Transformada de Fourier-Direta e Inversa-Engenharia-Octave

Sinais e Sistemas para Engenharia MÓDULO 9 TRANSFORMADA DE FOURIER DIRETA E INVERSA VERSÃO OCTAVE PROFESSOR LUCIANO NEVES DA FONSECA Resposta Completa de Um Sistema Hs 𝐻𝑠 4s 40 s2262 𝑥 𝑡 0377 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑦𝑐 𝑡 e2t 0354 cos 6𝑡 0168 sin 6𝑡 0054 cos 30𝑡 0001sen30𝑡 Na resposta 𝑦 𝑛 do sistema vemos claramente a separação do regime transitório o termo que multiplica 𝑒2𝑡cos 6t do regime permanente o termo em cos30𝑡 Após um certo tempo que é relacionado com as constantes de tempo do sistema só restará o regime permanente No regime permanente estamos interessamos em frequências e oscilações e não em transitórios 𝑦 𝑛 0055 cos 30𝑡 1571 𝑦𝑐 𝑡 e2t 0354 cos 6𝑡 0168 sin 6𝑡 0054 cos 30𝑡 0001sen30𝑡 𝑦𝑐 𝑡 0392 e2t cos 6𝑡 0443 0055 cos 30𝑡 1571 𝑦𝑐 0 03 𝑦𝑐 0 0 𝑦𝑐 𝑡 0392e2t cos 6𝑡 0443 0055 cos 30𝑡 1571 Sabemos pela definição que a variável complexa s Laplace é dada por s σ 𝑗𝑤 Caso tenhamos interesse somente no regime permanente do Sistema Hs podemos fazer uma substituição a mesma que utilizamos para o diagrama de Bode A parte real σ da variável s está relacionada com o regime transitório A parte imaginária 𝑗𝑤 da variável s está relacionada com o regime permanente s 𝑗𝑤 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑠 𝑗𝑤 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 Como em Laplace assumimos que 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 𝑢𝑡 podemos mudar o limite de integração para valores negativos sem alterar o cálculo da integral pois ft é nula para t0 então 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 Isto é fazemos σ 0 𝐹 𝑗𝑤 é agora a Transformada de Fourier do sinal ft 𝐹 𝑗𝑤 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑑𝑎 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑑𝑎 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 1 2𝜋 න 𝐹𝑗𝑤𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑤 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 Notar que ft é o sinal real no tempo Fjw será o espectro complexo no domínio da frequência 𝐹 𝑗𝑤 𝑅𝑒 𝐹 𝑗𝑤 𝑗 𝐼𝑚𝑎𝑔 𝐹 𝑗𝑤 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝜃𝑤 𝐹 𝑗𝑤 Espectro de Amplitude contínuo 𝜃 𝑤 Espectro de Fase contínuo 𝑓 𝑡 1 2𝜋𝑗 ර 𝐶 𝐹𝑠𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 Laplace Algumas transformadas importantes 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑗𝑤 1 𝑤 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝛿𝑡𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 0 0 𝛿𝑡 𝑒𝑗𝑤0𝑑𝑡 ejw0 1 Notar que Fjw é uma função contínua Então a transformada do impulso é uma função contínua com módulo constante igual a 1 para todo o eixo jw e fase nula pois o sinal é real 1 Impulso 𝛿𝑡 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑎 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑎 𝑤 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝛿𝑡 𝑎𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝑎 𝑎 𝛿𝑡 𝑎 𝑒𝑗𝑤𝑎𝑑𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑎 Notar que Fjw é uma função contínua Então a transformada do impulso deslocada é uma função contínua com módulo constante igual a 1 para todo o eixo jw e fase linear wa 2 Impulso deslocado 𝛿𝑡 2 𝑓 𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑢 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑠 1 𝑠𝑎 𝐹 𝑠 𝑗𝑤 1 𝑎𝑗𝑤 Notar que quando a aumenta o sinal se concentra no tempo estreito no tempo e se espalha na frequência largo na frequência 𝑓 𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑢 