Dinâmica de Sistemas e Vibrações: Vibração Forçada sem Amortecimento

Dinâmica de Sistemas e Vibrações Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Dr Sergio Turano de Souza Revisão Textual Profª Me Natalia Conti Vibração Forçada sem Amortecimento Introdução Força Periódica Fator de Amplificação e Ressonância Deslocamento Periódico do Suporte Introdução de uma força aplicada ao movimento vibracional OBJETIVO DE APRENDIZADO Vibração Forçada sem Amortecimento Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você tam bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento Introdução Imagine uma criança balançando em um balanço Se ela está sozinha sem nin guém a empurrando ou ela mesmo fazendo força dizemos que esta é uma oscila ção livre Quando alguém empurra o balanço com uma periodicidade ele executa uma oscilação forçada No caso da oscilação forçada há duas frequências angu lares características a frequência angular natural que é a frequência que o balanço oscilaria livremente após o impulso inicial e a frequência angular da força externa que empurra o balanço A vibração forçada não amortecida é considerada um dos tipos mais importantes de movimento vibratório na engenharia Essas vibrações ocorrem quando o sistema é submetido a uma força periódica ou quando está ligado a um suporte elástico que tem seu movimento alterado Para uma análise prática de casos de vibração forçada vejam estes dois casos Mesas vibratórias que produzem vibrações forçadas utilizadas na fabricação de blocos de concreto Disponível em httpsyoutubejjgpdocfIUE O compactador de solo opera por meio de vibração forçada gerada por um motor interno É importante que a frequência da força aplicada não seja próxima da frequência natural de vibração da mola com o motor desligado se isso acontecer ocorrerá a ressonância e a má quina se tornará incontrolável Disponível em httpsyoutubeikdik1goOVU Explor Força Periódica Para estudar as características vibratórias de um sistema submetido a uma força vamos voltar ao caso de um bloco e uma mola ligados horizontalmente sobre um plano sem atrito mas agora com uma força periódica atuando no bloco como mostra a Figura 1 Figura 1 Força periódica atuando no sistema bloco mola Fonte Acervo do Conteudista A força externa que está sendo adicionada ao sistema poderia ser fornecida por meio de uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta O tipo da força aplicada ou do deslocamento pode ser definida como periódica harmôni ca nãoharmônica mas periódica nãoperiódica ou aleatória Focaremos na força periódica ou seja com uma força variando no tempo de forma periódica como a função seno ou cosseno 8 9 Na equação da força periódica externa F F0 sinωt identificamos a amplitude máxima F0 e a frequência angular ω obs não confunda com a frequência angular natural ωn Considere que o bloco foi deslocado de uma distância x do ponto de relaxamento da mola A equação de movimento é dada pela somatória das forças na direção x força periódica menos a força restauradora da mola pois apontam em sentidos opostos sendo igual à força resultante massa vezes a aceleração assim 0 sin x x F ma mx F t kx w å Esta equação pode ser escrita na forma 0 0 sin sin mx kx F t F k x x t m m w w 1 Esta equação é uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea A solução deste tipo de equação consiste em uma solução particular que vamos chamar de xp mais uma solução complementar que vamos chamar de xc Para saber mais sobre equações homogêneas de segunda ordem veja em Material Comple mentar no final desta Unidade Explor A solução complementar é a solução geral da equação homogênea isto é é a equação obtida ao se fazer o segundo membro da equação igual a zero ou seja 0 k x m x E obtemos a solução igual à vista para o movimento não forçada sem vibra ção assim sin cos c n n x A t B t w w Lembrando que ωn é a frequência angular natural n k m w também repre sentada como ω0 cuidado para não confundir agora com a frequência angular ω da força aplicada A solução particular vem do movimento periódico da equação homogênea e pode ser determinada propondose uma solução da forma sin px C wt 2 9 UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento Em