Atividade de Solicitações Mecanicas

ATIVIDADE Entrega até o dia da P1 Adote g 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 um sistema massamola de massa de 300 kg e constante de rigidez 200 kNm possui propriedades magnéticas e atrai uma quantidade de massa de 20 kg Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese Calcular a equação de movimento do corpo xt após a massa se desprender Questão 2 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL conforme figura 2 estime a O valor da frequência natural e o fator de amortecimento b O valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 003 mm c Para t 07 o deslocamento percorrido Questão 3 Um movimento harmônico é expresso pela equação xt 08 04sen227t 4 em mm Determinar a amplitude o máximo deslocamento o ângulo de fase a frequência angular e o tempo e posição em que a velocidade é máxima Questão 4 O núcleo móvel de um relé eletromagnético possui massa de 12 gramas e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado também a constante de amortecimento sabendose que entre duas amplitudes sucessivas a razão é de 201 Adote E 210 GNm2 Questão 5 Um tanque é transportado por três cabos idênticos figura 4 e desejase estimar seus valores máximos de descolamento velocidade e aceleração que resultarão de seu movimento livre na direção z Para uma massa de 2800 kg decremento logarítmico de 45 e cabos de aço com diâmetro de 123 mm cada determine estes valores Adote E 210 GPa Questão 6 Um suporte possui uma configuração como na figura 5 composto de uma viga estrutural uma mola e de um cabo com comprimento de 2 m e de diâmetro D O cabo é de mesmo material da viga e todos os componentes são de massa desprezíveis Para uma massa m qualquer fixa ao conjunto qual é o diâmetro mínimo do cabo para que a Figura 1 Figura 2 Figura 3 deflexão máxima seja de Use para a resolução os parâmetros analíticos E A I k l e Adote rigidez do cabo kcabo EAL Figura 4 Figura 5 1 A equação do movimento do corpo de um sistema massamola na posição vertical pode ser escrito da seguinte forma 𝑥𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 Onde a frequência natural pode ser expressa por 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 Portanto vamos calcular a frequência natural antes e depois da massa ser desprendida A frequência natural antes 𝜔𝑛𝑎 200 103 300 20 𝜔𝑛𝑎 25 𝑟𝑎𝑑𝑠 A frequência natural depois 𝜔𝑛𝑑 200 103 300 𝜔𝑛𝑑 2582 𝑟𝑎𝑑𝑠 Escrevendo as equações do movimento antes e depois da massa ser desprendida respectivamente 𝑥𝑎𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠25𝑡 𝑥𝑑𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠2582𝑡 Da 2 Lei de Newton considerando o