Exercícios Resolvidos Formação Matricial e Matriz Admitância Nodal

REVISAR Formação Matricial Matriz Admitância Nodal Exercícios Para vt 2 V sen ωt e it 2 I sen ωt φ considerando a tensão como referência a expressão da potência elétrica instantânea pt vt it é pt 2 V I sen ωt sen ωt φ 28 que pode ser colocada na forma² pt V I cosφ1 cos2ωt V I sen φ sen 2ωt 29 1 Deduzir a expressão 29 a partir da expressão 28 Interpretar 29 graficamente em particular para o caso φ 0 2 A potência aparente de uma indústria é igual a 100 kVA Se a tensão na entrada for de 480 V eficaz determine a O valor eficaz da corrente b A potência ativa e reativa sabendose que a carga é indutiva e que a defasagem entre a tensão e a corrente é de 30 c Sabendose que a frequência é 60 Hz determine o valor do capacitor que deve ser colocado em paralelo na entrada da indústria para que o ângulo de defasagem seja igual a 15 e que a carga total ainda continue indutiva d Repita o item c para defasagem nula entre tensão e corrente 3 Uma indústria tem carga igual a 20 kVA com fator de potência 08 indutivo Realizase uma expansão nessa indústria que corresponde a uma carga de 5 kW com fator de potência 07 indutivo a Determine a nova potência aparente e o novo fator de potência da indústria sabendose que a expansão pode ser considerada uma nova carga em paralelo com a anterior b Determine a potência reativa de um banco de capacitores para ser ligado em paralelo após a expansão tal que o fator de potência resultante seja igual a 085 indutivo c Determine o valor do capacitor sabendose que a frequência elétrica é 60 Hz 4 Considere o circuito representado na Fig 25 com todas as admitâncias dadas por ykm 00 j10 Montar a matriz admitância nodal correspondente e verificar sua singularidade 5 Considere o circuito representado na Fig 26 com todas as admitâncias série iguais a zkm 00 j001 e as admitâncias shunt iguais a ykk 00 j10 Calcular a matriz impedância nodal correspondente 6 Para a situação considerada no exercício precedente calcular a impedância equivalente entre os nós 1 e 2 e entre o nó 1 e a terra 7 Para o circuito representado na Fig 26 determine pelo menos uma situação exemplo para a qual a matriz se torna singular além do caso trivial no qual os elementos shunt são nulos 8 Escrever as expressões das injeções de potência ativa e reativa para os nós de 1 a 5 na situação da Fig 25 com todas as impedâncias iguais a 00 j10 Injeções de Potência Ativa e Reativa Impedância equivalente entre dois nós Em geral essa matriz é esparsa ou seja tem uma grande proporção de elementos nulos pois Ykm 0 sempre que entre os nós k e m não existir uma admitância Em um sistema de potência típico um nó está conectado diretamente a uns poucos nós adjacentes e portanto não está diretamente ligado à maioria dos nós da rede que em geral podem ser milhares Assim o grau de esparsidade normalmente é muito alto 99 ou 999 para sistemas de grande porte A injeção de corrente Ik que é a késima componente do vetor I pode ser colocada na forma Ik YkkEk mΩk YkmEm mK YkmEm 226 sendo K o conjunto Ωk que dá a vizinhança de k acrescido do próprio nó k No circuito ilustrado na Fig 25 não aparecem elementos shunt ou seja não aparecem admitâncias entre os nós e a terra Dessa forma a matriz Y definida anteriormente será uma matriz singular determinante nulo Isto deriva do fato de as fontes de corrente não serem independentes uma vez que a soma algébrica das correntes injetadas nos nós deve ser nula A Fig 26 mostra um caso modificado no qual foram adicionados elementos shunt à rede originalmente mostrada na Fig 25 Nesse caso haverá um retorno para as correntes ligação para a terra o que torna possível a operação do circuito com Figura 26 Inclusão de elementos shunt fontes independentes a matriz Y correspondente será então nãosingular a menos que haja alguma coincidência numérica O que ocorre com o caso da Fig 25 é diferente pois a matriz será singular sempre independente dos valores das admitâncias Quando são