Revisão de Coordenadas Polares e Sólidos de Revolução

Unidade 2 Aula 5 Revisão da unidade 1 Coordenadas polares e sólidos de revolução Nesta unidade trabalhamos com as regras de integração conhecidas como Regra da substituição de variáveis e Integração por partes Além disso vimos o processo de conversão entre sistemas de coordenadas em particular a conversão de um sistema cartesiano bidimensional para um sistema de coordenadas polares Todas essas regras e técnicas são desenvolvidas com o intuito de resolver problemas da matemática das engenharias da tecnologia entre outras áreas Para o cálculo do volume de sólidos obtidos por rotações de funções em torno do eixo das abcissas estudamos o método chamado de Volume por discos que é descrito pela equação Para obter o volume de um sólido gerado pela rotação de uma função em torno do eixo das ordenadas é necessário conhecer o intervalo de integração para essa função Dessa maneira desenvolvemos a expressão Em alguns casos o sólido de revolução pode ser obtido pela rotação de uma área gerada por mais do que função A técnica que permite o cálculo do volume desse sólido é chamada de Volume por arruelas Na nossa unidade desenvolvemos a expressão que permite esse cálculo tanto para a rotação em torno do eixo como para a rotação em torno do eixo A seguir temos respectivamente ambas as expressões onde e com Como todos esses processos envolvem a resolução de integrais trabalhamos com técnicas que permitem a substituição de variáveis ou a reescrita em partes da integral original para que obtenhamos uma integral mais simples para ser resolvida Diante dessa necessidade aprendemos o processo de integração por substituição que está descrito passo a passo a seguir Se for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo então Então Passo 1 identificar e comparar com Passo 2 derivar os dois lados dessa equação em relação a Passo 3 isolar Passo 4 substituir na integral pelo resultado encontrado no terceiro passo Passo 5 simplificar a função de forma que reste apenas elementos da variável Passo 6 resolver a integral em relação a Passo 7 voltar esse resultado para a variável Também demonstramos a aplicação da técnica chamada Integração por partes que pode ser rapidamente descrita nos seguintes passos Seja a integral então Passo 1 identificar e comparar com Passo 2 ajustar os intervalos de integração de forma que se Passo 3 derivar os dois lados dessa equação em relação a Passo 4 isolar OBS usamos a variável como padrão mas poderia ser qualquer outra variável Passo 5 substituir na integral pelo resultado encontrado no quarto passo Substituir também os novos intervalos de integração Passo 6 simplificar a função de forma que reste apenas elementos da variável Passo 7 resolver a integral em relação a Por fim identificamos que a conversão entre sistemas de coordenadas pode facilitar a resolução de algumas integrais principalmente quando se deseja integrar curvas como circunferências cardioides entre outras Para essa última análise aprendemos a converter funções escritas no sistema cartesiano para o sistema polar de coordenadas em que teremos O que pode ser observado na figura a seguir Figura 1 Mudança de coordenadas Fonte elaborada pela autora No nosso vídeo da aula resolveremos algumas aplicações usando essas técnicas 2 Videoaula Revisão da unidade Neste vídeo resolveremos exemplos que envolvem a mudança de coordenadas para o sistema polar Dentre esses exemplos trabalharemos a obtenção de áreas e volumes usando integrais que poderão ser resolvidas se necessário através das técnicas descritas na unidade ou de outras técnicas de integração já conhecidas Portanto temos como intuito a recapitulação desses conceitos permitindo assim uma melhor compreensão dos temas abordados 3 Estudo de caso Para contextualizar sua aprendizagem usaremos os conceitos aprendidos para resolver uma importante questão relacionada a superfícies geradas pela rotação de funções em torno de um eixo especificado Um exemplo nesse sentido é a superfície gerada pela rotação de uma parábola em um intervalo conhecido I em torno do eixo das ordenadas Essa estrutura é chamada de paraboloide elíptico ou paraboloide de revolução e pode ser vista na figura a seguir Figura 2 Paraboloide elíptico Fonte geogebra Acesso em 28 dez 2022 Na primeira aula desta unidade vimos o cálculo do