Fundamentos de Física Volume 2 - 10ª Edição

Os autores e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços dos autores do tradutor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bem vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de FUNDAMENTALS OF PHYSICS VOLUME 2 TENTH EDITION Copyright 2014 2011 2008 2005 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license with the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118230732 Volume 2 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwltceditoracombr Capa MarCom GEN Produção digital Geethik CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ D272f 10 ed v 3 Halliday David 19162010 Fundamentos de física volume 3 eletromagnetismo David Halliday Robert Resnick Jearl Walker tradução Ronaldo Sérgio de Biasi 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 il 28 cm Tradução de Fundamentals of physics 10th ed Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 9788521632085 1 Eletromagnetismo 2 Física I Resnick Robert 19232014 II Walker Jearl 1945 III Biasi Ronaldo Sérgio de IV Título 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 SUMÁRIO GERAL VOLUME 1 Medição Movimento Retilíneo Vetores Movimento em Duas e Três Dimensões Força e Movimento I Força e Movimento II Energia Cinética e Trabalho Energia Potencial e Conservação da Energia Centro de Massa e Momento Linear Rotação Rolagem Torque e Momento Angular VOLUME 2 Equilíbrio e Elasticidade Gravitação Fluidos Oscilações Ondas I Ondas II Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica A Teoria Cinética dos Gases Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica VOLUME 3 A Lei de Coulomb Campos Elétricos Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e Resistência Circuitos 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Campos Magnéticos Campos Magnéticos Produzidos por Correntes Indução e Indutância Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria VOLUME 4 Ondas Eletromagnéticas Imagens Interferência Difração Relatividade Fótons e Ondas de Matéria Mais Ondas de Matéria Tudo sobre os Átomos Condução de Eletricidade nos Sólidos Física Nuclear Energia Nuclear Quarks Léptons e o Big Bang 211 212 213 221 222 223 224 225 226 227 SUMÁRIO 21 A Lei de Coulomb A LEI DE COULOMB O que É Física Cargas Elétricas Condutores e Isolantes A Lei de Coulomb A CARGA É QUANTIZADA A Carga É Quantizada A CARGA É CONSERVADA A Carga É Conservada REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 22 Campos Elétricos O CAMPO ELÉTRICO O que É Física O Campo Elétrico Linhas de Campo Elétrico O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA O Campo Elétrico Produzido por uma Partícula Carregada O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGA O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DISCO CARREGADO O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO Um Dipolo em um Campo Elétrico 231 232 233 234 235 236 241 242 243 244 245 REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 23 Lei de Gauss FLUXO ELÉTRICO O que É Física Fluxo Elétrico LEI DE GAUSS Lei de Gauss Lei de Gauss e Lei de Coulomb UM CONDUTOR CARREGADO Um Condutor Carregado APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA CILÍNDRICA Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA PLANAR Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA ESFÉRICA Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 24 Potencial Elétrico POTENCIAL ELÉTRICO O que É Física Potencial Elétrico e Energia Potencial Elétrica SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E O CAMPO ELÉTRICO Superfícies Equipotenciais Cálculo do Potencial a Partir do Campo Elétrico POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Potencial Produzido por uma Partícula Carregada Potencial Produzido por um Grupo de Partículas Carregadas POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA 246 247 248 251 252 253 254 255 256 261 262 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS CARREGADAS Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO Potencial de um Condutor Carregado REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 25 Capacitância CAPACITÂNCIA O que É Física Capacitância CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA Cálculo da Capacitância CAPACITORES EM PARALELO E EM SÉRIE Capacitores em Paralelo e em Série ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO ELÉTRICO Energia Armazenada em um Campo Elétrico CAPACITOR COM UM DIELÉTRICO Capacitor com um Dielétrico Dielétricos Uma Visão Atômica DIELÉTRICOS E A LEI DE GAUSS Dielétricos e a Lei de Gauss REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 26 Corrente e Resistência CORRENTE ELÉTRICA O que É Física Corrente Elétrica DENSIDADE DE CORRENTE Densidade de Corrente 263 264 265 271 272 273 274 281 282 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE Resistência e Resistividade A LEI DE OHM A Lei de Ohm Uma Visão Microscópica da Lei de Ohm POTÊNCIA SEMICONDUTORES E SUPERCONDUTORES A Potência em Circuitos Elétricos Semicondutores Supercondutores REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 27 Circuitos CIRCUITOS DE UMA MALHA O que É Física Bombeamento de Cargas Trabalho Energia e Força Eletromotriz Cálculo da Corrente em um Circuito de uma Malha Outros Circuitos de uma Malha Diferença de Potencial Entre Dois Pontos CIRCUITOS COM MAIS DE UMA MALHA Circuitos com Mais de uma Malha O AMPERÍMETRO E O VOLTÍMETRO O Amperímetro e o Voltímetro CIRCUITOS RC Circuitos RC REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 28 Campos Magnéticos CAMPOS MAGNÉTICOS E A DEFINIÇÃO DE O que É Física O que Produz um Campo Magnético A Definição de CAMPOS CRUZADOS A DESCOBERTA DO ELÉTRON 283 284 285 286 287 288 291 292 293 294 295 301 Campos Cruzados A Descoberta do Elétron CAMPOS CRUZADOS O EFEITO HALL Campos Cruzados O Efeito Hall UMA PARTÍCULA CARREGADA EM MOVIMENTO CIRCULAR Uma Partícula Carregada em Movimento Circular CÍCLOTRONS E SÍNCROTRONS Cíclotrons e Síncrotrons FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE Torque em uma Espira Percorrida por Corrente O MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO O Momento Dipolar Magnético REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 29 Campos Magnéticos Produzidos por Correntes O CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UMA CORRENTE O que É Física Cálculo do Campo Magnético Produzido por uma Corrente FORÇAS ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS Forças entre Duas Correntes Paralelas LEI DE AMPÈRE Lei de Ampère SOLENOIDES E TOROIDES Solenoides e Toroides RELAÇÃO ENTRE UMA BOBINA PLANA E UM DIPOLO MAGNÉTICO Relação entre uma Bobina Plana e um Dipolo Magnético REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 30 Indução e Indutância LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ 302 303 304 305 306 307 308 309 311 312 313 O que É Física Dois Experimentos A Lei de Indução de Faraday A Lei de Lenz INDUÇÃO E TRANSFERÊNCIAS DE ENERGIA Indução e Transferências de Energia CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS Campos Elétricos Induzidos INDUTORES E INDUTÂNCIA Indutores e Indutância AUTOINDUÇÃO Autoindução CIRCUITOS RL Circuitos RL ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNÉTICO Energia Armazenada em um Campo Magnético DENSIDADE DE ENERGIA DE UM CAMPO MAGNÉTICO Densidade de Energia de um Campo Magnético INDUÇÃO MÚTUA Indução Mútua REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC O que É Física Oscilações em um Circuito LC Análise Qualitativa Analogia Eletromecânica Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa OSCILAÇÕES AMORTECIDAS EM UM CIRCUITO RLC Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC OSCILAÇÕES FORÇADAS EM TRÊS CIRCUITOS SIMPLES Corrente Alternada Oscilações Forçadas 314 315 316 321 322 323 324 325 326 327 328 Três Circuitos Simples O CIRCUITO RLC SÉRIE O Circuito RLC Série POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Potência em Circuitos de Corrente Alternada TRANSFORMADORES Transformadores REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 32 Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS O que É Física Lei de Gauss para Campos Magnéticos CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS Campos Magnéticos Induzidos CORRENTE DE DESLOCAMENTO Corrente de Deslocamento Equações de Maxwell ÍMÃS PERMANENTES Ímãs O MAGNETISMO E OS ELÉTRONS O Magnetismo e os Elétrons Propriedades Magnéticas dos Materiais DIAMAGNETISMO Diamagnetismo PARAMAGNETISMO Paramagnetismo FERROMAGNETISMO Ferromagnetismo REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS A B C D E F G APÊNDICES O Sistema Internacional de Unidades SI Algumas Constantes Fundamentais da Física Alguns Dados Astronômicos Fatores de Conversão Fórmulas Matemáticas Propriedades dos Elementos Tabela Periódica dos Elementos RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares PREFÁCIO POR QUE ESCREVI ESTE LIVRO Diversão com um grande desafio É assim que venho encarando a física desde o dia em que Sharon uma das alunas do curso que eu estava ministrando como aluno de doutorado me perguntou de repente O que isso tem a ver com minha vida Respondi prontamente Sharon isto é física Tem tudo a ver com a sua vida A moça me pediu um exemplo Pensei muito mas não consegui encontrar nenhum Nessa noite criei O Circo Voador da Física para Sharon mas também para mim porque percebi que o problema de Sharon também era meu Eu tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de física escritos com a melhor das intenções mas alguma coisa estava faltando A física é o assunto mais interessante do mundo porque descreve o modo como o mundo funciona mas não havia nos livros nenhuma ligação com o mundo real A diversão estava faltando Procurei incluir muita física do mundo real neste livro ligandoo à nova edição de O Circo Voador da Física LTC 2012 Boa parte dos assuntos vem das minhas aulas onde posso julgar pelas expressões e comentários dos alunos quais são os assuntos e as apresentações que funcionam As anotações que fiz a respeito de meus sucessos e fracassos ajudaram a estabelecer as bases para este livro Minha mensagem aqui é a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia em que Sharon fez aquele comentário Sim você pode usar os conceitos básicos da física para chegar a conclusões válidas a respeito do mundo real e é nesse entendimento do mundo real que está a diversão Tive muitos objetivos ao escrever este livro mas o principal foi proporcionar aos professores um instrumento por meio do qual eles possam ensinar os alunos a estudar assuntos científicos identificar conceitos fundamentais pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos Esse processo não é fácil nem para os alunos nem para os professores Na verdade o curso associado a este livro pode ser um dos mais difíceis do currículo Entretanto pode ser também um dos mais interessantes pois revela os mecanismos fundamentais do mundo responsáveis por todas as aplicações científicas e de engenharia Muitos usuários da nona edição professores e alunos enviaram comentários e sugestões para aperfeiçoar o livro Esses melhoramentos foram incorporados à exposição e aos problemas desta edição A editora John Wiley Sons e eu encaramos este livro como um projeto permanente e gostaríamos de contar com uma maior participação dos leitores Sintase à vontade para enviar sugestões correções e comentários positivos ou negativos para John Wiley Sons1 ou Jearl Walker endereço postal Physics Department Cleveland State University Cleveland OH 44115 USA endereço do meu site wwwflyingcircusofphysicscom Talvez não seja possível responder a todas as sugestões mas lemos e consideramos cada uma delas O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO Módulos e Objetivos do Aprendizado O que eu deveria ter aprendido nesta seção Os alunos vêm me fazendo essa pergunta há décadas independentemente de serem bons ou maus alunos O problema é que mesmo os alunos mais atentos podem não ter certeza de que assimilaram todos os pontos importantes de uma seção do livro Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeira edição de Halliday e Resnick no primeiro ano da faculdade Nesta edição para minimizar o problema dividi os capítulos em módulos conceituais dedicados a temas básicos e comecei cada módulo com uma lista de objetivos do aprendizado desse módulo A lista é uma declaração explícita dos conhecimentos que devem ser adquiridos através da leitura do módulo e é seguida por um breve resumo das ideiaschave que também devem ser assimiladas Para você ter uma noção de como o sistema funciona observe o primeiro módulo do Capítulo 16 em que o estudante se vê diante de um grande número de conceitos e definições Em vez de deixar por conta do aluno a tarefa de identificar e dissecar essas ideias tomei a iniciativa de fornecer uma lista que funciona como a lista de verificação consultada pelos pilotos de avião antes de cada decolagem Capítulos Reformulados Como meus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulos importantes e em certos tópicos de outros capítulos reescrevi boa parte do texto Assim por exemplo introduzi mudanças profundas nos capítulos a respeito da lei de Gauss e do potencial elétrico que a maioria dos estudantes considerava de difícil compreensão As apresentações agora são mais enxutas e têm uma ligação mais direta com as ideiaschave Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica expandi o estudo da equação de Schrödinger para incluir a reflexão de ondas de matéria por um degrau de potencial Atendendo a sugestões de vários professores separei a discussão do átomo de Bohr da solução de Schrödinger do átomo de hidrogênio para que o professor possa omitir o relato histórico do trabalho de Bohr se assim desejar sem prejudicar a compreensão do assunto Incluí também um novo módulo a respeito da radiação de corpo negro de Planck Novos Exemplos Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos nos capítulos para facilitar a compreensão de alguns tópicos considerados difíceis pelos alunos Além disso cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final dos capítulos Alguns dos problemas foram recuperados de edições anteriores do livro a pedido de vários professores 1Sugestões correções e comentários positivos ou negativos em relação à edição em língua portuguesa publicada pela LTC Editora devem ser enviados para ltcgrupogencombr AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para este livro SenBen Liao do Lawrence Livermore National Laboratory James Whitenton da Southern Polytechnic State University e Jerry Shi do Pasadena City College foram responsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro Na John Wiley o projeto deste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson Geraldine Osnato e Aly Rentrop os editores que o supervisionaram do início ao fim Agradecemos a Elizabeth Swain a editora de produção por juntar as peças durante o complexo processo de produção Agradecemos também a Maddy Lesure pela diagramação do texto e pela direção de arte da capa a Lee Goldstein pela diagramação da capa a Helen Walden pelo copidesque e a Lilian Brady pela revisão Jennifer Atkins foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes Tanto a editora John Wiley Sons Inc como Jearl Walker gostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentes edições Jonathan Abramson Portland State University Omar Adawi Parkland College Edward Adelson The Ohio State University Steven R Baker Naval Postgraduate School George Caplan Wellesley College Richard Kass The Ohio State University MR KhoshbineKhoshnazar Research Institution for Curriculum Development Educational Innovations Teerã Craig Kletzing University of Iowa Stuart Loucks American River College Laurence Lurio Northern Illinois University Ponn Maheswaranathan Winthrop University Joe McCullough Cabrillo College Carl E Mungan U S Naval Academy Don N Page University of Alberta Elie Riachi Fort Scott Community College Andrew G Rinzler University of Florida Dubravka Rupnik Louisiana State University Robert Schabinger Rutgers University Ruth Schwartz Milwaukee School of Engineering Carol Strong University of Alabama at Huntsville Nora Thornber Raritan Valley Community College Frank Wang LaGuardia Community College Graham W Wilson University of Kansas Roland Winkler Northern Illinois University William Zacharias Cleveland State University Ulrich Zurcher Cleveland State University Finalmente nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos Maris A Abolins Michigan State University Edward Adelson Ohio State University Nural Akchurin Texas Tech Yildirim Aktas University of North CarolinaCharlotte Barbara Andereck Ohio Wesleyan University Tetyana Antimirova Ryerson University Mark Arnett Kirkwood Community College Arun Bansil Northeastern University Richard Barber Santa Clara University Neil Basecu Westchester Community College Anand Batra Howard University Kenneth Bolland The Ohio State University Richard Bone Florida International University Michael E Browne University of Idaho Timothy J Burns Leeward Community College Joseph Buschi Manhattan College Philip A Casabella Rensselaer Polytechnic Institute Randall Caton Christopher Newport College Roger Clapp University of South Florida W R Conkie Queens University Renate Crawford University of MassachusettsDartmouth Mike Crivello San Diego State University Robert N Davie Jr St Petersburg Junior College Cheryl K Dellai Glendale Community College Eric R Dietz California State University at Chico N John DiNardo Drexel University Eugene Dunnam University of Florida Robert Endorf University of Cincinnati F Paul Esposito University of Cincinnati Jerry Finkelstein San Jose State University Robert H Good California State UniversityHayward Michael Gorman University of Houston Benjamin Grinstein University of California San Diego John B Gruber San Jose State University Ann Hanks American River College Randy Harris University of CaliforniaDavis Samuel Harris Purdue University Harold B Hart Western Illinois University Rebecca Hartzler Seattle Central Community College John Hubisz North Carolina State University Joey Huston Michigan State University David Ingram Ohio University Shawn Jackson University of Tulsa Hector Jimenez University of Puerto Rico Sudhakar B Joshi York University Leonard M Kahn University of Rhode Island Sudipa Kirtley RoseHulman Institute Leonard Kleinman University of Texas at Austin Craig Kletzing University of Iowa Peter F Koehler University of Pittsburgh Arthur Z Kovacs Rochester Institute of Technology Kenneth Krane Oregon State University Hadley Lawler Vanderbilt University Priscilla Laws Dickinson College Edbertho Leal Polytechnic University of Puerto Rico Vern Lindberg Rochester Institute of Technology Peter Loly University of Manitoba James MacLaren Tulane University Andreas Mandelis University of Toronto Robert R Marchini Memphis State University Andrea Markelz University at Buffalo SUNY Paul Marquard Caspar College David Marx Illinois State University Dan Mazilu Washington and Lee University James H McGuire Tulane University David M McKinstry Eastern Washington University Jordon Morelli Queens University Eugene Mosca United States Naval Academy Eric R Murray Georgia Institute of Technology School of Physics James Napolitano Rensselaer Polytechnic Institute Blaine Norum University of Virginia Michael OShea Kansas State University Patrick Papin San Diego State University Kiumars Parvin San Jose State University Robert Pelcovits Brown University Oren P Quist South Dakota State University Joe Redish University of Maryland Timothy M Ritter University of North Carolina at Pembroke Dan Styer Oberlin College Frank Wang LaGuardia Community College Robert Webb Texas AM University Suzanne Willis Northern Illinois University Shannon Willoughby Montana State University Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Aulas em PowerPoint restrito a docentes Ensaios de Jearl Walker em pdf acesso livre Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Manuais das Calculadoras Gráficas TI86 TI89 em pdf acesso livre Respostas das perguntas em pdf restrito a docentes Respostas dos problemas em pdf restrito a docentes Simulações acesso livre Soluções dos Problemas Manual em pdf restrito a docentes Testes Conceituais restrito a docentes Testes em Múltipla Escolha restrito a docentes Testes em PowerPoint restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgen iogrupogencombr CAPÍTULO 21 A Lei de Coulomb 211 A LEI DE COULOMB Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2101 Saber a diferença entre um objeto eletricamente neutro negativamente carregado e positivamente carregado e o que é um excesso de cargas 2102 Saber a diferença entre condutores isolantes semicondutores e supercondutores 2103 Conhecer as propriedades elétricas das partículas que existem no interior do átomo 2104 Saber o que são elétrons de condução e qual é o papel que desempenham para tornar um objeto negativamente carregado ou positivamente carregado 2105 Saber o que significa isolar eletricamente um objeto e aterrar um objeto 2106 Saber de que forma um objeto eletricamente carregado pode induzir uma carga elétrica em outro objeto 2107 Saber que cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem 2108 Desenhar o diagrama de corpo livre de uma partícula sujeita a uma força eletrostática 2109 No caso de duas partículas eletricamente carregadas usar a lei de Coulomb para relacionar o módulo da força eletrostática que age sobre as partículas à carga das partículas e a distância entre elas 2110 Saber que a lei de Coulomb se aplica apenas a partículas pontuais e a objetos que podem ser tratados como partículas pontuais 2111 Se uma partícula está sujeita a mais de uma força eletrostática usar uma soma vetorial para obter a força resultante 2112 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse situada no centro dessa casca 2113 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada situada no interior da casca 2114 Saber que a carga em excesso de uma casca esférica condutora se distribui uniformemente na superfície externa da casca 2115 Saber que se dois condutores esféricos iguais são postos em contato ou são ligados por um fio condutor a carga em excesso se divide igualmente entre os dois condutores 2116 Saber que um objeto isolante pode ter uma distribuição assimétrica de carga incluindo cargas em pontos internos 2117 Saber que a corrente elétrica é a taxa com a qual a carga elétrica passa por um ponto ou por uma região 2118 No caso de uma corrente elétrica que passa por um ponto conhecer a relação entre a corrente um intervalo de tempo e a quantidade de carga que passa pelo ponto nesse intervalo de tempo IdeiasChave A força da interação elétrica de uma partícula com outras partículas depende da carga elétrica em geral representada pela letra q que pode ser positiva ou negativa Partículas com cargas de mesmo sinal se repelem e partículas com cargas de sinais opostos se atraem Um objeto com a mesma quantidade de cargas positivas e negativas está eletricamente neutro enquanto um objeto com quantidades diferentes de cargas positivas e negativas está eletricamente carregado Materiais condutores são materiais que possuem um número significativo de elétrons livres Materiais isolantes são materiais que não possuem um número significativo de elétrons livres A corrente elétrica i é a taxa dqdt com a qual a carga elétrica passa por um ponto ou região A força eletrostática entre duas partículas pode ser calculada usando a lei de Coulomb Se as partículas têm cargas q1 e q2 elas estão separadas por uma distância r e a distância entre elas não varia ou varia lentamente o módulo da força que uma das partículas exerce sobre a outra é dada por em que ε0 885 1012 C2N m2 é a constante elétrica A constante k 14πe0 899 109 N m2C2 é chamada de constante eletrostática ou constante de Coulomb A força que uma partícula carregada exerce sobre outra partícula carregada tem a direção da reta que liga as duas partículas e aponta para a primeira partícula se as partículas têm cargas de mesmo sinal e aponta para longe da primeira partícula se as partículas têm cargas de sinais opostos Se uma partícula está sujeita a mais de uma força eletrostática a força resultante é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre a partícula Primeiro teorema das cascas Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca Segundo teorema das cascas Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca A carga em excesso de uma casca esférica condutora se distribui uniformemente na superfície externa da casca O que É Física Estamos cercados de aparelhos cujo funcionamento depende da física do eletromagnetismo que é a combinação de fenômenos elétricos e magnéticos Essa física está presente em computadores aparelhos de televisão aparelhos de rádio lâmpadas e até mesmo na aderência de um filme plástico a um recipiente de vidro Essa física também explica muitos fenômenos naturais não só mantém coesos todos os átomos e moléculas do mundo mas também produz o relâmpago a aurora e o arcoíris A física do eletromagnetismo foi estudada pela primeira vez pelos filósofos da Grécia antiga que descobriram que se um pedaço de âmbar fosse friccionado e depois aproximado de pedacinhos de palha a palha seria atraída pelo âmbar Hoje sabemos que a atração entre o âmbar e a palha se deve a uma força elétrica Os filósofos gregos também observaram que se um tipo de pedra um ímã natural fosse aproximado de um objeto de ferro o objeto seria atraído pela pedra Hoje sabemos que a atração entre os ímãs e os objetos de ferro se deve a uma força magnética A partir dessa origem modesta na Grécia antiga as ciências da eletricidade e do magnetismo se desenvolveram independentemente por muitos séculos até o ano de 1820 quando Hans Christian Oersted descobriu uma ligação entre elas uma corrente elétrica em um fio é capaz de mudar a direção da agulha de uma bússola Curiosamente Oersted fez essa descoberta que foi para ele uma grande surpresa quando preparava uma demonstração para seus alunos de física A nova ciência do eletromagnetismo foi cultivada por cientistas de muitos países Um dos mais ativos foi Michael Faraday um experimentalista muito competente com um raro talento para a intuição e a visualização de fenômenos físicos Um sinal desse talento é o fato de que seus cadernos de anotações de laboratório não contêm uma única equação Em meados do século XIX James Clerk Maxwell colocou as ideias de Faraday em forma matemática introduziu muitas ideias próprias e estabeleceu uma base teórica sólida para o eletromagnetismo Nossa discussão do eletromagnetismo se estenderá pelos próximos 16 capítulos Vamos começar pelos fenômenos elétricos e o primeiro passo será discutir a natureza das cargas elétricas e das forças elétricas Cargas Elétricas Seguem duas demonstrações que podem parecer passes de mágica mas vamos tentar explicálas Depois de esfregar um bastão de vidro com um pedaço de seda em um dia de baixa umidade do ar penduramos o bastão por um barbante como na Fig 211a Esfregamos outro bastão de vidro com o pedaço de seda e o aproximamos do primeiro O bastão que está pendurado magicamente recua Podemos ver que foi repelido pelo segundo bastão mas por quê Os dois bastões não chegaram a se tocar o segundo bastão não produziu uma corrente de ar nem produziu uma onda sonora Na segunda demonstração substituímos o segundo bastão por um bastão de plástico que foi esfregado com um pedaço de lã Dessa vez o bastão que está pendurado é atraído pelo segundo bastão como mostra a Fig 211b Como no caso da repulsão a atração acontece sem que haja contato entre os bastões Figura 211 a Dois bastões de vidro foram esfregados com um pedaço de seda e um deles foi suspenso por um barbante Quando aproximamos os dois bastões eles se repelem b O bastão de plástico foi esfregado com um pedaço de pele Quando aproximamos os dois bastões eles se atraem No próximo capítulo vamos discutir como o primeiro bastão percebe que o segundo bastão está se aproximando mas neste capítulo vamos nos concentrar nas forças envolvidas Na primeira demonstração a força que o segundo bastão exerceu sobre o primeiro foi uma força de repulsão na segunda demonstração a força que o segundo bastão exerceu sobre o primeiro foi uma força de atração Depois de muitas investigações os cientistas concluíram que as forças observadas nas duas demonstrações se devem à carga elétrica que é transferida para os bastões quando eles são esfregados com seda ou lã A carga elétrica é uma propriedade intrínseca das partículas elementares de que são feitos todos os materiais incluindo o vidro o plástico a seda e a lã Dois Tipos de Carga Existem dois tipos de carga elétrica que o cientista e político americano Benjamin Franklin chamou de carga positiva e carga negativa Ele podia ter escolhido outros nomes para as cargas como banana e maçã mas o uso de sinais algébricos como nomes facilita os cálculos quando somamos as cargas para calcular a carga total Na grande maioria dos objetos como uma xícara por exemplo existe um número igual de partículas de carga positiva e de carga negativa e portanto a carga total é zero Nesse caso dizemos que as cargas se compensam e o objeto está eletricamente neutro ou simplesmente neutro Excesso de Carga Normalmente você está eletricamente neutro Entretanto se vive em uma região de clima seco você sabe que a carga do seu corpo pode ficar ligeiramente descompensada quando você anda em cima de certos tapetes Ou você recebe carga negativa do tapete nos pontos de contato entre os sapatos e o tapete e fica negativamente carregado ou perde carga negativa e fica positivamente carregado Nos dois casos você fica com o que é chamado de excesso de carga Em geral você não nota que está com um excesso de carga até aproximar a mão de uma maçaneta ou de outra pessoa Quando isso acontece se o seu excesso de carga é relativamente grande uma centelha elétrica liga você ao outro objeto eliminando o excesso de carga Essas centelhas podem ser incômodas ou mesmo dolorosas O fenômeno não acontece nos climas úmidos porque o vapor dágua presente no ar neutraliza o excesso de carga antes que ele possa atingir níveis elevados Dois dos grandes mistérios da física são os seguintes 1 por que o universo possui partículas com carga elétrica o que é carga elétrica na verdade e 2 por que existem dois tipos de carga elétrica e não digamos um tipo ou três tipos Simplesmente não sabemos Entretanto depois de muitos experimentos semelhantes aos que acabamos de descrever os cientistas concluíram que Partículas com cargas de mesmo sinal se repelem e partículas com cargas de sinais opostos se atraem Daqui a pouco vamos expressar essa regra em termos matemáticos pela lei de Coulomb da força eletrostática ou força elétrica entre duas cargas O termo eletrostática é usado para chamar atenção para o fato de que para que a lei seja válida a velocidade relativa entre as cargas deve ser nula ou muito pequena Demonstrações Vamos voltar às demonstrações para entender que o movimento do bastão não se dá por um passe de mágica Quando esfregamos o bastão de vidro com um pedaço de seda uma pequena quantidade de carga negativa é transferida do vidro para a seda como acontece com você e o tapete deixando o bastão com um pequeno excesso de carga positiva O sentido do movimento da carga negativa não é óbvio e deve ser determinado experimentalmente Esfregamos o pedaço de seda no bastão para aumentar o número de pontos de contato e com isso aumentar a quantidade de carga transferida Penduramos o bastão em um barbante para mantêlo eletricamente isolado do ambiente evitando assim que a carga em excesso seja transferida para outros objetos Quando esfregamos o pedaço de seda em outro bastão ele também fica positivamente carregado Assim quando o aproximamos do primeiro os dois bastões se repelem como mostra a Fig 212a Quando esfregamos o bastão de plástico com um pedaço de lã uma pequena quantidade de carga negativa é transferida da lã para o plástico Mais uma vez o sentido do movimento da carga negativa não é óbvio e deve ser determinado experimentalmente Quando aproximamos o bastão de plástico com excesso de carga negativa do bastão de vidro com excesso de carga positiva os dois bastões se atraem como mostra a Fig 212b Tudo isso é muito sutil Não podemos ver a carga sendo transferida só podemos observar o resultado final Figura 212 a Dois bastões carregados com cargas de mesmo sinal se repelem b Dois bastões carregados com cargas de sinais opostos se atraem Os sinais positivos indicam um excesso de carga positiva e os sinais negativos indicam um excesso de carga negativa Condutores e Isolantes Os materiais podem ser classificados de acordo com a facilidade com a qual as cargas elétricas se movem no seu interior Nos condutores como o cobre dos fios elétricos o corpo humano e a água de torneira as cargas elétricas se movem com facilidade Nos isolantes como os plásticos do isolamento dos fios a borracha o vidro e a água destilada as cargas não se movem Os semicondutores como o silício e o germânio conduzem eletricidade melhor que os isolantes mas não tão bem como os condutores Os supercondutores são condutores perfeitos materiais nos quais as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência Neste capítulo e nos capítulos seguintes discutiremos apenas os condutores e os isolantes Condução de Eletricidade Vamos começar com um exemplo de como a condução de eletricidade pode eliminar o excesso de cargas Quando esfregamos uma barra de cobre com um pedaço de lã cargas são transferidas da lã para o cobre Entretanto se você segurar ao mesmo tempo a barra de cobre e uma torneira a barra de cobre não ficará carregada O que acontece é que você a barra de cobre e a torneira são condutores que estão ligados pelo encanamento a um imenso condutor que é a Terra Como as cargas em excesso depositadas no cobre pela lã se repelem elas se afastam umas das outras passando primeiro para a sua mão depois para a torneira e finalmente para a Terra onde se espalham O processo deixa a barra de cobre eletricamente neutra Quando estabelecemos um caminho entre um objeto e a Terra constituído unicamente por materiais condutores dizemos que o objeto está aterrado quando a carga de um objeto é neutralizada pela eliminação do excesso de cargas positivas ou negativas por meio da Terra dizemos que o objeto foi descarregado Se você usar uma luva feita de material isolante para segurar a barra de cobre o caminho de condutores até a Terra estará interrompido e a barra ficará carregada por atrito a carga permanecerá na barra enquanto você não tocar nela com a mão nua Partículas Carregadas O comportamento dos condutores e isolantes se deve à estrutura e às propriedades elétricas dos átomos Os átomos são formados por três tipos de partículas os prótons que possuem carga elétrica positiva os elétrons que possuem carga elétrica negativa e os nêutrons que não possuem carga elétrica Os prótons e os nêutrons ocupam a região central do átomo que é conhecida como núcleo As cargas de um próton isolado e de um elétron isolado têm o mesmo valor absoluto e sinais opostos um átomo eletricamente neutro contém o mesmo número de prótons e elétrons Os elétrons são mantidos nas proximidades do núcleo porque possuem uma carga elétrica oposta à dos prótons do núcleo e portanto são atraídos para o núcleo Quando os átomos de um material condutor como o cobre se unem para formar um sólido alguns dos elétrons mais afastados do núcleo que estão portanto submetidos a uma força de atração menor se tornam livres para vagar pelo material deixando para trás átomos positivamente carregados íons positivos Esses elétrons móveis recebem o nome de elétrons de condução Os materiais isolantes possuem um número muito pequeno ou mesmo nulo de elétrons de condução Carga Induzida O experimento da Fig 213 demonstra a mobilidade das cargas em um material condutor Uma barra de plástico negativamente carregada atrai a extremidade de uma barra neutra de cobre que estiver mais próxima O que acontece é que os elétrons de condução da extremidade mais próxima da barra de cobre são repelidos pela carga negativa da barra de plástico Alguns desses elétrons de condução se acumulam na outra extremidade da barra de cobre deixando a extremidade mais próxima com uma falta de elétrons e portanto com uma carga total positiva Como essa carga positiva está mais próxima da barra de plástico a força de atração que a barra de plástico exerce sobre ela é maior que a força de repulsão que a barra de plástico exerce sobre a carga negativa que se acumulou na outra extremidade da barra de cobre Embora a barra de cobre como um todo continue a ser eletricamente neutra dizemos que ela possui uma carga induzida isso significa que algumas das cargas positivas e negativas foram separadas pela presença de uma carga próxima Analogamente se uma barra de vidro positivamente carregada é aproximada de uma barra de cobre neutra os elétrons de condução da barra de cobre são atraídos na direção da barra de vidro Assim a extremidade da barra de cobre mais próxima da barra de vidro fica negativamente carregada e a outra extremidade fica positivamente carregada e mais uma vez a barra de cobre adquire uma carga induzida Embora continue a ser eletricamente neutra a barra de cobre é atraída pela barra de vidro Figura 213 Uma barra de cobre neutra é isolada eletricamente da terra ao ser suspensa por um fio de material isolante Uma barra de plástico eletricamente carregada atrai a extremidade da barra de cobre que estiver mais próxima Isso acontece porque os elétrons de condução da barra de cobre são repelidos para a extremidade mais afastada da barra pela carga negativa da barra de plástico deixando a extremidade mais próxima com uma carga total positiva Como essa carga positiva está mais próxima da barra de plástico a força de atração que a barra de plástico exerce sobre ela é maior que a força de repulsão que a barra de plástico exerce sobre a carga negativa que se acumulou na outra extremidade da barra de cobre o que produz uma rotação da barra de cobre Note que apenas os elétrons de condução que possuem carga negativa podem se mover os íons positivos permanecem onde estavam Assim para carregar um objeto positivamente é necessário remover cargas negativas Clarões Azuis em uma Pastilha Uma demonstração indireta da atração de cargas de sinais opostos pode ser feita com o auxílio de pastilhas de gaultéria wintergreen em inglês1 Se você deixar os olhos se adaptarem à escuridão durante cerca de 15 minutos e pedir a um amigo para mastigar uma pastilha de gaultéria verá um clarão azul sair da boca do seu amigo a cada dentada Quando a pastilha é partida em pedaços por uma dentada em geral cada pedaço fica com um número diferente de elétrons Suponha que a pastilha se parta nos pedaços A e B e que A possua mais elétrons na superfície que B Fig 214 Isso significa que B possui íons positivos átomos que perderam elétrons para A na superfície Como os elétrons de A são fortemente atraídos para os íons positivos de B alguns desses elétrons saltam de A para B Figura 214 Dois pedaços de uma pastilha de gaultéria se afastando um do outro Os elétrons que saltam da superfície negativa do pedaço A para a superfície positiva do pedaço B colidem com moléculas de nitrogênio N2 do ar Entre os pedaços A e B existe ar que é constituído principalmente por moléculas de nitrogênio N2 Muitos dos elétrons que estão passando de A para B colidem com moléculas de nitrogênio fazendo com que emitam luz ultravioleta Os olhos humanos não conseguem ver esse tipo de radiação Entretanto as moléculas de gaultéria na superfície da pastilha absorvem a radiação ultravioleta e emitem luz azul é por isso que você vê clarões azuis saindo da boca do seu amigo Teste 1 A figura mostra cinco pares de placas A B e D são placas de plástico carregadas e C é uma placa de cobre eletricamente neutra As forças eletrostáticas entre três dos pares de placas estão indicadas Os outros dois pares de placas se atraem ou se repelem A Lei de Coulomb Chegamos finalmente à equação da lei de Coulomb mas uma palavra de advertência é necessária Essa equação é válida apenas para partículas carregadas e para os poucos objetos que podem ser tratados como cargas pontuais No caso de objetos macroscópicos nos quais a carga está distribuída de modo assimétrico precisamos recorrer a métodos mais sofisticados Assim vamos considerar por enquanto apenas partículas carregadas e não por exemplo dois gatos eletricamente carregados Uma partícula carregada exerce uma força eletrostática sobre outra partícula carregada A direção da força é a da reta que liga as partículas mas o sentido depende do sinal das cargas Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal as partículas se repelem Figs 215a e 215b ou seja são submetidas a forças que tendem a afastálas Se as cargas das partículas têm sinais opostos as partículas se atraem Fig 217c ou seja são submetidas a forças que tendem a aproximálas Figura 215 Duas partículas carregadas se repelem se as cargas forem a positivas ou b negativas c As partículas se atraem se as cargas tiverem sinais opostos Figura 216 A força eletrostática a que a partícula 1 está submetida pode ser descrita em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas A equação usada para calcular a força eletrostática exercida por partículas carregadas é chamada de lei de Coulomb em homenagem a CharlesAugustin de Coulomb que a propôs em 1785 com base em experimentos de laboratório Vamos escrever a equação em forma vetorial e em termos das partículas da Fig 216 na qual a partícula 1 tem carga q1 e a partícula 2 tem carga q2 Esses símbolos podem representar uma carga positiva ou uma carga negativa Vamos concentrar nossa atenção na partícula 1 e descrever a força que age sobre essa partícula em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas e no sentido da partícula 2 para a partícula 1 Como todo vetor unitário é um vetor adimensional de módulo 1 seu único propósito é mostrar uma direção e um sentido como a seta de mão única de uma placa de trânsito Usando essas convenções a força eletrostática pode ser escrita na forma em que r é a distância entre as partículas e k é uma constante positiva conhecida como constante eletrostática ou constante de Coulomb Mais adiante voltaremos a falar de k Vamos primeiro verificar qual é o sentido da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 de acordo com a Eq 211 Se q1 e q2 tiverem o mesmo sinal o produto q1q2 será positivo e a força que age sobre a partícula 1 terá o mesmo sentido que Isso faz sentido já que a partícula 1 estará sendo repelida pela partícula 2 Se q1 e q2 tiverem sinais opostos o produto q1q2 será negativo e a força que age sobre a partícula 1 terá o sentido oposto ao de Isso também faz sentido já que a partícula 1 estará sendo atraída pela partícula 2 Uma Digressão Curiosamente a Eq 211 tem a mesma forma que a equação de Newton Eq 133 para a força gravitacional entre duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância r em que G é a constante gravitacional Embora os dois tipos de força sejam muito diferentes as duas equações descrevem leis do tipo inverso do quadrado a variação com 1r2 as quais envolvem um produto de uma propriedade das partículas envolvidas massa em um caso carga no outro Entretanto as forças gravitacionais são sempre atrativas enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas dependendo dos sinais das cargas A diferença resulta do fato de que existe apenas um tipo de massa mas existem dois tipos de carga elétrica Unidade A unidade de carga do SI é o coulomb Por motivos práticos que têm a ver com a precisão das medidas o coulomb é definido a partir da unidade do SI para a corrente elétrica o ampère A corrente elétrica será discutida com detalhes no Capítulo 26 No momento vamos apenas observar que a corrente i é a taxa dqdt com a qual a carga passa por um ponto ou por uma região Explicitando a carga na Eq 213 e substituindo os símbolos por suas unidades coulombs C ampères A e segundos s temos 1 C 1 A1 s Módulo da Força Por motivos históricos e também para simplificar outras expressões a constante eletrostática k da Eq 211 é muitas vezes escrita na forma 14πε0 Nesse caso o módulo da força eletrostática expressa pela lei de Coulomb se torna As constantes das Eqs 211 e 214 têm o valor A constante ε0 conhecida como constante elétrica às vezes aparece separadamente nas equações e tem o valor Uso em Problemas Na Eq 214 que nos dá o módulo da força eletrostática as cargas aparecem em valor absoluto Assim para resolver os problemas deste capítulo a Eq 214 serve apenas para calcular o módulo da força a que está sujeita uma partícula o sentido da força deve ser obtido separadamente levando em conta o sinal da carga das duas partículas Várias Forças Como todas as forças discutidas neste livro a força eletrostática obedece ao princípio da superposição Suponha que existam n partículas carregadas nas vizinhanças de uma partícula que vamos chamar de partícula 1 Nesse caso a força total a que a partícula 1 está submetida é dada pela soma vetorial em que por exemplo 14 é a força a que partícula 1 está submetida devido à presença da partícula 4 Como a Eq 217 pode ser usada para resolver muitos problemas que envolvem a força eletrostática vamos descrevêla em palavras Se você deseja saber que é a força resultante que age sobre uma partícula carregada que está cercada por outras partículas carregadas o primeiro passo é definir claramente qual é a partícula a ser investigada o segundo é calcular as forças que as outras partículas exercem sobre a partícula escolhida Desenhe os vetores que representam essas forças em um diagrama de corpo livre da partícula escolhida com as origens de todos os vetores na partícula Isso pode parecer irrelevante mas concentrar as origens dos vetores em um único ponto ajuda a evitar vários tipos de erros Finalmente some as forças usando uma soma vetorial como foi discutido no Capítulo 3 Não estaria certo somar simplesmente os módulos das forças O resultado dessa soma vetorial é a força resultante que age sobre a partícula escolhida Embora a natureza vetorial das forças eletrostáticas torne os problemas mais difíceis de resolver do que se estivéssemos com grandezas escalares agradeça à natureza pelo fato de que a Eq 217 funciona na prática Se o efeito combinado de duas forças eletrostáticas não fosse simplesmente a soma vetorial das duas forças mas por alguma razão a presença de uma afetasse a intensidade da outra nosso mundo seria muito difícil de compreender e de analisar Teoremas das Cascas Analogamente aos teoremas das cascas da força gravitacional temos dois teoremas das cascas para a força eletrostática Primeiro teorema das cascas Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca Segundo teorema das cascas Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca No primeiro teorema supomos que a carga da casca é muito maior que a carga da partícula o que permite desprezar qualquer redistribuição da carga da casca devido à presença da partícula Condutores Esféricos Se um excesso de cargas é depositado em uma casca esférica feita de material condutor a carga se distribui uniformemente na superfície externa da casca Assim por exemplo quando colocamos elétrons em excesso em uma casca esférica metálica os elétrons se repelem mutuamente e se espalham pela superfície externa até ficarem uniformemente distribuídos um arranjo que maximiza as distâncias entre os pares de elétrons em excesso Nesse caso de acordo com o primeiro teorema das cascas a casca passa a atrair ou repelir uma carga externa como se todo o excesso de cargas estivesse no centro da casca Quando removemos cargas negativas de uma casca esférica metálica as cargas positivas resultantes também se distribuem uniformemente na superfície da casca Assim por exemplo se removemos n elétrons passam a existir n cargas positivas átomos nos quais está faltando um elétron distribuídas uniformemente na superfície externa da casca De acordo com o primeiro teorema das cascas a casca nesse caso também passa a atrair ou repelir uma carga externa como se todo o excesso de cargas estivesse no centro Teste 2 A figura mostra dois prótons símbolo p e um elétron símbolo e em uma reta Determine o sentido a da força eletrostática exercida pelo elétron sobre o próton central b da força eletrostática exercida pelo outro próton sobre o próton central c da força total exercida sobre o próton central Exemplo 2101 Cálculo da força total exercida por duas partículas Este exemplo na verdade é uma série de três exemplos com um grau crescente de dificuldade Todos envolvem a mesma partícula carregada 1 Primeiro a partícula está sujeita a uma única força coisa fácil Em seguida as forças são duas mas apontam em direções opostas o que facilita as coisas Finalmente as forças também são duas mas apontam em direções diferentes agora temos que nos lembrar de que as forças são grandezas vetoriais O segredo para resolver problemas desse tipo é desenhar os vetores que representam as forças antes de usar uma calculadora para não correr o risco de obter somas que não fazem sentido a A Fig 217a mostra duas partículas positivamente carregadas situadas em pontos fixos do eixo x As cargas são q1 160 1019 C e q2 320 1019 C e a distância entre as cargas é R 00200 m Determine o módulo e a orientação da força eletrostática 12 exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 IDEIASCHAVE Como as duas partículas têm carga positiva a partícula 1 é repelida pela partícula 2 com uma força cujo módulo é dado pela Eq 214 Assim a direção da força 12 exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 é para longe da partícula 2 ou seja no sentido negativo do eixo x como mostra o diagrama de corpo livre da Fig 217b Figura 217 a Duas partículas de cargas q1 e q2 são mantidas fixas no eixo x b Diagrama de corpo livre da partícula 1 mostrando a força eletrostática exercida pela partícula 2 c Inclusão da partícula 3 d Diagrama de corpo livre da partícula 1 e Inclusão da partícula 4 f Diagrama de corpo livre da partícula 1 Duas partículas Usando a Eq 214 com r igual à distância R entre as cargas podemos escrever o módulo F12 da força como Assim a força 12 tem o seguinte módulo e direção em relação ao sentido positivo do eixo x Podemos também escrever 12 na notação de vetores unitários como b A Fig 217c é igual à Fig 217a exceto pelo fato de que agora existe uma partícula 3 no eixo x entre as partículas 1 e 2 A partícula 3 tem uma carga q1 320 1019 C e está a uma distância 3R4 da partícula 1 Determine a força eletrostática 1tot exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 3 IDEIACHAVE A presença da partícula 3 não altera a força eletrostática que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Assim a força 12 continua a agir sobre a partícula 1 Da mesma forma a força 13 que a partícula 3 exerce sobre a partícula 1 não é afetada pela presença da partícula 2 Como as cargas das partículas 1 e 3 têm sinais opostos a partícula 1 é atraída pela partícula 3 Assim o sentido da força 13 é na direção da partícula 3 como mostra o diagrama de corpo livre da Fig 217d Três partículas Para determinar o módulo de 13 usamos a Eq 214 Podemos também escrever 13 na notação dos vetores unitários 13 205 1024 Nî A força total 1tot exercida sobre a partícula 1 é a soma vetorial de 12 e 13 De acordo com a Eq 217 podemos escrever a força total 1tot exercida sobre a partícula 1 na notação dos vetores unitários como Desse modo 1tot tem o seguinte módulo e direção em relação ao sentido positivo do eixo x c A Fig 217e é igual à Fig 217a exceto pelo fato de que agora existe uma partícula 4 A partícula 4 tem uma carga q4 320 1019 C está a uma distância 3R4 da partícula 1 e está em uma reta que faz um ângulo θ 60o com o eixo x Determine a força de atração eletrostática 1tot exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 4 IDEIACHAVE A força total 1tot é a soma vetorial de 12 e uma nova força 14 que age sobre a partícula 1 devido à presença da partícula 4 Como as partículas 1 e 4 têm cargas de sinais opostos a partícula 1 é atraída pela partícula 4 Assim o sentido da força 14 é na direção da partícula 4 fazendo um ângulo de 60o com o eixo x como mostra o diagrama da Fig 217f Quatro partículas Podemos escrever a Eq 214 na forma Nesse caso de acordo com a Eq 217 a força total 1tot exercida sobre a partícula 1 é dada por 1tot 12 14 Como as forças 12 e 14 não têm a mesma direção não podemos somálas simplesmente somando ou subtraindo os módulos Em vez disso precisamos executar uma soma vetorial usando um dos métodos a seguir Método 1 Executar a soma vetorial em uma calculadora No caso de 12 entramos com o módulo 115 1024 e o ângulo de 180o No caso de 14 entramos com o módulo 205 1024 e o ângulo de 60o Em seguida somamos os vetores Método 2 Executar a soma vetorial na notação dos vetores unitários Em primeiro lugar escrevemos 14 na forma 14 F12 cos θî F14 sen θĵ Fazendo F14 205 1024 N e θ 60o temos 14 1025 1024 Nî 1775 1024 Nĵ Agora podemos executar a soma Método 3 Executar a soma vetorial por componentes Somando as componentes x dos dois vetores temos F1totx F12x F14x F12 F14 cos 60 115 1024 N 205 1024 Ncos 60 125 1025 N Somando as componentes y obtemos F1toty F12y F14y 0 F14 sen 60 205 1024 Ncos 60 178 1024 N O módulo da força 1tot é dado por Para determinar a direção de 1tot calculamos Entretanto esse resultado não é razoável já que a direção de 1tot deve estar entre as direções de 12 e 14 Para obter o valor correto de θ somamos 180o o que nos dá Teste 3 A figura mostra três arranjos de um elétron e e dois prótons p a Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força eletrostática exercida pelos prótons sobre o elétron em ordem decrescente b No arranjo c o ângulo entre a força total exercida sobre o elétron e a reta d é maior ou menor que 45o Exemplo 2102 Equilíbrio de uma partícula submetida a duas forças A Fig 218a mostra duas partículas fixas uma partícula de carga q1 8q na origem e uma partícula de carga q2 2q em x L Em que ponto que não esteja a uma distância infinita das cargas um próton pode ser colocado de modo a ficar em equilíbrio sem estar submetido a uma força O equilíbrio é estável ou instável Ou seja se o próton sofrer um pequeno deslocamento as forças o farão voltar à posição de equilíbrio IDEIACHAVE Se 1 é a força exercida sobre o próton pela carga q1 e 2 é a força exercida sobre o próton pela carga q2 o ponto que procuramos é aquele no qual 1 2 0 Isso significa que Assim no ponto que procuramos as forças que as duas partículas exercem sobre o próton devem ter o mesmo módulo ou seja e as forças devem ter sentidos opostos Raciocínio Como a carga do próton é positiva as cargas do próton e da partícula de carga q1 têm o mesmo sinal e portanto a força 1 exercida sobre o próton pela partícula q1 aponta para longe de q1 Como o próton e a partícula de carga q2 têm sinais opostos a força 2 exercida sobre o próton pela partícula q2 aponta na direção de q2 As direções para longe de q1 e para perto de q2 só podem ser direções opostas se o próton estiver na reta que liga as duas partículas ou seja no eixo x Figura 218 a Duas partículas de cargas q1 e q2 são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância L bd Três posições possíveis de um próton P S e R Nas três posições 1 é a força que a partícula 1 exerce sobre o próton e 2 é a força que a partícula 2 exerce sobre o próton Se o próton estiver em um ponto do eixo x entre q1 e q2 como o ponto P da Fig 218b 1 e 2 terão o mesmo sentido e não sentidos opostos como desejamos Se o próton estiver em um ponto do eixo x à esquerda de q1 como o ponto S da Fig 21 8c 1 e 2 terão sentidos opostos Entretanto de acordo com a Eq 214 1 e 2 não poderão ter módulos iguais 1 será sempre maior que 2 já que 1 será produzido por uma carga mais próxima com menor valor de r e maior módulo 8q em comparação com 2q Finalmente se o próton estiver em um ponto do eixo x à direita de q2 como o ponto R da Fig 218d 1 e 2 terão novamente sentidos opostos Entretanto como agora a carga de maior módulo q1 está mais distante do próton que a carga de menor módulo existe um ponto no qual 1 e 2 são iguais Seja x a coordenada desse ponto e seja qp a carga do próton Cálculos Combinando a Eq 219 com a Eq 214 obtemos Observe que apenas os módulos das cargas aparecem na Eq 2110 Como já levamos em conta o sentido das forças ao desenhar a Fig 218d e ao escrever a Eq 2110 não devemos incluir os sinais das cargas De acordo com a Eq 2110 temos Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros obtemos e O equilíbrio no ponto x 2L é instável Quando o próton é deslocado para a esquerda em relação ao ponto R F1 e F2 aumentam mas F2 aumenta mais porque q2 está mais próxima que q1 e a força resultante faz com que o próton continue a se mover para a esquerda até se chocar com a carga q2 Quando o próton é deslocado para a direita em relação ao ponto R F1 e F2 diminuem mas F2 diminui mais e a força resultante faz com que o próton continue a se mover indefinidamente para a direita Se o equilíbrio fosse estável o próton voltaria à posição inicial depois de ser deslocado ligeiramente para a esquerda ou para a direita Exemplo 2103 Distribuição de uma carga entre duas esferas condutoras iguais Na Fig 219a duas esferas condutoras iguais A e B estão separadas por uma distância entre os centros muito maior que o raio das esferas A esfera A tem uma carga positiva Q e a esfera B é eletricamente neutra Inicialmente não existe força eletrostática entre as esferas A carga induzida na esfera neutra pode ser desprezada porque as esferas estão muito afastadas a As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor suficientemente fino para que a carga que se acumula no fio possa ser desprezada Qual é a força eletrostática entre as esferas depois que o fio é removido IDEIASCHAVE 1 Como são iguais as esferas devem terminar o processo com cargas iguais mesmo sinal e mesmo valor absoluto ao serem ligadas por um fio 2 A soma inicial das cargas incluindo o sinal deve ser igual à soma final das cargas Raciocínio Quando as esferas são ligadas por um fio os elétrons de condução negativos da esfera B que se repelem mutuamente podem se afastar uns dos outros movendose por meio do fio para a esfera A positivamente carregada que os atrai como mostra a Fig 219b Com isso a esfera B perde cargas negativas e fica positivamente carregada enquanto a esfera A ganha cargas negativas e fica menos positivamente carregada A transferência de carga cessa quando a carga da esfera B aumenta para Q2 e a carga da esfera A diminui para Q2 o que acontece quando uma carga Q2 passa de B para A Depois que o fio é removido Fig 219c podemos supor que a carga de cada esfera não perturba a distribuição de cargas na outra esfera já que a distância entre as esferas é muito maior que o raio das esferas Assim podemos aplicar o primeiro teorema das cascas às duas esferas Conforme a Eq 214 com q1 q2 Q2 e r a Figura 219 Duas pequenas esferas condutoras A e B a No início a esfera A está carregada positivamente b Uma carga negativa é transferida de B para A por meio de um fio condutor c As duas esferas ficam carregadas positivamente d Uma carga negativa é transferida para a esfera A por meio de um fio condutor ligado à terra e A esfera A fica neutra As esferas agora positivamente carregadas se repelem mutuamente b A esfera A é ligada momentaneamente à terra e em seguida a ligação com a terra é removida Qual é a nova força eletrostática entre as esferas Raciocínio Quando ligamos um objeto carregado à terra que é um imenso condutor por meio de um fio neutralizamos o objeto Se a esfera A estivesse negativamente carregada a repulsão mútua entre os elétrons em excesso faria com que os elétrons em excesso migrassem a esfera para a terra Como a esfera A está positivamente carregada elétrons com uma carga total de Q2 migram da terra para a esfera Fig 219d deixando a esfera com carga 0 Fig 219e Assim como no início não existe força eletrostática entre as esferas 212 A CARGA É QUANTIZADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2119 Saber qual é a carga elementar 2120 Saber que a carga de uma partícula ou objeto é igual a um número inteiro positivo ou negativo multiplicado pela carga elementar IdeiasChave A carga elétrica é quantizada pode ter apenas certos valores A carga de qualquer partícula ou objeto é da forma ne em que n é um número inteiro positivo ou negativo e e é a carga elementar que é o valor absoluto da carga do elétron e do próton 1602 1019 C A Carga É Quantizada Na época de Benjamin Franklin a carga elétrica era considerada um fluido contínuo uma ideia que foi útil para muitos propósitos Hoje porém sabemos que mesmo os fluidos clássicos como a água e o ar não são contínuos e sim compostos de átomos e moléculas a matéria é quantizada Os experimentos revelam que o fluido elétrico também não é contínuo e sim composto de unidades elementares de carga Todas as cargas positivas e negativas q são da forma em que e a carga elementar tem o valor aproximado A carga elementar e é uma das constantes mais importantes da natureza Tanto o elétron como o próton possuem uma carga cujo valor absoluto é e Tabela 211 Os quarks partículas elementares das quais são feitos os prótons e nêutrons têm cargas de e3 e 2e3 mas existem fortes indícios de que não podem ser observados isoladamente Por esse motivo e por questões históricas a carga elementar não é tomada como e3 Tabela 211 As Cargas de Três Partículas Partícula Símbolo Carga Elétron e ou e e Próton p e Nêutron n 0 Algumas expressões de uso corrente como a carga contida em uma esfera a quantidade de carga que foi transferida e a carga que um elétron possui podem dar a impressão de que a carga é uma substância Na verdade a carga não é uma substância e sim uma propriedade das partículas como a massa por exemplo Quando uma grandeza física pode assumir apenas certos valores dizemos que é quantizada a carga elétrica é uma dessas grandezas É possível encontrar uma partícula sem carga elétrica ou com uma carga de 10e ou 6e mas não uma partícula com uma carga de 357e O quantum de carga é extremamente pequeno Em uma lâmpada incandescente de 100 W por exemplo cerca de 1019 cargas elementares passam pelo filamento por segundo Entretanto a natureza discreta da eletricidade não se manifesta em muitos fenômenos a luz da lâmpada não pisca toda vez que um elétron passa pelo filamento Teste 4 Inicialmente a esfera A possui uma carga de 50e e a esfera B uma carga de 20e As esferas são feitas de um material condutor e têm o mesmo tamanho Se as esferas são colocadas em contato qual é o novo valor da carga da esfera A Exemplo 2104 Repulsão entre as partículas de um núcleo atômico O núcleo de um átomo de ferro tem um raio de 40 1015 m e contém 26 prótons a Qual é o módulo da força de repulsão eletrostática entre dois prótons do núcleo de ferro separados por uma distância de 40 1015 m IDEIACHAVE Como os prótons são partículas com carga elétrica o módulo da força eletrostática entre dois prótons é dado pela lei de Coulomb Cálculo De acordo com a Tabela 211 a carga elétrica do próton é e assim