Estatistica - Anova

USPICMC SME SME816 Planejamento de Experimentos Tarefa 022025 ANOVA Nome NoUSP Os membros de uma equipe de corrida são divididos aleatoriamente em três grupos que treinam com métodos diferentes O primeiro grupo realiza corridas longas em ritmo moderado o segundo grupo faz treinos intervalados de alta intensidade e o terceiro grupo realiza treinamento de força na academia combinado com exercícios de técnica de corrida Após um mês de treinamento é realizado um teste de desempenho no qual os atletas percorrem 5 km em um tempo cronometrado Os tempos registrados foram os seguintes Método I Método II Método III 15 14 13 16 13 12 14 15 11 15 16 14 17 14 11 Com um nível de confiança de 95 os três métodos podem ser considerados como produtores de resultados equivalentes Ou pelo contrário existe algum método superior aos outros Com base nos tempos obtidos para cada grupo calcule o intervalo de confiança de 95 para o tempo médio de cada método de treinamento USPICMC SME SME816 Planejamento de Experimentos Tarefa 022025 ANOVA Nome NoUSP Os membros de uma equipe de corrida são divididos aleatoriamente em três grupos que treinam com métodos diferentes O primeiro grupo realiza corridas longas em ritmo moderado o segundo grupo faz treinos intervalados de alta intensidade e o terceiro grupo realiza treinamento de força na academia combinado com exercícios de técnica de corrida Após um mês de treinamento é realizado um teste de desempenho no qual os atletas percorrem 5 km em um tempo cronometrado Os tempos registrados foram os seguintes Método I Método II Método III 15 14 13 16 13 12 14 15 11 15 16 14 17 14 11 Com um nível de confiança de 95 os três métodos podem ser considerados como produtores de resultados equivalentes Ou pelo contrário existe algum método superior aos outros Com base nos tempos obtidos para cada grupo calcule o intervalo de confiança de 95 para o tempo médio de cada método de treinamento RESOLUÇÃO Hipóteses do teste 𝐻0 𝑎𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝐻1 𝐻á 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 Calculando a média em cada método 𝑋𝐼 𝑋1𝑖 5 𝑖1 5 15 16 14 15 17 5 77 5 154 𝑋𝐼𝐼 𝑋2𝑖 5 𝑖1 5 14 13 15 16 14 5 72 5 144 𝑋𝐼𝐼𝐼 𝑋3𝑖 5 𝑖1 5 13 12 11 14 11 5 61 5 122 Calculando a Média Geral 𝑋 154 144 122 3 42 3 14 Calculando a Soma de Quadrado dos Tratamentos 𝑆𝑄𝑇 𝑛 𝑋𝑖 𝑋2 3 𝑖1 5 154 142 144 142 122 142 5 196 016 324 5 536 268 Calculando a Soma de Qudrado do Erro 𝑆𝑄𝐸 𝑋𝑖𝑗 𝑋𝑗 2 5 𝑖1 3 𝑗1 15 1542 16 1542 14 1542 15 1542 17 1542 14 1442 13 1442 15 1442 16 1442 14 1442 13 1222 12 1222 11 1222 14 1222 11 1222 016 036 196 016 256 016 196 036 256 016 064 004 144 324 144 172 Calculando a Soma de Quadrado Total 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝐸 268 172 44 Encontrando o grau de liberdade dos tratamentos e do erro 𝐺𝐿𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑛𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 1 3 1 2 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 15 3 12 𝐺𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 1 15 1 14 Agora calculando os Quadrados Médios 𝑄𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑇 𝐺𝐿𝑡𝑟𝑎𝑡 268 2 134 𝑄𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝐸 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 172 12 14333 E por fim calculando a Estatpistica do teste 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑄𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑄𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜 134 14333 93488 Portanto a ANOVA será Fonte da variação GL SQ MQ F Tratamento 2 268 134 93488 Erro 12 172 14333 Total 14 44 Dado que o nível de confianla do teste é de 95 vamos comparar a estatistica calculada com o valor tabelado 𝐹212095 38853 Como o valor de F calculado é maior que o F tabelado ao nível de significância de 5 rejeitamos a hipótese nula Isso indica que com 95 de confiança pelo menos um dos métodos de treinamento apresenta uma diferença estatisticamente significativa em relação aos demais Para identificar especificamente quais métodos diferem entre si e verificar se existe um método superior aos outros aplicaremos o Teste de Tukey para comparações múltiplas entre as médias dos grupos Δ 𝑞123005 𝑄𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛 420 14333 5 225 𝑋𝐼 𝑋𝐼𝐼 154 144 1 Δ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑋𝐼 𝑋𝐼𝐼𝐼 154 122 32 Δ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑋𝐼𝐼 𝑋𝐼𝐼𝐼 144 122 22 Δ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 Resultado Final Método I a Método II A b Método III b Os resultados do Teste de Tukey indicam que não há diferença estatisticamente significativa entre os métodos I e II e entre os métodos II e III No entanto há uma diferença