Lista de Exercícios Resolvidos - Cinemática e Vetores em Coordenadas Polares

Questão 1 Pergunta A Pergunta B Pergunta C Questão 2 Pergunta A Pergunta B Pergunta C Questão 3 Pergunta A Pergunta B Pergunta C a O ponto B deslocase ao longo de uma trajetória curva descrita por r sin 2θ 1 e θ t25 r em metros e θ em radianos Para o instante t 1 2 s determine o módulo do vetor posição Temos que pelas coordenadas polares o vetor posição é dado por r t r u r Logo r é o próprio módulo do vetor posição Assim r t sin 2t25 1 Para t 1 2 s r t sin 2 1 225 1 1 54 m b Tomando as equações do ítem a para t 1 3 s calcule a intensidade do vetor velocidade Velocidade em coordenadas polares v t r u r r θ u θ Assim θ 2t5 r 2θ cos 2θ r 4t5 cos 2t25 r sin 2t25 1 Assim v t 4t5 cos 2t25 u r sin 2t25 1 2t5 u θ Para t 1 3 s temos que v 1 3 4 1 35 cos 2 1 325 u r sin 2 1 325 1 2 1 35 u θ v 1 3 0 8113u r 0 8454 u θ ms Assim v 0 812 0 852 1 17 ms c Tomando novamente as equações do ítem a para t 3 7 s calcule a intensidade do vetor aceleração Temos que a r r θ2 u r 2r θ r θ u θ Onde θ 25 rads2 r 2θ cos 2θ 4θ2 sin 2θ Logo a t 45 cos 2t25 4 2t52 sin 2t25 sin 2t25 1 2t25 u r 85 cos 2t25 2t5 sin 2t25 1 25 u θ a t 45 cos 2t25 18t225 sin 2t25 2t25 u r 16t25 cos 2t25 2 sin t25 25 u θ Assim para t 3 7 s a 3 7 13 1492 u r 0 5929 u θ ms2 Assim a 13 14922 0 59292 13 16 ms2 2 a A velocidade angular da barra DC é 8 rads no sentido antihorário Determine a intensidade da velocidade do ponto C Todas as dimensões podem ser retiradas da figura Como o ponto C apenas gira em torno de D v C ω CD CD Onde CD 4 i 4 j ms ω CD 8 к rads Assim v C i j к 0 0 8 4 4 0 32 i 32 j ms b Usando a figura do ítem a a velocidade angular da barra DC é 12 rads no sentido antihorário Determine a velocidade angular da barra CB Refazendo os cálculos acima trocando a velocidade angular da barra CD vCωCDCD Onde CD4i4jms ωCD12krads Assim vC ijk0 0 124 4 048i48jms Assim vBvCωCBCB Onde CB8im ωCBωCBkrads Assim como o ponto B apenas gira em torno do ponto A fica fácil determinar a direção do vetor vB Assim vBvB22ij Assim vB22ij48i48j ijk0 0 ωCB8 0 0 vB22ij48i48j8ωCBj Assim vB2248vB9692msvB22488ωCB Logo 969222488ωCBωCB12rads c Ainda usando a figura do ítem a a velocidade angular da barra DC é 10 rads no sentido antihorário Determine a velocidade angular da barra AB Refazendo todos os cálculos acima trocando a velocidade angular da barra CD temos vCωCDCD Onde CD4i4jms ωCD10krads Assim vC ijk0 0 104 4 040i40jms Assim vBvCωCBCB Onde CB8im ωCBωCBkrads Assim como o ponto B apenas gira em torno do ponto A fica fácil determinar a direção do vetor vB Assim vBvB22ij Assim vB22ij40i40j ijk0 0 ωCB8 0 0 vB22ij40i40j8ωCBj Assim vB2240vB8092msvB22408ωCB Logo 809222408ωCBωCB10rads Como temos a velocidade do ponto B e sabemos que o mesmo gira em torno de A facilmente temos que vBωABABωAB8092424210rads 3 a A placa quadrada gira no sentido hotrario ao redor do ponto fixo A com velocidade angular 52 rads O ponto B e fixo na barra BD e desliza ao longo da ranhura da placa A barra BD gira ao redor do ponto D Para a posicao mostrada na figura determine a intensidade do vetor velocidade do ponto B como se fixado na placa ou seja o vBP Tomando um ponto P coincidente com B teremos o seguinte esquema Assim v B v P Ω BP v BPxy 5 Como P e B são coincidentes BP0 Assim vBvPvBPxy Onde vBvBsinθicosθjθtan159 vBPxyvBPj vPvPiωAAPi312ims Assim vBsinθicosθj312ivBPjvBsinθ312vB642447msvBcosθvBPvBP5616ms b Considerando agora ωA82 rads calcular a velocidade do ponto B Repetindo os cálculos acima temos Assim vBvPωBPvBPxy Como P e B são coincidentes BP0 Assim vBvPvBPxy Onde vBvBsinθicosθjθtan159 vBPxyvBPj vPvPiωAAPi492ims Assim vBsinθicosθj492ivBPjvBsinθ492vB10131msvBcosθvBP c Calcular a velocidade da barra BD considerando ωA81 rads Repetindo os cálculos anteriormente vBvPωBPvBPxy Como P e B são coincidentes BP0 Assim vBvPvBPxy Onde vBvBsinθicosθjθtan159 vBPxyvBPj vPvPiωAAPi486ims Assim vBsinθicosθj486ivBPjvBsinθ486vB1000735msvBcosθvBP COmo o ponto B gira em torno do ponto D temos que vBωBDBDωBD10007355292972rads