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑗𝑤 න 0 𝑒𝑎𝑡𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 𝑎 𝑗𝑤 3 Sinal exponencial causal Notar que tanto 𝑓1 𝑡 quanto 𝑓2 𝑡 têm valores não nulos no intervalo 0 No entanto para facilitar a aproximação numérica vamos supor que tanto tanto 𝑓1 𝑡 quanto 𝑓2 𝑡 serão nulos para t5 Assim usaremos os limites de integração 15 Digite a equação aqui exp2𝑡 exp5𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝐹𝑎𝑠𝑒 Aproximação numérica para a Transformada de Fouriera partir da TFTD que será vista no módulo 11 1 Definir o sinal contínuo 𝑓𝑡 no intervalo de tempo ab 2 Calcular uma Aproximação Numérica Transformada de Fourier do sinal 𝑓𝑡 definido no intervalo de tempo ab A Módulo Transformada será mostrado no intervalo de frequência wmax wmax 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 exp2𝑡 exp5𝑡 𝑓 𝑡 𝑒𝑎 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑗𝑤 2𝑎 𝑤2𝑎2 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑒𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 0 𝑒𝑎𝑡𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 0 𝑒𝑎𝑡𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 𝑎 𝑗𝑤 1 𝑎 𝑗𝑤 2𝑎 𝑤2 𝑎2 Notar que quando a aumenta o sinal se concentra no tempo estreito no tempo e se espalha na frequência largo na frequência 4 Módulo Sinal exponencial 𝑓 𝑡 1 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 2𝜋 𝛿 𝑤 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 lim 𝑎0 න 𝑒𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 lim 𝑎0 2𝑎 𝑤2 𝑎2 2𝜋 𝛿 𝑤 Notar que Fjw é uma função contínua que é nula para todo eixo jw exceto para w0 quando seu valor tende a infinito O resultado faz sentido físico pois a entrada só contém a frequência nula nível DC Logo a transformada deve conter somente energia na frequência 0 Quando 𝑎 0 𝐹 𝑗𝑤 será nulo para todo w exceto para w0 Quando 𝑤 0 𝐹 𝑗𝑤 indicando um impulso no domínio das frequências A magnitude do impulso será න 2𝑎 𝑤2 𝑎2 𝑑𝑤 2atan 𝑤 𝑎 ቮ 2 π 2 𝜋 2 2𝜋 5 Sinal unitário 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝑒𝑗𝑤𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 lim 𝑎0 න 𝑒𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 lim 𝑎0 2𝑎 𝑤 𝑤𝑜 2 𝑎2 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 Notar que Fjw é uma função contínua que é nula para todo eixo jw exceto para w 𝑤𝑜 quando seu valor tende a infinito O resultado faz sentido físico pois a entrada só contém a frequência w 𝑤𝑜 Logo a transformada deve conter somente energia na frequência w 𝑤𝑜 Quando 𝑎 0 𝐹 𝑗𝑤 será nulo para todo w exceto para w 𝑤𝑜 Quando 𝑤 𝑤𝑜 𝐹 𝑗𝑤 indicando um impulso no domínio das frequências A magnitude do impulso será න 2𝑎 𝑤 𝑤𝑜 2 𝑎2 𝑑𝑤 2atan 𝑤 𝑤𝑜 𝑎 ቮ 2 π 2 𝜋 2 2𝜋 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 cos 𝑤𝑜𝑡 𝑗𝑠𝑒𝑛𝑤𝑜𝑡 6 Exponencial complexa 𝑓 𝑡 cos 𝑤𝑜𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝐹 𝑗𝑤 න cos 𝑤𝑜𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 න 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 2 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 2 න 𝑒𝑗𝑤𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 න 𝑒𝑗𝑤𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑗𝑤 1 2 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 Notar que Fjw é uma função contínua que é nula para todo eixo jw exceto para w 𝑤𝑜 e w 𝑤𝑜 quando seu valor tende a infinito O resultado faz sentido físico pois a função original só contém a frequência 𝑤𝑜 então a transformada só poderia ter energia nesta frequência isto é dois impulsos de amplitude pi nas frequência 𝑤𝑜 e 𝑤𝑜 7 Sinal Cosseno 𝑓 𝑡 sen 