Vibração Livre sem Amortecimento: Teoria e Prática

Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Dr Sergio Turano de Souza Revisão Textual Profª Drª Selma Aparecida Cesarin Vibração Livre sem Amortecimento Introdução ao Movimento de Vibração Equação de Movimento Solução da Equação do Movimento Condições Iniciais Exemplos Exercícios Propostos Introduzir o aluno aos conceitos das vibrações na Mecânica Discutir as vibrações de um corpo rígido com um grau de liberdade sem amortecimento usando a equação de movimento OBJETIVOS DE APRENDIZADO Vibração Livre sem Amortecimento Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você tam bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Introdução ao Movimento de Vibração Iniciamos com o estudo do tipo mais simples de movimento de vibração que é o de vibração livre e sem amortecimento Um exemplo pode ser visto na figura a seguir Figura 1 Massa m em movimento livre e sem amortecimento com uma mola de constante k Fonte Acervo do Conteudista Na Figura 1 um bloco de massa m está ligado a uma mola Toda mola tem uma característica chamada de rigidez ou constante de mola que será representada pela letra k A unidade da constante de mola no Sistema Internacional é N m O movimento de vibração acontece quando o bloco é deslocado de sua posição inicial e depois solto ou seja quando comprimimos ou esticamos a mola a mola deformada puxa o bloco de volta à sua posição inicial O bloco atingirá uma velocidade tal que será capaz de passar por sua posição inicial Consideramos a posição inicial de relaxamento da mola em x 0 m Nesta Unidade consideraremos as forças de atrito nulas ou seja uma superfície perfeitamente lisa Assim o movimento oscilatório adquirido continuará indefini damente A Força Elástica ou Força de Mola que também é chamada de Força Restaura dora pois deseja restaurar a mola para sua posição de relaxamento é definida por Fmola k x D Esta equação é conhecida como Lei de Hooke em homenagem ao cientista inglês Robert Hooke Esta Força aponta na direção do movimento ou seja na direção do ponto de equilíbrio inicial A aceleração que o bloco obtém também será tomada na direção do movimento A aceleração pode ser escrita como 2 2 d x a x dt 8 9 Para mais detalhes sobre a nomenclatura utilizada na equação da acelera ção veremos Derivada Temporal O movimento de um ponto material pode ser convenientemente descrito utilizandose um sistema de referência fixo x y z Posição Se num dado instante o ponto P está no ponto x y z sua localização é definida pelo vetor posição ˆ ˆ ˆ r xi yj zk Devido ao movimento do ponto as componentes x y e z de r são em geral funções do tempo isto é x xt y yt e z zt e assim r r t Velocidade A primeira derivada temporal de r fornece a velocidade do ponto ˆ ˆ ˆ dr d d d v xi yj zk dt dt dt dt Ao calcular essa derivada é necessário levar em conta as variações de mó dulo direção e sentido de cada componente do vetor A componente de ˆ i de v é portanto ˆ ˆ ˆ d dx di xi i x dt dt dt O segundo termo do segundo membro da equação é nulo pois o sistema de referência x y z é fixo com os vetores unitários ˆ i ˆj ˆk constantes no tempo De maneira análoga derivamos os outros termos e obtemos ˆ ˆ ˆ x y z dr v v i v j v k dt Onde x y z v x v y v z A notação com ponto x y z representa a primeira derivada temporal das equações paramétricas x y e z 9 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Aceleração A aceleração do ponto é obtida calculandose a primeira derivada temporal da equação da velocidade ou a segunda derivada temporal da equação do movimento ˆ ˆ ˆ x y z dv a a i a j a k dt Ou x x y y z z a v x a v y a v z Aqui ax ay az representam respectivamente as primeiras derivadas tem porais das funções vx vy vz ou as segundas derivadas temporais das fun ções x y e z Equação de Movimento Considerando todos os movimentos na direção do eixo x temos que a força atuando devido à aceleração ou seja a Força do movimento é escrita por movimento x F m a Como a somatória das forças atuando no sistema da direção do eixo x se igua lam a