortecida Td é maior do que o período da vibração não amortecida Note pelo gráfico que há variação no período Para modelos práticos dos tipos de movimento amortecido veja o link em Ma terial Complementar Exemplos Exemplo 1 A figura mostra um sistema blocomolaamortecedor O bloco tem massa 10 kg a rigidez da mola é k 60 Nm e o coeficiente de amortecimento viscoso é c 80 Nsm O bloco é deslocado para a oposição x 50 mm e sol to a partir do repouso Determine a equação que define o movimento do bloco Figura 6 Exemplo 1 Sistema amortecido Fonte Acervo do Conteudista Resolução Primeiro calculamos o coeficiente de amortecimento crítico 60 2 2 10 490 10 cr k N m s c m kg N m m kg Para saber mais sobre a unidade do coeficiente de amortecimento veja o quadro a seguir Unidade do coeficiente de amortecimento O coeficiente de amortecimento crítico é dado por 2 ccr m k m em que a massa é medida em kg e a rigidez por Nm Vamos fazer a análise dimensional para chegar à unidade da grandeza c N m N kg kg kg m kg 13 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Lembrando que N kg ms2 para recordarse desta relação basta lembrar que Força N massa kg x aceleração ms2 temos que 2 N kg m s e assim 2 2 1 N N kg kg kg kg m kg N s s s Substituindo agora 2 N kg m s 2 2 1 kg N N N N s m m s m s s m s s s Como queríamos demonstrar Que é a unidade do coeficiente de amortecimento Iniciamos identificando o tipo de movimento Como o coeficiente crítico obtido ccr 490 Nsm é menor que o coeficiente c 80 Nsm temos que o sistema é superamortecido A solução é dada por 1 2 t t x Ae Be λ λ onde 2 2 1 2 2 1 1 e 2 2 2 2 80 80 60 0838 2 10 2 10 10 c c k c c k m m m m m m N s m N s m N m s kg kg kg λ λ λ Analogamente obtemos λ2 7162 s1 E a solução Impomos agora as condições iniciais para obtermos os valores de A e B No instante inicial t 0 o deslocamento é x 50 mm 005 m assim 0838 7162 0838 0 7162 0 0 0 005 1 1 005 t t x Ae Be Ae Be Ae Be A B A B E podemos escrever que A 005 B A segunda condição inicial é que no instante inicial o bloco está parado ou seja 0 0 t x assim 14 15 0838 7162 0838 7162 0838 0 7162 0 0838 7162 0 0838 7162 0 0838 7162 0117 t t t t x Ae Be x A e B e A e B e A B B A Relacionando com a relação obtida anteriormente em que temos que A 005 B 005 0117 0057 e 0007 A A A B Portanto a equação do movimento é dada por 0838 7162 0057 0007 metros t x e e Exemplo 2 Na figura a seguir vemos um sistema vibratório amortecido A ri gidez de cada mola é k 100Nm o coeficiente de amortecimento de cada amortecedor é c 200 Nsm e a massa é m 25kg Determine a equação diferencial do movimento Que tipo de movimento ocorre neste sistema Figura 7 Exemplo 2 Sistema amortecido com 3 molas e dois amortecedores Fonte Acervo do Conteudista Resolução Para escrever a equação vamos supor que o bloco é puxado ligeiramente para baixo A força de restauração é realizada pelas 3 molas presas na parte superior do bloco 3 Fmola ky em que y é o deslocamento para baixo E a força de amortecimento é dada pelos dois amortecedores em baixo do bloco 2 Famortecimento cý A equação do movimento é 3 2 FR m a ky cý mÿ ou 2 3 0 my cy ky 15 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Substituindo os valores da massa do coeficiente de amortecimento e da rigi dez da mola temos 25 2 200 3 100 0 25 400 300 0 kg y N s m y N m y y y y que pode ser simplificado em 16 12 0 y y y Para definirmos qual o tipo de movimento precisamos do coeficiente de amortecimento crítico 3 100 2 2 25 173 25 cr N m k s c m kg N m m kg Como c ccr o sistema não vibra e é superamortecido Exercícios Propostos Exercício 1 O bloco da figura tem massa de 20 kg e a mola tem rigidez k 600 Nm formando um sistema subamortecido Determine a frequência angular natural Determine o coeficiente de amortecimento crítico Após o bloco ser deslocado e solto efetuaramse medidas da amplitude e obtevese o coeficiente de amortecimento de 189 Nsm Determine a frequ ência angular natural amortecida k c m Figura 8 Exercício proposto 1 Fonte Acervo do Conteudista Respostas ωn 548 rads ccr 2192 N sm ωd 546 rads Exercício 2 Chamamos de fator de amortecimento a grandeza adimensional cccr que pode ser determinada experimentalmente medindose as amplitu des sucessivas do movimento vibratório do sistema Sejam dois deslocamentos máximos x1 e x2 de um sistema subamortecido verifique que a quantidade ln x1x2 denominada decremento logaritmo é dada por 2 1 2 ln 2 1 cr cr x c c x c c π 16 17 Dica Considere os deslocamentos máximos de 2 sin c m t d x De ω t φ e também 2 2 1 2 e 1 d n d cr c t t c π ω ω ω Importante Vibração livre com amortecimento viscoso Uma força de amortecimento viscoso é provocada pelo fluido com o qual o sistema está em contato Para movimentos em bai xas velocidades essa força de arrasto é proporcional à velocidade isto é F cx A constante c é denominada coeficiente de amortecimento viscoso Comparando o valor de c com o valor do amortecimento crítico ccr 2mωn podemos especificar o tipo de vibração do sistema Se c ccr o movimento é superamortecido se c ccr o movimento é criticamente amortecido e se c ccr então ele é subamortecido Em Síntese Figura 9 Fonte Wikimedia Commons 17 UNIDADE Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites ENGEVIBRA Controle de vibração e balanceamento Empresa especializada em análise vibracional httpbitly2IlX9Oa Vídeos Tema 02 Oscilações Amortecidas Experimentos Amortecimento subcrítico crítico e supercrítico httpsyoutubehJOS7ldl48 Leitura Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem httpsbitly2XzWuDf 5910170 Física II Ondas Fluidos e Termodinâmica httpbitly2IjjmMM 18 19 Referências BEER F P JOHNSTON E R CORNWELL JR P J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ed Porto Alegre AMCH 2012 ebook HIBBELER R C Dinâmica mecânica para Engenharia 12ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 ebook MERIAM J L Mecânica para engenharia dinâmica 7 ed Rio de Janeiro LTC 2016 ebook 19