𝑤𝑜𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝜋 𝑗 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝜋 𝑗 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝐹 𝑗𝑤 න sen 𝑤𝑜𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 න 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 2𝑗 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 2𝑗 න 𝑒𝑗𝑤𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 න 𝑒𝑗𝑤𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑗𝑤 1 2𝑗 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝜋 𝑗 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 𝜋 𝑗 𝛿 𝑤 𝑤𝑜 Notar que Fjw é uma função complexa logo possui módulo e fase A função seno possui o mesmo módulo da função cosseno isto é dois impulsos de amplitude 𝜋 nas frequência 𝑤𝑜 e 𝑤𝑜 No entanto para o seno as fases dos dois impulso são defasadas de 180 graus 8 Sinal Seno 𝑓 𝑡 𝑠𝑔𝑛 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 2 𝑗𝑤 Notar que Fjw é uma função complexa logo possui módulo e fase O gráfico mostra o módulo de Fjw Notar que a transformada do sinal sgnt possui todas as frequências pois há um valor de Fjw para todo w 𝐹 𝑗𝑤 lim 𝑎0 න 0 1 𝑒𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 0 1 𝑒𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 lim 𝑎0 1 𝑎 𝑗𝑤 1 𝑎 𝑗𝑤 2 𝑗𝑤 9 Sinal Signum 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑠𝑔𝑛 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 lim 𝑎0 න 𝑠𝑔𝑛 𝑡 𝑒𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝜋𝛿 𝑤 1 𝑗𝑤 Notar que a transformada de ut é parecida com a transformada de sgnt porém com um impulso na frequência w0 Isto faz sentido físico pois ut tem um nível DC que não está presente em sgnt 𝑢 𝑡 1 21sgnt 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑢 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 1 2 1sgnt 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 2 2𝜋 𝛿 𝑤 2 𝑗𝑤 𝜋𝛿 𝑤 1 𝑗𝑤 10 Degrau Unitário 𝑓 𝑡 1 𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑗𝜋𝑠𝑔𝑛 𝑤 ቊ𝑗𝜋 𝑤 0 𝑗𝜋 𝑤 0 𝐹 𝑗𝑤 න 1 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 lim 𝜖0 න 𝜖 1 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝜖 1 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 lim 𝜖0 න 𝜖 1 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑗𝑤 1 2j lim 𝜖0 න 𝜖 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑗𝜋𝑠𝑔𝑛 𝑤 ቐ 𝑗𝜋 𝑤 0 0 𝑤 0 𝑗𝜋 𝑤 0 11 Sinal 𝑓 𝑡 1 𝑡 𝑓 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 𝑇0 𝑢 𝑡 𝑇𝑜 𝑢 𝑡 𝑇𝑜 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑗𝑤 2𝑇0𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑤𝑇𝑜 𝜋 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝑇0 𝑇𝑜 1 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑇𝑜 𝑒𝑗𝑤𝑇0 2 𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑇0 𝑒𝑗𝑤𝑇𝑜 2𝑗 2𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑇0 𝑤 2𝑇𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑤𝑇𝑜 𝜋 𝑤 𝐹 𝑗𝑤 21𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑤1 𝜋 𝑇0 10 𝑓 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 1 12 Pulso largura 2𝑇𝑜 𝑇0 10 𝑓 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑤𝑐𝑡 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐹 𝑗𝑤 𝜋 𝑤𝑐 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑤 2𝑤𝑐 ቐ 𝜋 𝑤𝑐 𝑤 𝑤𝑐 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝐹 𝑗𝑤 𝜋 3 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑤 3 𝑓 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑐 3 𝜋 𝑡 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝐹 𝑡 ℱ 2𝜋 𝑓𝑗𝑤 13 Sinc Frequência wc 𝑇𝑜 𝜋 