Analise de Velocidade e Aceleracao Angular em Bielas e Pistões - Exercícios Resolvidos

1663 Determine a velocidade do centro de gravidade G da biela no instante mostrado O pistão P está se deslocando para cima com uma velocidade de 75 ms 16143 Em um dado instante a barra AB tem os movimentos angulares mostrados Determine a velocidade angular e a aceleração angular da barra CD nesse instante Há um anel em C Questão 1663 Diagrama auxiliar Cálculo da distância AP usando a lei dos cossenos 𝐵𝑃2 𝐴𝑃2 𝐴𝐵2 2 𝐴𝑃 𝐴𝐵 cos 𝛽 1252 𝐴𝑃2 36252 2 𝐴𝑃 3625 cos 30 15625 𝐴𝑃2 13140625 627868 𝐴𝑃 𝐴𝑃2 627868 𝐴𝑃 143109375 0 𝐴𝑃 627868 6278682 4143109375 2 𝐴𝑃 1550724 𝑚𝑚 01551 𝑚 Usando novamente a lei dos cossenos Derivando em relação ao tempo 𝐵𝑃2 𝐴𝑃2 𝐴𝐵2 2 𝐴𝑃 𝐴𝐵 cos 𝛽 0 2 𝐴𝑃 𝐴𝑃 0 2 𝐴𝑃 𝐴𝐵 sin𝛽 𝛽 2 𝐴𝑃 𝐴𝐵 cos 𝛽 0 2 𝐴𝑃 𝐴𝑃 2 𝐴𝑃 𝐴𝐵 sin 𝛽 𝛽 2 𝐴𝑃 𝐴𝐵 cos 𝛽 0 2 01551 𝑚 𝑠 75 𝑚 𝑠 2 01551 𝑚 003625 𝑚 sin30 𝛽 2 75 𝑚 𝑠 003625 𝑚 cos 30 0 23265 𝑚2 𝑠 0005622 𝑚2 𝛽 04709 𝑚2 𝑠 𝛽 04709 23265 000562 𝛽 3301779 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑒𝑠𝑠𝑎 é 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑚 𝐴 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎 Usando a lei dos senos sin𝛼 𝐴𝐵 sin 𝛽 𝐵𝑃 sin 𝛼 3625 sin 30 125 𝛼 arcsin 3625 125 sin 30 𝛼 834 Usando novamente a lei dos senos Derivando em relação ao tempo sin𝛼 𝐴𝐵 sin 𝛽 𝐵𝑃 𝛼 cos 𝛼 𝐴𝐵 𝛽 cos 𝛽 𝐵𝑃 𝛼 cos 834 3625 3301779 cos 30 125 𝛼 3301779 3625 cos 30 125 cos 834 𝛼 838096 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑒𝑠𝑡á é 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑚 𝑃 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎 Adotando um sistema de referência convencional com x positivo para a direita e positivo para cima Velocidades conhecidas expressas no sistema de coordenadas 𝑉 𝑃 75 𝑚 𝑠 𝑗 𝑤 𝐴𝐵 3301779 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑤 𝐵𝑃 838096 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Posição do ponto G no sistema de coordenadas 𝑟 𝐺 𝐵𝑃 sin 𝛼 𝑖 cos 𝛼 𝑗 𝑟 𝐺 0125 𝑚 sin834 𝑖 cos 834 𝑗 𝑟 𝐺 001813 𝑚 𝑖 01237 𝑚 𝑗 Cálculo da velocidade do ponto G 𝑉 𝐺 𝑉 𝑃 𝑉 𝐺𝑃 𝑉 𝐺 𝑉 𝑃 𝑤 𝐵𝑃 𝑋 𝑟 𝐺 𝑉 𝐺 75 𝑗 838096 𝑘 𝑋 001813 𝑖 01237 𝑗 𝑉 𝐺 75 𝑗 838096001813 𝑘 𝑋 𝑖 83809601237 𝑘 𝑋 𝑗 𝑉 𝐺 75 𝑗 15195 𝑘 𝑋 𝑖 103672 𝑘 𝑋 𝑗 𝑉 𝐺 75 𝑗 15195 𝑗 103672 𝑖 𝑽 𝑮 𝟏𝟎 𝟑𝟔𝟕𝟐 𝒎 𝒔 𝒊 𝟓 𝟗𝟖𝟎𝟓 𝒎 𝒔 𝒋 Em módulo 𝑉𝐺 1036722 598052 𝑽𝑮 𝟏𝟏 𝟗𝟔𝟖𝟓 𝒎𝒔 Questão 16141 Inclinação da linha da ranhura Os seguimentos perpendiculares 03 metros e 03 metros determinam um quadrado A diagonal BC do quadrado forma 45 com o lado BD Cálculo da velocidade escalar do ponto B 𝑉𝐵 𝑤𝐴𝐵 𝑟𝐴𝐵 𝑉𝐵 10 𝑟𝑎𝑑 𝑠 03 𝑚 𝑉𝐵 3 𝑚𝑠 Cálculo do ângulo que a velocidade do ponto B forma com a diagonal BC 𝜃 45 30 𝜃 15 Apenas a componente normal à ranhura transmite movimento ao braço BCD A componente tangente apenas desliza sobre o braço Cálculo da componente normal da velocidade sobre o braço BCD 𝑉𝑁 𝑉𝐵 sin 30 𝑉𝑁 3 sin30 𝑉𝑁 15 𝑚𝑠 Cálculo da