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Geologia ·
Física 2
· 2021/2
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Variação da pressão atmosférica com a altura • Considerando que a atmosfera é feita de um gás ideal, podemos ter uma equação para determinar qual é a pressão atmosférica em uma determinada altura. P = -\rho gy dP = -\rho g . dy \rho = \frac{PM}{RT} dP = -\frac{PM}{RT} g . dy \frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = -\int_{y_1}^{y_2} \frac{Mg}{RT} dy \ln \frac{P_2}{P_1} = -\frac{Mg}{RT} (y_2 - y_1) \frac{P_2}{P_1} = e^{-Mg(y_2-y_1)/RT} P = P_0 e^{-Mgy/RT} y = 0 P_0 = 1,013.10^5 Pa Velocidades Moleculares • Calculamos a velocidade quadrática média usando a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann. (v^2)_{méd} = \int_0^\infty v^2 f(v) dv f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/2kT} T_3 > T_2 > T_1 Superfície PVT Ponto crítico Sólido Líquido Gás VOLUME TEMPERATURA PRESSÃO Líquido-Vapor Sólido-Vapor Sólido-Líquido Linha tripla Sistemas hidrostáticos Se tivermos pressão constante: \frac{dV}{V} = \beta dT - k dP \quad dP = 0 \frac{dV}{V} = \beta dT \int_{V_0}^{V} \frac{dV}{V} = \int_{T_0}^{T} \beta dT \ln V - \ln V_0 = \beta (T - T_0) \ln \left( \frac{V}{V_0} \right) = \beta \Delta T \quad \frac{V}{V_0} = e^{\beta \Delta T} V = V_0 e^{\beta \Delta T} \quad \Delta T \ll 1 \beta \Delta T \ll 1 \quad e^{\beta \Delta T} = 1 + \beta \Delta T V = V_0 (1 + \beta \Delta T) V = V_0 + V_0 \beta \Delta T V - V_0 = +V_0 \beta \Delta T \Delta V = V_0 \beta \Delta T \quad \text{Dilatação volumétrica} Sistemas de um fio tensionado • É um sistema em que um fio é esticado por uma tensão e que pode sofrer variação de temperatura. Tais sistemas podem ser descritos com o auxílio de 3 parâmetros (L, F, T), consideradas coordenadas. As equações de estado para esses sistemas relacionam L, F e T. Tais equações são da forma: 𝑓𝑓 𝐿𝐿, 𝐹𝐹, 𝑇𝑇 = 0 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿(𝐹𝐹, 𝑇𝑇) 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝜕𝜕 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓(𝜕𝜕, 𝑦𝑦) 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹(𝐿𝐿, 𝑇𝑇) 𝐿𝐿: comprimento do fio 𝐹𝐹: tensão do fio 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝐿𝐿, 𝐹𝐹) 𝑇𝑇: temperatura Sistemas de um fio tensionado 𝛼𝛼 = 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝐿𝐿 = 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝐹𝐹 1 𝑌𝑌. 𝐴𝐴 = 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 Coeficiente de dilatação linear Módulo de Young 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝐿𝐿 = 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 1 𝑌𝑌. 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝛼𝛼 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 Δ𝑇𝑇 ≪ 1 𝑌𝑌 = 𝐿𝐿 𝐴𝐴 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑇𝑇 𝐴𝐴 é a espessura do fio Sistemas de um fio tensionado Se tivermos tensão constante: \frac{dL}{L} = \alpha dT + \frac{1}{Y \cdot A} dF \quad dF = 0 \frac{dL}{L} = \alpha dT \int_{L_0}^{L} \frac{dL}{L} = \int_{T_0}^{T} \alpha dT \ln L - \ln L_0 = \alpha (T - T_0) \ln \left( \frac{L}{L_0} \right) = \alpha \Delta T \quad \frac{L}{L_0} = e^{\alpha \Delta T} L = L_0 e^{\alpha \Delta T} \quad \Delta T \ll 1 \alpha \Delta T \ll 1 \quad e^{\alpha \Delta T} = 1 + \alpha \Delta T L = L_0 (1 + \alpha \Delta T) L = L_0 + L_0 \alpha \Delta T L - L_0 = +L_0 \alpha \Delta T \Delta L = L_0 \alpha \Delta T \quad \text{Dilatação linear} Equações de estado 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉(𝑃𝑃, 𝑇𝑇) 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃(𝑉𝑉, 𝑇𝑇) 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑉𝑉 = 𝛽𝛽𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡: Massa total da substância 𝑛𝑛: Número de mols 𝑛𝑛: Massa molar da substância 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑁𝑁: número de moléculas; 𝑁𝑁𝐴𝐴: número de Avogadro = 6,02. 