Sinais e Sistemas - Analise da Serie de Fourier e Transformada em Octave

Sinais e Sistemas para Engenharia MÓDULO 10 SÉRIE DE FOURIER TF DE SINAIS PERIÓDICOS VERSÃO OCTAVE PROFESSOR LUCIANO NEVES DA FONSECA Exemplo 1 Como exemplo vamos analisar o sinal periódico de período 𝑇 2𝜋 sendo cada período constituído de exponencial decrescente 𝑦 𝑡 𝑒2 𝑡 𝜋 𝑡 𝜋 Podemos gerar um Sinal Periódico a partir da repetição de um sinal NãoPeriódico 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 2𝜋 2𝜋 1 75 períodos 11 períodos 1 período Transformada de Fourier de N Períodos deste Sinal 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 1 No limite quando o sinal se torna periódico se repetindo de toda a energia da transformada de Fourier se concentra nas frequências múltiplas da frequência fundamental do sinal periódico 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 1 de modo que a transformada se torna discreta 1 período da Exponencial 𝑦 𝑡 𝑒2 𝑡 𝜋 𝑡 𝜋 l 11 períodos 𝑇 2𝜋 75 períodos 𝑇 2𝜋 𝑦 𝑡 𝑒2 𝑡 𝜋 𝑡 𝜋 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 1 Exemplo 2 analisar o sinal periódico de período 𝑇 5 sendo cada período constituído de um pulso unitário 𝑦 𝑡 1 1 𝑡 1 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 2𝜋 5 126 60 períodos 12 períodos 1 período Transformada de Fourier de N Períodos de um Pulso unitário largura 1 T5 𝑦 𝑡 1 1 𝑡 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑖𝑜 𝑇 5 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 126 No limite quando o sinal se torna periódico se repetindo de a toda a energia da transformada de Fourier se concentra nas frequências múltiplas da frequência fundamental do sinal periódico 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 126 1 período 12 períodos 60 períodos 30 períodos 𝑇 10 Transformada de Fourier de N Períodos de um Sinal Notar que quando dobramos os período no tempo reduzimos pela metade o espaçamento das amostras na frequência 60 períodos 𝑇 5 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 126 Vamos comparar o sinal pulso unitário periódico de período T5 com o sinal pulso unitário periódico de período 10 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 063 Tempo Frequência x A convolução no tempo por um trem de impulsos espaçados de T equivale reproduzir o sinal original a cada T segundos isto é o sinal se torna periódico Notar que a transformada de um trem de impulsos espaçados de 𝑡𝑜 é também um trem de impulsos na frequência porém espaçados de 𝑤 2𝜋 𝑡𝑜 com amplitude variável 2𝜋 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 𝑓0𝑡 𝐹𝑜𝑤 𝑓𝑇 𝑡 𝑓o t 𝑐 t 𝐹𝑇 𝑤 𝐹𝑜 𝑤 𝐶 𝑤 𝐶 𝑤 2𝜋 𝑇 𝑛 𝛿𝑤 𝑛𝑤𝑜 𝑐 𝑡 𝑛 𝛿𝑡 𝑛𝑇 𝐹𝑇 𝑤 𝐹𝑜 𝑤 𝐶 𝑤 𝐹𝑜 𝑤 2𝜋 𝑇 𝑛 𝛿 𝑤 𝑛𝑤𝑜 𝑛 2𝜋 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 𝛿 𝑤 𝑛𝑤𝑜 Matematicamente podemos criar um sinal periódico 𝑓𝑇 𝑡 com período T a partir de um sinal não periódico 𝑓0𝑡 Para isso basta convoluirmos 𝑓0𝑡 