Revisão da Unidade 1: Cálculo de Áreas com Integrais

Unidade 1 Aula 5 Revisão da unidade 1 Calculando áreas com as integrais Olá estudante Chegou a hora de relembrar o que foi estudado até aqui Primeiramente estudamos as integrais Seja função a integral pode ser interpretada como a área abaixo da curva entre isto é Na Figura 1 há a área sombreada Para determinar essa área devemos resolver a integral Figura 1 Região delimitada pela função por retas verticais e pelo eixo Fonte elaborada pelo autor Para resolver a integral e determinar a área há alguns métodos Entretanto de forma eficiente e precisa o Teorema Fundamental do Cálculo é utilizado Ele afirma que onde é qualquer primitiva de isto é é uma função tal que Dessa forma teremos que Veja que após encontrar a primitiva na primeira linha foi aplicado o Teorema Fundamental do Cálculo substituindo o limite de integração superior na primitiva menos o limite de integração inferior substituído na primitiva Portanto a região sombreada tem área exata de 2 unidades quadradas Ainda há o caso da área entre duas curvas Nessa situação fazemos a integração da função que delimita a região superiormente menos a função que delimita inferiormente a área com os limites de integração adequados isto é Um exemplo está na Figura 2 Figura 2 Região delimitada superiormente pela função inferiormente por e por retas verticais Fonte elaborada pelo autor Para determinar a área da imagem devemos fazer Então Portanto a área da região entre as duas curvas é de aproximadamente 58693 unidades quadradas de área Importante lembrar que em cálculo de integrais trigonométricas devemos utilizar o ângulo medido em radianos Além da aplicação das integrais para obter áreas de curvas estudamos também as integrais para resolver equações diferenciais Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções que aparecem na equação em forma de derivadas As integrais são úteis para resolver equações diferenciais em especial as do tipo separável aquelas que podemos separar em duas funções e com valores iniciais Por exemplo veja o seguinte problema de valor inicial Nesse problema estamos procurando uma função que vale a igualdade acima Note que essa é uma equação separável pois separamos a função de Agora precisamos deixar de um lado somente e do outro lado somente Integrando ambos os lados teremos Então a função que resolve a equação diferencial apresentada é Para determinar o valor da constante Substituindo na solução teremos Dessa forma e portanto pela condição inicial temos Dessa forma caro estudante chegamos ao fim da revisão Espero que as integrais tenham despertado o seu interesse Bons estudos 2 Videoaula Revisão da unidade Nesta unidade apresentamos as integrais Iniciamos a unidade introduzindo o conceito de soma de Riemann para determinar a área abaixo de uma curva e relacionamos essa soma com as integrais Além disso apresentamos o importantíssimo Teorema Fundamental do Cálculo Após essa etapa abordamos e exemplificamos regras para a integração de certas funções Em seguida chegamos ao ápice da unidade quando mostramos como utilizar as integrais para determinar áreas sobre e entre curvas Por fim falamos um pouco sobre as equações diferenciais Agora assista ao vídeo para reforçar esses conhecimentos 3 Estudo de caso Estudante buscando contextualizar o conteúdo trabalho na unidade e auxiliar sua aprendizagem comece imaginando que você é um engenheiro iniciante e recentemente abriu uma empresa para prestar consultorias em uma região da sua cidade Em um certo dia um possível cliente morador local e membro da associação de moradores da região acabou chegando à sua nova empresa à procura de ajuda Após se apresentarem o cliente lhe conta a seguinte história no bairro há uma praça grande e bem conhecida da população O urbanista que projetou essa parte do bairro incluindo a praça é um grande amante da matemática e em praticamente em todos seus projetos fazia questão de fazer referências aos diversos elementos matemáticos Dessa forma até a praça tem uma história matemática por trás dela o projeto dela se baseia em uma região limitada por funções matemáticas nesse momento o cliente fez um desenho esboçando a praça e as curvas matemáticas Figura 3 Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada Fonte elaborada pelo autor Após apresentar o esboço da praça o cliente lhe faz o seguinte pedido Senhor engenheiro nós da associação de moradores desejamos urgentemente saber a área dessa praça Precisamos desse valor para poder apresentar uma reposta a um programa da prefeitura Você pode nos ajudar agora Antes de você responder o cliente acabou lembrando que as unidades de medidas consideradas pelo urbanista são em centenas de metros Após isso ele pergunta novamente se você pode ajudálo Após ouvir tudo o que lhe foi contado você ficou admirado com a história de como o urbanista acabou fazendo seu projeto Nesse momento você como um profissional qualificado muito bem formado e com apreço ao cálculo diferencial