zero podemos escrever 0 0 0 movimento mola x F F m a k x m x k x Observamos que a aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco Esse mo vimento é denominado Movimento Harmônico Simples Rearranjando a equação 0 k x m x Esta equação pode ser escrita da forma 2 0 n x x w 10 11 onde a constante ωn é chamada de frequência angular natural ou pulsação natural e é definida por n k m w Unidade no Sistema Internacional em radianossegundo rads Analisaremos agora a situação do bloco suspenso e medimos o deslocamento y a partir de sua posição de equilíbrio como mostra a Figura 2 a seguir Figura 2 Bloco suspenso por uma mola Fonte Acervo do Conteudista Quando o bloco está em equilíbrio a mola exerce uma força para cima igual à Força Peso W outras bibliografias podem utilizar as letras G ou P para definir a Força Peso A Força Peso é definida pela massa do bloco m vezes a aceleração da gravidade g Fmola W m g Neste Curso utilizaremos a acelera ção da gravidade como constante de valor g 98 ms² Se puxarmos o bloco para baixo ou seja deslocandoo para uma distância y abaixo da posição de equilíbrio a intensidade da força será dada pela soma da For ça Peso com a Força de Restauração da mola Fmola m g k y 11 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Igualandose todas as forças atuando no eixo y do movimento temos 0 0 0 mola movimento y y F F Peso m g k y m a m g k y m a k y m y k y y m Reescrevendo em termos da frequência angular natural 2 0 n y y w Essa equação tem a mesma forma da equação obtida para o movimento do pla no horizontal 2 0 n x x w Solução da Equação do Movimento A equação diferencial 2 0 n x x w que pode ser em x ou y é uma equação do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes Notase que as funções x1 sinωnt e x2 cosωnt satisfazem a equação Essas funções são portanto duas soluções particulares da equação diferencial As funções seno e cosseno devem ser calculadas sempre em radianos Informação adicional Para verificar se x1 sinωnt é solução de 2 0 n x x w calculamos 2 sin sin cos cos sin n n n n n n n n x t d x t t dt d x t t dt w w w w w w w w é ù ë û Substituindo x e x na equação 2 0 n x x w temos 2 2 sin sin 0 n n n n t t w w w w 12 13 Isso mostra que x1 sinωnt é uma solução pois chegamos a uma relação verdadeira A analogia vale para x2 cosωnt Multiplicando as soluções particulares por duas constantes arbitrárias de integra ção A e B e somandoas obtemos uma solução geral para a equação dada por sin cos n n x A t B t w w Agora podemos calcular a velocidade v e a aceleração a do bloco por meio de derivadas temporais sucessivas resultando em 2 2 cos sin sin cos n n n n n n n n v x A t B t a x A t B t w w w w w w w w Condições Iniciais As constantes arbitrárias A e B podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema Por exemplo no caso do bloco deslocandose no plano liso Figura 1 no instante inicial t 0 o bloco foi deslocado para a direita uma distância x1 de sua posição de equilíbrio e foi lhe dada uma velocidade inicial v v1 Substituindo x x1 e t 0 na equação x A sinωnt B cosωnt x1 A sinωn0 B cosωn0 como sen0 0 e cos0 1 obtemos 1x B Substituindo agora v v1 e t 0 na equação da velocidade v A ωn cosωnt Bωn sinωnt temos 1 1 cos 0 sin 0 n n v A x w w Onde obtemos 1 n v A w 13 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Assim a equação que descreve o movimento substituindo A e B é dada por 1 1 sin cos n n n v x t x t w w w Função seno As equações obtidas para o deslocamento velocidade e aceleração do ponto podem ser reescritas de forma mais compacta em termos de uma função seno Para isso definimos cos e sin A C B C f f Onde C e φ são duas novas constantes arbitrárias a serem determinadas no lugar de A e B A relação entre as constantes é dada por 2 2 C A B Substituindo na equação do deslocamento temos cos sin sin cos n n x C t C t f w f w Utilizaremos a identidade trigonométrica sin a cos b cos a sin b sina b para simplificar a equação em sin n x C w t f E consequentemente temos 2 cos sin n n n n v x C t a x C t w w f w w f Gráfico Um gráfico de