1023 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙 • São equações que relacionam as variáveis de estado. O volume V de uma substância geralmente e determinado por sua pressão P, temperatura T e pela quantidade de substância, descrita pela massa 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ou pelo numero de mols 𝑛𝑛. Equações de estado \frac{dV}{V} = \beta dT - k dP \int_{V_0}^{V} \frac{dV}{V} = \int_{T_0}^{T} \beta dT - \int_{P_0}^{P} k dP V = V_0 \left[1 + \beta (T - T_0) - k (P - P_0)\right] Existe um sinal negativo antes de k(P - P_0) porque um aumento de pressão produz uma diminuição do volume. Coeficiente de dilatação volumétrica \beta = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P Compressibilidade Isotérmica k = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T Temperatura • A temperatura é uma grandeza macroscópica que descreve uma propriedade interna de um sistema: o grau de agitação das moléculas. 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 Energia cinética translacional média 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2𝑁𝑁 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2 𝑛𝑛 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝑘𝑘: constante de Boltzmann 𝑘𝑘 = 1,381.10−23𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐.𝐾𝐾 Energia cinética translacional média • Como a temperatura é proporcional a energia cinética, se tomarmos a energia cinética média de muitas partículas teremos. 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑁𝑁 = 1 2 𝑚𝑚 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑁𝑁 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 1 2 𝑚𝑚 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝑚𝑚: massa de uma molécula 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚: valor médio do quadrado das velocidades moleculares 𝑘𝑘: Constante de Boltzmann 𝑇𝑇: Temperatura absoluta do gás 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑣𝑣𝑥𝑥2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑦𝑦2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑧𝑧2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Volume • Volume de algumas formas geométricas: 𝑉𝑉 = 𝑐𝑐3 𝑉𝑉 = 𝑐𝑐. 𝑏𝑏. 𝑐𝑐 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋. 𝑟𝑟2. ℎ Lembre-se que 1000𝑙𝑙 = 1𝑚𝑚3 Pressão • Pressão é a grandeza física que mede a força aplicada perpendicularmente a uma superfície. 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 𝐴𝐴 𝑃𝑃: pressão (𝑃𝑃𝑐𝑐 ou 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚) 𝐹𝐹: força (𝑁𝑁) 𝐴𝐴: área (𝑚𝑚𝑚) Pressão atmosférica = 1,01. 105𝑃𝑃𝑐𝑐 1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 1,01. 105𝑃𝑃𝑐𝑐 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚 Pressão •Quantidade média de choques das partículas entre si e entre as paredes do recipiente. Colisões com a parede Colisões entre as partículas 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑃𝑃𝑉𝑉 Energia cinética translacional média 3 2 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 3 2 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑁𝑁 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇 Equação do gás ideal • É outro tipo simples de equação de estado. Relaciona P, V e T e o número de mols 𝑛𝑛. 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛 = 8,3144621 𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 𝑃𝑃: Pressão (𝑃𝑃𝑐𝑐) 𝑉𝑉: Volume (𝑚𝑚𝑚) 𝑇𝑇: Temperatura (𝐾𝐾) 𝑛𝑛: número de mols (𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙) 𝑛𝑛: Constante universal dos gases Densidade de um gás ideal • Em um gás ideal podemos escrever a densidade em termo das variáveis de estado. 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝜌𝜌𝑛𝑛𝑇𝑇 𝜌𝜌 = 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 Massa constante em um gás ideal • São equações que relacionam as variáveis de estado. O volume V de uma substancia geralmente e determinado por sua pressão P, temperatura T e pela quantidade de substancia, descrita pela massa 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ou pelo numero de mols 𝑛𝑛. 𝑃𝑃𝑉𝑉 𝑇𝑇 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 8,3144621𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 Constante dos gases ideais: 𝑃𝑃1𝑉𝑉1 𝑇𝑇1 = 𝑃𝑃2𝑉𝑉2 𝑇𝑇2 Transformações gasosas Volume Pressão Temperatura Estado inicial Estado final • Transformações são alterações no estado de um sistema. 