com um trem de impulso 𝑐 𝑡 com período T A Série de Fourier pode ser interpretada com sendo um caso especial da Transformada de Fourier quando o sinal no tempo 𝑓𝑇𝑡 é contínuo e periódico com período T o subíndice T indica periodicidade em T Neste caso a Transformada FT𝑗𝑤 deste sinal será discreta e não periódica Por ser discreta trocamos a frequência contínua 𝑗𝑤 pelo índice discreto 𝑛 por isso a série de Fourier será representada pelo sinal discreto 𝐹𝑛 Com a Série de Fourier podemos decompor o sinal original periódico 𝑓𝑇𝑡 com período T isto é com frequência fundamental 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 em um soma infinita de exponenciais complexas com frequência múltiplas inteiras da frequência 𝑤𝑜 que chamamos de harmônicos Série de Fourier Um caso especial da Transformada de Fourier 𝒇𝑻 𝒕 𝑺é𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝑭𝒐𝒖𝒓𝒊𝒆𝒓 𝑨𝒏á𝒍𝒊𝒔𝒆 𝑭 𝑛 Separar o sinal periódico 𝒇𝑻 𝒕 nos seus harmônicos Fn espaçados de wo 2𝜋 𝑇 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 𝑭 𝑛 𝑺é𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝑭𝒐𝒖𝒓𝒊𝒆𝒓 𝟏𝑺í𝒏𝒕𝒆𝒔𝒆 𝒇𝑻𝒕 Reconstituir o sinal periódico 𝒇𝑻𝒕 a partir dos harmônicos Fn soma infinita de exponenciais complexas com frequência múltiplas inteiras da frequência 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 𝑓 𝑡 𝑛 𝐹 𝑛 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 𝑓𝑇 𝑡 𝑓o t 𝑐 𝑡 𝐹 𝐹𝑇 𝑤 𝐹𝑜 𝑤 𝐶 𝑤 𝑓𝑇 𝑡 1 2𝜋 𝐹𝑇 𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤 1 2𝜋 𝐹𝑜 𝑤 𝐶 𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤 𝑚𝑎𝑠 𝐶 𝑤 2𝜋 𝑇 𝑛 𝛿𝑤 𝑛𝑤𝑜 𝑓𝑇 𝑡 1 2𝜋 𝐹𝑜 𝑤 2𝜋 𝑇 𝑛 𝛿𝑤 𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤 𝑛 1 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑛𝑤𝑜𝑡 𝛿𝑤 𝑛𝑤𝑜𝑑𝑤 𝑛 1 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟𝑚𝑜𝑠 𝐹 𝑛 1 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 então 𝐹 𝑛 1 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 1 𝑇 𝑓0 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑑𝑡 À sequencia discreta 𝐹 𝑛 damos o nome de Série de Fourier 𝐹 𝑛 nada mais é do que o valor das amplitudes dos de exponenciais complexas com frequência 𝑛𝑤𝑜 múltiplas inteiras da frequência 𝑤𝑜 Deste modo sinal original 𝑓𝑇 𝑤 Equação I pode ser reconstituído a partir da sequência discreta Fn pela soma ponderada destas exponenciais complexas com frequência múltiplas inteiras da frequência 𝑤𝑜 Vimos que a Transformada de Fourier de um sinal Periódico 𝑓𝑇 𝑡 com período 𝑇 2𝜋 𝑤𝑜 é um trem de impulsos 𝐶 𝑤 espaçados de 𝑤𝑜 no domínio da frequência sendo que cada impulso tem amplitude 2𝜋 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 onde 𝐹𝑜 𝑤 é a transformada de Fourier 𝑓0𝑡 que nada mais é que um período de 𝑓𝑇 𝑡 Dedução do cálculo analítico da Série de Fourier 𝑓𝑇 𝑡 𝑛 1 𝑇 𝐹𝑜 𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑭𝒏 𝟏 𝑻 𝟎 𝑻 𝒇𝑻 𝒕 𝒆𝒋𝒏𝒘𝒐𝒅𝒕 𝑰 𝑓𝑇 𝑡 𝑛 𝐹 𝑛 𝑒𝑛𝑤𝑜𝑡 𝐼𝐼 Exemplo 1 Trem de Pulsos 