significativa entre o Método I e o Método III com o Método III apresentando o melhor desempenho pois teve o menor tempo médio Ou seja o Método III é significativamente melhor do que o Método I mas não houve evidência suficiente para afirmar que o Método III seja superior ao Método II Calculando o IC para o tempo médio dos Métodos 𝑃 𝑋 𝑇𝛼 24 𝑆2 𝑛 𝜇 𝑋 𝑇𝛼 24 𝑆2 𝑛 1 𝛼 Calculando as variâncias de cada método 𝑆𝐼 2 𝑋1𝑖 𝑋 2 5 𝑖1 5 1 016 036 196 016 256 4 52 4 13 𝑆𝐼𝐼 2 𝑋2𝑖 𝑋 2 5 𝑖1 5 1 016 196 036 256 016 4 52 4 13 𝑆𝐼𝐼𝐼 2 𝑋3𝑖 𝑋 2 5 𝑖1 5 1 064 004 144 324 144 4 68 4 17 IC do Método I 𝑃 154 27764 13 5 𝜇𝐼 154 27764 13 5 095 𝑃139843 𝜇𝐼 168157 095 𝐼𝐶𝜇𝐼095 1398 1682 IC do Método II 𝑃 144 27764 13 5 𝜇𝐼𝐼 144 27764 13 5 095 𝑃129843 𝜇𝐼 158157 095 𝐼𝐶𝜇𝐼𝐼095 1298 1582 IC do Método II 𝑃 122 27764 17 5 𝜇𝐼𝐼𝐼 122 27764 17 5 095 𝑃105811 𝜇𝐼 138189 095 𝐼𝐶𝜇𝐼𝐼𝐼095 1058 1382 USPICMC SME SME816 Planejamento de Experimentos Tarefa 022025 ANOVA Nome NoUSP Os membros de uma equipe de corrida são divididos aleatoriamente em três grupos que treinam com métodos diferentes O primeiro grupo realiza corridas longas em ritmo moderado o segundo grupo faz treinos intervalados de alta intensidade e o terceiro grupo realiza treinamento de força na academia combinado com exercícios de técnica de corrida Após um mês de treinamento é realizado um teste de desempenho no qual os atletas percorrem 5 km em um tempo cronometrado Os tempos registrados foram os seguintes Método I Método II Método III 15 14 13 16 13 12 14 15 11 15 16 14 17 14 11 Com um nível de confiança de 95 os três métodos podem ser considerados como produtores de resultados equivalentes Ou pelo contrário existe algum método superior aos outros Com base nos tempos obtidos para cada grupo calcule o intervalo de confiança de 95 para o tempo médio de cada método de treinamento RESOLUÇÃO Hipóteses do teste H 0 asmédiados métodos sãoiguais H 1 Há pelomenosuma médiaquediferedas demais Calculando a média em cada método X I i1 5 X1i 5 1516141517 5 77 5 154 X I I i1 5 X2i 5 1413151614 5 72 5 1 44 X II I i1 5 X3i 5 1312111411 5 61 5 122 Calculando a Média Geral X15 414 4122 3 42 3 14 Calculando a Soma de Quadrado dos Tratamentos SQTn i1 3 XiX 2515414 214 414 212214 25196016324 5536268 Calculando a Soma de Qudrado do Erro SQE j1 3 i1 5 XijX j 21515 4 216154 214154 215154 21715 4 214144 21314 4 215144 216144 21414 4 213122 212122 211122 214122 211122 20160361960162560161960362560 16064004144324144172 Calculando a Soma de Quadrado Total SQTSQT SQE26817244 Encontrando o grau de liberdade dos tratamentos e do erro G Ltratngrupos1312 G Lerronobservaçõesngrupos15312 G Ltotalnobservações115114 Agora calculando os Quadrados Médios Q M trat SQT G Ltrat 268 2 134 Q M erro SQE G Lerro 172 12 14333 E por fim calculando a Estatpistica do teste Fcalc Q M trat Q M erro 134 1433393488 Portanto a ANOVA será Fonte da variação GL SQ MQ F Tratamento 2 268 134 93488 Erro 12 172 14333 Total 14 44 Dado que o nível de confianla do teste é de 95 vamos comparar a estatistica calculada com o valor tabelado F 2120 9538853 Como o valor de F calculado é maior que o F tabelado ao nível de significância de 5 rejeitamos a hipótese nula Isso indica que com 95 de confiança pelo menos um dos métodos de treinamento apresenta uma diferença estatisticamente significativa em relação aos demais Para identificar especificamente quais métodos diferem entre si e verificar se existe um método superior aos outros aplicaremos o Teste de Tukey para comparações múltiplas entre as médias dos grupos Δq12 3 005 Q M erro n 4 20 14333 5 225 XIXII15 41441 Δdiferençanão é significativa XIXII I15412232 Δdiferençaé significativa XI IX II I14 412222 Δdiferençanãoé significativa Resultado Final Método I a Método II A b Método III b Os resultados do Teste de Tukey indicam que não há diferença estatisticamente significativa entre os métodos I e II e entre os métodos II e III No entanto há uma diferença significativa entre o Método I e o Método III com o Método III apresentando o melhor desempenho pois teve o menor tempo médio Ou seja o Método III é significativamente melhor do que o Método I mas não houve evidência suficiente para afirmar que o Método III seja superior ao Método II Calculando o IC para o tempo médio dos Métodos P XT α 2 4 S 2 n μ XT α 2 4 S 2 n 1α Calculando as variâncias de cada método SI 2 i1 5 X1iX 2 51 016036196016256 4 52 4 13 SI I 2 i1 5 X2iX 2 51 0161960362560 16 4 52 4 13 SI II 2 i1 5 X3iX 2 51 0 6 40041443241 44 4 68 4 17 IC do Método I P15427764 13 5 μI 15 427764 13 5 095 P 139843μI 168157 095 I C μI 095 13 981682 IC do Método II P14 427764 13 5 μI I 1 4427764 13 5 095 P 129843μI 158157095 I C μI I 0 9512981582 IC do Método II P12227764 17 5 μI II 12227764 17 5 095 P 105811 μI13 8189095 I C μI II 095 10 581382