distância BC 𝑑𝐵𝐶 032 032 𝑑𝐵𝐶 04243 𝑚 Cálculo da velocidade angular da Barra BCD 𝑉 𝑁 𝑤 𝐵𝐶𝐷 𝑋 𝑑 𝐵𝐶 𝑉𝑁 𝑤𝐵𝐶𝐷 𝑑𝐵𝐶 sin 𝜃 𝑤𝐵𝐶𝐷 15 𝑚𝑠 04243 𝑚 sin 45 𝒘𝑩𝑪𝑫 𝟓 𝒓𝒂𝒅𝒔 Sentido Anti horário Questão 16143 Desenho auxiliar A barra d muda de comprimento devido ao anel As outras barras são constantes Usando a lei dos cossenos Derivando em relação ao tempo 𝑎2 𝑐2 𝑑2 2 𝑐 𝑑 cos 𝐴 0 0 2 𝑑 𝑑 2 𝑐 𝑑 cos 𝐴 2 𝑐 𝑑 sin 𝐴 𝐴 0 𝑑 𝑑 𝑐 𝑑 cos 𝐴 𝑐 𝑑 sin𝐴 𝐴 0 2 𝑑 2 𝑑 cos 60 22 sin 60 5 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑑 173205 𝑚 𝑠 𝑒𝑠𝑡á é 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 d aumenta Derivando novamente a relação obtida em relação ao tempo 0 𝑑 𝑑 𝑐 𝑑 cos 𝐴 𝑐 𝑑 sin𝐴 𝐴 0 𝑑 𝑑 𝑑2 𝑐 𝑑 cos 𝐴 𝑐 𝑑 sin 𝐴 𝐴 𝑐 𝑑 sin𝐴 𝐴 𝑐 𝑑 cos 𝐴 𝐴2 𝑐 𝑑 sin 𝐴 𝐴 0 𝑑 𝑑 𝑑2 𝑐 𝑑 cos 𝐴 𝑐 𝑑 sin 𝐴 𝐴 𝑐 𝑑 sin 𝐴 𝐴 𝑐 𝑑 cos𝐴 𝐴2 𝑐 𝑑 sin𝐴 𝐴 0 2 𝑑 1732052 2 𝑑 cos 60 2173205 sin60 5 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2173205 sin60 5 𝑟𝑎𝑑 𝑠 22 cos 60 5 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 22 sin 60 12 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 0 2 𝑑 3999997 𝑑 1499955 1499955 50 41568 0 𝑑 3999997 1499955 1499955 50 41568 𝑑 84407 𝑚 𝑠2 𝑒𝑠𝑡á é 𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑 muda Usando a lei dos senos Derivando em relação ao tempo sin𝐴 𝑎 sin𝐷 𝑑 sin𝐷 𝑑 𝑎 sin 𝐴 cos 𝐷 𝐷 𝑑 𝑎 sin𝐴 𝑑 𝑎 cos 𝐴 𝐴 cos 60 𝐷 173205 2 sin 60 2 2 cos 60 5 𝑟𝑎𝑑𝑠 05 𝐷 74998 25 𝐷 10 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑚 𝐷 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Derivando novamente em relação ao tempo cos 𝐷 𝐷 𝑑 𝑎 sin𝐴 𝑑 𝑎 cos 𝐴 𝐴 sin𝐷 𝐷 2 cos 𝐷 𝐷 𝑑 𝑎 sin 𝐴 𝑑 𝑎 cos 𝐴 𝐴 𝑑 𝑎 cos 𝐴 𝐴 𝑑 𝑎 sin 𝐴 𝐴2 𝑑 𝑎 cos 𝐴 𝐴 sin60 102 cos 60 𝐷 84407 2 sin 60 173205 2 cos 60 5 173205 2 cos 60 5 2 2 sin60 52 2 2 cos 60 12 866 05 𝐷 36548 216506 216506 2165 6 𝐷 24 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝑒𝑠𝑡á é 𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑚 𝐷 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 Convertendo as variações do ângulo em D nas rotações da barra CD 𝒘𝑪𝑫 𝟏𝟎 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 𝜶𝑪𝑫 𝟐𝟒 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 Questão 1663 Diagrama auxiliar Cálculo da distância AP usando a lei dos cossenos BP 2A P 2 A B 22 AP ABcos β 125 2A P 23625 22 AP36 25cos30 15625A P 213140625627868 AP A P 2627868 AP1431093750 AP627868627868 24143109375 2 AP1550724mm01551m Usando novamente a lei dos cossenos Derivando em relação ao tempo BP 2A P 2 A B 22 AP ABcos β 02 AP AP02 AP ABsinβ β2 AP ABcos β 02 AP AP2 AP AB sin β β2 AP AB cos β 0201551 m s 75 m s 201551m 003625msin30 β275 m s 003625mcos30 023265 m 2 s 0005622m 2 β04709 m 2 s β0470923265 000562 β3301779 rad s essa é a velocidade comque oângulo em A fecha Usando a lei dos senos sinα AB sin β BP sin α 3625sin30 125 αarcsin 3625 125 sin30 α834 Usando novamente a lei dos senos Derivando em