de acordo com a Eq 214 Não há uma explosão Essa força poderia ser considerada pequena se agisse sobre um objeto macroscópico como uma melancia mas é gigantesca quando aplicada a uma partícula do tamanho de um próton Forças dessa ordem deveriam fazer com que os núcleos de todos os elementos se desintegrassem a não ser o do hidrogênio que possui apenas um próton O fato de existirem núcleos atômicos estáveis com mais de um próton sugere a existência no interior do núcleo de uma força de atração muito intensa capaz de compensar a repulsão eletrostática b Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre os mesmos dois prótons IDEIACHAVE Como os prótons são partículas com massa o módulo da força gravitacional entre dois prótons é dado pela lei de Newton para a atração gravitacional Eq 212 Cálculo Com mp 167 1027 kg representando a massa de um próton a Eq 212 nos dá Uma grande a outra pequena Esse resultado mostra que a força de atração gravitacional é insuficiente para compensar a força de repulsão eletrostática entre os prótons do núcleo Na verdade a força que mantém o núcleo coeso é uma força muito maior conhecida como interação forte que age entre dois prótons e também entre um próton e um nêutron e entre dois nêutrons apenas quando as partículas estão muito próximas umas das outras como no interior do núcleo Embora a força gravitacional seja muito menor que a força eletrostática é mais importante em situações que envolvem um grande número de partículas porque é sempre atrativa Isso significa que a força gravitacional pode produzir grandes concentrações de matéria como planetas e estrelas que por sua vez exercem grandes forças gravitacionais A força eletrostática por outro lado é repulsiva para cargas de mesmo sinal e portanto não é capaz de produzir grandes concentrações de cargas positivas ou negativas capazes de exercer grandes forças eletrostáticas 213 A CARGA É CONSERVADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2121 Saber que em todos os processos que envolvem um sistema isolado a carga total não pode variar a carga total é uma grandeza conservada 2122 Conhecer os processos de aniquilação e produção de partículas 2123 Conhecer as definições de número de massa e número atômico em termos do número de prótons nêutrons e elétrons de um átomo IdeiasChave A carga elétrica total de um sistema isolado é conservada Para que duas partículas carregadas se aniquilem mutuamente é preciso que tenham cargas de sinais opostos Para que duas partículas carregadas sejam criadas é preciso que tenham cargas de sinais opostos A Carga É Conservada Quando esfregamos um bastão de vidro com um pedaço de seda o bastão fica positivamente carregado As medidas mostram que uma carga negativa de mesmo valor absoluto se acumula na seda Isso sugere que o processo não cria cargas mas apenas transfere cargas de um corpo para outro rompendo no processo a neutralidade de carga dos dois corpos Essa hipótese de conservação da carga elétrica proposta por Benjamin Franklin foi comprovada exaustivamente tanto no caso de objetos macroscópicos como no caso de átomos núcleos e partículas elementares Até hoje não foi encontrada uma exceção Assim podemos acrescentar a carga elétrica a nossa lista de grandezas como a energia o momento linear e o momento angular que obedecem a uma lei de conservação Exemplos importantes da conservação de carga são observados no decaimento radioativo dos núcleos atômicos um processo no qual um núcleo se transforma em um núcleo diferente Um núcleo de urânio 238 238U por exemplo se transforma em um núcleo de tório 234 234Th emitindo uma partícula alfa que é um núcleo de hélio 4 4He O número que precede o símbolo do elemento químico é chamado de número de massa e é igual ao número total de prótons e nêutrons presentes no núcleo Assim o número total de prótons e nêutrons do 238U é 238 O número de prótons presentes em um núcleo é o número atômico Z que é fornecido no Apêndice F para todos os elementos Consultando o Apêndice F vemos que no decaimento o núcleo pai 238U contém 92 prótons uma carga de 92e o núcleo filho 234Th contém 90 prótons uma carga de 90e e a partícula alfa emitida 4He contém 2 prótons uma carga de 2e Como a carga total é 92e antes e depois do decaimento a carga é conservada O número total de prótons e nêutrons também é conservado 238 antes do decaimento e 234 4 238 depois do decaimento Outro exemplo de conservação da carga ocorre quando um elétron e cuja carga é e e sua antipartícula o pósitron e cuja carga é e sofrem um processo de aniquilação e se transformam em dois raios gama ondas eletromagnéticas de alta energia Ao aplicar a lei de conservação da carga devemos somar as cargas algebricamente ou seja levar em conta o sinal de cada uma No processo de aniquilação da Eq 2114 por exemplo a carga total do sistema é zero antes e depois do evento a carga é conservada Na produção de um par o inverso da aniquilação a carga também é conservada Nesse processo um raio gama se transforma em um elétron e um pósitron A Fig 2110 mostra a produção de um par no interior de uma câmara de bolhas Câmara de bolhas é um instrumento no qual um líquido é aquecido bruscamente acima do ponto de ebulição Se uma partícula carregada atravessa o instrumento nesse instante pequenas bolhas de vapor se formam ao longo da trajetória da partícula Um raio gama entrou na câmara proveniente da parte inferior da fotografia e se transformou em um elétron e um pósitron ao interagir com uma partícula presente na câmara Como as partículas criadas tinham carga elétrica e estavam em movimento elas deixaram uma trilha de pequenas bolhas As trilhas são curvas porque existe um campo magnético no interior da câmara Uma vez que é eletricamente neutro o raio gama não produz uma trilha mas sabemos que o par de partículas foi produzido no ponto onde começam as trilhas do elétron e do pósitron Cortesia do Lawrence Berkeley Laboratory Figura 2110 Fotografia das trilhas deixadas por um elétron e um pósitron em uma câmara de bolhas O par de partículas foi produzido por um raio gama que entrou na câmara proveniente da parte inferior da fotografia Como o raio gama é eletricamente neutro não produz uma trilha Revisão e Resumo Carga Elétrica A força das interações elétricas de uma partícula depende da carga elétrica que pode ser positiva ou negativa Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem Um corpo com quantidades iguais dos dois tipos de cargas está eletricamente neutro um corpo com excesso de cargas positivas ou negativas está eletricamente carregado Materiais condutores são materiais nos quais muitas partículas eletricamente carregadas elétrons no caso dos metais se movem com facilidade Nos materiais isolantes as cargas não têm liberdade para se mover Corrente elétrica i é a taxa dqdt com a qual a carga elétrica passa por um ponto ou região Lei de Coulomb A lei de Coulomb expressa a força eletrostática entre duas partículas carregadas Se as partículas têm cargas q1 e q2 elas estão separadas por uma distância r e a distância entre elas não varia ou varia lentamente o módulo da força que uma das partículas exerce sobre a outra é dado por em que ε0 885 1012 C2N m2 é a constante elétrica O fator 14πε0 é frequentemente substituído pela constante eletrostática k 899 109 N m2C2 A força que uma partícula carregada exerce sobre outra partícula carregada tem a direção da reta que liga as duas partículas e aponta para a primeira partícula se as partículas têm cargas de mesmo sinal e aponta para longe da primeira partícula se as partículas têm cargas de sinais opostos Como acontece com outros tipos de forças se uma partícula está sujeita a mais de uma força eletrostática a força resultante é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre a partícula Os dois teoremas das cascas da eletrostática são os seguintes Primeiro teorema das cascas Uma casca com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse no centro da casca Segundo teorema das cascas Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca com uma distribuição uniforme de carga a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula Se um excesso de cargas é depositado em uma casca esférica feita de material condutor a carga se distribui uniformemente na superfície externa da casca A Carga Elementar A carga elétrica é quantizada só pode assumir determinados valores A carga elétrica de qualquer partícula pode ser escrita na forma ne em que n é um número inteiro positivo ou negativo e e é uma constante física conhecida como carga elementar que é o valor absoluto da carga do elétron e do próton 1602 1019 C Conservação da Carga A carga elétrica total de um sistema isolado é constante Perguntas 1 A Fig 2111 mostra quatro sistemas nos quais cinco partículas carregadas estão dispostas ao longo de um eixo com espaçamento uniforme O valor da carga está indicado para todas as partículas a não ser para a partícula central que possui a mesma carga nos quatro sistemas Coloque os sistemas na ordem do módulo da força eletrostática total exercida sobre a partícula central em ordem decrescente Figura 2111 Pergunta 1 2 A Fig 2112 mostra três pares de esferas iguais que são colocadas em contato e depois separadas As cargas presentes inicialmente nas esferas estão indicadas Coloque os pares em ordem decrescente de acordo a com o módulo da carga transferida quando as esferas são postas em contato e b com o módulo da carga presente na esfera positivamente carregada depois que as esferas são separadas Figura 2112 Pergunta 2 3 A Fig 2113 mostra quatro sistemas nos quais partículas carregadas são mantidas fixas em um eixo Em quais desses sistemas existe um ponto à esquerda das partículas no qual um elétron estaria em equilíbrio Figura 2113 Pergunta 3 4 A Fig 2114 mostra duas partículas carregadas em um eixo As cargas têm liberdade para se mover entretanto é possível colocar uma terceira partícula em um ponto tal que as três partículas fiquem em equilíbrio a Esse ponto está à esquerda das duas primeiras partículas à direita delas ou entre elas b A carga da terceira partícula deve ser positiva ou negativa c O equilíbrio é estável ou instável Figura 2114 Pergunta 4 5 Na Fig 2115 uma partícula central de carga q está cercada por dois anéis circulares de partículas carregadas Quais são o módulo e a orientação da força eletrostática total exercida sobre a partícula central pelas outras partículas Sugestão Levando em conta a simetria do problema é possível simplificar consideravelmente os cálculos Figura 2115 Pergunta 5 6 Uma esfera positivamente carregada é colocada nas proximidades de um condutor neutro inicialmente isolado e o condutor é colocado em contato com a terra O condutor fica carregado positivamente fica carregado negativamente ou permanece neutro a se a esfera é afastada e em seguida a ligação com a terra é removida e b se a ligação com a terra é removida e em seguida a esfera é afastada 7 A Fig 2116 mostra três sistemas constituídos por uma partícula carregada e uma casca esférica com uma distribuição de carga uniforme As cargas são dadas e os raios das cascas estão indicados Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força exercida pela casca sobre a partícula em ordem decrescente Figura 2116 Pergunta 7 8 A Fig 2117 mostra quatro sistemas de partículas carregadas Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força eletrostática total a que está submetida a partícula de carga Q em ordem decrescente 9 A Fig 2118 mostra quatro sistemas nos quais partículas de carga q ou q são mantidas fixas Em todos os sistemas as partículas que estão no eixo x estão equidistantes do eixo y Considere a partícula central do sistema 1 a partícula está sujeita às forças eletrostáticas F1 e F2 das outras duas partículas a Os módulos F1 e F2 dessas forças são iguais ou diferentes b O módulo da força total a que a partícula central está submetida é maior menor ou igual a F1 F2 c As componentes x das duas forças se somam ou se subtraem d As componentes y das duas forças se somam ou se subtraem e A orientação da força total a que está submetida a partícula central está mais próxima das componentes que se somam ou das componentes que se subtraem f Qual é a orientação da força total Considere agora os outros sistemas Qual é a orientação da força total exercida sobre a partícula central g no sistema 2 h no sistema 3 i no sistema 4 Em cada sistema considere a simetria da distribuição de cargas e determine as componentes que se somam e as componentes que se cancelam Figura 2117 Pergunta 8 Figura 2118 Pergunta 9 10 Na Fig 2119 uma partícula central de carga 2q está cercada por um quadrado de partículas carregadas separadas por uma distância d ou d2 Quais são o módulo e a orientação da força eletrostática total exercida sobre a partícula central pelas outras partículas Sugestão Levando em conta a simetria do problema é possível simplificar consideravelmente os cálculos Figura 2119 Pergunta 10 11 A Fig 2120 mostra três bolhas condutoras iguais A B e C que flutuam em um recipiente condutor que está ligado à terra por um fio As bolhas têm inicialmente cargas iguais A bolha A esbarra no teto do recipiente e depois na bolha B Em seguida a bolha B esbarra na bolha C que desce até a base do recipiente Quando a bolha C entra em contato com a base do recipiente uma carga de 3e é transferida da terra para o recipiente como indicado na figura a Qual era a carga inicial de cada bolha Quando b a bolha A e c a bolha B entram em contato com a base do recipiente qual é a carga que atravessa o fio e em que sentido d Durante todo o processo qual é a carga total que atravessa o fio e em que sentido Figura 2120 Pergunta 11 12 A Fig 2121 mostra quatro sistemas nos quais um próton central está cercado por prótons e elétrons fixos no lugar ao longo de uma semicircunferência Os ângulos θ são todos iguais os ângulos ϕ também são todos iguais a Qual é em cada sistema a direção da força resultante a que está submetido o próton central b Ordene os quatro sistemas de acordo com o módulo da força resultante a que está submetido o próton central em ordem decrescente Figura 2121 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 211 A Lei de Coulomb 1 Da carga Q que uma pequena esfera contém inicialmente uma parte q é transferida para uma segunda esfera situada nas proximidades As duas esferas podem ser consideradas cargas pontuais Para que valor de qQ a força eletrostática entre as duas esferas é a maior possível 2 Duas esferas condutoras 1 e 2 de mesmo diâmetro possuem cargas iguais e estão separadas por uma distância muito maior que o diâmetro Fig 2122a A força eletrostática a que a esfera 2 está submetida devido à presença da esfera 1 é Uma terceira esfera 3 igual às duas primeiras que dispõe de um cabo não condutor e está inicialmente neutra é colocada em contato primeiro com a esfera 1 Fig 2122b depois com a esfera 2 Fig 2122c e finalmente removida Fig 2122d A força eletrostática a que a esfera 2 agora está submetida tem módulo F Qual é o valor da razão FF Figura 2122 Problema 2 3 Qual deve ser a distância entre a carga pontual q1 260 μC e a carga pontual q2 470 μC para que a força eletrostática entre as duas cargas tenha um módulo de 570 N 4 Na descarga de retorno de um relâmpago típico uma corrente de 25 104 A é mantida por 20 μs Qual é o valor da carga transferida 5 Uma partícula com uma carga de 300 106 C está a 120 cm de distância de uma segunda partícula com uma carga de 150 106 C Calcule o módulo da força eletrostática entre as partículas 6 Duas partículas de mesma carga são colocadas a 32 103 m de distância uma da outra e liberadas a partir do repouso A aceleração inicial da primeira partícula é 70 ms2 e a da segunda é 90 ms2 Se a massa da primeira partícula é 63 107 kg determine a a massa da segunda partícula e b o módulo da carga das partículas 7 Na Fig 2123 três partículas carregadas estão em um eixo x As partículas 1 e 2 são mantidas fixas A partícula 3 está livre para se mover mas a força eletrostática exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 é zero Se L23 L12 qual é o valor da razão q1q2 Figura 2123 Problemas 7 e 40 8 Na Fig 2124 três esferas condutoras iguais possuem inicialmente as seguintes cargas esfera A 4Q esfera B 6Q esfera C 0 As esferas A e B são mantidas fixas a uma distância entre os centros que é muito maior que o raio das esferas Dois experimentos são executados No experimento 1 a esfera C é colocada em contato com a esfera A depois separadamente com a esfera B e finalmente é removida No experimento 2 que começa com os mesmos estados iniciais a ordem é invertida a esfera C é colocada em contato com a esfera B depois separadamente com a esfera A e finalmente é removida Qual é a razão entre a força eletrostática entre A e B no fim do experimento 2 e a força eletrostática entre A e B no fim do experimento 1 Figura 2124 Problemas 8 e 65 9 Duas esferas condutoras iguais mantidas fixas a uma distância entre os centros de 500 cm se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0108 N Quando são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível as esferas passam a se repelir com uma força de 00360 N Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva determine a a carga negativa inicial de uma das esferas e b a carga positiva inicial da outra esfera 10 Na Fig 2125 quatro partículas formam um quadrado As cargas são q1 q4 Q e q2 q3 q a Qual deve ser o valor da razão Qq para que seja nula a força eletrostática total a que as partículas 1 e 4 estão submetidas b Existe algum valor de q para o qual a força eletrostática a que todas as partículas estão submetidas seja nula Justifique sua resposta Figura 2125 Problemas 10 11 e 70 11 Na Fig 2125 as cargas das partículas são q1 q2 100 nC e q3 q4 200 nC O lado do quadrado é a 50 cm Determine a a componente x e b a componente y da força eletrostática a que está submetida a partícula 3 12 Duas partículas são mantidas fixas em um eixo x A partícula 1 de carga 40 μC está situada em x 20 cm a partícula 2 de carga Q está situada em x 30 cm A partícula 3 está inicialmente no eixo y e é liberada a partir do repouso no ponto y 20 cm O valor absoluto da carga da partícula 3 é 20 μC Determine o valor de Q para que a aceleração inicial da partícula 3 seja a no sentido positivo do eixo x e b no sentido positivo do eixo y 13 Na Fig 2126 a partícula 1 de carga 10 μC e a partícula 2 de carga 30 μC são mantidas a uma distância L 100 cm uma da outra em um eixo x Determine a a coordenada x e b a coordenada y de uma partícula 3 de carga desconhecida q3 para que a força total exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula Figura 2126 Problemas 13 19 30 58 e 67 14 Três partículas são mantidas fixas em um eixo x A partícula 1 de carga q1 está em x a a partícula 2 de carga q2 está em x a Determine a razão q1q2 para que a força eletrostática a que está submetida a partícula 3 seja nula a se a partícula 3 estiver no ponto x 0500a b se partícula 3 estiver no ponto x 150a 15 As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano xy são q1 30 μC x1 35 cm y1 050 cm e q2 40 μC x2 20 cm y2 15 cm Determine a o módulo e b a direção da força eletrostática que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 Determine também c a coordenada x e d a coordenada y de uma terceira partícula de carga q3 40 μC para que a força exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula 16 Na Fig 2127a a partícula 1 de carga q1 e a partícula 2 de carga q2 são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância de 800 cm A força que as partículas 1 e 2 exercem sobre uma partícula 3 de carga q3 800 1019 C colocada entre elas é 3tot A Fig 2127b mostra o valor da componente x dessa força em função da coordenada x do ponto em que a partícula 3 é colocada A escala do eixo x é definida por xs 80 cm Determine a o sinal da carga q1 e b o valor da razão q2q1 Figura 2127 Problema 16 17 Na Fig 2128a as partículas 1 e 2 têm carga de 200 μC cada uma e estão separadas por uma distância d 150 m a Qual é o módulo da força eletrostática que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Na Fig 2128b a partícula 3 com carga de 200 μC é posicionada de modo a completar um triângulo equilátero b Qual é o módulo da força eletrostática a que a partícula 1 é submetida devido à presença das partículas 2 e 3 Figura 2128 Problema 17 18 Na Fig 2129a três partículas positivamente carregadas são mantidas fixas em um eixo x As partículas B e C estão tão próximas que as distâncias entre elas e a partícula A podem ser consideradas iguais A força total a que a partícula A está submetida devido à presença das partículas B e C é 2014 1023 N no sentido negativo do eixo x Na Fig 2129b a partícula B foi transferida para o lado oposto de A mas foi mantida à mesma distância Nesse caso a força total a que a partícula A está submetida passa a ser 2877 1024 N no sentido negativo do eixo x Qual é o valor da razão qCqB Figura 2129 Problema 18 19 Na Fig 2126 a partícula 1 de carga q e a partícula 2 de carga 400q são mantidas a uma distância L 900 cm em um eixo x Se quando uma partícula 3 de carga q3 é colocada nas proximidades das partículas 1 e 2 as três partículas permanecem imóveis ao serem liberadas determine a a coordenada x da partícula 3 b a coordenada y da partícula 3 e c a razão q3q 20 A Fig 2130a mostra um sistema de três partículas carregadas separadas por uma distância d As partículas A e C estão fixas no lugar no eixo x mas a partícula B pode se mover ao longo de uma circunferência com centro na partícula A Durante o movimento um segmento de reta que liga os pontos A e B faz um ângulo θ com o eixo x Fig 2130b As curvas da Fig 2130c mostram para dois valores diferentes da razão entre a carga da partícula C e a carga da partícula B o módulo Ftot da força eletrostática total que as outras partículas exercem sobre a partícula A A força total foi plotada em função do ângulo θ e como múltiplo de uma força de referência F0 Assim por exemplo na curva 1 para θ 180o vemos que Ftot 2F0 a Nas condições em que foi obtida a curva 1 qual é a razão entre a carga da partícula C e a carga da partícula B incluindo o sinal b Qual é a razão nas condições em que foi obtida a curva 2 Figura 2130 Problema 20 21 Uma casca esférica isolante com um raio interno de 40 cm e um raio externo de 60 cm possui uma distribuição de carga não uniforme A densidade volumétrica de carga ρ cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico é a carga por unidade de volume No caso dessa casca ρ br em que r é a distância em metros a partir do centro da casca e b 30 μCm2 Qual é a carga total da casca 22 A Fig 2131 mostra um sistema de quatro partículas carregadas com θ 300o e d 200 cm A carga da partícula 2 é q2 800 1019 C a carga das partículas 3 e 4 é q3 q4 160 1019 C a Qual deve ser a distância D entre a origem e a partícula 2 para que seja nula a força que age sobre a partícula 1 b Se as partículas 3 e 4 são aproximadas do eixo x mantendose simétricas em relação a esse eixo o valor da distância D é maior menor ou igual ao valor do item a Figura 2131 Problema 22 23 Na Fig 2132 as partículas 1 e 2 de carga q1 q2 320 1019 C estão no eixo y a uma distância d 170 cm da origem A partícula 3 de carga q3 640 1019 C é deslocada ao longo do eixo x de x 0 até x 50 m Para qual valor de x o módulo da força eletrostática exercida pelas partículas 1 e 2 sobre a partícula 3 é a mínimo e b máximo Qual é o valor c mínimo e d máximo do módulo Figura 2132 Problema 23 Módulo 212 A Carga É Quantizada 24 Duas pequenas gotas dágua esféricas com cargas iguais de 100 1016 C estão separadas por uma distância entre os centros de 100 cm a Qual é o valor do módulo da força eletrostática a que cada uma está submetida b Quantos elétrons em excesso possui cada gota 25 Quantos elétrons é preciso remover de uma moeda para deixála com uma carga de 10 107 C 26 Qual é o módulo da força eletrostática entre um íon de sódio monoionizado Na de carga e e um íon de cloro monoionizado Cl de carga e em um cristal de sal de cozinha se a distância entre os íons é 282 1010 m 27 O módulo da força eletrostática entre dois íons iguais separados por uma distância de 50 1010 m é 37 109 N a Qual é a carga de cada íon b Quantos elétrons estão faltando em cada íon fazendo assim com que o íon possua uma carga elétrica diferente de zero 28 Uma corrente de 0300 A que atravesse o peito pode produzir fibrilação no coração de um ser humano perturbando o ritmo dos batimentos cardíacos com efeitos possivelmente fatais Se a corrente dura 200 min quantos elétrons de condução atravessam o peito da vítima 29 Na Fig 2133 as partículas 2 e 4 de carga e são mantidas fixas no eixo y nas posições y2 100 cm e y4 500 cm As partículas 1 e 3 de carga e podem ser deslocadas ao longo do eixo x A partícula 5 de carga e é mantida fixa na origem Inicialmente a partícula 1 está no ponto x1 100 cm e a partícula 3 está no ponto x3 100 cm a Para qual ponto do eixo x a partícula 1 deve ser deslocada para que a força eletrostática total tot a que a partícula está submetida sofra uma rotação de 30o no sentido antihorário b Com a partícula 1 mantida fixa na nova posição para qual ponto do eixo x a partícula 3 deve ser deslocada para que tot volte à direção original Figura 2133 Problema 29 30 Na Fig 2126 as partículas 1 e 2 são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância L 800 cm As cargas das partículas são q1 e e q2 27e A partícula 3 de carga q3 4e colocada no eixo x entre as partículas 1 e 2 é submetida a uma força eletrostática total 3tot a Em que posição deve ser colocada a partícula 3 para que o módulo de 3tot seja mínimo b Qual é o valor do módulo de 3tot nessa situação 31 A atmosfera da Terra é constantemente bombardeada por raios cósmicos provenientes do espaço sideral constituídos principalmente por prótons Se a Terra não tivesse atmosfera cada metro quadrado da superfície terrestre receberia em média 1500 prótons por segundo Qual seria a corrente elétrica recebida pela superfície do planeta 32 A Fig 2134a mostra duas partículas carregadas 1 e 2 que são mantidas fixas em um eixo x O valor absoluto da carga da partícula 1 é q1 800e A partícula 3 de carga q3 80e que estava inicialmente no eixo x nas vizinhanças da partícula 2 é deslocada no sentido positivo do eixo x Em consequência a força eletrostática total 2tot a que está sujeita a partícula 2 varia A Fig 2134b mostra a componente x da força em função da coordenada x da partícula 3 A escala do eixo x é definida por xs 080 m A curva possui uma assíntota F2tot 15 1025 N para x Determine o valor da carga q2 da partícula 2 em unidades de e incluindo o sinal Figura 2134 Problema 32 33 Calcule o número de coulombs de carga positiva que estão presentes em 250 cm3 de água neutra Sugestão Um átomo de hidrogênio contém um próton um átomo de oxigênio contém oito prótons 34 A Fig 2135 mostra dois elétrons 1 e 2 no eixo x e dois íons 3 e 4 de carga q no eixo y O ângulo θ é o mesmo para os dois íons O elétron 2 está livre para se mover as outras três partículas são mantidas fixas a uma distância horizontal R do elétron 2 e seu objetivo é impedir que o elétron 2 se mova Para valores fisicamente possíveis de q 5e determine a o menor valor possível de θ b o segundo menor valor possível de θ c o terceiro menor valor possível de θ Figura 2135 Problema 34 35 Nos cristais de cloreto de césio os íons de césio Cs estão nos oito vértices de um cubo com um íon de cloro Cl no centro Fig 2136 A aresta do cubo tem 040 nm Os íons Cs possuem um elétron a menos e portanto uma carga e e os íons Cl possuem um elétron a mais e portanto uma carga e a Qual é o módulo da força eletrostática exercida sobre o íon Cl pelos íons Cs situados nos vértices do cubo b Se um dos íons Cs está faltando dizemos que o cristal possui um defeito qual é o módulo da força eletrostática exercida sobre o íon Cl pelos íons Cs restantes Figura 2136 Problema 35 Módulo 213 A Carga É Conservada 36 Elétrons e pósitrons são produzidos em reações nucleares envolvendo prótons e nêutrons Essas reações são conhecidas pelo nome genérico de decaimento beta a Se um próton se transforma em um nêutron é produzido um elétron ou um pósitron b Se um nêutron se transforma em um próton é produzido um elétron ou um pósitron 37 Determine X nas seguintes reações nucleares a 1H 9Be X n b 12C 1H X c 15N 1H 4He X Sugestão Consulte o Apêndice F Problemas Adicionais 38 A Fig 2137 mostra quatro esferas condutoras iguais que estão separadas por grandes distâncias A esfera W que estava inicialmente neutra é colocada em contato com a esfera A e depois as esferas são novamente separadas Em seguida a esfera W é colocada em contato com a esfera B que possuía inicialmente uma carga de 32e e depois as esferas são separadas Finalmente a esfera A é colocada em contato com a esfera C que possuía inicialmente uma carga de 48e e depois as esferas são separadas A carga final da esfera W é 18e Qual era a carga inicial da esfera A Figura 2137 Problema 38 39 Na Fig 2138 a partícula 1 de carga 4e está a uma distância d1 200 mm do solo e a partícula 2 de carga 6e está no solo a uma distância horizontal d2 600 mm da partícula 1 Qual é a componente x da força eletrostática exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 Figura 2138 Problema 39 40 Na Fig 2123 as partículas 1 e 2 são mantidas fixas Se a força eletrostática total exercida sobre a partícula 3 é zero e L23 200L12 qual é o valor da razão q1q2 41 a Que cargas iguais e positivas teriam que ser colocadas na Terra e na Lua para neutralizar a atração gravitacional entre os dois astros b Por que não é necessário conhecer a distância entre a Terra e a Lua para resolver o problema c Quantos quilogramas de íons de hidrogênio ou seja prótons seriam necessários para acumular a carga positiva calculada no item a 42 Na Fig 2139 duas pequenas esferas condutoras de mesma massa m e mesma carga q estão penduradas em fios isolantes de comprimento L Suponha que o ângulo θ é tão pequeno que a aproximação tan θ sen θ pode ser usada a Mostre que a distância de equilíbrio entre as esferas é dada por b Se L 120 cm m 10 g e x 50 cm qual é o valor de q Figura 2139 Problemas 42 e 43 43 a Explique o que acontece com as esferas do Problema 42 se uma delas é descarregada ligando por exemplo momentaneamente a esfera à terra b Determine a nova distância de equilíbrio x usando os valores dados de L e m e o valor calculado de q 44 A que distância devem ser colocados dois prótons para que o módulo da força eletrostática que um exerce sobre o outro seja igual à força gravitacional a que um dos prótons está submetido na superfície terrestre 45 Quantos megacoulombs de carga elétrica positiva existem em 100 mol de hidrogênio molecular H2 neutro 46 Na Fig 2140 quatro partículas são mantidas fixas no eixo x porém separadas por uma distância d 200 cm As cargas das partículas são q1 2e q2 e q3 e e q4 4e em que e 160 1019 C Usando a notação dos vetores unitários determine a força eletrostática a que está submetida a a partícula 1 e b a partícula 2 Figura 2140 Problema 46 47 Cargas pontuais de 60 μC e 40 μC são mantidas fixas no eixo x nos pontos x 80 m e x 16 m respectivamente Que carga deve ser colocada no ponto x 24 m para que seja nula a força eletrostática total sobre uma carga colocada na origem 48 Na Fig 2141 três esferas condutoras iguais são dispostas de modo a formarem um triângulo equilátero de lado d 200 cm Os raios das esferas são muito menores que d As cargas das esferas são qA 200 nC qB 400 nC e qC 800 nC a Qual é o módulo da força eletrostática entre as esferas A e C Em seguida é executado o seguinte procedimento A e B são ligadas por um fio fino que depois é removido B é ligada à terra pelo fio que depois é removido B e C são ligadas pelo fio que depois é removido Determine o novo valor b do módulo da força eletrostática entre as esferas A e C c do módulo da força eletrostática entre as esferas B e C Figura 2141 Problema 48 49 Um nêutron é composto por um quark up com carga de 2e3 e dois quarks down cada um com carga de e3 Se os dois quarks down estão separados por uma distância de 26 1015 m no interior do nêutron qual é o módulo da força eletrostática entre eles 50 A Fig 2142 mostra uma barra longa isolante de massa desprezível e comprimento L articulada no centro e equilibrada por um bloco de peso P situado a uma distância x da extremidade esquerda Nas extremidades direita e esquerda da barra existem pequenas esferas condutoras de carga positiva q e 2q respectivamente A uma distância vertical h abaixo das esferas existem esferas fixas de carga positiva Q a Determine a distância x para que a barra fique equilibrada na horizontal b Qual deve ser o valor de h para que a barra não exerça força vertical sobre o apoio quando está equilibrada na horizontal Figura 2142 Problema 50 51 Uma barra isolante eletricamente carregada com um comprimento de 200 m e uma seção reta de 400 cm2 está no semieixo x positivo com uma das extremidades na origem A densidade volumétrica de carga ρ cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico é a carga por unidade de volume Determine quantos elétrons em excesso existem na barra a se ρ é uniforme com um valor de 400 μCm3 b se o valor de ρ é dado pela equação ρ bx2 em que b 200 μCm5 52 Uma partícula de carga Q é mantida fixa na origem de um sistema de coordenadas xy No instante t 0 uma partícula m 0800 g q 400 μC está situada no eixo x no ponto x 200 cm e se move com uma velocidade de 500 ms no sentido positivo do eixo y Para qual valor de Q a partícula executa um movimento circular uniforme Despreze o efeito da força gravitacional sobre a partícula 53 Qual seria o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais de 100 C separadas por uma distância de a 100 m e b 100 km se essas cargas pontuais pudessem existir o que não é verdade e se fosse possível montar um sistema desse tipo 54 Uma carga de 60 μC é dividida em duas partes que são mantidas a uma distância de 300 mm Qual é o maior valor possível da força eletrostática entre as duas partes 55 Da carga Q que está presente em uma pequena esfera uma fração α é transferida para uma segunda esfera As esferas podem ser tratadas como partículas a Para qual valor de α o módulo da força eletrostática F entre as duas esferas é o maior possível Determine b o menor e c o maior valor de α para o qual F é igual à metade do valor máximo 56 Se um gato se esfrega repetidamente nas calças de algodão do dono em um dia seco a transferência de carga do pelo do gato para o tecido de algodão pode deixar o dono com um excesso de carga de 200 μC a Quantos elétrons são transferidos para o dono O dono decide lavar as mãos mas quando aproxima os dedos da torneira acontece uma descarga elétrica b Nessa descarga elétrons são transferidos da torneira para o dono do gato ou viceversa c Pouco antes de acontecer a descarga são induzidas cargas positivas ou negativas na torneira d Se o gato tivesse se aproximado da torneira a transferência de elétrons seria em que sentido e Se você for acariciar um gato em um dia seco deve tomar cuidado para não aproximar os dedos do focinho do animal caso contrário poderá ocorrer uma descarga elétrica suficiente para assustar você Levando em conta o fato de que o pelo de gato é um material isolante explique como isso pode acontecer 57 Sabemos que a carga negativa do elétron e a carga positiva do próton têm o mesmo valor absoluto Suponha porém que houvesse uma diferença de 000010 entre as duas cargas Nesse caso qual seria a força de atração ou repulsão entre duas moedas de cobre situadas a 10 m de distância Suponha que cada moeda contém 3 1022 átomos de cobre Sugestão Um átomo de cobre contém 29 prótons e 29 elétrons O que é possível concluir a partir desse resultado 58 Na Fig 2126 a partícula 1 com carga de 800 μC e a partícula 2 com carga de 40 μC são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância L 200 cm Determine na notação dos vetores unitários a força eletrostática total a que é submetida uma partícula 3 de carga q3 200 μC se a partícula 3 for colocada a no ponto x 400 cm b no ponto x 800 cm Determine também c a coordenada x d a coordenada y da partícula 3 para que seja nula a força eletrostática total a que a partícula é submetida 59 Qual é a carga total em coulombs de 750 kg de elétrons 60 Na Fig 2143 seis partículas carregadas cercam a partícula 7 a uma distância de 10 cm ou 20 cm como mostra a figura As cargas são q1 2e q2 4e q3 e q4 4e q5 2e q6 8e e q7 6e com e 160 1019 C Qual é o módulo da força eletrostática a que está submetida a partícula 7 Figura 2143 Problema 60 61 Três partículas carregadas formam um triângulo a partícula 1 com uma carga Q1 800 nC está no ponto 0 300 mm a partícula 2 com uma carga Q2 está no ponto 0 300 mm e a partícula 3 com uma carga q 180 nC está no ponto 400 mm 0 Na notação dos vetores unitários qual é a força eletrostática exercida sobre a partícula 3 pelas outras duas partículas a se Q2 800 nC e b se Q2 800 nC 62 Na Fig 2144 determine a o módulo e b a direção da força eletrostática total a que está submetida a partícula 4 Todas as partículas são mantidas fixas no plano xy q1 320 1019 C q2 320 1019 C q3 640 1019 C q4 320 1019 C θ1 350o d1 300 cm d2 d3 200 cm Figura 2144 Problema 62 63 Duas cargas pontuais de 30 nC e 40 nC são mantidas fixas no eixo x na origem e no ponto x 72 cm respectivamente Uma partícula com uma carga de 42 μC é liberada a partir do repouso no ponto x 28 cm Se a aceleração inicial da partícula é 100 kms2 qual é a massa da partícula 64 A soma das cargas de duas pequenas esferas positivamente carregadas é 50 105 C Se cada esfera é repelida pela outra com uma força eletrostática de 10 N e as esferas estão separadas por uma distância de 20 m qual é a carga da esfera com a menor carga 65 As cargas iniciais das três esferas condutoras iguais da Fig 2124 são as seguintes esfera A Q esfera B Q4 esfera C Q2 em que Q 200 1014 C As esferas A e B são mantidas fixas com uma distância entre os centros d 120 m que é muito maior que o raio das esferas A esfera C é colocada em contato primeiro com a esfera A e depois com a esfera B antes de ser removida Qual é o módulo da força eletrostática entre as esferas A e B 66 Um elétron se encontra no vácuo perto da superfície da Terra no ponto y 0 de um eixo vertical Qual deve ser a coordenada y de um segundo elétron situado no eixo y para que a força eletrostática exercida sobre o primeiro elétron compense o peso do primeiro elétron 67 Na Fig 2126 a partícula 1 de carga 500q e a partícula 2 de carga 200q são mantidas a uma distância L no eixo x Se uma partícula 3 de carga desconhecida q3 é colocada em um ponto tal que a força eletrostática total exercida sobre a partícula seja zero determine a a coordenada x e b a coordenada y da partícula 3 68 Dois estudantes de engenharia João com uma massa de 90 kg e Maria com uma massa de 45 kg estão a 30 m de distância um do outro Suponha que existam desequilíbrios de carga de 001 nos corpos dos dois estudantes com um deles positivo e o outro negativo Determine a ordem de grandeza da força de atração eletrostática entre os dois estudantes substituindoos por esferas de água com a mesma massa 69 No decaimento radioativo da Eq 2113 um núcleo de 238U se transforma em 234Th e 4He que é ejetado Tratase de núcleos e não de átomos isso significa que não há elétrons envolvidos Para uma distância entre os núcleos de 234Th e 4He de 90 1015 m determine a a força eletrostática entre os núcleos e b a aceleração do núcleo de 4He 70 Na Fig 2125 quatro partículas formam um quadrado As cargas são q1 Q q2 q3 q e q4 200Q Qual é o valor de qQ se a força eletrostática total a que está submetida a partícula 1 é zero 71 Em uma casca metálica de raio R um elétron é lançado do centro em direção a um pequeno furo da casca passa pelo furo e se afasta da casca A casca está carregada negativamente com uma densidade superficial de carga carga por unidade de área de 690 1013 Cm2 Determine o módulo da aceleração do elétron no instante em que a distância entre o elétron e o centro da casca é a 0500R e b 200R 72 Um elétron é lançado com uma velocidade inicial vi 32 105 ms em direção a um próton muito distante que está em repouso Como a massa do próton é muito maior que a massa do elétron suponha que o próton permanece em repouso Calculando o trabalho realizado pela força eletrostática sobre o elétron determine a distância entre as duas partículas no instante em que a velocidade do elétron é igual a 2vi 73 Em um modelo antigo do átomo de hidrogênio o modelo de Bohr o elétron descrevia uma órbita circular em torno do próton e o raio da órbita era restrito aos valores dados por r n2a0 para n 1 2 3 em que a0 5292 pm Qual seria a velocidade do elétron a na órbita de menor raio e b na órbita com o segundo menor raio c Se o elétron passasse para uma órbita de raio maior a velocidade do elétron aumentaria diminuiria ou permaneceria a mesma 74 A corrente que atravessa o filamento de uma lâmpada de 100 W é 083 A Quanto tempo é necessário para que 1 mol de elétrons passe pela lâmpada 75 As cargas do elétron e do pósitron são e e e respectivamente As duas partículas têm a mesma massa 911 1031 kg Qual é a razão entre a força de atração elétrica e a força de atração gravitacional entre um elétron e um pósitron 1Essas pastilhas muito populares nos Estados Unidos são conhecidas como LifeSavers NT CAPÍTULO 22 Campos Elétricos 221 O CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2201 Saber que em todos os pontos do espaço nas proximidades de uma partícula carregada a partícula cria um campo elétrico que é uma grandeza vetorial e portanto possui um módulo e uma orientação 2202 Saber que um campo elétrico pode ser usado para explicar por que uma partícula carregada pode exercer uma força eletrostática em outra partícula carregada mesmo que as partículas não estejam em contato 2203 Explicar de que modo uma pequena carga de teste positiva pode ser usada pelo menos em princípio para medir o campo elétrico em qualquer ponto do espaço 2204 Explicar o que são as linhas de campo elétrico onde começam onde terminam e o que significa o espaçamento das linhas IdeiasChave Uma partícula carregada cria um campo elétrico que é uma grandeza vetorial no espaço em volta Se uma segunda partícula está nas proximidades da primeira ela é submetida a uma força eletrostática que depende do módulo e da orientação do campo elétrico no ponto em que a partícula se encontra O campo elétrico em qualquer ponto do espaço é definido em termos da força eletrostática que seria exercida sobre uma carga de teste q0 colocada nesse ponto As linhas de campo elétrico ajudam a visualizar a orientação e o módulo dos campos elétricos O vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço é tangente à linha de campo elétrico que passa por esse ponto A concentração de linhas de campo elétrico em uma região é proporcional ao módulo do campo elétrico nessa região assim se o espaçamento das linhas em uma região é pequeno isso significa que o campo elétrico nessa região é particularmente intenso As linhas de campo elétrico começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas O que É Física A Fig 221 mostra duas partículas positivamente carregadas Como vimos no capítulo anterior a partícula 1 está sujeita a uma força eletrostática por causa da presença da partícula 2 Vimos também que é possível calcular o módulo e a orientação da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Resta porém uma pergunta intrigante Como a partícula 1 sabe que existe a partícula 2 Em outras palavras se as partículas não se tocam por que a partícula 2 afeta a partícula 1 Como explicar o que constitui na realidade uma ação a distância já que não existe uma ligação visível entre as partículas Um dos objetivos da física é registrar observações a respeito do nosso mundo como o módulo e a orientação da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 outro é explicar essas observações Um dos objetivos deste capítulo é explicar o que acontece quando uma partícula sofre os efeitos de uma força elétrica A explicação que vamos apresentar é a seguinte A partícula 2 cria um campo elétrico no espaço que a cerca mesmo que o espaço esteja vazio Quando a partícula 1 é colocada em um ponto qualquer desse espaço a partícula sabe que a partícula 2 existe porque ela é afetada pelo campo elétrico que a partícula 2 criou nesse ponto Assim a partícula 2 afeta a partícula 1 não por contato direto como acontece quando você empurra uma xícara de café mas por meio do campo elétrico que a partícula 2 produz Nossos objetivos neste capítulo são 1 definir o campo elétrico 2 discutir a forma de calculálo para vários sistemas de partículas carregadas e 3 discutir o efeito do campo elétrico sobre partículas carregadas como o de colocálas em movimento Figura 221 Se as partículas não se tocam por que a partícula 2 afeta a partícula 1 O Campo Elétrico Campos de vários tipos são usados na ciência e na engenharia Por exemplo o campo de temperatura de um auditório é a distribuição de temperaturas que pode ser obtida medindo a temperatura em muitos pontos do auditório De maneira análoga podemos definir o campo de pressão de uma piscina Os campos de temperatura e de pressão são campos escalares já que temperatura e pressão são grandezas escalares ou seja não possuem uma orientação Por outro lado o campo elétrico é um campo vetorial já que contém informações a respeito de uma força e as forças possuem um módulo e uma orientação O campo elétrico consiste em uma distribuição de vetores campo elétrico um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado Em princípio podemos definir o campo elétrico em um ponto nas proximidades de um objeto carregado como o ponto P da Fig 222a da seguinte forma Colocamos no ponto P uma pequena carga positiva q0 que chamamos de carga de prova porque será usada para provar ou seja sondar o campo Usamos uma carga pequena para não perturbar a distribuição de carga do objeto Em seguida medimos a força eletrostática que age sobre a carga q0 e definimos o campo elétrico produzido pelo objeto pela equação Como a carga de prova é positiva os dois vetores da Fig 222 têm a mesma orientação ou seja a orientação de é a mesma de O módulo de no ponto P é Fq0 Como mostra a Fig 22b representamos o campo elétrico como um vetor cuja origem deve estar no ponto em que foi feita a medida Essa observação pode parecer trivial mas desenhar o vetor campo elétrico com a origem em outro ponto qualquer geralmente leva a erros nos cálculos Outro erro comum é confundir os conceitos de força e de campo A força elétrica é um puxão ou um empurrão enquanto o campo elétrico é uma propriedade abstrata criada no espaço por um objeto eletricamente carregado De acordo com a Eq 22 1 a unidade de campo elétrico do SI é o newton por coulomb NC Podemos colocar a carga de prova em vários pontos para medir o campo elétrico nesses pontos e assim levantar a distribuição de campo elétrico nas vizinhanças do objeto carregado Esse campo existe independentemente da carga de prova é algo que um objeto carregado cria no espaço em volta ainda que esteja vazio mesmo que não haja ninguém para medilo Nos próximos módulos vamos calcular o campo elétrico que existe nas vizinhanças de partículas e de objetos de várias formas geométricas Antes porém vamos discutir uma forma de visualizar os campos elétricos Figura 222 a Uma carga de prova positiva q0 colocada em um ponto P nas proximidades de um objeto carregado Uma força eletrostática age sobre a carga de prova b O campo elétrico no ponto P produzido por um objeto carregado Figura 223 a Uma força eletrostática age sobre uma carga de prova positiva colocada nas proximidades de uma esfera que contém uma distribuição uniforme de carga negativa b O vetor campo elétrico na posição da carga de prova e as linhas de campo no espaço que cerca a esfera As linhas de campo elétrico terminam na esfera negativamente carregada As linhas têm origem em cargas positivas distantes Linhas de Campo Elétrico Olhe para o espaço que o cerca Você é capaz de visualizar nesse espaço um campo de vetores com diferentes módulos e orientações Pode parecer difícil mas Michael Faraday que introduziu a ideia de campos elétricos no século XIX encontrou um meio Ele imaginou que existem linhas hoje conhecidas como linhas de campo elétrico nas vizinhanças de qualquer partícula ou objeto com carga elétrica A Fig 223 mostra um exemplo em que uma esfera possui uma carga negativa uniformemente distribuída na superfície Se colocarmos uma carga de prova positiva nas proximidades da esfera Fig 223a a carga de prova será atraída para o centro da esfera por uma força eletrostática Assim em cada ponto da vizinhança da esfera o vetor campo elétrico aponta na direção do centro da esfera Podemos representar esse campo elétrico usando as linhas de campo elétrico da Fig 223b Em qualquer ponto como o que está indicado na figura a direção da linha de campo elétrico coincide com a direção do vetor campo elétrico nesse ponto As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes 1 O vetor campo elétrico em qualquer ponto é tangente à linha de campo elétrico que passa por esse ponto e tem o mesmo sentido que a linha de campo elétrico Isso é fácil de ver na Fig 223 em que as linhas de campo são retas mas daqui a pouco vamos discutir o caso das linhas curvas 2 As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por unidade de área medido em um plano perpendicular às linhas é proporcional ao módulo do campo elétrico quanto mais próximas as linhas maior o módulo do campo Figura 224 a A força que age sobre uma carga de prova positiva colocada nas proximidades de uma placa muito grande isolante com uma distribuição uniforme de carga positiva na superfície direita b O vetor campo elétrico na posição da carga de prova e as linhas de campo nas vizinhanças da placa As linhas de campo elétrico começam na superfície da placa c Vista lateral de b Se a esfera da Fig 223 tivesse uma carga positiva uniformemente distribuída na superfície os vetores campo elétrico apontariam para longe da esfera e as linhas de campo elétrico também apontariam para longe da esfera Temos portanto a seguinte regra As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas onde começam e se aproximam das cargas negativas onde terminam Na Fig 223b as linhas de campo elétrico começam em cargas positivas distantes que não aparecem no desenho Para dar outro exemplo a Fig 224a mostra parte de uma placa infinita isolante com uma distribuição uniforme de carga positiva na superfície direita Quando colocamos uma carga de prova positiva nas proximidades da placa do lado direito ou do lado esquerdo vemos que a carga é submetida a uma força eletrostática perpendicular à placa Essa orientação se deve ao fato de que qualquer componente que não seja perpendicular para cima digamos é compensada por uma componente de mesmo valor no sentido oposto para baixo no caso Além disso o sentido da força é para longe da placa Assim os vetores campo elétrico e as linhas de campo em qualquer ponto do espaço dos dois lados da placa são perpendiculares à placa e apontam para longe da placa como mostram as Figs 224b e 224c Como a carga está uniformemente distribuída na placa todos os vetores campo elétrico têm o mesmo módulo Esse tipo de campo elétrico no qual os vetores têm o mesmo módulo e a mesma orientação em todos os pontos do espaço é chamado de campo elétrico uniforme É muito mais fácil trabalhar com um campo desse tipo do que com um campo elétrico não uniforme em que o campo não é o mesmo em todos os pontos Naturalmente nenhuma placa tem dimensões infinitas isso é apenas uma forma de dizer que estamos medindo o campo em pontos cuja distância da placa é muito menor que as dimensões da placa e que os pontos escolhidos estão longe das bordas A Fig 225 mostra as linhas de campo de duas partículas com cargas positivas iguais Nesse caso as linhas de campo são curvas mas as regras continuam as mesmas 1 o vetor campo elétrico em qualquer ponto é tangente à linha de campo que passa por esse ponto e tem o mesmo sentido que a linha de campo e 2 quanto menos espaçadas estiverem as linhas maior será o módulo do campo Para visualizar o padrão tridimensional de linhas de campo em volta das partículas basta fazer girar mentalmente o padrão da Fig 225 em torno do eixo de simetria que é uma reta vertical passando pelas partículas Figura 225 Linhas de campo de duas partículas com cargas positivas iguais A figura mostra também o vetor campo elétrico em um ponto do espaço o vetor é tangente à linha de campo que passa pelo ponto O desenho não transmite a ideia de que as partículas se repelem 222 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2205 Desenhar uma partícula carregada indicar o sinal da carga escolher um ponto próximo e desenhar o vetor campo elétrico nesse ponto com a origem no ponto 2206 Dado um ponto nas vizinhanças de uma partícula carregada indicar a direção do vetor campo elétrico e o sentido do campo se a carga da partícula for positiva e se a carga for negativa 2207 Dado um ponto nas vizinhanças de uma partícula carregada conhecer a relação entre o módulo E do campo o valor absoluto q da carga e a distância r entre o ponto e a partícula 2208 Saber que a equação usada para calcular o campo elétrico nas vizinhanças de uma partícula não pode ser usada para calcular o campo elétrico nas vizinhanças de um objeto macroscópico 2209 Se existe mais de um campo elétrico em um ponto do espaço calcular o campo elétrico resultante usando uma soma vetorial e não uma soma algébrica dos campos elétricos envolvidos IdeiasChave O módulo do campo elétrico criado por uma partícula de carga q em um ponto situado a uma distância r da partícula é dado por Os vetores campo elétrico associados a uma partícula positiva apontam para longe da partícula Os vetores campo elétrico associados a uma partícula negativa apontam na direção da partícula Se existe mais de um campo elétrico em um ponto do espaço o campo elétrico resultante é a soma vetorial dos campos elétricos envolvidos ou seja os campos elétricos obedecem ao princípio da superposição O Campo Elétrico Produzido por uma Partícula Carregada Para determinar o campo elétrico produzido a uma distância r de uma partícula de carga q também chamada coloquialmente de carga pontual colocamos uma carga de prova q0 nesse ponto De acordo com a lei de Coulomb Eq 214 o módulo da força eletrostática que age sobre a carga de prova é dado por O sentido de é para longe da partícula se a carga q for positiva já que a carga de prova q0 é positiva e na direção da partícula se a carga q for negativa De acordo com a Eq 221 o módulo do vetor campo elétrico criado pela partícula na posição da carga de prova é dado por O sentido de é o mesmo que o da força que age sobre a carga de prova para longe da carga pontual se q for positiva e na direção da carga pontual se q for negativa Assim se conhecemos a posição de uma partícula carregada podemos facilmente determinar a orientação do vetor campo elétrico em pontos próximos da partícula simplesmente observando o sinal da carga q Para determinar o módulo do campo elétrico a uma distância r da partícula usamos a Eq 222 omitindo o vetor unitário e tomando o valor absoluto da carga o que nos dá Usamos o valor absoluto q na Eq 223 para evitar o risco de obtermos um valor negativo para E quando a carga q é negativa e pensarmos que o sinal negativo tem algo a ver com o sentido de A Eq 223 nos dá apenas o módulo de a direção e o sentido de devem ser determinados separadamente A Fig 226 mostra o campo elétrico em alguns pontos na vizinhança de uma partícula de carga positiva mas deve ser interpretada corretamente Cada vetor representa o campo elétrico no ponto de origem do vetor O vetor no caso não é uma grandeza que liga um ponto de origem a um ponto de destino como é o caso do vetor deslocamento o comprimento é simplesmente proporcional ao módulo do campo elétrico no ponto de origem do vetor Figura 226 Vetores campo elétrico em vários pontos das vizinhanças de uma carga pontual positiva Se em um ponto existem vários campos elétricos criados por várias partículas carregadas podemos determinar o campo total colocando uma carga de prova positiva no ponto e calculando a força exercida individualmente pelas partículas como a força 01 exercida pela partícula 1 Como as forças obedecem ao princípio da superposição podemos obter a força resultante usando uma soma vetorial 0 01 02 0n Para calcular o campo elétrico basta aplicar a Eq 221 a cada uma das forças A Eq 224 mostra que o princípio da superposição se aplica aos campos elétricos Se queremos calcular o campo elétrico produzido em um dado ponto por várias partículas basta calcularmos o campo produzido individualmente pelas partículas como o campo 1 produzido pela partícula 1 e somar vetorialmente todos os campos Como no caso da força eletrostática seria errado somar simplesmente os módulos dos campos Esse tipo de soma aparece em muitos problemas que envolvem campos elétricos Teste 1 A figura mostra um próton p e um elétron e no eixo x Qual é o sentido do campo elétrico produzido pelo elétron a no ponto S e b no ponto R Qual é o sentido do campo elétrico total produzido pelas duas partículas c no ponto R e d no ponto S Exemplo 2201 Campo elétrico total produzido por três partículas carregadas A Fig 227a mostra três partículas de cargas q1 2Q q2 2Q e q3 4Q todas situadas a uma distância d da origem Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas IDEIACHAVE As cargas q1 q2 e q3 produzem na origem campos elétricos 1 2 e 3 respectivamente e o campo elétrico total é a soma vetorial 1 2 3 Para calcular a soma precisamos conhecer o módulo e a orientação dos três vetores Módulos e orientações Para determinar o módulo de 1 o campo produzido por q1 usamos a Eq 223 substituindo r por d e q por 2Q O resultado é o seguinte Procedendo de modo análogo obtemos os módulos dos campos 2 e 3 Figura 227 a Três partículas com cargas q1 q2 e q3 situadas à mesma distância d da origem b Os vetores campo elétrico 1 2 e 3 produzidos na origem pelas três partículas c O vetor campo elétrico 3 e a soma vetorial 1 2 na origem Em seguida precisamos determinar a orientação dos vetores campo elétrico produzidos pelas três cargas na origem Como q1 é uma carga positiva o vetor campo elétrico produzido pela carga aponta para longe de q1 como q2 e q3 são cargas negativas o vetor campo elétrico aponta na direção dessas cargas Assim os vetores campo elétrico produzidos na origem pelas três cargas têm a direção e o sentido indicados na Fig 227b Atenção Observe que colocamos a origem dos vetores no ponto em que os campos elétricos devem ser calculados isso diminui a probabilidade de erro Colocar a origem dos vetores nas partículas responsáveis pelos campos pode facilmente levar a erros na hora de calcular a soma vetorial Soma dos campos Podemos agora somar os campos vetorialmente como fizemos para as forças no Capítulo 21 No caso presente podemos usar a simetria dos vetores para simplificar os cálculos De acordo com a Fig 227b os vetores 1 e 2 têm a mesma direção assim a soma vetorial dos dois vetores tem essa direção e o módulo é dado por que por coincidência é igual ao módulo do vetor 3 Devemos agora somar dois vetores 3 e o vetor resultante da soma 1 2 que possuem o mesmo módulo e estão orientados simetricamente em relação ao eixo x como mostra a Fig 227c Observando a Fig 227c vemos que por simetria as componentes y dos dois vetores se cancelam e as componentes x se somam Assim o campo elétrico total na origem está orientado no sentido positivo do eixo x e o módulo é dado por 223 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2210 Desenhar um dipolo elétrico indicando as cargas valores e sinais o eixo do dipolo e a orientação do momento dipolar elétrico 2211 Conhecer a orientação do campo elétrico em qualquer ponto do eixo do dipolo dentro e fora da região entre as cargas 2212 Saber que a equação do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico pode ser deduzida a partir das equações do campo elétrico produzido pelas cargas elétricas que formam o dipolo 2213 Comparar a variação do campo elétrico com a distância para uma partícula isolada e para um dipolo elétrico e verificar que o campo elétrico diminui mais depressa com a distância no caso de um dipolo 2214 Conhecer a relação entre o módulo p do momento dipolar elétrico a distância d entre as cargas e o valor absoluto q das cargas 2215 Para qualquer ponto do eixo do dipolo situado a uma grande distância das cargas conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a distância z do centro do dipolo e o módulo p do momento dipolar IdeiasChave Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas de mesmo valor absoluto q e sinais opostos separadas por uma pequena distância d O momento dipolar elétrico tem módulo qd e aponta da carga negativa para a carga positiva O módulo do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico em um ponto do eixo do dipolo reta que passa pelas duas partículas situado a uma grande distância das cargas por ser expresso em termos do produto qd do valor absoluto q das cargas pela distância d entre elas ou do módulo p do momento dipolar em que z é a distância entre o ponto e o centro do dipolo Como o módulo do campo elétrico produzido por um dipolo é proporcional a 1z3 ele diminui mais depressa com a distância que o módulo do campo elétrico produzido por uma carga isolada que é proporcional a 1z2 O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico A Fig 228 mostra as linhas de campo elétrico produzidas por duas partículas carregadas de módulo q e sinais opostos separadas por uma distância d um arranjo muito comum e muito importante conhecido como dipolo elétrico A reta que passa pelas duas cargas é chamada de eixo do dipolo e constitui um eixo de simetria em torno do qual se pode fazer girar o padrão da Fig 228 para obter uma imagem tridimensional do campo elétrico criado pelo dipolo Vamos chamar de eixo z o eixo do dipolo e restringir nossa discussão ao campo elétrico em pontos do eixo do dipolo Figura 228 Linhas de campo de um dipolo elétrico A figura mostra também o vetor campo elétrico em um ponto do espaço o vetor é tangente à linha de campo que passa pelo ponto A Fig 229a mostra os campos elétricos criados em um ponto P pelas duas partículas A partícula mais próxima de carga q produz um campo de módulo E no sentido positivo do eixo z para longe da partícula A partícula mais distante de carga q produz um campo de módulo E no sentido negativo do eixo z para perto da partícula Estamos interessados em calcular o campo total no ponto P dado pela Eq 224 Como os vetores e têm a mesma direção podemos substituir a soma vetorial da Eq 224 pela soma dos módulos indicando o sentido dos vetores por um sinal algébrico como estamos acostumados a fazer com as forças em problemas unidimensionais Assim o módulo do campo total no ponto P pode ser escrito na forma Depois de algumas transformações algébricas obtemos a seguinte expressão Reduzindo as frações ao mesmo denominador e simplificando temos Em geral estamos interessados nos efeitos elétricos de um dipolo apenas em pontos muito distantes das cargas do dipolo ou seja em pontos tais que z d Nesse caso d2z 1 na