Aula 10: Cinemática dos Corpos Rígidos

AULA 10 Prof José Maciel Dinâmica CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Cinemática dos Corpos Rígidos 1 Corpo Rígido definição 2 Movimentos de um Corpo Rígido 3 Movimento de Translação 4 Movimento de Rotação 5 Movimento de Rotação em Torno de Eixo Fixo 6 Movimento Plano Geral Este estudo é importante para o projeto de engrenagens cames e mecanismos utilizados para muitas operações mecânicas Assim que a cinemática esteja plenamente compreendida podese aplicar as equações do movimento que relacionam as forças sobre o corpo ao movimento plano de um corpo rígido CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO Em engenharia mecânica a came ou o camo é uma peça de forma excêntrica e movimento circular giratório que compõe um conjunto mecânico com outra peça chamada de seguidor cujo movimento é linear retilíneo alternado Um corpo é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é constante O corpo rígido conserva a sua forma durante o seu movimento CORPO RÍGIDO São corpos cuja dimensões não são desprezáveis É o movimento onde qualquer linha reta dentro do corpo mantém a mesma direção durante o movimento Podese observar também que em uma translação todas as partículas que constituem o corpo movemse ao longo de trajetórias paralelas Se essas trajetórias são linhas retas o movimento é denominado translação retilínea se as trajetórias são linhas curvas o movimento é uma translação curvilínea MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO 1 O movimento de translação Nesse movimento as partículas que constituem o corpo rígido movemse em planos paralelos ao longo de círculos centrados em um mesmo eixo fixo Se esse eixo denominado eixo de rotação intercepta o corpo rígido as partículas localizadas sobre o eixo têm velocidade e aceleração nulas 2 O movimento de rotação em torno de um eixo fixo Movimento rotacional puro A rotação não deve ser confundida com certos tipos de translação curvilínea Uma vez que cada partícula movese em um dado plano a rotação de um corpo em torno de um eixo fixo é denominada um movimento plano Existem muitos outros tipos de movimento plano isto é movimentos em que todas as partículas do corpo movemse em planos paralelos Todo movimento plano que não seja nem uma rotação nem uma translação é referido como um movimento plano geral Na figura ao lado estão ilustrados dois exemplos desse movimento 3 O movimento plano geral b Barra deslizante a Rodas rolantes Movimento translacional rotacional O movimento plano geral é a combinação do movimento de rotação e de translação O movimento tridimensional de um corpo rígido ligado a um ponto fixo O como por exemplo o movimento de um pião sobre um piso áspero figura ao lado é conhecido como movimento em torno de um ponto fixo 4 O movimento em torno de um plano fixo 5 O movimento geral Qualquer movimento que não se enquadre em alguma das categorias anteriores é referido como movimento geral O Considere um corpo rígido em translação retilínea ou curvilínea sendo A e B qualquer uma de suas partículas Figura Representando MOVIMENTOS DE TRANSLAÇÃO respectivamente por rA e rB os vetores de posição de A e B em relação a um sistema de referência fixo e por rBA o vetor que liga A e B podese escrever rB rA rBA Então diferenciando essa expressão em relação a t Notase que a partir da primeira definição de uma translação o vetor rBA deve manter uma direção constante sua intensidade também deve ser constante pois A e B pertencem ao mesmo corpo rígido Logo a derivada de rBA é nula e temse vB vA Diferenciando uma vez mais obtémse aB aA Logo quando um corpo rígido está em translação todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade e a mesma aceleração em qualquer instante dado Figuras a e b a seguir Como P permanece a uma distância constante de B ele descreverá um círculo de centro o B e de raio r senϕ onde ϕ representa o ângulo formado entre r e AA A posição de P e de todo o corpo fica totalmente definida pelo ângulo θ que a linha BP forma com o plano zx ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO O eixo fixo é denominado eixo de rotação θ é a coordenada angular do corpo rígido Rotação de uma placa representativa A rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo pode ser definida pelo movimento de uma placa representativa em um plano de referência perpendicular ao eixo de rotação A velocidade v de P é um vetor perpendicular ao plano contendo AA e r e de intensidade Sendo os vetores k e r perpendiculares entre si a intensidade da velocidade v é e seu sentido pode ser obtido girando r 90 no sentido de rotação da placa Observando que o produto vetorial de r por k duas vezes resulta em um giro de 180 do vetor r podese expressar a aceleração do ponto P como Decompondo a em componentes tangencial e normal escrevese Equações definidoras da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo O movimento de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo AA é considerado conhecido quando sua coordenada angular ω pode ser expressa como uma função conhecida de t ou Dois casos particulares de rotação são encontrados frequentemente 1 Rotação Uniforme Este caso é caracterizado pelo fato de que a aceleração angular é nula Logo a velocidade angular é constante e a coordenada angular é dada pela equação 2 Rotação Uniformemente Acelerada Neste caso a aceleração angular é constante As seguintes Eqs que relacionam a velocidade angular a coordenada angular e o tempo podem ser facilmente deduzidas Fica claro a similaridade entre as fórmulas deduzidas aqui e aquelas obtidas para o movimento retilíneo uniformemente acelerado P1512 A barra dobrada ABCDE gira em torno de uma linha que liga os pontos A e E com uma velocidade angular constante de 9 rad s Sabendo que a rotação é horária a partir de E determine a velocidade e a aceleração do canto C EXEMPLO RESOLVIDO RESOLUÇÃO O movimento plano geral um movimento plano que não é uma translação nem uma rotação Todavia um movimento plano geral pode ser sempre considerado como a soma de uma translação e de uma rotação MOVIMENTO PLANO GERAL Centro Instantâneo de Velocidade Nula A velocidade de qualquer ponto B localizado sobre um corpo rígido pode ser obtida de uma maneira muito direta escolhendo o ponto base A para ser um ponto que tem velocidade nula no instante considerado Nesse caso vA 0 e portanto a equação da velocidade vB vA ω rBA tornase vB ω rBA Para um corpo com um movimento plano geral o ponto A assim escolhido é chamado de centro instantâneo de velocidade nula CI e ele se encontra no eixo instantâneo de velocidade nula Esse eixo é sempre perpendicular ao plano do movimento e a interseção do eixo com esse plano define a localização do CI Aqui as distâncias radiais mostradas na foto figura a seguir têm de ser determinadas a partir da geometria da roda CM v v R COMBINAÇÃO DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO O ponto de contato está sempre em repouso abaixo do centro acima do centro R v R v Análise do Movimento Relativo Velocidade O movimento plano geral de um corpo rígido pode ser descrito como uma combinação de translação e rotação Para ver esses movimentos componentes separadamente usase uma análise do movimento relativo envolvendo dois conjuntos de eixos coordenados O sistema de coordenadas x y é fixo e mede a posição absoluta de dois pontos A e B sobre o corpo aqui representado como uma barra figura ao lado A origem do sistema de coordenadas x y estará conectada ao ponto base escolhido A que geralmente tem um movimento conhecido Os eixos desse sistema de coordenadas transladam em relação ao sistema fixo mas não giram com a barra Posição O vetor posição rA mostrado na figura especifica a localização do ponto base A e o vetor posição relativa rBA localiza o ponto B em relação ao ponto A Pela adição de vetores a posição de B é então rB rA rBA Deslocamento Durante um instante de tempo dt os pontos A e B sofrem deslocamentos drA e drB como mostrado na figura a seguir Se considerar o movimento plano geral por suas partes componentes a barra inteira primeiro translada de uma quantidade drA de maneira que A o