e integral primeiramente agradeceu o cliente pela procura e em seguida lhe disse que era muito fácil ajudar Ainda comentou que poderia resolver o problema imediatamente devido às condições históricas da praça sem nem mesmo precisar sair do escritório Mas e agora como você fará para responder ao cliente sobre a área da praça Note que essa é uma pergunta muito interesse Você não pode deixar esse momento passar é a hora de mostrar seus conhecimentos em cálculo diferencial e integral além disso é o momento de mostrar serviço e fazer um cliente importante Veja que durante a unidade exploraremos os conteúdos necessários para a compreensão adequada desse assunto Boa atividade Reflita Você já pensou como se calcula áreas de terrenos com formatos diferentes Isso mesmo diferentes Áreas de formatos triangulares retangulares circulares entre outras formas conhecidas podemos calcular utilizando fórmulas amplamente conhecidas mas áreas que saem desse padrão necessitam de outras ferramentas Apesar de haver alguns tipos diferentes de métodos as integrais são um dos métodos mais utilizados e recorridos para determinar áreas com formas gerais Você deve estar pensando que são os softwares que calculam e sim são eles Mas é comum que na programação desses softwares existam ferramentas de cálculos de áreas baseadas em integrais sendo que em alguns casos são utilizadas as funções e em outras aproximações por somas Além dessas ideias de se obter áreas por meio de integrais essa ferramenta matemática está presente na resolução de diversos problemas Em alguns não diretamente e em outros mais diretamente porém é muito comum o uso de integrais para a resolução de problemas em especial problemas oriundos de pesquisas Dessa forma você deve ter concluído que a integral é de fato uma ferramenta muito importante 4 Videoaula Resolução do estudo de caso É o momento de resolver o estudo de caso Relembrando brevemente você tem um cliente que deseja saber a área de praça Ele lhe contou uma história interessante sobre o projeto da praça ela tem um formato específico que foi baseado em uma região matemática compreendida entre duas curvas Após isso o cliente lhe apresentou o esboço desse esquema da praça com as curvas consideradas para a inspiração de seu formato Por fim pediu sua ajuda para calcular a área dessa praça sendo um pedido urgente Então você recebeu o pedido do cliente e lhe informou que é fácil de resolver o problema pois dadas as funções é prático calcular as áreas por elas Veja novamente o esboço da praça mostrado anteriormente na Figura 3 Figura 3 Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada Fonte elaborada pelo autor Colocaremos a mão na massa e resolveremos o problema Relembrando o conteúdo dessa unidade é muito simples determinar a área Nesse caso temos uma região delimitada por duas curvas e retas verticais Logo nessa situação fazemos a integração da função que delimita a região superiormente subtraindo a função que está delimitando inferiormente a área com os limites de integração adequados das retas verticais Levando em consideração o esboço da nossa praça temos que a curva superior é a função que limita inferiormente é sendo que as retas verticais que delimitam a região são Portanto utilizando integrais a área da praça será dada pela expressão Agora resolvendo a integral teremos Logo a área da praça é exatamente 68 unidades quadradas de área No nosso caso o cliente informou que o urbanista utilizava centenas de metros para determinar seus projetos Então devemos multiplicar 68 por 10000 pois Portanto a área da praça é de Dessa forma caro estudante por um método simples conseguimos obter a área de uma região somente conhecendo as curvas que a delimitam Pode ser que na prática não seja exatamente dessa forma mas diversos softwares usam o conceito de integrais para determinar áreas Além disso se for possível aproximar uma determinada região por funções matemáticas podemos determinar a área dela Lembrando que o conceito de área não fica restrito apenas às superfícies ele também pode se aplicar em forças densidade probabilidades energia entre outras 5 Resumo visual Figura 4 Síntese conceitual Fonte elaborada pelo autor 6 Referências ANTON H BIVENS I C DAVIS S L Cálculo v 1 Porto Alegre RS Bookman 2014 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788582602263 Acesso em 26 dez 2022 PRADO S do PRADO S T G do OLIVEIRA L de Uma proposta diferenciada para o estudo de aplicações de integrais Anais do Salão Internacional de Ensino Pesquisa e Extensão v 9 n 1 fev 2020 Disponível em httpsperiodicosunipampaedubrindexphpSIEPEarticleview85573 Acesso em 26 dez 2022 STEWART J CLEGG D WATSON S Cálculo Volume I São Paulo SP Cengage Learning Brasil 2021 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9786555584097 Acesso em 26 dez 2022 ZILL D G Equações diferenciais com aplicações em modelagem 10 Ed São Paulo SP Cengage Learning Brasil 2016 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522124022 Acesso em 26 dez 2022