Eq 227 e podemos desprezar o termo d2z no denominador o que nos dá O produto qd que envolve os dois parâmetros q e d que definem o dipolo é o módulo p de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico do dipolo A unidade de é o coulombmetro Assim podemos escrever a Eq 228 na forma O sentido de é tomado como do lado negativo para o lado positivo do dipolo como mostra a Fig 22 9b Podemos usar o sentido de para especificar a orientação de um dipolo De acordo com a Eq 229 se o campo elétrico de um dipolo é medido apenas em pontos distantes não é possível determinar os valores de q e d separadamente mas apenas o produto qd O campo em pontos distantes permanece inalterado quando por exemplo o valor de q é multiplicado por 2 e ao mesmo tempo o valor de d é dividido por 2 Embora a Eq 229 seja válida apenas para pontos distantes que estejam no eixo do dipolo para todos os pontos distantes estejam ou não no eixo do dipolo o valor de E para um dipolo é proporcional a 1r3 em que r é a distância entre o ponto em questão e o centro do dipolo Observando a Fig 229 e as linhas de campo da Fig 228 vemos que a direção de para pontos distantes no eixo do dipolo é a direção do vetor momento dipolar Isso acontece tanto quando o ponto P da Fig 229a está mais próximo na carga positiva como quando está mais próximo da carga negativa Figura 229 a Um dipolo elétrico Os vetores campo elétrico e no ponto P do eixo do dipolo são produzidos pelas duas cargas do dipolo As distâncias entre o ponto P e as duas cargas que formam o dipolo são e b O momento dipolar do dipolo aponta da carga negativa para a carga positiva De acordo com a Eq 229 se a distância entre um ponto e um dipolo é multiplicada por 2 o campo elétrico no ponto é dividido por 8 Por outro lado quando a distância entre um ponto e uma carga elétrica isolada é multiplicada por 2 o campo elétrico é dividido por 4 veja a Eq 223 Assim o campo elétrico de um dipolo diminui mais rapidamente com a distância que o campo elétrico produzido por uma carga isolada A razão para essa diminuição mais rápida do campo elétrico no caso de um dipolo está no fato de que a distância um dipolo se comporta como um par de cargas elétricas de sinais opostos que quase se cancelam assim os campos elétricos produzidos por essas cargas em pontos distantes também quase se cancelam Exemplo 2202 Dipolos elétricos e sprites Os sprites Fig 2210a são imensos clarões que às vezes são vistos no céu acima de grandes tempestades Durante décadas eles foram observados por pilotos em voos noturnos mas eram tão fracos e fugazes que a maioria dos pilotos imaginava que tais sprites não passavam de ilusões Na década de 1990 porém os sprites foram registrados por câmaras de vídeo Ainda não são muito bem compreendidos mas acreditase que sejam produzidos quando ocorre um relâmpago bastante intenso entre a terra e uma nuvem de tempestade particularmente se o relâmpago transferir uma grande quantidade de carga negativa q da terra para a base da nuvem Fig 2210b Logo depois da transferência a terra possui uma distribuição complexa de carga positiva entretanto podemos utilizar um modelo simplificado do campo elétrico produzido pelas cargas da nuvem e da terra supondo haver um dipolo vertical formado por uma carga q na altura h da nuvem e uma carga q a uma distância h abaixo da superfície Fig 2210c Se q 200 C e h 60 km qual é o módulo do campo elétrico do dipolo a uma altitude z1 30 km ou seja um pouco acima das nuvens e a uma altitude z2 60 km ou seja um pouco acima da estratosfera IDEIACHAVE O valor aproximado do módulo E do campo elétrico de um dipolo é fornecido pela Eq 228 Figura 2210 a Fotografia de um sprite b Relâmpago no qual uma grande quantidade de carga negativa é transferida da terra para a base de uma nuvem c O sistema nuvemterra modelado como um dipolo elétrico vertical Cálculos Temos em que 2h é a distância entre as cargas q e q na Fig 2210c O campo elétrico a uma altitude z1 30 km é dado por A uma altitude z2 60 km temos Como vamos ver no Módulo 226 quando o módulo de um campo elétrico excede um valor crítico Ec o campo pode arrancar elétrons dos átomos ionizar átomos e os elétrons arrancados podem se chocar com outros átomos fazendo com que emitam luz O valor de Ec depende da densidade do ar na região em que existe o campo elétrico quanto menor a densidade menor o valor de Ec A 60 km de altitude a densidade do ar é tão baixa que E 20 102 NC é maior que Ec e portanto os átomos do ar emitem luz É essa luz que forma os sprites Mais abaixo a 30 km de altitude a densidade do ar é muito mais alta E 16 103 NC é menor que Ec e os átomos do ar não emitem luz Assim os sprites são vistos apenas muito acima das nuvens de tempestade 224 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2216 No caso de uma distribuição uniforme de carga calcular a densidade linear de carga λ de uma linha a densidade superficial de carga σ de uma superfície e a densidade volumétrica de carga ρ de um sólido 2217 No caso de uma linha uniforme de carga determinar o campo elétrico total em um ponto nas vizinhanças de linha dividindo a distribuição em elementos de carga dq e somando por integração os campos elétricos d produzidos por esses elementos na posição do ponto 2218 Explicar de que forma a simetria pode ser usada para calcular o campo elétrico em um ponto nas vizinhanças de uma linha uniforme de carga IdeiasChave A equação do campo elétrico criado por uma partícula não pode ser aplicada diretamente a um objeto macroscópico que apresenta praticamente uma distribuição contínua de carga Para calcular o campo elétrico criado em um ponto por um objeto macroscópico consideramos primeiro o campo elétrico criado nesse ponto por um elemento de carga dq do objeto usando a equação do campo elétrico criado por uma partícula Em seguida somamos por integração os campos elétricos d produzidos por todos os elementos de carga do objeto Como os campos elétricos d podem ter diferentes módulos e orientações verificamos se a simetria do problema permite cancelar alguma das componentes do campo de modo a simplificar a integração O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga Até agora lidamos apenas com partículas carregadas isoladas ou em pequenos grupos Vamos agora discutir uma situação muito mais complexa na qual um objeto fino aproximadamente unidimensional como uma barra ou um anel contém um número muito grande de partículas carregadas No próximo módulo vamos tratar de objetos bidimensionais como um disco carregado No próximo capítulo vamos estudar objetos tridimensionais como uma esfera carregada Não Desanime Muitos estudantes consideram este módulo o mais difícil do livro por várias razões São necessários muitos passos diferentes para resolver um problema é preciso raciocinar em termos de vetores e além de tudo é preciso montar e resolver uma integral A pior parte porém é que o método pode ser diferente para diferentes distribuições de carga Assim ao discutirmos a respeito de um arranjo em particular um anel carregado o leitor deve prestar atenção nos aspectos gerais do método para poder aplicálo a outros problemas como o de barras e segmentos curvos carregados A Fig 2211 mostra um anel delgado de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva Vamos supor que o anel é feito de plástico o que significa que as cargas permanecem imóveis O campo elétrico envolve todo o anel mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z uma reta que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel situado a uma distância z do centro do anel A carga de um objeto macroscópico é frequentemente expressa em termos de uma densidade de carga em vez da carga total No caso de uma linha de carga usamos a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento λ cuja unidade no SI é o coulomb por metro A Tabela 221 mostra as outras densidades de carga que serão usadas para superfícies e volumes de carga Primeiro Grande Problema Até agora temos apenas uma equação que nos dá o campo elétrico de uma partícula Podemos combinar os campos de mais de uma partícula como fizemos no caso do dipolo elétrico mas na verdade estamos usando repetidamente a Eq 223 Considere o anel da Fig 2211 Não podemos usar a Eq 223 já que não se trata de uma única partícula nem de um pequeno número de partículas mas de um número tão grande de partícula que a distribuição de carga pode ser considerada infinita O que fazer A solução é dividir mentalmente o anel em elementos de carga tão pequenos que possam ser tratados como partículas A Eq 223 pode ser aplicada a esses elementos Tabela 221 Algumas Medidas de Carga Elétrica Nome Símbolo Unidade do SI Carga q C Densidade linear de carga λ Cm Densidade superficial de carga σ Cm2 Densidade volumétrica de carga ρ Cm3 Segundo Grande Problema Como podemos aplicar a Eq 223 aos elementos de carga dq o d na frente do q serve para ressaltar que a carga de cada elemento é muito pequena podemos escrever uma expressão para o campo d produzido individualmente pelos elementos de carga o d na frente do serve para ressaltar que o campo elétrico produzido por um elemento é muito pequeno Acontece que cada elemento contribui com um campo elétrico de módulo e orientação diferente para o campo em um ponto P do eixo central do anel Como podemos somálos para obter o campo total no ponto P A solução é calcular as componentes dos vetores campo elétrico em relação a eixos adequadamente escolhidos e somar separadamente as componentes para obter as componentes do campo elétrico total Antes de executar a soma porém é importante examinar a simetria do problema para verificar se algumas dessas componentes se cancelam o que pode facilitar muito o trabalho Terceiro Grande Problema Como o anel contém um número enorme de elementos de carga dq temos que somar um número enorme de campos elétricos d mesmo que algumas componentes desses campos se cancelem por causa da simetria Como podemos somar esse número enorme de elementos A solução é usar uma integral Mãos à Obra Vamos fazer tudo que foi dito anteriormente mas preste atenção ao método em geral em vez de se limitar aos detalhes Escolhemos arbitrariamente o elemento de carga mostrado na Fig 22 11 Seja ds o comprimento do elemento de carga dq ou de qualquer outro elemento de carga Nesse caso em termos da densidade linear de carga carga por unidade de comprimento λ temos Figura 2211 Um anel de carga positiva distribuída uniformemente Um elemento de carga tem um comprimento ds grandemente exagerado na figura Esse elemento cria um campo elétrico d no ponto P Campo de um Elemento O elemento de carga escolhido produz um campo elétrico elementar d no ponto P situado a uma distância r do elemento como mostra a Fig 2211 Ok estamos introduzindo um novo símbolo que não aparece no enunciado do problema mas logo vamos substituílo por símbolos oficiais Vamos agora escrever a equação do módulo do campo produzido por uma partícula Eq 223 em termos dos novos símbolos dE e dq e substituir dq pelo seu valor dado pela Eq 2210 O módulo do campo elétrico produzido pelo elemento de carga é Note que o novo símbolo r é a hipotenusa do triângulo retângulo mostrado na Fig 2211 Isso significa que podemos substituir r por o que nos dá Como todos os elementos de carga têm a mesma carga e estão à mesma distância do ponto P o módulo do campo elétrico produzido por todos os elementos de carga é dado pela Eq 2212 A Fig 2211 também mostra que todos os campos elétricos elementares d fazem um ângulo θ com o eixo central o eixo z e portanto têm uma componente paralela e uma componente perpendicular ao eixo z Componentes que se Cancelam Agora chegamos à parte mais fácil na qual eliminamos uma das componentes Considere na Fig 2211 o elemento de carga do lado oposto do anel Esse elemento também produz um campo elétrico elementar de módulo dE mas esse campo faz um ângulo θ do lado oposto do eixo z em relação ao elemento de carga inicial como mostra a vista lateral da Fig 2212 Assim as duas componentes perpendiculares ao eixo se cancelam Esse cancelamento acontece ao longo de todo o anel entre um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto Isso significa que a soma das componentes perpendiculares é zero Componentes que se Somam Essa parte também é fácil Como todas as componentes diferentes de zero apontam no sentido positivo do eixo z podemos simplesmente calcular a soma aritmética dessas componentes Isso significa que já conhecemos a orientação do campo elétrico total no ponto P ele aponta no sentido positivo do eixo z De acordo com a Fig 2212 o módulo das componentes paralelas dos elementos de carga dq é dE cos θ mas θ não é um símbolo oficial Podemos substituir θ por símbolos oficiais usando novamente o triângulo retângulo da Fig 2211 para escrever Figura 2212 Os campos elétricos criados no ponto P por um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto As componentes perpendiculares ao eixo z se cancelam as componentes paralelas ao eixo z se somam Multiplicando a Eq 2212 pela Eq 2213 obtemos a componente paralela do campo produzido por um elemento de carga Integração Como temos que somar um número muito grande de elementos escrevemos uma integral que se estende a todo o anel de um ponto de partida que vamos chamar de s 0 até um ponto s 2πR que corresponde ao mesmo ponto depois que todo o anel foi percorrido Apenas a variável s muda de elemento para elemento Como os outros parâmetros da Eq 2214 permanecem os mesmos podemos passálos para o lado de fora da integral o que nos dá Essa poderia ser a resposta mas podemos expressála em termos da carga total do anel usando a relação λ q2πR Se a carga do anel fosse negativa em vez de positiva o módulo do campo no ponto P seria dado pela Eq 2216 mas o campo elétrico apontaria no sentido negativo do eixo z ou seja na direção do anel Vejamos o que acontece com a Eq 2216 se o ponto estiver tão longe do anel que z R Nesse caso z2 R2 z2 e a Eq 2216 se torna Esse resultado é razoável já que visto de uma grande distância o anel parece uma carga pontual Substituindo z por r na Eq 2217 obtemos a Eq 223 usada para calcular o módulo de uma carga pontual Vamos verificar o que a Eq 2216 nos revela a respeito do ponto situado no centro do anel ou seja o ponto z 0 De acordo com a Eq 2216 nesse ponto E 0 Esse resultado é razoável já que se colocássemos uma carga de prova no centro do anel ela seria repelida com a mesma força em todas as direções a força resultante seria zero portanto de acordo com a Eq 221 o campo elétrico também teria de ser nulo Exemplo 2203 Campo elétrico de um arco de circunferência carregado A Fig 2213a mostra uma barra de plástico com uma carga Q uniformemente distribuída A barra tem a forma de um arco de circunferência de 120o de extensão e raio r Os eixos de coordenadas são escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da barra é o eixo x e a origem P está no centro de curvatura do arco Em termos de Q e de r qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto P IDEIACHAVE Como a barra possui uma distribuição contínua de carga devemos obter uma expressão para o campo elétrico produzido por um elemento de carga e integrar essa expressão ao longo da barra Um elemento Considere um elemento de arco de comprimento ds fazendo um ângulo θ com o eixo x Figs 2213b e 22 13c Chamando de λ a densidade linear de carga da barra a carga do elemento de arco é dada por Campo do elemento O elemento de carga produz um campo elétrico d no ponto P que está uma distância r do elemento Tratando o elemento como uma carga pontual podemos usar a Eq 223 para expressar o módulo de d na forma Como a carga q é negativa d aponta na direção de ds Parceiro simétrico Ao elemento ds corresponde um elemento simétrico imagem especular ds situado na parte inferior da barra O campo elétrico d produzido por ds no ponto P tem o mesmo módulo que d mas aponta na direção de ds como mostra a Fig 2213d Quando determinamos as componentes x e y dos campos elétricos d e d Figs 2213e e 22 13f vemos que as componentes y se cancelam já que têm o mesmo módulo e sentidos opostos Vemos também que as componentes x têm o mesmo módulo e o mesmo sentido Soma Para determinar o campo elétrico produzido pela barra precisamos somar por integração apenas as componentes x dos campos elétricos produzidos pelos elementos de carga da barra De acordo com a Fig 2213f e a Eq 2219 a componente dEx do campo produzido pelo elemento ds é dada por A Eq 2220 tem duas variáveis θ e s Antes de realizar a integração precisamos eliminar uma das variáveis Para isso usamos a relação ds r dθ em que dθ é o ângulo com vértice em P que subtende um arco de comprimento ds Fig 2213g Depois de executar essa substituição podemos integrar a Eq 2220 de θ 60o a θ 60o O resultado é o módulo do campo elétrico produzido pela barra no ponto P Figura 2213 a Uma barra de plástico de carga Q tem a forma de um arco de circunferência de raio r e ângulo central 120o o ponto P é o centro de curvatura da barra bc Um elemento de carga na parte superior da barra de comprimento ds e coordenada angular θ cria um campo elétrico d no ponto P d Um elemento ds simétrico a ds em relação ao eixo x cria um campo d no ponto P com o mesmo módulo ef As componentes do campo g O ângulo dθ subtende um arco de comprimento ds Se tivéssemos invertido os limites de integração obteríamos o mesmo resultado com sinal negativo Como a integração é usada apenas para obter o módulo de teríamos ignorado o sinal negativo Densidade de carga Para determinar o valor de λ observamos que a barra subtende um ângulo de 120o o que corresponde a um terço de circunferência O comprimento da barra é portanto 2π3 e a densidade linear de carga é Substituindo esse valor na Eq 2221 e simplificando obtemos O campo elétrico no ponto P aponta para a barra e é paralelo ao eixo de simetria da distribuição de carga Na notação dos vetores unitários o campo é dado por Táticas para a Solução de Problemas Vamos apresentar agora um método geral para calcular o campo elétrico produzido em um ponto P por uma linha retilínea ou circular com uma distribuição uniforme de carga O método consiste em escolher um elemento de carga dq calcular o campo d produzido por esse elemento e integrar d para toda a linha 1o passo Se a linha de carga for circular tome o comprimento do elemento de carga como ds o comprimento de um arco elementar Se a linha for retilínea suponha que coincide com o eixo x e tome o comprimento do elemento de carga como dx Assinale o elemento em um esboço da linha de carga 2o passo Relacione a carga dq ao comprimento do elemento utilizando a equação dq λ ds se a linha for circular ou a equação dq λ dx se a linha for retilínea Considere dq e λ positivos mesmo que a carga seja negativa O sinal da carga será levado em consideração no próximo passo 3o passo Determine o campo d produzido no ponto P pela carga dq usando a Eq 223 substituindo q na equação por λ ds ou λ dx Se a carga da linha for positiva desenhe o vetor d com a origem no ponto P e apontando para longe de dq se for negativo desenhe o vetor com a origem no ponto P e apontando na direção de dq 4o passo Preste atenção na simetria do problema Se P estiver em um eixo de simetria da distribuição de carga determine as componentes do campo d produzido no ponto P pela carga dq nas direções paralela e perpendicular ao eixo de simetria e considere um segundo elemento de carga dq situado simetricamente em relação a dq Determine o campo d produzido pelo elemento de carga dq e suas componentes Uma das componentes do campo produzido por dq é uma componente subtrativa essa componente é cancelada por uma componente produzida por dq e não precisa ser considerada A outra componente produzida por dq é uma componente aditiva ela se soma a uma componente produzida por dq Some por integração as componentes aditivas de todos os elementos de carga 5o passo Seguem quatro tipos gerais de distribuição uniforme de carga com sugestões para simplificar a integral do 4o passo Como Lidar com Linhas de Carga Anel com o ponto P no eixo central de simetria como na Fig 2211 Na expressão de dE substitua r2 por z2 R2 como na Eq 2212 Expresse a componente aditiva de d em termos de θ Isso introduz um fator cos θ mas θ é o mesmo para todos os elementos e portanto não constitui uma variável Substitua cos θ por seu valor como na Eq 2213 e integre em relação a s ao longo da circunferência do anel Arco de circunferência com o ponto P no centro de curvatura como na Fig 2213 Expresse a componente aditiva de d em termos de θ Isso introduz um fator sen θ ou cos θ Reduza as variáveis s e θ a uma única variável θ substituindo ds por r dθ Integre em relação a θ como no Exemplo 223 de uma extremidade do arco até a extremidade oposta Segmento de reta com o ponto P em um prolongamento da linha de carga como na Fig 2214a Na expressão de dE substitua r por x Integre em relação a x de uma extremidade do segmento de reta até a extremidade oposta Segmento de reta com o ponto P a uma distância perpendicular y da linha de carga como na Fig 2214b Na expressão de dE substitua r por uma função de x e y Se o ponto P estiver na mediatriz da linha de carga determine uma expressão para a componente aditiva de d Isso introduz um fator sen θ ou cos θ Reduza as variáveis x e θ a uma única variável x substituindo a função trigonométrica por uma expressão a definição da função envolvendo x e y Integre em relação a x de uma extremidade do segmento de reta até a extremidade oposta Se P não estiver em um eixo de simetria como na Fig 2214c escreva uma integral para somar as componentes de dEx e integre em relação a x para obter Ex Escreva também uma integral para somar as componentes de dEy e integre em relação a y para obter Ey Utilize as componentes Ex e Ey da forma usual para determinar o módulo E e a orientação de Figura 2214 a O ponto P está no prolongamento da linha de carga b O ponto P está na mediatriz da linha de carga a uma distância perpendicular y da linha de carga c O ponto P não está em um eixo de simetria 6o passo Uma ordem dos limites de integração leva a um resultado positivo a ordem inversa leva ao mesmo resultado com sinal negativo Ignore o sinal negativo Se o resultado for pedido em termos da carga total Q da distribuição substitua λ por QL em que L é o comprimento da distribuição Teste 2 A figura mostra três barras isolantes uma circular e duas retilíneas Todas possuem uma carga de módulo Q na parte superior e uma carga de módulo Q na parte inferior Qual é a orientação do campo elétrico total no ponto P para cada barra 225 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DISCO CARREGADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2219 Desenhar um disco com uma distribuição uniforme de carga e indicar a orientação do campo elétrico em um ponto do eixo central se a carga for positiva e se a carga for negativa 2220 Explicar de que forma a equação para o campo elétrico no eixo central de um anel uniformemente carregado pode ser usado para obter uma equação para o campo elétrico no eixo central de um disco uniformemente carregado 2221 No caso de um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado conhecer a relação entre a densidade superficial de carga σ o raio R do disco e a distância z entre o ponto e o centro do disco IdeiaChave Em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado o módulo do campo elétrico é dado por em que s é a densidade superficial de carga z é a distância entre o ponto e o centro do disco e R é o raio do disco O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado Vamos agora passar de uma linha de carga para uma superfície de carga examinando o campo elétrico produzido por um disco de plástico circular de raio R e densidade superficial de carga σ carga por unidade de área veja a Tabela 221 na superfície superior O campo elétrico envolve todo o disco mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z uma reta que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco situado a uma distância z do centro do anel como indicado na Fig 22 15 Poderíamos adotar um método semelhante ao do módulo anterior com a diferença de que usaríamos uma integral dupla para levar em conta todas as cargas da superfície bidimensional do disco Entretanto podemos poupar muito trabalho aproveitando os resultados obtidos para um anel de carga Imagine uma seção do disco em forma de anel como mostra a Fig 2215 de raio r e largura radial dr O anel é tão fino que podemos tratar a carga do anel como um elemento de carga dq Para determinar o módulo do campo elétrico elementar dE criado pelo anel no ponto P escrevemos a Eq 2216 em termos da carga dq e do raio r do anel Figura 2215 Um disco de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva O anel mostrado na figura tem raio r largura radial dr e cria um campo elétrico d no ponto P situado no eixo central do disco O campo elétrico produzido pelo anel aponta no sentido positivo do eixo z Para calcular o campo total produzido pelo disco no ponto P vamos integrar a Eq 2222 do centro r 0 até a borda do disco r R o que corresponde a somar as contribuições de todos os campos elementares dE fazendo com que o anel elementar percorra toda a superfície do disco Para isso precisamos expressar a carga dq em termos da largura radial dr do anel elementar Usando a densidade superficial de carga podemos escrever Substituindo a Eq 2223 na Eq 2222 e simplificando obtemos a seguinte expressão em que colocamos todas as constantes incluindo z do lado de fora do sinal de integral Para resolver a integral basta colocála na forma Xm dX fazendo X z2 r2 m 32 e dX 2r dr Usando a relação a Eq 2224 se torna Tomando os limites da Eq 2225 e reagrupando os termos obtemos como o módulo do campo elétrico produzido por um disco circular carregado em pontos do eixo central Ao executar a integração supusemos que z 0 Fazendo R e mantendo z finito o segundo termo do fator entre parênteses da Eq 2226 tende a zero e a equação se reduz a que é o campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de carga na superfície de uma placa de dimensões infinitas feita de um material isolante como o plástico As linhas de campo elétrico para essa situação são mostradas na Fig 224 Podemos também obter a Eq 2227 fazendo z 0 na Eq 2226 e mantendo R finito Isso mostra que para pontos muito próximos do disco o campo elétrico produzido pelo disco é o mesmo que seria produzido por um disco de raio infinito 226 UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2222 No caso de uma partícula carregada submetida a um campo elétrico produzido por outros objetos carregados conhecer a relação entre o campo elétrico no ponto onde está a partícula a carga q da partícula e a força eletrostática que age sobre a partícula e saber qual será o sentido da força em relação ao sentido do campo se a carga for positiva e se a carga for negativa 2223 Explicar o método usado por Millikan para medir a carga elementar 2224 Explicar como funciona uma impressora eletrostática de jato de tinta IdeiasChave Na presença de um campo magnético externo uma partícula de carga q é submetida a uma força eletrostática dada por q Se a carga q é positiva a força tem o mesmo sentido que o campo elétrico se a carga é negativa a força tem o sentido oposto ao do campo elétrico o sinal negativo da equação inverte o sentido do vetor força em relação ao sentido do vetor campo elétrico Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico Nos últimos quatro módulos trabalhamos na primeira das duas tarefas a que nos propusemos dada uma distribuição de carga determinar o campo elétrico produzido nas vizinhanças Vamos agora começar a segunda tarefa determinar o que acontece com uma partícula carregada quando ela está na presença de um campo elétrico produzido por cargas estacionárias ou que estejam se movendo lentamente O que acontece é que a partícula é submetida a uma força eletrostática dada por em que q é a carga da partícula incluindo o sinal e é o campo elétrico produzido pelas outras cargas na posição da partícula O campo não inclui o campo produzido pela própria partícula para distinguir os dois campos o campo que age sobre a partícula na Eq 2228 é muitas vezes chamado de campo externo Uma partícula ou objeto carregado não é afetado por seu próprio campo elétrico De acordo com a Eq 2228 A força eletrostática que age sobre uma partícula carregada submetida a um campo elétrico tem o mesmo sentido que se a carga q da partícula for positiva e o sentido oposto se a carga q for negativa Medida da Carga Elementar A Eq 2228 desempenhou um papel importante na medida da carga elementar e realizada pelo físico americano Robert A Millikan em 19101913 A Fig 2216 é uma representação esquemática do equipamento usado por Millikan Quando gotículas de óleo são borrifadas na câmara A algumas adquirem uma carga elétrica positiva ou negativa Considere uma gota que atravessa um pequeno orifício da placa P1 e penetra na câmara C Suponha que a gota possui uma carga negativa q Enquanto a chave S da Fig 2216 está aberta a bateria B não afeta o que se passa na câmara C e a gota cai por efeito da gravidade Quando a chave é fechada ou seja quando o terminal positivo da bateria é ligado à placa C a bateria faz com que uma carga positiva se acumule na placa condutora P1 e uma carga negativa se acumule na placa condutora P2 As placas criam um campo elétrico na câmara C dirigido verticalmente para baixo De acordo com a Eq 2228 o campo exerce uma força eletrostática sobre as gotas carregadas que estão na câmara C afetando seu movimento Em particular uma gota negativamente carregada tende a se mover para cima Observando o movimento das gotas de óleo com a chave aberta e com a chave fechada e usando a diferença para calcular o valor da carga q de cada gota Millikan descobriu que os valores de q eram sempre dados por em que e é a constante que mais tarde foi chamada de carga elementar e tem o valor aproximado de 160 1019 C O experimento de Millikan constitui uma prova convincente de que a carga elétrica é quantizada o cientista recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1923 em parte por esse trabalho Atualmente outros métodos mais precisos que o utilizado nos experimentos pioneiros de Millikan são usados para medir a carga elementar Figura 2216 Representação esquemática do equipamento usado por Millikan para medir a carga elementar e Quando uma gota de óleo eletricamente carregada penetra na câmara C por um orifício da placa P1 o movimento da gota pode ser controlado fechando e abrindo uma chave S e então criando e eliminando um campo elétrico na câmara C O microscópio foi usado para observar a gota e medir sua velocidade Figura 2217 Representação esquemática de uma impressora eletrostática de jato de tinta Gotas de tinta são produzidas no gerador G e recebem uma carga na unidade de carregamento C Um sinal elétrico proveniente de um computador controla a carga fornecida a cada gota e portanto o efeito de um campo constante sobre a gota e a posição em que a gota atinge o papel Impressoras Eletrostáticas de Jato de Tinta A necessidade de impressoras mais rápidas e de alta resolução levou os fabricantes a procurar alternativas para a impressão por impacto usada nas antigas máquinas de escrever Uma das soluções encontradas foi o emprego de campos elétricos para controlar o movimento de pequenas gotas de tinta Alguns modelos de impressoras de jato de tinta utilizam esse sistema A Fig 2217 mostra uma gota de tinta negativamente carregada que se move entre duas placas defletoras usadas para criar um campo elétrico uniforme dirigido para baixo De acordo com a Eq 22 28 a gota é desviada para cima e atinge o papel em uma posição que depende do módulo de e da carga q da gota Na prática o valor de E é mantido constante e a posição da gota é determinada pela carga q fornecida à gota por uma unidade de carregamento pela qual a gota passa antes de entrar no sistema de deflexão A unidade de carregamento por sua vez é controlada por sinais eletrônicos que definem o texto ou desenho a ser impresso Ruptura Dielétrica e Centelhamento Quando o módulo do campo elétrico no ar excede um valor crítico Ec o ar sofre uma ruptura dielétrica processo no qual o campo arranca elétrons de átomos do ar Com isso o ar se torna um condutor de corrente elétrica já que os elétrons arrancados são postos em movimento pelo campo Ao se moverem os elétrons colidem com outros átomos do ar fazendo com que emitam luz Podemos ver o caminho percorrido pelos elétrons graças à luz emitida que recebe o nome de centelha A Fig 2218 mostra as centelhas que aparecem na extremidade de condutores metálicos quando os campos elétricos produzidos pelos fios provocam a ruptura dielétrica do ar Adam HartDavisPhoto Researchers Inc Figura 2218 Centelhas aparecem na extremidade de condutores metálicos quando os campos elétricos produzidos pelos fios provocam a ruptura dielétrica do ar Teste 3 a Qual é na figura a orientação da força eletrostática que age sobre o elétron na presença do campo elétrico indicado b Em que direção o elétron é acelerado se estava se movendo paralelamente ao eixo y antes de ser aplicado o campo externo c Se o elétron estava se movendo para a direita antes de ser aplicado o campo externo a velocidade aumenta diminui ou permanece constante quando o campo é aplicado Exemplo 2204 Movimento de uma partícula carregada na presença de um campo elétrico A Fig 2219 mostra as placas defletoras de uma impressora eletrostática de jato de tinta com eixos de coordenadas superpostos Uma gota de tinta com massa m de 13 1010 kg e carga negativa de valor absoluto Q 15 1013 C penetra na região entre as placas movendose inicialmente na direção do eixo x com uma velocidade vx 18 ms O comprimento L de cada placa é 16 cm As placas estão carregadas e portanto produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas Suponha que esse campo esteja dirigido verticalmente para baixo seja uniforme e tenha um módulo de 14 106 NC Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas A força gravitacional é pequena em comparação com a força eletrostática e pode ser desprezada Figura 2219 Uma gota de tinta de massa m e carga Q é desviada por um campo elétrico em uma impressora eletrostática de jato de tinta IDEIACHAVE A gota está negativamente carregada e o campo elétrico está dirigido para baixo De acordo com a Eq 2228 a gota é submetida a uma força eletrostática constante de módulo QE que aponta para cima Assim ao mesmo tempo que se desloca paralelamente ao eixo x com velocidade constante vx a gota é acelerada para cima com uma aceleração constante ay Cálculos Aplicando a segunda lei de Newton F ma às componentes y da força e da aceleração temos Seja t o tempo necessário para que a gota passe pela região entre as placas Durante esse intervalo os deslocamentos vertical e horizontal da gota são respectivamente Eliminando t nas duas equações e substituindo ay por seu valor dado pela Eq 2230 obtemos 227 UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2225 Em um desenho de um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme indicar a orientação do campo a orientação do dipolo a orientação das forças eletrostáticas que o campo elétrico exerce sobre as cargas do dipolo e o sentido em que essas forças tendem a fazer o dipolo girar e verificar que a força total que o campo elétrico exerce sobre o dipolo é nula 2226 Calcular o torque que um campo elétrico externo exerce sobre um dipolo elétrico usando o produto vetorial do vetor momento dipolar pelo vetor campo elétrico 2227 No caso de um dipolo elétrico submetido a um campo magnético externo conhecer a relação entre a energia potencial do dipolo e o trabalho realizado pelo torque ao fazer girar o dipolo 2228 No caso de um dipolo elétrico submetido a um campo elétrico externo calcular a energia potencial usando o produto escalar do vetor momento dipolar pelo vetor campo elétrico 2229 No caso de um dipolo elétrico submetido a um campo elétrico externo conhecer os ângulos para os quais a energia potencial é mínima e máxima e os ângulos para os quais o módulo do torque é mínimo e máximo IdeiasChave O torque que um campo elétrico exerce sobre um momento dipolar elétrico é dado por um produto vetorial A energia potencial U associada à orientação do momento dipolar na presença do campo elétrico é dada por um produto escalar Se a orientação do dipolo varia o trabalho realizado pelo campo elétrico é dado por W ΔU Se a mudança de orientação se deve a um agente externo o trabalho realizado pelo agente externo é Wa W Um Dipolo em um Campo Elétrico Definimos o momento dipolar elétrico de um dipolo elétrico como um vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva do dipolo Como vamos ver o comportamento de um dipolo na presença de um campo elétrico externo pode ser totalmente descrito em termos dos vetores e sem necessidade de levar em conta a estrutura detalhada do dipolo Uma molécula de água H2O se comporta como um dipolo elétrico e a Fig 2220 mostra a razão Na figura os pontos representam o núcleo de oxigênio com oito prótons e os dois núcleos de hidrogênio com um próton cada um As áreas coloridas representam as regiões em que os elétrons da molécula podem ser encontrados Figura 2220 Uma molécula de H2O mostrando os três núcleos representados por pontos e as regiões ocupadas pelos elétrons O momento dipolar elétrico aponta do lado do oxigênio negativo para o lado do hidrogênio positivo da molécula Na molécula de água os dois átomos de hidrogênio e o átomo de oxigênio não estão alinhados mas formam um ângulo de aproximadamente 105o como mostra a Fig 2220 Em consequência a molécula possui um lado do oxigênio e um lado do hidrogênio Além disso os 10 elétrons da molécula tendem a permanecer mais tempo nas proximidades do núcleo de oxigênio que nas proximidades dos núcleos de hidrogênio Isso torna o lado do oxigênio ligeiramente mais negativo que o lado do hidrogênio e dá origem a um momento dipolar elétrico alinhado com o eixo de simetria da molécula como mostra a figura Quando a molécula de água é submetida a um campo elétrico externo ela se comporta como o dipolo elétrico mais abstrato da Fig 229 Para investigar esse comportamento suponha que o dipolo é submetido a um campo elétrico externo uniforme como na Fig 2221a Suponha também que o dipolo é uma estrutura rígida formada por duas cargas de sinais opostos de valor absoluto q separadas por uma distância d O momento dipolar faz um ângulo θ com o campo As duas extremidades do dipolo estão sujeitas a forças eletrostáticas Como o campo elétrico é uniforme as forças têm sentidos opostos como mostrado na Fig 2221a e o mesmo módulo F qE Assim como o campo é uniforme a força total a que está submetido o dipolo é nula e o centro da massa do dipolo não se move Entretanto as forças que agem sobre as extremidades do dipolo produzem um torque em relação ao centro de massa O centro de massa está na reta que liga as cargas a uma distância x de uma das cargas e portanto a uma distância d x da outra De acordo com a Eq 1039 τ rF sen ϕ podemos escrever o módulo do torque total como Podemos também escrever o módulo de em termos dos módulos do campo elétrico E e do momento dipolar p qd Para isso substituímos F por qE e d por pq na Eq 2232 o que nos dá Podemos generalizar essa equação para a forma vetorial e escrever Os vetores e estão representados na Fig 2221b O torque aplicado ao dipolo tende a fazer girar o vetor e portanto o dipolo na direção do campo diminuindo o valor de θ Na situação mostrada na Fig 2221 a rotação é no sentido horário Como foi discutido no Capítulo 10 para indicar que um torque produz uma rotação no sentido horário acrescentamos um sinal negativo ao módulo do torque Usando essa convenção o torque da Fig 2221 é Figura 2221 a Um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme Duas cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos estão separadas por uma distância d A reta que liga as cargas representa o fato de que a distância entre elas se mantém constante b O campo aplica um torque ao dipolo A direção de é para dentro do papel como está representado na figura pelo símbolo Energia Potencial de um Dipolo Elétrico Uma energia potencial pode ser associada à orientação de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico uniforme A energia potencial do dipolo é mínima quando o momento está alinhado com o campo nesse caso 0 A energia potencial é maior para todas as outras orientações Sob esse aspecto o dipolo é como um pêndulo para o qual a energia potencial é mínima em uma orientação específica aquela em que o peso se encontra no ponto mais baixo da trajetória Para fazer com que o dipolo ou o pêndulo assuma qualquer outra orientação é preciso usar um agente externo Em qualquer problema que envolva energia potencial temos liberdade para definir a situação em que a energia potencial é nula já que são apenas as diferenças de energia potencial que possuem realidade física No caso da energia potencial de um dipolo na presença de um campo elétrico as equações se tornam mais simples quando definimos que a energia potencial é nula quando o ângulo θ da Fig 2221 é 90o Nesse caso podemos calcular a energia potencial U do dipolo para qualquer outro valor de θ usando a Eq 81 ΔU W e calculando o trabalho W executado pelo campo sobre o dipolo quando o dipolo gira da posição de 90o para a posição θ Usando a Eq 1053 W τ dθ e a Eq 2235 é fácil mostrar que a energia potencial U para um ângulo θ qualquer é dada por Resolvendo a integral obtemos Podemos generalizar a Eq 2237 para a forma vetorial e escrever As Eqs 2237 e 2238 indicam que a energia potencial do dipolo é mínima U pE para θ 0 situação em que e estão alinhados e apontam no mesmo sentido A energia potencial é máxima U pE para θ 180o situação em que e estão alinhados e apontam em sentidos opostos Quando um dipolo gira de uma orientação θi para uma orientação θf o trabalho W realizado pelo campo elétrico sobre o dipolo é dado por em que Uf e Ui podem ser calculadas usando a Eq 2238 Se a mudança de orientação é causada por um torque aplicado normalmente considerado um agente externo o trabalho Wa realizado pelo torque sobre o dipolo é o negativo do trabalho realizado pelo campo sobre o dipolo ou seja Forno de MicroOndas O fato de que as moléculas de água são dipolos elétricos é essencial para o funcionamento de um forno de microondas Quando o forno é ligado uma fonte de microondas produz um campo elétrico alternado no interior do forno ao qual são submetidas as moléculas de água do alimento que colocamos no forno De acordo com a Eq 2234 o campo elétrico aplica um torque ao momento dipolar elétrico que tende a alinhar com Como o campo é alternado as moléculas de água mudam constantemente de orientação tentando alinharse com A energia do campo elétrico é transferida para a energia térmica da água e portanto do alimento nos locais em que três moléculas de água se uniram para formar um grupo A agitação produzida pelo campo elétrico separa essas moléculas Quando as moléculas tornam a se unir a energia da ligação é transferida para um movimento aleatório do grupo e em seguida para as moléculas vizinhas Em pouco tempo a energia térmica da água é suficiente para cozinhar o alimento Teste 4 A figura mostra quatro orientações de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico externo Coloque em ordem decrescente as orientações na ordem a do módulo do torque a que está submetido o dipolo e b da energia potencial do dipolo Exemplo 2205 Torque e energia de um dipolo elétrico em um campo elétrico Uma molécula de água H2O neutra no estado de vapor tem um momento dipolar elétrico cujo módulo é 62 1030 C m a Qual é a distância entre o centro das cargas positivas e o centro das cargas negativas da molécula IDEIACHAVE O momento dipolar de uma molécula depende do valor absoluto q da carga positiva ou negativa da molécula e da distância d entre as cargas Cálculos Como uma molécula neutra de água possui 10 elétrons e 10 prótons o módulo do momento dipolar é dado por p qd 10ed em que d é a distância que queremos determinar e e é a carga elementar Assim temos Essa distância é menor do que o raio do átomo de hidrogênio b Se a molécula é submetida a um campo elétrico de 15 104 NC qual é o máximo torque que o campo elétrico pode exercer sobre a molécula Um campo com essa intensidade pode facilmente ser produzido em laboratório IDEIACHAVE O torque exercido por um campo elétrico sobre um dipolo é máximo quando o ângulo θ entre e é 90o Cálculo Fazendo θ 90o na Eq 2233 obtemos c Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar de 180o na presença deste campo partindo da posição em que a energia potencial é mínima θ 0o IDEIACHAVE O trabalho realizado por um agente externo por meio de um torque aplicado à molécula é igual à variação da energia potencial da molécula devido à mudança de orientação Cálculo De acordo com a Eq 2240 temos Revisão e Resumo Campo Elétrico Uma forma de explicar a força eletrostática entre duas cargas é supor que uma carga produz um campo elétrico no espaço em volta A força eletrostática que age sobre uma das cargas é atribuída ao campo elétrico produzido pela outra carga na posição da primeira Definição de Campo Elétrico O campo elétrico em qualquer ponto do espaço é definido em termos da força eletrostática que seria exercida em uma carga de prova positiva q0 colocada nesse ponto Linhas de Campo Elétrico As linhas de campo elétrico são usadas para visualizar a orientação e a intensidade dos campos elétricos O vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço é tangente à linha de campo elétrico que passa por esse ponto A densidade de linhas de campo elétrico em uma região do espaço é proporcional ao módulo do campo elétrico nessa região As linhas de campo elétrico começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas Campo Produzido por uma Carga Pontual O módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual q a uma distância r da carga é dado por O sentido de é para longe da carga pontual se a carga é positiva e para perto da carga se a carga é negativa Campo Produzido por um Dipolo Elétrico Um dipolo elétrico é formado por duas partículas com cargas de mesmo valor absoluto q e sinais opostos separadas por uma pequena distância d O momento dipolar elétrico de um dipolo tem módulo qd e aponta da carga negativa para a carga positiva O módulo do campo elétrico produzido por um dipolo em um ponto distante do eixo do dipolo reta que passa pelas duas cargas é dado por em que z é a distância entre o ponto e o centro do dipolo Campo Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga O campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga pode ser calculado tratando elementos de carga como cargas pontuais e somando por integração os campos elétricos produzidos por todos os elementos de carga Campo Produzido por um Disco Carregado O módulo do campo elétrico em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado é dado por em que σ é a densidade superficial de carga z é a distância entre o ponto e o centro do disco e R é o raio do disco Força Exercida por um Campo Elétrico Sobre uma Carga Pontual Quando uma carga pontual q é submetida a um campo elétrico externo produzido por outras cargas a força eletrostática que age sobre a carga pontual é dada por A força tem o mesmo sentido que se a carga q for positiva e o sentido oposto se a carga for negativa Um Dipolo em um Campo Elétrico Quando um dipolo elétrico de momento dipolar é submetido a um campo elétrico o campo exerce sobre o dipolo um torque dado por A energia potencial U do dipolo depende da orientação do dipolo em relação ao campo A energia potencial é definida como nula U 0 quando for perpendicular a é mínima U pE quando e estão alinhados e apontam no mesmo sentido é máxima U pE quando e estão alinhados e apontam em sentidos opostos Perguntas 1 A Fig 2222 mostra três configurações de campo elétrico representadas por linhas de campo Nas três configurações um próton é liberado no ponto A a partir do repouso e acelerado pelo campo elétrico até o ponto B A distância entre A e B é a mesma nas três configurações Coloque em ordem decrescente as configurações de acordo com o módulo do momento linear do próton no ponto B Figura 2222 Pergunta 1 2 A Fig 2223 mostra dois conjuntos de partículas carregadas em forma de quadrado Os lados dos quadrados cujo centro é o ponto P não são paralelos A distância entre as partículas situadas no mesmo quadrado é d ou d2 Determine o módulo e a direção do campo elétrico total no ponto P Figura 2223 Pergunta 2 3 Na Fig 2224 duas partículas de carga q estão dispostas simetricamente em relação ao eixo y e produzem campos elétricos em um ponto P situado no mesmo eixo a Os módulos dos dois campos no ponto P são iguais b Os campos apontam na direção das cargas ou para longe das cargas c O módulo do campo elétrico total no ponto P é igual à soma dos módulos E dos campos elétricos produzidos pelas duas cargas ou seja é igual a 2E d As componentes x dos campos produzidos pelas duas cargas se somam ou se cancelam e As componentes y se somam ou se cancelam f A direção do campo total no ponto P é a das componentes que se somam ou a das componentes que se cancelam g Qual é a direção do campo total Figura 2224 Pergunta 3 4 A Fig 2225 mostra quatro sistemas nos quais quatro partículas carregadas estão uniformemente espaçadas à esquerda e à direita de um ponto central Os valores das cargas estão indicados Ordene os sistemas de acordo com o módulo do campo elétrico no ponto central em ordem decrescente Figura 2225 Pergunta 4 5 A Fig 2226 mostra duas partículas carregadas mantidas fixas em um eixo a Em que ponto do eixo além do infinito o campo elétrico é zero à esquerda das cargas entre as cargas ou à direita das cargas b Existe algum ponto fora do eixo além do infinito em que o campo elétrico seja zero Figura 2226 Pergunta 5 6 Na Fig 2227 dois anéis circulares iguais isolantes têm os centros na mesma reta perpendicular aos planos dos anéis Em três sistemas as cargas uniformes dos anéis A e B são respectivamente 1 q0 e q0 2 q0 e q0 3 q0 e q0 Ordene os sistemas de acordo com o módulo do campo elétrico total a no ponto P1 a meio caminho entre os anéis b no ponto P2 no centro do anel B c no ponto P3 à direita do anel B em ordem decrescente Figura 2227 Pergunta 6 7 As energias potenciais associadas a quatro orientações de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico são 1 5U0 2 7U0 3 3U0 4 5U0 em que U0 é uma constante positiva Coloque em ordem decrescente as orientações de acordo a com o ângulo entre o momento dipolar e o campo elétrico b com o módulo do torque exercido pelo campo sobre o dipolo 8 a No Teste 4 se o dipolo gira da orientação 1 para a orientação 2 o trabalho realizado pelo campo sobre o dipolo é positivo negativo ou nulo b Se o dipolo gira da orientação 1 para a orientação 4 o trabalho realizado pelo campo é maior menor ou igual ao trabalho do item a 9 A Fig 2228 mostra dois discos e um anel plano todos com a mesma carga uniforme Q Ordene os objetos de acordo com o módulo elétrico criado no ponto P situado à mesma distância vertical nos três casos em ordem decrescente Figura 2228 Pergunta 9 10 Na Fig 2229 um elétron e atravessa um pequeno orifício da placa A e se dirige para a placa B Um campo elétrico uniforme na região entre as placas desacelera o elétron sem mudar sua trajetória a Qual é a direção do campo b Quatro outras partículas também atravessam pequenos orifícios da placa A ou da placa B e se movem na região entre as placas Três possuem cargas q1 q2 e q3 A quarta n na figura é um nêutron que é eletricamente neutro A velocidade de cada uma das outras quatro partículas aumenta diminui ou permanece a mesma na região entre as placas Figura 2229 Pergunta 10 11 Na Fig 2230a uma barra de plástico circular com uma carga elétrica uniforme Q produz um campo elétrico de módulo E no centro de curvatura da barra situado na origem Nas Figs 2230b 22 30c e 2230d outras barras circulares todas com a mesma forma e a mesma carga que a primeira são acrescentadas até que a circunferência fique completa Um quinto arranjo que pode ser chamado de e é semelhante ao arranjo d exceto pelo fato de que a barra do quarto quadrante tem carga Q Coloque em ordem decrescente os cinco arranjos de acordo com o módulo do campo elétrico no centro de curvatura Figura 2230 Pergunta 11 12 Quando três dipolos elétricos iguais estão próximos cada um está sujeito ao campo elétrico produzido pelos outros dois e o sistema de três dipolos possui certa energia potencial A Fig 2231 mostra dois arranjos nos quais três dipolos elétricos estão lado a lado Os momentos dipolares elétricos dos três dipolos são iguais e a distância entre dipolos vizinhos é a mesma Em qual dos dois arranjos a energia potencial do arranjo de três dipolos é maior Figura 2231 Pergunta 12 13 A Fig 2232 mostra três barras todos com a mesma carga Q distribuída uniformemente As barras a de comprimento L e b de comprimento L2 são retas e os pontos P estão em uma reta perpendicular que passa pelo centro das barras A barra c de comprimento L2 tem forma de circunferência e o ponto P está no centro Coloque em ordem decrescente as barras de acordo com o módulo do campo elétrico nos pontos P Figura 2232 Pergunta 13 14 A Fig 2233 mostra cinco prótons que são lançados em uma região onde existe um campo elétrico uniforme o módulo e a orientação da velocidade dos prótons estão indicados Coloque em ordem decrescente os prótons de acordo com o módulo da aceleração produzida pelo campo elétrico Figura 2233 Pergunta 14 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 221 O Campo Elétrico 1 Faça um esboço das linhas de campo elétrico entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas e do lado de fora da casca de maior raio supondo que há uma carga positiva uniforme q1 na casca de menor raio e uma carga negativa uniforme q2 na casca de maior raio Considere os casos q1 q2 q1 q2 e q1 q2 2 Na Fig 2234 as linhas de campo elétrico do lado esquerdo têm uma separação duas vezes maior que as linhas do lado direito a Se o módulo do campo elétrico no ponto A é 40 NC qual é o módulo da força a que é submetido um próton no ponto A b Qual é o módulo do campo elétrico no ponto B Figura 2234 Problema 2 Módulo 222 O Campo Elétrico Produzido por uma Partícula Carregada 3 O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons Suponha que o núcleo é uma esfera com 664 fm de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente na esfera Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo 4 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga 200 107 C no ponto x 600 cm e a partícula 2 de carga 200 107 C no ponto x 210 cm Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas na notação dos vetores unitários 5 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 cm de distância tem um módulo de 20 NC 6 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 100 NC em um ponto a 100 m de distância 7 Na Fig 2235 as quatro partículas formam um quadrado de lado a 500 cm e têm cargas q1 100 nC q2 200 nC q3 200 nC e q4 100 nC Qual é o campo elétrico no centro do quadrado na notação dos vetores unitários Figura 2235 Problema 7 8 Na Fig 2236 as quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas q1 q2 5e q3 3e e q4 12e A distância d 50 μm Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P 9 A Fig 2237 mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo x q 320 1019 C no ponto x 300 m e q 320 1019 C no ponto x 300 m Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P para o qual y 400 m Figura 2236 Problema 8 Figura 2237 Problema 9 10 A Fig 2238a mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo x a uma distância L uma da outra A razão q1q2 entre os valores absolutos das cargas das duas partículas é 400 A Fig 2238b mostra Etotx a componente x do campo elétrico total em função de x para a região à direita da partícula 2 A escala do eixo x é definida por xs 300 cm a Para qual valor de x 0 o valor de Etotx é máximo b Se a carga da partícula 2 é q2 3e qual é o valor do campo máximo Figura 2238 Problema 10 11 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga q1 21 108 C no ponto x 20 cm e a partícula 2 de carga q2 400q1 no ponto x 70 cm Em que ponto do eixo x o campo elétrico total é nulo 12 A Fig 2239 mostra um arranjo irregular de elétrons e e prótons p em um arco de circunferência de raio r 200 cm com ângulos θ1 300o θ2 500o θ3 300o e θ4 200o Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no centro do arco Figura 2239 Problema 12 13 A Fig 2240 mostra um próton p no eixo central de um disco com uma densidade de carga uniforme devido a um excesso de elétrons O disco é mostrado de perfil Três dos elétrons aparecem na figura o elétron ec no centro do disco e os elétrons es em extremidades opostas do disco a uma distância R do centro O próton está inicialmente a uma distância z R 200 cm do disco Com o próton nessa posição determine o módulo a do campo elétrico c produzido pelo elétron ec e b do campo elétrico total stot produzido pelos elétrons es O próton é transferido para o ponto z R100 Determine os novos valores c do módulo de c e d do módulo de stot e Os resultados dos itens a e c mostram que o módulo de c aumenta quando o próton se aproxima do disco Por que nas mesmas condições o módulo de stot diminui como mostram os resultados dos itens b e d Figura 2240 Problema 13 14 Na Fig 2241 a partícula 1 de carga q1 500q e a partícula 2 de carga q2 200q são mantidas fixas no eixo x a Em que ponto do eixo em termos da distância L o campo elétrico total é nulo b Faça um esboço das linhas de campo elétrico Figura 2241 Problema 14 15 Na Fig 2242 as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas q1 q2 e e q3 2e A distância a 600 μm Determine a o módulo e b a direção do campo elétrico no ponto P Figura 2242 Problema 15 16 A Fig 2243 mostra um anel de plástico de raio R 500 cm Duas pequenas contas coloridas estão no anel a conta 1 de carga 200 μC que é mantida fixa na extremidade esquerda e a conta 2 de carga 600 μC que pode ser deslocada ao longo do anel As duas contas produzem juntas um campo elétrico de módulo E no centro do anel Determine a um valor positivo e b um valor negativo do ângulo θ para o qual E 200 105 NC Figura 2243 Problema 16 17 Duas contas carregadas estão no anel da Fig 2244a que possui um raio R 600 cm A conta 2 que não aparece na figura é mantida fixa A conta 1 está inicialmente no eixo x na posição θ 0o mas é deslocada para a extremidade oposta do anel ou seja para a posição θ 180o passando pelo primeiro e segundo quadrantes do sistema de coordenadas xy A Fig 2244b mostra a componente x do campo elétrico produzido na origem pelas duas contas em função de θ e a Fig 2244c mostra a componente y do campo As escalas dos eixos verticais são definidas por Exs 50 104 NC e Eys 90 104 NC a Qual é o ângulo θ da conta 2 Determine a carga b da conta 1 e c da conta 2 Figura 2244 Problema 17 Módulo 223 O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico 18 O campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos do eixo do dipolo é dado aproximadamente pelas Eqs 228 e 229 Se é feita uma expansão binomial da Eq 227 qual é o termo seguinte da expressão do campo elétrico do dipolo em pontos do eixo do dipolo Em outras palavras qual é o valor de E1 na expressão 19 A Fig 2245 mostra um dipolo elétrico Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P situado a uma distância r d Figura 2245 Problema 19 20 As Eqs 228 e 229 fornecem o valor aproximado do módulo do campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos do eixo do dipolo Considere um ponto P do eixo situado a uma distância z 500d do centro do dipolo em que d é a distância entre as partículas que formam o dipolo Seja Eapr o valor aproximado do módulo do campo no ponto P dado pelas Eqs 228 e 229 e seja Ever o valor verdadeiro do campo Determine a razão EaprEver 21 Quadrupolo elétrico A Fig 2246 mostra um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos de mesmo módulo e sentidos opostos Mostre que o valor de E em um ponto P do eixo do quadrupolo situado a uma distância z do centro supondo z d é dado por Figura 2246 Problema 21 em que Q 2qd2 é chamado de momento quadrupolar da distribuição de carga Módulo 224 O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga 22 Densidade densidade densidade a Uma carga de 300e está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de 400 cm de raio que subtende um ângulo de 40o Qual é a densidade linear de carga do arco b Uma carga de 300e está distribuída uniformemente em uma das superfícies de um disco circular de 200 cm de raio Qual é a densidade superficial de carga da superfície c Uma carga de 300e está distribuída uniformemente na superfície de uma esfera de 200 cm de raio Qual é a densidade superficial de carga da superfície d Uma carga de 300e está distribuída uniformemente no volume de uma esfera de 200 cm de raio Qual é a densidade volumétrica de carga da esfera 23 A Fig 2247 mostra dois anéis isolantes paralelos com o centro na mesma reta perpendicular aos planos dos anéis O anel 1 de raio R possui uma carga uniforme q1 o anel 2 também de raio R possui uma carga uniforme q2 Os anéis estão separados por uma distância d 300R O campo elétrico no ponto P da reta que passa pelos centros dos anéis que está a uma distância R do anel 1 é zero Calcule a razão q1q2 Figura 2247 Problema 23 24 Uma barra fina isolante com uma distribuição uniforme de carga positiva Q tem a forma de uma circunferência de raio R Fig 2248 O eixo central do anel é o eixo z com a origem no centro do anel Determine o módulo do campo elétrico a no ponto z 0 e b no ponto z c Em termos de R para qual valor positivo de z o módulo do campo é máximo d Se R 200 cm e Q 400 μC qual é o valor máximo do campo Figura 2248 Problema 24 25 A Fig 2249 mostra três arcos de circunferência cujo centro está na origem de um sistema de coordenadas Em cada arco a carga uniformemente distribuída é dada em termos de Q 200 μC Os raios são dados em termos de R 100 cm Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico na origem Figura 2249 Problema 25 26 Na Fig 2250 uma barra fina de vidro forma uma semicircunferência de raio r 500 cm Uma carga q 450 pC está distribuída uniformemente na parte superior da barra e uma carga q 450 pC está distribuída uniformemente na parte inferior da barra Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P situado no centro do semicírculo Figura 2250 Problema 26 27 Na Fig 2251 duas barras curvas de plástico uma de carga q e outra de carga q formam uma circunferência de raio R 850 cm no plano xy O eixo x passa pelos dois pontos de ligação entre os arcos e a carga está distribuída uniformemente nos dois arcos Se q 150 pC determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P situado no centro da circunferência Figura 2251 Problema 27 28 Um anel de raio R 240 cm contém uma distribuição uniforme de carga e o módulo do campo elétrico E resultante é medido ao longo do eixo central do anel perpendicular ao plano do anel A que distância do centro do anel o campo E é máximo 29 A Fig 2252a mostra uma barra isolante com uma carga Q distribuída uniformemente A barra forma uma semicircunferência de raio R e produz um campo elétrico