Sinais e Sistemas - Amostragem e Aliasing com Octave

Sinais e Sistemas para Engenharia MÓDULO 11 TFTD AMOSTRAGEM E ALIASING VERSÃO OCTAVE PROFESSOR LUCIANO NEVES DA FONSECA Amostragem Amostragem é o processo de representar um sinal contínuo a partir de uma sequencia discreta de valores amostras Se for possível reconstruir o sinal analógico a partir das amostras discretas obtidas dizemos que a amostragem foi executadas de uma forma adequada Então um sinal contínuo deve ser amostrado com qual frequência Isto é qual o mínimo amostras por segundo seriam necessárias Se forem obtidas poucas amostras o sinal original não poderá ser reconstituído Se for obtido um número excessivo de amostras estaremos desperdiçando recursos com memória e tempo de processamento digital Então a questão principal seria Como amostrar de modo a preservar a informação contida no sinal analógico sem desperdiçar recursos Amostragem de um sinal de tempocontínuo analógico Seja um sinal de tempo contínuo analógico 𝑓𝑎𝑡 Podemos descrever o processo de amostragem do sinal contínuo 𝑓𝑎𝑡 como sendo a multiplicação deste sinal por um trem de impulso 𝑐 𝑡 Se os impulsos estiverem espaçados de 𝑡𝑜 segundos então obteremos as amostras 𝑓𝑠 𝑡 também espaçada de 𝑡𝑜 segundos 𝑐 𝑡 𝑛 𝛿𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑠 𝑡 𝑓𝑎 𝑡 𝑐 𝑡 𝑓𝑎 𝑡 𝑛 𝛿 𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝑛 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑜𝛿 𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑠 𝑡 é a função amostrada representada por um trem de impulsos espaçados de 𝑡𝑜 com energia variável 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑜 Notar que 𝑓𝑠 𝑡 apesar de representar o sinal 𝑓𝑎𝑡 amostrado é também contínuo e definida para todo eixo t c 𝑡 é o trem de impulsos t t 𝑓𝑎𝑡 𝑓𝑠 𝑡 𝑓𝑎 𝑡 𝑐 𝑡 c 𝑡 𝑡𝑜 f1 t sinct tlinspace441001 plottf1t function yn n samplesignal3ffst1t2prt Ts1fs Pt2t1 N floorPTs n0N1 ts nTs t1 yn fts if prt printfNd n0d fsf Tsf Pf NN1fsTsP tlinspacet1t22000 yt ft grid on hold on stemtsynbmarkernone plottyt axist1t2 end endfunction fs2 ynsamplesignal3f1fs44true N16 n015 fs2000000 Ts0500000 P8000000 fs5 ynsamplesignal3f1fs44true N40 n039 fs5000000 Ts0200000 P8000000 fs10 ynsamplesignal3f1fs44true N80 n079 fs10000000 Ts0100000 P8000000 Transformada Direta de Fourier de 𝑓𝑠 𝑡 𝑓𝑎 𝑡 𝑐 𝑡 Sabemos que a transformada de Fourier 𝐹𝑎𝑗𝑤 do sinal contínuo analógico 𝑓𝑎 𝑡 é dada pela definição 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑓𝑠 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 mas 𝑓𝑠 𝑡 𝑛 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑜𝛿 𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑓𝑠 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝐹𝑠 𝑗𝑤 é a Transformada de Fourier TF do trem de impulsos com energia variável 𝑓𝑠 𝑡 𝐹𝑠 𝑗𝑤 é também Transformada de Fourier do Tempo Discreto TFTD da sequência de amostras 𝑓𝑛 sinal discreto obtidas em 𝑓𝑎 𝑛𝑡𝑜 que pode ser obtido por uma simples somatória e não por uma integral Por ser uma somatória de exponenciais complexas 𝐹𝑠 𝑗𝑤 é periódica com período Ω 2𝜋 𝑡𝑜 maior período Então 𝛿 𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝑒 𝑓𝑎 𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑛 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑛 Já que Teremos 