Atividade Sinais e Sistemas

Universidade de Brasília FCTE Curso de Engenharia Sinais e Sistemas Prof Luciano Neves da Fonseca Nome completo Matrícula Declaração de Autenticidade Declaro que esta atividade foi realizada individualmente e que todos os resultados gráficos e textos apresentados são de minha própria autoria baseados no material do curso de Sinais e Sistemas ministrado pelo Prof Luciano Neves da Fonseca Assinatura ATIVIDADE COMPLEMENTAR SINAIS E SISTEMAS Do Contínuo ao Discreto Análise Espectral e Amostragem de um Sinal Real 1 Objetivo Revisar e integrar os três módulos do curso Transformada de Fourier Contínua Série de Fourier e Transformada de Fourier do Tempo Discreto TFTD e Amostragem por meio da análise numérica e conceitual de um mesmo sinal sob diferentes representações 2 Estrutura da Atividade A atividade se divide em quatro etapas 1 a 4 integrando conceitos teóricos e simulações numéricas realizadas no Octave ou MATLAB Etapa 1 Revisão Teórica Integrada Revisão Teórica Integrada Resumo dos Módulos 9 10 e 11 Antes de iniciar os cálculos e gráficos redija um resumo em linguagem própria abordando os seguintes pontos a Transformada de Fourier Contínua Módulo 9 b Série de Fourier Módulo 10 c TFTD e Amostragem Módulo 11 Etapa 2 Transformada de Fourier Contínua Módulo 9 a Escreva a expressão analítica do sinal 𝑓𝑡 e plote o sinal no intervalo 2 𝑡 5 b Determine 𝐹𝑗𝜔 a transformada de Fourier contínua e plote o módulo e a fase c Interprete o resultado Qual é a largura de banda do sinal A largura de banda deve ser estimada como o intervalo de frequências em que o módulo de 𝐹𝑗𝜔mantém ao menos metade de sua amplitude máxima queda de 3 dB Há componente DC Como os parâmetros 𝐴 e 𝛼 influenciam o espectro Etc Etapa 3 Série de Fourier Módulo 10 a Torne o sinal periódico com período 𝑇 6s e plote 3 períodos do sinal periódico b Determine os coeficientes complexos 𝐹𝑛 da Série de Fourier plote o módulo e a fase do sinal discreto 𝐹𝑛 c Compare o espectro discreto 𝐹𝑛 com o espectro contínuo 𝐹𝑗𝜔da Etapa 1 d Analise o efeito do aumento de 𝑇 sobre o espaçamento dos harmônicos e sobre a densidade espectral Etapa 4 TFTD e Amostragem Módulo 11 a Amostre o sinal 𝑓𝑡com duas frequências de amostragem 𝑓𝑠 4Hz e 𝑓𝑠 1Hz e plote os sinais amostrados b Para cada um dos sinais amostrados calcule e plote o módulo e a fase da TFTD 𝐹𝑠𝑒𝑗𝜔 mostrando sua periodicidade c Analise o efeito do período de amostragem 𝑇0 1𝑓𝑠 sobre o espectro d Discuta a ocorrência ou não de aliasing e relacione os resultados com o Teorema da Amostragem de Nyquist 3 Sinal Base e Parâmetros Individuais Todos os alunos devem utilizar o mesmo tipo de sinal variando apenas os parâmetros 𝐴e 𝛼de acordo com o último dígito da matrícula N 𝑓𝑡 𝐴 𝑒𝛼𝑡 0 𝑡 3 0 caso contraˊrio 4 Entrega A atividade deve ser realizada individualmente e vale 30 da nota da Terceira Prova A entrega substitui quatro aulas e será considerada também como presença nessas aulas O relatório deve ser entregue em formato impresso impreterivelmente no dia da prova e conter Gráficos obtidos no Octave ou Matlab acompanhado dos comandos utilizados Respostas curtas e diretas às questões Pequenas interpretações dos resultados Conclusão final integrando os três domínios contínuo periódico e discreto N A α 0 10 05 1 11 06 2 12 06 3 13 07 4 14 07 5 15 08 6 16 08 7 17 09 8 18 09 9 19 10 1 Objetivo Revisar e integrar os três módulos do curso Transformada de Fourier Contínua Série de Fourier e Transformada de Fourier do Tempo Discreto TFTD e Amostragem por meio da análise numérica e conceitual de um mesmo sinal sob diferentes representações O objetivo é compreender como um mesmo fenômeno pode ser descrito no domínio do tempo da frequência contínua e da frequência discreta permitindo uma visão unificada dos processos de análise espectral 