de módulo E no centro de curvatura P Se a barra é substituída por uma carga pontual situada a uma distância R do ponto P Fig 2252b qual é a razão entre o novo valor de E e o antigo valor Figura 2252 Problema 29 30 A Fig 2253 mostra dois anéis concêntricos de raios R e R 300R que estão no mesmo plano O ponto P está no eixo central z a uma distância D 200R do centro dos anéis O anel menor possui uma carga uniformemente distribuída Q Em termos de Q qual deve ser a carga uniformemente distribuída no anel maior para que o campo elétrico no ponto P seja nulo Figura 2253 Problema 30 31 Na Fig 2254 uma barra isolante de comprimento L 815 cm tem uma carga q 423 fC uniformemente distribuída a Qual é a densidade linear de carga da barra Determine b o módulo e c a direção em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido no ponto P situado no eixo x a uma distância a 120 cm da extremidade da barra Determine o módulo do campo elétrico produzido em um ponto situado no eixo x a uma distância a 50 m do centro da barra d pela barra e e por uma partícula de carga q 423 fC colocada no lugar anteriormente ocupado pelo centro da barra Figura 2254 Problema 31 32 Na Fig 2255 uma carga positiva q 781 pC está distribuída uniformemente em uma barra fina isolante de comprimento L 145 cm Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido no ponto P situado na mediatriz da barra a uma distância R 600 cm da barra Figura 2255 Problema 32 33 Na Fig 2256 uma barra isolante semiinfinita ou seja infinita apenas em um sentido possui uma densidade linear de carga uniforme λ Mostre que o campo elétrico p no ponto P faz um ângulo de 45o com a barra e que o resultado não depende da distância R Sugestão Calcule separadamente as componentes de p na direção paralela à barra e na direção perpendicular à barra Figura 2256 Problema 33 Módulo 225 O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado 34 Um disco de 25 cm de raio possui uma densidade superficial de carga de 53 μCm2 na superfície superior Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância z 12 cm do centro do disco 35 A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com 0600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco 36 Um disco circular de plástico de raio R 200 cm tem uma carga uniformemente distribuída Q 200 106e na superfície Qual é a carga em coulombs de um anel circular de 30 μm de largura e raio médio r 050 cm extraído do disco 37 Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado de raio R produz um campo elétrico O módulo do campo é mais importante em um ponto P do eixo do disco a uma distância 200R do plano do disco Fig 2257a Para economizar material decidiuse substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo R e um raio interno R200 Fig 22 57b O anel tem a mesma densidade superficial de carga que o disco original Qual é a redução percentual do módulo do campo elétrico no ponto P Figura 2257 Problema 37 38 A Fig 2258a mostra um disco circular uniformemente carregado O eixo central z é perpendicular ao plano do disco e a origem está no centro do disco A Fig 2258b mostra o módulo do campo elétrico no eixo z em função do valor de z em termos do valor máximo Em do módulo do campo elétrico A escala do eixo z é definida por zs 80 cm Qual é o raio do disco Figura 2258 Problema 38 Módulo 226 Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico 39 No experimento de Millikan uma gota de óleo com raio de 164 μm e massa específica de 0851 gcm3 permanece imóvel na câmara C veja a Fig 2216 quando um campo vertical de 192 105 NC é aplicado Determine a carga da gota em termos de e 40 Um elétron com uma velocidade de 500 108 cms entra em uma região em que existe um campo elétrico uniforme de 100 103 NC e se move paralelamente ao campo sendo desacelerado por ele Determine a a distância percorrida pelo elétron até inverter o movimento e b o tempo necessário para que o elétron inverta o movimento c Se a região em que existe o campo tem 800 mm de largura uma distância insuficiente para que o elétron inverta o movimento que fração da energia cinética inicial do elétron é perdida na região 41 Um grupo de nuvens carregadas produz um campo elétrico no ar perto da superfície da Terra Na presença desse campo uma partícula com uma carga de 20 109 C é submetida a uma força eletrostática para baixo de 30 106 N a Qual é o módulo do campo elétrico Determine b o módulo e c a orientação da força eletrostática el exercida pelo campo sobre um próton d Determine o módulo da força gravitacional g a que está sujeito o próton e Calcule a razão FelFg 42 O ar úmido se torna um bom condutor de eletricidade as moléculas se ionizam quando é submetido a um campo elétrico maior que 30 106 NC Determine para esse valor de campo elétrico o módulo da força eletrostática a que é submetido a um elétron e b um átomo monoionizado 43 Um elétron é liberado a partir do repouso em um campo elétrico uniforme de módulo 200 104 NC Determine a aceleração do elétron Ignore os efeitos da gravitação 44 Uma partícula alfa núcleo de um átomo de hélio tem uma massa de 664 1027 kg e uma carga de 2e Determine a o módulo e b a direção de um campo elétrico capaz de equilibrar o peso da partícula 45 Um elétron está no eixo de um dipolo elétrico a 25 nm de distância do centro do dipolo Qual é o módulo da força eletrostática a que está submetido o elétron se o momento do dipolo é 36 1029 C m Suponha que a distância entre as cargas do dipolo é muito menor que 25 nm 46 Um elétron adquire uma aceleração para leste de 180 109 ms2 ao ser submetido a um campo elétrico uniforme Determine a o módulo e b a orientação do campo elétrico 47 Feixes de prótons de alta energia podem ser produzidos por canhões que usam campos elétricos para acelerar os prótons a Qual é a aceleração experimentada por um próton em um campo elétrico de 200 104 NC b Qual é a velocidade adquirida pelo próton depois de percorrer uma distância de 100 cm na presença desse campo 48 Na Fig 2259 um elétron e é liberado a partir do repouso no eixo central de um disco uniformemente carregado de raio R A densidade superficial de carga do disco é 400 μCm2 Determine o módulo da aceleração inicial do elétron se for liberado a uma distância a R b R100 c R1000 do centro do disco d Por que o módulo da aceleração quase não varia quando o elétron está próximo do disco Figura 2259 Problema 48 49 Um bloco de 100 g com uma carga de 800 105 C é submetido a um campo elétrico 3000î 600ĵ NC Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo da força eletrostática que age sobre o bloco Se o bloco for liberado na origem a partir do repouso no instante t 0 determine c a coordenada x e d a coordenada y do bloco no instante t 300 s 50 Em determinado instante as componentes da velocidade de um elétron que se move entre duas placas paralelas carregadas são vx 15 105 ms e vy 30 103 ms O campo elétrico entre as placas é 120 NC ĵ Determine na notação dos vetores unitários a a aceleração do elétron e b a velocidade do elétron no instante em que sua coordenada x variou de 20 cm 51 Suponha que uma abelha possa ser aproximada por uma esfera de 1000 cm de diâmetro com uma carga de 450 pC distribuída uniformemente na superfície Suponha ainda que um grão de pólen com 400 μm de diâmetro seja mantido eletricamente na superfície da esfera porque a carga da abelha induz uma carga de 100 pC no lado mais próximo da esfera e uma carga de 100 pC no lado mais distante a Qual é o módulo da força eletrostática que a abelha exerce sobre o grão de pólen Suponha que a abelha transporte o grão de pólen até uma distância de 1000 mm da ponta do estigma de uma flor e que a ponta do estigma possa ser aproximada por uma partícula com uma carga de 45 pC b Qual é o módulo da força eletrostática que o estigma exerce sobre o grão c O grão permanece no corpo da abelha ou salta para o estigma 52 Um elétron penetra com uma velocidade inicial de 40 kms em uma região na qual existe um campo elétrico uniforme de módulo E 50 NC e se move na mesma direção e no mesmo sentido que o campo a Qual é a velocidade do elétron 15 ns depois de entrar na região b Qual é a distância que o elétron percorre nesse intervalo de 15 ns 53 Duas grandes placas de cobre mantidas a 50 cm de distância uma da outra são usadas para criar um campo elétrico uniforme como mostra a Fig 2260 Um elétron é liberado da placa negativa ao mesmo tempo que um próton é liberado da placa positiva Desprezando a interação entre as partículas determine a que distância da placa positiva as partículas passam uma pela outra Por que não é necessário conhecer o valor do campo elétrico para resolver o problema Figura 2260 Problema 53 54 Na Fig 2261 um elétron é lançado com uma velocidade inicial v0 200 106 ms e um ângulo θ0 400o com o eixo x em uma região na qual existe um campo elétrico uniforme 500 NCĵ Uma tela para detectar elétrons foi instalada paralelamente ao eixo y a uma distância x 300 m do ponto de lançamento do elétron Na notação dos vetores unitários qual é a velocidade do elétron ao atingir a tela Figura 2261 Problema 54 55 Um campo elétrico uniforme existe em uma região entre duas placas com cargas elétricas opostas Um elétron é liberado a partir do repouso da superfície da placa negativamente carregada e atinge a superfície da outra placa a 20 cm de distância em 15 108 s a Qual é a velocidade do elétron ao atingir a segunda placa b Qual é o módulo do campo elétrico Módulo 227 Um Dipolo em um Campo Elétrico 56 Um dipolo elétrico formado por cargas de 2e e 2e separadas por uma distância de 078 nm é submetido a um campo elétrico de 34 106 NC Calcule o módulo do torque exercido pelo campo elétrico sobre o dipolo se o momento do dipolo estiver a paralelo b perpendicular e c antiparalelo ao campo elétrico 57 Um dipolo elétrico formado por cargas de 150 nC e 150 nC separadas por uma distância de 620 μm é submetido a um campo elétrico de 1100 NC Determine a o módulo do momento dipolar elétrico e b a diferença entre as energias potenciais quando o dipolo está orientado paralelamente e antiparalelamente a 58 Um dipolo elétrico é submetido a um campo elétrico uniforme cujo módulo é 20 NC A Fig 22 62 mostra a energia potencial U do dipolo em função do ângulo θ entre e o momento do dipolo A escala do eixo vertical é definida por Us 100 1028 J Qual é o módulo de Figura 2262 Problema 58 59 Qual é o trabalho necessário para fazer girar de 180o um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme de módulo E 460 NC se p 302 1025 C m e o ângulo inicial é 64o 60 Um dipolo elétrico é submetido a um campo elétrico uniforme de módulo 40 NC A Fig 2263 mostra o módulo τ do torque exercido sobre o dipolo em função do ângulo θ entre o campo e o momento dipolar A escala do eixo vertical é definida por τs 100 1028 N m Qual é o módulo de Figura 2263 Problema 60 61 Escreva uma expressão para a frequência de oscilação de um dipolo elétrico de momento dipolar e momento de inércia I para pequenas amplitudes de oscilação em torno da posição de equilíbrio na presença de um campo elétrico uniforme de módulo E Problemas Adicionais 62 a Qual é o módulo da aceleração de um elétron submetido a um campo elétrico uniforme de 140 106 NC b Quanto tempo o elétron leva partindo do repouso para atingir um décimo da velocidade da luz c Que distância o elétron percorre nesse período de tempo 63 Uma gota dágua esférica com 120 μm de diâmetro está suspensa no ar devido a um campo elétrico atmosférico vertical cujo módulo é E 462 NC a Qual é o peso da gota b Quantos elétrons em excesso a gota possui 64 Três partículas com a mesma carga positiva Q formam um triângulo equilátero de lado d Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelas partículas no ponto médio de um dos lados 65 Na Fig 2264a uma partícula de carga Q produz um campo elétrico de módulo Epart no ponto P a uma distância R da partícula Na Fig 2264b a mesma carga está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de raio R que subtende um ângulo θ A carga do arco produz um campo elétrico de módulo Earco no centro de curvatura P Para qual valor de θ temos Earco 0500Epart Sugestão Use uma solução gráfica Figura 2264 Problema 65 66 Um próton e um elétron ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de lado 20 106 m Qual é o módulo do campo elétrico no terceiro vértice do triângulo 67 Uma corda com uma densidade linear uniforme de carga de 90 nCm é estendida ao longo do eixo x de x 0 até x 30 m Determine o módulo do campo elétrico no ponto x 40 m do eixo x 68 Na Fig 2265 oito partículas estão no perímetro de um quadrado de lado d 20 cm As cargas das partículas são q1 3e q2 e q3 5e q4 2e q5 3e q6 e q7 5e e q8 e Na notação dos vetores unitários qual é o campo elétrico produzido pelas partículas no centro do quadrado Figura 2265 Problema 68 69 Duas partículas ambas com uma carga de valor absoluto 12 nC ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 20 m de lado Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice a se as duas cargas forem positivas e b se uma das cargas for positiva e a outra for negativa 70 Em um de seus experimentos Millikan reparou que as cargas a seguir eram observadas na mesma gota em diferentes ocasiões 6563 1019 C 1313 1019 C 1971 1019 C 8204 1019 C 1648 1019 C 2289 1019 C 1150 1019 C 1808 1019 C 2613 1019 C Que valor da carga elementar e pode ser calculado a partir desses dados 71 Uma carga de 20 nC está uniformemente distribuída ao longo de uma barra retilínea de 40 m de comprimento que é encurvada para formar um arco de circunferência com 20 m de raio Qual é o módulo do campo elétrico no centro de curvatura do arco 72 O movimento de um elétron se limita ao eixo central do anel de raio R da Fig 2210 com z R Mostre que a força eletrostática a que o elétron é submetido faz com que a partícula oscile em torno do centro do anel com uma frequência angular dada por em que q é a carga do anel e m é a massa do elétron 73 O campo elétrico no plano xy produzido por uma partícula positivamente carregada é 7240î 30ĵ NC no ponto 30 30 cm e 100î NC no ponto 20 0 cm Determine a a coordenada x e b a coordenada y da partícula c Determine a carga da partícula 74 a Qual deve ser a carga total q em excesso do disco da Fig 2215 para que o campo elétrico no centro da superfície do disco seja 30 106 NC o valor de E para o qual o ar se torna um condutor e emite centelhas Tome o raio do disco como 25 cm b Suponha que os átomos da superfície têm uma seção reta efetiva de 0015 nm2 Quantos átomos são necessários para preencher a superfície do disco c A carga calculada em a é a soma das cargas dos átomos da superfície que possuem um elétron em excesso Qual deve ser a fração desses elétrons 75 Na Fig 2266 a partícula 1 de carga 100 μC a partícula 2 de carga 100 μC e a partícula 3 de carga Q formam um triângulo equilátero de lado a Para qual valor de Q sinal e valor o campo elétrico no centro do triângulo é nulo Figura 2266 Problemas 75 e 86 76 Na Fig 2267 um dipolo elétrico gira de uma orientação inicial i θi 200o para uma orientação final f θf 200o na presença de um campo elétrico externo uniforme O momento do dipolo é 160 1027 C m o módulo do campo é 300 106 NC Qual é a variação da energia potencial do dipolo Figura 2267 Problema 76 77 Uma partícula de carga q1 é mantida fixa na origem do eixo x a Em que ponto do eixo x deve ser colocada uma partícula de carga 4q1 para que o campo elétrico seja zero no ponto x 20 mm b Se uma partícula de carga 4q1 é colocada no ponto determinado no item a qual é a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto x 200 mm 78 Duas partículas com a mesma carga positiva q são mantidas fixas no eixo y uma em y d e a outra em y d a Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico em pontos do eixo x dados por x αd b Plote E em função de α no intervalo 0 α 4 Determine a partir do gráfico os valores de α para os quais c o valor de E é máximo e d o valor de E é metade do valor máximo 79 O mostrador de um relógio possui cargas negativas pontuais q 2q 3q 12q mantidas fixas nas posições dos números correspondentes Os ponteiros do relógio não afetam o campo produzido pelas cargas pontuais A que horas o ponteiro das horas aponta na mesma direção que o vetor campo elétrico no centro do mostrador Sugestão Leve em conta a simetria das cargas 80 Calcule o momento dipolar elétrico de um elétron e um próton separados por uma distância de 430 nm 81 Existe na atmosfera um campo elétrico dirigido verticalmente para baixo cujo módulo é da ordem de 150 NC Estamos interessados em fazer flutuar nesse campo uma esfera de enxofre com 44 N de peso carregandoa eletricamente a Qual deve ser a carga da esfera sinal e valor absoluto b Por que o experimento não pode ser realizado na prática 82 Uma barra circular tem um raio de curvatura R 900 cm uma carga uniformemente distribuída Q 625 pC e subtende um ângulo θ 240 rad Qual é o módulo do campo elétrico no centro de curvatura 83 Um dipolo elétrico de momento dipolar 300î 400ĵ124 1030 C m é submetido a um campo elétrico 4000 NCî a Qual é a energia potencial do dipolo elétrico b Qual é o torque que age sobre o dipolo c Se um agente externo faz girar o dipolo até que o momento dipolar seja 400î 300ĵ124 1030 C m qual é o trabalho realizado pelo agente externo 84 Na Fig 2268 um campo elétrico uniforme vertical de módulo 200 103 NC foi estabelecido entre duas placas horizontais carregando positivamente a placa de baixo e negativamente a placa de cima As placas têm comprimento L 100 cm e estão separadas por uma distância d 200 cm Um elétron é lançado no espaço entre as placas a partir da extremidade esquerda da placa de baixo A velocidade inicial 0 faz um ângulo θ 450o com a placa de baixo e tem um módulo de 600 106 ms a O elétron irá se chocar com uma das placas b Se a resposta for afirmativa com qual das placas o elétron irá se chocar e a que distância horizontal da extremidade esquerda das placas Figura 2268 Problema 84 85 Para os dados do Problema 70 suponha que a carga q da gota é dada por q ne em que n é um número inteiro e e é a carga elementar a Determine o valor de n para cada valor experimental de q b Faça uma regressão linear dos valores de q em função de n e use o resultado para determinar o valor de e 86 Na Fig 2266 a partícula 1 de carga 200 pC a partícula 2 de carga 200 pC e a partícula 3 de carga 500 pC formam um triângulo equilátero de lado a 950 cm a Determine a orientação em relação ao semieixo x positivo da força 3 a que a partícula 3 é submetida pelas outras partículas fazendo um esboço das linhas de força associadas às outras partículas b Calcule o módulo da força 3 87 Na Fig 2269 a partícula 1 de carga q1 100 pC e a partícula 2 de carga q2 200 pC são mantidas fixas separadas por uma distância d 500 cm Determine na notação dos vetores unitários o campo elétrico a no ponto A b no ponto B e c no ponto C d Faça um esboço das linhas de campo elétrico Figura 2269 Problema 87 CAPÍTULO 23 Lei de Gauss 231 FLUXO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2301 Saber que a lei de Gauss relaciona o campo elétrico em pontos de uma superfície fechada real ou imaginária chamada superfície gaussiana à carga total envolvida pela superfície 2302 Saber que o fluxo elétrico Φ através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície 2303 Saber que o vetor área de uma superfície plana é um vetor perpendicular à superfície cujo módulo é igual à área da superfície 2304 Saber que qualquer superfície pode ser dividida em elementos de área que são suficientemente pequenos e suficientemente planos para serem associados a um vetor elemento de área d perpendicular ao elemento cujo módulo é igual à área do elemento 2305 Calcular o fluxo Φ do campo elétrico através de uma superfície integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área d 2306 No caso de uma superfície fechada explicar os sinais algébricos associados a fluxos para dentro e para fora da superfície 2307 Calcular o fluxo total Φ através de uma superfície fechada integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área d 2308 Determinar se uma superfície fechada pode ser dividida em partes como as faces de um cubo para simplificar a integração usada para calcular o fluxo através da superfície IdeiasChave O fluxo elétrico Φ através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície O vetor área d de um elemento de área de uma superfície é um vetor perpendicular ao elemento cujo módulo é igual à área dA do elemento O fluxo elétrico Φ através de uma área cujo vetor elemento de área é d é dado pelo produto escalar O fluxo elétrico total através de uma superfície é dado por em que a integração é executada ao longo de toda a superfície O fluxo total através de uma superfície fechada que é usado na lei de Gauss é dado por em que a integração é executada ao longo de toda a superfície O que É Física No Capítulo 22 calculamos o campo elétrico em pontos próximos de objetos macroscópicos como barras A técnica que usamos era trabalhosa dividir a distribuição de carga em elementos de carga dq calcular os campos elétricos d produzidos pelos elementos determinar as componentes desses campos elétricos Em seguida verificar se alguns desses componentes se cancelavam Finalmente somar os componentes que não se cancelavam integrando os elementos ao longo de todo o objeto com várias mudanças de notação durante o percurso Um dos principais objetivos da física é descobrir formas simples de resolver problemas aparentemente complexos Um dos instrumentos usados pela física para conseguir esse objetivo é a simetria Neste capítulo discutimos uma bela relação entre carga e campo elétrico que nos permite em certas situações de alta simetria calcular o campo elétrico produzido por objetos macroscópicos usando poucas equações algébricas Essa relação é chamada de lei de Gauss e foi descoberta pelo matemático e físico Carl Friedrich Gauss 17771855 Vamos começar com alguns exemplos simples que dão uma ideia do espírito da lei de Gauss A Fig 231 mostra uma partícula de carga Q cercada por uma esfera imaginária cujo centro é a posição da partícula Em todos os pontos da esfera chamada de superfície gaussiana os vetores do campo elétrico têm o mesmo módulo dado por E kQr2 e apontam radialmente para longe da partícula porque a partícula é positiva As linhas de campo elétrico também apontam para longe da partícula e têm a mesma densidade já que como vimos no Capítulo 22 a densidade de linha de campo elétrico é proporcional ao módulo do campo elétrico Dizemos que os vetores do campo elétrico e as linhas de campo elétrico atravessam a superfície Figura 231 Os vetores do campo elétrico e as linhas de campo elétrico atravessam uma superfície gaussiana imaginária esférica que envolve uma partícula de carga Q Figura 232 Agora a carga da partícula envolvida pela superfície gaussiana é 2Q Figura 233 Qual é a carga central A Fig 232 é igual à Fig 231 exceto pelo fato de que a carga da partícula é 2Q Como a carga envolvida é duas vezes maior o módulo dos vetores do campo elétrico que atravessam a mesma superfície gaussiana é duas vezes maior que na Fig 231 e a densidade das linhas de campo elétrico também é duas vezes maior Foram observações como essa que levaram à lei de Gauss A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada à carga total envolvida pela superfície Vamos examinar um terceiro exemplo mostrado na Fig 233 em que uma partícula está no centro da mesma superfície gaussiana esférica Quais são o sinal e o valor absoluto da carga Como os vetores do campo elétrico apontam para a partícula sabemos que a carga da partícula é negativa Além disso como o comprimento dos vetores é metade do comprimento dos vetores da Fig 231 concluímos que o valor absoluto da carga é 05Q Usar a lei de Gauss é como saber qual é o presente examinando o papel em que o presente está embrulhado Os problemas discutidos neste capítulo são de dois tipos Nos problemas do primeiro tipo conhecemos a carga e usamos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em um dado ponto nos do segundo tipo conhecemos o campo elétrico em uma superfície gaussiana e usamos a lei de Gauss para determinar a carga envolvida pela superfície Entretanto na maioria dos casos não podemos usar a lei de Gauss simplesmente observando o sentido e o comprimento dos vetores do campo elétrico em um desenho como acabamos de fazer precisamos de uma grandeza física que descreva a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície Essa grandeza é chamada de fluxo elétrico Fluxo Elétrico Superfície Plana Campo Uniforme Começamos com uma superfície plana de área A em uma região onde existe um campo elétrico uniforme A Fig 234a mostra um dos vetores de campo elétrico atravessando um pequeno quadrado de área ΔA em que Δ significa pequeno Na verdade apenas a componente x de módulo Ex E cos θ na Fig 234b atravessa a superfície A componente y é paralela à superfície e não aparece na lei de Gauss A quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície é chamada de fluxo elétrico ΔΦ e é dada pelo produto do campo que atravessa a superfície pela área envolvida ΔΦ E cos θ ΔA Existe outro modo de escrever o lado direito da equação anterior para que apenas a componente de que atravessa a superfície seja considerada Definimos um vetor área que é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado Fig 234c Nesse caso podemos escrever Figura 234 a Um vetor de campo elétrico atravessa um pequeno quadrado de uma superfície plana b Apenas a componente x atravessa o quadrado a componente y é paralela ao quadrado c O vetor área do quadrado é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado e o produto escalar nos fornece automaticamente a componente de que é paralela a e portanto atravessa o quadrado Para determinar o fluxo total Φ que atravessa a superfície da Fig 234 somamos o fluxo que atravessa todos os pequenos quadrados da superfície Entretanto como não queremos ter o trabalho de somar centenas ou mais de valores do fluxo transformamos a soma em uma integral reduzindo os pequenos quadrados de área ΔA em elementos de área dA Nesse caso o fluxo total passa a ser dado por Agora podemos calcular o fluxo total integrando o produto escalar para toda a superfície Produto Escalar Podemos calcular o produto escalar que aparece no integrando da Eq 232 escrevendo os dois vetores na notação dos vetores unitários Na Fig 234 por exemplo d dAî e poderia ser digamos 4î 4ĵ NC Também podemos calcular o produto escalar na notação módulo ângulo na qual o resultado seria E cos θ dA Se o campo elétrico é uniforme e a superfície é plana o produto E cos θ é constante e pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração A integral restante dA é apenas uma receita para somar todos os quadrados elementares para obter a área total mas já sabemos que a área total é A Assim o fluxo total nessa situação simples é Superfície Fechada Para relacionar o fluxo à carga usando a lei de Gauss precisamos de uma superfície fechada Vamos usar a superfície fechada da Fig 235 que está submetida a um campo elétrico não uniforme Não se preocupe As superfícies serão mais simples nos deveres de casa Como antes vamos começar pelo fluxo através de pequenos quadrados Agora porém estamos interessados não só em saber se as componentes do campo elétrico atravessam a superfície mas também se elas atravessam a superfície de dentro para fora como na Fig 231 ou de fora para dentro como na Fig 233 Sinal do Fluxo Para levar em conta o sentido com o qual o campo elétrico atravessa a superfície usamos como antes um vetor área mas agora escolhemos como positivo o sentido para fora da superfície fechada Assim se o vetor campo elétrico aponta para fora o campo elétrico e o vetor área apontam no mesmo sentido o ângulo entre os vetores é θ 0 e cos θ 1 Isso significa que o produto escalar é positivo e portanto o fluxo é positivo Se o vetor campo aponta para dentro o campo elétrico e o vetor área apontam em sentidos opostos o ângulo entre os vetores é θ 180o e cos θ 1 Nesse caso o produto escalar Δ é negativo e o fluxo é negativo Se o vetor campo elétrico é paralelo à superfície o campo elétrico é perpendicular ao vetor área o ângulo entre os vetores é θ 90o e cos θ 0 Nesse caso o produto escalar Δ é nulo e o fluxo é zero A Fig 235 mostra exemplos das três situações A conclusão é a seguinte Figura 235 Uma superfície gaussiana de forma arbitrária em uma região onde existe um campo elétrico A superfície está dividida em pequenos quadrados de área ΔA Os vetores campo elétrico e área Δ são mostrados para três quadrados representativos 1 2 e 3 Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície o fluxo é positivo se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície o fluxo é negativo se o campo elétrico é paralelo à superfície o fluxo é zero Fluxo Total Em princípio para determinar o fluxo total através da superfície da Fig 235 poderíamos calcular o fluxo através de pequenos quadrados e somar os resultados levando em conta os sinais algébricos Entretanto não há necessidade de executar esse trabalho exaustivo Em vez disso podemos reduzir o tamanho dos pequenos quadrados até se tornarem áreas elementares d e calcular o resultado por integração O círculo no sinal de integral indica que a integral deve se estender a toda a superfície fechada já que estamos calculando o fluxo total através da superfície o fluxo não precisa ser todo para fora ou todo para dentro da superfície na Fig 235 por exemplo existem partes da superfície em que o fluxo é para dentro e outras partes em que o fluxo é para fora Não se esqueça de que estamos interessados no fluxo total para podermos aplicar a lei de Gauss que relaciona o fluxo total à carga envolvida pela superfície A lei será nossa próxima atração Note que o fluxo é uma grandeza escalar é verdade que trabalhamos com vetores de campo elétrico mas o fluxo é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície e não o campo em si A unidade de fluxo do SI é o newtonmetro quadrado por coulomb Nm2C Teste 1 A figura mostra um cubo gaussiano cujas faces têm área A imerso em um campo elétrico uniforme orientado no sentido positivo do eixo z Determine em termos de E e A o fluxo a através da face frontal do cubo a face situada no plano xy b através da face traseira c através da face superior e d através do cubo como um todo Exemplo 2301 Fluxo de um campo uniforme através de uma superfície cilíndrica A Fig 236 mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro oco de raio R cujo eixo é paralelo a um campo elétrico uniforme Qual é o fluxo Φ do campo elétrico através do cilindro IDEIASCHAVE De acordo com a Eq 234 podemos calcular o fluxo Φ integrando o produto escalar d para toda a superfície do cilindro Entretanto a superfície do cilindro não pode ser descrita por meio de uma única equação A forma de contornar esse problema é separar a superfície em partes que possam ser integradas com facilidade Cálculos Podemos realizar a integração escrevendo o fluxo como a soma de três integrais uma para a base esquerda do cilindro a outra para a superfície lateral do cilindro b e outra para a base direita do cilindro c Nesse caso de acordo com a Eq 234 Para todos os pontos da base a o ângulo θ entre e d é 180o e o módulo E do campo é o mesmo Assim em que A é igual à área da base A πr2 Analogamente na base c em que θ 0 para todos os pontos Finalmente para a superfície lateral b do cilindro em que θ 90o para todos os pontos Substituindo os três valores na Eq 235 obtemos Este resultado já era esperado como todas as linhas de campo que representam o campo elétrico atravessam a superfície gaussiana entrando pela base esquerda e saindo pela base direita o fluxo total deve ser nulo Figura 236 Uma superfície gaussiana cilíndrica fechada pelos planos das bases imersa em um campo elétrico uniforme O eixo do cilindro é paralelo à direção do campo Exemplo 2302 Fluxo de um campo elétrico não uniforme através de um cubo O cubo gaussiano que aparece na Fig 237a está submetido a um campo elétrico não uniforme dado por 30xî 40ĵ com E em newtons por coulomb e x em metros Qual é o fluxo elétrico na face direita na face esquerda e na face superior do cubo As outras faces serão consideradas no Exemplo 2304 IDEIACHAVE Podemos calcular o fluxo Φ através de uma superfície integrando o produto escalar d ao longo da superfície Face direita O vetor área é sempre perpendicular à superfície e aponta para fora Assim no caso da face direita do cubo o vetor d aponta no sentido positivo do eixo x Um elemento desse tipo é mostrado nas Figs 237b e 237c mas o vetor d tem a mesma direção para todos os elementos de área pertencentes a essa face Na notação dos vetores unitários De acordo com a Eq 234 o fluxo Φd através da face direita do cubo é dado por Figura 237 a Um cubo gaussiano com uma aresta no eixo x imerso em um campo elétrico não uniforme que depende do valor de x b A cada elemento de área podemos associar um vetor perpendicular ao elemento que aponta para fora do cubo c Face direita a componente x do campo atravessa a face e produz um fluxo positivo para fora do cubo A componente y não atravessa a face e não produz um fluxo d Face esquerda a componente x do campo produz um fluxo negativo para dentro do cubo e Face superior a componente y do campo produz um fluxo positivo para fora do cubo Deveríamos calcular essa integral para a face direita mas observamos que x tem o mesmo valor 30 m em todos os pontos da face e portanto podemos substituir x por esse valor Explicando melhor Embora x seja uma variável quando percorremos a face direita do cubo de cima para baixo e da esquerda para a direita como a face direita do cubo é perpendicular ao eixo x todos os pontos da face têm a mesma coordenada x As coordenadas y e z não estão envolvidas na integração Assim temos A integral dA nos dá simplesmente a área A 40 m2 da face direita assim Face esquerda O método para calcular o fluxo através da face esquerda é o mesmo que foi usado para a face direita Apenas duas coisas mudam 1 O vetor área elementar d agora aponta no sentido negativo do eixo x e portanto d dAî Fig 237d 2 O valor constante de x agora é 10 m Com essas duas mudanças verificamos que o fluxo Φe através da face esquerda é dado por Face superior Como o vetor área elementar d agora aponta no sentido positivo do eixo y d dAĵ Fig 237e O fluxo Φs através da face superior é portanto 232 LEI DE GAUSS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2309 Usar a lei de Gauss para relacionar o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga total qenv envolvida pela superfície 2310 Saber que o sinal algébrico da carga envolvida corresponde ao sentido para fora ou para dentro do fluxo através da superfície gaussiana 2311 Saber que a carga do lado de fora de uma superfície gaussiana não contribui para o fluxo total através da superfície fechada 2312 Calcular o módulo do campo elétrico produzido por uma partícula carregada usando a lei de Gauss 2313 Saber que no caso de uma partícula carregada ou uma esfera uniformemente carregada a lei de Gauss pode ser aplicada usando uma superfície gaussiana que é uma esfera concêntrica com a carga ou com a esfera carregada IdeiasChave A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga total qenv envolvida pela superfície ε0Φ qenv lei de Gauss A lei de Gauss também pode ser escrita em termos do campo elétrico que atravessa a superfície gaussiana Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada superfície gaussiana à carga total qenv envolvida pela superfície Em notação matemática Usando a Eq 234 a definição de fluxo podemos escrever a lei de Gauss na forma As Eqs 236 e 237 são válidas somente se na região envolvida pela superfície gaussiana existe apenas vácuo ou ar que para efeitos práticos quase sempre pode ser considerado equivalente ao vácuo No Capítulo 25 uma versão modificada da lei de Gauss será usada para analisar situações em que a região contém materiais como mica óleo e vidro Nas Eqs 236 e 237 a carga total qenv é a soma algébrica das cargas positivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana e pode ser positiva negativa ou nula Incluímos o sinal em vez de usar o valor absoluto da carga envolvida porque o sinal nos diz alguma coisa a respeito do fluxo total através da superfície gaussiana Se qenv é positiva o fluxo é para fora se qenv é negativa o fluxo é para dentro A carga do lado de fora da superfície mesmo que seja muito grande ou esteja muito próxima não é incluída no termo qenv da lei de Gauss A localização das cargas no interior da superfície de Gauss é irrelevante as únicas coisas que importam para calcular o lado direito das Eqs 236 e 237 são o valor absoluto e o sinal da carga total envolvida A grandeza do lado esquerdo da Eq 237 por outro lado é o campo elétrico produzido por todas as cargas tanto as que estão do lado de dentro da superfície de Gauss como as que estão do lado de fora Isso pode parecer incoerente mas é preciso ter em mente o seguinte fato A contribuição do campo elétrico produzido por uma carga do lado de fora da superfície gaussiana para o fluxo através da superfície é sempre nula já que o número de linhas de campo que entram na superfície devido a essa carga é igual ao número de linhas que saem Vamos aplicar essas ideias à Fig 238 que mostra duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que descrevem os campos elétricos criados pelas cargas no espaço em torno das cargas A figura mostra também quatro superfícies gaussianas vistas de perfil Vamos discutilas uma a uma Figura 238 Duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que representam o campo elétrico Quatro superfícies gaussianas são vistas de perfil A superfície S1 envolve a carga positiva A superfície S2 envolve a carga negativa A superfície S3 não envolve nenhuma carga A superfície S4 envolve as duas cargas Superfície S1 O campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da superfície Isso significa que o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e de acordo com a lei de Gauss a carga envolvida pela superfície também é positiva Em outras palavras se Φ é positivo na Eq 236 qenv deve ser positiva Superfície S2 O campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da superfície Isso significa que o fluxo do campo elétrico é negativo e de acordo com a lei de Gauss a carga envolvida também é negativa Superfície S3 De acordo com a lei de Gauss como a superfície não envolve nenhuma carga o fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo Isso é razoável já que todas as linhas de campo que entram na superfície pela parte de cima saem pela parte de baixo Superfície S4 A carga total envolvida pela superfície é nula já que as cargas envolvidas pela superfície têm o mesmo valor absoluto e sinais opostos Assim de acordo com a lei de Gauss o fluxo do campo elétrico através dessa superfície deve ser zero Isso é razoável já que o número de linhas de campo que entram na superfície pela parte de baixo é igual ao número de linhas de campo que saem pela parte de cima O que aconteceria se colocássemos uma carga gigantesca Q nas proximidades da superfície S4 da Fig 23 8 A configuração de linhas de campo certamente seria modificada mas o fluxo total através das quatro superfícies gaussianas continuaria o mesmo Isso é uma consequência do fato de que todas as linhas de campo produzidas pela carga Q atravessariam totalmente as quatro superfícies gaussianas sem contribuir para o fluxo total O valor de Q não apareceria de nenhuma forma na lei de Gauss já que Q estaria do lado de fora das quatro superfícies gaussianas que estamos discutindo Teste 2 A figura mostra três situações nas quais um cubo gaussiano está imerso em um campo elétrico As setas e valores indicam a direção das linhas de campo e o módulo em N m2C do fluxo que atravessa as seis faces de cada cubo As setas mais claras estão associadas às faces ocultas Em que situação o cubo envolve a uma carga total positiva b uma carga total negativa e c uma carga total nula Lei de Gauss e Lei de Coulomb A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico produzido por uma partícula carregada Nesse caso o campo tem simetria esférica depende apenas da distância r entre o ponto considerado e a partícula Para tirar proveito dessa simetria envolvemos a partícula em uma esfera gaussiana com centro na partícula como mostra a Fig 239 para uma partícula com uma carga positiva q Como todos os pontos da superfície da esfera estão à mesma distância r da partícula o campo elétrico tem o mesmo valor E em todos os pontos da superfície da esfera o que facilita bastante o cálculo da integral Figura 239 Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma partícula de carga q O método a ser usado é o mesmo visto anteriormente Escolhemos um elemento de área na superfície da esfera e desenhamos um vetor área d perpendicular ao elemento apontando para fora da esfera A simetria da situação mostra que o campo elétrico também é perpendicular à superfície da esfera e aponta para fora da esfera o que significa que o ângulo entre e d é θ 0 Assim a lei de Gauss nos dá em que qenv q Como o módulo E do campo elétrico é igual em todos os elementos de área ele pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração o que nos permite escrever A integral restante é apenas uma receita para somar todas as áreas elementares mas já sabemos que a área total é 4πr2 Substituindo a integral pelo seu valor na Eq 239 obtemos A Eq 2310 é exatamente igual à Eq 223 que obtivemos usando a lei de Coulomb Teste 3 Um fluxo Φi atravessa uma esfera gaussiana de raio r que envolve uma única partícula carregada Suponha que a esfera gaussiana seja substituída a por uma esfera gaussiana maior b por um cubo gaussiano de lado r e c por um cubo gaussiano de lado 2r Em cada caso o fluxo total através da nova superfície gaussiana é maior menor ou igual a Φi Exemplo 2303 Uso da lei de Gauss para determinar um campo elétrico A Fig 2310a mostra em seção reta uma casca esférica de plástico de raio R 10 cm e espessura desprezível com carga Q 16e distribuída uniformemente No centro da casca está uma partícula de carga q 5e Qual é o campo elétrico módulo e orientação a em um ponto P1 situado a uma distância r1 6 cm do centro da casca e b em um ponto P2 situado a uma distância r2 120 cm do centro da casca IDEIASCHAVE 1 Como o sistema mostrado na Fig 2310a tem simetria esférica é conveniente usar uma superfície gaussiana concêntrica com a casca para determinar o campo elétrico 2 Para calcular o campo elétrico em um ponto devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse ponto para que o campo em que estamos interessados seja o mesmo campo que aparece no produto escalar da lei de Gauss 3 A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada à carga envolvida pela superfície As cargas externas são ignoradas Cálculos Para determinar o campo no ponto P1 construímos uma esfera gaussiana com P1 na superfície ou seja uma esfera gaussiana de raio r1 Como a carga envolvida pela esfera gaussiana é positiva o fluxo elétrico através da superfície é positivo e portanto aponta para fora da esfera Assim o campo atravessa a superfície de dentro para fora Além disso devido à simetria esférica é perpendicular à superfície como mostra a Fig 2310b A casca de plástico não aparece na figura porque está do lado de fora da superfície gaussiana e portanto sua carga não é envolvida pela superfície Figura 2310 a Uma casca de plástico carregada com uma partícula carregada no centro b Para determinar o campo elétrico no ponto P1 construímos uma esfera gaussiana passando pelo ponto O campo elétrico atravessa a superfície da esfera de dentro para fora O vetor área no mesmo ponto aponta para fora c Para determinar o campo elétrico no ponto P2 construímos uma esfera gaussiana passando pelo ponto O campo elétrico atravessa a superfície de fora para dentro enquanto o vetor área no mesmo ponto aponta para fora Considere um elemento de área da esfera na posição do ponto P1 O vetor elemento de área d aponta para fora os elementos de área sempre apontam para fora da superfície gaussiana e é perpendicular à superfície da esfera Assim o ângulo θ entre e d é zero O lado esquerdo da Eq 237 lei de Gauss se torna então em que na última passagem passamos o módulo E do campo elétrico para fora da integral porque tem o mesmo valor em todos os pontos da esfera gaussiana A integral restante é simplesmente uma receita para calcular a área total de todos os elementos de área da superfície esférica mas já sabemos que a área da superfície da esfera é 4πr2 Substituindo esses resultados a Eq 237 nos dá ε0E4πr2 qenv A única carga envolvida pela superfície gaussiana que passa por P1 é a carga da partícula Explicitando E e fazendo qenv 5e e r r1 600 102 m descobrimos que o módulo do campo elétrico no ponto P1 é Para determinar o campo elétrico no ponto P2 construímos uma esfera gaussiana com P2 na superfície Dessa vez a carga total envolvida pela esfera gaussiana é qenv q Q 5e 16e 11e Como a carga total é negativa os vetores campo elétrico atravessam a superfície gaussiana de fora para dentro como mostra a Fig 2310c Assim o ângulo θ entre e d é 180o e o produto escalar dos dois vetores é E dA cos 180o E dA Explicitando E na lei de Gauss e fazendo qenv 11e e r r2 1200 102 m obtemos Note que se tivéssemos usado um cubo gaussiano em vez de respeitar a simetria esférica do problema usando uma esfera gaussiana o módulo e o ângulo do campo elétrico seriam diferentes em cada ponto da superfície do cubo e o cálculo da integral se tornaria extremamente difícil Exemplo 2304 Uso da lei de Gauss para determinar uma carga elétrica Qual é a carga elétrica envolvida pelo cubo gaussiano do Exemplo 2302 IDEIACHAVE A carga envolvida por uma superfície fechada real ou imaginária está relacionada ao fluxo elétrico total que atravessa a superfície pela lei de Gauss dada pela Eq 236 ε0Φ qenv Fluxo Para usar a Eq 236 precisamos conhecer o fluxo que atravessa as seis faces do cubo Já conhecemos o fluxo que atravessa a face direita Φd 36 N m2C o fluxo que atravessa a face esquerda Φe 12 N m2C e o fluxo que atravessa a face de cima Φc 16 N m2C O cálculo do fluxo que atravessa a face de baixo é igual ao cálculo do fluxo que atravessa a face de cima exceto pelo fato de que agora o vetor área d aponta para baixo no sentido negativo do eixo y lembrese de que o vetor área sempre aponta para fora da superfície de Gauss Nesse caso d dAĵ e Φb 16 N m2C No caso da face dianteira d dA e no caso da fase traseira d dA Quando calculamos o produto escalar do campo elétrico 30xî 40ĵ por esses vetores área o resultado é zero e portanto o fluxo elétrico através das duas faces é nulo O fluxo total através das seis faces é portanto Φ 36 12 16 16 0 0 N m2C 24 N m2C Carga envolvida Finalmente usamos a lei de Gauss para calcular a carga qenv envolvida pelo cubo Assim o cubo envolve uma carga total positiva 233 UM CONDUTOR CARREGADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2314 Usar a relação entre a densidade superficial de carga σ e a área da superfície para calcular a carga de um condutor 2315 Saber que se uma carga em excesso positiva ou negativa for introduzida em um condutor isolado a carga se acumulará na superfície o interior do condutor permanecerá neutro 2316 Conhecer o valor do campo elétrico no interior de um condutor isolado 2317 No caso de um condutor com uma cavidade que contém um objeto carregado determinar a carga na superfície da cavidade e na superfície externa do condutor 2318 Explicar de que forma a lei de Gauss é usada para determinar o módulo E do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor com uma densidade superficial de carga uniforme σ 2319 No caso de uma superfície uniformemente carregada de um condutor conhecer a relação entre a densidade superficial de carga σ e o módulo E do campo elétrico nas vizinhanças do condutor e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico IdeiasChave Todas as cargas em excesso de um condutor isolado se concentram na superfície externa do condutor O campo no interior do um condutor carregado é zero e o campo elétrico nas proximidades do condutor é perpendicular à superfície e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga Um Condutor Carregado A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor a carga se concentra na superfície do condutor o interior do condutor permanece neutro Esse comportamento dos condutores é razoável já que cargas do mesmo sinal se repelem A ideia é que ao se acumularem na superfície as cargas em excesso se mantêm afastadas o máximo possível umas das outras Podemos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa afirmação A Fig 2311a mostra uma vista em corte de um pedaço de cobre pendurado por um fio isolante com uma carga em excesso q Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo da superfície do condutor Figura 2311 a Um pedaço de cobre com uma carga q pendurado por um fio isolante Uma superfície gaussiana é colocada logo abaixo da superfície do condutor b O pedaço de cobre agora possui uma cavidade Uma superfície gaussiana é colocada no interior do condutor perto da superfície da cavidade O campo elétrico no interior do condutor deve ser nulo se não fosse assim o campo exerceria uma força sobre os elétrons de condução elétrons livres que estão sempre presentes em um condutor e isso produziria uma corrente elétrica Em outras palavras haveria um movimento de cargas no interior do condutor Como não pode haver uma corrente perpétua em um condutor que não faz parte de um circuito elétrico o campo elétrico deve ser nulo Um campo elétrico interno existe durante certo tempo enquanto o condutor está sendo carregado Entretanto a carga adicional logo se distribui de tal forma que o campo elétrico interno se anula e as cargas param de se mover Quando isso acontece dizemos que as cargas estão em equilíbrio eletrostático Se é zero em todos os pontos do interior do pedaço de cobre deve ser zero em todos os pontos da superfície gaussiana já que a superfície escolhida embora esteja próxima da superfície fica no interior do pedaço de cobre Isso significa que o fluxo que atravessa a superfície gaussiana também é zero De acordo com a lei de Gauss portanto a carga total envolvida pela superfície de Gauss deve ser nula Como o excesso de carga não está no interior da superfície de Gauss só pode estar na superfície do condutor Um Condutor Carregado com uma Cavidade Interna A Fig 2311b mostra o mesmo condutor agora com uma cavidade interna É talvez razoável supor que ao removermos o material eletricamente neutro para formar a cavidade não mudamos a distribuição de carga nem a configuração dos campos elétricos que continuam sendo as mesmas da Fig 2311a Vamos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa conjectura Colocamos uma superfície gaussiana envolvendo a cavidade próximo da superfície no interior do condutor Como 0 no interior do condutor o fluxo através dessa superfície também é nulo Assim a superfície não pode envolver nenhuma carga A conclusão é que não existe carga em excesso na superfície da cavidade toda a carga em excesso permanece na superfície externa do condutor como na Fig 2311a Remoção do Condutor Suponha que por um passe de mágica fosse possível congelar as cargas em excesso na superfície do condutor talvez revestindoas com uma fina camada de plástico e que o condutor pudesse ser removido totalmente Isso seria equivalente a aumentar a cavidade da Fig 2311b até que ocupasse todo o condutor O campo elétrico não sofreria nenhuma alteração continuaria a ser nulo no interior da fina camada de carga e permaneceria o mesmo em todos os pontos do exterior Isso mostra que o campo elétrico é criado pelas cargas e não pelo condutor este constitui apenas um veículo para que as cargas assumam suas posições de equilíbrio O Campo Elétrico Externo Vimos que as cargas em excesso de um condutor isolado se concentram na superfície do condutor A menos que o condutor seja esférico porém essas cargas não se distribuem de modo uniforme Em outras palavras no caso de condutores não esféricos a densidade superficial de carga σ carga por unidade de área varia ao longo da superfície Em geral essa variação torna muito difícil determinar o campo elétrico criado por cargas superficiais a não ser nas proximidades da superfície pois nesse caso o campo elétrico pode ser determinado com facilidade usando a lei de Gauss Para isso consideramos uma região da superfície suficientemente pequena para que possamos desprezar a curvatura e usamos um plano para representar a região Em seguida imaginamos um pequeno cilindro gaussiano engastado na superfície como na Fig 2312 Uma das bases está do lado de dentro do condutor a outra base está do lado de fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor Figura 2312 a Vista em perspectiva e b vista lateral de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica engastada perpendicularmente no condutor envolve parte das cargas Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor mas não a base que está do lado de dentro A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é O campo elétrico na superfície e logo acima da superfície também é perpendicular à superfície Se não fosse ele teria uma componente paralela à superfície do condutor que exerceria forças sobre as cargas superficiais fazendo com que elas se movessem Esse movimento porém violaria nossa suposição implícita de que estamos lidando com um corpo em equilíbrio eletrostático Assim é perpendicular à superfície do condutor Vamos agora calcular o fluxo através da superfície gaussiana Não há fluxo através da base que se encontra dentro do condutor já que nessa região o campo elétrico é nulo Também não há fluxo através da superfície lateral do cilindro pois do lado de dentro do condutor o campo é nulo e do lado de fora o campo elétrico é paralelo à superfície lateral do cilindro Assim o único fluxo que atravessa a superfície gaussiana é o que atravessa a base que se encontra fora do condutor em que é perpendicular ao plano da base Supomos que a área da base A é suficientemente pequena para que o módulo E do campo seja constante em toda a base Nesse caso o fluxo através da base do cilindro é EA e esse é o fluxo total Φ que atravessa a superfície gaussiana A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana está na superfície do condutor e ocupa uma área A Se σ é a carga por unidade de área qenv é igual a σA Quando substituímos qenv por σA e Φ por EA a lei de Gauss Eq 236 se torna ε0EA σA e portanto Assim o módulo do campo elétrico logo acima da superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga do condutor Se a carga do condutor é positiva o campo elétrico aponta para fora do condutor como na Fig 2312 se é negativa o campo elétrico aponta para dentro do condutor As linhas de campo da Fig 2312 devem terminar em cargas negativas externas ao condutor Quando aproximamos essas cargas do condutor a densidade de carga local na superfície do condutor é modificada o que também acontece com o módulo do campo elétrico mas a relação entre σ e E continua a ser dada pela Eq 2311 Exemplo 2305 Casca metálica esférica campo elétrico e carga A Fig 2313a mostra uma seção reta de uma casca metálica esférica de raio interno R Uma partícula com uma carga de 50 μC está situada com o centro a uma distância R2 do centro da casca Se a casca é eletricamente neutra quais são as cargas induzidas na superfície interna e na superfície externa Essas cargas estão distribuídas uniformemente Qual é a configuração do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora da casca IDEIASCHAVE A Fig 2313b mostra uma seção reta de uma superfície gaussiana esférica no interior do metal perto da superfície interna da casca O campo elétrico é zero no interior do metal e portanto na superfície gaussiana que está no interior do metal Isso significa que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana também é zero De acordo com a lei de Gauss portanto a carga total envolvida pela superfície gaussiana é zero Raciocínio Como existe uma carga de 50 μC no interior da casca deve haver uma carga de 50 μC na superfície interna da casca para que a carga envolvida seja zero Se a partícula estivesse no centro de curvatura da casca as cargas positivas estariam distribuídas uniformemente ao longo da superfície interna da casca Como porém a partícula está fora do centro a distribuição de carga positiva é assimétrica como mostra a Fig 2313b as cargas positivas tendem a se concentrar na parte da superfície interna que está mais próxima da partícula já que a carga da partícula é negativa Como a casca é eletricamente neutra para que a superfície interna tenha uma carga de 50 μC é preciso que elétrons com uma carga total de 50 μC sejam transferidos da superfície interna para a superfície externa onde se distribuem uniformemente como mostra a Fig 2313b A distribuição de carga negativa é uniforme porque a casca é esférica e porque a distribuição assimétrica de carga positiva na superfície interna não pode produzir um campo elétrico no interior do metal para afetar a distribuição de carga na superfície externa Figura 2313 a Uma partícula com carga negativa está situada no interior de uma casca metálica esférica eletricamente neutra b Em consequência cargas positivas se distribuem de modo assimétrico na superfície interna da casca e uma quantidade igual de carga negativa se distribui uniformemente na superfície externa A Fig 2313b mostra também as linhas de campo do lado de dentro e do lado de fora da casca Todas as linhas de campo interceptam perpendicularmente as superfícies da casca e a superfície da partícula Do lado de dentro da casca a configuração de linhas de campo é assimétrica por causa da assimetria da distribuição de carga positiva Do lado de fora o padrão é o mesmo que se a carga pontual estivesse no centro de curvatura e a casca não existisse Na verdade a configuração seria a mesma para qualquer posição da carga pontual no interior da casca 234 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA CILÍNDRICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2320 Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo do campo elétrico do lado de fora de uma linha de carga ou do lado de fora da superfície de um cilindro de material isolante uma barra de plástico por exemplo com uma densidade linear de carga uniforme λ 2321 Conhecer a relação entre a densidade linear de carga λ em uma superfície cilíndrica e o módulo E do campo elétrico a uma distância r do eixo central da superfície cilíndrica 2322 Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo E do campo elétrico no interior de um cilindro isolante uma barra de plástico por exemplo com uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ IdeiaChave O campo elétrico em um ponto nas proximidades de uma linha de carga ou barra cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear de carga uniforme λ é perpendicular à linha e o módulo do campo é dado por em que r é a distância entre o ponto e a linha Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica A Fig 2314 mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva λ Vamos obter uma expressão para o módulo do campo elétrico a uma distância r do eixo da barra Poderíamos fazer isso usando o método do Capítulo 22 usar uma carga elementar dq que produziria um campo elementar d etc Entretanto a lei de Gauss permite resolver o problema de uma forma muito mais simples e mais elegante Figura 2314 Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva A distribuição de carga e a configuração do campo elétrico têm simetria cilíndrica Para calcular o campo a uma distância r envolvemos um trecho da barra com um cilindro gaussiano concêntrico de raio r e altura h Para determinar o campo elétrico em um ponto devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse ponto Em seguida usamos a lei de Gauss para relacionar a carga envolvida pelo cilindro ao fluxo total do campo elétrico através da superfície do cilindro Para começar observe que por causa da simetria o campo elétrico em qualquer ponto do espaço aponta radialmente para longe da barra porque a carga da barra é positiva se a carga fosse negativa o campo elétrico apontaria radialmente para o eixo da barra Isso significa que nas bases do cilindro o campo elétrico é paralelo à superfície e portanto o fluxo através das bases do cilindro é zero Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro note que em todos os elementos de área da superfície lateral o vetor área d aponta radialmente para longe do cilindro para fora da superfície gaussiana ou seja na mesma direção e no mesmo sentido que o campo elétrico Assim o produto escalar que aparece na lei de Gauss é simplesmente E dA cos 0o E dA e podemos passar E para fora da integral A integral restante é simplesmente uma receita para somar as áreas de todos os elementos de área da superfície lateral do cilindro mas já sabemos que o resultado é o produto da altura h do cilindro pela circunferência da base 2πr O fluxo total através do cilindro é portanto Φ EA cos θ E2 πrh cos 0 E2 πrh Do outro lado da lei de Gauss temos a carga qenv envolvida pelo cilindro Como a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento é uniforme a carga envolvida é λh Assim a lei de Gauss ε0Φ qenv ε0E2 πrh λh nos dá Esse é o campo elétrico produzido por uma linha de carga infinitamente longa em um ponto situado a uma distância r da linha O campo aponta radialmente para longe da linha de carga se a carga for positiva e radialmente na direção da linha de carga se a carga for negativa A Eq 2312 também fornece o valor aproximado do campo produzido por uma linha de carga finita em pontos não muito próximos das extremidades da linha em comparação com a distância da linha Se a barra possui uma densidade volumétrica de carga ρ uniforme podemos usar um método semelhante para calcular o módulo do campo elétrico no interior da barra Para isso basta reduzir o raio do cilindro gaussiano da Fig 2314 até que a superfície lateral do cilindro esteja no interior da barra Nesse caso como a densidade de carga é uniforme a carga qenv envolvida pelo cilindro será proporcional ao volume do cilindro Exemplo 2306 A lei de Gauss e uma descarga para cima em uma tempestade elétrica A mulher da Fig 2315 estava em uma plataforma de observação do Sequoia National Park quando uma grande nuvem de tempestade passou no céu Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem negativamente carregada Fig 2316a o que deixou o corpo da mulher positivamente carregado Observando a fotografia da Fig 2315 é possível concluir que o corpo da mulher está carregado já que os fios de cabelo se repelem mutuamente e se projetam para cima ao longo das linhas de campo elétrico produzidas pela carga do corpo Courtesea da NOAA Figura 2315 Uma nuvem de tempestade deixou esta mulher positivamente carregada A mulher não foi atingida por um relâmpago mas estava correndo um sério risco pois o campo elétrico estava a ponto de causar uma ruptura dielétrica no ar à sua volta Essa ruptura teria ocorrido ao longo de uma trajetória ascendente o que é chamado de descarga para cima Uma descarga para cima é perigosa porque a ionização que produz nas moléculas do ar libera um grande número de