Cálculo Diferencial Integral

IFPE CAMPUS RECIFE Aluno Curso ENGENHARIA FICHA 4 01 Calcule as seguintes integrais a b c d e f g h i j k 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 l 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥 m 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 n 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 02 Seja R a região compreendida entra a reta y x1 e a par abola y x13x Determine a área de R 03 Determine a área da região limitada pelas curvas a x y3 e x y2 b y 2x2 e y x4 2x2 c y 4 x2 e y x 2 d y 𝑥 e y x 2 e y sen2x pelo eixo x e pelas retas x 0 e x 2𝜋 f y x x 2 y 1x2 y 0 e o primeiro quadrante g y ln x y ln 2x no intervalo 1 x 5 h y 2x1x2 no intervalo 2 x 2 Exercício 1 a Considere a substituição u1y2 Então du2y dy e 1y22y dyu du23u32C231y232C Para resolver a integral 4t1 dt considere a substituição u4t1 Então du4 dt e 4t1 dtu du414 u du1423u32C164t132C b Consideremos a substituição u7θ5 Então du7 dθ e cos7θ5 dθcosu du717 cosu du17senuC17sen7θ5C c Consideremos a substituição ux3 Então du3x2 dx e x2 ex3 dxeu du313 eu du13euC13ex3C d Multiplicando o numerador e denominador do integrando por ex obtemos 1exex dx1exex exex dxexe2x1 dx Agora para resolver a última integral considere a substituição uex Então duex dx e2xex2u2 e exe2x1 dx1u21 duarctguCarctgexC e Note que lnx2x2ln xx Assim consideremos a substituição ulnx Então dudxx e lnx2x dx2 lnxx dx2 u du2u22Cu2Cln2xC f Consideremos a substituição u2x Então du2x dx e 1cos22x dx1cos2u du212 1cos2u du12 sec2u du12tguC g Consideremos a substituição uz21 Então du2z dz e 2zz21 dz1u duu13 du32 u23C32z2123C h Seja Isen2x dx Usando o método da integral por partes sejam usenx e dvsenx dx Então ducosx dx vcos2x e Isenxcosxcosx dxsenxcosxcos2x dxsenxcosx1sen2x dxsenxcosxdx sen2x dx I Logo 2Isenxcosxx Ixsenxcosx2 C h Consideremos a substituição u2x2 Então du4x dx e x sen2x2 dxsenu u414 senu du14 cosu C14 cos2x2C i Consideremos a substituição ux31 Então du3x2 dx e 3x2x31 dxu du23 u32C23 x3132C Logo a integral definida é dada por 11 3x2x31 dx23 x3 132 11 23 22 42 3 j Consideremos a substituição u3x2 Então du32 dx 3dx23 du 343x2 dx 23 4 4u2 du 32 11 u2 du 33 arctguC 32 arctg3x2 C k Usando o método da integral por partes sejam u x e dv cosx Então du dx v senx e x cosx dx x senx senx x senx cosx x senx cosx C l Usando o método da integral por partes sejam u x2 e dv cosx Então du 2x dx v senx e x2 cosx dx x2 senx 2x senx dx 1 Para resolver a integral em vermelho aplicamos novamente o método da integral por partes sejam s x e dt senx Então ds dx t cosx e 2x senx dx 2 x senx dx 2 x cosx cosx dx 2 x cosx cosx dx 2 x cosx senx Assim voltando em 1 temos x2 cosx dx x2 senx 2x cosx senx x2 senx 2x cosx 2 senx x2 2 senx 2x cosx C m Usando o método da integral por partes sejam u cosx e dv ex Então du senx v ex e I ex cosx dx ex cosx ex senx dx 2 Para resolver a integral em vermelho aplicamos novamente o método da integral por partes sejam s senx e dt ex Então ds cosx t ex e exsenx dx exsenx excosx dx exsenx excosx dx Logo voltando em 2 temos I excosx exsenx I 2I excosx exsenx Iexsenxcosx2 C n Usando o método da integral por partes sejam usenx e dvex Então ducosx vex e I exsenx dx exsenxexcosx dx 3 Para resolver a integral em vermelho aplicamos novamente o método da integral por partes sejam scosx e dtex Então dssenx tex e excosx dx excosx exsenx dx excosx exsenx dx Logo voltando em 3 temos I exsenx excosx I 2I excosx exsenx I exsenx cosx2 C Exercício 2 Seja R a região compreendida entre a reta y x 1 e a parábola y x 13 x Determine a área de R Solução A interseção entre as curvas y x 1 e y x 13 x ocorre quando x 1 x 13 x x² 3x 2 0 x 1 e x 2 A região R está esboçada na figura abaixo e sua área é dada por AR 31 x 1 x² 3x 1 dx 31 x² 4x 3 dx x³3 2x² 3x31 9 18 9 13 2 3 43 a A interseção entre as curvas x y³ e x y² ocorre quando y³ y² y³ y² 0 y²1 y 0 y 0 e y 1 A região R está esboçada na figura abaixo e sua área é dada por AR 10 y² y³ dy y³3 y4410 13 14 112 b A interseção entre as curvas y 2x² e y x⁴ 2x² ocorre quando 2x² x⁴ 2x² x⁴ 4x² 0 x 0 e x 2 A região entre as curvas está esboçada na figura abaixo como a região R₁ e a região R₂ A área da região total é a soma da área da região R₁ com a área da região R₂ AR AR₁ AR₂ ⁰² 2x² x⁴ 2x² dx ²₀ 2x² x² 2x² dx ⁰² 4x² x⁴ dx ²₀ 4x² x⁴ dx 4x³3 x⁵5⁰² 4x³3 x⁵5²₀ 323 325 323 325 12815 c A interseção entre as curvas y 4 x² e y x 2 ocorre quando 4 x² x 2 x² x 2 0 x 1 e x 2 A região R entre as curvas está esboçada na figura abaixo A área da região R é dada por AR 12 4 x2 x 2 dx 12 x2 x 2 dx x33 x22 2x 12 83 2 4 13 12 2 103 76 92 d Assumindo x 0 temos que a interseção entre as curvas y x e y x 2 ocorre quando x x 2 x 2 x 4 A região R entre as curvas está esboçada na figura abaixo dividida em três regiões R1 R2 e R3 A área da região R é dada por pela soma da área da região R1 com a área da região R2 om a área da região R3 A área da região R é dada pela soma da área da região R1 com a área da região R2 AR AR1 AR2 0π sen2x dx π2π sen2x dx 12 x senxcosx 0π 12 x senxcosx π2π π2 π2 π Observação Claramente AR1 AR2 A área da região R é dada pela soma da área da região R1 com a área da região R2 AR AR1 AR2 01 x dx 12 1x2 dx x22 01 1x 12 12 12 1 1 AR 15 ln2x lnx dx xln2x 115 xlnx 115 5ln10 1 ln 2 1 5ln5 1 ln1 1 5ln10 5 ln 2 1 5ln5 5 1 5ln10 ln 2 5ln5 ln16 h A região R entre as curvas está esboçada na figura abaixo dividida em uma região R1 e uma região R2 A área da região R é dada por pela soma da área da região R1 com a área da região R2 AR AR1 AR2 20 2x1 x2 dx 02 2x1 x2 dx 4 Primeiro vamos resolver a integral indefinida 2x1 x2 dx Considere a substituição u 1 x2 Então du 2x dx e 2x1 x2 dx 1u du lnu C ln1 x2 C Assim voltando em 4 temos AR AR1 AR2 20 2x1 x2 dx 02 2x1 x2 dx ln1 x220 ln1 x202 ln1 ln5 ln5 ln1 0