2 Estrutura da Atividade A atividade se divide em quatro etapas integrando conceitos teóricos e simulações numéricas realizadas no Octave ou MATLAB Etapa 1 Revisão Teórica Integrada Antes de iniciar os cálculos e gráficos segue o resumo dos três módulos a Transformada de Fourier Contínua Módulo 9 A Transformada de Fourier Contínua TFC é uma ferramenta fundamental para analisar sinais no domínio da frequência Ela permite decompor qualquer sinal xt não periódico em uma soma contínua de exponenciais complexas A TFC é definida por Xω xtejωtdt permitindo identificar quais frequências e amplitudes compõem o sinal original Sua transformada inversa reconstrói o sinal a partir de seu espectro xt 12π Xωejωt dω A TFC possui propriedades importantes como linearidade deslocamento no tempo e frequência escalonamento e a relação direta com convolução A convolução no tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência o que facilita a análise de sistemas lineares invariantes no tempo LIT Em suma a TFC fornece uma visão contínua do espectro permitindo interpretar sinais não periódicos em termos de suas componentes harmônicas distribuídas ao longo de toda a banda de frequências b Série de Fourier Módulo 10 Diferentemente da TFC a Série de Fourier SF destinase a representar sinais periódicos Qualquer sinal periódico xt de período T pode ser escrito como uma soma infinita de senos e cossenos xt a0 n1 an cosnω0 t bn sinnω0 t onde ω0 2πT é a frequência fundamental Os coeficientes são obtidos por a0 1T 0T xt dt an 2T 0T xt cosnω0 t dt bn 2T 0T xt sinnω0 t dt A forma exponencial oferece uma representação mais compacta e simétrica xt n Cn ejnω0 t onde Cn são os coeficientes complexos calculados a partir de uma integral no período A Série de Fourier conecta o domínio do tempo ao domínio da frequência discreta pois as harmônicas aparecem em múltiplos inteiros da frequência fundamental O espectro resultante contém linhas discretas indicando que apenas certas frequências estão presentes no sinal c TFTD e Amostragem Módulo 11 A Transformada de Fourier do Tempo Discreto TFTD ou DTFT estende a análise espectral para sinais discretos Para um sinal xn sua transformada é dada por Xejω n xn ejωn A TFTD produz um espectro periódico em 2π diferente da TFC que é contínua e não periódica Isso ocorre porque a discretização no tempo impõe periodicidade no domínio da frequência A relação com a amostragem aparece de forma direta quando um sinal contínuo xt é amostrado em intervalos regulares Ts o espectro contínuo Xω replicase infinitamente na frequência xn xnTs Xamostradoω 1Ts k Xω kωs onde ωs 2π Ts é a frequência de amostragem Caso a frequência de amostragem seja insuficiente isto é menor que o dobro da maior frequência do sinal ωs 2ωmax ocorre o fenômeno de aliasing no qual as réplicas espectrais se sobrepõem e comprometem a reconstrução do sinal O Teorema de NyquistShannon garante que a reconstrução perfeita é possível ape nas quando fs 2fmax Dessa forma este módulo integra a TFC e a Série de Fourier ao mostrar como um sinal contínuo pode ser discretizado e analisado na frequência por meio de represen tações periódicas e amostradas Etapa 2 Transformada de Fourier Contínua Módulo 9 Nesta etapa analisamos o sinal exponencial truncado no intervalo 0 t 3 ft Aeαt 0 t 3 0 caso contrário A 12 α 06 a Expressão analítica e gráfico no intervalo 2 t 5 O sinal é explicitamente ft 12 e06t 0 t 3 0 caso contrário 3 Figura 1 Sinal ft no intervalo 2 5 b Transformada de Fourier Contínua Fjω 03 12 e06jωt dt Integramos Fjω 12 e06jωt 06 jω 03 Fjω 12 06 jω 1 e306jω Separando magnitude e fase Fjω 12 sqrt062 ω2 1 e18 ej3ω Fjω arctan ω 06 arg1 e18 ej3ω Figura 2 Módulo de Fjω Figura 3 Fase de Fjω 5 c Interpretação do Resultado Largura de Banda 3 dB O valor máximo ocorre em ω 0 F0 1206 1 