elétrons Se a mulher da Fig 2315 tivesse provocado uma descarga para cima os elétrons livres do ar teriam sido atraídos para o seu corpo Fig 2316b produzindo um choque possivelmente fatal Um choque elétrico é perigoso porque dependendo da intensidade pode interromper a respiração ou os batimentos cardíacos além de causar queimaduras Vamos modelar o corpo da mulher como um cilindro vertical estreito de altura L 18 m e raio R 010 m Fig 2316c Suponha que a carga Q esteja uniformemente distribuída ao longo do cilindro e que a ruptura dielétrica ocorra quando o módulo do campo elétrico excede o valor crítico Ec 24 MNC Para qual valor de Q o ar em volta da mulher está a ponto de sofrer uma ruptura dielétrica IDEIASCHAVE Como R L podemos aproximar a distribuição de carga por uma linha comprida de carga Além disso como estamos supondo que a distribuição de carga é uniforme o módulo do campo elétrico é dado aproximadamente pela Eq 2312 E λ2πε0r Cálculos Substituindo o campo elétrico E pelo valor crítico Ec a distância radial r pelo raio do cilindro R e a densidade linear de carga λ pela razão QL temos ou Substituindo as constantes por valores numéricos temos Figura 2316 a Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem negativamente carregada o que deixou o corpo positivamente carregado b Em uma descarga para cima o ar sofre uma ruptura dielétrica permitindo que elétrons livres criados no ar sejam atraídos para o corpo da mulher c O corpo da mulher pode ser representado por um cilindro 235 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA PLANAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2323 Usar a lei de Gauss para calcular o módulo E do campo elétrico nas proximidades de uma superfície plana isolante de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga uniforme σ 2324 No caso de pontos nas proximidades de uma superfície plana isolante de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga uniforme σ conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico 2325 No caso de pontos nas proximidades de duas superfícies planas condutoras de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga σ conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal das cargas e o sentido do campo elétrico IdeiasChave O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com uma densidade superficial de carga σ é perpendicular ao plano da placa e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga da placa O campo elétrico entre duas placas condutoras carregadas é perpendicular ao plano das placas e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga das placas Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar Placa Isolante A Fig 2317 mostra uma parte de uma placa fina infinita isolante com uma densidade superficial de carga positiva σ Uma folha de plástico com uma das superfícies uniformemente carregada pode ser um bom modelo Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r da placa Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de problema é um cilindro com o eixo perpendicular à placa e com uma base de cada lado da placa como mostra a figura Por simetria é perpendicular à placa e portanto às bases do cilindro Além disso como a carga é positiva aponta para longe da placa e portanto as linhas de campo elétrico atravessam as duas bases do cilindro no sentido de dentro para fora Como as linhas de campo são paralelas à superfície lateral do cilindro o produto d é nulo nessa parte da superfície gaussiana Assim d é igual a E dA nas bases do cilindro e é igual a zero na superfície lateral Nesse caso a lei de Gauss nos dá Figura 2317 a Vista em perspectiva e b vista lateral de uma pequena parte de uma placa de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica com o eixo perpendicular à placa e uma base de cada lado da placa envolve parte das cargas em que σA é a carga envolvida pela superfície gaussiana Explicitando E obtemos Como estamos considerando uma placa infinita com uma densidade de carga uniforme esse resultado é válido para qualquer ponto que esteja a uma distância finita da placa A Eq 2313 é igual à Eq 2227 que foi obtida por integração das componentes do campo elétrico produzido por elementos de carga Duas Placas Condutoras A Fig 2318a mostra uma vista de perfil de uma placa condutora fina infinita com um excesso de carga positiva Como vimos no Módulo 233 a carga em excesso está na superfície da placa Como a placa é fina e muito extensa podemos supor que praticamente toda a carga em excesso está nas duas faces maiores da placa Se não existe um campo elétrico externo para forçar as cargas positivas a assumirem determinada distribuição as cargas se distribuem uniformemente nas duas faces com uma densidade superficial de carga σ1 De acordo com a Eq 2311 essas cargas criam nas proximidades da superfície um campo elétrico de módulo E σ1ε0 Como a carga em excesso é positiva o campo aponta para longe da placa A Fig 2318b mostra uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa e uma densidade superficial de carga com o mesmo valor absoluto σ1 A única diferença é que agora o campo aponta na direção da placa Suponha que as placas das Figs 2318a e 2318b sejam colocadas lado a lado Fig 2318c Como as placas são condutoras quando as aproximamos as cargas em excesso de uma placa atraem as cargas em excesso da outra e todas as cargas em excesso se concentram na superfície interna das placas como mostra a Fig 2318c Como existe agora uma quantidade de carga duas vezes maior nas superfícies internas a nova densidade superficial de carga que vamos chamar de σ nas faces internas é 2σ1 Assim o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre as placas é dado por Esse campo aponta para longe da placa positiva e na direção da placa negativa Como não existe excesso de carga nas faces externas o campo elétrico do lado de fora das placas é zero Como as cargas das placas se moveram quando as placas foram aproximadas a Fig 2318c não é a superposição das Figs 2318a e 2318b em outras palavras a distribuição de carga no sistema de duas placas não é simplesmente a soma das distribuições de carga das placas isoladas A razão pela qual nos damos ao trabalho de discutir situações tão pouco realistas como os campos produzidos por uma placa infinita carregada e um par de placas infinitas carregadas é que a análise de situações infinitas permite obter boas aproximações para problemas reais Assim a Eq 2313 vale também para uma placa isolante finita contanto que estejamos lidando com pontos próximos da placa e razoavelmente distantes das bordas A Eq 2314 se aplica a um par de placas condutoras finitas contanto que não estejamos lidando com pontos muito próximos das bordas O problema das bordas de uma placa e o motivo pelo qual procuramos na medida do possível nos manter afastados delas é que perto de uma borda não podemos usar a simetria planar para determinar as expressões dos campos Perto da borda as linhas de campo são curvas é o chamado efeito de borda e os campos elétricos são muito difíceis de expressar matematicamente Figura 2318 a Uma placa condutora fina infinita com um excesso de carga positiva b Uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa c As duas placas colocadas lado a lado Exemplo 2307 Campo elétrico nas proximidades de duas placas isolantes carregadas paralelas A Fig 2319a mostra partes de duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo Os valores das densidades superficiais de carga são σ 68 μCm2 para a placa positivamente carregada e σ 43 μCm2 para a placa negativamente carregada Determine o campo elétrico a à esquerda das placas b entre as placas e c à direita das placas IDEIACHAVE Como as cargas estão fixas as placas são isolantes podemos determinar os campos elétricos produzidos pelas placas da Fig 23 19a 1 calculando o campo de cada placa como se a outra não existisse e 2 somando algebricamente os resultados Não há necessidade de usar uma soma vetorial porque os campos são paralelos Cálculos Em qualquer ponto o campo elétrico produzido pela placa positiva aponta para longe da placa e de acordo com a Eq 2313 tem o módulo dado por Em qualquer ponto o campo elétrico produzido pela placa negativa aponta na direção da placa e tem um módulo dado por A Fig 2319b mostra os campos criados pelas placas à esquerda das placas E entre as placas C e à direita das placas D Os campos resultantes nas três regiões podem ser obtidos usando o princípio de superposição À esquerda o módulo do campo é Figura 2319 a Duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo b Campos elétricos criados pelas duas placas c Campo total criado pelas duas placas obtido por superposição Como E é maior que E o campo elétrico total E nessa região aponta para a esquerda como mostra a Fig 2319c À direita das placas o campo elétrico D tem o mesmo módulo mas aponta para a direita como mostra a Fig 2319c Entre as placas os dois campos se somam e temos O campo elétrico C aponta para a direita 236 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA ESFÉRICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2326 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no centro da casca 2327 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não exerce nenhuma força eletrostática sobre uma partícula carregada situada no interior da casca 2328 No caso de um ponto situado do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a carga q da casca e a distância r entre o ponto e o centro da casca 2329 No caso de um ponto situado no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga conhecer o valor do módulo E do campo elétrico 2330 No caso de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga determinar o módulo e a orientação do campo elétrico em pontos no interior da esfera e do lado de fora da esfera IdeiasChave Em um ponto do lado de fora de uma casca esférica com uma carga q distribuída uniformemente o campo elétrico produzido pela casca é radial orientado para fora da casca ou na direção do centro da casca dependendo do sinal da carga e o módulo do campo é dado pela equação em que r é a distância entre o ponto e o centro da casca O campo seria o mesmo se toda a carga estivesse concentrada no centro da casca Em todos os pontos do interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga o campo elétrico criado pela casca é zero Em um ponto do interior de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga o campo elétrico é radial e o módulo do campo é dado pela equação em que q é a carga da esfera R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto e o centro da esfera Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica Vamos agora usar a lei de Gauss para demonstrar os dois teoremas das cascas que foram apresentados no Módulo 211 O primeiro diz o seguinte Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca A Fig 2320 mostra uma casca esférica carregada de raio R com uma carga total q e duas superfícies gaussianas concêntricas S1 e S2 Quando usamos o método do Módulo 232 e aplicamos a lei de Gauss à superfície S2 para a qual r R o resultado é o seguinte Figura 2320 Vista em seção reta de uma casca esférica fina uniformemente carregada com uma carga total q Duas superfícies gaussianas S1 e S2 também são mostradas A superfície S2 envolve a casca e a superfície S1 envolve apenas a cavidade vazia que existe no interior da casca Esse campo é igual ao que seria criado por uma carga pontual q localizada no centro da casca Assim a força que uma casca de carga q exerce sobre uma partícula carregada situada do lado de fora da casca é a mesma que a força exercida por uma partícula pontual de carga q situada no centro da casca Fica assim demonstrado o primeiro teorema das cascas O segundo teorema das cascas diz o seguinte Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca Aplicando a lei de Gauss à superfície S1 para a qual r R obtemos já que a superfície S1 não envolve nenhuma carga Assim se existe uma partícula carregada no interior da casca a casca não exerce nenhuma força sobre a partícula Fica assim demonstrado o segundo teorema das cascas Toda distribuição de carga esfericamente simétrica como a distribuição de raio R e densidade volumétrica de carga ρ da Fig 2321 pode ser substituída por um conjunto de cascas esféricas concêntricas Para fins de aplicação dos dois teoremas das cascas a densidade volumétrica de carga ρ deve ter um valor único para cada casca mas não precisa ser a mesma para todas as cascas Assim para a distribuição de carga como um todo ρ pode variar mas apenas em função de r a distância radial a partir do centro de curvatura Podemos portanto caso seja necessário examinar o efeito da distribuição de carga camada por camada Na Fig 2321a todas as cargas estão no interior de uma superfície gaussiana com r R As cargas produzem um campo elétrico na superfície gaussiana como se houvesse apenas uma carga pontual situada no centro e a Eq 2315 pode ser aplicada A Fig 2321b mostra uma superfície gaussiana com r R Para determinar o campo elétrico em pontos da superfície gaussiana consideramos dois conjuntos de cascas carregadas um conjunto do lado de dentro da superfície gaussiana e outro conjunto do lado de fora De acordo com a Eq 2316 as cargas do lado de fora da superfície gaussiana não criam um campo elétrico na superfície gaussiana De acordo com a Eq 2315 as cargas do lado de dentro da superfície gaussiana criam o mesmo campo que uma carga pontual de mesmo valor situada no centro Chamando essa carga de q podemos escrever a Eq 23 15 na forma Figura 2321 Os pontos representam uma esfera feita de material isolante com uma distribuição de carga de simetria esférica e raio R cuja densidade volumétrica de carga ρ é função apenas da distância do centro Uma superfície gaussiana concêntrica com r R é mostrada em a Uma superfície gaussiana semelhante com r R é mostrada em b Uma vez que a distribuição de carga no interior da esfera de raio R é uniforme podemos calcular a carga q envolvida por uma superfície esférica de raio r Fig 2321b usando a seguinte relação ou o que nos dá Substituindo na Eq 2317 obtemos Teste 4 A figura mostra duas placas de grande extensão paralelas isolantes com densidades superficiais de carga iguais uniformes e positivas e uma esfera com uma densidade volumétrica de carga uniforme e positiva Coloque em ordem decrescente os quatro pontos numerados de acordo com o módulo do campo elétrico existente no local Revisão e Resumo Lei de Gauss A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a relação entre carga e campo elétrico em situações estáticas A lei de Gauss é expressa pela equação em que qenv é a carga total no interior de uma superfície imaginária fechada conhecida como superfície gaussiana e Φ é o fluxo total do campo elétrico através da superfície A lei de Coulomb pode ser demonstrada a partir da lei de Gauss Aplicações da Lei de Gauss Usando a lei de Gauss e em alguns casos princípios de simetria é possível demonstrar várias propriedades importantes de sistemas eletrostáticos entre as quais as 1 2 3 4 5 6 seguintes As cargas em excesso de um condutor estão concentradas na superfície externa do condutor O campo elétrico externo nas vizinhanças da superfície de um condutor carregado é perpendicular à superfície e tem um módulo dado por em que σ é a densidade superficial de carga No interior do condutor E 0 O campo elétrico produzido em um ponto do espaço por uma linha de carga infinita com densidade linear de carga uniforme λ é perpendicular à linha de carga e tem um módulo dado por em que r é a distância entre o ponto e a linha de carga O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com densidade superficial de carga uniforme σ é perpendicular ao plano da placa e tem um módulo dado por O campo elétrico em um ponto do lado de fora de uma casca esférica uniformemente carregada de raio R e carga total q aponta na direção radial e tem um módulo dado por em que r é a distância entre o ponto e o centro da casca A carga se comporta para pontos externos como se estivesse concentrada no centro da esfera O campo do lado de dentro de uma casca esférica uniformemente carregada é zero O campo elétrico em um ponto no interior de uma esfera uniformemente carregada aponta na direção radial e tem um módulo dado por em que q é a carga da esfera R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto e o centro da casca Perguntas 1 O vetor área de uma superfície é 2î 3ĵ m2 Qual é o fluxo de um campo elétrico através da superfície se o campo é a 4î NC e b 4 NC 2 A Fig 2322 mostra em seção reta três cilindros maciços de comprimento L e carga uniforme Q Concêntrica com cada cilindro existe uma superfície gaussiana cilíndrica as três superfícies gaussianas têm o mesmo raio Coloque as superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície Figura 2322 Pergunta 2 3 A Fig 2323 mostra em seção reta uma esfera central metálica duas cascas metálicas e três superfícies gaussianas esféricas concêntricas de raio R 2R e 3R As cargas dos três corpos distribuídas uniformemente são as seguintes esfera Q casca menor 3Q casca maior 5Q Coloque as três superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície Figura 2323 Pergunta 3 4 A Fig 2324 mostra em seção reta duas esferas gaussianas e dois cubos gaussianos no centro dos quais existe uma partícula de carga positiva a Coloque as quatro superfícies gaussianas em ordem decrescente do fluxo elétrico que as atravessa b Coloque as quatro superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície e informe se os módulos são uniformes ou variam de ponto para ponto da superfície Figura 2324 Pergunta 4 5 Na Fig 2325 um elétron é liberado entre duas placas infinitas isolantes horizontais com densidades superficiais de carga σ e σ como mostra a figura O elétron é submetido às três situações mostradas na tabela a seguir que envolvem as densidades superficiais de carga e a distância entre as placas Coloque as situações em ordem decrescente do módulo da aceleração do elétron Situação σ σ Distância 1 4σ 4σ d 2 4σ σ 4d 3 4σ 5σ 9d Figura 2325 Pergunta 5 6 Três placas infinitas isolantes com densidades superficiais de carga positivas σ 2σ e 3σ foram alinhadas paralelamente como as duas barras da Fig 2319a Qual é a ordem das placas da esquerda para a direita se o campo elétrico produzido pelas barras tem módulo E 0 em uma região e E 2σε0 em outra região 7 A Fig 2326 mostra as seções retas de quatro conjuntos de barras finas e muito compridas perpendiculares ao plano da figura O valor abaixo de cada barra indica a densidade linear uniforme de carga da barra em microcoulombs por metro As barras estão separadas por distâncias d ou 2d e um ponto central é mostrado a meio caminho entre as barras internas Coloque os conjuntos em ordem decrescente do módulo do campo elétrico no ponto central Figura 2326 Pergunta 7 8 A Fig 2327 mostra quatro esferas maciças todas com uma carga Q distribuída uniformemente a Coloque as esferas em ordem decrescente de acordo com a densidade volumétrica de carga A figura mostra também um ponto P para cada esfera todos à mesma distância do centro da esfera b Coloque as esferas em ordem decrescente de acordo com o módulo do campo elétrico no ponto P Figura 2327 Pergunta 8 9 Uma pequena esfera carregada está no interior de uma casca esférica metálica de raio R Para três situações as cargas da esfera e da casca respectivamente são 1 4q 0 2 6q 10q 3 16q 12q Coloque as situações em ordem decrescente de acordo com a carga a da superfície interna da casca e b da superfície externa da casca 10 Coloque em ordem decrescente as situações da Pergunta 9 de acordo com o módulo do campo elétrico a no centro da casca e b em um ponto a uma distância 2R do centro da casca 11 A Fig 2328 mostra uma parte de três longos cilindros carregados com o mesmo eixo O cilindro central A tem uma carga uniforme qA 3q0 Que cargas uniformes devem ter os cilindros qB e qC para que se for possível o campo elétrico total seja zero a no ponto 1 b no ponto 2 e c no ponto 3 Figura 2328 Pergunta 11 12 A Fig 2329 mostra quatro superfícies gaussianas de mesma superfície lateral cilíndrica e bases diferentes As superfícies estão em uma região onde existe um campo elétrico uniforme paralelo ao eixo central dos cilindros As formas das bases são as seguintes S1 hemisférios convexos S2 hemisférios côncavos S3 cones S4 discos planos Coloque as superfícies em ordem decrescente de acordo a com o fluxo elétrico total e b com o fluxo elétrico através das bases superiores Figura 2329 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 231 Fluxo Elétrico 1 A superfície quadrada da Fig 2330 tem 32 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 1800 NC e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35o com a normal como mostra a figura Tome essa normal como apontando para fora como se a superfície fosse a tampa de uma caixa Calcule o fluxo elétrico através da superfície Figura 2330 Problema 1 2 Um campo elétrico dado por 40î 30y2 20ĵ em que está em newtons por coulomb e y está em metros atravessa um cubo gaussiano com 20 m de aresta posicionado da forma mostrada na Fig 237 Determine o fluxo elétrico a através da face superior b através da face inferior c através da face da esquerda e d através da face traseira e Qual é o fluxo elétrico total através do cubo 3 O cubo da Fig 2331 tem 140 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura em uma região onde existe um campo elétrico uniforme Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico em newtons por coulomb é dado por a 600î b 200ĵ e c 300î 400 d Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos Figura 2331 Problemas 3 6 e 9 Módulo 232 Lei de Gauss 4 Na Fig 2332 uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 30 mNC com o aro um círculo de raio a 11 cm perpendicular à direção do campo A rede é eletricamente neutra Determine o fluxo elétrico através da rede Figura 2332 Problema 4 5 Na Fig 2333 um próton está uma distância d2 do centro de um quadrado de aresta d Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado Sugestão Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d Figura 2333 Problema 5 6 Em todos os pontos da superfície do cubo da Fig 2331 o campo elétrico é paralelo ao eixo z O cubo tem 30 m de aresta Na face superior do cubo 34 NC na face inferior 20 NC Determine a carga que existe no interior do cubo 7 Uma carga pontual de 18 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica de 55 cm de aresta Qual é o fluxo elétrico através da superfície 8 Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 NC Considere um banheiro de dimensões 25 m 30 m 20 m Suponha que no teto no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de 600 NC Suponha também que o teto o piso e as paredes formem uma superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro Determine a a densidade volumétrica de carga ρ e b o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar 9 A Fig 2331 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo com 140 m de aresta Determine a o fluxo Φ através da superfície e b a carga qenv envolvida pela superfície se 300yĵ NC com y em metros os valores de c Φ e d qenv se 400î 600 300yĵ NC 10 A Fig 2334 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 200 m de aresta imersa em um campo elétrico dado por 300x 400î 600ĵ 700 NC com x em metros Qual é a carga total contida no cubo Figura 2334 Problema 10 11 A Fig 2335 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 200 m de aresta com um vértice no ponto x1 500 m y1 400 m O cubo está imerso em um campo elétrico dado por 300î 400y2ĵ 300 NC com y em metros Qual é a carga total contida no cubo Figura 2335 Problema 11 12 A Fig 2336 mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de 60 μCm2 na superfície externa e um raio de 30 cm a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme de 40 μCm2 na superfície externa e um raio de 20 cm os centros das cascas estão separados por uma distância L 10 cm Qual é o campo elétrico no ponto x 20 cm na notação dos vetores unitários Figura 2336 Problema 12 13 Observase experimentalmente que o campo elétrico em uma região da atmosfera terrestre aponta verticalmente para baixo A uma altitude de 300 m o campo tem um módulo de 600 NC a uma altitude de 200 m o módulo é 100 NC Determine a carga em excesso contida em um cubo com 100 m de aresta e faces horizontais a 200 e 300 m de altitude 14 Fluxo e cascas isolantes Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas muito finas feitas de um material isolante A Fig 2337a mostra uma seção reta do sistema e a Fig 2337b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 N m2C a Determine a carga da partícula central b Determine a carga da casca A c Determine a carga da casca B Figura 2337 Problema 14 15 Uma partícula de carga q é colocada em um dos vértices de um cubo gaussiano Determine o múltiplo de qε0 que corresponde ao fluxo a através de uma das faces do cubo que contêm o vértice e b através de uma das outras faces do cubo 16 A superfície gaussiana em forma de paralelepípedo da Fig 2338 envolve uma carga de 240ε0 C e está imersa em um campo elétrico que é fornecido por 100 200xî 300ĵ bz NC com x e z em metros e b uma constante A face inferior está no plano xz a face superior está no plano horizontal que passa pelo ponto y2 100 m Qual é o valor de b para x1 100 m x2 400 m z1 100 m e z2 300 m Figura 2338 Problema 16 Módulo 233 Um Condutor Carregado 17 Uma esfera condutora uniformemente carregada com 12 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga 81 μCm2 Determine a a carga da esfera e b o fluxo elétrico através da superfície da esfera 18 O campo elétrico nas vizinhanças da superfície lateral de um cilindro condutor tem um módulo E de 23 105 NC Qual é a densidade superficial de carga do cilindro 19 Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar um número significativo de elétrons O acúmulo de carga resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o funcionamento de alguns circuitos Suponha que um satélite esférico feito de metal com 13 m de diâmetro acumule 24 μC de carga a Determine a densidade superficial de carga do satélite b Calcule o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial 20 Fluxo e cascas condutoras Uma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutoras concêntricas cuja seção reta aparece na Fig 2339a A Fig 2339b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 N m2C Determine a a carga da partícula central b a carga da casca A e c a carga da casca B Figura 2339 Problema 20 21 Um condutor possui uma carga de 10 106 C No interior do condutor existe uma cavidade no interior da cavidade está uma carga pontual q 30 106 C Determine a carga a da superfície da cavidade e b da superfície externa do condutor Módulo 234 Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica 22 Um elétron é liberado a partir do repouso a 90 cm de distância de uma barra isolante retilínea muito longa com uma densidade de carga uniforme de 60 μC por metro Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron 23 a O cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 42 cm e um diâmetro de 12 cm O campo elétrico nas proximidades da superfície do cilindro é 23 105 NC Qual é a carga total do cilindro b O fabricante deseja produzir uma versão compacta da máquina Para isso é necessário reduzir o comprimento do cilindro para 28 cm e o diâmetro para 80 cm O campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo Qual deve ser a carga do novo cilindro 24 A Fig 2340 mostra uma seção de um tubo longo de metal de parede finas com raio R 300 cm e carga por unidade de comprimento λ 200 108 Cm Determine o módulo E do campo elétrico a uma distância radial a r R200 e b r 200R c Faça um gráfico de E em função de r para 0 r 200R Figura 2340 Problema 24 25 Uma linha infinita de carga produz um campo de módulo 45 104 NC a uma distância de 20 m Calcule a densidade linear de carga 26 A Fig 2341a mostra um cilindro fino maciço carregado e uma casca cilíndrica coaxial também carregada Os dois objetos são feitos de material isolante e possuem uma densidade superficial de carga uniforme na superfície externa A Fig 2341b mostra a componente radial E do campo elétrico em função da distância radial r a partir do eixo comum A escala do eixo vertical é definida por Es 30 103 NC Qual é a densidade linear de carga da casca Figura 2341 Problema 26 27 Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de 36 nCm O fio é envolvido por uma casca coaxial cilíndrica isolante de paredes finas com 15 cm de raio A casca possui uma carga positiva na superfície externa com uma densidade superficial σ que anula o campo elétrico do lado de fora da casca Determine o valor de σ 28 Uma carga de densidade linear uniforme 20 nCm está distribuída ao longo de uma barra longa fina isolante A barra está envolvida por uma casca longa cilíndrica coaxial condutora raio interno 50 cm raio externo 10 cm A carga da casca é zero a Determine o módulo do campo elétrico a 15 cm de distância do eixo da casca b Determine a densidade superficial de carga na superfície interna e c na superfície externa da casca 29 A Fig 2342 é uma seção de uma barra condutora de raio R1 130 mm e comprimento L 1100 m no interior de uma casca coaxial de paredes finas de raio R2 100R1 e mesmo comprimento L A carga da barra é Q1 340 1012 C a carga da casca é Q2 200Q1 Determine a o módulo E e b a direção para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 200R2 Determine c E e d a direção do campo elétrico para r 500R1 Determine a carga e na superfície interna e f na superfície externa da casca Figura 2342 Problema 29 30 A Fig 2343 mostra pequenas partes de duas linhas de carga paralelas muito compridas separadas por uma distância L 80 cm A densidade uniforme de carga das linhas é 60 μCm para a linha 1 e 20 μCm para a linha 2 Em que ponto do eixo x o campo elétrico é zero Figura 2343 Problema 30 31 Duas cascas cilíndricas longas carregadas coaxiais de paredes finas têm 30 e 60 m de raio A carga por unidade de comprimento é 50 106 Cm na casca interna e 70 106 Cm na casca externa Determine a o módulo E e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 40 cm Determine c o módulo E e d o sentido do campo elétrico para r 80 cm 32 Um cilindro maciço longo isolante com 40 cm de raio possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme ρ que é uma função da distância radial r a partir do eixo do cilindro ρ Ar2 Se A 25 μCm5 determine o módulo do campo elétrico a para r 30 cm e b para r 50 cm Módulo 235 Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar 33 Na Fig 2344 duas placas finas condutoras de grande extensão são mantidas paralelas a uma pequena distância uma da outra Nas faces internas as placas têm densidades superficiais de carga de sinais opostos e valor absoluto 700 1022 Cm2 Determine o campo elétrico na notação dos vetores unitários a à esquerda das placas b à direita das placas e c entre as placas Figura 2344 Problema 33 34 Na Fig 2345 um pequeno furo circular de raio R 180 cm foi aberto no meio de uma placa fina infinita isolante com uma densidade superficial de carga σ 450 pCm2 O eixo z cuja origem está no centro do furo é perpendicular à placa Determine na notação dos vetores unitários o campo elétrico no ponto P situado em z 256 cm Sugestão Use a Eq 2226 e o princípio de superposição Figura 2345 Problema 34 35 A Fig 2346a mostra três placas de plástico de grande extensão paralelas e uniformemente carregadas A Fig 2346b mostra a componente x do campo elétrico em função de x A escala do eixo vertical é definida por Es 60 105 NC Determine a razão entre a densidade de carga na placa 3 e a densidade de carga na placa 2 Figura 2346 Problema 35 36 A Fig 2347 mostra as seções retas de duas placas de grande extensão paralelas isolantes positivamente carregadas ambas com uma distribuição superficial de carga σ 177 1022 Cm2 Determine o campo elétrico na notação dos vetores unitários a acima das placas b entre as placas e c abaixo das placas Figura 2347 Problema 36 37 Uma placa metálica quadrada de 80 cm de lado e espessura insignificante possui uma carga total de 60 106 C a Estime o valor do módulo E do campo elétrico perto do centro da placa a 050 mm do centro por exemplo supondo que a carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da placa b Estime o valor de E a 30 m de distância uma distância grande em comparação com as dimensões da placa supondo que a placa é uma carga pontual 38 Na Fig 2348a um elétron é arremessado verticalmente para cima com uma velocidade vs 20 105 ms a partir das vizinhanças de uma placa uniformemente carregada A placa é isolante e muito extensa A Fig 2348b mostra a velocidade escalar v em função do tempo t até o elétron voltar ao ponto de partida Qual é a densidade superficial de carga da placa Figura 2348 Problema 38 39 Na Fig 2349 uma pequena esfera isolante de massa m 10 mg e carga q 20 108 C distribuída uniformemente em todo o volume está pendurada em um fio isolante que faz um ângulo θ 30o com uma placa vertical isolante uniformemente carregada vista em seção reta Considerando a força gravitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão calcule a densidade superficial de carga σ da placa Figura 2349 Problema 39 40 A Fig 2350 mostra uma placa isolante muito extensa que possui uma densidade superficial de carga uniforme σ 200 μCm2 a figura mostra também uma partícula de carga Q 600 μC a uma distância d da placa Ambas estão fixas no lugar Se d 0200 m para qual coordenada a positiva e b negativa do eixo x além do infinito o campo elétrico total tot é zero c Se d 0800 m para qual coordenada do eixo x o campo tot é zero Figura 2350 Problema 40 41 Um elétron é arremessado na direção do centro de uma placa metálica que possui uma densidade superficial de carga de 20 106 Cm2 Se a energia cinética inicial do elétron é 160 1017 J e o movimento do elétron muda de sentido devido à repulsão eletrostática da placa a uma distância insignificante da placa de que distância da placa o elétron foi arremessado 42 Duas grandes placas de metal com 10 m2 de área são mantidas paralelas a 50 cm de distância e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfícies internas Se o módulo E do campo elétrico entre as placas é 55 NC qual é o valor absoluto da carga em cada placa Despreze o efeito de borda 43 A Fig 2351 mostra uma seção reta de uma placa isolante muito extensa com uma espessura d 940 mm e uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 580 fCm3 A origem do eixo x está no centro da placa Determine o módulo do campo elétrico a em x 0 b em x 200 mm c em x 470 mm e d em x 260 mm Figura 2351 Problema 43 Módulo 236 Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica 44 A Fig 2352 mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga positiva em função da distância do centro da esfera A escala do eixo vertical é definida por Es 50 107 NC Qual é a carga da esfera Figura 2352 Problema 44 45 Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 100 cm e 150 cm A carga da casca menor é 400 108 C e a da casca maior é 200 108 C Determine o campo elétrico a em r 120 cm e b em r 200 cm 46 Uma esfera isolante carregada de raio R possui uma densidade de carga negativa uniforme exceto por um túnel estreito que atravessa totalmente a esfera passando pelo centro Um próton pode ser colocado em qualquer ponto do túnel ou de um prolongamento do túnel Seja FR o módulo da força eletrostática a que é submetido o próton quando está na superfície da esfera Determine em termos de R a que distância da superfície fica o ponto no qual o módulo da força é 050FR quando o próton se encontra a em um prolongamento do túnel e b dentro do túnel 47 Uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga desconhecida Se o módulo do campo elétrico a 15 cm do centro da esfera é 30 103 NC e o campo aponta para o centro da esfera qual é a carga da esfera 48 Uma partícula carregada é mantida fixa no centro de uma casca esférica A Fig 2353 mostra o módulo E do campo elétrico em função da distância radial r A escala do eixo vertical é definida por Es 100 107 NC Estime o valor da carga da casca Figura 2353 Problema 48 49 Na Fig 2354 uma esfera maciça de raio a 200 cm é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b 200a e raio externo c 240a A esfera possui carga uniforme q1 500 fC e a casca uma carga q2 q1 Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r 230a e f em r 350a Determine a carga g na superfície interna e h na superfície externa da casca Figura 2354 Problema 49 50 A Fig 2355 mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar no eixo x A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme 40 μCm2 na superfície externa e um raio de 050 cm enquanto a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme 20μCm2 na superfície externa e um raio de 200 cm a distância entre os centros é L 60 cm Determine os pontos do eixo x além do infinito em que o campo elétrico é zero Figura 2355 Problema 50 51 Na Fig 2356 uma casca esférica isolante com um raio interno a 200 cm e um raio externo b 240 cm possui uma densidade volumétrica uniforme de carga positiva ρ Ar em que A é uma constante e r é a distância em relação ao centro da casca Além disso uma pequena esfera de carga q 450 fC está situada no centro da casca Qual deve ser o valor de A para que o campo elétrico no interior da casca a r b seja uniforme Figura 2356 Problema 51 52 A Fig 2357 mostra uma casca esférica com uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 184 nCm3 raio interno a 100 cm e raio externo b 200a Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r b e f em r 300b Figura 2357 Problema 52 53 Uma esfera isolante de raio R 560 cm possui uma distribuição de carga não uniforme ρ 141 pCm3rR em que r é a distância do centro da esfera a Determine a carga da esfera b Determine o módulo E do campo elétrico em r 0 c em r R200 e d em r R e Faça um gráfico de E em função de r 54 A Fig 2358 mostra em seção reta duas esferas de raio R com distribuições volumétricas uniformes de carga O ponto P está na reta que liga os centros das esferas a uma distância R200 do centro da esfera 1 Se o campo elétrico no ponto P é zero qual é a razão q2q1 entre a carga da esfera 2 e a carga da esfera 1 Figura 2358 Problema 54 55 Uma distribuição de carga não uniforme de simetria esférica produz um campo elétrico de módulo E Kr4 em que K é uma constante e r é a distância do centro da esfera O campo aponta para longe do centro da esfera Qual é a distribuição volumétrica de carga ρ Problemas Adicionais 56 O campo elétrico em uma região do espaço é dado por x 2î NC com x em metros Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio 20 cm coaxial com o eixo x Uma das bases do cilindro está em x 0 a Determine o valor absoluto do fluxo elétrico através da outra base do cilindro situada em x 20 m b Determine a carga no interior do cilindro 57 Uma esfera metálica de espessura insignificante tem um raio de 250 cm e uma carga de 200 107 C Determine o valor de E a no interior da esfera b junto à superfície da esfera e c a 300 m de distância do centro da esfera 58 Uma placa infinita de espessura insignificante situada no plano xy possui uma densidade superficial de carga uniforme ρ 80 nCm2 Determine o fluxo elétrico através de uma esfera gaussiana com centro na origem e 50 cm de raio 59 Uma placa infinita que ocupa o espaço entre os planos x 50 cm e x 50 cm tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 12 nCm3 Determine o módulo do campo elétrico a no plano x 40 cm b no plano x 60 cm 60 O mistério do chocolate em pó Explosões provocadas por descargas elétricas centelhas constituem um sério perigo nas indústrias que lidam com pós muito finos Uma dessas explosões aconteceu em uma fábrica de biscoitos na década de 1970 Os operários costumavam esvaziar os sacos de chocolate em pó que chegavam à fábrica em uma bandeja da qual o material era transportado por canos de plástico até o silo onde era armazenado No meio do percurso duas condições para que uma explosão ocorresse foram satisfeitas 1 o módulo do campo elétrico ultrapassou 30 106 NC produzindo uma ruptura dielétrica do ar 2 a energia da centelha resultante ultrapassou 150 mJ fazendo com que o pó explodisse Vamos discutir a primeira condição Suponha que um pó carregado negativamente esteja passando por um cano cilíndrico de plástico de raio R 50 cm e que as cargas associadas ao pó estejam distribuídas uniformemente com uma densidade volumétrica ρ a Usando a lei de Gauss escreva uma expressão para o módulo do campo elétrico no interior do cano em função da distância r do eixo do cano b O valor de E aumenta ou diminui quando r aumenta c O campo aponta para o eixo do cilindro ou para longe do eixo d Para ρ 11 103 Cm3 um valor típico determine o valor máximo de E e a que distância do eixo do cano esse campo máximo ocorre e O campo pode produzir uma centelha Onde A história continua no Problema 70 do Capítulo 24 61 Uma casca esférica metálica de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa Uma segunda casca concêntrica com a primeira possui um raio b a e uma carga qb Determine o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas a para r a b para a r b e c para r b d Explique o raciocínio que você usou para determinar o modo como as cargas estão distribuídas nas superfícies internas e externas das cascas 62 Uma carga pontual q 10 107 C é colocada no centro de uma cavidade esférica com 30 cm de raio aberta em um bloco de metal Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico a a 15 cm de distância do centro da cavidade e b no interior do bloco de metal 63 Um próton de velocidade v 300 105 ms gira em órbita em torno de uma esfera carregada de raio r 100 cm Qual é a carga da esfera 64 A Eq 2311 E σε0 pode ser usada para calcular o campo elétrico em pontos da vizinhança de uma esfera condutora carregada Aplique a equação a uma esfera condutora de raio r e carga q e mostre que o campo elétrico do lado de fora da esfera é igual ao campo produzido por uma carga pontual situada no centro da esfera 65 Uma carga Q está distribuída uniformemente em uma esfera de raio R a Que fração da carga está contida em uma esfera de raio r R200 b Qual é a razão entre o módulo do campo elétrico no ponto r R200 e o campo elétrico na superfície da esfera 66 Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de 750 N m2C através de uma superfície esférica gaussiana de 100 cm de raio com centro na carga a Se o raio da superfície gaussiana for multiplicado por dois qual será o novo valor do fluxo b Qual é o valor da carga pontual 67 O campo elétrico no ponto P a uma pequena distância da superfície externa de uma casca esférica metálica com 10 cm de raio interno e 20 cm de raio externo tem um módulo de 450 NC e aponta para longe do centro Quando uma carga pontual desconhecida Q é colocada no centro da casca o sentido do campo permanece o mesmo e o módulo diminui para 180 NC a Determine a carga da casca b Determine o valor da carga Q Depois que a carga Q é colocada determine a densidade superficial de carga c na superfície interna da casca e d na superfície externa da casca 68 O fluxo de campo elétrico em cada face de um dado tem um valor absoluto em unidades de 103 N m2C igual ao número N de pontos da face 1 N 6 O fluxo é para dentro se N for ímpar e para fora se N for par Qual é a carga no interior do dado 69 A Fig 2359 mostra uma vista em seção reta de três placas isolantes de grande extensão com uma densidade uniforme de carga As densidades superficiais de carga são σ1 200 μCm2 σ2 400 μCm2 e σ3 500 μCm2 L 150 cm Qual é o campo elétrico no ponto P na notação dos vetores unitários Figura 2359 Problema 69 70 Uma esfera isolante com 50 cm de raio tem uma densidade volumétrica uniforme de carga ρ 32 μCm3 Determine o módulo do campo elétrico a a 35 cm e b a 80 cm do centro da esfera 71 Uma superfície gaussiana de forma hemisférica com raio R 568 cm está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 250 NC Não existem cargas no interior da superfície Na base plana da superfície o campo é perpendicular à superfície e aponta para o interior da superfície Determine o fluxo a através da base e b através da parte curva da superfície 72 Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano do Problema 2 73 Uma esfera isolante tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ Seja o vetor que liga o centro da esfera a um ponto genérico P no interior da esfera a Mostre que o campo elétrico no ponto P é dado por ρ 3ε0Note que o resultado não depende do raio da esfera b Uma cavidade esférica é aberta na esfera como mostra a Fig 2360 Usando o princípio da superposição mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e é dado por ρ 3ε0 em que é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade Figura 2360 Problema 73 74 Uma esfera com 600 cm de raio possui uma densidade de carga uniforme de 500 nCm3 Considere uma superfície gaussiana cúbica concêntrica com a esfera Determine o fluxo elétrico através da superfície cúbica se a aresta do cubo for a 400 cm e b 140 cm 75 A Fig 2361 mostra um contador Geiger aparelho usado para detectar radiação ionizante radiação com energia suficiente para ionizar átomos O contador é formado por um fio central positivamente carregado e um cilindro circular oco coaxial condutor com uma carga negativa de mesmo valor absoluto As cargas criam um campo elétrico radial de alta intensidade entre o cilindro que contém um gás inerte rarefeito e o fio Uma partícula de radiação que penetra no aparelho através da parede do cilindro ioniza alguns átomos do gás produzindo elétrons livres que são acelerados na direção do fio positivo O campo elétrico é tão intenso que no percurso os elétrons adquirem energia suficiente para ionizar outros átomos do gás através de colisões criando assim outros elétrons livres O processo se repete até os elétrons chegarem ao fio A avalanche de elétrons resultante é recolhida pelo fio gerando um sinal que é usado para assinalar a passagem da partícula de radiação Suponha que o fio central tenha um raio de 25 μm e o cilindro tenha um raio interno de 14 cm e um comprimento de 16 cm Se o campo elétrico na superfície interna do cilindro é 29 104 NC qual é a carga positiva do fio central Figura 2361 Problema 75 76 Um cilindro muito longo de raio R possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme a Mostre que a uma distância r R do eixo do cilindro em que ρ é a densidade volumétrica de carga b Escreva uma expressão para E do lado de fora do cilindro 77 Uma casca condutora esférica tem uma carga de 14 μC na superfície externa e uma partícula carregada na cavidade interna Se a carga total da casca é 10 μC determine a carga a da superfície interna da casca e b da partícula 78 Uma carga de 600 pC está distribuída uniformemente em uma esfera de raio r 400 cm Determine o módulo do campo elétrico a a 600 cm do centro da esfera e b a 300 cm do centro da esfera 79 A água em uma vala de irrigação de largura l 322 m e profundidade p 104 m corre com uma velocidade de 0207 ms O fluxo mássico da água através de uma superfície imaginária é o produto da massa específica da água 1000 kgm3 pelo fluxo volumétrico através da superfície Determine o fluxo mássico através das seguintes superfícies imaginárias a uma superfície de área lp totalmente submersa perpendicular à correnteza b uma superfície de área 3lp2 da qual uma área lp está submersa perpendicular à correnteza c uma superfície de área lp2 totalmente submersa perpendicular à correnteza d uma superfície de área lp metade da qual está submersa perpendicular à correnteza e uma superfície de área lp totalmente submersa com a normal fazendo um ângulo de 34o com a direção da correnteza 80 Uma placa infinita de espessura insignificante situada no plano xy tem uma densidade superficial de carga uniforme ρ 800 nCm2 uma placa semelhante situada no plano z 200 tem uma densidade superficial de carga uniforme ρ 300 nCm2 Determine o módulo do campo elétrico a no plano z 100 e b no plano z 300 m 81 Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme Determine em termos do raio R da esfera a que distância do centro o módulo do campo elétrico é igual a 14 do valor máximo a do lado de dentro da esfera e b do lado de fora da esfera CAPÍTULO 24 Potencial Elétrico 241 POTENCIAL ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2401 Saber que a força elétrica é conservativa e portanto é possível associar a ela uma energia potencial 2402 Saber que a cada ponto do campo elétrico produzido por um objeto é possível associar um potencial elétrico V uma grandeza escalar que pode ser positiva ou negativa dependendo do sinal da carga do objeto 2403 No caso de uma partícula carregada sob o efeito do campo elétrico criado por um objeto usar a relação entre o potencial elétrico V criado pelo objeto nesse ponto a carga q da partícula e a energia potencial U do sistema partículaobjeto 2404 Converter a energia de joules para elétronsvolts e viceversa 2405 No caso de uma partícula carregada que se desloca de um ponto inicial para um ponto final na presença de um campo elétrico usar as relações entre a variação V do potencial a carga q da partícula a variação U da energia potencial e o trabalho W realizado pela força elétrica 2406 No caso de uma partícula carregada que se desloca de um ponto inicial para um ponto final na presença de um campo elétrico saber que o trabalho realizado pelo campo não depende da trajetória da partícula 2407 No caso de uma partícula carregada que atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica sem ser submetida a nenhuma outra força conhecer a relação entre V e a variação K da energia cinética da partícula 2408 No caso de uma partícula carregada que atravessa uma região onde existe uma variação V da energia potencial elétrica enquanto é submetida a outra força conhecer a relação entre V a variação K da energia cinética da partícula e o trabalho Wext realizado pela força aplicada IdeiasChave O potencial elétrico V em um ponto P devido ao campo elétrico produzido por um objeto carregado é dado por em que W é o trabalho que seria realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de prova positiva q0 se a carga fosse transportada de uma distância infinita até o ponto P e U é a energia potencial elétrica que seria armazenada no sistema carga objeto Se uma partícula de carga q é colocada em um ponto no qual o potencial elétrico de um objeto carregado é V a energia potencial elétrica U do sistema partículaobjeto é dada por U qV Se uma partícula atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial ΔV a variação da energia potencial elétrica é dada por ΔU q ΔV qVf Vt De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação V da energia potencial elétrica sem ser submetida a uma força externa a variação da energia cinética da partícula é dada por ΔK q ΔV De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação V da energia potencial elétrica enquanto é submetida a uma força externa que realiza um trabalho Wext a variação da energia cinética da partícula é dada por ΔK q ΔV Wext No caso especial em que ΔK 0 o trabalho de uma força externa envolve apenas o movimento da partícula na presença de uma diferença de potencial Wext q ΔV O que É Física Um dos objetivos da física é identificar as forças básicas da natureza como as forças elétricas que foram discutidas no Capítulo 21 Um objetivo correlato é determinar se uma força é conservativa ou seja se pode ser associada a uma energia potencial A razão para associar uma energia potencial a uma força é que isso permite aplicar o princípio de conservação da energia mecânica a sistemas fechados que envolvem a força Esse princípio extremamente geral pode ser usado para obter os resultados de experimentos nos quais os cálculos baseados em forças seriam muito difíceis Os físicos e engenheiros descobriram empiricamente que a força elétrica é conservativa e que portanto é possível associar a ela uma energia potencial elétrica Neste capítulo vamos definir essa energia potencial e aplicála a alguns problemas práticos A título de introdução vamos voltar a um problema que examinamos no Capítulo 22 Na Fig 241 a partícula 1 de carga positiva q1 está situada no ponto P nas vizinhanças da partícula 2 de carga positiva q2 Como vimos no Capítulo 22 a partícula 2 pode exercer uma força sobre a partícula 1 sem que haja contato entre as duas partículas Para explicar a existência da força que é uma grandeza vetorial definimos um campo elétrico que também é uma grandeza vetorial que é criado pela partícula 2 no ponto P O campo existe mesmo que a partícula 1 não esteja presente no ponto P Quando colocamos a partícula 1 nessa posição ela fica submetida a uma força porque possui uma carga q1 e está em um ponto onde existe um campo elétrico Aqui está um problema correlato Quando liberamos a partícula 1 no ponto P ela começa a se mover e portanto adquire energia cinética Como a energia não pode ser criada de onde vem essa energia Essa energia vem da energia potencial elétrica U associada à força entre as duas partículas no arranjo da Fig 241 Para explicar a origem da energia potencial U que é uma grandeza escalar definimos um potencial elétrico V que também é uma grandeza escalar criado pela partícula 2 no ponto P Quando a partícula 1 é colocada no ponto P a energia potencial do sistema de duas partículas se deve à carga q1 e ao potencial elétrico V Nossos objetivos neste capítulo são 1 definir o potencial elétrico 2 discutir o cálculo do potencial elétrico para vários arranjos de partículas e objetos carregados e 3 discutir a relação entre o potencial elétrico V e a energia potencial elétrica U Potencial Elétrico e Energia Potencial Elétrica Como vamos definir o potencial elétrico ou simplesmente potencial em termos da energia potencial elétrica nossa primeira tarefa é descobrir como calcular a energia potencial elétrica No Capítulo 8 calculamos a energia potencial gravitacional U de um objeto 1 atribuindo arbitrariamente o valor U 0 a uma configuração de referência como a posição de um objeto no nível do solo 2 determinando o trabalho W que a força gravitacional realiza quando o objeto é deslocado para outro nível e 3 definindo a energia potencial pela equação Vamos aplicar o mesmo método à nossa nova força conservativa a força elétrica Na situação mostrada na Fig 242a estamos interessados em calcular a energia potencial U do sistema formado por uma barra carregada e uma carga de prova positiva q0 situada no ponto P Para começar precisamos definir uma configuração de referência para a qual U 0 Uma escolha razoável é supor que a energia potencial é nula quando a carga de prova está a uma distância infinita da barra já que nesse caso ela não é afetada pelo campo elétrico produzido pela barra O passo seguinte consiste em calcular o trabalho necessário para deslocar a carga de prova do infinito até o ponto P para formar a configuração da Fig 242a A energia potencial da configuração final é dada pela Eq 241 em que W agora é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova Vamos usar a notação W para indicar que nossa configuração de referência é com a carga a uma distância infinita da barra O trabalho e portanto a energia potencial pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal da carga da barra Vamos agora definir o potencial elétrico V no ponto P em termos do trabalho realizado pelo campo elétrico e a energia potencial resultante Em palavras o potencial elétrico em um ponto P é a energia potencial por unidade de carga quando uma carga de prova q0 é deslocada do infinito até o ponto P A barra cria esse potencial V no ponto P mesmo na ausência da carga de prova Fig 24b De acordo com a Eq 242 o potencial elétrico é uma grandeza escalar já que tanto a energia potencial como a carga são grandezas escalares Figura 241 A partícula 1 situada no ponto P está sujeita ao campo elétrico da partícula 2 Figura 242 a Uma carga de prova foi deslocada do infinito até o ponto P na presença do campo elétrico criado pela barra b Definimos um potencial elétrico V no ponto P com base na energia potencial da configuração mostrada em a Aplicando o mesmo método a outros pontos do espaço verificamos que um potencial elétrico existe em todos os pontos em que o campo elétrico criado pela barra está presente Na verdade todo objeto carregado cria um potencial elétrico V nos mesmos pontos em que cria um campo elétrico Quando colocamos uma partícula de carga q em um ponto onde já existe um potencial elétrico V a energia potencial da configuração é dada pela seguinte equação em que a carga q pode ser positiva ou negativa Duas Observações Importantes 1 O nome adotado há muitos anos para a grandeza V foi uma escolha infeliz porque potencial pode ser facilmente confundido com energia potencial É verdade que as duas grandezas estão relacionadas daí a escolha mas são muito diferentes e uma não pode ser usada no lugar da outra 2 O potencial elétrico não é um vetor como o campo elétrico e sim um escalar Na hora de resolver os problemas você vai ver que isso facilita muito as coisas Terminologia A energia potencial é uma propriedade de um sistema ou configuração de objetos mas às vezes podemos atribuíla a um único objeto Assim por exemplo a energia potencial gravitacional de uma bola de futebol chutada em direção ao campo do adversário pelo goleiro é na verdade a energia potencial do sistema bolaTerra já que está associada à força entre a Terra e a bola Como porém o movimento da Terra causado pela interação é desprezível podemos atribuir a energia potencial gravitacional apenas à bola Analogamente se uma partícula carregada é colocada em uma região onde existe um campo elétrico e não afeta de modo significativo o objeto que produziu o campo elétrico podemos atribuir a energia potencial elétrica e o potencial elétrico apenas à partícula Unidades De acordo com a Eq 242 a unidade de potencial elétrico do SI é o joule por coulomb Essa combinação é tão frequente que foi criado um nome especial o volt V para representála Assim 1 volt 1 joule por coulomb Usando duas conversões de unidades podemos substituir a unidade de campo elétrico newtons por coulomb por uma unidade mais conveniente volts por metro O primeiro fator de conversão é uma consequência da própria definição de volt o segundo pode ser obtido a partir da definição de joule Daqui em diante passaremos a expressar os valores de campo elétrico em volts por metro em vez de newtons por coulomb Movimento na Presença de um Campo Elétrico Variação do Potencial Elétrico Quando passamos de um ponto inicial i para um ponto final f na presença de um campo elétrico produzido por um objeto carregado a variação do potencial elétrico é dada por ΔV Vf Vi Nesse caso de acordo com a Eq 243 a variação da energia potencial do sistema é dada por A variação pode ser positiva ou negativa dependendo dos sinais de q e ΔV Também pode ser nula se não houver variação de potencial ou seja se Vf Vi Como a força elétrica é conservativa a variação de energia potencial ΔU entre a energia potencial do ponto i e a energia potencial do ponto f é a mesma para qualquer trajetória que ligue os dois pontos ou seja é independente da trajetória Trabalho Realizado pelo Campo Podemos relacionar a variação de energia potencial ΔU ao trabalho W realizado pela força elétrica enquanto a partícula se desloca do ponto i para o ponto f usando uma relação que é válida para qualquer força conservativa Eq 81 Em seguida podemos relacionar o mesmo trabalho à variação do potencial elétrico usando a Eq 244 Até agora sempre atribuímos o trabalho a uma força mas aqui também podemos dizer que W é o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a partícula porque naturalmente é o campo elétrico que produz a força O trabalho pode ser positivo negativo ou nulo Da mesma forma que ΔU o trabalho W não depende da trajetória da partícula Se você precisa calcular o trabalho para uma trajetória complicada mude para uma trajetória mais fácil você obterá o mesmo resultado Conservação da Energia Se uma partícula carregada se move na presença de um campo elétrico sem ser submetida a nenhuma outra força além da força elétrica a energia mecânica é conservada Vamos supor que seja possível atribuir uma energia potencial elétrica apenas à partícula Nesse caso podemos escrever a conservação da energia mecânica quando a partícula se desloca do ponto i para o ponto f na forma ou Combinando a Eq 248 com a Eq 244 obtemos uma equação que permite calcular a variação da energia cinética de uma partícula submetida a uma diferença de potencial Trabalho Realizado por uma Força Externa Se uma partícula carregada se move na presença da força elétrica e de outra força qualquer a outra força é chamada de força externa e é frequentemente a atribuída a um agente externo A força externa pode realizar trabalho sobre a partícula mas não é necessariamente conservativa e portanto nem sempre pode ser associada a uma energia potencial Podemos levar em conta o trabalho Wext realizado por uma força externa acrescentando um termo ao lado esquerdo da Eq 247 energia inicial trabalho da força externa energia final Explicitando ΔK e usando a Eq 244 podemos escrever também O trabalho realizado pela força externa pode ser positivo negativo ou nulo e a energia do sistema pode aumentar diminuir ou permanecer a mesma No caso especial em que a partícula está parada antes e depois do deslocamento o termo da energia cinética é nulo nas Eqs 2410 e 2411 e portanto Nesse caso especial o trabalho Wext representa apenas o trabalho necessário para deslocar a partícula na presença de uma diferença de potencial ΔV Comparando as Eqs 246 e 2412 vemos que nesse caso especial o trabalho realizado pela força externa é o negativo do trabalho realizado pelo campo Energia em ElétronsVolts Na física atômica e subatômica a medida das energias em joules a unidade de energia do SI envolve potências negativas de dez Uma unidade mais conveniente que não faz parte do SI é o elétronvolt eV que é definido como o trabalho necessário para deslocar uma carga elementar e como do elétron ou do próton se a diferença de potencial entre o ponto inicial e o ponto final é um volt De acordo com a Eq 246 esse trabalho é igual a qΔV Assim Teste 1 Na figura um próton se desloca do ponto i para o ponto f na presença de um campo elétrico com a direção indicada a O campo elétrico executa um trabalho positivo ou negativo sobre o elétron b A força exerce um trabalho positivo ou negativo sobre o elétron c A energia potencial elétrica do próton aumenta ou diminui d O próton se desloca para um ponto de maior ou menor potencial elétrico Exemplo 2401 Trabalho e energia potencial associados a um campo elétrico Elétrons estão sendo constantemente arrancados das moléculas de ar da atmosfera por partículas de raios cósmicos provenientes do espaço sideral Uma vez liberados esses elétrons estão sujeitos a uma força eletrostática associada ao campo elétrico produzido na atmosfera por partículas carregadas já existentes na Terra Perto da superfície terrestre esse campo elétrico tem um módulo de 150 NC e aponta para o centro da Terra Qual é a variação ΔU da energia potencial elétrica de um elétron livre na atmosfera da Terra quando a