incluídos os elementos shunt a matriz Y passa a ser dada por Ykm ykm 227 Ykk mΩk ykm ykk ou seja a única alteração se refere aos elementos da diagonal principal da matriz aos quais são adicionadas as admitâncias shunt dos nós correspondentes A partir das expressões 227 podemos deduzir a seguinte regra geral para a formação da matriz admitância associada a uma dada rede a na posição k m fora a diagonal principal o elemento tem o valor oposto à admitância conectada entre os nós k e m quando não houver ligação o elemento da matriz é nulo b na posição k k da diagonal principal o elemento tem valor dado pela soma de todas as admitâncias conectadas ao nó k inclusive a admitância para a terra shunt Transmissão em Corrente Alternada Fluxo de Potência Ativa Capacidade e Custos de Transmissão Exercício Considerar uma linha de transmissão k m cujos parâmetros são resistência série rkm 2 pu xkm 10 pu ver a Fig 12 As magnitudes das tensões das barras terminais são Vk 10 pu e Vm 098 pu a abertura angular na linha é θkm 15 a Calcular o fluxo de potência ativa Pkm utilizando a Eq 11 b Calcular o fluxo de potência ativa Pkm utilizando a Eq 12 c Estimar as perdas em pu de transmissão de potência ativa potência ativa dissipada na linha Conhecer Transmissão em Corrente Contínua Sistemas Interligados Interligação NorteSul Estudar 1 a Pkm Vk Vm xkm sen θkm Vk10 Pu xkm10pu Vm098 Pu θkm15 Pkm 1098 10 sen15 00254 pu b Pkm θkm xkm θkm15 convertendo em rad θkm 15 π 180 02618 Pkm 02618 10 002618 pu c Para determinar Plinha que é a perda ativa da linha temos Plinha ηkm Pkm2 Qkm2 Vk2 sendo Qkm a potência reativa entre os barro ηkm 2 Pu Qkm 1xkm Vk2 VkVm cosθkm 110 11098 cos 15 000534 Então Plinha 2 002542 0005342 1 000135 pu Revisar 1 Pt 2VI sen wt sen wt φ 2VI sen wt sen wt cos φ cos wt sen φ Pt VI 2 sen2 wt cos φ 2 sen wt cos wt sen φ sen2 wt 1 cos 2wt 2 2 sen wt cos wt sen 2wt Pt VI cos φ 1 cos 2wt VI sen φ sen 2wt 2 a S Vap Iap 100k 480 Iap 20833A b Pativa S cos φ 100k cos 30 866 kw Preativa S sen φ 100k sen 30 50 KVar Positiva por ser Indutiva c FP cos 15 0966 Novo Fator de Potência S Pativa FP realinhado 866 kw 0966 8965 kva Preativa S sen 15 2320 KVar Então a Pcap originária pela carga do capacitor Pcap Preativa Preativa 50 KVar 2320 KVar 2680 KVar Como Pcap ω C Vap2 C 2680 k 2 π 60 4802 0000308 F 308 μF d FP cos 0 1 S Pativa 866 kw Preativa 0 Pcap Preativa Preativa 50 k Var C Pcap ω Vap2 50k 2π 60 4802 0000576 F 576 μF 3 a S120kVA FP108 P116KW Q112kVar P25kW FP207 S2714 kVA Q2510kVar Pl Cargos em paralelo Pros P1P2 21KW Qros Q1 Q2 17 10 kVar Sros sqrtPros2 Qros2 2708 KVA FPros Pros Sros 0775 b FPros 085 S Pros FPros 21KW 0775 271 KVar Qros 271 k sqrt1FPros21427 KVar Pcap Qros Qros 1710 1427 283 KVar c Pcap WC Vap supondo Vap 120 Preciso desse dado nao informado C 283K 2pi601202 0000521 F 521µF 4 Pela Lei de Kirchkoff das correntes Nó LKC 1 I1V1V2Y12 V1V5Y15 2 I2V2V1Y12 V2V3Y23 3 I3V3V2Y23 V3V5Y35 V3V4Y34 4 I4V4V3Y34 V4V5Y45 5 I5V5V1Y15 V5V3Y35 V5V4Y45 Em matriz Y I1 I2 I3 I4 I5T Y12Y15 Y12 0 0 Y15 Y12 Y12Y23 Y23 0 0 0 Y23 Y23Y35Y34 Y34 Y35 0 0 Y34 Y34Y45 Y45 Y15 0 Y35 Y45 Y15Y35Y45V1 V2 V3 V4 V5T Yrosj 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 3 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 1 3 detYros0 Matriz singular 5 Basta adicionar os Rshunt Y Y12Y15Y11 Y12 0 0 Y15 Y12 Y12Y23Y22 Y23 0 0 0 Y23 Y23Y35Y34Y33 Y34 Y35 0 0 Y34 Y34Y45Y44 Y45 Y15 0 Y35 Y45 Y15Y35Y45Y55 Yres j 102 001 0 0 01 001 102 001 0 0 0 001 103 01 01 0 0 001 102 01 001 0 001 01 103 6 Z12eq Z11 Z22 2Z12 Z11 Z22 1ykk j Z12 1ykm 100 j Z12eq 200j 2j 198j Z10eq Z11 j 7 Para ser singular det Y 0 e basta que duas linhas quaisquer de Y sejam iguais por exemplo linha 1 Y12 Y15 Y11 Y10 0 0 Y15 Y15 Y33 0 Y12 50j Y11 100j linha 2 Y12 Y12 Y23 Y22 Y23 0 0 Y23 Y22 50j Qualquer outros valores p outros Ykm 8 S1 P1 j Q1 V1 I1 V1 V1 V2 Y12 V1 V5 Y15 P1 j Q1 V1 2 V1 V2 V5 Por analogia P2 j Q2 V2 V1 2 V2 V3 P3 j Q3 V3 V2 3 V3 V4 V5 P4 j Q4 V4 V3 2 V4 V5 P5 j Q5 V5 V1 V3 V4 3 V5