𝑃𝑃1𝑉𝑉1 𝑇𝑇1 = 𝑃𝑃2𝑉𝑉2 𝑇𝑇2 𝐹𝐹 Variação da pressão atmosférica com a altura 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃0𝑐𝑐−𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦/𝑅𝑅𝑇𝑇 Equação de Van der Waals • Pequenas correções são feitas nessa equação, considerando que as partículas tem atração uma sobre a outra e que as moléculas possuem volume. Assim, as constantes a e b assumem valores diferentes para cada gás. 𝑃𝑃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛2 𝑉𝑉2 (𝑉𝑉 − 𝑛𝑛𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛 = 8,3144621 𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 𝑃𝑃: Pressão (𝑃𝑃𝑐𝑐) 𝑉𝑉: Volume (𝑚𝑚𝑚) 𝑇𝑇: Temperatura (𝐾𝐾) 𝑛𝑛: número de mols (𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙) 𝑛𝑛: Constante universal dos gases Diferença entre equações 𝑃𝑃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛2 𝑉𝑉2 (𝑉𝑉 − 𝑛𝑛𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 Diferença entre equações 𝑃𝑃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛2 𝑉𝑉2 (𝑉𝑉 − 𝑛𝑛𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 O Calor • Calor é a energia na forma térmica que se transfere de um corpo para outro, ou em outras palavras, a energia térmica em trânsito. 𝑄𝑄 = 𝑚𝑚. 𝑐𝑐. ∆𝑇𝑇 𝑄𝑄 = 𝑚𝑚. 𝐿𝐿 Condução Convecção Irradiação 𝐻𝐻 = 𝑘𝑘𝐴𝐴 𝑇𝑇𝐻𝐻 − 𝑇𝑇𝐶𝐶 𝐿𝐿 Calor específico de um gás • Se o volume for constante, e considerarmos apenas a energia cinética translacional, podemos deduzir que o calor específico de um gás ideal será: 𝐶𝐶 = 1 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑉𝑉𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑄𝑄 = 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑉𝑉𝑑𝑑𝑇𝑇 Mas 𝑄𝑄 = 𝐸𝐸𝐶𝐶 ou 𝑑𝑑𝑄𝑄 = 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑉𝑉𝑑𝑑𝑇𝑇 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 3 2 𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 12,47 𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 Calor específico de um gás • Considerarmos energia cinética translacional e rotacional teremos: 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 5 2 𝑛𝑛 Referência • NUSSENZVEIG, M.. Curso de Física Básica, Vol 2. Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. 4 ed. Blucher: São Paulo, 2013. • Young, Hugh D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
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Variação da pressão atmosférica com a altura • Considerando que a atmosfera é feita de um gás ideal, podemos ter uma equação para determinar qual é a pressão atmosférica em uma determinada altura. P = -\rho gy dP = -\rho g . dy \rho = \frac{PM}{RT} dP = -\frac{PM}{RT} g . dy \frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = -\int_{y_1}^{y_2} \frac{Mg}{RT} dy \ln \frac{P_2}{P_1} = -\frac{Mg}{RT} (y_2 - y_1) \frac{P_2}{P_1} = e^{-Mg(y_2-y_1)/RT} P = P_0 e^{-Mgy/RT} y = 0 P_0 = 1,013.10^5 Pa Velocidades Moleculares • Calculamos a velocidade quadrática média usando a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann. (v^2)_{méd} = \int_0^\infty v^2 f(v) dv f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/2kT} T_3 > T_2 > T_1 Superfície PVT Ponto crítico Sólido Líquido Gás VOLUME TEMPERATURA PRESSÃO Líquido-Vapor Sólido-Vapor Sólido-Líquido Linha tripla Sistemas hidrostáticos Se tivermos pressão constante: \frac{dV}{V} = \beta dT - k dP \quad dP = 0 \frac{dV}{V} = \beta dT \int_{V_0}^{V} \frac{dV}{V} = \int_{T_0}^{T} \beta dT \ln V - \ln V_0 = \beta (T - T_0) \ln \left( \frac{V}{V_0} \right) = \beta \Delta T \quad \frac{V}{V_0} = e^{\beta \Delta T} V = V_0 e^{\beta \Delta T} \quad \Delta T \ll 1 \beta \Delta T \ll 1 \quad e^{\beta \Delta T} = 1 + \beta \Delta T V = V_0 (1 + \beta \Delta T) V = V_0 + V_0 \beta \Delta T V - V_0 = +V_0 \beta \Delta T \Delta V = V_0 \beta \Delta T \quad \text{Dilatação volumétrica} Sistemas de um fio tensionado • É um sistema em que um fio é esticado por uma tensão e que pode sofrer variação de temperatura. Tais sistemas podem ser descritos com o auxílio de 3 parâmetros (L, F, T), consideradas coordenadas. As equações de estado para esses sistemas relacionam L, F e T. Tais equações são da forma: 𝑓𝑓 𝐿𝐿, 𝐹𝐹, 𝑇𝑇 = 0 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿(𝐹𝐹, 𝑇𝑇) 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝜕𝜕 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓(𝜕𝜕, 𝑦𝑦) 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹(𝐿𝐿, 𝑇𝑇) 𝐿𝐿: comprimento do fio 𝐹𝐹: tensão do fio 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝐿𝐿, 𝐹𝐹) 𝑇𝑇: temperatura Sistemas de um fio tensionado 𝛼𝛼 = 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝐿𝐿 = 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝐹𝐹 1 𝑌𝑌. 