força eletrostática faz com que ele se mova verticalmente para cima de uma distância d 520 m Fig 243 IDEIASCHAVE 1 A variação ΔU da energia potencial elétrica do elétron está relacionada ao trabalho W realizado pelo campo elétrico sobre o elétron essa relação é expressa pela Eq 245 ΔU W 2 O trabalho realizado por uma força constante sobre uma partícula que sofre um deslocamento é dado por 3 A força eletrostática e o campo elétrico estão relacionados pela equação q em que q é a carga do elétron 16 1019 C Cálculos Substituindo por seu valor na Eq 243 e calculando o produto escalar obtemos a relação em que θ é o ângulo entre as direções de e Como o campo aponta verticalmente para baixo e o deslocamento aponta verticalmente para cima θ 180o Substituindo esse e outros valores conhecidos na Eq 244 obtemos Figura 243 Um elétron da atmosfera sofre um deslocamento para cima devido à força eletrostática associada a um campo elétrico W 16 1019 C150 NC520 m cos 180 12 1014 J Nesse caso de acordo com a Eq 245 O resultado mostra que a subida de 520 m faz a energia potencial do elétron sofrer uma redução de 12 1014 J Para calcular a variação do potencial elétrico usamos a Eq 244 O resultado mostra que a força elétrica realiza um trabalho positivo para mover um elétron para um ponto em que o potencial é maior 242 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E O CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2409 Saber o que é uma superfície equipotencial e conhecer a relação entre uma superfície equipotencial e a direção do campo elétrico associado 2410 Dada uma função que expresse a variação do campo elétrico com a posição calcular a diferença de potencial V entre um ponto inicial e um ponto final escolhendo uma trajetória que ligue os dois pontos e integrando o produto escalar do campo elétrico pelo elemento de comprimento ao longo da trajetória escolhida 2411 No caso de um campo elétrico uniforme conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico e a distância x e a diferença de potencial ΔV entre planos equipotenciais vizinhos 2412 Dado um gráfico que mostre o módulo E do campo elétrico em função da posição ao longo de um eixo calcular a variação de potencial V de um ponto inicial a um ponto final usando integração gráfica 2413 Explicar o uso de um ponto de referência ao qual é atribuído um valor zero para o potencial IdeiasChave Os pontos de uma superfície equipotencial têm o mesmo potencial elétrico O trabalho realizado sobre uma carga de prova para deslocála de uma superfície equipotencial para outra não depende da posição dos pontos inicial e final nas superfícies nem da trajetória seguida pela carga de prova O campo elétrico é sempre perpendicular às superfícies equipotenciais correspondentes A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é dada por em que a integral pode ser calculada ao longo de qualquer trajetória que ligue os dois pontos Se a integração for difícil para uma dada trajetória podemos escolher uma trajetória para a qual a integração seja mais fácil Se fizermos Vi 0 o potencial em um ponto qualquer será dado por Em um campo elétrico uniforme de módulo E a variação do potencial de uma superfície equipotencial de maior valor para uma de menor valor separadas por uma distância x é dada por ΔV E Δx Superfícies Equipotenciais Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real O campo elétrico não realiza nenhum trabalho líquido W sobre uma partícula carregada quando a partícula se desloca de um ponto para outro de uma superfície equipotencial Esse fato é consequência da Eq 246 segundo a qual W 0 para Vf Vi Como o trabalho e portanto a energia potencial e o potencial não depende da trajetória W 0 para qualquer trajetória que ligue dois pontos i e j pertencentes a uma superfície equipotencial mesmo que a trajetória não esteja inteiramente na superfície A Fig 244 mostra uma família de superfícies equipotenciais associada ao campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das trajetórias I e II é zero já que essas trajetórias começam e terminam na mesma superfície equipotencial O trabalho realizado quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das trajetórias III e IV não é zero mas tem o mesmo valor para as duas trajetórias pois os potenciais inicial e final são os mesmos para as duas trajetórias ou seja as trajetórias III e IV ligam o mesmo par de superfícies equipotenciais Figura 244 Vista parcial de quatro superfícies equipotenciais cujos potenciais elétricos são V1 100 V V2 80 V V3 60 V e V4 40 V A figura mostra duas linhas de campo elétrico e quatro trajetórias possíveis de uma carga de prova Figura 245 Linhas de campo elétrico azul e seções retas de superfícies equipotenciais vermelho a para um campo elétrico uniforme b para uma carga pontual e c para um dipolo elétrico Figura 246 Uma carga de prova q0 se desloca do ponto i para o ponto f ao longo da trajetória indicada na presença de um campo elétrico não uniforme Durante um deslocamento uma força eletrostática q0 age sobre a carga de prova A força aponta na direção da linha de campo que passa pela carga de prova Por simetria as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga pontual ou por qualquer distribuição de cargas com simetria esférica constituem uma família de esferas concêntricas No caso de um campo elétrico uniforme as superfícies formam uma família de planos perpendiculares às linhas de campo Na verdade as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico e portanto perpendiculares a que é tangente a essas linhas Se não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial teria uma componente paralela à superfície que realizaria trabalho sobre uma partícula carregada quando a partícula se deslocasse ao longo da superfície Entretanto de acordo com a Eq 246 o trabalho realizado deve ser nulo no caso de uma superfície equipotencial A única conclusão possível é que o vetor em todos os pontos do espaço deve ser perpendicular à superfície equipotencial que passa por esse ponto A Fig 245 mostra linhas de campo elétrico e seções retas de superfícies equipotenciais no caso de um campo elétrico uniforme e no caso dos campos associados a uma carga elétrica pontual e a um dipolo elétrico Cálculo do Potencial a Partir do Campo Elétrico É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f em uma região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos Para isso basta determinar o trabalho realizado pelo campo sobre uma carga de prova quando a carga se desloca do ponto i até o ponto f e usar a Eq 246 Considere um campo elétrico qualquer representado pelas linhas de campo da Fig 246 e uma carga de prova positiva q0 que se move do ponto i ao ponto f percorrendo a trajetória mostrada na figura Em todos os pontos da trajetória uma força eletrostática q0 age sobre a carga enquanto ela sofre um deslocamento elementar De acordo com o que foi visto no Capítulo 7 o trabalho elementar dW realizado sobre uma partícula por uma força durante um deslocamento é dado por Para a situação da Fig 246 q0 e a Eq 2415 se torna Para determinar o trabalho total W realizado pelo campo sobre a partícula quando ela se desloca do ponto i para o ponto f somamos por integração os trabalhos elementares realizados sobre a carga quando ela sofre todos os deslocamentos elementares de que é composta a trajetória Substituindo o trabalho W pelo seu valor em termos da diferença de potencial dado pela Eq 246 obtemos Figura 247 Trajetória paralela a uma linha de campo elétrico que liga pontos i e f situados em planos equipotenciais de um campo uniforme separados por uma distância Δx Assim a diferença de potencial Vf Vi entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual ao negativo da integral de linha ou seja da integral ao longo de uma trajetória de do ponto i até o ponto f Como a força eletrostática é conservativa todas as trajetórias simples ou complicadas levam ao mesmo resultado A Eq 2418 permite calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de uma região onde existe um campo elétrico Se o potencial Vi do ponto i é tomado como zero a Eq 2418 se torna em que o índice f de Vf foi omitido A Eq 2419 pode ser usada para calcular o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial do ponto i tomado como zero Se o ponto i está no infinito a Eq 2419 nos dá o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no infinito tomado como zero Campo Uniforme Vamos aplicar a Eq 2418 a um campo uniforme como mostra a Fig 247 Começamos em um ponto i de um plano equipotencial de potencial Vi e terminamos em um ponto f de um plano equipotencial de potencial Vf A distância entre os dois planos equipotenciais é Δx Vamos escolher uma trajetória paralela à direção do campo elétrico e portanto perpendicular aos planos equipotenciais Nesse caso o ângulo entre e na Eq 2418 é zero e o produto escalar se torna Como o campo é uniforme E é constante e a Eq 2418 se torna A integral da Eq 2420 é simplesmente uma receita para somar os elementos de comprimento ds do ponto i até o ponto f mas já sabemos que a soma é igual à distância Δx entre os planos equipotenciais Assim a variação de potencial Vf Vi no caso de um campo elétrico uniforme é dada por De acordo com a Eq 2421 se a trajetória da carga de prova positiva é no sentido do campo elétrico o potencial diminui se a trajetória é no sentido oposto o potencial aumenta O vetor campo elétrico aponta do maior potencial para o menor potencial Teste 2 A figura mostra uma família de superfícies paralelas equipotenciais vistas de perfil e cinco trajetórias ao longo das quais um elétron pode ser deslocado de uma superfície para outra a Qual é a orientação do campo elétrico associado às superfícies b Para cada trajetória o trabalho realizado para deslocar o elétron é positivo negativo ou nulo c Coloque as trajetórias em ordem decrescente do trabalho realizado Exemplo 2402 Determinação da diferença de potencial a partir do campo elétrico a A Fig 248a mostra dois pontos i e f de uma região onde existe um campo elétrico uniforme Os pontos estão na mesma linha de campo elétrico que não é mostrada na figura separados por uma distância d Determine a diferença de potencial Vf Vi deslocando uma carga de prova positiva q0 do ponto i até o ponto f ao longo da trajetória indicada que é paralela à direção do campo IDEIACHAVE De acordo com a Eq 2418 podemos determinar a diferença de potencial entre dois pontos integrando o produto escalar ao longo de uma trajetória que ligue os dois pontos Cálculos Na verdade já fizemos esse cálculo para demonstrar a Eq 2421 Com uma pequena mudança de notação a Eq 2421 nos dá b Determine a diferença de potencial Vf Vi deslocando a carga de prova positiva q0 de i para f ao longo da trajetória icf mostrada na Fig 248b Cálculos A ideiachave do item a também se aplica a este caso mas agora estamos deslocando a carga ao longo de uma trajetória formada por dois segmentos de reta ic e cf Em todos os pontos do segmento ic o deslocamento é perpendicular a O ângulo entre e é 90o e o produto escalar é 0 Logo de acordo com a Eq 2418 o potencial é o mesmo nos pontos i e c Vc Vi 0 No caso do segmento cf temos θ 45o e de acordo com a Eq 2418 A integral nessa equação é simplesmente o comprimento do segmento cf que por trigonometria é dado por dcos 45o Assim Como já era esperado este resultado é igual ao obtido no item a a diferença de potencial entre dois pontos não depende da trajetória usada no cálculo A moral é a seguinte Quando há necessidade de calcular a diferença de potencial entre dois pontos deslocando uma carga de prova entre eles é possível poupar tempo e trabalho escolhendo uma trajetória que facilite o uso da Eq 2418 Figura 248 a Uma carga de prova q0 se desloca em linha reta do ponto i para o ponto f na mesma direção que um campo elétrico uniforme b A carga q0 descreve a trajetória icf na presença do mesmo campo elétrico 243 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2414 No caso do campo elétrico em um ponto do espaço criado por uma partícula carregada conhecer a relação entre o potencial elétrico V do ponto a carga q da partícula e a distância r entre o ponto e a partícula 2415 Conhecer a relação entre o sinal do potencial elétrico criado por uma partícula e o sinal da carga da partícula 2416 No caso de pontos do lado de fora ou na superfície de uma distribuição de carga com simetria esférica calcular o potencial elétrico como se a carga estivesse toda concentrada no centro da distribuição 2417 Calcular o potencial total produzido em um ponto do espaço por várias partículas carregadas usando uma soma algébrica dos potenciais produzidos separadamente pelas cargas envolvidas e não uma soma vetorial como no caso do campo elétrico 2418 Desenhar as superfícies equipotenciais associadas a uma partícula carregada IdeiasChave O potencial elétrico produzido por uma partícula carregada a uma distância r da partícula é dado por em que o potencial V tem o mesmo sinal que a carga q O potencial elétrico produzido por um conjunto de partículas carregadas é dado por Isso significa que o potencial é a soma algébrica dos potenciais produzidos separadamente pelas cargas envolvidas e não uma soma vetorial como no caso do campo elétrico Potencial Produzido por uma Partícula Carregada Vamos agora usar a Eq 2418 para obter uma expressão para o potencial elétrico V criado no espaço por uma carga pontual tomando como referência um potencial zero no infinito Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa de carga positiva q Fig 249 Para usar a Eq 2418 imaginamos que uma carga de prova q0 é deslocada do ponto P até o infinito Como a trajetória seguida pela carga de prova é irrelevante podemos escolher a mais simples uma reta que liga a partícula fixa ao ponto P e se estende até o infinito Para usar a Eq 2418 precisamos calcular o produto escalar O campo elétrico da Fig 249 é radial e aponta para longe da partícula fixa assim o deslocamento elementar da partícula de prova tem a mesma direção que em todos os pontos da trajetória escolhida Isso significa que na Eq 2422 θ 0 e cos θ 1 Como a trajetória é radial podemos fazer ds dr Nesse caso a Eq 2418 se torna em que usamos os limites ri R e rf Vamos fazer Vi VR V e Vf V 0 O campo E no ponto onde se encontra a carga de prova é dado pela Eq 223 Com essas substituições a Eq 2423 se torna Figura 249 A partícula de carga positiva q produz um campo elétrico e um potencial elétrico V no ponto P Calculamos o potencial deslocando uma carga de prova q0 do ponto P até o infinito A figura mostra a carga de prova a uma distância r da carga pontual durante um deslocamento elementar Figura 2410 Gráfico gerado em computador do potencial elétrico Vr produzido por uma carga positiva situada na origem do plano xy O potencial nos pontos do plano xy está plotado no eixo vertical As curvas do potencial ao longo de direções paralelas aos eixos x e y foram traçadas para facilitar a visualização De acordo com a Eq 2426 V para r 0 embora essa tendência não seja visível no gráfico Explicitando V e substituindo R por r temos como o potencial elétrico V produzido por uma partícula de carga q a uma distância r da partícula Embora a Eq 2426 tenha sido demonstrada para uma partícula de carga positiva a demonstração vale também para uma partícula de carga negativa caso em que q é uma grandeza negativa Observe que o sinal de V é igual ao sinal de q Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo A Fig 2410 mostra um gráfico gerado em computador da Eq 2426 para uma partícula de carga positiva o valor absoluto de V está plotado no eixo vertical Note que o valor absoluto de V aumenta rapidamente quando r se aproxima de zero Na verdade de acordo com a Eq 2426 V quando r 0 embora essa tendência não seja visível no gráfico A Eq 2426 também pode ser usada para calcular o potencial elétrico do lado de fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica Podemos provar esse fato usando um dos teoremas de cascas dos Módulos 211 e 236 para substituir a distribuição esférica por uma carga pontual de mesmo valor situada no centro da distribuição Isso mostra que a Eq 2426 pode ser empregada contanto que não se deseje calcular um ponto no interior da distribuição Potencial Produzido por um Grupo de Partículas Carregadas Podemos calcular o potencial produzido em um ponto por um grupo de partículas carregadas com a ajuda do princípio de superposição Usando a Eq 2426 com o sinal da carga incluído calculamos separadamente os potenciais produzidos pelas cargas no ponto dado e somamos os potenciais No caso de n cargas o potencial total é dado por Aqui qi é o valor da carga de ordem i e ri é a distância radial entre o ponto e a carga de ordem i O somatório da Eq 2427 é uma soma algébrica e não uma soma vetorial como a que foi usada para calcular o campo elétrico produzido por um grupo de cargas pontuais Tratase de uma vantagem importante do potencial em relação ao campo elétrico já que é muito mais fácil somar grandezas escalares do que grandezas vetoriais Teste 3 A figura mostra três arranjos de dois prótons Coloque os arranjos na ordem do potencial elétrico produzido pelos prótons no ponto P começando pelo maior Exemplo 2403 Potencial total de várias partículas carregadas Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na Fig 2411a A distância d é 13 m e as cargas são q1 12 nC q2 24 nC q3 31 nC q4 17 nC IDEIACHAVE O potencial elétrico V no ponto P é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelas quatro partículas Figura 2411 a Quatro partículas carregadas são mantidas fixas nos vértices de um quadrado b A curva fechada é uma seção reta no plano da figura da superfície equipotencial que contém o ponto P A curva é apenas um esboço Como o potencial elétrico é um escalar as posições angulares das cargas são irrelevantes apenas as distâncias entre as cargas e o ponto P aparecem na expressão do potencial Cálculos De acordo com a Eq 2427 temos A distância r é d 0919 m e a soma das cargas é Nas vizinhanças das três cargas positivas da Fig 2411a o potencial assume valores positivos muito elevados Nas proximidades da carga negativa o potencial assume valores negativos muito elevados Assim existem necessariamente pontos no interior do quadrado nos quais o potencial tem o mesmo valor intermediário que no ponto P A curva da Fig 2411b mostra a interseção do plano da figura com a superfície equipotencial que contém o ponto P Qualquer ponto dessa curva tem o mesmo potencial que o ponto P Exemplo 2404 Potencial total de várias partículas carregadas para duas distribuições diferentes das partículas a Na Fig 2412a 12 elétrons de carga e são mantidos fixos com espaçamento uniforme ao longo de uma circunferência de raio R Tomando V 0 no infinito quais são o potencial elétrico e o campo elétrico no centro C da circunferência IDEIASCHAVE 1 O potencial elétrico V no ponto C é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelos elétrons Como o potencial elétrico é um escalar a posição angular dos elétrons na circunferência é irrelevante 2 O campo elétrico no ponto C é uma grandeza vetorial e portanto a posição angular dos elétrons na circunferência não é irrelevante Cálculos Como todos os elétrons possuem a mesma carga e e estão à mesma distância R de C a Eq 2427 nos dá Por causa da simetria do arranjo da Fig 2412a o vetor campo elétrico no ponto C associado a um elétron é cancelado pelo vetor campo elétrico associado ao elétron diametralmente oposto Assim no ponto C b Se os elétrons forem deslocados ao longo da circunferência até ficarem distribuídos com espaçamento desigual em um arco de 120o Fig 2412b qual será o potencial no ponto C O campo elétrico no ponto C sofrerá alguma mudança Raciocínio O potencial continuará a ser dado pela Eq 2428 já que a distância entre os elétrons e o ponto C não mudou e a posição dos elétrons na circunferência é irrelevante O campo elétrico porém deixará de ser nulo pois a distribuição das cargas não é mais simétrica O novo campo elétrico no ponto C estará orientado na direção de algum ponto do arco de 120o Figura 2412 a Doze elétrons uniformemente espaçados ao longo de uma circunferência b Os mesmos elétrons distribuídos com espaçamento não uniforme ao longo de um arco da circunferência original 244 POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2419 Calcular o potencial V produzido por um dipolo elétrico em um ponto do espaço em termos do módulo p do momento dipolar ou do produto do valor absoluto de uma das cargas pela distância entre as cargas 2420 Conhecer as regiões em que o potencial produzido por um dipolo elétrico é positivo negativo e nulo 2421 Saber que o potencial produzido por um dipolo elétrico diminui mais depressa com a distância do que o potencial produzido por uma carga única Ideiachave O potencial elétrico produzido em um ponto do espaço por um dipolo elétrico é dado por para r d em que p rd é o módulo do momento dipolar r é a distância entre o ponto e o centro do dipolo d é a distância entre as cargas do dipolo e q é o ângulo entre o vetor momento dipolar e uma reta que liga o ponto ao centro do dipolo Figura 2413 a O ponto P está a uma distância r do ponto central O de um dipolo A reta OP faz um ângulo θ com o eixo do dipolo b Se o ponto P está a uma grande distância do dipolo as retas de comprimentos r e r são aproximadamente paralelas à reta de comprimento r e a reta tracejada é aproximadamente perpendicular à reta de comprimento r Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico Vamos agora aplicar a Eq 2427 a um dipolo elétrico para calcular o potencial em um ponto arbitrário P da Fig 2413a No ponto P a partícula positiva que está a uma distância r produz um potencial V e a partícula negativa que está a uma distância r produz um potencial V Assim de acordo com a Eq 2427 o potencial total no ponto P é dado por Os dipolos que ocorrem naturalmente como os que estão presentes em muitas moléculas têm dimensões reduzidas Isso significa que normalmente estamos interessados apenas em pontos relativamente distantes do dipolo tais que r d em que r é a distância entre o ponto P e o centro do dipolo e d é a distância entre as cargas Nessas condições podemos supor que os segmentos de reta entre as cargas e o ponto P são praticamente paralelos e que a diferença de comprimento entre esses segmentos de reta é um dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é d Fig 2413b Além disso a diferença é tão pequena que o produto dos comprimentos é aproximadamente r2 Assim r r d cos θ e rr r2 Substituindo esses valores na Eq 2429 obtemos para V o valor aproximado em que o ângulo θ é medido em relação ao eixo do dipolo como na Fig 2413a O potencial V também pode ser escrito na forma em que p qd é o módulo do momento dipolar elétrico definido no Módulo 223 O vetor tem a direção do eixo do dipolo e aponta da carga negativa para a carga positiva Isso significa que o ângulo θ é medido em relação a Usamos esse vetor para indicar a orientação do dipolo elétrico Teste 4 Três pontos são escolhidos a distâncias iguais do centro do dipolo da Fig 2413 muito maiores que a distância entre as cargas O ponto a está no eixo do dipolo acima da carga positiva o ponto b está no eixo do dipolo abaixo da carga negativa o ponto c está na mediatriz do segmento de reta que liga as duas cargas Coloque os pontos na ordem do potencial elétrico produzido no ponto pelo dipolo começando pelo maior mais positivo Momento Dipolar Induzido Muitas moléculas como a da água possuem um momento dipolar elétrico permanente Em outras moléculas conhecidas como moléculas apolares e em todos os átomos isolados os centros das cargas positivas e negativas coincidem Fig 2414a e portanto o momento dipolar é zero Quando um átomo ou uma molécula apolar é submetido a um campo elétrico externo o campo distorce as órbitas eletrônicas e separa os centros das cargas positivas e negativas Fig 2414b Como a carga dos elétrons é negativa eles são deslocados no sentido oposto ao do campo Esse deslocamento dá origem a um momento dipolar que aponta na direção do campo Nesse tipo de situação dizemos que o momento dipolar é induzido pelo campo e que o átomo ou a molécula é polarizado pelo campo ou seja ele passa a ter um lado positivo e um lado negativo Quando o campo é removido o momento dipolar induzido e a polarização desaparecem Figura 2414 a Representação esquemática de um átomo isolado mostrando o núcleo positivamente carregado verde e os elétrons negativamente carregados sombreado dourado Os centros das cargas positivas e negativas coincidem b Quando o átomo é submetido a um campo elétrico externo os orbitais eletrônicos são distorcidos e os centros das cargas positivas e negativas deixam de coincidir o que dá origem a um momento dipolar induzido A distorção foi muito exagerada na figura 245 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2422 No caso de uma carga distribuída uniformemente em uma superfície calcular o potencial total em um ponto do espaço dividindo a distribuição em elementos de carga e somando por integração o potencial produzido pelos elementos IdeiasChave No caso de uma distribuição contínua de carga em um objeto macroscópico o potencial pode ser calculado 1 dividindo a distribuição em elementos de carga dq que podem ser tratados como partículas e 2 somando o potencial produzido pelos elementos calculando uma integral para toda a distribuição Para executar a integração o elemento de carga dq é substituído pelo produto de uma densidade linear de carga λ por um elemento de comprimento dx por exemplo ou pelo produto de uma densidade superficial de carga σ por um elemento de área dx dy por exemplo Em alguns casos nos quais a carga está distribuída simetricamente uma integração bidimensional pode ser substituída por uma integração unidimensional Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga Quando uma distribuição de carga é contínua como é o caso de uma barra ou um disco uniformemente carregado não podemos usar o somatório da Eq 2427 para calcular o potencial V em um ponto P Em vez disso devemos escolher um elemento de carga dq calcular o potencial dV produzido por dq no ponto P e integrar dV para toda a distribuição de carga Vamos tomar novamente o potencial no infinito como nulo Tratando o elemento de carga dq como uma partícula podemos usar a Eq 2426 para expressar o potencial dV no ponto P produzido por dq Nesta equação r é a distância entre P e dq Para calcular o potencial total V no ponto P integramos a Eq 2431 para todos os elementos de carga A integral deve ser calculada para toda a distribuição de cargas Observe que como o potencial elétrico é um escalar não existem componentes de vetores a serem consideradas na Eq 2432 Vamos agora examinar duas distribuições contínuas de carga uma linha de carga e um disco carregado Linha de Carga Na Fig 2415a uma barra fina isolante de comprimento L possui uma densidade linear de carga positiva λ Vamos determinar o potencial elétrico V produzido pela barra no ponto P situado a uma distância perpendicular d da extremidade esquerda da barra Começamos por considerar um elemento de comprimento dx da barra como mostra a Fig 2415b A carga desse elemento é dada por O elemento produz um potencial elétrico dV no ponto P que está a uma distância r x2 d212 Tratando o elemento como uma partícula carregada podemos usar a Eq 2431 para escrever o potencial dV como Como a carga da barra é positiva e tomamos como referência V 0 no infinito sabemos do Módulo 24 3 que dV na Eq 2434 deve ser positivo Figura 2415 a Uma barra fina uniformemente carregada produz um potencial elétrico V no ponto P b Um elemento de carga pode ser tratado como uma partícula c O potencial produzido por um elemento de carga no ponto P depende da distância r Precisamos somar os potenciais produzidos por todos os elementos de carga da extremidade esquerda d à extremidade direita e da barra Agora estamos em condições de calcular o potencial total V produzido pela barra no ponto P integrando a Eq 2434 ao longo da barra de x 0 a x L Figs 2415d e 2415e com o auxílio da integral 17 do Apêndice E O resultado é o seguinte Podemos simplificar esse resultado usando a identidade ln A ln B lnAB o que nos dá Como V é uma soma de valores positivos de dV deve ser um número positivo o que é confirmado pelo fato de que o argumento do logaritmo é maior que 1 para qualquer par de valores de L e d já que o logaritmo natural de qualquer número maior que 1 é positivo Disco Carregado No Módulo 225 calculamos o módulo do campo elétrico em pontos do eixo central de um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme σ em uma das superfícies Vamos agora obter uma expressão para Vz o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central Como o disco apresenta uma distribuição circular de carga poderíamos usar um elemento diferencial de área igual ao produto de uma distância radial elementar dr por um ângulo elementar dθ e calcular uma integral dupla Entretanto existe um método mais simples de resolver o problema Na Fig 2416 considere um elemento de área constituído por um anel de raio R e largura radial dR A carga desse elemento é dada por dq σ2πRdR em que 2πRdR é a área do anel Como o ponto P está no eixo central todas as partes do elemento de carga estão à mesma distância r do ponto Com a ajuda da Fig 2416 podemos usar a Eq 2431 para escrever a contribuição do anel para o potencial elétrico no ponto P na forma Para calcular o potencial total somamos por integração as contribuições de todos os anéis de R 0 a R R Note que a variável de integração na segunda integral da Eq 2437 é R e não z que permanece constante enquanto a integração ao longo da superfície do disco está sendo executada Observe também que no cálculo da integral supusemos que z 0 Figura 2416 Um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme σ na superfície superior Estamos interessados em calcular o potencial V em um ponto P do eixo central do disco 246 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2423 Dado um potencial elétrico em função da posição ao longo de um eixo calcular o campo elétrico ao longo do eixo 2424 Dado um gráfico do potencial elétrico em função da posição ao longo de um eixo calcular o potencial elétrico ao longo do eixo 2425 No caso de um campo elétrico uniforme conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico e a distância x e a diferença de potencial V entre planos equipotenciais vizinhos 2426 Conhecer a relação entre o sentido do campo elétrico é o sentido no qual o potencial aumenta ou diminui IdeiasChave A componente do campo elétrico em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância nessa direção As componentes x y e z do campo são dadas pelas seguintes equações Quando o campo é uniforme as equações anteriores se reduzem a em que s é perpendicular às superfícies equipotenciais A componente do campo elétrico paralela a uma superfície equipotencial é sempre nula Figura 2417 Uma carga de prova positiva q0 sofre um deslocamento de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha A distância entre as superfícies foi exagerada na figura O deslocamento faz um ângulo θ com o campo elétrico Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial No Módulo 242 vimos que era possível calcular o potencial em um ponto f a partir do conhecimento do valor do campo elétrico ao longo de uma trajetória de um ponto de referência até o ponto f Neste módulo vamos discutir o problema inverso ou seja o cálculo do campo elétrico a partir do potencial Como se pode ver na Fig 245 resolver este problema graficamente é muito fácil Se conhecemos o potencial V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas podemos desenhar uma família de superfícies equipotenciais As linhas de campo elétrico desenhadas perpendicularmente a essas superfícies revelam a variação de O que estamos buscando é um método matemático equivalente ao processo gráfico A Fig 2417 mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais muito próximas umas das outras a diferença de potencial entre superfícies vizinhas é dV Como sugere a figura o campo em um ponto P qualquer é perpendicular à superfície equipotencial que passa por P Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra um deslocamento de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha De acordo com a Eq 246 o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova durante o deslocamento é q0dV De acordo com a Eq 2416 e a Fig 24 17 o mesmo trabalho também pode ser escrito como o produto escalar q0 ou q0Ecos θd s Igualando as duas expressões para o trabalho obtemos ou Como E cos θ é a componente de na direção de a Eq 2439 se torna Escrevemos o campo E com um índice e substituímos o símbolo de derivada pelo de derivada parcial para ressaltar o fato de que a Eq 2440 envolve apenas a variação de V ao longo de certo eixo no caso o eixo que chamamos de s e apenas a componente de ao longo desse eixo Traduzindo em palavras a Eq 2440 que é essencialmente a operação inversa da Eq 2418 afirma o seguinte A componente de em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação com a distância do potencial elétrico nessa direção Se tomamos o eixo s como sucessivamente os eixos x y e z verificamos que as componentes de em qualquer ponto do espaço são dadas por Assim se conhecemos V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas ou seja se conhecemos a função Vx y z podemos obter as componentes de e portanto o próprio calculando o valor de três derivadas parciais No caso da situação simples em que o campo elétrico é uniforme a Eq 2440 se torna em que s é a direção perpendicular às superfícies equipotenciais A componente do campo elétrico é sempre nula na direção paralela a uma superfície equipotencial Teste 6 A figura mostra três pares de placas paralelas separadas pela mesma distância e o potencial elétrico de cada placa O campo elétrico entre as placas é uniforme e perpendicular às placas a Coloque os pares em ordem decrescente de acordo com o módulo do campo elétrico entre as placas b Para que par de placas o campo elétrico aponta para a direita c Se um elétron é liberado a partir do repouso a meio caminho entre as duas placas do terceiro par o elétron permanece no mesmo lugar começa a se mover para a direita com velocidade constante começa a se mover para a esquerda com velocidade constante é acelerado para a direita ou é acelerado para a esquerda Exemplo 2405 Cálculo do campo a partir do potencial O potencial elétrico em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado é dado pela Eq 2437 A partir dessa equação determine uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto do eixo do disco IDEIASCHAVE Estamos interessados em calcular o campo elétrico em função da distância z ao longo do eixo do disco Para qualquer valor de z deve apontar ao longo do eixo do disco já que o disco possui simetria circular em relação a esse eixo Assim basta conhecermos a componente Ez de Essa componente é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância z Cálculo De acordo com a terceira das Eqs 2441 podemos escrever Tratase da mesma expressão que foi obtida por integração no Módulo 225 usando a lei de Coulomb 247 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS CARREGADAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2427 Saber que a energia potencial total de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho que uma força deve realizar para montar o sistema começando com as partículas separadas por uma distância infinita 2428 Calcular a energia potencial de duas partículas carregadas 2429 Saber que se um sistema é composto por mais de duas partículas carregadas a energia potencial total é igual à soma das energias potenciais de todos os pares de partículas 2430 Aplicar a lei de conservação da energia mecânica a um sistema de partículas carregadas 2431 Calcular a velocidade de escape de uma partícula carregada que pertence a um sistema de partículas carregadas a menor velocidade inicial necessária para que a partícula se afaste indefinidamente do sistema IdeiaChave A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema começando com as partículas separadas por uma distância infinita No caso de duas partículas separadas por uma distância r Figura 2418 Duas cargas separadas por uma distância r Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas Neste módulo vamos calcular a energia potencial de um sistema de duas partículas carregadas e em seguida discutir brevemente como o resultado pode ser estendido a um sistema com mais de duas partículas Nosso ponto de partida é examinar o trabalho que um agente externo precisa realizar para colocar duas partículas que estão inicialmente separadas por uma grande distância a uma pequena distância uma da outra e estacionárias Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal as partículas se repelem o trabalho é positivo e a energia potencial final do sistema de duas partículas é positiva Se as cargas das partículas têm sinais opostos as partículas se atraem o trabalho é negativo e a energia potencial final do sistema de duas partículas é negativa Vamos examinar em detalhes o processo de construção do sistema de duas partículas da Fig 2418 em que a partícula 1 de carga positiva q1 e a partícula 2 de carga positiva q2 estão separadas por uma distância r O resultado também pode ser aplicado a sistemas nos quais as duas partículas têm carga negativa ou têm cargas opostas Começamos com a partícula 2 fixada no lugar e a partícula 1 a uma distância infinita e vamos chamar de Ui a energia potencial inicial do sistema de duas partículas Em seguida deslocamos a partícula 1 até a posição final e chamamos de Uf a energia potencial final do sistema O trabalho realizado sobre o sistema produz uma variação de energia potencial ΔU Uf Ui Usando a Eq 244 ΔU qVf Vi podemos relacionar ΔU à diferença entre o potencial da posição inicial da partícula 1 e o potencial da posição final Vamos calcular esses termos A energia potencial inicial é Ui 0 já que as partículas estão na configuração de referência veja o Módulo 241 Os dois potenciais da Eq 2443 são produzidos pela partícula 2 e são dados pela Eq 2426 De acordo com a Eq 2444 quando a partícula 1 está na posição inicial r o potencial é Vi 0 Quando a partícula 1 está na posição final r r e o potencial é Substituindo esses resultados na Eq 2443 e eliminando o índice f obtemos a seguinte expressão para a energia potencial da configuração final A Eq 2446 inclui os sinais das duas cargas Se as cargas têm o mesmo sinal U é positiva se as cargas têm sinais opostos U é negativa Para introduzir no sistema uma terceira partícula de carga q3 repetimos o cálculo começando com a partícula 3 a uma distância infinita e deslocandoa para uma posição final a uma distância r31 da partícula 1 e a uma distância r32 da partícula 2 O potencial Vf da partícula 3 na posição final é a soma algébrica do potencial V1 produzido pela partícula 1 e o potencial V2 produzido pela partícula 2 Executando o cálculo constatamos que A energia potencial total de um sistema de partículas é a soma das energias potenciais de todos os pares de partículas do sistema Esse resultado pode ser aplicado a sistemas com um número qualquer de partículas Depois de obter uma expressão para a energia potencial de um sistema de partículas podemos aplicar ao sistema a lei de conservação da energia expressa pela Eq 2410 Assim por exemplo em um sistema formado por muitas partículas podemos calcular a energia cinética e a velocidade de escape necessária para que uma das partículas se afaste indefinidamente das outras partículas Exemplo 2406 Energia potencial de um sistema de três partículas carregadas A Fig 2419 mostra três cargas pontuais mantidas fixas no lugar por forças não especificadas Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema de cargas Suponha que d 12 cm e que q1 q q2 4q e q3 2q em que q 150 nC IDEIACHAVE A energia potencial U do sistema é igual ao trabalho necessário para montar o sistema começando com as cargas a uma distância infinita Cálculos Vamos montar mentalmente o sistema da Fig 2419 começando com uma das cargas pontuais no lugar q1 digamos e as outras no infinito Trazemos outra carga q2 do infinito e a colocamos no lugar Utilizando a Eq 2446 com d no lugar de r obtemos a seguinte expressão para a energia potencial associada ao par de cargas q1 e q2 Agora precisamos trazer a última carga pontual q3 do infinito e a colocar no lugar O trabalho para realizar esse último passo é igual à soma do trabalho para aproximar q3 de q1 com o trabalho para aproximar q3 de q2 De acordo com a Eq 2446 A energia potencial total U do sistema de três cargas é a soma das energias potenciais associada aos três pares de cargas O resultado que não depende da ordem em que as cargas são colocadas é o seguinte Figura 2419 Três cargas mantidas fixas nos vértices de um triângulo equilátero Qual é a energia potencial elétrica do sistema O fato de obtermos uma energia potencial negativa significa que um trabalho negativo teria que ser feito para montar a estrutura começando com as três cargas em repouso a uma distância infinita Dito de outra forma isso significa que um agente externo teria que executar um trabalho de 17 mJ para desmontar a estrutura e deixar as três cargas em repouso a uma distância infinita A lição que podemos extrair deste exemplo é a seguinte Para calcular a energia potencial de um sistema de partículas carregadas basta calcular a energia potencial de todos os pares de partículas do sistema e somar os resultados Exemplo 2407 Conversão de energia cinética em energia potencial elétrica Uma partícula alfa dois prótons e dois nêutrons se aproxima de um átomo de ouro estacionário 79 prótons e 118 nêutrons passando pela nuvem de elétrons e rumando diretamente para o núcleo Fig 2420 A partícula alfa diminui de velocidade até parar e inverte o movimento quando está a uma distância r 923 fm do centro do núcleo de ouro Como a massa do núcleo de ouro é muito maior que a da partícula alfa podemos supor que o núcleo de ouro se mantém imóvel durante o processo Qual era a energia cinética Ki da partícula alfa quando estava a uma distância muito grande e portanto do lado de fora do átomo de ouro Suponha que a única força entre a partícula alfa e o núcleo de ouro é a força eletrostática IDEIACHAVE Durante todo o processo a energia mecânica do sistema partícula alfa átomo de ouro é conservada Raciocínio Enquanto a partícula alfa está do lado de fora do átomo a energia potencial elétrica Ui do sistema é zero pois o átomo possui um número igual de elétrons e prótons que produzem um campo elétrico resultante nulo Quando a partícula alfa passa pela nuvem de elétrons o campo elétrico criado pelos elétrons do átomo de ouro se anula Isso acontece porque os elétrons se comportam como uma casca carregada com uma densidade uniforme de cargas negativas e como vimos no Módulo 236 o campo produzido por uma casca desse tipo é zero na região envolvida pela casca Por outro lado a partícula alfa continua a experimentar os efeitos do campo elétrico criado pelo núcleo que exerce uma força de repulsão sobre os prótons da partícula alfa Enquanto a partícula alfa está sendo desacelerada por essa força de repulsão a energia cinética da partícula é transformada progressivamente em energia potencial elétrica do sistema A transformação é total no momento em que a partícula alfa para momentaneamente e a energia cinética Kf da partícula alfa se anula Figura 2420 Uma partícula alfa rumando diretamente para o centro de um núcleo de ouro para momentaneamente no instante em que toda a energia cinética se converteu em energia potencial elétrica e em seguida passa a se mover no sentido oposto Cálculos De acordo com a lei de conservação da energia mecânica Conhecemos dois termos da Eq 2447 Ui 0 e Kf 0 Sabemos também que a energia potencial Uf no instante em que a velocidade da partícula alfa se anula é dada pelo lado direito da Eq 2446 com q1 2e q2 79e em que e é a carga elementar 160 1019 C e r 923 fm Assim de acordo com a Eq 2447 248 POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2432 Saber que uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui até que o potencial seja o mesmo em todos os pontos da superfície do condutor 2433 No caso de uma casca condutora esférica carregada desenhar gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca 2434 No caso de uma casca condutora esférica carregada saber que o campo elétrico no interior da casca é zero o potencial no interior da casca é igual ao potencial da superfície e o campo elétrico e o potencial do lado de fora da casca são os mesmos que se toda a carga estivesse concentrada no centro da casca 2435 No caso de uma casca condutora cilíndrica carregada saber que o campo elétrico no interior da casca é zero o potencial no interior da casca é igual ao potencial na superfície e o campo elétrico e o potencial do lado de fora da casca são os mesmos que se toda a carga estivesse concentrada em uma linha de carga no eixo central do cilindro IdeiasChave No estado de equilíbrio toda a carga em excesso de um condutor está concentrada na superfície externa do condutor O potencial é o mesmo em todos os pontos de um condutor incluindo os pontos internos Se um condutor carregado é submetido a um campo elétrico externo o campo elétrico externo é cancelado em todos os pontos internos do condutor O campo elétrico é perpendicular à superfície em todos os pontos de um condutor Potencial de um Condutor Carregado No Módulo 233 concluímos que 0 em todos os pontos do interior de um condutor Em seguida usamos a lei de Gauss para demonstrar que qualquer carga em excesso colocada em um condutor se acumula na superfície externa Isso acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna Vamos agora usar o primeiro desses fatos para provar uma extensão do segundo Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor tanto na superfície como no interior Isto acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo que a cavidade interna contenha uma carga elétrica Essa afirmação é uma consequência direta da Eq 2418 segundo a qual Como 0 em todos os pontos no interior de um condutor Vi Vf para qualquer par de pontos i e j no interior do condutor A Fig 2421a mostra um gráfico do potencial elétrico em função da distância r do centro de uma casca esférica condutora com 10 m de raio e uma carga de 10 μC Para pontos do lado de fora da casca podemos calcular Vr usando a Eq 2426 já que a carga q se comporta para os pontos externos como se estivesse concentrada no centro da casca Essa equação é válida até a superfície da casca Vamos agora supor que uma carga de prova seja introduzida na casca através de um pequeno furo e deslocada até o centro da casca Não é necessário nenhum trabalho para realizar o deslocamento uma vez que a força eletrostática é nula em todos os pontos do lado de dentro da casca e portanto o potencial em todos os pontos do lado de dentro da casca é igual ao potencial na superfície da casca como na Fig 2421a A Fig 2421b mostra a variação do campo elétrico com a distância radial para a mesma casca Observe que E 0 em todos os pontos situados no interior da casca Segundo a Eq 2440 o gráfico da Fig 2421b pode ser obtido a partir do gráfico da Fig 2421a derivando o gráfico da Fig 2421a em relação a r lembrese de que a derivada de uma constante é zero De acordo com a Eq 2419 o gráfico da Fig 2421a pode ser obtido a partir do gráfico da Fig 2421b integrando o gráfico da Fig 2418b em relação a r Centelhamento de um Condutor Carregado Nos condutores não esféricos uma carga superficial não se distribui uniformemente na superfície do condutor Em vértices e arestas a densidade de cargas superficiais e portanto o campo elétrico externo que é proporcional à densidade de cargas superficiais pode atingir valores muito elevados Nas vizinhanças desses vértices e arestas o ar pode se ionizar produzindo as centelhas que golfistas e montanhistas observam na ponta de arbustos em tacos de golfe e em martelos de alpinismo quando o céu está carregado As centelhas como o cabelo em pé podem ser um sinal de que um relâmpago está para acontecer Nessas circunstâncias é mais prudente abrigarse no interior de uma casca condutora local onde o campo elétrico com certeza é zero Um carro a menos que se trate de um modelo conversível ou com carroceria de plástico constitui uma proteção quase ideal Fig 2422 Condutor em um Campo Elétrico Externo Se um objeto feito de um material condutor é submetido a um campo elétrico externo como na Fig 24 23 o potencial continua a ser igual em todos os pontos do objeto Os elétrons de condução se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico que eles produzem no interior do objeto cancela o campo elétrico externo Além disso a distribuição de elétrons faz com que o campo elétrico total seja perpendicular à superfície em todos os pontos da superfície Se houvesse um meio de remover o condutor da Fig 2423 deixando as cargas superficiais no lugar a configuração de campo elétrico permaneceria exatamente a mesma tanto para os pontos externos como para os pontos internos Figura 2421 a Gráfico de Vr para pontos no interior e no exterior de uma casca esférica com 10 m de raio b Gráfico de Er para a mesma casca Cortesia de Westinghouse Electric Corporation Figura 2422 Uma forte descarga elétrica atinge um automóvel e chega à terra através de uma centelha que parte da calota do pneu dianteiro esquerdo observe o clarão sem fazer mal ao motorista Figura 2423 Um condutor descarregado submetido a um campo elétrico externo Os elétrons livres do condutor se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico no interior do objeto é nulo e o campo elétrico na superfície é perpendicular à superfície Revisão e Resumo Potencial Elétrico O potencial elétrico V em um ponto P onde existe um campo elétrico produzido por um objeto carregado é dado por em que W é o trabalho que seria realizado por uma força elétrica sobre uma carga de prova positiva q0 para deslocála de uma distância infinita até o ponto P e U é a energia potencial do sistema carga de provaobjeto carregado na configuração final Energia Potencial Elétrica Se uma partícula de carga q é colocada em um ponto no qual a energia potencial produzida por um objeto carregado é V a energia potencial elétrica U do sistema partícula objeto é dada por Se uma partícula atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial V a variação da energia potencial elétrica é dada por Energia Cinética De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica sem ser submetida a uma força externa a variação da energia cinética da partícula é dada por Se a partícula atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica enquanto é submetida a uma força externa que exerce um trabalho Wext sobre a partícula a variação da energia cinética da partícula é dada por No caso especial em que ΔK 0 o trabalho de uma força externa envolve apenas o movimento da partícula na presença de uma diferença de potencial Superfícies Equipotenciais Os pontos que pertencem a uma superfície equipotencial possuem o mesmo potencial elétrico O trabalho realizado sobre uma carga de prova para deslocála de uma superfície equipotencial para outra não depende da localização dos pontos inicial e final nem da trajetória entre os pontos O campo elétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial correspondente Cálculo de V a Partir de A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é dada por em que a integral é calculada ao longo de qualquer trajetória que comece no ponto i e termine no ponto f Se tomamos como referência o potencial Vi 0 o potencial em um ponto qualquer é dado por No caso especial de um campo uniforme de módulo E a diferença de potencial entre dois planos equipotenciais vizinhos paralelos separados por uma distância Δx é dada por Potencial Produzido por uma Partícula Carregada O potencial elétrico produzido por uma partícula carregada a uma distância r da partícula é dado por em que V tem o mesmo sinal de q O potencial produzido por um conjunto de cargas pontuais é dado por Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico A uma distância r de um dipolo elétrico com um momento dipolar elétrico p qd o potencial elétrico do dipolo é dado por para r d o ângulo θ é definido na Fig 2413 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga No caso de uma distribuição contínua de carga a Eq 2427 se torna em que a integral é calculada para toda a distribuição Cálculo de a Partir de V A componente de em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância na direção considerada As componentes x y e z de são dadas por Se é uniforme a Eq 2440 se reduz a em que s é a direção perpendicular às superfícies equipotenciais Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema com as cargas inicialmente em repouso e a uma distância infinita umas das outras Para duas cargas separadas por uma distância r Potencial de um Condutor Carregado Em equilíbrio toda a carga em excesso de um condutor está concentrada na superfície externa do condutor A carga se distribui de tal forma que 1 o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor 2 o campo elétrico é zero em todos os pontos do condutor mesmo na presença de um campo elétrico externo 3 o campo elétrico em todos os pontos da superfície é perpendicular à superfície Perguntas 1 Na Fig 2424 oito partículas formam um quadrado com uma distância d entre as partículas vizinhas Qual é o potencial P no centro do quadrado se o potencial é zero no infinito 2 A Fig 2425 mostra três conjuntos de superfícies equipotenciais vistas de perfil os três conjuntos cobrem uma região do espaço com as mesmas dimensões a Coloque os conjuntos na ordem decrescente do módulo do campo elétrico existente na região b Em que conjunto o campo elétrico aponta para baixo Figura 2424 Pergunta 1 Figura 2425 Pergunta 2 3 A Fig 2426 mostra quatro pares de partículas carregadas Para cada par faça V 0 no infinito e considere Vtot em pontos do eixo x Para que pares existe um ponto no qual Vtot 0 a entre as partículas e b à direita das partículas c Nos pontos dos itens a e b tot também é zero d Para cada par existem pontos fora do eixo x além de pontos no infinito para os quais Vtot 0 Figura 2426 Perguntas 3 e 9 4 A Fig 2427 mostra o potencial elétrico V em função de x a Coloque as cinco regiões na ordem decrescente do valor absoluto da componente x do campo elétrico Qual é o sentido do campo elétrico b na região 2 e c na região 4 Figura 2427 Pergunta 4 5 A Fig 2428 mostra três trajetórias ao longo das quais podemos deslocar a esfera A positivamente carregada aproximandoa da esfera B também positivamente carregada que é mantida fixa no lugar a O potencial da esfera A é maior ou menor após o deslocamento O trabalho realizado b pela força usada para deslocar a esfera A e c pelo campo elétrico produzido pela esfera B é positivo negativo ou nulo d Coloque as trajetórias na ordem decrescente do trabalho realizado pela força do item b Figura 2428 Pergunta 5 6 A Fig 2429 mostra quatro arranjos de partículas carregadas todas à mesma distância da origem Ordene os arranjos de acordo com o potencial na origem começando pelo mais positivo Tome o potencial como zero no infinito Figura 2429 Pergunta 6 7 A Fig 2430 mostra um conjunto de três partículas carregadas Se a partícula de carga q é deslocada por uma força externa do ponto A para o ponto D determine se as grandezas a seguir são positivas negativas ou nulas a a variação da energia potencial elétrica b o trabalho realizado pela força eletrostática sobre a partícula que foi deslocada e c o trabalho realizado pela força externa d Quais seriam as respostas dos itens a b e c se a partícula fosse deslocada do ponto B para o ponto C Figura 2430 Perguntas 7 e 8 8 Na situação da Pergunta 7 determine se o trabalho realizado pela força externa será positivo negativo ou nulo se a partícula for deslocada a de A para B b de B para C e c de B para D d Coloque os deslocamentos na ordem decrescente do trabalho realizado pela força externa 9 A Fig 2426 mostra quatro pares de partículas carregadas com a mesma separação a Ordene os pares de acordo com a energia potencial elétrica começando pela maior mais positiva b Para cada par se a distância entre as partículas aumenta a energia potencial do par aumenta ou diminui 10 a Na Fig 2431a qual é o potencial no ponto P devido à carga Q situada a uma distância R de P Considere V 0 no infinito b Na Fig 2431b a mesma carga Q foi distribuída uniformemente em um arco de circunferência de raio R e ângulo central 40o Qual é o potencial no ponto P o centro de curvatura do arco c Na Fig 2431c a mesma carga Q foi distribuída uniformemente em uma circunferência de raio R Qual é o potencial no ponto P o centro da circunferência d Coloque as três situações na ordem decrescente do módulo do campo elétrico no ponto P Figura 2431 Pergunta 10 11 A Fig 2432 mostra uma barra fina com uma distribuição de carga uniforme e três pontos situados à mesma distância d da barra Coloque os pontos na ordem decrescente do módulo do potencial elétrico produzido pela barra em cada ponto Figura 2432 Pergunta 11 12 Na Fig 2433 uma partícula é liberada com velocidade zero no ponto A e acelerada por um campo elétrico na direção do ponto B A diferença de potencial entre os pontos A e B é 100 V Qual dos pontos deve estar a um ponto de maior potencial se a partícula for a um elétron b um próton e c uma partícula alfa um núcleo com dois prótons e dois nêutrons d Coloque as partículas na ordem decrescente na energia cinética que possuem ao atingirem o ponto B Figura 2433 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 241 Potencial Elétrico 1 Uma bateria de automóvel de 12 V pode fazer passar uma carga de 84 A h ampèreshoras por um circuito de um terminal para o outro da bateria a A quantos coulombs corresponde essa quantidade de carga Sugestão Veja a Eq 213 b Se toda a carga sofre uma variação de potencial elétrico de 12 V qual é a energia envolvida 2 A diferença de potencial elétrico entre a terra e uma nuvem de tempestade é 12 109 V Qual é o módulo da variação da energia potencial elétrica de um elétron que se desloca da nuvem para a terra Expresse a resposta em elétronsvolts 3 Suponha que em um relâmpago a diferença de potencial entre uma nuvem e a terra é 10 109 V e a carga transferida pelo relâmpago é 30 C a Qual é a variação da energia da carga transferida b Se toda a energia liberada pelo relâmpago pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg qual seria a velocidade final do carro Módulo 242 Superfícies Equipotenciais e o Campo Elétrico 4 Duas placas paralelas condutoras de grande extensão estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas Uma força eletrostática de 39 1015 N age sobre um elétron colocado na região entre as duas placas Despreze o efeito de borda a Determine o campo elétrico na posição do elétron b Determine a diferença de potencial entre as placas 5 Uma placa infinita isolante possui uma densidade superficial de carga σ 010 μCm2 em uma das faces Qual é a distância entre duas superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 50 V 6 Na Fig 2434 quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico o campo elétrico realiza um trabalho de 394 1019 J Qual é a diferença de potencial elétrico a VB VA b VC VA e c VC VB Figura 2434 Problema 6 7 O campo elétrico em uma região do espaço tem componentes Ey Ez 0 e Ex 400 NCx O ponto A está no eixo y em y 300 m e o ponto B está no eixo x em x 400 m Qual é a diferença de potencial VB VA 8 A Fig 2435 mostra um gráfico da componente x do campo elétrico em função de x em certa região do espaço A escala do eixo vertical é definida por Exs 200 NC As componentes y e z do campo elétrico são nulas em toda a região Se o potencial elétrico na origem é 10 V a qual é o potencial elétrico em x 20 m b Qual é o maior valor positivo do potencial elétrico em pontos do eixo x para os quais 0 x 60 m c Para qual valor de x o potencial elétrico é zero Figura 2435 Problema 8 9 Uma placa isolante infinita possui uma densidade superficial de carga σ 580 pCm2 a Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q 160 1019 C é deslocada da superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d 356 cm da superfície da placa b Se o potencial elétrico V é definido como zero na superfície da placa qual é o valor de V no ponto P 10 Dois planos infinitos isolantes uniformemente carregados são paralelos ao plano yz e estão posicionados em x 50 cm e x 50 cm As densidades de carga dos planos são 50 nCm2 e 25 nCm2 respectivamente Qual é o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo x em x 80 cm Sugestão Use a lei da Gauss 11 Uma esfera isolante tem raio R 231 cm e carga uniformemente distribuída q 350 fC Considere o potencial elétrico no centro da esfera como V0 0 Determine o valor de V para uma distância radial a r 145 cm e b r R Sugestão Veja o Módulo 236 Módulo 243 Potencial Produzido por uma Partícula Carregada 12 Quando um ônibus espacial atravessa a ionosfera da Terra formada por gases rarefeitos e ionizados o potencial da nave varia de aproximadamente 10 V a cada revolução Supondo que o ônibus espacial é uma esfera com 10 m de raio estime a carga elétrica recolhida a cada revolução 13 Determine a a carga e b a densidade superficial de cargas de uma esfera condutora de 015 m de raio cujo potencial é 200 V considerando V 0 no infinito 14 Considere uma partícula com carga q 10 μC o ponto A a uma distância d1 20 m da partícula e o ponto B a uma distância d2 10 m da partícula a Se A e B estão diametralmente opostos como na Fig 2436a qual é a diferença de potencial elétrico VA VB b Qual é a diferença de potencial elétrico se A e B estão localizados como na Fig 2436b Figura 2436 Problema 14 15 Uma gota dágua esférica com uma carga de 30 pC tem um potencial de 500 V na superfície com V 0 no infinito a Qual é o raio da gota b Se duas gotas de mesma carga e mesmo raio se combinam para formar uma gota esférica qual é o potencial na superfície da nova gota 16 A Fig 2437 mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar com a 390 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 340 pC e q2 600 pC Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no centro do retângulo Sugestão Examinando o problema com atenção é possível reduzir consideravelmente os cálculos Figura 2437 Problema 16 17 Qual é o potencial elétrico produzido pelas quatro partículas da Fig 2438 no ponto P se V 0 no infinito q 500 fC e d 400 cm Figura 2438 Problema 17 18 A Fig 2439a mostra duas partículas carregadas A partícula 1 de carga q1 é mantida fixa no lugar a uma distância d da origem A partícula 2 de carga q2 pode ser deslocada ao longo do eixo x A Fig 2439b mostra o potencial elétrico V na origem em função da coordenada x da partícula 2 A escala do eixo x é definida por xs 160 cm O gráfico tende assintoticamente para V 576 107 V quando x Qual é o valor de q2 em termos de e Figura 2439 Problema 18 19 Na Fig 2440 partículas de cargas q1 5e e q2 15e são mantidas fixas no lugar separadas por uma distância d 240 cm Considerando V 0 no infinito determine o valor de x a positivo e b negativo para o qual o potencial elétrico do eixo x é zero Figura 2440 