Dinâmica de Sistemas de Vibração: Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso

Dinâmica de Sistemas de Vibração Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Dr Sergio Turano de Souza Revisão Textual Profª Drª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso Simulador Estudar o movimento forçado e viscoso que é o caso mais geral de movimento vibratório com um grau de liberdade O sistema inclui os efeitos do movimento forçado e do amor tecimento induzido estudados nas unidades anteriores OBJETIVO DE APRENDIZADO Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você tam bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso Nesta unidade estudaremos o caso mais geral de movimento vibratório com um grau de liberdade O sistema inclui os efeitos do movimento forçado e do amortecimento induzido Por ser o caso mais geral ele apresenta muita utilidade prática Na Figura 1 vemos o sistema blocomola sofrendo uma força senoidal e ligado a um amortecedor A equação diferencial que descreve o movimento é dada por mx cx kx F0 sinωt Essa é a equação para um bloco e uma mola sujeitos a deslocamentos periódicos de seu suporte incluindo efeitos de amortecimento Como a equação 1 é não homogênea sua solução geral é a soma da solução complementar xc com a solução particular xp A solução complementar é determinada igualandose a zero o primeiro termo da equação 1 ou seja mx cx kx 0 A solução particular é dada dependendo dos valores de λ1 e λ2 pode ser dada pelas equações a seguir como já analisamos anteriormente x Aet1 Bet2 x A Beω1t x Dec2mt sinωdt φ Como a força aplicada é harmônica a solução particular tem a forma xp A sinωt B cosωt Para determinarmos as constantes A e B calculamos as derivadas temporais da equação obs utilizamos o indicativo linha para diferenciarmos das constantes A e B calculadas anteriormente xp Aω cosωt Bω sinωt xp Aω² sinωt Bω² cosωt Substituindo as equações de xp xp e xp na equação 1 e fazendo algumas simplificações obtemos tente fazer Amω² Bcω kA sinωt Bmω² cAω kB cosωt F0 sinωt Essa equação é válida para qualquer tempo assim podemos simplificála igualando do o termo de sinωt de cada lado da igualdade Fazemos o mesmo com cosωt que como não há no lado direito da equação é igual a zero assim Amω² Bcω kA F0 Bmω² cAω kB 0 Precisamos resolver este sistema algébrico Isolando B da segunda equação substituindo na equação de cima trocando ωn² km e fazendo algumas contas obtemos que A F0mωn² ω² ωn² ω²² cm² B F0m² ωn² ω²² cm² Optamos por não mostrar essas contas passo a passo mas recomendamos que você tente chegar até esses resultados pois é um ótimo treino de álgebra Relembrando a resolução da equação para o caso do movimento livre amortecido temos que a equação também pode ser escrita na forma xp C sinωt φ Onde podemos relacionar com as equações anteriores com a amplitude C e a constante φ sendo C A B φ tan1 B A Calculandoas e substituindo ccr 2m0 2m km obtemos C F0 k 1 ω ωn 2 2 2 c ccr ω ωn 2 φ tan1 2 c ccr ω ωn 1 ω ωn 2 e O ângulo φ representa a Diferença de Fase entre a força aplicada e a vibração natural do regime amortecido O Fator de Amplificação FA já foi definido anteriormente como a razão entre a amplitude causada pela vibração forçada e a amplitude provocada pela força F0 Como a amplitude máxima causada pela vibração forçada tem amplitude C e utilizamos δ0 F0 k temos FA C F0 k 1 1 ω ωn 2 2 2 c ccr ω ωn 2 A Figura 02 mostra o Fator de Amplificação FA versus a razão ωωn para diferentes valores do fator de amortecimento cccr Notamos que a ressonância ocorre quando a razão de frequência ωωn é igual a 1 ou cccr é igual a zero Linha azul com cccr 0 linha vermelha com cccr 01 linha verde com cccr 025 e linha cinza com cccr 1 Equação utilizada para a linha azul 11x22220x212 11 Simulador A fim de aprofundar os estudos de movimentos vibratórios utilizaremos um simulador de oscilações disponível na rede de forma gratuita O PhET Interactive Simulations é desenvolvido pela Universidade do Colorado EUA com dezenas de experiências de Física Química Biologia Matemática etc PhET Interactive Simulations disponível em httpbitly31RLaAQ Utilizaremos o simulador de Ressonância disponível em httpbitly31OmuZW Explor Para acessar a experiência basta clicar sobre a figura É necessário ter FlashPlayer instalado no computador Figura 3 Simulador de ressonância do PhET INteractive Simulations Algumas dicas sobre os controles A caixa de controle do Ressonador indica o sistema massamola É possível adicionar mais ressonadores em número de ressonadores que podem ser configurados selecionando o número deles Há duas frequências mostradas no painel A frequência no painel do ressona