Resumo sobre Vetor Gradiente e Integrais Duplas

Unidade 4 Aula 5 Revisão da unidade 1 O vetor gradiente e as integrais duplas Olá estudante Agora nosso objetivo é apresentar um pequeno resumo do que estudamos no decorrer das nossas aulas anteriores O primeiro conceito com o qual vamos trabalhar é o de vetor gradiente Ele é basicamente um vetor que traz a coleção de todas as derivadas de ordem 1 de uma função de variáveis isto é seja uma função de variáveis então definese matematicamente o vetor gradiente pela nupla ordenada descrita por que é um vetor multidimensional O segundo conceito de estudo é o de integral dupla As integrais duplas podem ser definidas em diversas regiões e o foco nessa unidade é trabalhar com esse conceito em três regiões retangulares não retangulares ou gerais e polares Vamos resumir rapidamente cada uma dessas regiões O primeiro tipo de região é a retangular que pode ser definida matematicamente como dada uma função de duas variáveis uma região é considerada retangular se a função for definida em retângulo fechado dado pela seguinte expressão Por outro lado a segunda região a não retangular ou geral pode ser definida matematicamente como dada uma função de duas variáveis uma região é considerada não retangular se a função for definida em uma região D dada pela seguinte expressão Essa região D é conhecida como região não retangular do tipo I em que y varia de acordo com funções contínuas de x A região D do tipo II tem como única diferença o fato de que em vez de y variar de acordo com funções contínuas de x é o x que varia de acordo com funções contínuas de y Por fim a terceira região a região polar pode ser definida matematicamente como dada uma função de duas variáveis uma região é considerada polar se a função for limitada por círculos e for definida em uma região R dada pela seguinte expressão que é chamada de retângulo polar Neste caso precisamos trabalhar com as coordenadas polares para resolver a nossa integral Tais coordenadas são Sabendo quais são as principais regiões precisamos entender como resolver as integrais duplas nessas regiões Neste caso podemos simplificar os cálculos trabalhando com o Teorema de Fubini que traz o conceito de integral parcial que é completamente análogo ao conceito de derivada parcial utilizado no vetor gradiente Assim em cada caso as integrais são calculadas como Para região retangular Para região geral tipo I Para região polar Encerramos nosso pequeno resumo dos conteúdos desta unidade Com esses conceitos trabalharemos com aplicações práticas e reais em cada uma das aulas que se rementem a essa unidade Esperamos que você tenha gostado Bons estudos 2 Videoaula Revisão da unidade Meu vídeo não funciona Nesta revisão o objetivo é entender quais são os principais conceitos matemáticos abordados na Unidade 4 No primeiro momento então vamos começar introduzindo o conceito de vetor gradiente Em um segundo momento vamos trazer o conceito de integral dupla nas principais regiões que podemos encontrar na prática Lembrese este é apenas um resumo e é importante que você veja os detalhes em cada aula dessa unidade 3 Estudo de caso Muitos fenômenos têm a propriedade de sua observação repetida sob um conjunto especificado de condições conduzir invariavelmente ao mesmo resultado Por exemplo se deixarmos cair uma bola inicialmente em repouso de uma altura de d metros através de vácuo ela atingirá o solo invariavelmente em segundos No entanto existem outros fenômenos cuja observação repetida sob um conjunto especificado de condições não conduz sempre ao mesmo resultado Por exemplo considere o lançamento de uma moeda Se uma moeda é lançada mil vezes as ocorrências de caras e coroas se alternam de uma forma aparentemente irregular e imprevisível Com base nas definições apresentadas à primeira vista pode parecer impossível fazer qualquer afirmação válida a respeito dos experimentos aleatórios No entanto na teoria estatística existe uma medida que exprime a incerteza presente em cada um desses tipos de experimentos conhecida por probabilidade Historicamente acreditase os primeiros cálculos da teoria da probabilidade foram realizados por estudiosos italianos dos séculos XV e XVI dentre os quais podemos destacar Frei Luca Pacioli 14451517 Niccolo Fontana mais conhecido como Tartaglia 14991557 e Girolamo Cardano 15011576 Eles realizaram estudos nos quais compararam as frequências dos eventos e estimaram as chances de se ganhar nos jogos de azar mas não apresentaram teoremas que se baseassem em alguma teoria A probabilidade tem diversas aplicações na engenharia em si Uma delas por exemplo é considerar um par de variáveis aleatórias X e Y como tempo de vida de dois componentes de uma máquina industrial projetada por um