Problemas 19 e 20 20 Na Fig 2440 duas partículas de cargas q1 e q2 estão separadas por uma distância d O campo elétrico produzido em conjunto pelas duas partículas é zero em x d4 Com V 0 no infinito determine em termos de d os pontos do eixo x além do infinito em que o potencial elétrico é zero Módulo 244 Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico 21 A molécula de amoníaco NH3 possui um dipolo elétrico permanente de 147 D em que 1 D 1 debye 334 1030 C m Calcule o potencial elétrico produzido por uma molécula de amoníaco em um ponto do eixo do dipolo a uma distância de 520 nm Considere V 0 no infinito 22 Na Fig 2441a uma partícula de carga e está inicialmente no ponto z 20 nm do eixo de um dipolo elétrico do lado positivo do dipolo A origem do eixo z é o centro do dipolo A partícula é deslocada em uma trajetória circular em torno do centro do dipolo até a coordenada z 20 nm A Fig 2441b mostra o trabalho Wa realizado pela força responsável pelo deslocamento da partícula em função do ângulo θ o qual define a localização da partícula A escala do eixo vertical é definida por Was 40 1030 J Qual é o módulo do momento dipolar Figura 2441 Problema 22 Módulo 245 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga 23 a A Fig 2442a mostra uma barra isolante de comprimento L 600 cm e densidade linear de carga positiva uniforme λ 368 pCm Considere V 0 no infinito Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d 800 cm acima do ponto médio da barra b A Fig 2442b mostra uma barra igual à do item a exceto pelo fato de que a metade da direita está carregada negativamente o valor absoluto da densidade linear de carga continua sendo 368 pCm em toda a barra Com V 0 no infinito qual é o valor de V no ponto P Figura 2442 Problema 23 24 Na Fig 2443 uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q 256 pC tem a forma de um arco de circunferência de raio R 371 cm e ângulo central ϕ 120o Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no ponto P o centro de curvatura da barra Figura 2443 Problema 24 25 Uma barra de plástico tem a forma de uma circunferência de raio R 820 cm A barra possui uma carga Q1 420 pC uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga Q2 6Q1 distribuída uniformemente ao longo do resto da circunferência Fig 2444 Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico a no centro C da circunferência e b no ponto P que está no eixo central da circunferência a uma distância D 671 cm do centro Figura 2444 Problema 25 26 A Fig 2445 mostra uma barra fina com uma densidade de carga uniforme de 200 μCm Determine o potencial elétrico no ponto P se d D L400 Suponha que o potencial é zero no infinito Figura 2445 Problema 26 27 Na Fig 2446 três barras finas de plástico têm a forma de quadrantes de circunferência com o mesmo centro de curvatura situado na origem As cargas uniformes das barras são Q1 30 nC Q2 30Q1 e Q3 80Q1 Determine o potencial elétrico na origem 1 2 3 Figura 2446 Problema 27 28 A Fig 2447 mostra uma barra fina de plástico que coincide com o eixo x A barra tem um comprimento L 120 cm e uma carga positiva uniforme Q 561 fC uniformemente distribuída Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo x a uma distância d 250 cm de uma das extremidades da barra Figura 2447 Problemas 28 33 38 e 40 29 Na Fig 2448 determine o potencial elétrico produzido na origem por um arco de circunferência de carga Q1 721 pC e duas partículas de cargas Q2 400Q1 e Q3 200Q1 O centro de curvatura do arco está na origem o raio do arco é R 200 m e o ângulo indicado é θ 200o Figura 2448 Problema 29 30 O rosto sorridente da Fig 2449 é formado por três elementos uma barra fina com carga de 30 μC e a forma de uma circunferência completa com 60 cm de raio uma segunda barra fina com carga de 20 μC e a forma de um arco de circunferência com 40 cm de raio concêntrico com o primeiro elemento que subtende um ângulo de 90o um dipolo elétrico cujo momento dipolar é perpendicular a um diâmetro da circunferência e cujo módulo é 128 1021 C m Figura 2449 Problema 30 Determine o potencial elétrico no centro da circunferência 31 Um disco de plástico de raio R 640 cm é carregado na face superior com uma densidade superficial de cargas uniforme 773 fCm2 em seguida três quadrantes do disco são removidos A Fig 2450 mostra o quadrante remanescente Com V 0 no infinito qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P que está no eixo central do disco original a uma distância D 259 cm do centro do disco Figura 2450 Problema 31 32 Uma distribuição linear de carga não uniforme dada por λ bx em que b é uma constante está situada no eixo x entre x 0 e x 020 m Se b 20 nCm2 e V 0 no infinito determine o potencial elétrico a na origem e b no ponto y 015 m do eixo y 33 A barra fina de plástico que aparece na Fig 2447 tem um comprimento L 120 cm e uma densidade linear de carga não uniforme λ cx em que c 289 pCm2 Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo x a uma distância d 300 cm de uma das extremidades Módulo 246 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial 34 Duas placas metálicas paralelas de grande extensão são mantidas a uma distância de 15 cm e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfícies internas Considere o potencial da placa negativa como zero Se o potencial a meio caminho entre as placas é 50 V qual é o campo elétrico na região entre as placas 35 O potencial elétrico no plano xy é dado por V 20 Vm2x2 30 Vm2y2 Qual é o campo elétrico no ponto 30 m 20 m na notação dos vetores unitários 36 O potencial elétrico V no espaço entre duas placas paralelas 1 e 2 é dado em volts por V 1500x2 em que x em metros é a distância da placa 1 Para x 13 cm a determine o módulo do campo elétrico b O campo elétrico aponta para a placa 1 ou no sentido oposto 37 Qual é o módulo do campo elétrico no ponto m se o potencial elétrico é dado por V 200xyz2 em que V está em volts e x y e z estão em metros 38 A Fig 2447 mostra uma barra fina de plástico de comprimento L 135 cm e carga de 436 fC uniformemente distribuída a Determine uma expressão para o potencial elétrico no ponto P1 em função da distância d b Substitua d pela variável x e escreva uma expressão para o módulo da componente Ex do campo elétrico no ponto P1 c Qual é o sentido de Ex em relação ao sentido positivo do eixo x d Qual é o valor de Ex no ponto P1 para x d 620 cm e Determine o valor de Ey no ponto P1 a partir da simetria da Fig 2447 39 Um elétron é colocado no plano xy onde o potencial elétrico varia com x e y de acordo com os gráficos da Fig 2451 o potencial não depende de z A escala do eixo vertical é definida por Vs 500 V Qual é a força a que é submetido o elétron na notação dos vetores unitários Figura 2451 Problema 39 40 A barra fina de plástico da Fig 2447 tem comprimento L 100 cm e uma densidade linear de carga não uniforme λ cx em que c 499 pCm a Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P2 situado no eixo y em y D 356 cm b Determine a componente do campo elétrico Ey no ponto P2 c Por que a componente Ex do campo em P2 não pode ser calculada usando o resultado do item a Módulo 247 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas 41 Uma partícula de carga 75 μC é liberada a partir do repouso no ponto x 60 cm A partícula começa a se mover devido à presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem Qual é a energia cinética da partícula após se deslocar 40 cm a se Q 20 μC e b se Q 20 μC 42 a Qual é a energia potencial elétrica de dois elétrons separados por uma distância de 200 nm b Se a distância diminui a energia potencial aumenta ou diminui 43 Qual é o trabalho necessário para montar o arranjo da Fig 2452 se q 230 pC a 640 cm e as partículas estão inicialmente em repouso e infinitamente afastadas umas das outras Figura 2452 Problema 43 44 Na Fig 2453 sete partículas carregadas são mantidas fixas no lugar para formar um quadrado com 40 cm de lado Qual é o trabalho necessário para deslocar para o centro do quadrado uma partícula de carga 6e inicialmente em repouso a uma distância infinita Figura 2453 Problema 44 45 Uma partícula de carga q é mantida fixa no ponto P e uma segunda partícula de massa m com a mesma carga q é mantida inicialmente a uma distância r1 de P A segunda partícula é liberada Determine a velocidade da segunda partícula quando ela se encontra a uma distância r2 do ponto P Considere que q 31 μC m 20 mg r1 090 mm e r2 25 mm 46 Uma carga de 90 nC está distribuída uniformemente em um anel fino de plástico situado no plano yz com o centro do anel na origem Uma carga pontual de 60 pC está situada no ponto x 30 m do eixo x Se o raio do anel é 15 m qual deve ser o trabalho realizado por uma força externa sobre a carga pontual para deslocála até a origem 47 Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com 10 cm de raio e uma carga uniformemente distribuída de 16 1015 C Em outras palavras que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero 48 Uma casca fina esférica condutora de raio R é montada em um suporte isolado e carregada até atingir um potencial de 125 V Em seguida um elétron é disparado na direção do centro da casca a partir do ponto P situado a uma distância r do centro da casca r R Qual deve ser a velocidade inicial v0 do elétron para que chegue a uma distância insignificante da casca antes de parar e inverter o movimento 49 Dois elétrons são mantidos fixos separados por uma distância de 20 cm Outro elétron é arremessado a partir do infinito e para no ponto médio entre os dois elétrons Determine a velocidade inicial do terceiro elétron 50 Na Fig 2454 determine o trabalho necessário para deslocar uma partícula de carga Q 16e inicialmente em repouso ao longo da reta tracejada do infinito até o ponto indicado nas proximidades de duas partículas fixas de cargas q1 4e e q2 q12 Suponha que d 140 cm θ1 43o e θ2 60o Figura 2454 Problema 50 51 No retângulo da Fig 2455 os comprimentos dos lados são 50 cm e 15 cm q1 50 μC e q2 20 μC Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico a no vértice A e b no vértice B c Determine o trabalho necessário para deslocar uma carga q3 30 μC de B para A ao longo da diagonal do retângulo d Esse trabalho faz a energia potencial elétrica do sistema de três partículas aumentar ou diminuir O trabalho será maior menor ou igual se a carga q3 for deslocada ao longo de uma trajetória e no interior do retângulo mas que não coincide com a diagonal e f do lado de fora do retângulo Figura 2455 Problema 51 52 A Fig 2456a mostra um elétron que se move ao longo do eixo de um dipolo elétrico em direção ao lado negativo do dipolo O dipolo é mantido fixo no lugar O elétron estava inicialmente a uma distância muito grande do dipolo com uma energia cinética de 100 eV A Fig 2456b mostra a energia cinética K do elétron em função da distância r em relação ao centro do dipolo A escala do eixo horizontal é definida por rs 010 m Qual é o módulo do momento dipolar Figura 2456 Problema 52 53 Duas pequenas esferas metálicas A e B de massas mA 500 g e mB 100 g possuem a mesma carga positiva q 500 μC As esferas estão ligadas por um fio isolante de massa desprezível e comprimento d 100 m muito maior que os raios das esferas a Qual é a energia potencial elétrica do sistema b Suponha que o fio seja cortado Qual é a aceleração de cada esfera nesse instante c Qual é a velocidade de cada esfera muito tempo depois de o fio ter sido cortado 54 Um pósitron de carga e massa igual à do elétron está se movendo a uma velocidade de 10 107 ms no sentido positivo do eixo x quando em x 0 encontra um campo elétrico paralelo ao eixo x A Fig 2457 mostra o potencial elétrico V associado ao campo A escala do eixo vertical é definida por Vs 5000 V a O pósitron emerge da região em que existe o campo em x 0 o que significa que o movimento se inverte ou em x 050 m o que significa que o movimento não se inverte b Com que velocidade o pósitron emerge da região Figura 2457 Problema 54 55 Um elétron é lançado com uma velocidade inicial de 32 105 ms em direção a um próton mantido fixo no lugar Se o elétron se encontra inicialmente a uma grande distância do próton a que distância do próton a velocidade instantânea do elétron é duas vezes maior que o valor inicial 56 A Fig 2458a mostra três partículas no eixo x A partícula 1 com uma carga de 50 μC e a partícula 2 com uma carga de 30 μC são mantidas fixas no lugar separadas por uma distância d 40 cm A partícula 3 pode ser deslocada ao longo do eixo x à direita da partícula 2 A Fig 2458b mostra a energia potencial elétrica U do sistema de três partículas em função da coordenada x da partícula 3 A escala do eixo vertical é definida por Us 50 J Qual é a carga da partícula 3 Figura 2458 Problema 56 57 Duas cargas de 50 μC são mantidas fixas no eixo x nos pontos x 30 m e x 30 m Uma partícula de carga q 15 μC é liberada a partir do repouso em um ponto situado no semieixo y positivo Devido à simetria da situação a partícula se move ao longo do eixo y e possui uma energia cinética de 12 J ao passar pelo ponto x 0 y 40 m a Qual é a energia cinética da partícula ao passar pela origem b Para qual valor negativo de y a partícula inverte o movimento 58 Um próton em um poço de potencial A Fig 2459 mostra o potencial elétrico V ao longo de um eixo x A escala do eixo vertical é definida por Vs 100 V Um próton é liberado no ponto x 35 cm com uma energia cinética inicial de 400 eV a Um próton que está se movendo inicialmente no sentido negativo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 0 b Um próton que está se movendo inicialmente no sentido positivo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 60 cm Determine c o módulo F e d a orientação sentido positivo ou negativo do eixo x da força elétrica a que o próton está submetido quando se encontra ligeiramente à esquerda do ponto x 30 cm Determine e o módulo F e f a orientação da força elétrica quando o próton se encontra ligeiramente à direita do ponto x 50 cm Figura 2459 Problema 58 59 Na Fig 2460 uma partícula carregada um elétron ou um próton está se movendo para a direita entre duas placas paralelas carregadas separadas por uma distância d 200 mm Os potenciais das placas são V1 700 V e V2 500 V A partícula partiu da placa da esquerda com uma velocidade inicial de 900 kms mas a velocidade está diminuindo a A partícula é um elétron ou um próton b Qual é a velocidade da partícula ao chegar à placa 2 Figura 2460 Problema 59 60 Na Fig 2461a um elétron é deslocado a partir de uma distância infinita para um ponto situado a uma distância R 800 cm de uma pequena esfera carregada O trabalho necessário para executar o deslocamento é W 216 1013 J a Qual é a carga Q da esfera Na Fig 2461b a esfera foi cortada em pedaços e os pedaços foram espalhados de tal forma que cargas iguais ocupam as posições das horas no mostrador circular de um relógio de raio R 800 cm O elétron é deslocado a partir de uma distância infinita até o centro do mostrador b Qual é a variação da energia potencial elétrica do sistema com a adição do elétron ao sistema de 12 partículas carregadas Figura 2461 Problema 60 61 Suponha que N elétrons possam ser colocados em duas configurações diferentes Na configuração 1 todos os elétrons estão distribuídos uniformemente ao longo de um anel circular estreito de raio R Na configuração 2 N 1 elétrons estão distribuídos uniformemente ao longo do anel e o elétron restante é colocado no centro do anel a Qual é o menor valor de N para o qual a segunda configuração possui menor energia que a primeira b Para esse valor de N considere um dos elétrons do anel e0 Quantos elétrons do anel estão mais próximos de e0 que o elétron central Módulo 248 Potencial de um Condutor Carregado 62 A esfera 1 de raio R1 possui uma carga positiva q A esfera 2 de raio 200R1 está muito afastada da esfera 1 e inicialmente descarregada Quando as esferas são ligadas por um fio suficientemente fino para que a carga que contém possa ser desprezada a o potencial V1 da esfera 1 se torna maior menor ou igual ao potencial V2 da esfera 2 b Que fração da carga q permanece na esfera 1 c Que fração da carga q é transferida para a esfera 2 d Qual é a razão σ1σ2 entre as cargas das duas esferas 63 Os centros de duas esferas metálicas ambas com 30 cm de raio estão separados por uma distância de 20 m A esfera 1 possui uma carga de 10 108 C e a esfera 2 possui uma carga de 30 108 C Suponha que a distância entre as esferas seja suficiente para que se possa supor que a carga das esferas está uniformemente distribuída ou seja suponha que as esferas não se afetam mutuamente Com V 0 no infinito determine a o potencial no ponto a meio caminho entre os centros das esferas b o potencial na superfície da esfera 1 e c o potencial na superfície da esfera 2 64 Uma esfera oca de metal possui um potencial de 400 V em relação à terra definida como V 0 e uma carga de 5 109 C Determine o potencial elétrico no centro da esfera 65 Qual é a carga em excesso de uma esfera condutora de raio r 015 m se o potencial da esfera é 1500 V e V 0 no infinito 66 Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R1 0500 m e R2 100 m cargas uniformes q1 200 μC e q2 100 μC e espessura insignificante Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância do centro de curvatura das cascas a r 400 b r 0700 m e c r 0200 m Com V 0 no infinito determine V para d r 400 m e r 100 m f r 0700 m g r 0500 m h r 0200 m e i r 0 j Plote Er e Vr 67 Uma esfera metálica com 15 cm de raio possui uma carga de 30 108 C a Qual é o campo elétrico na superfície da esfera b Se V 0 no infinito qual é o potencial elétrico na superfície da esfera c A que distância da superfície da esfera o potencial é 500 V menor que na superfície da esfera Problemas Adicionais 68 As cargas e coordenadas de duas cargas pontuais situadas no plano xy são q1 300 106 C x 350 cm y 0500 cm e q2 400 106 C x 200 cm y 150 cm Qual é o trabalho necessário para colocar as cargas nas posições especificadas supondo que a distância inicial entre elas é infinita 69 Um cilindro condutor longo tem 20 cm de raio O campo elétrico na superfície do cilindro é 160 NC orientado radialmente para longe do eixo Sejam A B e C pontos situados respectivamente a 10 cm 20 cm e 50 cm de distância do eixo do cilindro Determine a o módulo do campo elétrico no ponto C b a diferença de potencial VB VC e c a diferença de potencial VA VB 70 O mistério do chocolate em pó Essa história começa no Problema 60 do Capítulo 23 a A partir da resposta do item a do citado problema determine uma expressão para o potencial elétrico em função da distância r do eixo do cano O potencial é zero na parede do cano que está ligado à terra b Para uma densidade volumétrica de carga típica ρ 11 103 Cm3 qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo do cano e a parede interna A história continua no Problema 60 do Capítulo 25 71 A partir de Eq 2430 escreva uma expressão para o campo elétrico produzido por um dipolo em um ponto do eixo do dipolo 72 O módulo E de um campo elétrico varia com a distância r segundo a equação E Ar4 em que A é uma constante em voltsmetros cúbicos Em termos de A qual é o valor absoluto da diferença de potencial elétrico entre os pontos r 200 m e r 300 m 73 a Se uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga de 40 μC e se V 0 no infinito qual é o potencial na superfície da esfera b Esta situação é possível dado que o ar em torno da esfera sofre ruptura dielétrica quando o campo ultrapassa 30 MVm 74 Três partículas de cargas q1 10 μC q2 20 μC e q3 30 μC são posicionadas nos vértices de um triângulo isósceles como mostra a Fig 2462 Se a 10 cm e b 60 cm determine qual deve ser o trabalho realizado por um agente externo a para trocar as posições de q1 e q3 e b para trocar as posições de q1 e q2 Figura 2462 Problema 74 75 Um campo elétrico de aproximadamente 100 Vm é frequentemente observado nas vizinhanças da superfície terrestre Se esse campo existisse na Terra inteira qual seria o potencial elétrico de um ponto da superfície Considere V 0 no infinito 76 Uma esfera gaussiana com 400 cm de raio envolve uma esfera com 100 cm de raio que contém uma distribuição uniforme de cargas As duas esferas são concêntricas e o fluxo elétrico através da superfície da esfera gaussiana é 560 104 N m2C Qual é o potencial elétrico a 120 cm do centro das esferas 77 Em uma experiência de Millikan com gotas de óleo Módulo 226 um campo elétrico uniforme de 192 105 NC é mantido na região entre duas placas separadas por uma distância de 150 cm Calcule a diferença de potencial entre as placas 78 A Fig 2463 mostra três arcos de circunferência isolantes de raio R 850 cm As cargas dos arcos são q1 452 pC q2 200q1 e q3 300q1 Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico dos arcos no centro de curvatura comum Figura 2463 Problema 78 79 Um elétron é liberado a partir do repouso no eixo de um dipolo elétrico mantido fixo no lugar cuja carga é e e cuja distância entre as cargas é d 20 pm O ponto em que o elétron é liberado fica no lado positivo do dipolo a uma distância de 70d do centro do dipolo Qual é a velocidade do elétron ao chegar a uma distância de 50d do centro do dipolo 80 A Fig 2464 mostra um anel com um raio externo R 130 cm um raio interno r 0200R e uma densidade superficial de cargas uniforme σ 620 pCm2 Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P situado no eixo central do anel a uma distância z 200R do centro do anel Figura 2464 Problema 80 81 Um elétron em um poço de potencial A Fig 2465 mostra o potencial elétrico V ao longo do eixo x A escala do eixo vertical é definida por Vs 80 V Um elétron é liberado no ponto x 45 cm com uma energia inicial de 300 eV a Um elétron que está se movendo inicialmente no sentido negativo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 0 b Um elétron que está se movendo inicialmente no sentido positivo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 70 cm Determine c o módulo F e d a orientação sentido positivo ou negativo do eixo x da força elétrica a que o elétron está submetido quando se encontra ligeiramente à esquerda do ponto x 40 cm Determine e o módulo F e f a orientação da força elétrica quando o elétron se encontra ligeiramente à direita do ponto x 50 cm Figura 2465 Problema 81 82 a Se a Terra tivesse uma densidade superficial de carga de 10 elétronm2 uma hipótese pouco realista qual seria o potencial da superfície terrestre Tome V 0 no infinito Determine b o módulo e c o sentido para cima ou para baixo do campo elétrico nas vizinhanças da superfície terrestre 83 Na Fig 2466 o ponto P está a uma distância d1 400 m da partícula 1 q1 2e e à distância d2 200 m da partícula 2 q2 2e as duas partículas são mantidas fixas no lugar a Com V 0 no infinito qual é o valor de V no ponto P Se uma partícula de carga q3 2e é deslocada do infinito até o ponto P b qual é o trabalho realizado c Qual é a energia potencial do sistema de três partículas Figura 2466 Problema 83 84 Uma esfera condutora com 30 cm de raio possui uma carga de 30 nC distribuída uniformemente na superfície Sejam A um ponto situado a 10 cm do centro da esfera S um ponto da superfície da esfera e B um ponto situado a 50 cm do centro da esfera a Qual é a diferença de potencial VS VB b Qual é a diferença de potencial VA VB 85 Na Fig 2467 uma partícula de carga 2e é deslocada do infinito até o eixo x Qual é o trabalho realizado A distância D é 400 m Figura 2467 Problema 85 86 A Fig 2468 mostra um hemisfério com uma carga de 400 μC distribuída uniformemente por todo o volume A parte plana do hemisfério coincide com o plano xy O ponto P está situado no plano xy a uma distância de 15 cm do centro do hemisfério Qual é o potencial elétrico do ponto P Figura 2468 Problema 86 87 Três cargas de 012 C formam um triângulo equilátero com 17 m de lado Usando uma energia fornecida à taxa de 083 kW quantos dias são necessários para deslocar uma das cargas para o ponto médio do segmento de reta que liga as outras duas cargas 88 Duas cargas q 20 μC são mantidas fixas a uma distância d 20 cm uma da outra Fig 2469 a Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no ponto C b Qual é o trabalho necessário para deslocar uma terceira carga q 20 μC do infinito até o ponto C c Qual é a energia potencial U da nova configuração Figura 2469 Problema 88 89 Dois elétrons são mantidos fixos no lugar separados por uma distância de 200 μm Qual é o trabalho necessário para deslocar um terceiro elétron do infinito até a posição em que forma um triângulo equilátero com os outros dois elétrons 90 Uma partícula de carga positiva Q é mantida fixa no ponto P Uma segunda partícula de massa m e carga negativa q se move com velocidade constante em uma circunferência de raio r1 e centro em P Escreva uma expressão para o trabalho W que deve ser executado por um agente externo sobre a segunda partícula para que o raio da circunferência aumente para r2 91 Duas superfícies planas condutoras carregadas estão separadas por uma distância d 100 e produzem uma diferença de potencial ΔV 625 V Um elétron é lançado de uma das placas em direção à outra perpendicularmente às duas superfícies Qual é a velocidade inicial do elétron se ele chega à segunda superfície com velocidade zero 92 Na Fig 2470 o ponto P está no centro do retângulo Com V 0 no infinito q1 500 fC q2 200 fC q3 300 fC e d 254 cm qual é o potencial elétrico no ponto P Figura 2470 Problema 92 93 Um anel circular fino situado no plano xy e com centro na origem possui uma carga de 160 μC distribuída uniformemente O raio do anel é 300 cm Se o ponto A está na origem e o ponto B está no eixo z em z 400 cm qual é a diferença de potencial VB VA 94 Considere uma partícula com carga q 150 108 C e tome V 0 no infinito a Quais são a forma e as dimensões de uma superfície equipotencial com um potencial de 300 V produzido exclusivamente pela carga q b As superfícies cujos potenciais diferem de um valor constante 10 V por exemplo são igualmente espaçadas 95 Uma casca esférica de carga Q e densidade volumétrica de cargas uniforme ρ é limitada pelas superfícies r r1 e r r2 com r2 r1 Tomando V 0 no infinito determine o potencial elétrico V em função da distância r em relação ao centro da casca considerando as regiões a r r2 b r2 r r1 c r r1 d As soluções são compatíveis para r r2 e r r1 Sugestão Veja o Módulo 236 96 Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R Tome V 0 no infinito Determine a o potencial V para r R e b a diferença de potencial entre o ponto r R e o ponto r 0 97 Uma esfera de cobre com 10 cm de raio é revestida com uma fina camada de níquel Alguns átomos de níquel são radioativos e se desintegram emitindo elétrons Metade desses elétrons penetra na esfera de cobre depositando uma energia de 100 keV cada um Os outros elétrons escapam levando com eles uma carga e O revestimento de níquel tem uma atividade de 370 108 decaimentos por segundo A esfera está pendurada por um fio isolante e está isolada do ambiente a Quanto tempo o potencial da esfera leva para atingir 1000 V b Quanto tempo a temperatura da esfera leva para aumentar de 50 K devido à energia depositada pelos elétrons A capacidade térmica da esfera é 14 JK 98 Na Fig 2471 uma casca esférica de metal com carga q 500 μC e raio r 300 cm está no centro de outra casca esférica de metal com carga Q 150 μC e raio R 600 cm a Qual é a diferença de potencial entre as esferas Se as esferas forem ligadas por um fio condutor qual será a carga b na casca menor e c na casca maior Figura 2471 Problema 98 99 a Use a Eq 2432 para mostrar que o potencial elétrico em um ponto do eixo central de um anel fino de carga q e raio R situado a uma distância z do centro do anel é dado por b A partir desse resultado escreva uma expressão para o valor do campo E em pontos do eixo do anel compare o resultado com o que foi obtido por integração no Módulo 224 100 Uma partícula alfa que possui dois prótons está rumando diretamente para o centro de um núcleo que contém 92 prótons A partícula alfa possui uma energia cinética inicial de 048 pJ Qual é a menor distância centro a centro a que a partícula alfa consegue chegar do núcleo supondo que o núcleo seja mantido fixo no lugar 101 No modelo dos quarks das partículas subatômicas um próton é formado por três quarks dois quarks up com uma carga de 2e3 cada um e um quark down com uma carga de e3 Suponha que os três quarks estejam equidistantes no interior do próton Tome a distância entre os quarks como 132 1015 m e calcule a energia potencial elétrica do sistema a apenas para os dois quarks up e b para os três quarks 102 Uma esfera de metal com 160 cm de raio possui uma carga de 150 108 C Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico na superfície da esfera 103 Na Fig 2472 duas partículas com cargas q1 e q2 são mantidas fixas no eixo x Se uma terceira partícula com carga de 60 μC é deslocada para o ponto P a partir de uma distância infinita a energia potencial elétrica do sistema de três partículas é igual à energia potencial elétrica do sistema de duas partículas original Qual é o valor da razão q1q2 Figura 2472 Problema 103 CAPÍTULO 25 Capacitância 251 CAPACITÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2501 Desenhar um diagrama esquemático de um circuito com um capacitor de placas paralelas uma bateria e uma chave aberta ou fechada 2502 Em um circuito com uma bateria uma chave aberta e um capacitor descarregado explicar o que acontece aos elétrons de condução quando a chave é fechada 2503 Conhecer a relação entre o valor absoluto da carga q nas duas placas do capacitor a carga do capacitor a diferença de potencial V entre as placas do capacitor a tensão do capacitor e a capacitância C do capacitor IdeiasChave Um capacitor é constituído por dois condutores isolados as placas que podem receber cargas q e q A capacitância C é definida pela equação q CV em que V é a diferença de potencial entre as placas Quando um circuito formado por uma bateria uma chave aberta e um capacitor descarregado é completado pelo fechamento da chave os elétrons de condução mudam de posição deixando as placas do capacitor com cargas opostas Paul SilvermannFundamental Photographs Figura 251 Vários tipos de capacitores Figura 252 Dois condutores isolados entre si e do ambiente formam um capacitor Quando um capacitor está carregado as cargas dos condutores ou placas como são chamados têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos O que É Física Um dos objetivos da física é estabelecer os princípios básicos dos dispositivos práticos projetados pelos engenheiros Este capítulo trata de um exemplo extremamente comum o capacitor um dispositivo usado para armazenar energia elétrica As pilhas de uma máquina fotográfica por exemplo armazenam a energia necessária para disparar o flash carregando um capacitor Como as pilhas só podem fornecer energia aos poucos não seria possível produzir uma luz muito forte usando diretamente a energia das pilhas Um capacitor carregado pode fornecer a energia com uma rapidez muito maior o suficiente para produzir um clarão quando a lâmpada de flash é acionada A física dos capacitores pode ser aplicada a outros dispositivos e outras situações que envolvem campos elétricos O campo elétrico existente na atmosfera da Terra por exemplo é modelado pelos meteorologistas como sendo produzido por um gigantesco capacitor esférico que se descarrega parcialmente por meio de relâmpagos A carga que os esquis acumulam ao deslizarem na neve pode ser modelada como sendo acumulada em um capacitor que se descarrega frequentemente por meio de centelhas que podem ser vistas quando se esquia à noite na neve seca O primeiro passo em nossa discussão dos capacitores será determinar a quantidade de carga que um capacitor é capaz de armazenar Essa quantidade é descrita por uma grandeza conhecida como capacitância Capacitância A Fig 251 mostra alguns dos muitos tipos e tamanhos de capacitores A Fig 252 mostra os elementos básicos de qualquer capacitor dois condutores isolados entre si Seja qual for a forma dos condutores eles recebem o nome de placas A Fig 253a mostra um arranjo particular conhecido como capacitor de placas paralelas formado por duas placas paralelas condutoras de área A separadas por uma distância d O símbolo usado para representar um capacitor se baseia na estrutura do capacitor de placas paralelas mas é usado para representar capacitores de qualquer geometria Vamos supor por enquanto que não existe um material isolante como vidro ou plástico na região entre as placas No Módulo 255 essa restrição será suprimida Figura 253 a Um capacitor de placas paralelas feito de duas placas de área A separadas por uma distância d As cargas da superfície interna das placas têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos b Como mostram as linhas de campo o campo elétrico produzido pelas placas carregadas é uniforme na região central entre as placas Nas bordas das placas o campo não é uniforme Quando um capacitor está carregado as placas contêm cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos q e q Entretanto por convenção dizemos que a carga de um capacitor é q o valor absoluto da carga de uma das placas Note que q não é a carga total do capacitor que é sempre zero Como são feitas de material condutor as placas são superfícies equipotenciais todos os pontos da placa de um capacitor estão no mesmo potencial elétrico Além disso existe uma diferença de potencial entre as duas placas Por razões históricas essa diferença de potencial é representada pelo símbolo V e não por ΔV como nos casos anteriores A carga q e a diferença de potencial V de um capacitor são proporcionais A constante de proporcionalidade C é chamada de capacitância do capacitor o valor de C depende da geometria das placas mas não depende da carga nem da diferença de potencial A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nas placas para produzir certa diferença de potencial Quanto maior a capacitância maior a carga necessária De acordo com a Eq 251 a unidade de capacitância no SI é o coulomb por volt Essa unidade ocorre com tanta frequência que recebeu um nome especial o farad F Como vamos ver o farad é uma unidade muito grande Submúltiplos do farad como o microfarad 1 μF 106 F e o picofarad 1 pF 1012 F são unidades muito mais usadas na prática por serem mais convenientes Carga de um Capacitor Uma forma de carregar um capacitor é colocálo em um circuito elétrico com uma bateria Circuito elétrico é um caminho fechado que pode ser percorrido por uma corrente elétrica Bateria é um dispositivo que mantém uma diferença de potencial entre dois terminais pontos de entrada e de saída de cargas elétricas por meio de reações eletroquímicas nas quais forças elétricas movimentam cargas no interior do dispositivo Na Fig 254a um circuito é formado por uma bateria B uma chave S um capacitor descarregado C e fios de ligação O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da Fig 254b no qual os símbolos de bateria chave e capacitor representam esses dispositivos A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os terminais O terminal de maior potencial é indicado pelo símbolo e chamado de terminal positivo o terminal de menor potencial é indicado pelo símbolo e chamado de terminal negativo Figura 254 a Circuito formado por uma bateria B uma chave S e as placas a e b de um capacitor C b Diagrama esquemático no qual os elementos do circuito são representados por símbolos Dizemos que o circuito das Figs 254a e 254b está interrompido porque a chave S está aberta e portanto não existe uma ligação elétrica entre os terminais Quando a chave é fechada passa a existir uma ligação elétrica entre os terminais o circuito fica completo e cargas começam a circular pelos componentes do circuito Como vimos no Capítulo 21 as cargas que se movem em um material condutor como o cobre são elétrons Quando o circuito da Fig 254 é completado elétrons são colocados em movimento nos fios pelo campo elétrico criado pela bateria O campo elétrico faz os elétrons se deslocarem da placa a do capacitor para o terminal positivo da bateria a perda de elétrons faz com que a placa a fique positivamente carregada O campo desloca o mesmo número de elétrons do terminal negativo da bateria para a placa b do capacitor o ganho de elétrons faz com que a placa b fique negativamente carregada As cargas da placa a e da placa b têm o mesmo valor absoluto No instante em que a chave é fechada as duas placas estão descarregadas e a diferença de potencial é zero À medida que as placas vão sendo carregadas a diferença de potencial aumenta até se tornar igual à diferença de potencial V entre os terminais da bateria Ao ser atingido o novo equilíbrio a placa a e o terminal positivo da bateria estão no mesmo potencial e não existe um campo elétrico no fio que liga esses dois pontos do circuito O terminal negativo e a placa b também estão no mesmo potencial e não existe um campo elétrico nos fios que ligam o terminal negativo à chave S e a chave S à placa b Uma vez que o campo elétrico nos fios do circuito é zero os elétrons param de se deslocar dizemos então que o capacitor está totalmente carregado com uma diferença de potencial V e uma carga q relacionadas pela Eq 251 Neste livro vamos supor que durante a carga de um capacitor e depois que o capacitor está totalmente carregado as cargas não podem passar de uma placa para a outra pelo espaço que as separa Vamos supor também que um capacitor é capaz de conservar a carga indefinidamente a menos que seja descarregado por meio de um circuito externo Teste 1 A capacitância C de um capacitor aumenta diminui ou permanece a mesma a quando a carga q é multiplicada por dois e b quando a diferença de potencial V é multiplicada por três 252 CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2504 Explicar de que modo a lei de Gauss pode ser usada para determinar a capacitância de um capacitor de placas paralelas 2505 Calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas de um capacitor cilíndrico de um capacitor esférico e de uma esfera isolada IdeiasChave A capacitância de um capacitor pode ser determinada 1 supondo que uma carga q foi colocada nas placas 2 calculando o campo elétrico produzido por essa carga 3 usando o campo elétrico para calcular a diferença de potencial entre as placas e 4 calculando C a partir da relação q CV Alguns resultados são os seguintes A capacitância de um capacitor de placas paralelas planas de área A separadas por uma distância d é dada por A capacitância de um capacitor cilíndrico formado por duas cascas cilíndricas coaxiais de comprimento L e raios a e b é dada por A capacitância de um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b é dada por A capacitância de uma esfera isolada de raio R é dada por C 4 πɛ0R Cálculo da Capacitância Vamos agora discutir o cálculo da capacitância de um capacitor a partir da forma geométrica Como serão analisadas diferentes formas geométricas é conveniente definir um método único para facilitar o trabalho O método em linhas gerais é o seguinte 1 Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q 2 calculamos o campo elétrico entre as placas em função da carga usando a lei de Gauss 3 a partir de calculamos a diferença de potencial V entre as placas usando a Eq 2418 4 calculamos C usando a Eq 251 Antes de começar podemos simplificar o cálculo do campo elétrico e da diferença de potencial fazendo algumas hipóteses que são discutidas a seguir Cálculo do Campo Elétrico Para relacionar o campo elétrico entre as placas de um capacitor à carga q de uma das placas usamos a lei de Gauss em que q é a carga envolvida por uma superfície gaussiana e é o fluxo elétrico que atravessa a superfície Em todos os casos que vamos examinar a superfície gaussiana é escolhida de tal forma que sempre que existe um fluxo tem um módulo constante E e os vetores e são paralelos Nesse caso a Eq 253 se reduz a em que A é a área da parte da superfície gaussiana através da qual existe um fluxo Por conveniência vamos desenhar a superfície gaussiana de forma a envolver totalmente a carga da placa positiva um exemplo aparece na Fig 255 Cálculo da Diferença de Potencial Na notação do Capítulo 24 Eq 2418 a diferença de potencial entre as placas de um capacitor está relacionada ao campo pela equação em que a integral deve ser calculada ao longo de uma trajetória que começa em uma das placas e termina na outra Vamos sempre escolher uma trajetória que coincide com uma linha de campo elétrico da placa negativa até a placa positiva Para esse tipo de trajetória os vetores e têm sentidos opostos e portanto o produto é igual a E ds Assim o lado direito da Eq 255 é positivo Chamando de V a diferença Vf Vi a Eq 255 se torna em que os sinais e indicam que a trajetória de integração começa na placa negativa e termina na placa positiva Vamos agora aplicar as Eqs 254 e 256 a alguns casos particulares Capacitor de Placas Paralelas Vamos supor como sugere a Fig 255 que a placas do nosso capacitor de placas paralelas são tão extensas e tão próximas que podemos desprezar o efeito das bordas e supor que é constante em toda a região entre as placas Escolhemos uma superfície gaussiana que envolve apenas a carga q da placa positiva como na Fig 255 Nesse caso de acordo com a Eq 254 podemos escrever em que A é a área da placa Figura 255 Capacitor de placas paralelas carregado Uma superfície gaussiana envolve a carga da placa positiva A integração da Eq 25 6 é executada ao longo de uma trajetória que vai diretamente da placa negativa para a placa positiva De acordo com a Eq 256 temos Na Eq 258 E pode ser colocado do lado de fora do sinal de integral porque é constante a segunda integral é simplesmente a distância entre as placas d Substituindo o valor de q dado pela Eq 257 e o valor de V dado pela Eq 258 na relação q CV Eq 251 obtemos Assim a capacitância depende de fato apenas de fatores geométricos no caso a área A das placas e a distância d entre as placas Observe que C é diretamente proporcional a A e inversamente proporcional a d A essa altura convém observar que a Eq 259 sugere uma das razões pelas quais escrevemos a constante eletrostática da lei de Coulomb na forma 14πε0 Se não agíssemos dessa forma a Eq 259 que é muito mais usada na engenharia do que a lei de Coulomb teria uma forma bem mais complicada Observamos também que a Eq 259 permite expressar a constante elétrica ε0 em uma unidade mais apropriada para problemas que envolvem capacitores Essa constante tinha sido anteriormente expressa na forma Capacitor Cilíndrico A Fig 256 mostra uma vista em seção reta de um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b Vamos supor que L b para que os efeitos das bordas sobre o campo elétrico possam ser desprezados As duas placas contêm cargas de valor absoluto q Como superfície gaussiana escolhemos um cilindro de comprimento L e raio r visto em seção reta na Fig 256 que é coaxial com os outros dois cilindros e envolve o cilindro interno e portanto a carga q desse cilindro De acordo com a Eq 254 temos q ɛ0EA ɛ0E2 πrL em que 2πrL é a área da superfície lateral do cilindro gaussiano O fluxo através das bases do cilindro é zero Explicitando E obtemos Substituindo este resultado na Eq 256 obtemos em que usamos o fato de que ds dr integramos na direção radial de fora para dentro Usando a relação C qV obtemos Vemos portanto que a capacitância de um capacitor cilíndrico como a de um capacitor de placas paralelas depende apenas de fatores geométricos no caso o comprimento L e os raios a e b Figura 256 Vista em seção reta de um capacitor cilíndrico longo mostrando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r que envolve a placa positiva e uma trajetória de integração radial ao longo da qual a Eq 256 pode ser aplicada A figura também pode representar uma vista em seção reta de um capacitor esférico passando pelo centro Capacitor Esférico A Fig 256 também pode ser interpretada como uma vista em seção reta de um capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b Como superfície gaussiana escolhemos uma esfera de raio r concêntrica com as placas do capacitor Nesse caso temos de acordo com a Eq 254 q ɛ0EA ɛ0E4 πr2 em que 4πr2 é a área da superfície esférica gaussiana Explicitando E obtemos que é a expressão do campo elétrico produzido por uma distribuição esférica uniforme de cargas Eq 23 15 Substituindo esta expressão na Eq 256 obtemos em que mais uma vez temos ds dr Substituindo a Eq 2516 na Eq 251 e explicitando C obtemos Esfera Isolada Podemos atribuir uma capacitância a uma única esfera de raio R feita de material condutor supondo que a placa que falta é uma casca esférica condutora de raio infinito As linhas de campo que deixam a superfície de um condutor positivamente carregado devem terminar em algum lugar as paredes da sala em que se encontra o condutor podem ser consideradas uma boa aproximação de uma esfera de raio infinito Para determinar a capacitância da esfera escrevemos a Eq 2517 na forma Fazendo a R e b obtemos Observe que essa fórmula como as usadas para calcular a capacitância para outras formas geométricas Eqs 259 2514 e 2517 envolve a constante ε0 multiplicada por uma grandeza com dimensão de comprimento Teste 2 No caso de capacitores carregados pela mesma bateria a carga armazenada pelo capacitor aumenta diminui ou permanece a mesma nas situações a seguir a A distância entre as placas de um capacitor de placas paralelas aumenta b O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico aumenta c O raio da casca externa de um capacitor esférico aumenta Exemplo 2501 Carregamento de um capacitor de placas paralelas Na Fig 257a a chave S é fechada para ligar um capacitor descarregado de capacitância C 025 μF a uma bateria cuja diferença de potencial é V 12 V A placa inferior do capacitor tem espessura L 050 cm área A 20 104 m2 e é feita de cobre material no qual a densidade de elétrons de condução é n 849 1028 elétronsm3 De que profundidade d no interior da placa Fig 257b elétrons se movem para a superfície da placa quando o capacitor está totalmente carregado Figura 257 a Circuito com uma bateria e um capacitor b Placa inferior do capacitor IDEIACHAVE A carga que se acumula na placa inferior está relacionada à capacitância e à diferença de potencial entre os terminais do capacitor pela Eq 251 q CV Cálculos Como a placa inferior está ligada ao terminal negativo da bateria elétrons de condução se movem para a superfície da placa De acordo com a Eq 251 a carga total que se acumula na superfície é q CV 025 106 F12 V 30 106 C Dividindo esse resultado por e obtemos o número N de elétrons de condução que se acumulam na superfície Esses elétrons vêm de um volume que é o produto da área da placa A pela profundidade d que queremos determinar Para esse volume a densidade de elétrons de condução elétrons por unidade de volume pode ser escrita na forma Em linguagem coloquial dizemos que a bateria carrega o capacitor fornecendo elétrons a uma placa e removendo elétrons da outra placa Na verdade porém o que a bateria faz é criar um campo elétrico nos fios e na placa que desloca elétrons para a superfície superior da placa inferior e remove elétrons da superfície inferior da placa superior 253 CAPACITORES EM PARALELO E EM SÉRIE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2506 Desenhar diagramas esquemáticos de um circuito com uma bateria e a três capacitores em paralelo e b três capacitores em série 2507 Saber que capacitores em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial que é a mesma a que está submetido o capacitor equivalente 2508 Calcular o capacitor equivalente de capacitores em paralelo 2509 Saber que a carga total armazenada em capacitores em paralelo é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor 2510 Saber que capacitores em série têm a mesma carga que é a mesma do capacitor equivalente 2511 Calcular o capacitor equivalente de capacitores em série 2512 Saber que a diferença de potencial entre as extremidades de um conjunto de capacitores em série é a soma das diferenças de potencial entre os terminais de cada capacitor 2513 No caso de um circuito formado por uma bateria e vários capacitores em série e em paralelo simplificar o circuito por etapas substituindo os capacitores em série e os capacitores equivalentes por capacitores equivalentes até que a carga e a diferença de potencial entre os terminais de um único capacitor equivalente possam ser determinadas e em seguida inverter o processo para determinar a carga e a diferença de potencial entre os terminais de cada capacitor 2514 No caso de um circuito formado por uma bateria uma chave aberta e um ou mais capacitores descarregados determinar a carga que atravessa um ponto do circuito quando a chave é fechada 2515 Quando um capacitor carregado é ligado em paralelo com um ou mais capacitores descarregados determinar a carga e a diferença de potencial entre os terminais de cada capacitor depois que o equilíbrio é atingido IdeiaChave A capacitância equivalente Ceq de combinações de capacitores em paralelo e em série é dada pelas equações e As capacitâncias equivalentes podem ser usadas para calcular a capacitância de combinações mais complicadas de capacitores em paralelo e em série Capacitores em Paralelo e em Série Os capacitores de um circuito ou de parte de um circuito às vezes podem ser substituídos por um capacitor equivalente ou seja um único capacitor com a mesma capacitância que o conjunto de capacitores Usando essas substituições podemos simplificar os circuitos e calcular com mais facilidade seus parâmetros Vamos agora discutir as duas combinações básicas de capacitores que permitem fazer esse tipo de substituição Capacitores em Paralelo A Fig 258a mostra um circuito elétrico com três capacitores ligados em paralelo à bateria B Essa descrição pouco tem a ver com o modo como os capacitores são desenhados A expressão em paralelo significa que uma das placas de um dos capacitores está ligada diretamente a uma das placas dos outros capacitores e a outra placa está ligada diretamente à outra placa dos outros capacitores de modo que existe a mesma diferença de potencial V entre as placas dos três capacitores Na Fig 258a essa diferença de potencial é estabelecida pela bateria B No caso geral Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em paralelo a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de todos os capacitores e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores Quando analisamos um circuito que contém capacitores em paralelo podemos simplificálo usando a seguinte regra Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais A Fig 258b mostra o capacitor equivalente com uma capacitância equivalente Ceq usado para substituir os três capacitores de capacitâncias C1 C2 e C3 da Fig 258a Para obter o valor de Ceq na Fig 258b usamos a Eq 251 para determinar a carga dos capacitores q1 C1V q2 C2V e q3 C3V A carga total dos capacitores da Fig 258a é portanto q q1 q2 q3 C1 C2 C3V A capacitância equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais é portanto um resultado que pode ser facilmente generalizado para um número arbitrário n de capacitores Assim para obter a capacitância equivalente de uma combinação de capacitores em paralelo basta somar as capacitâncias individuais Capacitores em Série A Fig 259a mostra três capacitores ligados em série à bateria B Essa descrição pouco tem a ver com o modo como os capacitores são desenhados A expressão em série significa que os capacitores são ligados em sequência um após outro e uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades do conjunto Na Fig 259a a diferença de potencial V é estabelecida pela bateria B As diferenças de potencial entre as placas dos capacitores fazem com que todos armazenem a mesma carga q Figura 258 a Três capacitores ligados em paralelo a uma bateria B A bateria estabelece uma diferença de potencial V entre seus terminais e portanto entre os terminais dos capacitores b Os três capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente de capacitância Ceq 1 2 Figura 259 a Três capacitores ligados em série a uma bateria B A bateria estabelece uma diferença de potencial V entre a placa superior e a placa inferior da combinação em série b Os três capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente de capacitância Ceq Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em série a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada V Podemos explicar por que todos os capacitores armazenam a mesma carga acompanhando uma reação em cadeia de eventos na qual o carregamento de um capacitor provoca o carregamento do capacitor seguinte Começamos com o capacitor 3 e continuamos até chegar ao capacitor 1 Quando a bateria é ligada aos capacitores em série ela faz com que uma carga q se acumule na placa inferior do capacitor 3 Essa carga repele as cargas negativas da placa superior do capacitor 3 deixandoa com uma carga q A carga que foi repelida é transferida para a placa inferior do capacitor 2 fazendo com que acumule uma carga q Essa carga repele as cargas negativas da placa superior do capacitor 2 deixando a com uma carga q A carga que foi repelida é transferida para a placa inferior do capacitor 1 fazendo com que acumule uma carga q Finalmente essa carga repele as cargas negativas da placa superior do capacitor 1 deixandoa com uma carga q Dois fatos importantes a respeito dos capacitores em série são os seguintes Quando a carga é transferida de um capacitor para outro em um conjunto de capacitores em série deve haver apenas um percurso para a carga como o percurso da placa superior do capacitor 3 para a placa inferior do capacitor 2 na Fig 259a Quando houver mais de um percurso isso significa que os capacitores não estão em série A bateria produz cargas apenas nas duas placas às quais está ligada diretamente no caso da Fig 25 9a a placa inferior do capacitor 3 e a placa superior do capacitor 1 As cargas produzidas nas outras placas se devem ao deslocamento de cargas já existentes nessas placas Assim por exemplo na Fig 259a a parte do circuito envolvida por linhas tracejadas está isolada eletricamente do resto do circuito e portanto a carga total dessa parte do circuito não pode ser modificada pela bateria embora possa ser redistribuída Quando analisamos um circuito que contém capacitores em série podemos simplificálo usando a seguinte regra Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial total V que os capacitores originais A Fig 259b mostra o capacitor equivalente com uma capacitância equivalente Ceq usado para substituir os três capacitores de capacitâncias C1 C2 e C3 da Fig 259a Para obter o valor de Ceq na Fig 259b usamos a Eq 251 para determinar as diferenças de potencial entre as placas dos capacitores A diferença de potencial total V produzida pela bateria é a soma das três diferenças de potencial Assim A capacitância equivalente é portanto um resultado que pode ser facilmente generalizado para um número arbitrário n de capacitores como Usando a Eq 2520 é fácil mostrar que a capacitância equivalente de dois ou mais capacitores ligados em série é sempre menor que a menor capacitância dos capacitores individuais Teste 3 Uma bateria de potencial V armazena uma carga q em uma combinação de dois capacitores iguais Determine a diferença de potencial e a carga em cada capacitor a se os capacitores estiverem ligados em paralelo e b se os capacitores estiverem ligados em série Exemplo 2502 Capacitores em paralelo e em série a Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que aparece na Fig 2510a à qual é aplicada uma diferença de potencial V Os valores das capacitâncias são os seguintes C1 120 μF C2 530 μF e C3 450 μF IDEIACHAVE Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente e capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente Assim a primeira coisa a fazer é verificar se no circuito da Fig 2510a existem capacitores em paralelo eou em série Figura 2510 ad Três capacitores são reduzidos a um capacitor equivalente ei Para calcular as cargas trabalhamos no sentido inverso Determinação da capacitância equivalente Os capacitores 1 e 3 estão ligados um após o outro mas será que estão ligados em série A resposta é negativa O potencial V aplicado aos capacitores faz com que uma carga se acumule na placa inferior do capacitor 3 Essa carga faz com que uma carga de mesmo valor absoluto deixe a placa superior do capacitor 3 Observe porém que essa carga se divide entre as placas inferiores dos capacitores 1 e 2 Como existe mais de um caminho para a carga o capacitor 3 não está em série com o capacitor 1 nem com o capacitor 2 Os capacitores 1 e 2 estão em paralelo A resposta é afirmativa As placas superiores dos dois capacitores estão ligadas entre si o que também acontece com as placas inferiores desse modo existe a mesma diferença de potencial entre as placas do capacitor 1 e entre as placas do capacitor 2 Uma vez que os capacitores 1 e 2 estão em paralelo a capacitância equivalente C12 dos dois capacitores de acordo com a Eq 2519 é dada por C12 C1 C2 120 μF 530 μF 173 μF Na Fig 2510b substituímos os capacitores 1 e 2 pelo capacitor equivalente dos dois capacitores que chamamos de capacitor 12 pronunciado como um dois e não como doze As ligações ao resto do circuito nos pontos A e B são as mesmas nas Figs 25 10a e 2510b O capacitor 12 está em série com o capacitor 3 Aplicando novamente o teste para capacitores em série vemos que toda a carga que deixa a placa superior do capacitor 3 vai para a placa inferior do capacitor 12 Assim o capacitor 12 e o capacitor 3 estão em série e podem ser substituídos por um capacitor equivalente C123 um dois três como mostra a Fig 2510c De acordo com a Eq 2520 temos e portanto b A diferença de potencial aplicada aos terminais de entrada da Fig 2510a é V 125 V Qual é a carga de C1 IDEIASCHAVE Agora estamos interessados em calcular a carga de um dos capacitores a partir da capacitância equivalente Para percorrer esse caminho inverso utilizamos dois princípios 1 A carga de capacitores em série é igual à carga do capacitor equivalente 2 A diferença de potencial de capacitores em paralelo é igual à diferença do capacitor equivalente Caminho inverso Para calcular a carga q1 do capacitor 1 devemos chegar a esse capacitor pelo caminho inverso começando com o capacitor equivalente C123 Como a diferença de potencial dada V 125 é aplicada ao conjunto de três capacitores da Fig 2510a também é aplicada ao capacitor equivalente das Figs 2510d e 2510e Assim de acordo com a Eq 251 q CV temos q123 C123V 357 μF125 V 446 μC Os capacitores em série 12 e 3 da Fig 2510b têm a mesma carga que o capacitor equivalente 123 Fig 2510f Assim a carga do capacitor 12 é q12 q123 446 μC De acordo com a Eq 251 e a Fig 2510g a diferença de potencial entre as placas do capacitor 12 é Os capacitores 1 e 2 têm a mesma diferença de potencial entre as placas que o capacitor equivalente 12 Fig 2510h Assim a diferença de potencial entre as placas do capacitor 1 é V1 V12 258 V e de acordo com a Eq 251 e a Fig 2510i a carga do capacitor 1 é Exemplo 2503 Um capacitor carregando outro capacitor O capacitor 1 com C1 355 μC é carregado com uma diferença de potencial V0 630 V por uma bateria de 630 V A bateria é removida e o capacitor é ligado como na Fig 2511 a um capacitor descarregado 2 com C2 895 μF Quando a chave S é fechada parte da carga de um dos capacitores é transferida para o outro Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido IDEIASCHAVE A situação é diferente da do exemplo anterior porque no caso atual o potencial elétrico a que os dois capacitores estão submetidos não permanece constante durante todo o processo No momento em que a chave S é fechada o único potencial aplicado é o potencial do capacitor 1 sobre o capacitor 2 e esse potencial diminui com o tempo Portanto nesse momento os capacitores da Fig 2511 não estão ligados nem em série nem em paralelo Enquanto o potencial elétrico entre os terminais do capacitor 1 diminui o potencial elétrico entre os terminais do capacitor 2 aumenta O equilíbrio é atingido quando os dois potenciais são iguais pois nesse caso não existindo uma diferença de potencial entre as placas dos capacitores que estão ligadas entre si não existe campo elétrico para fazer os elétrons se moverem Isso significa que a carga inicial do capacitor 1 se redistribui entre os dois capacitores Figura 2511 Uma diferença de potencial V0 é aplicada ao capacitor C1 e a bateria é removida Em seguida a chave S é fechada para que a carga do capacitor 1 seja compartilhada com o capacitor 2 Cálculos De acordo com a Eq 251 a carga adquirida pelo capacitor 1 quando estava ligado à bateria é dada por q0 C1V0 355 106 F630 V 22365 106 C Quando a chave S da Fig 2511 é fechada e o capacitor 1 começa a carregar o capacitor 2 o potencial elétrico e a carga do capacitor 1 diminuem e o potencial elétrico e a carga do capacitor 2 aumentam até que V1 V2 equilíbrio De acordo com a Eq 251 essa equação pode ser escrita na forma Como a carga total permanece inalterada devemos ter q1 q2 q0 conservação da carga q2 q0 q1 Assim a segunda equação de equilíbrio pode ser escrita na forma Explicitando q1 e substituindo os valores conhecidos obtemos O restante da carga inicial q0 22365 μC deve estar no capacitor 2 254 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2516 Conhecer a relação entre o trabalho necessário para carregar um capacitor e a energia potencial do capacitor 2517 Conhecer a relação entre a energia potencial U a capacitância C e a diferença de potencial V de um capacitor 2518 Conhecer a relação entre a energia potencial o volume interno e a densidade de energia interna de um capacitor 2519 Conhecer a relação entre a densidade de energia potencial u e o módulo E de um campo elétrico 2520 Explicar por que podem ocorrer explosões em nuvens de pó IdeiasChave A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor Essa energia pode ser associada ao campo elétrico do capacitor A todo campo elétrico entre as placas de um capacitor ou em qualquer outro lugar está associada uma energia No vácuo a densidade de energia u energia potencial por unidade de volume associada a um campo elétrico de módulo E é dada por Energia Armazenada em um Campo Elétrico Para que um capacitor se carregue é preciso que um agente externo execute um trabalho Imagine que usando pinças mágicas você pudesse remover elétrons de uma das placas de um capacitor inicialmente descarregado e depositálos na outra placa um de cada vez O campo elétrico que essa transferência produz no espaço entre as placas tem um sentido tal que se opõe a novas transferências de carga Assim à medida que a carga fosse sendo acumulada nas placas do capacitor seria necessário realizar um trabalho cada vez maior para transferir novos elétrons Na vida real o trabalho não é executado por pinças mágicas mas por uma bateria à custa de uma reserva de energia química Podemos dizer que esse trabalho é convertido na energia potencial do campo elétrico que existe no espaço entre as placas de um capacitor carregado Suponha que em um dado instante uma carga q tenha sido transferida de uma placa de um capacitor para a outra A diferença de potencial V entre as placas nesse instante é qC De acordo com a Eq 246 se uma carga adicional dq é transferida o trabalho adicional necessário para a transferência é dado por O trabalho