Exercício de Mecânicas dos Sólidos com Software Abaqus

Exercício 1 Viga ABAQUS e CÁLCULO Dados a 10 m b 12 m l 15 m L 37 m P 2000 N q 3000 Nm seção transversal retangular B 100 mm H 140 mm aço estrutural Determinar pelo ABAQUS e CÁLCULO POR FÓRMULAS a máxima tensão normal tensão de flexão na seção transversal de máximo momento fletor b deflexão máxima na viga e ponto onde se localiza c comparar resultados Exercício 2 Viga ABAQUS elemento shell Dados a 10 m b 12 m l 15 m L 37 m P 2000 N q 3000 Nm seção transversal de perfil estrutural W460x97 pag 582 livro Hibbeler aço estrutural Determinar pelo ABAQUS e CÁLCULO POR FÓRMULAS a máxima tensão normal tensão de flexão na seção transversal de máximo momento fletor b deflexão máxima na viga e ponto onde se localiza c comparar resultados Momento fletor Mx Nm x m 1 Viga ABAQUS E CÁLCULO Dados a10mb12ml15 m L37 P2000 N q3000 Nm B100mm H140mm Aço estrutural Determinar pelo ABAQUS e CÁLCULO POR FÓRMULAS a máxima tensão normal tensão de flexão na seção transversal de máximo momento fletor b deflexão máxima na viga e ponto onde se localiza c comparar resultados a Para o equilíbrio estático do corpo rígido temse que as forças exercidas somadas devem ser iguais a zero e os momentos somados também são iguais a zero Forças subindo são positivas e forças descendo são negativas Os momentos são dados pelas forças multiplicadas pela distancia até o local em que atuam F0 M0 RAPl qRB0 Palqab l 2ablRB0 RARBPlq ablRBPal qab l 2 Pela segunda equação temse RB Pal qab l 2 abl Substituindo os valores RB 2000115300011215 2 11215 RB20004500 295 37 RB412838 N Pela primeira equação temse RAPlqRB Substituindo os valores RA2000153000412838 RA237162N Para o cálculo do momento fletor máximo o esforço cortante V x deve ser zero Encontrase então o esforço cortante em cada trecho Para o trecho 0 x10temse V x RA Pqxxinicio Como não existem forças concentradas à esquerda do trecho nem carga distribuída temos que P0 e q0 dessa forma V x RA V x 237162N Para o trecho 10 x 22 temse V x RA Pqxxinicio Como não existe carga distribuída à esquerda temos que q0 dessa forma V x RA P V x RA2000 V x 2371622000 V x 37162 N Para o trecho 22x 37 temse V x RA Pqxxinicio V x 23716220003000 x22 V x 371623000 x22 A equação de V x nesse trecho é uma equação de primeiro grau portanto uma reta Nas pontas temse V 2269716230002237162 V 37 697162300037412838 Temse então V x 237162 N 00x10 V x 37162N 10x22 V x 371623000x22 N22x37 A condição V x 0 só é possível no terceiro trecho onde encontrase 371623000 x220 3000 x237162 x37162 3000 2 x2324 m O momento fletor é dado pela integral do cortante M x V x dx M 1x 237162dx M 1x 237162 xC M 1x 237162 x O ponto final ocorre em M 1102371621237162 Para o segundo trecho ux1 M 237162d u M 237162uC M 237162x1 237162 O ponto final ocorre em M 22237162 221237162281756 Para o terceiro trecho ux22 M 3371623000udu M 337162u3000u 2 2 C M 337162u3000u 2 2 281756 M 31500u 237162u2817 56 Substituindo M 31500 x22 237162 x222817 56 M 3 2324 15000124 23716201242817 56 M 3 2324 2840 58 Nm