que C é uma constante Para obtermos a solução específica calculamos a derivada temporal de segunda ordem da solução particular e substituímos o resultado na equação homogênea 2 sin cos sin p p p x C t x C t C x t w w w w w Substituindo na equação 1 0 2 0 sin sin sin sin F k x x t m m F k C t C t t m m w w w w w É possível simplificar como o termo sinωt aparece em todos os termos da equação podemos isolar a constante C obtendo 2 0 2 0 0 2 F k C m C m F k C m m F m C k m w w w æ ö ç ç çè ø Relacionando com a frequência angular natural n k m w 0 2 2 n F m C w w ou ainda 0 0 0 2 2 2 2 2 1 1 n n n n F F F k C m m w w w w w w w é ù æ ö æ ö ê ú ç ç ç ç ê ú ç ç ç ç è ø è ø ê ú ë û Sendo a solução particular xp C sinωt substituímos na equação 2 e obtemos a solução específica 0 2 sin 1 p n F k x wt w w æ ö ç ç ç çè ø 3 10 11 Como solução geral temos portanto a soma das soluções complementar e particular 0 2 sin cos sin 1 c p n n n F k x x x A t B t t w w w w w æ ö ç ç ç çè ø 4 Vamos analisar o que esta solução nos descreve são dois tipos de movimento vibratório do bloco A solução complementar xc define a vibração livre inde pendente da força externa aplicada que depende da frequência angular natural n k m w e das constantes A e B O gráfico é mostrado na Figura 2 Figura 2 Solução complementar xc em função do tempo Fonte Acervo do Conteudista Os valores de A e B podem ser determinados calculandose a derivada tempo ral da equação 4 ou seja a equação para a velocidade para um certo instante de tempo normalmente escolhese o instante inicial A solução particular xp descreve a vibração forçada do bloco causada pela força aplicada F F0 sinωt e é mostrada da Figura 3 Figura 3 Solução particular xp em função do tempo Fonte Acervo do Conteudista 11 UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento A vibração resultante que é a soma das duas soluções é mostrada na Figura 4 Figura 4 Solução geral xp xc em função do tempo Fonte Acervo do Conteudista Como veremos nas próximas unidades desta disciplina todos os sistemas vibran tes reais estão sujeitos a atrito assim a vibração livre xc se atenua com o passar do tempo e tende a desaparecer Por esta razão a vibração livre é denominada transi tória Por sua vez a vibração forçada se mantém indefinidamente e é chamada de vibração em regime estacionário ou permanente Fator de Amplificação e Ressonância Voltemos para a equação 0 2 1 n F k C w w æ ö ç ç ç çè ø Observem que temos a amplitude C da vibração forçada dependente da razão de frequências r ωωn que é um parâmetro de frequência adimensional ou de sintonia Alguns autores utilizam a letra ômega em maiúsculo Ω para representar esta razão Dependendo dos valores de ω e ωn o valor da amplitude C pode ser positivo ou negativo assim o objetivo pode ser determinar o módulo deste valor A relação F0k é denominada de deflexão estática representada por δst que é a deformação sofrida pelo sistema quando a força é aplicada estaticamente Vamos definir como fator de amplificação FA a razão entre a amplitude de vibração no regime permanente xpmax e a deflexão estática que seria produzida pela amplitude F0 da força periódica ou seja 0 0 2 2 2 0 sin 1 1 1 1 p p max n n p max n F k F k x t x x FA F k w w w w w w w Þ æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö ç ç ç çè ø 12 13 0 0 2 2 2 0 sin 1 1 1 1 p p max n n p max n F k F k x t x x FA F k w w w w w w w Þ æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö ç ç ç çè ø Esta equação é representada graficamente na Figura 5 Figura 5 Fator de Amplifi cação em função da razão de frequências Fonte Acervo do Conteudista Para entender melhor este gráfico vamos imaginar um motor girando que está apoiado em cima de uma mesa que tem molas em seus pés As molas são geradoras da frequência angular natural ωn e o motor pela frequência angular ω Primeiro imagi namos o motor desligado ou seja ω 0 isto implica no fator de amplificação FA 1 Se a frequência do motor é próxima à frequência das molas ou seja ωωn 1 a amplitude da vibração do bloco se torna extremamente grande Isso ocorre porque a força aplicada pelo motor acompanha o movimento da mola Nesse caso ocorre o caso da ressonância Voltando ao caso inicial da criança