sistema em equilíbrio estático 𝑚𝑔 𝑘𝐴 𝐴 𝑚𝑔 𝑘 𝐴 300 10 200 103 𝐴 0015 Portanto podemos escrever a equação do movimento final 𝑥𝑑𝑡 0015𝑐𝑜𝑠2582𝑡 2 a Para determinar a frequência natural temos a seguinte expressão 𝑇 2𝜋 𝜔𝑛 Isolando a frequência natural 𝜔𝑛 2𝜋 𝑇 Analisando o gráfico temos que o período de oscilação 𝑇 008 002 𝑇 006 𝑠 Portanto a frequência natural 𝜔𝑛 2𝜋 006 𝜔𝑛 10472 𝑟𝑎𝑑𝑠 Para determinar o fator de amortecimento temos a seguinte expressão 𝛿 2𝜋𝜉 1 𝜉2 Isolando o fator de amortecimento 𝛿2 4𝜋2𝜉2 1 𝜉2 1 𝜉2 4𝜋2𝜉2 𝛿2 1 𝜉2 𝜉2 4𝜋2 𝛿2 1 𝜉2 1 4𝜋2 𝛿2 1 𝜉2 4𝜋2 𝛿2 1 𝜉2 1 4𝜋2 𝛿2 1 𝜉 1 4𝜋2 𝛿2 1 1 2 O decremento logarítmico é dado pela seguinte expressão 𝛿 1 𝑛 ln 𝑥0 𝑥𝑛 Levando em consideração a primeira amplitude ou seja 𝑛 1 𝛿 ln 17 13 𝛿 027 Portanto o fator de amortecimento 𝜉 1 4𝜋2 0272 1 1 2 𝜉 0043 b Para determinar o tempo primeiro precisamos escrever a equação do deslocamento para amortecimento viscoso 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜙 Onde a amplitude é dada por 𝑋 𝑥0 2 𝑣0 𝜉𝜔𝑛𝑥0 𝜔𝑑 2 A frequência natural amortecida pode ser expressa por 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜉2 𝜔𝑑 10472 1 00432 𝜔𝑑 10462 𝑟𝑎𝑑𝑠 Portanto a amplitude 𝑋 172 0 0043 10472 17 10462 2 𝑋 1701 𝑚𝑚 Por fim teremos 003 1701𝑒004310472𝑡𝑠𝑒𝑛10462𝑡 𝑡 942 𝑠 c Para 𝑡 07 𝑥𝑡 1701𝑒00431047207𝑠𝑒𝑛10462 07 𝑥𝑡 06 𝑚𝑚 3 Lembrando que a equação do deslocamento pode ser escrita da seguida forma 𝑥𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜙 De acordo com a equação fornecida a amplitude 𝐴 04 𝑚𝑚 A frequência angular 𝜔𝑛 227 𝑟𝑎𝑑𝑠 O ângulo de fase 𝜙 𝜋 4 O máximo deslocamento é dado por 𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡 0 04 227𝐶𝑜𝑠 227𝑡 𝜋 4 0 𝐶𝑜𝑠 227𝑡 𝜋 4 0 227𝑡 𝜋 4 𝜋 2 227𝑡 𝜋 4 𝑡 0 Portanto o deslocamento máximo 𝑥0 08 04𝑠𝑒𝑛227 0 𝜋 4 𝑥0 108 𝑚𝑚 A equação para a velocidade pode ser obtida por 𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑡 𝑣𝑡 04 227𝐶𝑜𝑠 227𝑡 𝜋 4 O tempo em que a velocidade é máxima 𝑑𝑣𝑡 𝑑𝑡 0 04 2272𝑆𝑒𝑛 227𝑡 𝜋 4 0 𝑡 0 Portanto a posição será 𝑥 108 𝑚𝑚 4 Primeiro vamos determinar a frequência natural nas 2 posições A frequência natural é dada por 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚 Onde a constante de rigidez equivalente pode ser calculada da seguinte forma 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘𝑟 1 𝑘𝑙 1 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝑙 𝑘𝑟 𝑘𝑙𝑘𝑟 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝑟𝑘𝑙 𝑘𝑟 𝑘𝑙 A constante de rigidez das lâminas podem ser calculadas por 𝑘 𝐸𝐴 𝑙 Para o relé aberto 𝑘𝑙𝑎 210 109 08 103 6 103 20 103 𝑘𝑙𝑎 504 𝑀𝑁𝑚 Para o relé fechado 𝑘𝑙𝑓 210 109 08 103 6 103 15 103 𝑘𝑙𝑓 672 𝑀𝑁𝑚 Portanto a rigidez equivalente para o relé aberto 