relação ao tempo sinα AB sin β BP α cosα AB βcos β BP α cos834 36 25 3301779cos30 125 α 33017793625cos 30 125cos 834 α83 8096 rad s estáé avelocidade comqueo ânguloem Pfecha Adotando um sistema de referência convencional com x positivo para a direita e positivo para cima Velocidades conhecidas expressas no sistema de coordenadas V P75 m s j w AB3301779 rad s wBP838096 rad s Posição do ponto G no sistema de coordenadas rGBP sinα icos α j rG0125msin834 icos834 j rG001813mi01237 m j Cálculo da velocidade do ponto G V GV PV GP V GV PwBPX rG V G75 j838096k X 001813i01237 j V G75 j838096001813k X i83809601237k X j V G75 j15195k X i103672k X j V G75 j15195 j103672 i V G103672 m s i59805 m s j Em módulo V G103672 259805 2 V G119685ms Questão 16141 Inclinação da linha da ranhura Os seguimentos perpendiculares 03 metros e 03 metros determinam um quadrado A diagonal BC do quadrado forma 45 com o lado BD Cálculo da velocidade escalar do ponto B V Bw ABr AB V B10 rad s 03m V B3ms Cálculo do ângulo que a velocidade do ponto B forma com a diagonal BC θ4530 θ15 Apenas a componente normal à ranhura transmite movimento ao braço BCD A componente tangente apenas desliza sobre o braço Cálculo da componente normal da velocidade sobre o braço BCD V NV Bsin30 V N3sin30 V N15ms Cálculo da distância BC d BC03 203 2 d BC04243m Cálculo da velocidade angular da Barra BCD V NwBCD X dBC V NwBCDdBCsinθ wBCD 15ms 04243msin45 wBCD5rad s Sentido Anti horário Questão 16143 Desenho auxiliar A barra d muda de comprimento devido ao anel As outras barras são constantes Usando a lei dos cossenos Derivando em relação ao tempo a 2c 2d 22cd cos A 002d d2c d cos A2c d sin A A 0d dc d cos Acd sin A A 02 d2 d cos 6022sin60 5rad s d173205 m s estáé avelocidade comqueocomprimento d aument a Derivando novamente a relação obtida em relação ao tempo 0d dc d cos Acd sin A A 0d d d 2c d cos Ac d sin A Ac d sin A Acd cos A A 2cd sin A A 0d d d 2c d cos Ac d sin A Ac dsin A Ac dcos A A 2c dsin A A 02 d173205 22 d cos 602173205sin60 5 rad s 2173205sin60 5 rad s 22cos605 rad s 2 22sin60 12 rad s 2 02 d3999997 d149995514999555041568 0d3999997149995514999555041568 d84407 m s 2 estáé a aceleraçãocom queocomprimento d muda Usando a lei dos senos Derivando em relação ao tempo sin A a sinD d sin Dd a sin A cos D D d a sin A d a cos A A cos60 D173205 2 sin60 2 2 cos 60 5rad s 05 D7499825 D10 rad s oangulo emD aumentanessa velocidade Derivando novamente em relação ao tempo cos D D d a sin A d a cos A A sin D D 2cos D D d a sin A d a cos A A d a cos A A d a sin A A 2 d a cos A A sin60 10 2cos 60 D 84407 2 sin60 173205 2 cos 60 5 173205 2 cos60 52 2 sin60 5 22 2 cos6012 86605 D3654821650621650621656 D24 rad s 2 estáé aaceleraçãocomoqueo ânguloem D aumenta Convertendo as variações do ângulo em D nas rotações da barra CD wCD10rads sentidohorário α CD24rad s 2sentido horário