𝐴𝐴 = 1 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝑇𝑇 Coeficiente de dilatação linear Módulo de Young 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝐿𝐿 = 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 1 𝑌𝑌. 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝛼𝛼 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 Δ𝑇𝑇 ≪ 1 𝑌𝑌 = 𝐿𝐿 𝐴𝐴 𝜕𝜕𝐹𝐹 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑇𝑇 𝐴𝐴 é a espessura do fio Sistemas de um fio tensionado Se tivermos tensão constante: \frac{dL}{L} = \alpha dT + \frac{1}{Y \cdot A} dF \quad dF = 0 \frac{dL}{L} = \alpha dT \int_{L_0}^{L} \frac{dL}{L} = \int_{T_0}^{T} \alpha dT \ln L - \ln L_0 = \alpha (T - T_0) \ln \left( \frac{L}{L_0} \right) = \alpha \Delta T \quad \frac{L}{L_0} = e^{\alpha \Delta T} L = L_0 e^{\alpha \Delta T} \quad \Delta T \ll 1 \alpha \Delta T \ll 1 \quad e^{\alpha \Delta T} = 1 + \alpha \Delta T L = L_0 (1 + \alpha \Delta T) L = L_0 + L_0 \alpha \Delta T L - L_0 = +L_0 \alpha \Delta T \Delta L = L_0 \alpha \Delta T \quad \text{Dilatação linear} Equações de estado 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉(𝑃𝑃, 𝑇𝑇) 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃(𝑉𝑉, 𝑇𝑇) 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑉𝑉 = 𝛽𝛽𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡: Massa total da substância 𝑛𝑛: Número de mols 𝑛𝑛: Massa molar da substância 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑁𝑁: número de moléculas; 𝑁𝑁𝐴𝐴: número de Avogadro = 6,02. 1023 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙 • São equações que relacionam as variáveis de estado. O volume V de uma substância geralmente e determinado por sua pressão P, temperatura T e pela quantidade de substância, descrita pela massa 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ou pelo numero de mols 𝑛𝑛. Equações de estado \frac{dV}{V} = \beta dT - k dP \int_{V_0}^{V} \frac{dV}{V} = \int_{T_0}^{T} \beta dT - \int_{P_0}^{P} k dP V = V_0 \left[1 + \beta (T - T_0) - k (P - P_0)\right] Existe um sinal negativo antes de k(P - P_0) porque um aumento de pressão produz uma diminuição do volume. Coeficiente de dilatação volumétrica \beta = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P Compressibilidade Isotérmica k = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T Temperatura • A temperatura é uma grandeza macroscópica que descreve uma propriedade interna de um sistema: o grau de agitação das moléculas. 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 Energia cinética translacional média 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2𝑁𝑁 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2 𝑛𝑛 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2𝑁𝑁 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝑘𝑘: constante de Boltzmann 𝑘𝑘 = 1,381.10−23𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐.𝐾𝐾 Energia cinética translacional média • Como a temperatura é proporcional a energia cinética, se tomarmos a energia cinética média de muitas partículas teremos. 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑁𝑁 = 1 2 𝑚𝑚 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑁𝑁 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 1 2 𝑚𝑚 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝑚𝑚: massa de uma molécula 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚: valor médio do quadrado das velocidades moleculares 𝑘𝑘: Constante de Boltzmann 𝑇𝑇: Temperatura absoluta do gás 𝑣𝑣2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑣𝑣𝑥𝑥2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑦𝑦2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑧𝑧2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Volume • Volume de algumas formas geométricas: 𝑉𝑉 = 𝑐𝑐3 𝑉𝑉 = 𝑐𝑐. 𝑏𝑏. 𝑐𝑐 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋. 𝑟𝑟2. ℎ Lembre-se que 1000𝑙𝑙 = 1𝑚𝑚3 Pressão • Pressão é a grandeza física que mede a força aplicada perpendicularmente a uma superfície. 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 𝐴𝐴 𝑃𝑃: pressão (𝑃𝑃𝑐𝑐 ou 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚) 𝐹𝐹: força (𝑁𝑁) 𝐴𝐴: área (𝑚𝑚𝑚) Pressão atmosférica = 1,01. 