M 3 37 150015 23716215281756 M 3 37 0 Nm M x 237162x 00x10 M x 37162 x123716210 x22 M x 1500 x22 237162 x2228175622x37 Desenho da viga no ABAQUS Gráfico de V x apresentado no ABAQUS Gráfico de Mx apresentado no ABAQUS b IB H 3 12 100140 3 12 228710 6m m 4228710 6m 4 A deflexão é dada por d 2v d x 2 M x EI Para o trecho 1 d 2v d x 2237162 x EI θ x d v d x 237162 2 x 2C1 EI v x 237162 6 x 3C1xC2 EI Para o trecho 2 d 2v d x1 237162 x1237162 EI θ x d v d x1 37162 2 x1 2237162 x1C3 EI v x 37162 6 x1 3 237162 2 x1 2C3 x1C4 EI Para o trecho 3 d 2v d x22 21500 x22 237162x22281756 EI θ x d v d x22 1500 3 x22 3 37162 2 x22 22817 56 x22C5 EI v x 1500 12 x22 4 37162 6 x22 3 281756 2 x22 2C5 x22C6 EI Condições de contorno v 0 0 C20 v 370 1500 12 15 437162 6 15 3 281756 2 15 2C515C6 EI 0 15C5C6274598 θ 237162 2 C1 EI C3 EI C1C3118581 v 237162 6 C1C2 EI C4 EI C1C2C439527 θ 37162 2 12 2237162 12 C3C5 C3C5311351 v 37162 6 12 3237162 2 12 2C3 12C4C6 12C3C4C61814 593 15C4C5274598 C1C31185 81 C1C2C439527 C3C5311351 12C3C4C6237162 A partir das equações acima resolvendo o sistema linear encontrase C1346697 C20 C3228116 C430717 C5832348 C639945 A deflexão em cada trecho então é dada por v1x 1 EI 39527 x 33466 97x v2 x 1 EI 6194 x1 3118581x1 2228116 x130717 v3 x 1 EI 125 x22 46194 x22 3140878 x22 2832348 x223994 5 A deflexão máxima provavelmente ocorre próximo ao centro para realizar esse teste podese calcular se a tangente no segundo trecho é zero para algum valor de x θ1 x 37162 2 x1 2237162 x1228116 EI 37162 2 x1 2237162x1228116 EI 0 x1 21276368 x11227680 x11266m x219m O valor de x deve ser obrigatoriamente positivo e estar contido no intervalo 1x22 portanto x19m v 19 6194 09 31185 8109 2228116 09 30717 20010 9228710 6 v 19910 4m910 1mm Gráfico da deflexão apresentado no ABAQUS O ponto máximo aparece em x25 pois o ABAQUS centra em zero sendo assim basta deslocar para encontrar o valor verdadeiro de x3700 2 2518751875mm Gráfico da tangente de deflexão apresentado pelo ABAQUS c Para determinar se a simulação está de acordo com os resultados encontrados primeiro podese encontrar os valores das reações nos pontos A e B da viga Gráfico das reações RA e RB na viga apresentadas pelo ABAQUS Valores das reações em cada ponto da viga Podese notar que as reações nos pontos A e B encontradas na simulação são iguais às encontradas por fórmulas RA237162N e RB412838 N Além dos valores das reações as formulas encontradas para V x M x vx e θx também satisfazem o encontrado em simulação Os resultados encontrados para ponto máximo de V x e de vx também foram os mesmos em simulação e via fórmulas 2 Viga ABAQUS elemento shell Dados a10mb12ml15 m L37 P2000 N q3000 Nm Seção transversal de perfil estrutural W460x97 pag 582 livro Hibbeler Aço estrutural Determinar pelo ABAQUS e CÁLCULO POR FÓRMULAS a máxima tensão normal tensão de flexão na seção transversal de máximo momento fletor b deflexão máxima na viga e ponto onde se localiza c comparar resultados As características apresentadas no livro Hibbeler pág 582 estão apresentadas a seguir Para