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑓𝑠 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑛 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑜𝛿 𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑛 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑜 𝛿 𝑡 𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 TFTD Inversa de 𝐹𝑠 𝑗𝑤 Começamos pela TFTD direta do sinal discreto fn 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 Multiplicamos os dois lados por 𝑒𝑗𝑤𝑚𝑡𝑜 Ω e integramos em dw em um período Ω 1 Ω Ω 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑚𝑡𝑜𝑑𝑤 1 Ω Ω 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑗𝑤𝑚𝑡𝑜𝑑𝑤 𝑛 𝑓𝑛 1 Ω Ω 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑚𝑡𝑜𝑑𝑤 1 Ω Ω 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑚𝑡𝑜𝑑𝑤 𝑛 𝑓 𝑛 𝛿 𝑛 𝑚 𝑓𝑛 Notar que 1 Ω Ω 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑚𝑡𝑜𝑑𝑤 1 Ω Ω 𝑒𝑗𝑤 𝑛𝑚 2𝜋 Ω 𝑑𝑤 𝛿 𝑛 𝑚 1 𝑛 𝑚 0 𝑛 𝑚 𝑓 𝑛 1 Ω Ω 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜𝑑𝑤 Impulso discreto Que é periódica com período Ω 2𝜋 𝑡𝑜 Então Notar que embora 𝐹𝑠 𝑗𝑤 seja uma função contínua e periódica a sua TDFT inversa será sinal no tempo 𝑓𝑛 seja discreto A integração é em um período Ω qualquer período A TFTD inversa é um sequência discreta variável m 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑛 1 Ω Ω 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜𝑑𝑤 TFTD inversa TFTD do sinal discreto fn Notar que embora sinal no tempo 𝑓𝑛 seja discreto a sua TDFT 𝐹𝑠 𝑗𝑤 é uma função contínua e periódica com período Ω 2𝜋 𝑡𝑜 composta de uma soma de exponenciais complexas no domínio da frequência TFTD com período Ω 2𝜋 𝑡𝑜 Condição de existência da TFTD 𝑓 𝑛 de ser absolutamente somável 𝑚 𝑓𝑛 Tempo Frequência x A amostragem no tempo equivale à multiplicação da função por um trem de impulsos espaçados do período de amostragem 𝑡𝑜 A multiplicação no tempo equivale a uma Convolução na frequência Notar que a transformada de um trem de impulsos espaçados de 𝑡𝑜 no tempo é também um trem de impulsos porém espaçados de 𝑤 2𝜋 𝑡𝑜 na frequência Notar que o período Ω de 𝐹𝑠 𝑗𝑤 é inversamente proporcional ao espaçamento 𝑡𝑜 entre as amostras de 𝑓𝑛 Notar que 𝐹𝑠 𝑗𝑤 pode ser obtida tanto pela Transformada de Fourier do trem de impulsos com amplitude variável 𝑓𝑠 𝑡 a partir de uma integral quanto pela TFTD das amostras 𝑓𝑛 a partir de uma somatória 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑓𝑠 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 𝑓𝑛 TFTD Normalizada com período 2𝜋 Começamos pela TFTD da sequencia discreta 𝑓𝑛 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 Com 𝑡𝑜 1 teremos 𝑛 𝑛𝑡𝑜 isto é substituímos o tempo discreto 𝑛𝑡𝑜 pelo índice n da sequência de amostras teremos a TFTD Esta substituição no tempo 𝑡𝑜 1 equivale a uma normalização no domínio da frequência 𝐹𝑛 𝑗𝑤 será contínua e periódica com período Ω 2𝜋 𝑡𝑜 2𝜋 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑚 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑓𝑛 1 2𝜋 2𝜋 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑑𝑤 TFTD normalizada inversa TFTD normalizada direta Período Ω 2𝜋 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑛 1 Ω Ω 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜𝑑𝑤 TFTD inversa TFTD to 1 Ω 2𝜋 𝑡𝑜 Ω 2𝜋 𝑡𝑜 𝐹 𝑗𝑤 