𝑘𝑒𝑞𝑎 3 103 504 106 3 103 504 106 𝑘𝑒𝑞𝑎 299982 𝑁𝑚 A rigidez equivalente para o relé fechado 𝑘𝑒𝑞𝑓 3 103 672 106 3 103 672 106 𝑘𝑒𝑞𝑓 299986 𝑁𝑚 Por fim a frequência natural para o relé aberto 𝜔𝑛 299982 0012 𝜔𝑛 49998 𝑟𝑎𝑑𝑠 Para o relé fechado 𝜔𝑛 299986 0012 𝜔𝑛 49999 𝑟𝑎𝑑𝑠 A constante de amortecimento pode ser calculada através da seguinte expressão 𝑐 2𝜉𝑚𝜔𝑛 Onde o fator de amortecimento é calculado através da equação já deduzida no item 2 𝜉 1 4𝜋2 𝛿2 1 1 2 Calculando o decremento logarítmico 𝛿 ln 20 𝛿 3 Calculando o fator de amortecimento 𝜉 1 4𝜋2 32 1 1 2 𝜉 0431 Por fim a constante de amortecimento 𝑐 2 0431 0012 500 𝑐 517 𝑁 𝑠𝑚 5 Inicialmente vamos determinar a equação que descreve o deslocamento 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜙 Vamos calcular os parâmetros da equação acima começando pela frequência natural 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚 Onde a constante de rigidez equivalente será dada por 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝐴𝐵 𝑘𝐴𝐶 𝑘𝐴𝐷 Para elementos sujeitos a carga axial 𝑘 𝐸𝐴 𝑙 Portanto a rigidez equivalente 𝑘𝑒𝑞 210 109 𝜋 123 1032 4 1 13 1 13 1 10 𝑘𝑒𝑞 2173 𝑀𝑁𝑚 Desta forma a frequência natural 𝜔𝑛 2173 106 2800 𝜔𝑛 881 𝑟𝑎𝑑𝑠 Agora calculamos o fator de amortecimento Equação já deduzida em itens anteriores 𝜉 1 4𝜋2 𝛿2 1 1 2 𝜉 1 4𝜋2 452 1 1 2 𝜉 058 Calculando agora a frequência natural amortecida 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜉2 𝜔𝑑 881 1 0582 𝜔𝑑 7162 𝑟𝑎𝑑𝑠 Calculando a amplitude 𝛿 ln 𝑥0 𝑥𝑛 𝑒𝛿 𝑥0 𝑥𝑛 𝑋 𝑒45 𝑋 90 𝑚𝑚 Portanto o deslocamento máximo 𝑋 90 𝑚𝑚 A velocidade máxima 𝑣𝑚á𝑥 𝑋𝜔𝑑 𝑣𝑚á𝑥 90 7162 𝑣𝑚á𝑥 64458 𝑚𝑚𝑠 A aceleração máxima 𝑎𝑚á𝑥 𝑋𝜔𝑑 2 𝑎𝑚á𝑥 90 103 71622 𝑎𝑚á𝑥 46165 𝑚𝑠2 6 A deflexão pode ser expressa por 𝛿 𝐹 𝑘𝑒𝑞 Onde 𝐹 𝑚𝑔 E a constante de rigidez equivalente 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘 1 𝑘𝑣𝑖𝑔𝑎 1 𝑘𝑐𝑎𝑏𝑜 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘 1 3𝐸𝐼 𝑙3 1 𝐸𝐴 𝐿 1 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 𝑘𝑒𝑞 1 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 Substituindo na equação para deflexão 𝛿 𝑚𝑔 1 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 𝛿 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 𝑚𝑔 A área do cabo é dada por 𝐴 𝜋𝐷2 4 Substituindo na equação acima e isolando o D 𝛿 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 𝐿 𝐸 𝜋𝐷2 4 𝑚𝑔 𝛿 𝑚𝑔 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 4𝐿 𝜋𝐸𝐷2 𝛿 𝑚𝑔 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 4𝐿 𝜋𝐸𝐷2 𝐷2 4𝐿 𝜋𝐸 𝛿 𝑚𝑔 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 𝐷 4𝐿 𝜋𝐸 𝛿 𝑚𝑔 1 𝑘 𝑙3 3𝐸𝐼 1 2 Moscow Business Center ALFA TOWER 692 Zatsepsky Val St Moscow 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