Revisão da Unidade 1: Função de Duas Variáveis e Derivadas Parciais

Unidade 3 Aula 5 Revisão da unidade 1 Função de duas variáveis e suas derivadas parciais Olá estudante Espero que esteja bem Nesta unidade estudamos sobre as funções de duas ou mais variáveis e suas derivadas parciais Nesse momento destacaremos os principais aspectos dos conceitos vistos durante nossas aulas Em um primeiro momento discutimos sobre função de duas variáveis Lembrese de que uma função é uma relação entre variáveis e no caso da função de duas variáveis temos uma relação entre todo par ordenado pertencente ao conjunto denominado de domínio a um único elemento pertencente ao conjunto denominado de contradomínio No que se refere ao domínio é importante que você se atente ao fato de que não existe divisão por zero não existe raiz de índice par de número negativo e não existe logaritmo de número negativo ou zero Assim quando você for analisar o domínio de funções de duas ou mais variáveis você deve excluir os pares ou termos ordenados que se originam de uma dessas situações Já a imagem de uma função são todos os valores possíveis que a função pode assumir quando substituímos valores arbitrários do domínio em sua lei de formação Uma forma de avaliarmos a imagem de uma função de duas variáveis é por meio do seu gráfico que é definido como o conjunto de todos os pontos Em um segundo momento discutimos sobre as derivadas parciais de uma função de duas variáveis Quando você estiver calculando a derivada parcial devese atentar ao fato de que quando derivamos em relação a uma variável a outra consideramos como sendo constante Assim se estiver calculando a derivada parcial em relação a isto é você mantém constante a variável Analogamente se estiver calculando a derivada parcial em relação a você mantém constante a variável Para o cálculo das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis isto é você pode utilizar todas as regras de derivação de função de uma variável visto que quando mantemos uma das variáveis constante transformamos a função de duas variáveis em apenas uma variável Quando necessário você pode calcular as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis e para isso deve calcular as derivadas parciais considerando as derivadas de primeira ordem Quando fazemos isso podemos ter as seguintes derivadas de segunda ordem Por fim discutimos sobre as derivadas direcionais que são utilizadas para calcular taxas de variação de uma função em relação a qualquer direção Portanto se possui derivada em é um vetor unitário então a derivada direcional será dada por Assim encerramos o nosso pequeno resumo dos conteúdos de nossa unidade Espero que você tenha gostado 2 Videoaula Revisão da unidade Neste vídeo de revisão temos como objetivo entender quais são os principais conceitos matemáticos abordados na nossa unidade Assim em um primeiro momento retomaremos as principais características das funções de duas variáveis destacando a determinação do domínio e imagem dessas funções Em um segundo momento retomaremos também os principais aspectos relacionados ao conceito de derivadas parciais de primeira e segunda ordem Por fim discutiremos sobre as derivadas direcionais 3 Estudo de caso Para contextualizar sua aprendizagem suponha que você faça parte de um grupo formado por jovens profissionais de diferentes áreas de uma startup relacionada à indústria 40 utilizando seus conhecimentos de engenharia programação e matemática Essa startup tem como objetivo desenvolver softwares que permitam realizar um estudo quantitativo sobre a produção de uma indústria considerando a quantidade de trabalho isto é a quantidade total de horas trabalhadas Após um intenso estudo você encontrou uma função que modela a produção a saber a função de produção de CobbDouglas Essa função foi desenvolvida em 1928 por Charles Cobb e Paul Douglas e foi baseada em uma visão mais simplificada da economia considerando que a saída da produção e determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido Apesar de existirem outras variáveis que afetam o desenvolvimento da economia esse modelo se mostra bastante preciso por isso você decidiu utilizálo na construção do seu software A função CobbDouglas se baseia na produção total valor monetário dos bens produzidos no ano na quantidade de trabalho número total de pessoashora trabalhadas em um ano e na quantidade de capital investido valor monetário de máquinas equipamentos e prédios Matematicamente a função é expressa por em que é produção total a quantidade de trabalho e a quantidade de capital investido e são parâmetros fixos Após a implementação dessa função você decidiu realizar estudos teóricos Sua primeira tarefa é encontrar o domínio dessa