x versus ωnt para a equação é mostrado na Figura 3 O desloca mento máximo do bloco em relação à sua posição de equilíbrio é a amplitude da vibração é a constante C O ângulo φ é chamado de fase inicial ou ângulo de fase e representa quanto a curva está deslocada em relação à origem no instante t 0 14 15 Figura 3 Gráfi co de x versus ωnt para a equação x Csen ωnt φt O período T é igual a um ciclo 2π ωnt Para esse exemplo o ângulo de fase é nulo φ 0 Fonte Acervo do Contedista Período e frequência Observamos ainda pela Figura 3 que a curva senoidal completa um ciclo num tempo t T ou seja quando o ciclo 2π ωnT assim o período T o tempo neces sário para uma revolução é definido por 2 n T p w Esse tempo também pode ser pela definição da frequência angular natural expresso por 2 m T k p A frequência f é definida como o número de ciclos por unidade de tempo ou seja o inverso do período 1 2 n f T w p Como no Sistema Internacional de Unidades SI o tempo é dado em segun dos a unidade da frequência é hertz símbolo Hz de forma que 1Hz 1 ciclos 2π rads Frequência natural Quando um corpo ou sistema de corpos interligado sofre um deslocamento ini cial a partir de sua posição de equilíbrio e é em seguida abandonado o corpo passa a vibrar com sua frequência natural ωn 15 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Se o corpo apresenta apenas um grau de liberdade isto é se sua posição pode ser descrita em apenas uma coordenada então o movimento de vibração terá as mesmas características do movimento harmônico simples do sistema blocomola descrito no início desta Unidade Assim o movimento do corpo é descrito pela equação 2 0 n x x w E se a frequência angular natural ωn do corpo for conhecida o período da vibra ção T a frequência natural f e outras características do movimento de vibração do corpo podem ser determinadas Importante Pontos importantes A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças restauradoras gravitacionais ou elásticas A amplitude é o deslocamento máximo de um corpo O período é o tempo para se completar um ciclo A frequência é o número de ciclos completos por unidade de tempo Um sistema com um grau de liberdade exige apenas uma coordenada para definir a sua posição Em Síntese Exemplos Exemplo 1 Uma mola apresenta rigidez k 600 Nm O sistema está na vertical e um bloco de 60 kg é preso à mola O bloco é empurrado 50mm acima da sua posição de equilíbrio e solto Determine a equação que descreve o movimento do bloco Suponha que os des locamentos positivos sejam medidos para baixo Resolução A equação que descreve o movimento é x A sinωnt B cosωnt vamos de terminar as constantes A B e a frequência angular Primeiro a frequência angular 600 100 60 n k N m rad s m kg w 16 17 No ponto e instante iniciais em t 0 temos o deslocamento x 0050 m negativo pois neste exemplo o deslocamento é para cima e os deslocamentos po sitivos são medidos para baixo e a velocidade inicial nula v 0 Substituindo em x A sinωnt B cosωnt obtemos 005 sin 10 0 cos 10 0 sin 0 cos 0 0 A B A B B Ou seja obtemos o valor de B 005 Substituindo agora na equação da velocidade v A ωn cosωnt B ωn sinωnt 0 10 cos 10 0 10 sin 10 0 10 0 A B A Obtemos A 0 Substituindo agora os valores obtidos de A B e ω na equação geral do movimen to x A sinωnt B cosωnt 005cos 10 x t m Exemplo 2 Um bloco de massa 30kg está preso horizontalmente a uma mola Desconsidere o atrito Alongamos o sistema por 60mm e soltamos Determine a frequência natural e o período de vibração se um bloco de 05 kg estiver ligado à esta mesma situação Resolução Com os dados iniciais da massa de 30kg e da alongação de 60mm podemos calcular o k da mola F k x D onde a força F é dada pela massa do bloco vezes a aceleração da gravidade Considere g 98 ms² 30 98 ² 490 0060 kg m s F m g k N m x x m D D 17 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Atenção para as unidades no Sistema Internacional as distâncias têm que ser em metros e ainda kgms² N Perceba que a constante da mola não varia com a massa é uma característica dela Assim podemos calcular a frequência