105𝑃𝑃𝑐𝑐 1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 1,01. 105𝑃𝑃𝑐𝑐 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚 Pressão •Quantidade média de choques das partículas entre si e entre as paredes do recipiente. Colisões com a parede Colisões entre as partículas 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑃𝑃𝑉𝑉 Energia cinética translacional média 3 2 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 3 2 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑁𝑁 = 3 2 𝑘𝑘𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇 Equação do gás ideal • É outro tipo simples de equação de estado. Relaciona P, V e T e o número de mols 𝑛𝑛. 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛 = 8,3144621 𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 𝑃𝑃: Pressão (𝑃𝑃𝑐𝑐) 𝑉𝑉: Volume (𝑚𝑚𝑚) 𝑇𝑇: Temperatura (𝐾𝐾) 𝑛𝑛: número de mols (𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙) 𝑛𝑛: Constante universal dos gases Densidade de um gás ideal • Em um gás ideal podemos escrever a densidade em termo das variáveis de estado. 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝜌𝜌𝑛𝑛𝑇𝑇 𝜌𝜌 = 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 Massa constante em um gás ideal • São equações que relacionam as variáveis de estado. O volume V de uma substancia geralmente e determinado por sua pressão P, temperatura T e pela quantidade de substancia, descrita pela massa 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ou pelo numero de mols 𝑛𝑛. 𝑃𝑃𝑉𝑉 𝑇𝑇 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 8,3144621𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 Constante dos gases ideais: 𝑃𝑃1𝑉𝑉1 𝑇𝑇1 = 𝑃𝑃2𝑉𝑉2 𝑇𝑇2 Transformações gasosas Volume Pressão Temperatura Estado inicial Estado final • Transformações são alterações no estado de um sistema. 𝑃𝑃1𝑉𝑉1 𝑇𝑇1 = 𝑃𝑃2𝑉𝑉2 𝑇𝑇2 𝐹𝐹 Variação da pressão atmosférica com a altura 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃0𝑐𝑐−𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦/𝑅𝑅𝑇𝑇 Equação de Van der Waals • Pequenas correções são feitas nessa equação, considerando que as partículas tem atração uma sobre a outra e que as moléculas possuem volume. Assim, as constantes a e b assumem valores diferentes para cada gás. 𝑃𝑃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛2 𝑉𝑉2 (𝑉𝑉 − 𝑛𝑛𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛 = 8,3144621 𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 𝑃𝑃: Pressão (𝑃𝑃𝑐𝑐) 𝑉𝑉: Volume (𝑚𝑚𝑚) 𝑇𝑇: Temperatura (𝐾𝐾) 𝑛𝑛: número de mols (𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙) 𝑛𝑛: Constante universal dos gases Diferença entre equações 𝑃𝑃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛2 𝑉𝑉2 (𝑉𝑉 − 𝑛𝑛𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 Diferença entre equações 𝑃𝑃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛2 𝑉𝑉2 (𝑉𝑉 − 𝑛𝑛𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 O Calor • Calor é a energia na forma térmica que se transfere de um corpo para outro, ou em outras palavras, a energia térmica em trânsito. 𝑄𝑄 = 𝑚𝑚. 𝑐𝑐. ∆𝑇𝑇 𝑄𝑄 = 𝑚𝑚. 𝐿𝐿 Condução Convecção Irradiação 𝐻𝐻 = 𝑘𝑘𝐴𝐴 𝑇𝑇𝐻𝐻 − 𝑇𝑇𝐶𝐶 𝐿𝐿 Calor específico de um gás • Se o volume for constante, e considerarmos apenas a energia cinética translacional, podemos deduzir que o calor específico de um gás ideal será: 𝐶𝐶 = 1 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑉𝑉𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑄𝑄 = 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑉𝑉𝑑𝑑𝑇𝑇 Mas 𝑄𝑄 = 𝐸𝐸𝐶𝐶 ou 𝑑𝑑𝑄𝑄 = 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇 𝑛𝑛𝐶𝐶𝑉𝑉𝑑𝑑𝑇𝑇 = 3 2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑇𝑇 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 3 2 𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 12,47 𝐽𝐽/𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙.𝐾𝐾 Calor específico de um gás • Considerarmos energia cinética translacional e rotacional teremos: 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 5 2 𝑛𝑛 Referência • NUSSENZVEIG, M.. Curso de Física Básica, Vol 2. Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. 4 ed. Blucher: São Paulo, 2013. • Young, Hugh D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.