𝑓𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 1 𝜋 𝑆𝑖 4𝜋 4𝑤 1 𝜋 𝑆𝑖 4𝜋 4𝑤 Exemplo 1 TFTD de um sinc janelado e amostrado 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑎 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜋𝑡 4 𝑡 4 𝑓 𝑛 𝑤𝑠 30 𝑟𝑎𝑑𝑠 Solução Numérica para TFTD Direta Simples e direta 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 Solução Numérica para ITFTD a partir da Definição é de difícil implementação TFTD Inversa 𝑦𝑛 1 2𝜋 2𝜋 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑑𝑤 A Transformação Inversa é numericamente possível mas com convergência lenta e muito suscetível a erros de arredondamento pois implementa um aproximação de uma integral Notar que no tempo o sinal 𝑦𝑛 terá 𝑁 amostras geradas por samplesignal3 Mas na frequência o sinal 𝑌𝑠𝑗𝑤 terá 𝑁𝑤 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ𝑤 amostras com 𝑁𝑤 grande pois deveria ser um eixo contínuo Logo 𝑦𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑛 terá também 𝑁𝑤 amostras mas guardamos somente as 𝑁 primeiras amostras 𝑦𝑛 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑡𝑑𝑓𝑡 𝑦𝑛 𝑦𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑛 𝑖𝑡𝑑𝑓𝑡 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑦𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡1𝑁 Série de Fourier Transformada de Fourier TFTD TFTD Normalizada Ω Ω 2𝜋 2𝜋 Periódica Contínua Período 2𝜋 Periódica Contínua Período Ω 2𝜋 T Contínua Periódica NãoPeriódica Discreta NãoPeriódica Contínua Contínua NãoPeriódica Discreta período T NãoPeriódica Discreta NãoPeriódica Notar que o período de amostragem 𝑡𝑜 é inversamente proporcional ao período Ω 2𝜋 𝑡𝑜 de repetição do espectro Se 𝑡𝑜 for maior que um certo valor período Ω vai ser menor que a largura BW de um período do espectro 𝐹𝑠 𝑗𝑤 de modo que haverá aliasing na frequência distorção TFTD TFTD TFTD TFTD Efeito do Período de Amostragem na TFTD 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛 Se um sinal contínuo ft tiver um banda de frequências limitada isto é a sua transformada de Fourier 𝐹 𝑗𝑤 for igual a zero para 𝑤 𝑤𝑐 então o Teorema da Amostragem fundamenta que o sinal ft pode ser perfeitamente recuperado a partir das suas amostras 𝑓𝑛 se e somente se a frequência de amostragem 𝑤𝑠 2𝑤𝑐 𝑓𝑠 2𝑓𝑐 A frequência de amostragem 𝑓𝑠 mínima para se amostrar adequadamente um sinal é então o dobro da maior frequência 𝑓𝑠 2𝑓𝑐 contida no sinal Esta frequência que é conhecida como a Frequência de Nyquist é fundamental na teoria de amostragem O Teorema da Amostragem fundamenta então que um sinal contínuo só pode ser adequadamente amostrado se a frequência de amostragem 𝑓𝑠 for maior ou igual ao dobro da maior frequência contida no sinal 𝑓𝑐 Vamos justificar o enunciado deste Teorema a partir da análise da transformada de Fourier de sinais amostrados Teorema da Amostragem 𝐹 𝑗𝑤 𝑓𝑎 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 8𝑠𝑖𝑛𝑐4𝑤 Exemplo 2 TFTD de pulso de largura 4 amostrado 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑓𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑎 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 4 TFTD Transformada de Fourier 𝑓 𝑛 ws 10rads Série de Fourier Transformada de Fourier TFTD TFTD Normalizada Ω Ω 2𝜋 2𝜋 Periódica Contínua Período 2𝜋 Periódica Contínua Período Ω 2𝜋 T Contínua