função visto que se esse não for considerado corretamente no momento da implementação da função teremos problemas no software Depois considerando que calcule a produção total em um ano quando a quantidade de capital investido é de R 5000000 e a quantidade de trabalho é 2200 horas Sua segunda tarefa é avaliar a produção marginal em relação à quantidade de trabalho e em relação à quantidade de capital investido Depois encontrar essa produção quando a quantidade de capital investido é de R 5000000 e a quantidade de trabalho é 2200 horas Para isso considere que Por fim você deve avaliar a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de R 5000000 e a quantidade de trabalho é 2200 horas e essa variação está na direção do vetor Nesse momento considere também que Como você executaria cada tarefa Quais são os principais conceitos envolvidos nesse estudo teórico Reflita A função de produção de CobbDouglas é amplamente utilizada na Economia pois descreve a forma como os fatores produtivos são combinados Essa função considera uma visão simplificada desses fatores considerando apenas o fator capital e o fator trabalho Ao analisarmos a produção marginal em relação ao trabalho estamos calculando a taxa de variação da produção em relação ao trabalho ou ainda a produtividade marginal do trabalho Analogamente quando estamos avaliando a produção marginal em relação ao trabalho estamos encontrando a taxa de variação da produção em relação ao capital ou ainda a produtividade marginal do capital Com base nesse contexto nossas reflexões para iniciar a solução do nosso problema são com base no que estudamos nessa unidade quais conceitos você pode utilizar para realizar cada uma das tarefas propostas Podemos utilizar as derivadas parciais Se sim quais regras de derivação utilizaremos Como podemos calcular a taxa de variação em direção a um determinado vetor O que é necessário para realizar esse cálculo 4 Videoaula Resolução do estudo de caso Antes de iniciarmos a solução do problema retomaremos suas tarefas A primeira delas é encontrar o domínio da função de produção de CobbDouglas e calcular o seu valor quando Sua segunda tarefa é analisar a produção marginal e depois calcular essa produção quando Sua terceira e última tarefa é avaliar a produção marginal quando e essa variação está na direção do vetor Agora que você já relembrou quais são suas tarefas vamos colocar a mão na massa e resolvêlas Primeira tarefa para encontrarmos o domínio da função você deve se lembrar de que o domínio são todos os valores que as variáveis podem assumir Sabemos que a função de produção de CobbDouglas é dada por e que são parâmetros fixos o domínio dessa função seriam todos os pares ordenados Porém essa função modela uma situação relacionada à economia assim além dessa análise matemática é importante que você considere o significado dessas variáveis referese à quantidade de trabalho ao final de um ano Essa quantidade pode ser negativa referese ao capital investido Esse capital pode ser um valor negativo Em ambos os casos as variáveis não podem assumir valores negativos mas podem ser zero o que acarretaria uma produção nula Assim o domínio dessa função são todos os pares ordenados Para calcularmos a produção quando devemos considerar que Realizando as substituições necessárias na função Logo a produção total é de Segunda tarefa nessa tarefa você deve analisar a produção marginal isto é a derivada da função produção em relação a cada uma das variáveis Considerando que são parâmetros fixos temos que a derivada parcial da função em relação a será dada por Analogamente a derivada parcial em relação a Será dada por Assim a produtividade marginal do trabalho será dada por e a produtividade marginal do capital será dada por Agora temos que calcular essa produtividade marginal do trabalho considerando Analogamente teremos a produtividade marginal do capital Portanto a produtividade marginal do trabalho é de aproximadamente a produtividade marginal do capital é de aproximadamente Terceira tarefa nessa tarefa você deve encontrar a derivada direcional da função dada quando a variação está na direção do vetor Para o cálculo da derivada direcional o primeiro passo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto dado Já realizamos esse passo na tarefa anterior O segundo passo é verificar se o vetor dado é unitário o que é o nosso caso Agora podemos calcular a derivada direcional Portanto essa é a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de R 5000000 e a quantidade de trabalho é 2200 horas e essa variação está na direção do vetor 5 Resumo visual 6 Referências ANTON H et al Cálculo v 2 Porto Alegre RS Bookman 2014 STEWART J Cálculo v 2 São Paulo SP Cengage Learning 2013