Capacitancia em Linhas de Transmissao Calculo e Efeitos

Capacitância em LT Cálculo da Capacitância Já foi dito que as linhas de transmissão nada mais são que conjuntos de condutores de cobre ou de alumínio utilizados para transportar energia elétrica Já vimos também que a esses condutores está associada uma indutância que influi primariamente na capacidade de transmissão de potência ativa através da linha da mesma forma que pode representar um consumo de potência reativa significativo perdas reativas dadas por xse I2 2πfLse I2 Os condutores que constituem a linha apresentam também uma capacitância que tem efeito direto sobre o comportamento reativo geração reativa dada por bsh V2 2πfCsh V2 da linha Existe um dado nível de carregamento da linha para o qual o consumo de reativos na indutância série da linha é compensado pela geração de reativos de sua parte shunt Nesse caso temos a linha com seu carregamento característico Surge Impedance Loading SIL Em geral entretanto ou a linha opera acima desse nível de carregamento e há mais consumo que geração de reativos carga pesada ou então abaixo desse nível caso em que a linha gera mais reativos do que consome carga leve Ou seja em geral carga e linha estão descasadas Região com cargas Figura 51 Distribuição espacial de cargas com densidade ρxyz e superfície gaussiana fechada A tensão alternada aplicada a uma linha produz uma distribuição de cargas elétricas excedentes nos condutores positivas e negativas com soma algébrica nula à qual estão associados os campos e potenciais elétricos A relação entre os fluxos magnéticos concatenados e as correntes correspondentes define a indutância da linha Analogamente as relações entre as diferenças de potenciais e as densidades de carga correspondentes definem a capacitância da linha A relação entre cargas e fluxos de campo elétrico são regidas pela Lei de Gauss que é uma das equações de Maxwell descrita a seguir s D dS v ρdV qsendo D o campo elétrico na superfície dS um vetor normal à superfície ρ densidade volumétrica de carga ou superficial se a carga estiver concentrada em uma superfície dV um elemento diferencial de volume e q a carga total no interior de S Distribuição de Cargas E λ2πε₀r A Fig 54 mostra dois pontos P1 e P2 contidos em um plano ortogonal ao eixo de um condutor retilíneo infinito com densidade linear de carga λ coulombmetro A diferença de potencial elétrico entre esses dois pontos é dada pela integral de linha do campo elétrico E vP1 vP2 p1p2 E d l vP1 vP2 λ2πε₀ ln r2r1 Figura 52 Distribuição do fluxo elétrico em um condutor cilíndrico Figura 53 Superfície gaussiana empregada no cálculo da intensidade do campo elétrico utilizando a Lei de Gauss Figura 54 Potencial associado a um condutor cilíndrico com densidade linear de carga λ A capacitância por unidade de comprimento será dada por C λv sendo λ a densidade linear de carga e v o potencial do condutor que é dado por v p E dl λ2πε₀ ln R onde P é um ponto na superfície do condutor e R é o raio do condutor Linha Vimos anteriormente que uma linha monofilar sem retorno apresentaria capacitância nula por unidade de comprimento Na prática as linhas são formadas por dois ou mais fios e em geral a soma das densidades de carga nesses fios é nula e como consequência o campo elétrico é relativamente mais fraco quando nos afastamos da linha Note que no caso em que a terra é usada para a corrente de retorno ela funciona como um segundo condutor e conterá uma distribuição de carga oposta à distribuição do condutor em um dado instante Dessa forma na análise de linhas monofásicas bifilares consideraremos λ1 λ2 0 onde λ1 e λ2 são as densidades de carga excedentes por unidade de comprimento Relações equivalentes serão supostas válidas também para sistemas trifásicos Figura 55 Cálculo da capacitância de uma linha monofásica bifilar Figura 56 Ilustração da fração do potencial produzido pela densidade de carga λ2 sobre o condutor 1 em relação ao ponto P essa componente do potencial é dada pela diferença de potencial entre as duas equipotenciais que passam pelos pontos A e B ou seja Y E d l Para o cálculo