e18 Numérico F0 21 01653 16694 O nível de 3 dB ocorre em Fjω F02 11807 A largura de banda foi estimada numericamente e vale Largura de banda 067 rads Componente DC F0 16694 Influência de A e α A apenas escala o espectro Fjω A α controla o decaimento α decai mais rápido espectro mais largo O corte em t 3 introduz ripple no espectro pois multiplicação no tempo gera convolução com sinc no domínio da frequência Etapa 3 Série de Fourier Módulo 10 Nesta etapa tornamos periódico o sinal da Etapa 2 definido por ft 12 e06t 0 t 3 0 caso contrário O sinal periódico é obtido repetindo este trecho a cada T 6 segundos fpt fTmodt 6 a Sinal periódico e gráfico de três períodos O sinal periódico consiste em exponenciais decrescentes de duração 3 s seguidas de inter valos de 3 s de valor nulo repetindose com período T 6 Figura 4 Três períodos do sinal periódico fpt com T 6 s 7 b Coeficientes complexos Fn da Série de Fourier A Série de Fourier na forma complexa é fpt Σn Fn ejnω0 t ω0 2πT π3 Os coeficientes são Fn 1T 0T fTt ejnω0 t dt Como o sinal é nulo no intervalo 3 t 6 Fn 16 03 12 e06jnω0 t dt Integração Fn 1261 e306 jnω006 jnω0 Com ω0 π3 Fn 0206 jnπ3 1 e18 ejnπ Observando ejnπ 1n temos Fn 02 1 1n e1806 jnπ3 Módulo Fn 02 1 1n e18062 nπ32 Fase Fn arctannπ306 arg1 1n e18 Figura 5 Módulo dos coeficientes Fn Figura 6 Fase dos coeficientes Fn 9 c Comparação entre Fn e Fjω O espectro contínuo Fjω Etapa 2 é uma curva suave O espectro discreto Fn consiste em linhas em ωn nω0 As amplitudes das linhas seguem aproximadamente a envoltória de Fjω A presença do trecho zerado 3 t 6 introduz um fator 11ne18 causando uma oscilação adicional d Efeito do aumento de T ω0 2π T Se T aumenta ω0 diminui logo os harmônicos ficam mais próximos A densidade de linhas no espectro aumenta Quando T o espectro discreto aproxima o espectro contínuo da TFC Etapa 4 TFTD e Amostragem Módulo 11 Consideramos o mesmo sinal da Etapa 2 com suporte finito em 0 t 3 ft Aeαt 0 t 3 0 caso contrário A 12 α 06 A partir dele obtemos as sequências discretas via amostragem xn fnT0 T0 1 fs a Amostragem para fs 4 Hz e fs 1 Hz Caso 1 fs 4 Hz T0 1 fs 1 4 025 s O intervalo não nulo do sinal é 0 t 3 logo o maior índice inteiro é nmax 3 T0 3 025 12 10 Portanto a sequência amostrada é x1n AeαnT0 n 0 1 2 12 ou seja x1n 12 e06025 n 12 e015n n 0 12 Caso 2 fs 1 Hz T0 1 fs 1 s Novamente 0 t 3 nmax 3 Logo x2n AeαnT0 12 e06n n 0 1 2 3 Figura 7 Amostras do sinal para fs 4 Hz 11 b TFTD Xejω dos sinais amostrados A Transformada de Fourier em Tempo Discreto TFTD é definida por Xejω Σn xn ejωn Como nossas sequências são finitas temos somatórios finitos Expressão geral para uma sequência exponencial truncada Considere xn AeαT0 n n 01N 0 fora Então Xejω Σn0N AeαT0 n ejωn A Σn0N eαT0jωn É uma soma geométrica com razão r eαT0jω Logo Xejw A 1 rN1 1 r A 1 eαT0jwN1 1 eαT0jw Esta expressão vale para qualquer frequência de amostragem Caso fs 4 Hz Aqui T0 025 N 12 Portanto X1ejw 12 1 e06025jw121 1 e06025jw 12 1 e015jw13 1 e015jw Caso fs 1 Hz Agora T0 1 N 3 Logo X2ejw 12 1 e061jw31 1 e061jw 12 1 e06jw4 1 e06jw Os módulos e fases são em cada caso Xkejw Xkejw Xkejw arg Xkejw k 1 para fs 4 Hz e k 2 para fs 1 Hz Figura 9 Módulo de X1ejω para fs 4 Hz periódico em 2π Figura 10 Fase de X1ejω para fs 4 Hz 14 Figura 11 Módulo de X2ejω para fs 1 Hz periódico em 2π Figura 12 Fase de X2ejω para fs 1 Hz 15 Note que por definição a TFTD é sempre 2πperiódica em ω isto é Xejω2π Xejω c Efeito de T0 sobre o espectro A relação entre a frequência contínua Ω rads e a frequência discreta ω rad é ω ΩT0 mod 2π Assim Para T0 pequeno fs grande um mesmo intervalo em Ω ocupa um intervalo maior em ω O espectro em função de ω parece mais esticado Para T0 grande fs pequeno o mesmo conteúdo em Ω é comprimido em um intervalo menor de ω Além disso o processo de