Periódica NãoPeriódica Discreta NãoPeriódica Contínua Contínua NãoPeriódica Discreta período T NãoPeriódica Discreta NãoPeriódica 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤0 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤2 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤4 𝑦𝑛 𝛿𝑛 𝑘 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝛿𝑛 𝑘 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑘 1 TFTD do Impulso no tempo discreto k 2 TFTD de um Pulso de largura M 𝑦 𝑛 1 0 𝑛 𝑀 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑀1 2 𝑠𝑒𝑛 𝑀𝑤 2 𝑠𝑒𝑛 𝑤 2 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑦𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛0 𝑀 1 𝑒𝑗𝑤𝑛 1 𝑒𝑗𝑤𝑀 1 𝑒𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑀1 2 𝑠𝑒𝑛 𝑀𝑤 2 𝑠𝑒𝑛 𝑤 2 Solução numérica Largura do pulso no tempo é inversamente proporcional ao número de lobos na frequência Solução numérica Um atraso no tempo corresponde a uma fase linear na frequência 3 TFTD de uma exponencial unilateral 𝑦𝑛 𝑎𝑛 𝑛 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 1 1 𝑎𝑒𝑗𝑤 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑦𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛0 𝑎𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛0 𝑎𝑒𝑗𝑤 𝑛 1 1 𝑎𝑒𝑗𝑤 𝑌𝑠 𝑗𝑤 2 1 1 2 acos 𝑤 𝑎2 𝐹𝑎𝑠𝑒 𝑌𝑠 𝑗𝑤 tan1 a sin 𝑤 1 a cos 𝑤 Solução numérica Largura do sinal no tempo é inversamente proporcional a largura do sinal na frequência 4 TFTD de uma exponencial bilateral 𝑦𝑛 𝑎 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 1 𝑎2 1 2 acos 𝑤 𝑎2 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑛 𝑦 𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛 1 𝑎𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑛0 𝑎𝑛 𝑒𝑗𝑤𝑛 𝑎 𝑒𝑗𝑤 1 𝑎𝑒𝑗𝑤 1 1 𝑎𝑒𝑗𝑤 1 𝑎2 1 2 acos 𝑤 𝑎2 𝐹𝑎𝑠𝑒 𝑌𝑠 𝑗𝑤 0 Solução numérica Largura do sinal no tempo é inversamente proporcional a largura do sinal na frequência 5 TFTD de uma exponencial complexa 𝑦 𝑛 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 2𝜋 𝑘 𝛿𝑤 𝑤0 2𝜋𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑏 𝑤 𝑤𝑜 2𝜋 𝑦 𝑛 1 2𝜋 2𝜋 𝑌𝑠 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑑𝑤 1 2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝑘 𝛿𝑤 𝑤0 2𝜋𝑘 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑑𝑤 𝑦 𝑛 𝑘 2𝜋 𝛿 𝑤 𝑤0 2𝜋𝑘 𝑒𝑗𝑤𝑛𝑑𝑤 A integral será nula para todo w exceto para 𝑤 𝑤02𝜋𝑘 quando a integral terá valor 1 definição impulso Então termos um trem de impulsos com período 2𝜋 𝑦 𝑛 𝑘 𝑒𝑗 𝑤02𝜋𝑘𝑛 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜 Faremos a prova pela transformada inversa Invertemos a ordem da soma e da integração 6 TFTD da Série Unitária todas as amostras iguais a 1 𝑦 𝑛 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 2𝜋 𝑘 𝛿𝑤 2𝜋𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑏 𝑤 2𝜋 𝑦 𝑛 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑌𝑠 𝑗𝑤 2𝜋 𝑘 𝛿𝑤 𝑤0 2𝜋𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑏 𝑤 𝑤𝑜 2𝜋 Com 𝑤𝑜 0 teremos 𝑦 𝑛 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 𝑦 𝑛 𝑜𝑛𝑒 𝑛 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 2𝜋 𝑘 𝛿𝑤 2𝜋𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑏 𝑤 2𝜋 Sabemos que 7 𝑠𝑔𝑛𝑛 1 𝑛 0 1 𝑛 0 𝑇𝐹𝑇𝐷 2 1𝑒𝑗𝑤 E𝑛𝑡ã𝑜 2𝛿 𝑛 sgn 𝑛 sgn 𝑛 1 𝑇𝐹𝑇𝐷 2 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝐹𝑗𝑤 e sgn 