a viga apresentada os cálculos da cortante e do momento fletor são os mesmos pois não dependem da seção transversal da viga V x 237162 N 00x10 V x 37162N 10x22 V x 371623000x22 N22x37 M x 237162x 00x10 M x 37162 x123716210 x22 M x 1500 x22 237162 x2228175622x37 M 3 2324 2840 58 Nm Gráfico de V x apresentado pelo ABAQUS Gráfico de M x apresentado pelo ABAQUS b O ponto onde ocorre a máxima deflexão é o mesmo da primeira questão pois os valores de E e I não influenciam Para x19m v 19 6194 09 31185 8109 2228116 09 30717 20010 944510 6 v 194710 5m4 710 2mm Gráfico da deflexão apresentado pelo ABAQUS Valor de v 1900mm53310 2mm como máximo encontrado para a deflexão Gráfico da tangente da deflexão apresentado pelo ABAQUS c Os valores de Vx e Mx corresponderam entre o calculado e o simulado Os valores realmente não mudaram com relação a simulação da primeira questão As funções de deflexão e tangente de deflexão também apresentaram comportamento similar com a primeira questão mudando por uma constante Isso indica que os pontos críticos são os mesmos independentemente do tipo de viga utilizada a diferença será em relação a quantidade de deformação realizada na viga após aplicada a força O perfil em I deforma bem menos que o perfil retangular pois o momento de inercia é maior O valor encontrado para a máxima deflexão teve uma pequena diferença entre o simulado e o calculado Utilizando as formulas encontrouse v 190047mm e na simulação encontrase v 190053mm Podese considerar um erro aceitável tendo em vista os arredondamentos utilizados nos cálculos e valores tabelados adotados para a simulação 1 Viga ABAQUS E CÁLCULO Dados 𝑎 10𝑚 𝑏 12𝑚 𝑙 15𝑚 𝐿 37 𝑃 2000𝑁 𝑞 3000𝑁𝑚 𝐵 100𝑚𝑚 𝐻 140𝑚𝑚 Aço estrutural Determinar pelo ABAQUS e CÁLCULO POR FÓRMULAS a máxima tensão normal tensão de flexão na seção transversal de máximo momento fletor b deflexão máxima na viga e ponto onde se localiza c comparar resultados a Para o equilíbrio estático do corpo rígido temse que as forças exercidas somadas devem ser iguais a zero e os momentos somados também são iguais a zero Forças subindo são positivas e forças descendo são negativas Os momentos são dados pelas forças multiplicadas pela distancia até o local em que atuam 𝐹 0 𝑀 0 𝑅𝐴 𝑃 𝑙 𝑞 𝑅𝐵 0 𝑃 𝑎 𝑙 𝑞 𝑎 𝑏 𝑙 2 𝑎 𝑏 𝑙𝑅𝐵 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑃 𝑙 𝑞 𝑎 𝑏 𝑙𝑅𝐵 𝑃 𝑎 𝑙 𝑞 𝑎 𝑏 𝑙 2 Pela segunda equação temse 𝑅𝐵 𝑃 𝑎 𝑙 𝑞 𝑎 𝑏 𝑙 2 𝑎 𝑏 𝑙 Substituindo os valores 𝑅𝐵 2000 1 15 3000 1 12 15 2 1 12 15 𝑅𝐵 2000 4500295 37 𝑹𝑩 𝟒𝟏𝟐𝟖 𝟑𝟖 𝑵 Pela primeira equação temse 𝑅𝐴 𝑃 𝑙 𝑞 𝑅𝐵 Substituindo os valores 𝑅𝐴 2000 15 3000 412838 𝑹𝑨 𝟐𝟑𝟕𝟏 𝟔𝟐 𝑵 Para o cálculo do momento fletor máximo o esforço cortante 𝑉𝑥 deve ser zero Encontrase então o esforço cortante em cada trecho Para o trecho 0 𝑥 10 temse 𝑉𝑥 𝑅𝐴 𝑃 𝑞 𝑥 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 Como não existem forças concentradas à esquerda do trecho nem carga distribuída temos que 𝑃 0 e 𝑞 0 dessa forma 𝑉𝑥 𝑅𝐴 𝑉𝑥 237162 𝑁 Para o trecho 10 𝑥 22 temse 𝑉𝑥 𝑅𝐴 𝑃 𝑞 𝑥 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 Como não existe