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇𝐹𝑓𝑔𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝐺𝑖𝑏𝑏𝑠 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑎 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 𝑇𝑜 𝑆𝑖 𝑡 න 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑤 න 𝑓𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 න 𝑇 𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 𝜋 𝑆𝑖 𝑇0𝜋 𝑇0𝑤 𝑆𝑖 𝑇0𝜋 𝑇0𝑤 14 Sinc Truncado 𝑥 20 𝑥 20 𝑇0 4 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇𝐹𝑓𝑔𝑎 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇𝐹𝑓𝑔𝑎 15 Trem de impulsos 𝑐 𝑡 σ𝑛 𝛿𝑡 𝑛𝑇 Sabemos que a transformada de um único impulso é uma exponencial complexa 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑇 𝑤 Então 𝐶 𝑗𝑤 que é a transformada uma soma de impulsos será uma soma de exponenciais complexas 𝑐 𝑡 𝑛 𝛿𝑡 𝑛𝑇 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝐶 𝑗𝑤 𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑇 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑚 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 Vamos avaliar numericamente esta soma infinita de exponenciais complexas 𝑁 10 𝑁 100 𝑁 10000 𝑛10 10 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛100 100 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛10000 10000 𝑒𝑗𝑤𝑛 Vemos que a soma infinita σ𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑇 é na verdade um trem de impulsos no domínio da frequência 𝐶 𝑗𝑤 𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑇 2𝜋 𝑇 𝑛 𝛿 𝑤 𝑛𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 𝐶𝑗𝑤 Função Domínio do Tempo ft Domínio das Frequencias Fω Transformada Direta ft 12π Fωejωtdω Fω ftejωtdt Impulso δt 1 Imp Atrasado Aδt t0 Aejωt0 Nível DC 1 2πδω Nível DC K 2πKδω Exp Complexa ejω0t 2πδω ω0 cosseno cos ω0t πδω ω0 δω ω0 seno sin ω0t πjδω ω0 δω ω0 Cosseno com fase cosω0t θ πejθδω ω0 ejθδω ω0 Seno com fase sinω0t θ πjejθδω ω0 ejθδω ω0 Degrau Unitário ut πδω 1jω Cosseno causal cos ω0tut π2 δω ω0 δω ω0 jωω02 ω2 Seno Causal sinω0tut π2jδω ω0 δω ω0 ω0ω02 ω2 Cosseno Amortecido eαt cosω0tut jω αjω α2 ω02 Seno Amortecido eαt sinω0tut ω0jω α2 ω02 Pulso Retangular recttT 2TsincwTπ Cosseno Janelado recttTcos ω0t T2 sincω ω0T2π sincω ω0T2π sinct sincw0tπ πw0 rectww0 Função Domínio do Tempo ft Domínio das Frequencias Fω Função Sinal sgnt 2jω Decaimento Linear 1t jπ sgnω Trem de impulsos δt kT 2πT δω k2πT k Série de Fourier ak ejkω0t onde ak 1T0 xtejkω0t dt T0 2π ak δω kω0 k k Pulso Retangular recttT ΠtT 1 t T2 T sincT2πω Pulso Triangular tritT T sinc2T ω2 Pulso Sinc sincWt 1W rectω2πW Pulso Sinc2 sinc2 Tt2 2πT triωT Pulso Exponencial eat a 0 2aa2 ω2 Pulso Gaussiano expt22σ2 σ2π expσ2 ω22 Decaimento Exponencial eatut a 0 1a jω t Decaimento Exponencial teatut a 0 1a jω2 tn1 Decaimento Exponencial tn1 eatut a 0 n1a jωn Amostras de gt gt nT0 n ω0Gnω0δω nω0 ω0 2πT0 n Linearidade Derivadas no tempo Propriedades da Transformada de Fourier 𝑎𝑓 𝑡 𝑏𝑔 𝑡 ℱ 𝑎𝐹 𝑗𝑤 𝑏𝐺𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑔 𝑡 ℱ 𝐺 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓𝑡 ℱ 𝑗𝑤2𝐹 𝑗𝑤 w2Fjw 𝑓𝑡 ℱ 𝑗𝑤𝐹 𝑗𝑤 Integração no Tempo Derivada na Frequência 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹𝑗𝑤 න 𝑡 𝑓 𝜏 𝑑𝜏 ℱ 1 𝑗𝑤 𝐹 𝑗𝑤 𝜋𝐹0𝛿𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑗𝑡𝑓𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓𝑡 ℱ 𝑗𝑤3𝐹 𝑗𝑤 𝑗𝑤3𝐹𝑗𝑤 𝑗𝑡 2𝑓𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 Propriedades da Transformada de Fourier Escala no tempo Deslocamento no tempo Deslocamento em frequência 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑎𝑡 ℱ 1 𝑎 𝐹 𝑗𝑤 𝑎 