volume para esse tipo de sólido de revolução Contudo neste estudo de caso queremos descobrir a área dessa superfície de revolução Isso se dá pois superfícies com essa característica são extremamente aplicadas em diversos contextos práticos Por exemplo antenas parabólicas possuem esse formato porque uma das propriedades da parábola é a de fazer convergir qualquer onda recebida para seu ponto focal ampliando assim o sinal da onda recebida Um paraboloide elíptico nada mais é do que uma reunião de uma infinidade de parábolas ou como definimos a rotação de uma parábola em torno de um eixo conhecido Os telescópios refletores usados atualmente nos mais importantes observatórios do mundo são construídos a partir de uma ideia de Issac Newton 16431727 aplicando o princípio de reflexão de ondas e possuem o formato de um espelho curvo paraboloide O telescópio espacial Hubble também é um dos exemplos de utilização de lentes e espelhos no formato de paraboloides Figura 3 Telescópio Hubble Fonte Wikimedia Commons Alguns paraboloides podem ser observados na natureza como é o caso de alguns fungos como podemos ver na figura a seguir Figura 4 Fungos Fonte Shutterstock De acordo com Lima 2012 as aplicações desse tipo de superfície remontam à Antiguidade tendo Arquimedes como um dos nomes relacionados a esse estudo Diante dessas informações queremos desenvolver uma expressão fórmula matemática para o cálculo da área de uma superfície de revolução obtida pela rotação de uma parábola em torno do eixo das ordenadas Sendo assim precisamos calcular a área da superfície gerada pela rotação da função Com essas informações calcule a superfície de revolução descrita Reflita Para calcular a área de superfícies discretizadas podemos usar conceitos já aprendidos como área lateral de cilindros cones e troncos de cones Reflita sobre a possibilidade de uso dessas expressões para gerar a expressão que permite o cálculo de superfícies de revolução Será possível aproveitar cálculos já realizados nas aulas dessa unidade por exemplo a expressão do comprimento de arco para desenvolvermos a expressão para a área de superfícies de revolução Essa é outra reflexão que apontamos para construir a resolução desse estudo de caso 4 Videoaula Resolução do estudo de caso Queremos calcular a área da superfície de um sólido de revolução gerado pela rotação da função em torno do eixo das ordenadas no intervalo para y entre 0 e 4 Sabemos que a área da superfície de um cilindro circular reto é calculada por sendo r o raio da base desse cilindro e h a altura do cilindro Partindo dessa analogia verificamos que ao rotacionar uma função em torno de um eixo das abscissas a área da superfície de revolução será o somatório de uma infinidade de áreas de cilindros geradas pela discretização do domínio com tamanho infinitesimal e portanto com n tendendo a zero Figura 5 Superfície de revolução Fonte Stewart 2017 p 498 Assim sabendo que o comprimento de um arco é calculado e este será a altura de cada um desses cilindros e ainda que o raio de cada arco é dado por podemos escrever que a área da superfície de cada arco será Portanto Aplicando o mesmo conceito usado na soma de Riemann escrevemos Logo Adaptando essa expressão para a rotação da função gy em torno do eixo y no intervalo para y entre c e d teremos Com isso e tendo a função Assim Simplificando essa expressão E portanto Aplicando a regra da substituição de variáveis para integrais teremos Ainda quando Assim Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais teremos Logo a área da superfície de revolução será unidades de área 5 Resumo visual 6 Referências ANTON H BIVENS I C DAVIS S L Cálculo v 1 Porto Alegre RS Grupo A 2014 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788582602263 Acesso em 25 out 2022 GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo Vol 1 6 ed Rio de Janeiro RJ Grupo GEN 2018 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521635574 Acesso em 6 out 2022 LIMA E L A matemática do ensino médio volume 2 10 ed Rio de Janeiro RJ SBM 2012 ROGAWSKI J ADAMS C DOERING C I Cálculo v 1 Porto Alegre RS Grupo A 2018 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788582604601 Acesso em 29 out 2022 STEWART J Cálculo Volume 1 São Paulo SP Cengage Learning Brasil 2017 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522126859 Acesso em 25 out 2022