Cálculo de Áreas e Volumes com Métodos de Integração

Encontre a área da região limitada pelas curvas y n² e y 4n n² Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas da curva y 4n² x em 02 Calcule o volume do problema anterior usando o método das cascas cilíndricasinvolutiras cilindricas Seja a região limitada pelas curvas yx²8x e y4n Em contraste o volume dos sólidos obtido pela rotação em torno do eixo das abscissas da região inutada usando o método dos discoscasais x em 0 V a b π fn² gn² dn V 0 4 π n²8n²4n² dn V π 0 4 x⁴ 16x³ 64n² 16n² dn V π 0 4 x⁴ 32n³ 64n² dn π n⁵5 8n⁴4 64n³3 ⁴ V π 2048 20448 V 22 5128 π unidades de volume Resolva o 05 usando o método das cascas cilíndricascurvas Agora girando a região em torno do eixo y V a b 2πx fn dn V 0 4 2π n³ 4n² dn 2π n⁴4 4n³3 ⁴ 2π 643 2π 643 128π3 u volume extCONVERGE extparece ser decrescente extCONVERGENTE lim m mm1 1 0 DIVERGENTE lunshan que se lim an0 não garante a CONVERGÊNCIA b Σ m1 3m 3 32 33 34 35 3m lim m 3m 0 não garante a convergência veja Σ m3 3m 3 Σ m1 1m série harmônica DIVERGENTE 14 Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente Σ m1 1m4 11 15 18 113 120 1m4 se usamos o teste da divergência lim m 1m24 0 pode convergir ou não pelo teste Σ m1 1m24 fx1x24 é contínua positiva e decrescente em 1 logo podemos aplicar o teste da integral 14x2 dx 14 2 dt 14t2 dt 12 dt1t2 12 arctant 12 arctann2 b Σ m1 1x24 dx lim b 1x24 dx lim b 12 arctanx21b lim b 12 arctanb2 12 arctan12 12π2 12 arctan12 12 π2 π4 12 arctan12 CONVERGENTE portanto Σ m1 1cosmem e CONVERGENTE 16 Use o teste de comparação de limite para determinar se a série Σ m1 1m21 diverge Σ m1 1m21 olhando 1m21 1m2 1m gera uma série harmônica a lim an m c finito e c0 teste b lim an lim 1m21 lim 1mm21 11 1 c0 lim m 1m21 m1 17 Use o teste da série alternada para ver se a summ1infty 1m em convergente ou divergente teste summ1infty 1 bm bn0 i bm eq bn ext CONVERGE ii limm o infty bn 0 18 Use o teste da razão para ver se a summ1infty fracMgm convergente ou divergente summ1infty m 1 2 3 4 5 ldots fracMgm limm o infty left fracan1an right L 1 ext CONVERGENTE L 1 ext DIVERGENTE L 1 ext INCONCLUSIVO