Aula 05: Introdução à Teoria de Placas e Elasticidade Linear em 2D

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CAMPUS CRATEÚS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL PROFESSOR RALISOM FELIPE ANÁLISE DE ESTRUTURAS II AULA 05 INTRODUÇÃO A TEORIA DE PLACAS ELASTICIDADE LINEAR EM 2D PROFESSOR RALISOM FELIPE DEFINIÇÕES Estruturas em folha Elementos estruturais tridimensionais em que duas dimensões são preponderantes sobre a terceira PROFESSOR RALISOM FELIPE DEFINIÇÕES Chapas São elementos estruturais em formato de folhas planas em que o carregamento encontrase no plano da própria chapa PROFESSOR RALISOM FELIPE DEFINIÇÕES Placas São elementos estruturais em formato de folha plana em que o carregamento encontrase transversal perpendicular ao plano da placa PROFESSOR RALISOM FELIPE DEFINIÇÕES Cascas São elementos estruturais em formato de folha não necessariamente planos em que o carregamento encontrase em qualquer direção em relação ao plano da casca Caso genérico de forma geométrica e carregamento PROFESSOR RALISOM FELIPE TEORIA DA ELASTICIDADE LINEAR EM 2D Como os elementos de folha possuem duas dimensões preponderantes a terceira dimensão altura pode ser desprezada Dessa forma as placas serão tratadas como elementos bidimensionais PROFESSOR RALISOM FELIPE TEORIA CLÁSSICA DE PLACAS PROFESSOR RALISOM FELIPE TEORIA CLÁSSICA DE PLACAS menor que σx fracE1 u2varepsilonx uvarepsilony fracE1 u2fracpartial2wpartial x2 ufracpartial2wpartial y2z Qx inte2e2 auxzdz Mxy inte2e2 auxyzdz D1 u2fracpartial2wpartial xpartial y εx frac11dx fraczRx kappax z κx frac1Rx fracpartial2wpartial x2 Placas Equação de Sophie GermainLagrange Equilíbrio de Forças Qxx Qyy p Placas Equação de Sophie GermainLagrange Equilíbrio de Momentos Qy Mxy Mxyx Qx Myx Myxy Placas Equação de Sophie GermainLagrange Qy Mxy Mxyx Qx Myx Myxy Qxx Qyy p Placas Equação de Sophie GermainLagrange ²Myx² 2²Mxyxy ²Mxy² p ⁴w pD D E e³121 ν² Placas Equação de Sophie GermainLagrange Condições de contorno nos apoios Placa simplesmente apoiada na aresta paralela a x w 0 ²wy² 0 Placa simplesmente apoiada na aresta paralela a y w 0 ²wx² 0 Placa engastada na aresta paralela a x w 0 wy 0 Placa engastada na aresta paralela a y w 0 wx 0 ppxy Nm² a b e ab dx dy wwxy Placas Método das Diferenças Finitas MDF wxjk wjk1 wjk12hx Considerese uma placa simplesmente apoiada em todo perímetro de planta quadrada 2x2 m espessura e 2 cm carregada de cima para baixo por carga uniformemente distribuída p 2 KPa módulo de elasticidade E 200 GPa e coeficiente de Poisson ν 03 Adotase uma malha hx hy 05 m isto é 4 divisões em cada sentido sendo o nó central 00 a origem dos eixos xy Deverseia aplicar a Equação de Sophie GermainLagrange em forma do MDF nos 9 nós internos do domínio da placa mas devido às simetrias basta aplicar em 3 nós Como a expressão de MDF da derivada quarta parcial precisa de 5 pontos o próprio nó em que se aplica a equação e mais dois para cada lado é preciso acrescentar nós fictícios para fora do domínio da placa cujos valores vão depender das condições de contorno nas arestas da placa se aquela aresta for simplesmente apoiada o deslocamento na aresta é nulo e o do nó externo vale menos o deslocamento do nó interno adjacente à aresta se aquela aresta for engastada o deslocamento na aresta é nulo e o do nó externo tem o mesmo valor de deslocamento do nó interno adjacente à aresta Método das Diferenças Finitas MDF Exemplo Básico Ponto 00 w02 8w01 20w00 8w01 w02 w20 2w11 w11 w11 0 54 p D Ponto 01 w03 8w02 20w01 8w00 w01 w21 8w11 8w11 w21 2w12 w12 w10 0 54 p D Ponto 11 w13 8w12 20w11 8w10 w11 w31 8w21 8w01 w11 2w22 w20 w02 w00 0 54 p D Levando em conta as condições de contorno e de simetria chegase ao sistema algébrico linear de 3 equações em 3 incógnitas os deslocamentos verticais procurados 20 32 8 w00 8 24 16 w01 2 16 20 w11 0 54x001365 Deslocamento vertical do nó central da placa w00 08798mm Para determinar os momentos fletores por unidade de comprimento nos nós da placa aplicamse as aproximações do MDF nas expressões Mx D²wx² ν ²wy² My D²wy² ν ²wx² Método das Diferenças Finitas MDF Exemplo 2 8375 25 10 2