Est Matemática

Universidade de Brasília Departamento de Estatística Lista de Exercícios 2 Estatística Matemática R Vila 1 Verifique que X é uma variável aleatória em Ω ℱ ℙ desde que X também seja 2 Considere um espaço de probabilidade Ω ℱ ℙ e sejam E e F Ω com E ℱ mas F ℱ a A função indicadora de E 1E é variável aleatória b A função indicadora de F 1F é variável aleatória Rpt a Sim b Não 3 Sejam A1 A2 An eventos em Ω ℱ ℙ verifique se a X i1n 1Ai é variável aleatória b X Πi1n 1Ai é variável aleatória Rpt a Sim b Sim 4 Seja Ω ℱ ℙ um espaço de probabilidade com Ω 0 2 ℱ BΩ a σálgebra de Borel em Ω e ℙ uma probabilidade arbitrária Defina a função X como segue Xω ω1Aω ω11Acω ω Ω com A ω Ω 0 ω 1 Verifique que X é variável aleatória 5 Verifique que uma variável aleatória X é discreta em Ω ℱ ℙ se e somente se existir uma partição de eventos A1 A2 em Ω e constantes a1 a2 reais e distintas tais que X i1 ai1Ai 6 Para cada uma das expressões abaixo verifique se são função de probabilidade Caso não sejam indique se uma multiplicação por alguma constante poderia tornálas função de probabilidade a px 12x x 1 2 b px x20 x 1 2 3 4 c px x20 x 1 2 3 4 5 d px x12x x 2 3 Rpt a Sim b Sim c Não Tome a constante 2015 d Sim 7 Obtenha o valor ou valores de c para que as expressões abaixo sejam funções densidade a fx cosx 0 x c 0 x 0 ou x c b fx 0 x 1 cx 1 x 0 ce6x x 0 c fx cx2 c x c 0 x c ou x c d fx cx2 ex3 x 0 0 x 0 e fx c1f1x cf2x x ℝ onde f1 e f2 são densidades Rpt a c 4πn π2 com n ℕ b c 32 c c 3214 d c 3 e c ℝ 8 Verifique se a função abaixo é função de distribuição Fx 0 x 1 sin πx1 1 x 2 1 ex2 x 2 Rpt Não 9 Seja X uma variável aleatória contínua com densidade fx 1β 1 xαβ α β x α β 0 x α β ou x α β com α β e β 0 a Obtenha a função de distribuição de X b Determine q tal que ℙX q 025 Rpt a Fy 0 y α β 1β β2 yα yα22β α β y α 1β β2 yα yα22β α y α β 1 y α β b q α 1 05β α 029β 10 Para 0 α 1 seja X com func ao de distribuic ao Fx 0 x 0 αx 2 0 x 1 α1x 2 1 x 2 α11αx2 2 2 x 3 1 x 3 a Verifique que Fx satisfaz as propriedades de func ao distribuic ao b A variavel X e contınua Caso positivo encontre sua densidade Rpt a Faca o grafico e observe as propriedades b Sim fx α 2 0 x 1 1 2 1 x 2 1α 2 2 x 3 0 caso contrario 11 Uma variavel aleatoria contınua X tem a seguinte densidade fx c 1 x 0 23 0 x 1 2c 1 x 32 0 x 1 ou x 32 a Determine o valor de c b Determine a func ao de distribuic ao FX c Calcule PX 12X 12 d Qual valor de b tal que PX b PX b Rpt a c 16 b Fx 0 x 1 x1 6 1 x 0 1 6 2x 3 0 x 1 5 6 2x1 6 1 x 32 1 x 32 c 56 d b 12 12 Suponha que a variavel aleatoria Zµσ2 tenha distribuic ao normal com valor esperado µ R e variˆancia σ2 0 Seja W ασ ασ com α 0 a variavel com distribuic ao de Bernoulli de parˆametro p 12 e assuma que W e independente de Zµσ2 Obtenha a func ao de distribuic ao de X Zµσ2 W Rpt FXx 1 2FZασµσ2x 1 2FZασµσ2x 13 Considere a variavel X exp15 Defina a variavel aleatoria Y como segue Y 0 X d X d d X C d C X C d onde C d 0 sao constantes 3 a Obtenha a função de distribuição FY b Decomponha FY nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt a FYy 0 y 0 ed5 1 ey5 0 y C 1 y C b FYy αd Fdyαd αc Fcyαc αd 1 ed5 1 eC5 αc ed5 1 eC5 onde Fdy 0 y C 1 ed5 1 eC5 y C Fcy 0 y 0 ed5 1 ey5 0 y C ed5 1 eC5 y C 14 Seja X U2 2 Definimos a variável Y como segue Y 0 X 0 X 0 X 1 1 X 1 a Obtenha a função de distribuição FY b Decomponha FY nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt a FYy 0 y 0 y24 0 y 1 1 y 1 b FYy αd Fdyαd αc Fcyαc αd 34 αc 14 onde Fdy 0 y 0 24 