𝑦 𝑡 1 1 𝑡 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑖𝑜 𝑇 5 Notar que ft é periódica com período 5 𝑤𝑜 2𝜋 5 1257 Definir ft em 1 período e plotar 1 período Replicar a função em em um eixo t qualquer com PlotPeriodic Cálculo Serie com Coeficiente Complexos através de 1 integral complexa Cálculo analítico da Série 𝐹 𝑛 1 𝑇 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 1 5 1 1 1 𝑒 𝑗𝑛2𝜋 5 𝑡 𝑑𝑡 sin 2π𝑛 5 𝑛 𝜋 2 5 sin𝑐 2𝑛 5 𝑦 𝑡 1 1 𝑡 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑖𝑜 𝑇 5 Notar que ft é periódica com período 5 𝑤𝑜 2𝜋 5 Os coeficiente complexos Fn numericamente a partir de 2 integrais reais 𝑺𝒆 𝒂𝒏 𝟐 𝑻 𝟎 𝑻 𝒇 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒘𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝑛 0 𝒆 𝒃𝒏 𝟐 𝑻 𝟎 𝑻 𝒇 𝒕 𝐬𝐞𝐧 𝒏𝒘𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝑛 0 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑑𝑡 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 cos𝑛𝑤𝑜𝑑𝑡 𝑗 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 sin 𝑛𝑤𝑜 𝑑𝑡 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝐹 𝑛 𝑎𝑛 𝑗𝑏𝑛 2 𝑛 0 𝑎𝑛 𝑗𝑏𝑛 2 𝑛 0 Reconstituição do sinal original 𝑓 𝑡 𝑛 𝐹 𝑛 𝑒𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑎𝑜 2 1 𝑎𝑛cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑜𝑡 Síntese Reconstrução de 𝑓𝑇𝑡 através dos coeficientes Complexos No limite se tivermos infinitos coeficientes da série F n 𝑐𝑜𝑚 𝑛 podemos reconstituir exatamente a função periódica 𝑓𝑡 através da expressão 𝑓 𝑡 𝑛 𝐹𝑛𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 No entanto se a série for truncada como no cálculo acima com 10 termos positivos teremos um reconstituição aproximada da função periódica 𝑓𝑡 que será tanto melhor quantos coeficientes forem utilizados 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑑𝑡 𝑓 𝑡 1 1 𝑡 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑖𝑜 𝑇 5 𝑓 𝑡 𝑛9 9 𝐹 𝑛 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑛9 9 𝐹 𝑛 𝑒𝑗𝑛 2𝜋 5 𝑡 Começamos com a função periódica 𝑓𝑡 Calculamos n coeficiente da séria Fn Função que plota 5 períodos da função periódica 𝑓𝑡 calcula e plota os N primeiros coeficientes da série de Fourier 𝐹𝑛 e reconstitui parcialmente 𝑓𝑡 com os N coeficientes 𝑛 3 𝑛 5 𝑛 10 𝑛 100 𝑛 2 𝑛 4 Notar que com 𝑛 2 só temos energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 e um nível DC n0 Quando aumentamos o número de harmônicos a reconstituição fica mais aproximada No entanto mesmo com 𝑛 100 ainda temos o Efeito Gibbs nas descontinuidades 𝑓 𝑡 1 𝜋 𝑡 0 1 0 𝑡 𝜋 𝑓 𝑡 2𝜋 𝑓𝑡 Notar que ft é periódica com período 2p 𝑇 2𝜋 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 1 Cálculo analítico da Série 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 1 2𝜋 𝜋 0 1𝑒 𝑗𝑛 1 𝑡 𝑑𝑡 0 𝜋 1 𝑒 𝑗𝑛 1 𝑡 𝑑𝑡 0 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 2𝑗 𝑛𝜋 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 Exemplo 2 Onda