amostragem gera réplicas periódicas do espectro contínuo com período Ωs 2πfs rads Quanto maior fs mais afastadas ficam as réplicas no eixo de frequência contínua d Aliasing e Teorema de Nyquist Na Etapa 2 estimamos a largura de banda aproximada do sinal em torno de B 067 rads correspondendo a fB B 2π 0107 Hz O Teorema da Amostragem de Nyquist afirma que para evitar aliasing significativo é necessário fs 2fB Para os dois casos fs 4 Hz 4 2 0107 0214 Hz amostragem muito acima da taxa de Nyquist sem aliasing perceptível fs 1 Hz 1 0214 Hz também acima da taxa de Nyquist o espectro não apresenta sobreposição signi ficativa 16 Observase que Em fs 4 Hz o espectro discreto aproxima melhor o espectro contínuo pois há mais amostras 13 pontos do sinal no tempo Em fs 1 Hz temos apenas 4 amostras o espectro ainda não apresenta aliasing severo mas a representação espectral é mais grossa menos detalhes Como o sinal não é estritamente limitado em banda pelo truncamento no tempo ele possui cauda espectral infinita sempre existe alguma energia em altas frequências Porém para os valores de fs escolhidos essa energia é muito pequena e o aliasing é desprezível na prática 3 Conclusão Final A análise desenvolvida permitiu integrar de forma coerente os três domínios fundamentais da Teoria de Sinais o contínuo o periódico e o discreto Cada um deles revela um as pecto essencial do comportamento do sinal estudado e juntos fornecem uma compreensão completa de sua estrutura temporal e espectral No domínio contínuo o sinal ft Aeαt 0 t 3 apresenta um decaimento suave concentrando praticamente toda sua energia em bai xas frequências Caso fosse analisado por meio da Transformada de Fourier Contínua TFC seu espectro seria um lóbulo principal centrado em ω 0 característico de sinais exponenciais reais Ao passarmos para o domínio periódico que surge devido à limitação temporal im posta pela janela retangular observase que o espectro deixa de ser estritamente contínuo e passa a apresentar oscilações periódicas Isso ocorre porque o corte no tempo corres ponde no domínio da frequência a uma convolução com o espectro da janela Assim surgem os lóbos laterais visíveis na TFTD que representam a distorção introduzida pelo truncamento temporal No domínio discreto a amostragem introduz uma nova periodicidade todo espectro discreto é naturalmente 2πperiódico Os testes realizados para as taxas de amostragem fs 4 Hz e fs 1 Hz demonstram claramente como o período de amostragem T0 1fs influencia a representatividade espectral Para fs 4 Hz o número maior de amostras produz um espectro mais detalhado preservando a forma do lóbulo principal e exibindo de forma nítida os lóbos laterais 17 Para fs 1 Hz o número reduzido de amostras leva a um alargamento do lóbulo principal e a uma perda de definição dos detalhes espectrais Um ponto fundamental observado é que não há ocorrência de aliasing em nenhuma das duas taxas de amostragem testadas Isso se deve ao fato de que o sinal original possui conteúdo espectral predominantemente em baixas frequências satisfazendo o Teorema da Amostragem de Nyquist mesmo no caso de menor taxa Integrando os três domínios concluise que o domínio contínuo descreve a forma física e natural do sinal o domínio periódicoespectral evidencia como o truncamento temporal molda a distribuição de energia em frequência o domínio discreto explicita os efeitos do processo de amostragem sobre o espectro resultante Assim os resultados obtidos confirmam as previsões teóricas taxas de amostragem maiores geram representações espectrais mais precisas enquanto taxas menores reduzem a resolução mas não produzem aliasing neste caso específico A integração entre tempo contínuo tempo discreto e frequência mostrase consistente reforçando a compreensão unificada dos fenômenos analisados 18