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝐹jw 2 𝐹 𝑗𝑤 𝑒𝑗𝑤𝐹𝑗𝑤 𝐹 𝑗𝑤 2 1 𝑒𝑗𝑤 𝑒 2𝛿 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 2 𝑆𝑒 2𝛿 𝑛 sgn 𝑛 sgn 𝑛 1 8 𝑢 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 1 1𝑒𝑗𝑤 𝜋 𝑘 𝛿𝑤 2𝜋𝑘 u 𝑛 1 2 1 2 sgn n 𝑇𝐹𝑇𝐷 𝑇𝐹𝑇𝐷 1 2 𝑇𝐹𝑇𝐷 1 2 sgn 𝑛 u 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 1 2 2𝜋 𝑘 𝛿𝑤 2𝜋𝑘 1 2 2 1 𝑒𝑗𝑤 u 𝑛 𝑇𝐹𝑇𝐷 1 1 𝑒𝑗𝑤 𝜋 𝑘 𝛿𝑤 2𝜋𝑘 9 Temperatura mensal do DF 1 amostra por mês N686 amostras Duração 57 anos 𝑓𝑠 12𝑎𝑛𝑜 12 amostras por ano 𝑓𝑠2 6𝑎𝑛𝑜 𝑇 017 𝑎𝑛𝑜 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 menor frequência 𝜋 𝑓 4𝑎𝑛𝑜 𝑇 025 𝑎𝑛𝑜 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓 3𝑎𝑛𝑜 𝑇 033 𝑎𝑛𝑜 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓 2𝑎𝑛𝑜 𝑇 05 𝑎𝑛𝑜 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓 1𝑎𝑛𝑜 𝑇 1 𝑎𝑛𝑜 𝑓 028𝑎𝑛𝑜 𝑇 35 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑓 007𝑎𝑛𝑜 𝑇 14 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑓 0017𝑎𝑛𝑜 𝑇 57 𝑎𝑛𝑜𝑠 10 Maré Nova York 1 amostra por hora 𝑓𝑠 24𝑑𝑖𝑎 𝑇𝑠 1 24 𝑑𝑖𝑎 1ℎ N8784 amostras Duração 365 dias 𝑓 580𝑑𝑖𝑎 𝑇 4ℎ10𝑚 𝑓 386𝑑𝑖𝑎 𝑇 6ℎ15𝑚 𝑓 193𝑑𝑖𝑎 𝑇 12ℎ25𝑚 𝑓 100𝑑𝑖𝑎 𝑇 24ℎ 1𝑑𝑖𝑎 𝜋25 𝜋25 𝑓 0056𝑑𝑖𝑎 𝑇 18 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑓 0035𝑑𝑖𝑎 𝑇 28 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑓 0011𝑑𝑖𝑎 𝑇 90 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑓 00027𝑑𝑖𝑎 𝑇 365 𝑑𝑖𝑎𝑠 11 Maré Nova York 1 amostra por mês 𝑓𝑠 12𝑎𝑛𝑜 𝑇𝑠 1𝑚ê𝑠 N1797 amostras Duração 150 anos 𝑓 2𝑎𝑛𝑜 𝑇 6𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓 1𝑎𝑛𝑜 𝑇 1𝑎𝑛𝑜 𝑓 008𝑎𝑛𝑜 𝑇 12 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑓 00525𝑎𝑛𝑜 𝑇 19 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝜋 𝜋 𝜋100 𝜋100 𝑓 0027𝑎𝑛𝑜 𝑇 38 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑓 0019𝑎𝑛𝑜 𝑇 50 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑓 00125𝑎𝑛𝑜 𝑇 80 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑓 0004𝑎𝑛𝑜 𝑇 250 𝑎𝑛𝑜𝑠 12 Cotação do o em Dólar 2020 1 amostra por dia N365 amostras Duração 1 ano 52 semanas 𝑓𝑠 7𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 7 amostras por semana Notar harmônicos em 𝑓 04𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑇 25 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑓 014𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑇 7 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑓 008𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑇 12 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓 004𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑇 25 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓 0019𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑇 52 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 1 𝑎𝑛𝑜 𝜋 𝜋 𝜋5 𝜋5 13 Som Morcego 𝑓𝑠 2304 kHz 𝑇𝑠 424𝜇𝑠 N 2048 amostras Duração 89ms 𝑓 40𝑘ℎ𝑧 𝑓 48𝑘ℎ𝑧 𝑓 55 65𝑘𝐻𝑧 𝑓 78𝑘𝐻𝑧 playsndbat230400 playsndbat4000 𝜋 𝜋 14 Assovio Baleia 𝑓𝑠 11025 𝐻𝑧 𝑇𝑠 907𝜇𝑠 N 140483 amostras Duração 12742ms 𝑓 8 𝐻𝑧 9 Hz 16 Hz 30Hz 𝑓 200𝐻𝑧 340 𝐻𝑧 𝑓 715𝐻𝑧 760𝐻𝑧 𝑓 915𝐻𝑧 970 Hz 990Hz 𝑓 1100𝐻𝑧 playsndy 11025 𝜋 𝜋 15 Som Golfinho 𝑓𝑠 22050𝐻𝑧 𝑇𝑠 444𝜇𝑠 N 161648 amostras Duração 7331ms 𝑓 60 𝐻𝑧 𝑓 045 𝑘𝐻𝑧 𝑓 090 𝑘ℎ𝑧 𝑓 25 𝑘𝐻𝑧 𝑓 4 6 𝑘𝐻𝑧 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 16 Música 𝑓𝑠 8000 𝐻𝑧 𝑇𝑠 0125𝑚𝑠 N 85001 amostras Duração 1063 s 𝑓 50 𝐻𝑧 𝑓 100 𝐻𝑧 𝑓 200 𝐻𝑧 𝑓 400 𝐻𝑧 𝜋 𝜋 𝜋8 𝜋8 𝜋8 