dor é a frequência natural do ressonador selecionado A frequência no controle de rotação do motor é a frequência de oscilação forçada pelo motor É possível pausar a simulação em Pause e incrementar passo a passo em Step A Régua que é possível de guiar acompanha uma linha horizontal de refe rência também possível de guiar Clique em Reiniciar tudo para voltar às configurações iniciais 11 Siga os passos a seguir 1 Desloque a massa 1 um pouco para baixo e solte 2 Analise o movimento da mola 3 Agora no motor clique em ligado para ligar o motor 4 Repare novamente no movimento do motor e da mola 5 Para calcular a frequência natural do sistema massamola e obtemos a resposta em Hertz utilizamos a equação ωn 1 2π k m Sem alterar os dados iniciais determine a frequência natural do sistema 6 Compare a frequência natural no sistema com a frequência de oscilação do motor 7 Altere o valor inicial da massa e da constante de mola para outros valores Calcule a nova frequência natural Analise o movimento do sistema 8 Alterando o dial sintonizador da frequência do motor tente ajustar até a frequência de ressonância do sistema primeiro visualmente Compare as duas frequências 9 Clique em Reiniciar tudo Modifique agora a constante de amortecimento O simulador assume a força de amortecimento na forma Fd b v onde v é a velocidade e b é a constante de amortecimento 10 Adicione agora mais ressonadores em número de ressonadores Coloque diferentes valores de massa e constante de mola Analise os movimentos Tente responder às seguintes questões Explique as condições para que ocorra a ressonância Identifique as variáveis que afetam a frequência natural do sistema massamola Explique a diferença entre a frequência da oscilação forçada do motor e a frequência natural do ressonador Cite exemplos de aplicação no mundo real onde o cálculo da ressonância deve ser aplicado e por quê F0 24 N O sistema é amortecido com um fator de amortecimento é cccr 015 Determine a amplitude de vibração Resolução O sistema oscila com uma vibração forçada com amortecimento viscoso e a equação que descreve o movimento é mx cx kx F0 sinωt A frequência angular é ω 10 rads A frequência angular natural para as 4 molas é dada por ωn 4k m 4200 N m 30 kg 516 rad s E a amplitude máxima é C F0 k 24N 800 N m 24N 800 N m C 00107m UNIDADE Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso Exercícios para treinar Exercício 1 Determine o fator de amplificação FA para o sistema do Exemplo 2 Resposta FA 0997 Exercício 2 Um bloco de massa 20 kg é submetido à ação de uma força harmônica F 90 sin 6t N onde t é dado em segundos e a outros agen tes mostrados na figura Determine A amplitude da força F0 A frequência angular ω A frequência angular natural ωn O coeficiente de amortecimento crítico ccr A amplitude do deslocamento C O ângulo de fase φ A equação que descreve o movimento em regime estacionário x C sin ωt φ Figura 5 Exemplo 2 Bloco sob ação de um força periódica com mola e amortecedor Fonte Acervo do Conteudista Resposta F0 90 N ω 6 rads ωn 632 rads ccr 253 Nsm C 0119 m φ 839º x 0119 sin6t 8390 m Importante Vibração forçada com amortecimento viscoso O tipo mais geral de vibração de um sistema com um grau de liberdade ocorre quando o sistema é amortecido e também é submetido a um movimento periódico forçado A solução da equação do movimento mostra como o fator de amortecimento cccr e a razão ωωn influenciam no movimento Em Síntese 14 15 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites PhET Simulations Simulações Interativas em Ciências e Matemática University of Colorado Boulder httpbitly31Op95S Leitura Segurança nas vibrações sobre o corpo humano httpsbitly2xkOBlH Vibração Forçada Força Harmônica Vibrações Mecânicas Capítulo 3 Vibração Forçada Prof Dr Mário F Mucheroni Escola de Engenharia de São Carlos USP httpbitly31OoJfO Vibrações Forçadas sob Excitação Harmônica httpbitly31SOR9d Vibrações Mecânicas MPD42 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Alfredo R de Faria httpbitly31SPcZx Simulador de Oscilações Mecânicas SILVA A C NETO J A H Simulador de Oscilações Mecânicas Rev Bras Ensino Fís online 2016 vol 38 n 3 httpbitly31JSjTE 15 UNIDADE Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso Referências BALACHANDRAN B MAGRAB E B Vibrações Mecânicas São Paulo Cengage Learning 2016 BEER F P JOHNSTON E R CORNWELL JR P J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ed Porto Alegre AMCH 2012 ebook HIBBELER R C Dinâmica mecânica para Engenharia 12ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 ebook MERIAM J L Mecânica para engenharia dinâmica 7ed Rio de Janeiro LTC 2016 ebook 16 Cruzeiro do Sul Educacional