no balanço se a em purramos com a mesma frequência angular natural de oscilação a amplitude do deslocamento e da velocidade aumentam rapidamente As crianças aprendem isso muito depressa por tentativa e erro Na prática vibrações ressonantes podem causar tensões enormes e a rápida quebra de peças Um dos casos mais famosos de ressonância foi o da Ponte de Tacoma Disponível em httpstinyurlcomyxqavoht Explor Agora se o motor gira em altas frequências ω ωn o valor de FA se torna negativo na medida em que o motor força para um lado e a mola para outro Para frequências extremamente altas ω ωn o bloco permanece praticamente parado e portanto FA é aproximadamente zero 13 UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento A resposta da equação geral de posição x em função do tempo para o caso quando ω ωn tem que ser modificada e é dada por 0 sin cos 2 ressonância n n n F x t t t t k w w w é ù ë û Ressonância É importante notar que todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências angulares naturais Se esta estrutura é submetida a uma força externa que coincide com uma dessas suas frequências naturais pode ocorrer até o rompimento desta estrutura Um exemplo interessantemente trágico foi quando um grande terremoto 81 na escala Ri chter atingiu o México em 1985 O epicentro do terremoto ocorreu a 400 km da Cidade do México e as ondas sísmicas eram fracas para causar danos à capital entretanto o solo úmido sobre o qual a cidade foi construída amplificou a onda sísmica que chegou até ele para uma frequência de 03 rads Muitos edifícios de altura intermediária tinham uma frequência na tural de 03 rads e desabaram Edifícios maiores e menores com frequência de ressonância menor e maior respectivamente permaneceram de pé Outro exemplo é visto em um projeto de uma aeronave nele é muito importante verificar se as frequências angulares que as asas possam ter não coincidam com as frequências dos motores Isso faria as asas vibrarem violentamente Explor Deslocamento Periódico do Suporte As vibrações forçadas também podem aparecer se o suporte o chão por exem plo ou uma parede onde uma haste é presa estiver em vibração periódica O deslocamento do suporte pode ser escrito como δ δ0 sinωt onde a força é dada por F0 kδ0 ou seja δ0 F0k e as equações para a solução ficam idênticas às da vibração forçada sem amortecimento Exemplos Exemplo 1 Um motor de massa 178 kg está apoiado em quatro molas cada uma tendo constante de mola 150 kNm O rotor do motor é desbalanceado e a força centrífuga devido a esse desloca mento é 72 N O motor movese apenas na vertical Determine a a frequência em rpm que ocorrerá a ressonância e b a amplitude da vibração do motor na frequência de 1200 rpm Figura 6 Unidade Vibração Forçada sem Amortecimento Motor desbalanceado Fonte Acervo do Conteudista 14 15 Resolução a A frequência de ressonância é igual à frequência angular da vi bração livre do motor 4 150 103 580 178 n N m k rad s m kg w Lembrese que são 4 molas Rotações por Minuto As frequências angulares também podem ser descritas em rotações por minuto rpm Para converter de rpm para rads 1 rpm 2π radmin 2π rad 60 s 0105 rads 1 rads 955 rpm Explor Escrevendo o resultado em rpm ωn 554 rpm b A velocidade angular ou a frequência angular do motor é ω 1200 rpm 1257 rads A força centrífuga devido ao deslocamento do rotor é 72 N Substituindo para o valor máximo da amplitude obtemos 3 5 0 max 2 2 72 4 150 10 32 10 1257 1 1 58 p n N N m F k x m rad s rad s w w æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø çè ø Temos então a amplitude do deslocamento de 32 µm Exemplo 2 O instrumento de medida da figura a seguir está preso rigidamente a uma plataforma que é suportada por quatro mo las cada uma com rigidez k 800 Nm A massa total do instrumento e da plataforma é de 20 kg A plataforma está inicialmente em repouso Em um dado instante o piso passa a sofrer um deslocamento periódico de δ 10 sin8t milímetros onde t é dado em se gundos O instrumento é forçado a se mover apenas na vertical Determine o deslocamen to vertical y da plataforma como uma função do tempo Considere y medido a partir da po sição de equilíbrio Figura 7 Unidade Vibração Forçada sem Amortecimento Instrumento