0 y 1 34 y 1 Fcy 0 y 0 y4 0 y 1 14 y 1 15 A função de distribuição da variável aleatória X é dada por Fx 0 x 0 p 1p1 eλx x 0 onde p 01 e λ 0 Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt Fx αd Fdxαd αc Fcxαc αd p αc 1 p onde Fdx 0 x 0 p x 0 Fcx 0 x 0 1p1 eλx x 0 16 Considere a variável X N0 1 Defina a variável aleatória Y max0 X a Obtenha a função de distribuição FY b Decomponha FY nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt a FYy 0 y 0 Φy y 0 onde Φy 12π from to y ex22 dx b Fx αd Fdxαd αc Fcxαc αd αc 12 onde Fdy 0 y 0 12 y 0 Fcy 0 y 0 Φy 12 y 0 17 Seja X a variável aleatória com função de distribuição Fx 0 x 0 x3 0 x 12 8x732 12 x 2 1 4x5 x 2 Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt Fx αd Fdxαd αc Fcxαc αd 1232 αc 2032 onde Fdx 0 x 12 732 12 x 2 1232 x 2 Fcx 0 x 0 x3 0 x 12 18 832 x 12 12 x 2 2032 4x5 x 2 18 Seja X a variável aleatória com função de distribuição Fx 0 x 0 14 12 1 ex 0 x 1 12 12 1 ex x 1 Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt Fx αd Fdxαd αc Fcxαc αd αc 12 onde Fdx 0 x 0 14 0 x 1 12 x 1 Fcx 0 x 0 12 1 ex x 0 19 Seja X a variável aleatória com função de distribuição Fx 0 x 1 x5 1 x 15 lnx 15 x 225 1 x 225 Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua Rpt Fx αd Fdxαd αc Fcxαc αd 15 ln15 155 1 ln225 αc 15 15 ln225 ln15 onde Fdx 0 x 1 15 1 x 15 15 ln15 155 15 x 25 15 ln15 155 1 ln225 x 25 Fcx 0 x 1 x 15 1 x 15 15 15 lnx ln15 15 x 225 15 15 ln225 ln15 x 225 20 Determine a densidade de Y b aX a onde b a e X U01 Faça o gráfico da função de distribuição de Y Rpt Y Uab 21 Se X tem densidade fx e x24 x R qual a distribuição de Y X Rpt Y exp12 22 Verifique que a função Fxy 1 exy x 0 y 0 0 caso contrário não é função de distribuição de um vetor aleatório Rpt Como feito em aula veja que P0 X 1 0 Y 1 F11 F10 F01 F00 1 e2 21 e1 0 23 Verifique que a seguinte função é função de distribuição de algum vetor aleatório XY Fxy 1 ex1 ey x 0 y 0 0 caso contrário Rpt Para a1 b1 e a2 b2 use a seguinte fórmula Pa1 X b1 a2 Y b2 Fb1b2 Fb1a2 Fa1b2 Fa1a2 24 Ache a densidade conjunta e as distribuições marginais das variáveis aleatórias X e Y cuja função de distribuição conjunta está no Exercício 23 As variáveis X e Y são independentes Rpt fxy exy x 0 y 0 0 caso contrário As variáveis X e Y são independentes 25 Uma urna contém três bolas numeradas 12 e 3 Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna ao acaso e sem reposição Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda a Descreva a distribuição conjunta de X e Y b Calcule PX Y Rpt a pxy 16 x y e pxy 0 x y b PX Y 12 26 Determine as distribuições marginais das variáveis aleatórias discretas X e Y definidas no Exercício 25 As variáveis X e Y são independentes Rpt As variáveis X e Y não são independentes 27 Verifique que se a variável aleatória X é independente de si mesma então X é constante com probabilidade 1 Rpt Verifique que PX x0 1 onde x0 infx R FXx 1 28 Suponhamos que os tempos que dois estudantes demoram para resolverem um problema sejam independentes e exponenciais com parâmetro λ 0 Calcule a probabilidade do primeiro estudante demorar pelo menos duas vezes o tempo do segundo para resolver o problema Rpt 13 29 Um ponto é selecionado ao acaso isto é conforme uma distribuição uniforme do seguinte rombo G Sejam X e Y as coordenadas do ponto selecionado a Qual a densidade conjunta de X e Y b Obtenha a densidade marginal de X c X e Y são independentes Rpt a fxy 1AreaG xy G 0 xy G b fXx 0 x 1 or x 1 x 1 1 x 0 1 x 0 x 1 c Não