𝜋8 𝜋8 𝜋8 𝜋8 𝜋8 17 Exemplo com aliasing em frequência 𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡2 05 05 cos 2𝜋𝑡 10 0 𝑡 10 A função ft é um sinal chirp ascendente isto é a frequência do sinal aumenta com o tempo A frequência instantânea de um sinal senoidal 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑡 é igual à derivada do seu argumento isto é 𝜃 𝑡 Então a frequência instantânea de 𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡2 será 2𝜋𝑡 isto é em 𝑡 0 a frequência será 0 em 𝑡 1 será 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 1Hz e em 𝑡 10 a frequência será 20𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 10Hz A amplitude de 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡2 é unitária de modo que a amplitude final de ft será controlada pela função 05 05 cos 2𝜋𝑡 10 Calcule a TFTD 𝐹 𝑤 do sinal contínuo analógico 𝑓 𝑡 notar que a partir de agora não usaremos mais o subíndice 𝑓𝑎 𝑡 para indicar sinais contínuos analógicos A transformada de Fourier da função contínua 𝑓 𝑡 será 𝐹 𝑗𝑤 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 que pode ser aproximada pela seguinte solução numérica Notar que 𝐹 𝑗𝑤 tem valores entre 628 rads 628 rads isto é a largura de banda será BW125 7 rads 20 Hz A frequência mínima é 0 nível DC A frequência máxima é 628 rads 10Hz Podemos recuperar ft a partir de Fjw Transformada inversa de Fourier A função contínua 𝑓 𝑡 é definida de 0 a 10 segundos com a frequência instantânea aumentando de 0 a 10Hz Agora vamos amostrar a função ft com ws3142rads 50Hz ts20 ms em 10 segundos teremos 500 amostras Podemos calcular então a TFTD 𝐹𝑠 𝑗𝑤 de fn Notar que o espectro é agora periódico com período Ω 3142 rads 50Hz No entanto a TFTD no intervalo 628 rads 628 rads é idêntica à transformada de Fourier do sinal contínuo Como o período de 3142 rads é maior que BW 1257Hz podemos recuperar ft a partir do primeiro período de 𝐹𝑠 𝑗𝑤 Agora vamos amostrar a função ft com ws1257 rads 20Hz ts120005 isto é uma amostra a cada 005 segundos Então em 10 segundos teremos 200 amostras Podemos calcular então a TFTD 𝐹𝑠 𝑗𝑤 de fn Notar que o espectro continua periódico agora com período Ω 1257 rads 20Hz que é exatamente o dobro da maior frequência do sinal ft No entanto a TFTD no intervalo 628 rads 628 rads continua idêntica à transformada de Fourier do sinal contínuo Podemos ainda recuperar ft a partir do primeiro período de 𝐹𝑠 𝑗𝑤 Os espectros apenas se tocam Agora vamos amostrar a função ft com ws 1005 rads 16Hz ts11600625 isto é uma amostra a cada 00625 segundos Então em 10 segundos teremos 160 amostras Podemos calcular então a TFTD 𝐹𝑠 𝑗𝑤 de fn Notar que o espectro continua periódico agora com período 1005 rads 16Hz No entanto a TFTD no intervalo 628 rads 628 rads não corresponde mais à transformada de Fourier do sinal contínuo Como o período de 1005 rads é menor que BW125 7 rads a amostragem não foi adequada houve aliasing na frequência distorção Transformada de Fourier do sinal contínuo ft TFTD do sinal ft amostrado com 3142 rads 50Hz amostragem adequada TFTD do sinal ft amostrado com 1257 rads 20Hz mínimo necessário TFTD do sinal ft amostrado com 1005 rads 16Hz Notar que houve aliasing na frequência distorção 𝑤 𝑤 𝑤 𝑤 𝐹 𝑗𝑤 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝐹𝑠 𝑗𝑤 𝐹𝑠 𝑗𝑤