da primeira componente do potencial consideraremos uma superficie plana de uma unidade de comprimento ao longo do fio e que vai do eixo do condutor 1 até um segmento de linha paralelo ao eixo do condutor e passando por P Essa componente pode ser obtida fazendo o mesmo tipo de integração já utilizado anteriormente v11 d1PR1 E 𝛿l λ12πε0 d1PR1 dxx resultando v11 λ12πε0 lnd1PR1 sendo R1 o raio do condutor 1 e d1P a distância do eixo do condutor até o ponto P Conforme ilustrado na Fig 56 a componente do potencial no condutor 1 criado pela densidade de carga λ2 do condutor 2 é dada por v12 λ22πε0 lnd2PD expressão válida para d2P D sendo d2P a distância do eixo do condutor 2 até o ponto P e D a distância entre os dois eixos Notar que D também é a distância que se medida radialmente a partir da superfície do condutor 2 dá a posição da equipotencial do condutor 2 que passa pelo condutor 1 conforme ilustra a Fig 56 Como estamos supondo λ1 λ2 0 vem v12 λ12πε0 lnDd2P Dado que o potencial do condutor 1 é dado por v1 v11 v22 teremos v1 λ12πε0 lnDR1 lnd1Pd2P Finalmente fazendose o ponto P tender para o infinito obtemos vc1 λ12πε0 lnDR1 De forma análoga podemos obter o potencial associado ao condutor 2 v2 λ22πε0 lnDR2 Matricialmente teremos v1 v2 12πε0 lnDR1 0 0 lnDR2 λ1 λ2 ou seja v1 v2 C111 0 0 C221 λ1 λ2 543 Capacitância da linha A capacitância de uma unidade de comprimento de linha é dada por ligação série das duas capacitâncias C1 C111 C221 ou seja C1 lnDR12πε0 lnDR22πε0 Supondose finalmente que R1 R2 vem C πε0lnDR Fm O potencial em um ponto P tem três componentes devido a cada uma das distribuições de carga com densidades de carga λ1 λ2 e λ3 denominadas respectivamente vc11 vc12 e vc13 Seguindo o mesmo procedimento utilizado no caso da linha monofásica e referindose à Fig 510 obtemos vc11 λ12πε0 lnd1PR1 vc12 λ22πε0 lnd2Pd12 vc13 λ32πε0 lnd3Pd13 Assim o potencial associado com o ponto P será dado pela expressão v1P 12πε0 λ1 lnd1PR1 λ2 lnd2Pd12 λ3 lnd3Pd13 que pode ser reescrita na forma v1P 12πε0 λ1 ln1R1 λ2 ln1d12 λ3 ln1d13 λ1 ln d1P λ2 ln d2P λ3 ln d3P Fazendose o ponto P tender para o infinito P temos a expressão do potencial do condutor 1 dada por ver dedução análoga para o caso de o cálculo da indutância desenvolvido anteriormente v1 12πε0 λ1 ln1R1 λ2 ln1d12 λ3 ln1d13 Analogamente os potenciais dos condutores 2 e 3 são dados por v2 12πε0 λ1 ln1d12 λ2 ln1R2 λ3 ln1d23 v3 12πε0 λ1 ln1d13 λ2 ln1d23 λ3 ln1R3 Matricialmente teremos v1 v2 v3 12πε0 ln1R1 ln1d12 ln1d13 ln1d12 ln1R2 ln1d23 ln1d13 ln1d23 ln1R3 λ1 λ2 λ3 A Fig 510 mostra a seção reta de uma linha trifásica de comprimento infinito As três distâncias entre os condutores não são necessariamente iguais O ponto P é um ponto do plano fora dos condutores e arbitrariamente escolhido As relações entre as densidades de carga nos três condutores e potenciais dos três condutores v1 v2 e v3 podem ser colocadas na forma geral dada por λ1 λ2 λ3 C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 v1 v2 v3 Da mesma forma que ocorre com a indutância veremos mais adiante que no caso particular em que os espaçamentos entre os condutores formam um triângulo eqüilátero e são desprezados outras perturbações a matriz de coeficientes que aparece na Eq 53 se torna uma matriz diagonal com elementos da diagonal principal iguais entre si O potencial em um ponto P tem três componentes devido a cada uma das distribuições de carga com densidades de carga λ1 λ2 e λ3 denominadas respectivamente vc11 vc12 e vc13 Seguindo o mesmo procedimento utilizado no caso da linha monofásica e referindose à Fig 510 obtemos vc11 λ12πε0 ln d1PR1 vc12 λ22πε0 ln d2Pd12 vc13 λ32πε0 ln d3Pd13 Assim o potencial associado com o ponto P será dado pela expressão v1P 12πε0 λ1 ln d1PR1 λ2 ln d2Pd12 λ3 ln d3Pd13 que pode ser reescrita na forma v1P 12πε0 λ1 ln 1R1 λ2 ln 1d12 λ3 ln 1d13 λ1 ln d1P λ2 ln d2P λ3 ln d3P Fazendose o ponto P tender para o infinito P temos a expressão do potencial do condutor 1 dada por ver dedução análoga para o caso de o cálculo da indutância desenvolvido anteriormente v1 12πε0 λ1 ln 1R1 λ2 ln 1d12 λ3 ln 1d13 Analogamente