Quadrada 𝑛 3 𝑛 5 𝑛 11 𝑛 101 1Hz 1Hz 1Hz 1Hz Notar que com 𝑛 3 só temos energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 e não há nível DC Notar que os harmônicos pares são nulos pois 𝑓𝑡 é impar Quando aumentamos o número de harmônicos a reconstituição fica mais aproximada No entanto mesmo com 𝑛 100 ainda temos o Efeito Gibbs nas descontinuidades Exemplo 3 Onda Triangular 𝑓 𝑡 𝑡 10 𝑡 10 𝑓 𝑡 20 𝑓 𝑡 Notar que ft é periódica com período 20 𝑇 20 𝑤𝑜 2𝜋 20 𝜋 10 Cálculo analítico da Série 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 1 20 10 0 𝑡 2e 𝑗𝑛 𝜋 10𝑡 𝑑𝑡 0 10 𝑡 2 e 𝑗𝑛 𝜋 10𝑡 𝑑𝑡 5 𝑛 0 0 𝑛 𝑝𝑎𝑟 20 𝑛2𝜋2 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛 3 𝑛 5 𝑛 11 𝑛 101 005Hz 005Hz Notar que com 𝑛 3 só temos energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 e um nível DC n0 Notar que os harmônicos pares são nulos pois 𝑓𝑡 é impar Quando aumentamos o número de harmônicos a reconstituição fica mais aproximada Como não há descontinuidades em 𝑓𝑡 com 𝑛 100 a reconstituição é muito satisfatória não há efeito Gibs Exemplo 4 𝑓 𝑡 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 7 𝑡 𝑤𝑜 2𝜋 7 𝑇 𝑤0 2𝜋 7 10 Período 0 t 7 𝑎𝑛 4 𝑇 0 𝑇 2 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 8𝜋 𝑤𝑜 0 𝑇 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜𝑡 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 F 𝑛 an 2 𝑝𝑎𝑟 𝐹 0 𝑎𝑜 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 1 𝑇 0 𝑇 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 0 𝑠𝑒 𝑛 1 𝑎𝑛 0 𝑇 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜𝑡 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 0 𝑠𝑒 𝑛 1 𝑎1 8𝜋 𝑤𝑜 0 𝑇 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜𝑡 cos 1𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 4𝐴 𝑇 𝑇 4 𝐴 F 𝑛 00 0 0 A 2 0 A 2 0 0 0 0 17 Hz Como ft tem somente uma frequência wo 2𝜋 7 com fase zero cosseno e amplitude A a sua Série de Fourier 𝐹𝑛 vai conter somente energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 com amplitude A2 Notar que em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 a fase é nula Exemplo 5 𝑓 𝑡 𝐵 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 7 𝑡 𝑤𝑜 2𝜋 7 𝑇 𝑤0 2𝜋 7 10 Período 0 t 7 𝑏𝑛 4 𝑇 0 𝑇 2 𝑓 𝑡 sen 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 4 𝑇 0 𝑇 2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜𝑡 sen 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 F 𝑛 𝑗 bn 2 ímpar 𝑠𝑒 𝑛 1 𝑏𝑛 4 𝑇 0 𝑇 2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜𝑡 sen 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 0 𝑠𝑒 𝑛 1 𝑏1 4 𝑇 0 𝑇 2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜𝑡 sen 1𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡 4𝐵 𝑇 𝑇 4 𝐵 F 𝑛 00 0 0 𝑗 B 2 0 𝑗 B 2 0 0 0 0 17 Hz Notar que ft tem somente uma frequência wo 2𝜋 7 com fase 𝜋2 pois é um seno e amplitude A A sua Série de Fourier 𝐹𝑛 vai conter somente energia em 𝑛 1 e 𝑛 1 com