ponto base se desloca para sua posição final e o ponto B se desloca para B como mostrado na figura anterior A barra é em seguida girada em torno de A por uma quantidade dθ de maneira que B sofre um deslocamento relativo drBA e assim se desloca para sua posição final B Em virtude da rotação em torno de A drBA rBA dθ o deslocamento de B é Velocidade Para se determinar a relação entre as velocidades dos pontos A e B é necessário fazer a derivada temporal da equação da posição ou simplesmente dividir a equação do deslocamento por dt Isso resulta em onde vB velocidade do ponto B vA velocidade do ponto base A vBA velocidade de B em relação a A vB vA vBA Visto que a velocidade relativa vBA representa o efeito do movimento circular em torno de A esse termo pode ser expresso pelo produto vetorial vBA ω rBA Por conseguinte para aplicações utilizando a análise vetorial cartesiana também podese escrever a equação como Essa equação pode ser usada de uma maneira prática para estudar o movimento plano geral de um corpo rígido que esteja conectado por pino ou em contato com outros corpos em movimento vB vA ω rBA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01 Uma corda está enrolada em torno de uma roda na figura ao lado que está inicialmente em repouso quando θ 0 Se uma força é aplicada à corda e fornece a ela uma aceleração a 4t ms² onde t é dado em segundos determine como uma função de tempo a a velocidade angular da roda e b a posição angular da linha OP em radianos RESOLUÇÃO 02 O motor mostrado na fotografia é utilizado para girar uma roda e um ventilador preso a ela mantido como um conjunto Os detalhes do projeto são mostrados na figura ao lado Se a polia A conectada ao motor começa a girar do repouso com uma aceleração angular constante de αA 2 rads² determine as intensidades da velocidade e aceleração do ponto P na roda após a polia ter dado duas voltas Suponha que a correia de transmissão não deslize sobre a polia e a roda RESOLUÇÃO 03 A extremidade da haste R mostrada na figura a seguir mantém contato com o came através de uma mola Se o came gira em torno de um eixo passando pelo ponto O com aceleração angular α e velocidade angular ω determine a velocidade e aceleração da haste quando o came está na posição arbitrária θ RESOLUÇÃO 04 Uma grande janela na figura a seguir é aberta usando um cilindro hidráulico AB Se o cilindro se estende a uma taxa constante de 05 ms determine velocidade e aceleração angulares da janela no instante θ 30º RESOLUÇÃO 05 P1538 O movimento da barra AB é guiado por pinos presos em A e B os quais deslizam nas fendas mostradas na figura No instante mostrado na figura θ 40 e o pino em B deslocase para cima e para a esquerda a uma velocidade constante de 150 mms Determine a a velocidade angular da barra b a velocidade do pino na extremidade A RESOLUÇÃO 06 A barra de ligação mostrada na figura a seguir é guiada por dois blocos em A e B que se deslocam nas ranhuras fixas Se a velocidade de A é 2 ms para baixo determine a velocidade de B no instante θ 45º RESOLUÇÃO 07 O cilindro mostrado na figura ao lado rola sem deslizar sobre a superfície de uma esteira transportadora que está se deslocando a 06 ms Determine a velocidade do ponto A O cilindro tem velocidade angular no sentido horário ω 15 rads no instante mostrado RESOLUÇÃO 08 P 1544 A placa mostrada na figura deslocase no plano xy Sabendo que vAx 300 mms vBx 100 mms e vCy 600 mms determine a a velocidade angular da placa b a velocidade do ponto B RESOLUÇÃO 09 P 1550 A engrenagem A gira com uma velocidade angular de 120 rpm no sentido horário Sabendo que a velocidade angular do braço AB é 90 rpm no sentido horário determine a velocidade angular correspondente da engrenagem B RESOLUÇÃO 10 P 1554 O braço ACB gira em torno do ponto C com velocidade angular de 40 rads no sentido anti horário Dois discos de atrito A e B estão presos por pinos em seus centros ao braço ACB do modo mostrado na figura Sabendo que os discos rolam sem escorregar nas superfícies de contato determine a velocidade angular a do disco A b do disco B RESOLUÇÃO