os potenciais dos condutores 2 e 3 são dados por v2 12πε0 λ1 ln 1d12 λ2 ln 1R2 λ3 ln 1d23 v3 12πε0 λ1 ln 1d13 λ2 ln 1d23 λ3 ln 1R3 Matricialmente teremos v1 v2 v3 12πε0 ln 1R1 ln 1d12 ln 1d13 ln 1d12 ln 1R2 ln 1d23 ln 1d13 ln 1d23 ln 1R3 λ1 λ2 λ3 Figura 511 Linha com arranjo equilátero de condutores Considerando a relação λ1 λ2 λ3 0 obtemos a expressão simplificada v1 v2 v3 12πε0 ln d13R1 ln d13d12 0 ln d23d12 ln d23R2 0 0 ln d13d23 ln d13R3 λ1 λ2 λ3 Eliminamos λ3 da primeira equação λ3 da segunda equação e λ1 da terceira equação Observação A Eq 54 apresenta uma matriz capacitância assimétrica na verdade a equação dá a inversa da capacitância Isto está ligado à assimetria na disposição dos condutores mostrada na Fig 510 De fato supondose d12 d13 d23 ou seja considerando a linha trifásica equilátera já utilizada no cálculo da indutância Fig 511 teremos v1 v2 v3 12πε0 ln DR 0 0 0 ln DR 0 0 0 ln DR λ1 λ2 λ3 55 A capacitância por fase por unidade de comprimento é dada por Ci λivi 2πε0 ln DR Fm Figura 512 Linha com disposição linear simétrica Exemplo No exemplo ilustrado na Fig 512 temos d12 D d23 D d13 2D Neste caso a expressão 55 assume a forma v1 v2 v3 12πε0 ln 2DR ln 2R 0 0 ln DR 0 0 ln 2 ln 2DR λ1 λ2 λ3 Analogamente ao que fizemos para o cálculo da indutância podemos transpor a linha o que resultará em uma linha equilátera equivalente conforme indicado na Fig 513 com espaçamento equivalente dado por Deq 3d12 d13 d23 3D 2D D ou Deq 32 D Observação Recapitulando temos que os valores das indutâncias e capacitâncias por fase por unidade de comprimento são dados por Indutância L μ02π ln DeqDs Hm com μ0 4π107 e x ωL 2π f L 00754 ln DeqDs Ωkm 2Req Deq Deq Deq 2Req 2Req Figura 513 Linha eqüilátera equivalente Capacitância C 2πε₀ lnDeqDsc Fm e xc 1 w C 47710⁴ lnDeq Dsc Ωkm Lembrar também que no uso das tabelas de dados sobre cabos teremos que considerar Cálculo de Ds RMG Cálculo de Dsc diâmetro externo2 Fase 3 D Deq Deq Fase 2 Deq Deq D Fase 1 Figura 514 Transformação para um circuito eqüilátero equivalente mesma ordem de grandeza Figura 517 Exercício 2 59 Exercícios 1 Determine a capacitância de uma linha de transmissão monofásica com distância entre condutores igual a 2 m Os condutores dos dois lados da linha são idênticos Compare os valores de L e de C para dois casos 1a se os condutores forem sólidos com raio igual a 2 cm 1b se os condutores forem ocos com raios externo e interno iguais a 2 cm e 1 cm respectivamente 2 A distância entre os centros dos cabos de uma linha monofásica é de 305 m Cada cabo é composto de 7 fios iguais de diâmetro 254 mm ver Fig 517 Determine a capacitância por unidade de comprimento desta linha 20 cm 10 m 10 m Figura 518 Arranjo de condutores correspondente ao Exercício 3 3 Uma linha de tensão nominal 750 kV tem 4 condutores por fase como mostra a Fig 518 Considere que há transposição O raio de cada condutor é igual a 25 cm 4a determine a capacitância da linha 4b determine a bitola do condutor sólido de uma outra linha com mesmo espaçamento entre fases mas com um condutor por fase que tenha a mesma capacitância 4 Uma linha de transmissão trifásica com um condutor por fase está disposta horizontalmente com uma separação de 183 m entre condutores Em um dado instante a carga em um dos condutores extremos é de 6214 x 10⁹ coulombs por metro Cm sendo a dos outros dois 3107 x 10⁹ Cm O raio de cada condutor é 254 mm Desprezando o efeito da presença da terra determinar a tensão entre os dois condutores de mesma carga no instante considerado 5 A distância entre os centros dos cabos de uma linha monofásica é de 305 m Cada cabo é composto de 3 fios encordoados iguais e de diâmetro igual a 254 mm Determine a capacitância por unidade de comprimento desta linha 6 Uma linha de transmissão bifásica com um condutor por fase está disposta horizontalmente com uma separação de 183 m entre condutores Em um dado instante as cargas nos dois condutores são de 6214x10⁹ Cm com sinais opostos O raio de cada condutor é igual a 254 mm Desprezando o efeito da presença da terra determinar a tensão entre as duas fases no instante considerado