amplitude A2 Notar que em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 a fase é 𝜋2 e 𝜋2 respectivamente Exemplo 6 𝑓 𝑡 6 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 7 𝑡 8 cos 2𝜋 7 𝑡 𝑤𝑜 2𝜋 7 𝑇 𝑤0 2𝜋 7 10 Período 0 t 7 F 𝑛 𝑎𝑛 2 𝑗 bn 2 F 𝑛 00 0 0 4 2 𝑗 6 2 0 5 2 𝑗 6 2 0 0 0 0 𝐹 𝑛 𝐹 𝑛 17 Hz Notar que ft tem somente uma frequência wo 2𝜋 7 com fase atan 𝐴1 𝐴2 pois é uma combinação de um cosseno com amplitude 𝐴2 e um seno com amplitude 𝐴1 Q sua Série de Fourier 𝐹𝑛 vai conter somente energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 com amplitude 𝐴1 2 𝐴2 2 Notar que em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 a fase é atan 𝐴1 𝐴2 e atan 𝐴1 𝐴2 respectivamente 𝑓 𝑡 6 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜𝑡 8 cos 3𝑤𝑜𝑡 𝑤𝑜 2𝜋 7 𝑇 𝑤0 2𝜋 7 10 Período 0 t 7 Exemplo 7 17 Hz Notar que ft tem duas frequências w1 2𝜋 7 com fase 𝜋2 seno e amplitude 6 e w2 3 2𝜋 7 com fase 𝑧𝑒𝑟𝑜 cosseno e amplitude 8 Notar que período T de repetição é definido pela menor frequência 𝑤𝑜 e não por 3𝑤𝑜 A sua Série de Fourier 𝐹𝑛 vai conter energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 com amplitude 3 e fase 𝜋2 e 𝜋 2 energia em 𝑛 3 𝑒 𝑛 3 com amplitude 4 e fase zero Exemplo 8 𝑓 𝑡 10 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑜𝑡 10 cos 3𝑤𝑜𝑡 30𝑐𝑜𝑠4𝑤𝑜𝑡 𝜋 4 𝑤𝑜 2𝜋 7 𝑇 𝑤0 2𝜋 7 10 Período 0 t 7 17 Hz Notar que ft tem três frequências w1 2𝜋 7 com fase 𝜋2 seno e amplitude 10 e w2 3 2𝜋 7 com fase 𝑧𝑒𝑟𝑜 cosseno e amplitude 10 e w3 4 2𝜋 7 com fase 𝜋4 e amplitude 30 Notar que período T de repetição é definido pela menor frequência 𝑤𝑜 e não por 3𝑤𝑜 ou 4𝑤𝑜 A sua Série de Fourier 𝐹𝑛 vai conter energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 com amplitude 5 e fase 𝜋2 e 𝜋2 e energia em 𝑛 3 𝑒 𝑛 3 com amplitude 5 e fase zero e energia em 𝑛 4 𝑒 𝑛 4 com amplitude 15 fase 𝜋4 e 𝜋4 Exemplo 9 𝑓 𝑡 12 10 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑜𝑡 10 cos 3𝑤𝑜𝑡 30𝑐𝑜𝑠4𝑤𝑜𝑡 𝜋 4 𝑤𝑜 2𝜋 7 𝑇 𝑤0 2𝜋 7 10 Período 0 t 7 17 Hz Notar que ft tem três frequências w1 2𝜋 7 com fase 𝜋2 seno e amplitude 10 e w2 3 2𝜋 7 com fase 𝑧𝑒𝑟𝑜 cosseno e amplitude 10 e w3 4 2𝜋 7 com fase 𝜋4 e amplitude 30 e um nível DC de 12 Notar também que período T de repetição é definido pela menor frequência não nula 𝑤𝑜 e não por 3𝑤𝑜 ou 4𝑤𝑜 A sua Série de Fourier 𝐹𝑛 vai conter energia em 𝑛 1 𝑒 𝑛 1 com amplitude 5 e fase 𝜋2 e 𝜋2 e energia em 𝑛 3 𝑒 𝑛 3 com amplitude 5 e fase zero e energia em 𝑛 4 𝑒 𝑛 4 com amplitude 15 fase 𝜋4 e 𝜋4 e energia em 𝑛 0 com amplitude 12 Exemplo 10 Instrumentos Musicais Séries Harmônicas e Timbres Piano 392 Hz 392Hz 392Hz 392Hz 392Hz 392Hz Piano 392 Hz Piano 392Hz Com o auxílio da FFT que será vista no Módulo 12 calcula 14 harmônicos da Série de Fourier Média de um sinal periódico y1 com frequência central fc amostrado com frequência fs ini2267 ini10238 ini28252 Piano 392 Hz ini6238 ini20244 yfsaudioreadDadospianowav