angular para a nova massa 490 313 05 n k N m rad s m kg w E a frequência é determinada por 313 498 2 2 n rad s f Hz w p p E o período 1 1 020 497 T s f Hz Exemplo 3 Um bloco de 50kg é pendurado por molas de duas maneiras diferentes como mostra a figura a seguir O bloco é puxado 40mm abaixo de sua posição de equilíbrio e então liberado A rigidez de cada mola é k1 40 kNm e k2 60 kNm Para cada um dos casos determine o período de vibração Figura 4 Molas com associação em paralelo e série Fonte Acervo do Conteudista 18 19 Resolução Molas em Paralelo Para o caso de associação de duas molas em paralelo a deformação x sofrida por cada uma das molas é a mesma e as constantes de mola somamse 1 2 1 2 Fparalelo k x k x k k x D D D A constante k de uma única mola equivalente fica 1 2 4 6 10 paralelo kN kN k k k kN m m m A frequência angular natural 3 10 10 141 50 n k N m rad s m kg w E o período 2 2 0444 141 n T s rad s p p w Molas em série Para o caso de molas associadas em série molas 1 e 2 estão sujeitas à mesma força F e sofrem deformações diferentes x1 e x2 Determinaremos a constante k de uma única mola equivalente 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 ecomo temos que 1 1 1 1 1 24 4 6 24 10 69 50 2 2 091 69 serie serie serie serie n n F F F x x x x k k k k k k k kN m k k k k N m rad s m kg T s rad s w p p w D D D D Importante Note que as fórmulas são ao contrário da relação sérieparalelo de resistores Importante 19 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Exemplo 4 Uma placa uniforme é apoiada em duas molas cada uma com a mesma rigidez k Se nada está apoiado na placa o período de vibração vertical da placa é de 083 s Quando colocamos sobre seu centro uma massa de 50kg seu período se altera para 152s Calcule a rigidez de cada mola e a massa da placa Figura 5 Molas em paralelo Fonte Acervo do Conteudista Resolução O período da barra pode ser descrito como 2 2 n m T k p p w Sem a massa extra adotando mp como a massa da barra e lembrando que as constantes k se somam para molas em paralelo podemos escrever 083 2 2 mp s k p Eq 1 Com a massa de 50kg adicionada temos 50 152 2 2 mp kg s k p Eq 2 Manipulando a eq1 mp 00349 k Eq 3 20 21 Manipulando a eq2 mp 50 0117 k Eq 1 Substituindo a eq3 na eq4 00349k 0117k 50 Obtemos k 609 Nm e mp 212 kg Exercícios Propostos Exercício 1 Uma mola de rigidez k 80 Nm é utilizada para suspender um bloco de massa 80 kg É dada ao bloco uma velocidade inicial para cima de 04ms quando este está 90mm acima da sua posição de equilíbrio Determine a equação que descreve o movimento do bloco e seu deslocamento máximo a partir da posição de equilíbrio Suponha que os deslocamentos positivos sejam medidos para baixo Respostas 0126sin 316 009cos 316 e 0155 x t t m C m Exercício 2 Considere um bloco de 60 kg suspenso por uma mola de rigidez k 200 Nm É dada ao bloco uma velocidade de 04 ms para cima quando ele está 75mm aci ma da sua posição de equilíbrio Determine a equação que descreve o movimento do bloco e o seu deslocamento máximo medido a partir da sua posição de equilíbrio Suponha que os deslocamentos positivos sejam medidos para baixo Respostas 00693 577 0075 577 e 0102 x sen t cos t m C m 21 UNIDADE Vibração Livre sem Amortecimento Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Plotador Matemático MAFA Este aplicativo foi desenvolvido como sendo parte de um trabalho do Curso Intensivo de Matemática no FeodorLynenGymnasium Planegg Alemanha Criado em 2003 2017 por Daniel SchmidtLoebe httpbitly2QkyFZl Lei de Hooke httpbitly2Qkza5F Robert Hooke httpbitly2QjiETn Vídeos Simple Harmonic Motion Neste vídeo vemos a animação do movimento harmônico simples estudado nesta Unidade httpsyoutubeeeYRkW8V7Vg 22 23 Referências BEER Ferdinand P JOHNSTON E Russell CORNWELL JR Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ed Porto Alegre AMCH 2012 eBook HIBBELER Russell Charles Dinâmica mecânica para Engenharia 12ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 eBook MERIAM J L Mecânica para engenharia dinâmica 7 ed Rio de Janeiro LTC 2016 eBook 23