carga distribuída à esquerda temos que 𝑞 0 dessa forma 𝑉𝑥 𝑅𝐴 𝑃 𝑉𝑥 𝑅𝐴 2000 𝑉𝑥 237162 2000 𝑉𝑥 37162 𝑁 Para o trecho 22 𝑥 37 temse 𝑉𝑥 𝑅𝐴 𝑃 𝑞 𝑥 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑉𝑥 237162 2000 3000 𝑥 22 𝑉𝑥 37162 3000𝑥 22 A equação de 𝑉𝑥 nesse trecho é uma equação de primeiro grau portanto uma reta Nas pontas temse 𝑉22 697162 3000 22 37162 𝑉37 697162 3000 37 412838 Temse então 𝑉𝑥 237162 𝑁 00 𝑥 10 𝑉𝑥 37162 𝑁 10 𝑥 22 𝑉𝑥 37162 3000𝑥 22 𝑁 22 𝑥 37 A condição 𝑉𝑥 0 só é possível no terceiro trecho onde encontrase 37162 3000𝑥 22 0 3000𝑥 2 37162 𝑥 37162 3000 2 𝑥 2324 𝑚 O momento fletor é dado pela integral do cortante 𝑀𝑥 𝑉𝑥𝑑𝑥 𝑀1𝑥 237162 𝑑𝑥 𝑀1𝑥 237162𝑥 𝐶 𝑀1𝑥 237162𝑥 O ponto final ocorre em 𝑀110 237162 1 237162 Para o segundo trecho 𝑢 𝑥 1 𝑀2 37162 𝑑𝑢 𝑀2 37162𝑢 𝐶 𝑀2 37162𝑥 1 237162 O ponto final ocorre em 𝑀222 37162 22 1 237162 281756 Para o terceiro trecho 𝑢 𝑥 22 𝑀3 37162 3000𝑢 𝑑𝑢 𝑀3 37162𝑢 3000𝑢2 2 𝐶 𝑀3 37162𝑢 3000𝑢2 2 281756 𝑀3 1500𝑢2 37162𝑢 281756 Substituindo 𝑀3 1500𝑥 222 37162𝑥 22 281756 𝑀32324 1500 01242 37162 0124 281756 𝑀32324 284058 𝑁𝑚 𝑀337 1500 152 37162 15 281756 𝑀337 0 𝑁𝑚 𝑀𝑥 237162𝑥 00 𝑥 10 𝑀𝑥 37162𝑥 1 237162 10 𝑥 22 𝑀𝑥 1500𝑥 222 37162𝑥 22 281756 22 𝑥 37 X 05 Y 237162 X 15 Y 37162 X 232387 Y 0002 Vx X 232387 Y 284058 X 1 Y 237162 Mx Desenho da viga no ABAQUS Gráfico de 𝑉𝑥 apresentado no ABAQUS Gráfico de Mx apresentado no ABAQUS b 𝐼 𝐵 𝐻3 12 100 1403 12 2287 106 𝑚𝑚4 2287 106𝑚4 A deflexão é dada por 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼 Para o trecho 1 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 237162𝑥 𝐸𝐼 𝜃𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 237162 2 𝑥2 𝐶1 𝐸𝐼 𝑣𝑥 237162 6 𝑥3 𝐶1𝑥 𝐶2 𝐸𝐼 Para o trecho 2 𝑑2𝑣 𝑑𝑥 12 37162𝑥 1 237162 𝐸𝐼 𝜃𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 1 37162 2 𝑥 12 237162𝑥 1 𝐶3 𝐸𝐼 𝑣𝑥 37162 6 𝑥 13 237162 2 𝑥 12 𝐶3𝑥 1 𝐶4 𝐸𝐼 Para o trecho 3 𝑑2𝑣 𝑑𝑥 222 1500𝑥 222 37162𝑥 22 281756 𝐸𝐼 𝜃𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 22 1500 3 𝑥 223 37162 2 𝑥 222 281756𝑥 22 𝐶5 𝐸𝐼 𝑣𝑥 1500 12 𝑥 224 37162 6 𝑥 223 281756 2 𝑥 222 𝐶5𝑥 22 𝐶6 𝐸𝐼 Condições de contorno 𝑣0 0 𝐶2 0 𝑣37 0 1500 12 154 37162 6 153 281756 2 152 𝐶515 𝐶6 𝐸𝐼 0 15𝐶5 𝐶6 274598 𝜃1 𝜃1 237162 2 𝐶1 𝐸𝐼 𝐶3 𝐸𝐼 𝐶1 𝐶3 118581 𝑣1 𝑣1 237162 6 𝐶1 𝐶2 𝐸𝐼 𝐶4 𝐸𝐼 𝐶1 𝐶2 𝐶4 39527 𝜃22 𝜃22 37162 2 122 23716212 𝐶3 𝐶5 𝐶3 𝐶5 311351 𝑣22 𝑣22 37162 6 123 237162 2 122 𝐶312 𝐶4 𝐶6 12𝐶3 𝐶4 𝐶6 1814593 15𝐶4 𝐶5 274598 𝐶1 𝐶3 118581 𝐶1 𝐶2 𝐶4 39527 𝐶3 𝐶5 311351 12𝐶3 𝐶4 𝐶6 237162 A partir das equações acima resolvendo o sistema linear encontrase 𝐶1 346697 𝐶2 0 𝐶3 228116 𝐶4 30717 𝐶5 832348 𝐶6 39945 A deflexão em cada trecho então é dada por 𝑣1𝑥 1 𝐸𝐼 39527𝑥3 346697𝑥 𝑣2𝑥 1 𝐸𝐼 6194𝑥 13 118581𝑥 12 228116𝑥 1 30717 𝑣3𝑥 1 𝐸𝐼 125𝑥 224 6194𝑥 223 140878𝑥 222 832348𝑥 22 39945 A deflexão máxima provavelmente ocorre próximo ao centro para realizar esse teste podese calcular se a tangente no segundo trecho é zero para algum valor de x 𝜃1𝑥 37162 2 𝑥 12 237162𝑥 1 228116 𝐸𝐼 37162 2 𝑥 12 237162𝑥 1 228116 𝐸𝐼 0 𝑥 12 1276368𝑥 1 122768 0 𝑥1 1266𝑚 𝑥2 19𝑚 O valor de x deve ser obrigatoriamente positivo