de medida sob piso oscilante Fonte Acervo do Conteudista 15 UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento Resolução A vibração é provocada pelo deslocamento dos suportes então 0 F0 k d e 0 2 sin cos sin 1 n n n F k x A t B t t w w w w w æ ö ç ç ç çè ø Assim 0 2 sin cos sin 1 n n n x A t B t t d w w w w w æ ö ç ç ç çè ø Podemos determinar os parâmetros Temos que δδ0 sinωt 10 sin8t mm atenção para a unidade milímetros assim obtemos que 0 10 0010 8 mm m rad s d w E a frequência angular natural lembrese que são 4 molas é 4 800 126 20 n N m k rad s m kg w Para o deslocamento máximo temos 0 max 2 2 0010 00167 167 8 1 1 126 p n m x m mm rad s rad s d w w æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø Obs Para deslocamentos máximos podemos considerar o módulo da equação acima assim 0 max 2 1 p n F k x w w æ ö ç ç ç çè ø Substituindo os dados obtidos na equação geral com deslocamento em y 16 17 0 2 sin cos sin 1 sin 126 cos 126 167sin 8 n n n y A t B t t y A t B t t d w w w w w æ ö ç ç ç çè ø Calculamos agora a derivada temporal 126 cos 126 126 sin 126 1333cos 8 y A t B t t Para obter os valores de A e B temos que a plataforma está inicialmente parada e y é medido inicialmente na sua posição inicial ou seja nas condições iniciais t 0 y 0 e y 0 Portanto substituindo na equação de y temos sin 126 cos 126 167sin 8 0 sin 126 0 cos 126 0 167sin 8 0 0 sin 0 cos 0 167sin 0 0 0 1 0 0 y A t B t t A B A B B B Substituindo agora na equação de y 126 cos 126 126 sin 126 1333cos 8 0 126 cos 126 0 126 sin 126 0 1333cos 8 0 0 126 1 126 0 1333 1 0 126 1 126 0 1333 1 0 126 1333 105 y A t B t t A B A B A B A A Com os valores de A e B podemos escrever o movimento vibratório pela equação sin 126 cos 126 167sin 8 105sin 126 167sin 8 y A t B t t y t t Exercícios EXERCÍCIO 1 O bloco de massa 062 kg está preso a uma mola de rigidez igual a 20 Nm Aplicase ao bloco uma força F 6cos 2t N onde t é dado em segundos Determine a velocidade máxima do bloco em regime permanente 17 UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento Figura 8 Unidade Vibração Forçada sem Amortecimento Fonte Acervo do Conteudista Resposta vmax 0686 ms EXERCÍCIO 2 Uma barra elástica de 075 m de comprimento suporta uma esfera de 4 kg despreze a massa da barra Se aplicarmos uma força vertical de 18N na esfera a barra sobre uma deflexão de 14 mm A parede oscila com uma frequência de 2 Hz e tem uma amplitude de 15 mm determine a amplitude de vibração da esfera Figura 9 Unidade Vibração Forçada sem Amortecimento Fonte Acervo do Conteudista Resposta xpmax 00295 m Dica ω 2 Hz 2 x 2π 1257 rads Importante Vibração forçada sem amortecimento Para um corpo em vibração submetido a uma força excitadora periódica ou com seu suporte em movimento periódico a solução da equação de movimento é dada pela soma de uma solução particular com uma solução complementar A solução complementar corresponde à vibração livre A solução particular é determinada pela força externa Ocorre ressonância quando a frequência do excitador é igual à frequência natural de vi bração do sistema A ressonância deve ser evitada para que a amplitude do movimento não se torne ilimitada Em Síntese 18 19 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Fundamentos de Física Volume 2 Gravitação Ondas e Termodinâmica HALLIDAY D Fundamentos de Física Volume 2 Gravitação Ondas e Termodinâmica Halliday Resnick Walker Rio de Janeiro LTC 2016 10ª Edição Vibrações Mecânicas BALACHANDRAN B MAGRAB E B Vibrações Mecânicas Tradução da 2ª edição norteamericana Cengage Learning 2011 Vídeos Mago da Física Ressonância em um Pêndulo Qualitativo Neste vídeo temos um exemplo claro e simples de ressonância em um pêndulo simples httpsyoutube00dNfpQksco Leitura Ponte Tacoma Narrows 1940 Um Estudo dos Efeitos NãoLineares httpstinyurlcomyy8f7j5z 19 UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento Referências BEER F P JOHNSTON E R CORNWELL JR P J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre AMCH 2012 EBook HIBBELER R C Dinâmica mecânica para Engenharia 12 ed São Paulo Pear son Prentice Hall 2005 EBook Meriam J L Mecânica para engenharia dinâmica 7 ed Rio de Janeiro LTC 2016 EBook 20 Cruzeiro do Sul Educational