engenheiro mecânico Então para contextualizar sua aprendizagem suponha que você vai projetar uma máquina industrial com dois componentes X e Y e deseja saber a probabilidade de esses componentes falharem caso a máquina sofra algum processo de deterioração Particularmente você deseja saber a probabilidade de o primeiro componente sobreviver sete horas ou menos e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais pois por condições do gestor da indústria é necessário que o primeiro componente tenha um tempo de falha maior do que o segundo Sabendo que a função densidade de probabilidade que governa os tempos de vida dos componentes é descrita por tal que como calculamos essa probabilidade Isto é como calculamos a probabilidade do primeiro componente sobreviver sete horas ou menos e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais com base nos conceitos aprendidos nessa unidade particularmente utilizando o conceito de integral dupla Reflita Nos dias atuais a teoria de probabilidade se tornou o ramo da estatística que é relacionado com fenômenos aleatórios ou casuais sendo a peçachave para o desenvolvimento de modelos Nas últimas décadas muitos pesquisadores têm se dedicado ao seu estudo devido ao seu interesse intrínseco bem como as muitas aplicações bemsucedidas em muitas áreas das ciências físicas biológicas e sociais na engenharia e no mundo dos negócios Com base nessa teoria então trouxemos uma aplicação relacionada aos projetos de engenharia Então nossa reflexão para iniciar a solução de problema é com base no conceito de integral aprendido nesta unidade existe a possibilidade de resolver o problema de outra forma por exemplo com o uso de coordenadas polares uma vez que estamos pensando em tempos de falha Mais especificamente com qual tipo de região estamos lindando retangular polar ou geral Qual método de integração dupla devemos utilizar 4 Videoaula Resolução do estudo de caso Meu vídeo não funciona Antes de iniciar a solução do problema vamos retornálo Então queremos a probabilidade de o primeiro componente da máquina projetada sobreviver sete horas ou menos e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais de acordo com função densidade de probabilidade que governa os tempos de vida dos componentes tal que Se há então um processo de deterioração nessa máquina saber dessa probabilidade pode nos ajudar a reduzir o custo de produção por exemplo Observando a função dada podemos notar que ela representa necessariamente uma função de duas variáveis Então podemos trabalhar com o conceito de integral dupla nesse caso Como primeiro passo precisamos identificar com qual tipo região estamos lidando para saber com qual tipo de integral dupla vamos trabalhar Neste caso perceba que há restrições entre x e y que nos induz a seguinte região R que é uma região do tipo cartesiana e retangular já que R define um retângulo fechado Então para calcular a probabilidade em questão devemos encontrar o volume da superfície com equação que está acima da região definida pelo retângulo e abaixo da curva de Sendo S essa superfície podemos definir S pela equação Para encontrar esse volume podemos dividir a região R em subretângulos Neste caso precisamos dividir o intervalo do nosso retângulo em subintervalos de mesmo comprimento e também dividir o intervalo do nosso retângulo em subintervalos de mesmo comprimento Assim obtemos retângulos com área No entanto para ter uma melhor aproximação da probabilidade em questão precisaríamos de um número grande de retângulos que pode gerar um cálculo complexo Então como resolvemos nosso problema Bom neste caso podemos trabalhar com o conceito de integral iterada que é uma das propriedades mais importantes fornecida pelo Teorema Fundamental do Cálculo Assim para entender essa propriedade suponha então que é uma função de duas variáveis integrável no retângulo Então considere a integral que indica que x é mantido fixo e a função é integrada em relação a de até Essa integral é conhecida com integral parcial em relação a e é análoga ao conceito de derivada parcial Com base nesse conceito definimos o teorema de Fubini que matematicamente pode ser escrito como se é uma função contínua no retângulo então Assim a partir do teorema de Fubini a probabilidade desejada é descrita por Isto é existe uma probabilidade de 5787 de que o primeiro componente da máquina projetada por você sobreviva sete horas ou menos e de que o segundo componente sobreviva duas horas ou mais 5 Resumo visual Figura 1 Condições de resolução de integral dupla por meio do teorema de Fubini Fonte elaborada pelo autor 6 Referências LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Vol 2 3 ed São Paulo Harbra 1994 STEWART J Cálculo Vol 2 São Paulo Cengage Learning 2015