e estar contido no intervalo 1 𝑥 22 portanto 𝑥 19𝑚 𝑣19 6194093 118581092 22811609 30717 200 109 2287 106 𝑣19 9 104𝑚 9 101𝑚𝑚 Gráfico da deflexão apresentado no ABAQUS O ponto máximo aparece em 𝑥 25 pois o ABAQUS centra em zero sendo assim basta deslocar para encontrar o valor verdadeiro de 𝑥 3700 2 25 1875 1875𝑚𝑚 Gráfico da tangente de deflexão apresentado pelo ABAQUS c Para determinar se a simulação está de acordo com os resultados encontrados primeiro podese encontrar os valores das reações nos pontos A e B da viga Gráfico das reações 𝑅𝐴 e 𝑅𝐵 na viga apresentadas pelo ABAQUS Valores das reações em cada ponto da viga Podese notar que as reações nos pontos A e B encontradas na simulação são iguais às encontradas por fórmulas 𝑅𝐴 237162𝑁 e 𝑅𝐵 412838𝑁 Além dos valores das reações as formulas encontradas para 𝑉𝑥 𝑀𝑥 𝑣𝑥 e 𝜃𝑥 também satisfazem o encontrado em simulação Os resultados encontrados para ponto máximo de 𝑉𝑥 e de 𝑣𝑥 também foram os mesmos em simulação e via fórmulas 2 Viga ABAQUS elemento shell Dados 𝑎 10𝑚 𝑏 12𝑚 𝑙 15𝑚 𝐿 37 𝑃 2000𝑁 𝑞 3000𝑁𝑚 Seção transversal de perfil estrutural W460x97 pag 582 livro Hibbeler Aço estrutural Determinar pelo ABAQUS e CÁLCULO POR FÓRMULAS a máxima tensão normal tensão de flexão na seção transversal de máximo momento fletor b deflexão máxima na viga e ponto onde se localiza c comparar resultados As características apresentadas no livro Hibbeler pág 582 estão apresentadas a seguir Para a viga apresentada os cálculos da cortante e do momento fletor são os mesmos pois não dependem da seção transversal da viga 𝑉𝑥 237162 𝑁 00 𝑥 10 𝑉𝑥 37162 𝑁 10 𝑥 22 𝑉𝑥 37162 3000𝑥 22 𝑁 22 𝑥 37 𝑀𝑥 237162𝑥 00 𝑥 10 𝑀𝑥 37162𝑥 1 237162 10 𝑥 22 𝑀𝑥 1500𝑥 222 37162𝑥 22 281756 22 𝑥 37 𝑀32324 284058 𝑁𝑚 Gráfico de 𝑉𝑥 apresentado pelo ABAQUS Gráfico de 𝑀𝑥 apresentado pelo ABAQUS b O ponto onde ocorre a máxima deflexão é o mesmo da primeira questão pois os valores de E e I não influenciam Para 𝑥 19𝑚 𝑣19 6194093 118581092 22811609 30717 200 109 445 106 𝑣19 47 105𝑚 47 102𝑚𝑚 Gráfico da deflexão apresentado pelo ABAQUS Valor de 𝑣1900𝑚𝑚 533 102𝑚𝑚 como máximo encontrado para a deflexão Gráfico da tangente da deflexão apresentado pelo ABAQUS c Os valores de Vx e Mx corresponderam entre o calculado e o simulado Os valores realmente não mudaram com relação a simulação da primeira questão As funções de deflexão e tangente de deflexão também apresentaram comportamento similar com a primeira questão mudando por uma constante Isso indica que os pontos críticos são os mesmos independentemente do tipo de viga utilizada a diferença será em relação a quantidade de deformação realizada na viga após aplicada a força O perfil em I deforma bem menos que o perfil retangular pois o momento de inercia é maior O valor encontrado para a máxima deflexão teve uma pequena diferença entre o simulado e o calculado Utilizando as formulas encontrouse 𝑣19 0047𝑚𝑚 e na simulação encontrase 𝑣19 0053𝑚𝑚 Podese considerar um erro aceitável tendo em vista os arredondamentos utilizados nos cálculos e valores tabelados adotados para a simulação