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 𝑎 ℱ 𝑒𝑗𝑤𝑎𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑎𝑡𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑤 𝑎 Inversão no Tempo Modulação Senoidal 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹jw 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 cos𝑎𝑡 ℱ 1 2 𝐹 𝑤 𝑎 𝐹𝑤 𝑎 𝑓 𝑡 par 𝑓 𝑡 ímpar Dualidade tempo frequência Propriedades da Transformada de Fourier Convolução no Tempo Convolução na Frequência 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝐺𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 2 න 0 𝑓 𝑡 cos𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑔 𝑡 ℱ 𝐺 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 ℱ 1 2𝜋 𝐹 𝑗𝑤 𝐺𝑗𝑤 𝑔 𝑡 ℱ 𝐺 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 2j න 0 𝑓 𝑡 sen𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 ℱ 𝐹 𝑗𝑤 𝐹 𝑡 ℱ 2𝜋 𝑓𝑗𝑤 Teorema de Parseval A energia total de um sinal expresso na forma 𝑓 𝑡 somada ao longo do tempo é igual à energia da forma de onda da Transformada de Fourier 𝐹 𝑗𝑤 de 𝑓 𝑡 somada através das suas componentes em frequência 𝑓 𝑡 1 2π න 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑤 A energia E de um sinal 𝑓 𝑡 no domínio do tempo ser 𝐸 න 𝑓𝑡 2𝑑𝑡 න 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Mas 𝑓 𝑡 1 2π න 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑤 Então 𝐸 න 𝑓 𝑡 1 2π න 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑤 𝑑𝑡 1 2π න 𝐹 𝑗𝑤𝑡 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑤 1 2π න 𝐹 𝑗𝑤 𝐹𝑗𝑤𝑑𝑤 1 2π න 𝐹𝑗𝑤 2𝑑𝑤 𝐸 න 𝑓𝑡 2𝑑𝑡 1 2π න 𝐹𝑗𝑤 2𝑑𝑤 Propriedades da Transformada de Fourier Condições de existência da Transformada de Fourier Exemplo f t sen 1 t tem um número infinito de máximos e mínimos quando se aproxima da origem logo não tem Transformada de Fourier 3 A função f t deve ser absolutamente integrável 4 A função f t deve ter um número finito de descontinuidades e pontos extremos 1 O fato de o sinal f t ser fisicamente realizáveis é uma condição suficiente para a existência da transformada de Fourier 2 Se 𝑓𝑡 𝐹 𝑗𝑤 então 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 isto é න 𝑓𝑡 𝑑𝑡 5 A função f t deve ter um número finito de máximos e mínimos 𝑓 𝑡 1 2𝜋 න න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑤 Propriedade Dado que ft Fω e gt Gω Linearidade aft bgt aFω bGω Deslocamento no tempo gt t0 ejωt0 Gω Escala no tempo gat 1a Gωa Modulação 1 gtcosω0t 12 Gω ω0 Gω ω0 Modulação 2 gtejω0t Gω ω0 Diferenciação se ft gt então Fω jω Gω Integração se ft gαdα então Fω 1jω Gω πG0δω t Convolução no tempo gt ft Gω Fω onde gt ft gαft αdα Convolução na frequência ft gt 12π Fω Gω Dualidade se gt zω então zt 2πgω Simetria se gt for real então Gω Gω Gω Gω and Gω Gω Conjugado gt Gω Teorema de Parseval Pavg gt2 dt 12π Gω2 dω Relação entre as transformadas de Fourier e Laplace Em Laplace 𝑠 𝜎 𝑗𝑤 há regime transitório e regime permanente Em Fourier 𝑗𝑤 só há regime permanente Laplace Fourier 𝑠 𝜎 𝑗𝑤 há regime transitório e permanente 𝑗𝑤 só há regime permanente න 0 Limite de integração de zero a infinito න Limite de integração de menos infinito a infinito 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑗𝑤 න 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 1 2𝜋𝑗 ර 𝐶 𝐹𝑠𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠 Integração em um contorno fechado C 𝑓 𝑡 1 2𝜋 න 𝐹𝑗𝑤𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤 Integração no eixo imaginário ℒ 𝑓𝑡 ℱ 𝑓 𝑡 𝑒𝜎𝑡𝑢𝑡 Caso se tire a transformada de Fourier de uma função ft multiplicada por 𝑒𝜎𝑡𝑢𝑡 o resultado será exatamente a transformada de Laplace de ft