PlotSerieFourierMediaSinalyfs392 Violino Flauta Piano Trompete Sax Alto Sax Baixo 392Hz 392Hz 392Hz 392Hz 345Hz 130Hz Exemplo 11 Trem de pulsos retangulares CASO GERAL Período T 𝑤0 2𝜋 𝑇 Largura do pulso a Solução analítica para a Série 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 𝑎2 𝑢 𝑡 𝑎2 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑇 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 1 𝑇 𝑎 2 𝑎 2 1 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑛 1 𝑇 1 𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑎 2 𝑎 2 𝑤𝑜 2𝜋 1 𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑎 2 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑎 2 𝐹 𝑛 𝑎 𝑤𝑜 2𝜋 sin 𝑛𝑤𝑜𝑎 2 𝑛𝑤𝑜𝑎 2 𝑎 𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑛𝑤𝑜𝑎 2 a1 T25 a1 T10 a1 T100 Notar que quando o período T aumenta o espaçamento entre os harmônicos wo 2𝜋 𝑇 diminui e também diminuem os valores absolutos dos coeficientes 𝐹 𝑛 𝑎𝑇 Quando T aumenta notamos que a envoltória dos coeficientes converge para um 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 contínuo 01Hz 004Hz 001Hz 𝐹 𝑛 𝑎 𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑛𝜋𝑤𝑜𝑎 2 Chegamos à Série de Fourier 𝐹𝑛 tornando periódico o sinal 𝑓0𝑡 que era aperiódico e calculando no limite a sua Transformada de Fourier 𝐹𝑜𝑤 𝑓0𝑡 𝐹𝑜𝑤 𝑓𝑇 𝑡 𝐹 𝑛 Podemos voltar à Transformada de Fourier 𝐹𝑜𝑤 tornando aperiódico o sinal 𝑓𝑇 𝑡 que era periódico e calculando no limite a sua Série de Fourier 𝐹𝑛 𝑓𝑇 𝑡 𝐹 𝑛 𝑓0𝑡 𝐹𝑜𝑤 T 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑆é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑆é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 No limite quando o sinal se torna periódico teremos a série de Fourier No limite quanto T Teremos a Transformada de Fourier Como o período do trem de pulsos é T então a frequência fundamental 𝑤𝑜 2𝜋 𝑇 O espaçamento entre os harmônicos 𝑤 é igual à frequência fundamental 𝑤0 Notar que quando 𝑇 a função deixa de ser periódica somente se repete no infinito A função será então um pulso isolado que não se repete Notar que quanto 𝑇 𝑤 0 𝑤𝑜 0 𝑒 𝐹𝑛 0 Como o espaçamento 𝑤 0 a série discreta de coeficientes Fn tende a uma função contínua Como os coeficientes 𝐹 𝑛 0 quando 𝑇 𝐹 𝑛 1 𝑇 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡𝑑𝑡 0 No entanto o produto 𝐹 𝑛 𝑇 𝐹 𝑗𝑛𝑤𝑜 poderá convergir zero vezes infinito 𝐹 𝑗𝑛𝑤𝑜 𝐹 𝑛 𝑇 𝐹 𝑛 2𝜋 𝑤𝑜 𝐹 𝑛 2𝜋 𝑤 𝐹 𝑛 𝐹 𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑤 2𝜋 𝑓 𝑡 𝑛 𝐹 𝑛 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑛 𝐹 𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑤 2𝜋 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 lim 𝑇 1 2𝜋 𝑛 𝐹 𝑗𝑛𝑤𝑜 𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑤 𝑓 𝑡 1 2𝜋 𝐹𝑗𝑤𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑤 𝑇 𝑤 𝑑𝑤 𝑛𝑤𝑜 𝑤 Obtendo a Transformada de Fourier através do limite da Série de Fourier 𝐹𝑛 quando 𝑇