necessário para carregar o capacitor com uma carga final q é dado por Como esse trabalho é convertido em energia potencial U do capacitor temos De acordo com a Eq 251 a Eq 2521 também pode ser escrita na forma As Eqs 2521 e 2522 são válidas qualquer que seja a forma geométrica do capacitor Para entender melhor o fenômeno do armazenamento de energia em capacitores considere dois capacitores de placas paralelas de características iguais exceto pelo fato de que a distância entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que a distância entre as placas do capacitor 2 Nesse caso o volume entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que o volume entre as placas do capacitor 2 e de acordo com a Eq 259 a capacitância do capacitor 2 é duas vezes maior que a do capacitor 1 Segundo a Eq 254 se os dois capacitores possuem a mesma carga q os campos elétricos entre as placas são iguais e de acordo com a Eq 2521 a energia armazenada no capacitor 1 é duas vezes maior que a energia do capacitor 2 Assim se dois capacitores com a mesma forma geométrica têm a mesma carga e portanto o mesmo campo elétrico entre as placas aquele que tem um volume duas vezes maior possui uma energia armazenada duas vezes maior Análises como essa confirmam nossa afirmação anterior A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associada ao campo elétrico que existe entre as placas Explosões de Nuvens de Pó Como vimos no Módulo 211 quando uma pessoa entra em contato com alguns objetos como um suéter de lã um tapete ou mesmo um escorrega de plástico ela pode adquirir uma carga elétrica considerável Essa carga pode ser suficiente para produzir uma centelha quando a pessoa aproxima a mão de um corpo aterrado como uma torneira por exemplo Em muitas indústrias que trabalham com pós como as de alimentos e de cosméticos centelhas desse tipo podem ser muito perigosas Mesmo que a substância de que é feito o pó não seja inflamável quando pequenos grãos estão em suspensão no ar e portanto cercados de oxigênio podem queimar tão depressa que a nuvem de pó explode Os engenheiros de segurança não podem eliminar todas as causas possíveis de centelhas nas indústrias que lidam com pós mas procuram manter a quantidade de energia disponível nas centelhas bem abaixo do valor limite Ul 150 mJ acima do qual os grãos de pó se incendeiam Suponha que uma pessoa adquira uma carga elétrica ao entrar em contato com várias superfícies enquanto caminha no interior de um depósito Podemos modelar a pessoa como um capacitor esférico de raio R 18 m De acordo com a Eq 2518 C 4πε0R e a Eq 2522 a energia do capacitor é Nesse caso o valor limite da energia corresponde a um potencial Um dos recursos que os engenheiros de segurança usam para manter o potencial dos operários abaixo desse valor é drenar as cargas instalando um piso condutor no local de trabalho Densidade de Energia Em um capacitor de placas paralelas desprezando o efeito das bordas o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos situados entre as placas Assim a densidade de energia u ou seja a energia potencial por unidade de volume no espaço entre as placas também é uniforme Podemos calcular u dividindo a energia potencial total pelo volume Ad do espaço entre as placas De acordo com a Eq 25 22 temos De acordo com a Eq 259 C ε0Ad este resultado pode ser escrito na forma Além disso de acordo com a Eq 2442 E ΔVΔs Vd é igual ao módulo do campo elétrico E e portanto Embora tenhamos chegado a este resultado para o caso particular de um capacitor de placas paralelas ele se aplica a qualquer campo elétrico Se existe um campo elétrico em um ponto do espaço podemos pensar nesse ponto como uma fonte de energia potencial elétrica cujo valor por unidade de volume é dado pela Eq 2525 Exemplo 2504 Energia potencial e densidade de energia de um campo elétrico Uma esfera condutora isolada cujo raio R é 685 cm possui uma carga q 125 nC a Qual é a energia potencial armazenada no campo elétrico desse condutor carregado IDEIASCHAVE 1 Uma esfera condutora isolada possui uma capacitância dada pela Eq 2518 C 4πε0R 2 A relação entre a energia U armazenada em um capacitor a carga q armazenada no capacitor e a capacitância C é dada pela Eq 2521 U q22C Cálculo Fazendo C 4πε0R na Eq 2521 obtemos b Qual é a densidade de energia na superfície da esfera IDEIACHAVE De acordo com a Eq 2525 a densidade de energia u armazenada em um campo elétrico depende do módulo E do campo Cálculos Precisamos determinar o valor de E na superfície da esfera O valor de E é dado pela Eq 2315 A densidade de energia é portanto 255 CAPACITOR COM UM DIELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2521 Saber que a capacitância aumenta quando um dielétrico é colocado entre as placas de um capacitor 2522 Calcular a capacitância de um capacitor com e sem um dielétrico 2523 No caso de uma região que contém um dielétrico com uma constante dielétrica κ saber que em todas as equações da eletrostática que envolvem a constante elétrica ε0 essa constante deve ser substituída por κε0 2524 Dar alguns exemplos de dielétricos 2525 Saber a diferença entre a introdução de um dielétrico entre as placas de um capacitor que está ligado a uma bateria e a introdução de um dielétrico entre as placas de um capacitor que não está ligado a uma bateria 2526 Saber a diferença entre dielétricos polares e dielétricos apolares 2527 Explicar o que acontece com o campo elétrico entre as placas de um capacitor carregado quando um dielétrico é introduzido em termos do que acontece com os átomos do dielétrico IdeiasChave Se o espaço inicialmente vazio entre as placas de um capacitor é totalmente preenchido por um dielétrico a capacitância C do capacitor é multiplicada pela constante dielétrica κ do material que é sempre maior que 1 Em uma região que contém um dielétrico todas as equações da eletrostática que envolvem a constante elétrica ε0 devem ser modificadas a modificação consiste em substituir ε0 por κε0 Quando um dielétrico é submetido a um campo elétrico é produzido um campo elétrico interno que se opõe ao campo aplicado reduzindo o valor do campo elétrico total no interior do material Quando um dielétrico é introduzido entre as placas de um capacitor carregado que não está ligado a um circuito o campo elétrico da região entre as placas diminui Capacitor com um Dielétrico Quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com um dielétrico que é um material isolante como plástico ou óleo mineral o que acontece com a capacitância O cientista inglês Michael Faraday a quem devemos o conceito de capacitância a unidade de capacitância do SI recebeu o nome de farad em sua homenagem foi o primeiro a investigar o assunto em 1837 Usando um equipamento simples como o que aparece na Fig 2512 Faraday constatou que a capacitância era multiplicada por um fator numérico κ que chamou de constante dielétrica do material isolante A Tabela 251 mostra alguns materiais dielétricos e as respectivas constantes dielétricas Por definição a constante dielétrica do vácuo é igual à unidade Como o ar é constituído principalmente de espaço vazio sua constante dielétrica é apenas ligeiramente maior que a do vácuo Até mesmo o papel comum pode aumentar significativamente a capacitância de um capacitor e algumas substâncias como o titanato de estrôncio podem fazer a capacitância aumentar mais de duas ordens de grandeza Tabela 251 Propriedades de Alguns Dielétricosa Material Constante Dielétrica κ Rigidez Dielétrica kVmm Ar 1 atm 100054 3 Poliestireno 26 24 Papel 35 16 Óleo de transformador 45 Pirex 47 14 Mica rubi 54 Porcelana 65 Silício 12 Germânio 16 Etanol 25 Água 20oC 804 Água 25oC 785 Titânia TiO2 130 Titanato de estrôncio 310 8 Para o vácuo κ 1 aMedidas à temperatura ambiente exceto no caso da água Outro efeito da introdução de um dielétrico é limitar a diferença de potencial que pode ser aplicada entre as placas a um valor Vmáx chamado potencial de ruptura Quando esse valor é excedido o material dielétrico sofre um processo conhecido como ruptura e passa a permitir a passagem de cargas de uma placa para a outra A todo material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica que corresponde ao máximo valor do campo elétrico que o material pode tolerar sem que ocorra o processo de ruptura Alguns valores de rigidez dielétrica aparecem na Tabela 251 The Royal Institute EnglandBridgeman Art LibraryNY Figura 2512 Equipamento usado por Faraday em suas experiências com capacitores O dispositivo completo o segundo da esquerda para a direita é um capacitor esférico formado por uma esfera central de bronze e uma casca concêntrica feita do mesmo material Faraday colocou vários dielétricos diferentes no espaço entre a esfera e a casca Como observamos logo após a Eq 2518 a capacitância de qualquer capacitor quando a região entre as placas está vazia ou aproximadamente quando existe apenas ar pode ser escrita na forma em que ℒ tem dimensão de comprimento No caso de um capacitor de placas paralelas por exemplo ℒ Ad Faraday descobriu que se um dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas a Eq 2526 se torna em que Car é o valor da capacitância com apenas ar entre as placas Quando o material é titanato de estrôncio por exemplo que possui uma constante dielétrica de 310 a capacitância é multiplicada por 310 A Fig 2513 mostra de forma esquemática os resultados dos experimentos de Faraday Na Fig 25 13a a bateria mantém uma diferença de potencial V entre as placas Quando uma placa de dielétrico é introduzida entre as placas a carga q das placas é multiplicada por κ a carga adicional é fornecida pela bateria Na Fig 2513b não há nenhuma bateria e portanto a carga q não muda quando a placa de dielétrico é introduzida nesse caso a diferença de potencial V entre as placas é dividida por κ As duas observações são compatíveis por meio da relação q CV com um aumento da capacitância causado pela presença do dielétrico A comparação das Eqs 2526 e 2527 sugere que o efeito de um dielétrico pode ser descrito da seguinte forma Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica κ a constante elétrica ε0 deve ser substituída por κε0 em todas as equações Assim o módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual no interior de um dielétrico é dado pela seguinte forma modificada na Eq 2315 Do mesmo modo a expressão do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor imerso em um dielétrico veja a Eq 2311 é a seguinte Como κ é sempre maior que a unidade as Eqs 2528 e 2529 mostram que para uma dada distribuição de carga o efeito de um dielétrico é diminuir o valor do campo elétrico que existe no espaço entre as cargas Figura 2513 a Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida por uma bateria B o efeito de um dielétrico é aumentar a carga das placas b Se a carga das placas é mantida o efeito do dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre as placas O mostrador visto na figura é o de um potenciômetro instrumento usado para medir diferenças de potencial no caso entre as placas do capacitor Um capacitor não pode se descarregar por meio de um potenciômetro Exemplo 2505 Trabalho e energia quando um dielétrico é introduzido em um capacitor Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 135 pF é carregado por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V 125 V entre as placas A bateria é desligada e uma barra de porcelana κ 650 é introduzida entre as placas a Qual é a energia potencial do capacitor antes da introdução da barra IDEIACHAVE A energia potencial Ui do capacitor está relacionada à capacitância C e ao potencial V pela Eq 2522 ou à carga q pela Eq 25 21 Cálculo Como conhecemos o potencial inicial V 125 V podemos usar a Eq 2522 para calcular a energia potencial inicial b Qual é a energia potencial do conjunto capacitorbarra depois que a barra é introduzida IDEIACHAVE Como a bateria foi desligada a carga do capacitor não pode mudar quando o dielétrico é introduzido Entretanto o potencial pode mudar Cálculos Devemos usar a Eq 2521 para calcular a energia potencial final Uf mas agora que o espaço entre as placas do capacitor está ocupado pela barra de porcelana a capacitância é κC Assim temos 1 Isso mostra que quando a placa de porcelana é introduzida a energia potencial é dividida por κ A energia que falta em princípio poderia ser medida pela pessoa encarregada de introduzir a barra de porcelana já que o capacitor atrai a barra e realiza sobre ela um trabalho dado por W Ui Uf 1055 162 pJ 893 pJ Se a barra penetrasse livremente no espaço entre as placas e não houvesse atrito passaria a oscilar de um lado para outro com uma energia mecânica constante de 893 pJ essa energia seria convertida alternadamente de energia cinética do movimento da placa em energia potencial armazenada no campo elétrico Figura 2514 a Moléculas com um momento dipolar permanente orientadas aleatoriamente na ausência de um campo elétrico externo b Quando um campo elétrico é aplicado os dipolos elétricos se alinham parcialmente O alinhamento não é completo por causa da agitação térmica Dielétricos Uma Visão Atômica O que acontece em termos atômicos e moleculares quando submetemos um dielétrico a um campo elétrico Existem duas possibilidades dependendo do tipo de molécula Dielétricos polares As moléculas de alguns dielétricos como a água por exemplo possuem um momento dipolar elétrico permanente Nesses materiais conhecidos como dielétricos polares os dipolos elétricos tendem a se alinhar com um campo elétrico externo como mostra a Fig 2514 Como as moléculas estão constantemente se chocando umas com as outras devido à agitação térmica 2 o alinhamento não é perfeito mas tende a aumentar quando o campo elétrico aumenta ou quando a temperatura diminui já que nesse caso a agitação térmica é menor O alinhamento dos dipolos elétricos produz um campo elétrico no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado e com um módulo em geral bem menor que o do campo aplicado Dielétricos apolares Mesmo que não possuam um momento dipolar elétrico permanente as moléculas adquirem um momento dipolar por indução quando são submetidas a um campo elétrico externo Como foi discutido no Módulo 244 veja a Fig 2414 isso acontece porque o campo externo tende a alongar as moléculas deslocando ligeiramente o centro das cargas negativas em relação ao centro das cargas positivas A Fig 2515a mostra uma barra feita de um dielétrico apolar na ausência de um campo elétrico externo Na Fig 2515b um campo elétrico 0 é aplicado por meio de um capacitor cujas placas estão carregadas da forma mostrada na figura O resultado é uma ligeira separação dos centros das cargas positivas e negativas no interior da barra de dielétrico que faz com que uma das superfícies da barra fique positiva por causa das extremidades positivas dos dipolos nessa parte da barra e a superfície oposta fique negativa por causa das extremidades negativas dos dipolos A barra como um todo permanece eletricamente neutra e no interior da barra não existe excesso de cargas positivas ou negativas em nenhum elemento de volume Figura 2515 a Dielétrico apolar Os círculos representam os átomos eletricamente neutros do material b As placas carregadas de um capacitor produzem um campo elétrico o campo separa ligeiramente as cargas positivas das cargas negativas do material c A separação produz cargas nas superfícies do material as cargas criam um campo que se opõe ao campo aplicado O campo resultante no interior do material a soma vetorial de e tem a mesma direção que e um módulo menor A Fig 2515c mostra que as cargas induzidas nas superfícies do dielétrico produzem um campo elétrico no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado O campo resultante no interior do dielétrico que é a soma vetorial dos campos e tem a mesma direção que mas é menor em módulo Tanto o campo produzido pelas cargas superficiais dos dipolos induzidos nas moléculas apolares Fig 2515c como o campo elétrico produzido pelos dipolos permanentes das moléculas polares Fig 2514 apontam no sentido oposto ao do campo aplicado Assim tanto os dielétricos polares como os dielétricos apolares enfraquecem o campo elétrico na região onde se encontram que pode ser o espaço entre as placas de um capacitor 256 DIELÉTRICOS E A LEI DE GAUSS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2528 Saber a diferença entre carga livre e carga induzida em um capacitor com um dielétrico 2529 Em um capacitor em que o espaço entre as placas está ocupado total ou parcialmente por um dielétrico calcular a carga livre a carga induzida o campo elétrico na região entre as placas se a ocupação é parcial o campo elétrico tem mais de um valor e a diferença de potencial entre as placas IdeiasChave Quando um dielétrico é introduzido no espaço entre as placas de um capacitor é induzida uma carga nas superfícies do dielétrico que reduz o campo elétrico na região entre as placas A carga induzida é menor que a carga livre das placas Na presença de um dielétrico a lei de Gauss se torna em que q é a carga livre O efeito da carga induzida é levado em conta pela inclusão da constante dielétrica κ no integrando Dielétricos e a Lei de Gauss Em nossa discussão da lei de Gauss no Capítulo 23 supusemos que as cargas estavam no vácuo Agora vamos modificar e generalizar a lei para que ela possa ser aplicada ao interior de materiais dielétricos como os da Tabela 251 A Fig 2516 mostra um capacitor de placas paralelas com e sem um dielétrico no espaço entre as placas cuja área é A Vamos supor que a carga q das placas é a mesma nas duas situações Observe que o campo elétrico entre as placas induz cargas nas superfícies do dielétrico por um dos mecanismos discutidos no Módulo 255 Para a situação da Fig 2516a na ausência de um dielétrico podemos calcular o campo elétrico entre as placas como fizemos na Fig 255 Envolvemos a carga q da placa superior com uma superfície gaussiana e aplicamos a lei de Gauss Chamando de E0 o módulo do campo obtemos ou Na Fig 2516b com um dielétrico no espaço entre as placas podemos calcular o campo elétrico entre as placas e no interior do dielétrico usando a mesma superfície gaussiana Agora porém a superfície envolve dois tipos de cargas a carga q da placa superior do capacitor e a carga induzida q da superfície superior do dielétrico Dizemos que a carga da placa do capacitor é uma carga livre porque pode se mover sob a ação de um campo elétrico aplicado a carga induzida na superfície do dielétrico não é uma carga livre pois ela não pode deixar o local onde se encontra Como a carga total envolvida pela superfície gaussiana da Fig 2516b é q q a lei de Gauss nos dá ou Como o efeito do dielétrico é dividir por κ o campo original E0 podemos escrever Comparando as Eqs 2533 e 2534 temos A Eq 2535 mostra corretamente que o valor absoluto q da carga induzida na superfície do dielétrico é menor que o da carga livre q e que é zero na ausência de um dielétrico caso em que κ 1 na Eq 2535 1 2 3 Figura 2516 Capacitor de placas paralelas a sem e b com um dielétrico entre as placas A carga q das placas é tomada como a mesma nos dois casos Substituindo q q na Eq 2532 pelo seu valor dado pela Eq 2535 podemos escrever a lei de Gauss na forma Embora tenha sido demonstrada para o caso particular de um capacitor de placas paralelas a Eq 2536 é válida para todos os casos e constitui a forma mais geral da lei de Gauss Observe o seguinte A integral de fluxo agora envolve o produto κ em vez de O vetor ε0κ recebe o nome de deslocamento elétrico e é representado pelo símbolo assim a Eq 2536 pode ser escrita na forma A carga q envolvida pela superfície gaussiana agora é tomada como apenas a carga livre A carga induzida nas superfícies do dielétrico é deliberadamente ignorada no lado direito da Eq 2536 pois seus efeitos já foram levados em conta quando a constante dielétrica κ foi introduzida no lado esquerdo A diferença entre a Eq 2536 e a Eq 237 nossa versão original da lei de Gauss está apenas no fato de que na Eq 2536 a constante ε0 foi substituída por κε0 Mantemos κ no integrando da Eq 2536 para incluir os casos em que κ não é a mesma em todos os pontos da superfície gaussiana Exemplo 2506 Dielétrico preenchendo parcialmente o espaço entre as placas de um capacitor A Fig 2517 mostra um capacitor de placas paralelas em que a área das placas é A e a distância entre as placas é d Uma diferença de potencial V0 é aplicada às placas por uma bateria Em seguida a bateria é desligada e uma barra de dielétrico de espessura b e constante dielétrica κ é introduzida entre as placas da forma mostrada na figura Suponha que A 115 cm2 d 124 cm V0 855 V b 0780 cm e κ 261 a Qual é a capacitância C0 antes da introdução do dielétrico Cálculo De acordo com a Eq 259 temos b Qual é o valor da carga das placas Cálculo De acordo com a Eq 251 temos Como a bateria usada para carregar o capacitor foi desligada antes da introdução do dielétrico a carga das placas não muda quando o dielétrico é introduzido c Qual é o campo elétrico E0 nos espaços entre as placas do capacitor e o dielétrico IDEIACHAVE Podemos aplicar a lei de Gauss na forma da Eq 2536 à superfície gaussiana I da Fig 2517 Cálculos Como o campo é zero no interior da placa e é perpendicular às faces laterais da superfície gaussiana precisamos considerar apenas o fluxo através da face inferior da superfície gaussiana Como o vetor área e o vetor campo apontam verticalmente para baixo o produto escalar da Eq 2536 se torna Figura 2517 Capacitor de placas paralelas com um dielétrico que não ocupa totalmente o espaço entre as placas Nesse caso a Eq 2536 se reduz a A integração agora nos dá simplesmente a área A da placa Assim temos Devemos fazer κ 1 porque a superfície gaussiana I não passa pelo dielétrico Assim temos Observe que o valor de E0 não varia quando o dielétrico é introduzido porque a carga envolvida pela superfície gaussiana I da Fig 2517 não varia d Qual é o campo elétrico E1 no interior do dielétrico IDEIACHAVE Podemos aplicar a lei de Gauss na forma da Eq 2536 à superfície gaussiana II da Fig 2517 Cálculos Essa superfície envolve a carga livre q e a carga induzida q mas a segunda deve ser ignorada quando usamos a Eq 2536 O resultado é o seguinte O primeiro sinal negativo da equação vem do produto escalar na face superior da superfície gaussiana já que agora o vetor campo aponta verticalmente para baixo e o vetor área que como sempre aponta para fora da superfície gaussiana aponta verticalmente para cima Como os vetores fazem um ângulo de 180o o produto escalar é negativo Dessa vez a constante dielétrica é a do dielétrico κ 261 Assim a Eq 2537 nos dá e Qual é a diferença de potencial V entre as placas depois da introdução do dielétrico IDEIACHAVE Podemos determinar V integrando de uma placa do capacitor até a outra ao longo de uma trajetória retilínea perpendicular ao plano das placas Cálculo No interior do dielétrico a distância percorrida é b e o campo elétrico é E1 nos espaços vazios entre as placas do capacitor e a superfície do dielétrico a distância percorrida é d b e o campo elétrico é E0 De acordo com a Eq 256 temos Esse valor é menor que a diferença de potencial original de 855 V f Qual é a capacitância com o dielétrico entre as placas do capacitor IDEIACHAVE A capacitância C está relacionada à carga livre q e à diferença de potencial V pela Eq 251 Cálculo Usando o valor de q calculado no item b e o valor de V calculado no item e temos Esse valor é maior que a capacitância original de 821 pF Revisão e Resumo Capacitor Capacitância Um capacitor é formado por dois condutores isolados as placas com cargas q e q A capacitância C de um capacitor é definida pela equação em que V é a diferença de potencial entre as placas Cálculo da Capacitância Podemos calcular a capacitância de um capacitor 1 supondo que uma carga q foi colocada nas placas 2 calculando o campo elétrico produzido por essa carga 3 calculando a diferença de potencial V entre as placas e 4 calculando o valor de C com o auxílio da Eq 251 Seguem alguns resultados particulares A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância d é dada por A capacitância de um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros longos coaxiais de comprimento L e raios a e b é dada por A capacitância de um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b é dada por A capacitância de uma esfera isolada de raio R é dada por Capacitores em Paralelo e em Série As capacitâncias equivalentes Ceq de combinações de capacitores em paralelo e em série podem ser calculadas usando as expressões e As capacitâncias equivalentes podem ser usadas para calcular as capacitâncias de combinações de capacitores em série e em paralelo Energia Potencial e Densidade de Energia A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor Essa energia pode ser associada ao campo elétrico criado pelo capacitor no espaço entre as placas Por extensão podemos associar qualquer campo elétrico a uma energia armazenada No vácuo a densidade de energia u ou energia potencial por unidade de volume associada a um campo elétrico de módulo E é dada por Capacitância com um Dielétrico Se o espaço entre as placas de um capacitor é totalmente preenchido por um material dielétrico a capacitância C é multiplicada por um fator κ conhecido como constante dielétrica que varia de material para material Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica κ a constante elétrica ε0 deve ser substituída por κε0 em todas as equações Os efeitos da presença de um dielétrico podem ser explicados em termos da ação de um campo elétrico sobre os dipolos elétricos permanentes ou induzidos no dielétrico O resultado é a formação de cargas induzidas nas superfícies do dielétrico Essas cargas tornam o campo no interior do dielétrico menor do que o campo que seria produzido na mesma região pelas cargas livres das placas do capacitor se o dielétrico não estivesse presente Lei de Gauss com um Dielétrico Na presença de um dielétrico a lei de Gauss assume a seguinte forma em que q é a carga livre O efeito das cargas induzidas no dielétrico é levado em conta pela inclusão na integral da constante dielétrica κ Perguntas 1 A Fig 2518 mostra gráficos da carga em função da diferença de potencial para três capacitores de placas paralelas cujos parâmetros são dados na tabela Associe os gráficos aos capacitores Figura 2518 Pergunta 1 Capacitor Área Distância 1 A d 2 2A d 3 A 2d 2 Qual será a capacitância equivalente Ceq de três capacitores todos de capacitância C se os capacitores forem ligados a uma bateria a em série e b em paralelo c Em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior 3 a Na Fig 2519a os capacitores 1 e 3 estão ligados em série b Na mesma figura os capacitores 1 e 2 estão ligados em paralelo c Coloque os circuitos da Fig 2519 em ordem decrescente das capacitâncias equivalentes Figura 2519 Pergunta 3 4 A Fig 2520 mostra três circuitos formados por uma chave e dois capacitores inicialmente carregados da forma indicada na figura com a placa superior positiva Depois que as chaves são fechadas em que circuitos a carga do capacitor da esquerda a aumenta b diminui e c permanece constante Figura 2520 Pergunta 4 5 Inicialmente uma capacitância C1 está ligada a uma bateria Em seguida uma capacitância C2 é ligada em paralelo com C1 a A diferença de potencial entre as placas de C1 aumenta diminui ou permanece a mesma b A carga armazenada em C1 aumenta diminui ou permanece a mesma c A capacitância equivalente de C1 e C2 C12 é maior menor ou igual a C1 d A soma das cargas armazenadas em C1 e C2 é maior menor ou igual à carga armazenada originalmente em C1 6 Repita a Pergunta 5 para o caso em que a capacitância C2 é ligada em série com C1 7 Para cada circuito da Fig 2521 determine se os capacitores estão ligados em série em paralelo ou nem em série nem em paralelo Figura 2521 Pergunta 7 8 A Fig 2522 mostra uma chave aberta uma bateria que produz uma diferença de potencial V um medidor de corrente A e três capacitores iguais descarregados de capacitância C Depois que a chave é fechada e o circuito atinge o equilíbrio a qual é a diferença de potencial entre as placas de cada capacitor b Qual é a carga da placa da esquerda de cada capacitor c Qual é a carga total que passa pelo medidor durante o processo Figura 2522 Pergunta 8 9 Um capacitor de placas paralelas é ligado a uma bateria que produz uma diferença de potencial V Se a distância entre as placas diminui determine se cada uma das grandezas mencionadas a seguir aumenta diminui ou permanece constante a a capacitância do capacitor b a diferença de potencial entre as placas do capacitor c a carga do capacitor d a energia armazenada pelo capacitor e o módulo do campo elétrico na região entre as placas e f a densidade de energia do campo elétrico 10 Uma barra de material dielétrico é introduzida entre as placas de um dos dois capacitores iguais da Fig 2523 Determine se cada uma das propriedades do capacitor mencionadas a seguir aumenta diminui ou permanece constante a a capacitância b a carga c a diferença de potencial entre as placas d a energia potencial e Responda às mesmas perguntas para o outro capacitor Figura 2523 Pergunta 10 11 As capacitâncias C1 e C2 com C1 C2 são ligadas a uma bateria primeiro separadamente depois em série e depois em paralelo Coloque os arranjos na ordem decrescente da carga armazenada Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 251 Capacitância 1 Os dois objetos de metal da Fig 2524 possuem cargas de 70 pC e 70 pC que resultam em uma diferença de potencial de 20 V a Qual é a capacitância do sistema b Se as cargas mudarem para 200 pC e 200 pC qual será o novo valor da capacitância c Qual será o novo valor da diferença de potencial Figura 2524 Problema 1 2 O capacitor da Fig 2525 possui uma capacitância de 25 μF e está inicialmente descarregado A bateria produz uma diferença de potencial de 120 V Quando a chave S é fechada qual é a carga total que passa por ela Figura 2525 Problema 2 Módulo 252 Cálculo da Capacitância 3 Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares com um raio de 820 cm separadas por uma distância de 130 mm a Calcule a capacitância b Qual será a carga das placas se uma diferença de potencial de 120 V for aplicada ao capacitor 4 As placas de um capacitor esférico têm 380 mm e 400 mm de raio a Calcule a capacitância b Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas 5 Qual é a capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas esféricas de mercúrio com 200 mm de raio 6 Pretendese usar duas placas de metal com 100 m2 de área para construir um capacitor de placas paralelas a Qual deve ser a distância entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja 100 F b O dispositivo é fisicamente viável 7 Se um capacitor de placas paralelas inicialmente descarregado de capacitância C é ligado a uma bateria uma das placas de área A se torna negativa porque muitos elétrons migram para a superfície Na Fig 2526 a profundidade d da qual os elétrons migram para a superfície em um capacitor está plotada em função da tensão V da bateria A escala vertical é definida por ds 100 pm e a escala horizontal por Vs 200 V Quanto vale a razão CA Figura 2526 Problema 7 Módulo 253 Capacitores em Paralelo e em Série 8 Quantos capacitores de 100 μF devem ser ligados em paralelo para armazenar uma carga de 100 C com uma diferença de potencial de 110 V entre as placas dos capacitores 9 Os três capacitores da Fig 2527 estão inicialmente descarregados e têm uma capacitância de 250 μF Uma diferença de potencial V 4200 V entre as placas dos capacitores é estabelecida quando a chave é fechada Qual é a carga total que atravessa o medidor A Figura 2527 Problema 9 10 Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2528 para C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Figura 2528 Problemas 10 e 34 11 Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2529 para C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Figura 2529 Problemas 11 17 e 38 12 Dois capacitores de placas paralelas ambos com uma capacitância de 60 μF são ligados em paralelo a uma bateria de 10 V Em seguida a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade Quando essa modificação acontece a qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria b Qual é o aumento da carga total armazenada pelos capacitores 13 Um capacitor de 100 pF é carregado com uma diferença de potencial de 50 V e a bateria usada para carregar o capacitor é desligada Em seguida o capacitor é ligado em paralelo com um segundo capacitor inicialmente descarregado Se a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para 35 V qual é a capacitância do segundo capacitor 14 Na Fig 2530 a bateria tem uma diferença de potencial V 100 V e os cinco capacitores têm uma capacitância de 100 μF cada um Determine a carga a do capacitor e b do capacitor 2 Figura 2530 Problema 14 15 Na Fig 2531 uma bateria de 200 V é ligada a um circuito constituído por capacitores de capacitâncias C1 C6 300 μF e C3 C5 200C2 200C4 400 μF Determine a a capacitância equivalente Ceq do circuito b a carga armazenada por Ceq c V1 e d q1 do capacitor 1 e V2 e f q2 do capacitor 2 g V3 e h q3 do capacitor 3 Figura 2531 Problema 15 16 O gráfico 1 da Fig 2532a mostra a carga q armazenada no capacitor 1 em função da diferença de potencial V entre as placas A escala vertical é definida por qs 160 μC e a escala horizontal é definida por Vs 20 V Os gráficos 2 e 3 são gráficos do mesmo tipo para os capacitores 2 e 3 respectivamente A Fig 2532b mostra um circuito com os três capacitores e uma bateria de 60 V Determine a carga do capacitor 2 Figura 2532 Problema 16 17 Na Fig 2529 uma diferença de potencial V 1000 V é aplicada ao circuito e os valores das capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Se o capacitor 3 sofre uma ruptura dielétrica e passa a se comportar como um condutor determine a o aumento da carga do capacitor 1 e b o aumento da diferença de potencial entre as placas do capacitor 1 18 A Fig 2533 mostra quatro capacitores cujo dielétrico é o ar ligados em um circuito que faz parte de um circuito maior O gráfico a seguir do circuito mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x no ramo inferior do circuito que contém o capacitor 4 O gráfico acima do circuito mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x no ramo superior do circuito que contém os capacitores 1 2 e 3 O capacitor 3 tem uma capacitância de 080 μF Determine a capacitância a do capacitor 1 e b do capacitor 2 Figura 2533 Problema 18 19 Na Fig 2534 V 90 V C2 30 μF C4 40 μF e todos os capacitores estão inicialmente descarregados Quando a chave S é fechada uma carga total de 12 μC passa pelo ponto a e uma carga total de 80 μC passa pelo ponto b a Qual é o valor de C1 b Qual é o valor de C3 Figura 2534 Problema 19 20 A Fig 2535 mostra um capacitor variável com dielétrico de ar do tipo usado para sintonizar manualmente receptores de rádio O capacitor é formado por dois conjuntos de placas intercaladas um grupo de placas fixas ligadas entre si e um grupo de placas móveis também ligadas entre si Considere um capacitor com 4 placas de cada tipo todas com uma área A 125 cm2 a distância entre placas vizinhas é d 340 mm Qual é a capacitância máxima do conjunto Figura 2535 Problema 20 21 Na Fig 2536 as capacitâncias são C1 10 μF e C2 30 μF e os dois capacitores são carregados com diferenças de potencial V 100 V de polaridades opostas Em seguida as chaves S1 e S2 são fechadas a Qual é a nova diferença de potencial entre os pontos a e b b Qual é a nova carga do capacitor 1 c Qual é a nova carga do capacitor 2 Figura 2536 Problema 21 22 Na Fig 2537 V 10 V C1 10 μF e C2 C3 20 μF A chave S é acionada para a esquerda e permanece nessa posição até o capacitor 1 atingir o equilíbrio em seguida a chave é acionada para a direita Quando o equilíbrio é novamente atingido qual é a carga do capacitor 1 Figura 2537 Problema 22 23 Os capacitores da Fig 2538 estão inicialmente descarregados As capacitâncias são C1 40 μF C2 80 μF e C3 12 μF e a diferença de potencial da bateria é V 12 V Quando a chave S é fechada quantos elétrons passam a pelo ponto a b pelo ponto b c pelo ponto c e d pelo ponto d Na figura os elétrons estão se movendo para cima ou para baixo ao passarem e pelo ponto b e f pelo ponto c Figura 2538 Problema 23 24 A Fig 2539 mostra dois capacitores cilíndricos cujo dielétrico é o ar ligados em série a uma bateria com um potencial V 10 V O capacitor 1 possui um raio interno de 50 mm um raio externo de 15 cm e um comprimento de 50 cm O capacitor 2 possui um raio interno de 25 mm um raio externo de 10 cm e um comprimento de 90 cm A placa externa do capacitor 2 é uma membrana orgânica condutora que pode ser esticada e o capacitor pode ser inflado para aumentar a distância entre as placas Se o raio da placa externa é aumentado para 25 cm a quantos elétrons passam pelo ponto P b Os elétrons se movem na direção da bateria ou na direção do capacitor 1 Figura 2539 Problema 24 25 Na Fig 2540 dois capacitores de placas paralelas com ar entre as placas são ligados a uma bateria A área das placas do capacitor 1 é 15 cm2 e o campo elétrico entre as placas é 2000 Vm A área das placas do capacitor 2 é 070 cm2 e o campo elétrico entre as placas é 1500 Vm Qual é a carga total dos dois capacitores Figura 2540 Problema 25 26 O capacitor 3 da Fig 2541a é um capacitor variável é possível fazer variar a capacitância C3 A Fig 2541b mostra o potencial elétrico V1 entre as placas do capacitor 1 em função de C3 A escala horizontal é definida por C3s 120 μF O potencial elétrico V1 tende assintoticamente para 10 V quando C3 Determine a o potencial elétrico V da bateria b C1 e c C2 Figura 2541 Problema 26 27 A Fig 2542 mostra uma bateria de 120 V e quatro capacitores descarregados de capacitâncias C1 100 μF C2 200 μF C3 300 μF e C4 400 μF Se apenas a chave S1 for fechada determine a carga a do capacitor 1 b do capacitor 2 c do capacitor 3 e d do capacitor 4 Se as duas chaves forem fechadas determine a carga e do capacitor 1 f do capacitor 2 g do capacitor 3 e h do capacitor 4 Figura 2542 Problema 27 28 A Fig 2543 mostra uma bateria de 120 V e três capacitores descarregados de capacitâncias C1 400 μF C2 600 μF e C3 300 μF A chave é deslocada para a esquerda até que o capacitor 1 esteja totalmente carregado Em seguida a chave é deslocada para a direita Determine a carga final a do capacitor 1 b do capacitor 2 e c do capacitor 3 Figura 2543 Problema 28 Módulo 254 Energia Armazenada em um Campo Elétrico 29 Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 kW h com uma diferença de potencial de 1000 V 30 Qual é a energia armazenada em 100 m3 de ar em um dia de tempo bom no qual o módulo do campo elétrico da atmosfera é 150 Vm 31 Um capacitor de 20 μF e um capacitor de 40 μF são ligados em paralelo a uma fonte com uma diferença de potencial de 300 V Calcule a energia total armazenada nos capacitores 32 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma diferença de potencial de 600 V A área das placas é 40 cm2 e a distância entre as placas é 10 mm Determine a a capacitância b o valor absoluto da carga em uma das placas c a energia armazenada d o campo elétrico na região entre as placas e e a densidade de energia na região entre as placas 33 Uma esfera de metal carregada com 10 cm de diâmetro tem uma energia potencial de 8000 V em relação a V 0 no infinito Calcule a densidade de energia do campo elétrico perto da superfície da esfera 34 Na Fig 2528 uma diferença de potencial V 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Determine a q3 b V3 c a energia U3 armazenada no capacitor 3 d q1 e V1 f a energia U1 armazenada no capacitor 1 g q2 h V2 e i a energia U2 armazenada no capacitor 2 35 Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a a 100 mm de distância b a 100 μm de distância c a 100 nm de distância e d a 100 pm de distância e Qual é o limite de u quando a distância tende a zero 36 Como engenheiro de segurança o leitor precisa emitir um parecer a respeito da prática de armazenar líquidos condutores inflamáveis em recipientes feitos de material isolante A companhia que fornece certo líquido vem usando um recipiente cilíndrico feito de plástico de raio r 020 m que está cheio até uma altura h 10 cm menor que a altura interna do recipiente Fig 2544 A investigação do leitor revela que durante o transporte a superfície externa no recipiente adquire uma densidade de carga negativa de 20 μCm2 aproximadamente uniforme Como o líquido é um bom condutor de eletricidade a carga do recipiente faz com que as cargas do líquido se separem a Qual é a carga negativa induzida no centro do líquido b Suponha que a capacitância da parte central do líquido em relação à terra seja 35 pF Qual é a energia potencial associada à carga negativa desse capacitor efetivo c Se ocorre uma centelha entre a terra e a parte central do líquido através do respiradouro a energia potencial pode alimentar a centelha A energia mínima necessária para inflamar o líquido é 10 mJ Nessa situação o líquido pode pegar fogo por causa de uma centelha Figura 2544 Problema 36 37 Um capacitor de placas paralelas cujas placas têm área de 850 cm2 e estão separadas por uma distância de 300 mm é carregado por uma bateria de 600 V A bateria é desligada e a distância entre as placas do capacitor é aumentada sem descarregálo para 800 mm Determine a a diferença de potencial entre as placas b a energia armazenada pelo capacitor no estado inicial c a energia armazenada pelo capacitor no estado final e d a energia necessária para separar as placas 38 Na Fig 2529 uma diferença de potencial V 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 1500 μF Determine a q3 b V3 c a energia U3 armazenada no capacitor 3 d q1 e V1 f a energia U1 armazenada no capacitor 1 g q2 h V2 e i a energia U2 armazenada no capacitor 2 39 Na Fig 2545 C1 100 μF C2 200 μF e C3 250 μF Se nenhum dos capacitores pode suportar uma diferença de potencial de mais de 100 V sem que o dielétrico se rompa determine a a maior diferença de potencial que pode existir entre os pontos A e B e b a maior energia que pode ser armazenada no conjunto de três capacitores Figura 2545 Problema 39 Módulo 255 Capacitor com um Dielétrico 40 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capacitância de 13 pF A distância entre as placas é multiplicada por dois e o espaço entre as placas é preenchido com cera o que faz a capacitância aumentar para 26 pF Determine a constante dielétrica da cera 41 Um cabo coaxial usado em uma linha de transmissão tem um raio interno de 010 mm e um raio externo de 060 mm Calcule a capacitância por metro do cabo supondo que o espaço entre os condutores seja preenchido com poliestireno 42 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capacitância de 50 pF a Se a área das placas é 035 m2 qual é a distância entre as placas b Se a região entre as placas for preenchida por um material com κ 56 qual será a nova capacitância 43 Dado um capacitor de 74 pF cujo dielétrico é o ar você recebe a missão de convertêlo em um capacitor capaz de armazenar até 74 μJ com uma diferença de potencial máxima de 652 V Que dielétrico da Tabela 251 você usaria para preencher o espaço entre as placas se não fosse permitida uma margem de erro 44 Você está interessado em construir um capacitor com uma capacitância de aproximadamente 1 nF e um potencial de ruptura de mais de 10000 V e pensa em usar as superfícies laterais de um copo de pirex como dielétrico revestindo as faces interna e externa com folha de alumínio para fazer as placas O copo tem 15 cm de altura um raio interno de 36 cm e um raio externo de 38 cm Determine a a capacitância e b o potencial de ruptura do capacitor 45 Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual κ 55 A área das placas é 0034 m2 e a distância entre as placas é 20 mm O capacitor ficará inutilizado se o campo elétrico entre as placas exceder 200 kNC Qual é a máxima energia que pode ser armazenada no capacitor 46 Na Fig 2546 qual é a carga armazenada nos capacitores de placas paralelas se a diferença de potencial da bateria é 120 V O dielétrico de um dos capacitores é o ar o do outro uma substância com κ 300 Para os dois capacitores a área das placas é 500 103 m2 e a distância entre as placas é 200 mm Figura 2546 Problema 46 47 Uma substância tem uma constante dielétrica de 28 e uma rigidez dielétrica de 18 MVm Se for usada como dielétrico de um capacitor de placas paralelas qual deverá ser no mínimo a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 70 H 102 μF e o capacitor possa suportar uma diferença de potencial de 40 kV 48 A Fig 2547 mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A 556 cm2 e uma distância entre as placas d 556 mm A parte esquerda do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica κ1 700 a parte direita é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 120 Qual é a capacitância Figura 2547 Problema 48 49 A Fig 2548 mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A 789 cm2 e uma distância entre as placas d 462 mm A parte superior do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica κ1 1100 a parte inferior é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 120 Qual é a capacitância Figura 2548 Problema 49 50 Na Fig 2549 é mostrado um capacitor de placas paralelas com área das placas A 105 cm2 e distância entre as placas 2d 712 mm O lado esquerdo do espaço entre as placas é preenchido por um material de constante dielétrica κ1 2100 a parte superior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 420 e a parte inferior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ3 580 Qual é a capacitância Figura 2549 Problema 50 Módulo 256 Dielétricos e a Lei de Gauss 51 Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 100 pF uma área das placas de 100 cm2 e um dielétrico de mica κ 54 que preenche totalmente o espaço entre as placas Para uma diferença de potencial de 50 V calcule a o módulo E do campo elétrico no interior do dielétrico b o valor absoluto da carga livre nas placas e c o valor absoluto da densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico 52 Suponha que a bateria permaneça ligada enquanto o dielétrico está sendo introduzido no capacitor do Exemplo 2506 Determine a a capacitância b a carga das placas do capacitor c o campo elétrico nos espaços entre as placas do capacitor e o dielétrico e d o campo elétrico no interior do dielétrico depois que o dielétrico for introduzido 53 Um capacitor de placas paralelas tem uma área das placas de 012 m2 e uma distância entre as placas de 12 cm Uma bateria é usada para carregar as placas com uma diferença de potencial de 120 V e em seguida é removida do circuito Um dielétrico com 40 mm de espessura e constante dielétrica 48 é introduzido simetricamente entre as placas a Qual é a capacitância antes da introdução do dielétrico b Qual é a capacitância após a introdução do dielétrico c Qual é a carga das placas antes da introdução do dielétrico d Qual é a carga das placas após da introdução do dielétrico e Qual é o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas e o dielétrico f Qual é o módulo do campo elétrico no interior do dielétrico g Qual é a diferença de potencial entre as placas após a introdução do dielétrico h Qual é o trabalho envolvido na introdução do dielétrico 54 Duas placas paralelas de 100 cm2 de área recebem cargas de mesmo valor absoluto 89 107 C e sinais opostos O campo elétrico no interior do dielétrico que preenche o espaço entre as placas é 14 106 Vm a Calcule a constante dielétrica do material b Determine o módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico 55 O espaço entre duas cascas esféricas concêntricas de raios b 170 cm e a 120 cm é preenchido por uma substância de constante dielétrica κ 235 Uma diferença de potencial V 730 V é aplicada entre as duas cascas Determine a a capacitância do dispositivo b a carga livre q da casca interna e c a carga q induzida na superfície do dielétrico mais próxima da casca interna Figura 2550 Problema 56 Problemas Adicionais 56 Na Fig 2550 a diferença de potencial V da bateria é 100 V e os sete capacitores têm uma capacitância de 100 μF Determine a a carga do capacitor 1 e b a carga do capacitor 2 57 Na Fig 2551 V 90 V C1 C2 30 μF e C3 C4 15 μF Qual é a carga do capacitor C4 Figura 2551 Problema 57 58 As capacitâncias dos quatro capacitores da Fig 2552 são expressas em termos de uma constante C a Se C 50 μF qual é a capacitância equivalente entre os pontos A e B Sugestão Imagine primeiro que uma bateria foi ligada entre os dois pontos em seguida reduza o circuito a uma capacitância equivalente b Responda à mesma pergunta do item a para os pontos A e D Figura 2552 Problema 58 59 Na Fig 2553 V 12 V C1 C4 20 μF C2 40 μF e C3 10 μF Qual é a carga do capacitor C4 Figura 2553 Problema 59 60 O mistério do chocolate em pó Essa história começa no Problema 60 do Capítulo 23 Como parte da investigação da explosão ocorrida na fábrica de biscoitos o potencial elétrico dos operários foi medido enquanto eles esvaziavam sacos de chocolate em pó em uma bandeja produzindo uma nuvem de pó de chocolate Cada operário possuía um potencial elétrico de cerca de 70 kV em relação ao potencial da terra que foi considerado como potencial zero a Supondo que um operário pode ser modelado por um capacitor com uma capacitância efetiva de 200 pF determine a energia armazenada nesse capacitor Se uma única centelha entre um operário e um objeto condutor ligado à terra neutralizasse o operário essa energia seria transferida para a centelha De acordo com as medidas para inflamar uma nuvem de pó de chocolate provocando assim uma explosão a centelha teria que ter uma energia de pelo menos 150 mJ b Uma centelha produzida por um operário poderia provocar uma explosão enquanto o chocolate em pó estava sendo descarregado na bandeja A história continua no Problema 60 do Capítulo 26 61 A Fig 2554 mostra o capacitor 1 C1 800 μF o capacitor 2 C2 600 μF e o capacitor 3 C3 800 μF ligados a uma bateria de 120 V Quando a chave S é fechada ligando ao circuito o capacitor 4 C4 600 μF inicialmente descarregado determine a o valor da carga que passa pelo ponto P proveniente da bateria e b o valor da carga armazenada no capacitor 4 c Explique por que os resultados dos itens a e b não são iguais Figura 2554 Problema 61 62 Dois capacitores de placas paralelas cujo dielétrico é o ar são ligados a uma bateria de 10 V primeiro separadamente depois em série e finalmente em paralelo Nesses arranjos a energia armazenada nos capacitores é em ordem crescente 75 μJ 100 μJ 300 μJ e 400 μJ a Qual é o valor do menor capacitor b Qual é o valor do maior capacitor 63 Dois capacitores de placas paralelas ambos com uma capacitância de 60 μF são ligados em série a uma bateria de 10 V em seguida a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade a Qual é o valor da carga adicional transferida para os capacitores pela bateria em consequência da mudança b Qual é o aumento da carga total armazenada nos capacitores a soma da carga armazenada na placa positiva de um dos capacitores com a carga armazenada na placa positiva do outro capacitor 64 Na Fig 2555 V 12 V C1 C5 C6 60 μF e C2 C3 C4 40 μF Determine a a carga total armazenada nos capacitores e b a carga do capacitor C4 Figura 2555 Problema 64 65 Na Fig 2556 as placas do capacitor de placas paralelas têm área de 200 102 m2 e o espaço entre as placas é preenchido por dois blocos de material isolante com 200 mm de espessura cada um A constante dielétrica de um dos materiais é 300 e a do outro é 700 Qual é a carga armazenada no capacitor por uma bateria de 700 V 66 Os raios de um capacitor cilíndrico como o da Fig 256 são a e b Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está no interior de um cilindro de raio Figura 2556 Problema 65 67 Um capacitor de capacitância C1 600 μF é ligado em série com um capacitor de capacitância C2 400 μF e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada ao par de capacitores a Calcule a capacitância equivalente Determine b a carga q1 c a diferença de potencial V1 d q2 e e V2 68 Repita o Problema 67 para os mesmos dois capacitores supondo que estão ligados em paralelo 69 Um capacitor é carregado com uma diferença de potencial V Qual deve ser o aumento percentual de V para que a energia armazenada aumente de 10 70 Uma barra de cobre de espessura b 200 mm é colocada entre as placas de um capacitor de placas paralelas A área das placas é A 240 cm2 e a distância entre as placas é d 500 mm Como mostra a Fig 2557 a barra é colocada exatamente no centro do espaço entre as placas a Qual é a capacitância após a introdução da barra b Se uma carga q 340 μC é mantida nas placas qual é a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução da barra c Qual é o trabalho executado quando a barra é introduzida d A barra é atraída ou repelida pelo espaço entre as placas Figura 2557 Problemas 70 e 71 71 Repita o Problema 70 supondo que em vez de a carga ser mantida constante é mantida constante uma diferença de potencial entre as placas V 850 V 72 Uma diferença de potencial de 300 V é aplicada à combinação em série de dois capacitores de capacitâncias C1 200 μF e C2 800 μF Determine a a carga q1 b a diferença de potencial V1 c q2 e d V2 Os capacitores carregados são desligados um do outro e da bateria em seguida a ligação entre os capacitores é refeita mas com as placas com cargas de mesmo sinal ligadas entre si a bateria não é mais usada Determine os novos valores de e q1 f V1 g q2 e h V2 Suponha que os capacitores carregados no item a tenham sido ligados com cargas de sinais opostos ligadas entre si Determine quais são nesse caso os valores de i q1 j V1 k q2 e l V2 73 A Fig 2558 mostra um circuito com quatro capacitores que está ligado a um circuito maior pelos pontos A e B As capacitâncias são C1 10 μF e C2 C3 C4 20 μF A carga do capacitor 1 é 30 μC Qual é o valor absoluto da diferença de potencial VA VB Figura 2558 Problema 73 74 O leitor dispõe de duas placas de cobre uma folha de mica espessura 010 mm κ 54 um pedaço de vidro espessura 20 mm κ 70 e um bloco de parafina espessura 10 cm κ 20 Para fabricar um capacitor de placas paralelas com o maior valor possível de C que material você deve colocar entre as placas de cobre 75 Um capacitor de capacitância desconhecida C é carregado com 100 V e ligado a um capacitor de 60 μF inicialmente descarregado Se a diferença de potencial final entre os terminais do capacitor de 60 μF é 40 V qual é o valor de C 76 Uma bateria de 10 V é ligada a n capacitores em série cada um com uma capacitância de 20 μF Se a energia total armazenada nos capacitores é 25 μJ qual é o valor de n 77 Na Fig 2559 dois capacitores de placas paralelas A e B são ligados em paralelo a uma bateria de 600 V A área das placas dos capacitores é 800 cm2 e a distância entre as placas é 300 mm O dielétrico do capacitor A é o ar o do capacitor B é um material de constante dielétrica κ 260 Determine o módulo do campo elétrico a no espaço entre as placas do capacitor B e b no espaço entre as placas do capacitor A Determine a densidade de cargas livres σ c na placa de maior potencial do capacitor A e d na placa de maior potencial do capacitor B e Determine a densidade de cargas induzidas σ na superfície superior do dielétrico do capacitor B Figura 2559 Problema 77 78 O leitor dispõe de um suprimento ilimitado de capacitores de 20 μF os quais suportam uma tensão de 200 V De que forma esses capacitores podem ser usados para montar um circuito com uma capacitância equivalente a de 040 μF e b de 12 μF Suponha que em ambos os casos o circuito tem que suportar uma tensão de 1000 V 79 Um capacitor de placas paralelas tem uma carga q e a área das placas é A Determine a força com a qual as placas se atraem calculando o trabalho necessário para aumentar a distância entre as placas de x para x dx Sugestão Veja a Eq 822 b Mostre que a força por unidade de área a tensão eletrostática a que cada placa está sujeita é igual à densidade de energia ε0E22 na região entre as placas 80 Um capacitor é carregado até que a energia armazenada seja 400 J Em seguida um segundo capacitor é ligado em paralelo com o primeiro a Se a carga se distribui igualmente entre os dois capacitores qual é a energia total armazenada no campo elétrico dos dois capacitores b Para onde foi a energia restante CAPÍTULO 26 Corrente e Resistência 261 CORRENTE ELÉTRICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2601 Usar a definição de corrente elétrica como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo para calcular a quantidade de carga que passa por um ponto em um dado intervalo de tempo 2602 Saber que a corrente elétrica em geral se deve a elétrons de condução colocados em movimento por campos elétricos como por exemplo os que são produzidos em um fio por uma bateria 2603 Saber o que é um nó de um circuito e que de acordo com a lei de conservação da carga a corrente total que entra em um nó é igual à corrente total que sai do nó 2604 Saber o que significam as setas nos desenhos esquemáticos do circuito e saber que mesmo que seja representada com uma seta a corrente elétrica não é um vetor IdeiasChave Uma corrente elétrica i em um circuito é definida pela equação em que dq é a carga positiva que passa por um ponto do circuito em um intervalo de tempo dt Por convenção o sentido da corrente elétrica é aquele no qual cargas positivas se moveriam embora na maioria dos casos a corrente se deva a elétrons de condução que têm carga negativa O que É Física Nos últimos cinco capítulos discutimos a eletrostática a física das cargas estacionárias Neste capítulo e também no próximo vamos discutir as correntes elétricas a física das cargas em movimento Os exemplos de correntes elétricas são incontáveis e envolvem muitas profissões Os meteorologistas estudam os relâmpagos e os movimentos de cargas menos espetaculares na atmosfera Biólogos fisiologistas e engenheiros que trabalham na área de bioengenharia se interessam pelas correntes nos nervos que controlam os músculos e especialmente no modo como essas correntes podem ser restabelecidas em caso de danos à coluna vertebral Os engenheiros elétricos trabalham com sistemas elétricos de todos os tipos como redes de energia elétrica equipamentos de proteção contra relâmpagos dispositivos de armazenamento de informações e instrumentos de reprodução sonora Os engenheiros espaciais observam e estudam as partículas carregadas provenientes do Sol porque essas partículas 1 2 podem interferir nos sistemas de telecomunicações via satélite e até mesmo com linhas de transmissão terrestres Além desses trabalhos especializados quase todas as nossas atividades diárias hoje dependem de informações transportadas por correntes elétricas desde saques em caixas eletrônicos até a compra e venda de ações sem falar dos programas de televisão e do uso das redes sociais Neste capítulo vamos discutir a física básica das correntes elétricas e a razão pela qual alguns materiais conduzem corrente elétrica melhor que outros Começamos pela definição de corrente elétrica Corrente Elétrica Embora uma corrente elétrica seja um movimento de partículas carregadas nem todas as partículas carregadas que se movem produzem uma corrente elétrica Para que uma superfície seja atravessada por uma corrente elétrica é preciso que haja um fluxo líquido de cargas através da superfície Dois exemplos deixarão claro o que queremos dizer Os elétrons livres elétrons de condução que existem no interior de um fio de cobre se movem em direções aleatórias a uma velocidade média da ordem de 106 ms Se imaginarmos um plano perpendicular ao fio elétrons de condução passarão pelo plano nos dois sentidos bilhões de vezes por segundo mas não haverá um fluxo líquido de cargas e portanto não haverá uma corrente elétrica no fio Se ligarmos as extremidades do fio a uma bateria por outro lado o número de elétrons que atravessam o plano em um sentido se tornará ligeiramente maior que o número de elétrons que atravessam o plano no sentido oposto em consequência haverá um fluxo líquido de cargas e portanto haverá uma corrente elétrica no fio O fluxo de água em uma mangueira representa um movimento de cargas positivas os prótons das moléculas de água da ordem de milhões de coulombs por segundo Entretanto não existe um fluxo líquido de carga já que existe também um movimento de cargas negativas os elétrons das moléculas de água que compensa exatamente o movimento das cargas positivas Em consequência a corrente elétrica associada ao movimento da água no interior de uma mangueira é zero Neste capítulo vamos nos limitar ao estudo de correntes constantes de elétrons de condução em condutores metálicos como fios de cobre por exemplo Em um circuito fechado feito exclusivamente de um material condutor como o da Fig 261a mesmo que exista um excesso de carga todos os pontos estão ao mesmo potencial Sendo assim não pode haver um campo elétrico no material Embora existam elétrons de condução disponíveis eles não estão sujeitos a uma força elétrica e portanto não existe corrente Por outro lado quando introduzimos uma bateria no circuito como mostrado na Fig 261b o potencial não é mais o mesmo em todo o circuito Campos elétricos são criados no interior do material e exercem uma força sobre os elétrons de condução que os faz se moverem preferencialmente em um sentido produzindo uma corrente Depois de um pequeno intervalo de tempo o movimento dos elétrons atinge um valor constante e a corrente entra no regime estacionário deixa de variar com o tempo A Fig 262 mostra uma seção reta de um condutor parte de um circuito no qual existe uma corrente Se uma carga dq passa por um plano hipotético como aa em um intervalo de tempo dt a corrente i nesse plano é definida como Podemos determinar por integração a carga que passa pelo plano no intervalo de tempo de 0 a t em que a corrente i pode variar com o tempo No regime estacionário a corrente é a mesma nos planos aa bb e cc e em qualquer outro plano que intercepte totalmente o condutor seja qual for a localização ou orientação desse plano Isso é uma consequência do fato de que a carga é conservada No regime estacionário para cada elétron que passa pelo plano cc um elétron deve passar pelo plano aa Da mesma forma quando um fluxo contínuo de água está passando por uma mangueira para cada gota que sai pelo bico da mangueira uma gota deve entrar na outra extremidade a quantidade de água na mangueira também é uma grandeza conservada A unidade de corrente do SI é o coulomb por segundo ou ampère representado pelo símbolo A 1 ampère 1 A 1 colulomb por segundo 1 Cs A definição formal do ampère será discutida no Capítulo 29 Figura 261 a Um fio de cobre em equilíbrio eletrostático O fio inteiro está ao mesmo potencial e o campo elétrico é zero em todos os pontos do fio b Quando introduzimos uma bateria no circuito produzimos uma diferença de potencial entre os pontos do fio que estão ligados aos terminais da bateria Com isso a bateria produz um campo elétrico no interior do fio que faz com que cargas elétricas se movam no circuito Esse movimento de cargas constitui uma corrente i Figura 262 A corrente i que atravessa o condutor tem o mesmo valor nos planos aa bb e cc Figura 263 A relação i0 i1 i2 é verdadeira para o nó a qualquer que seja a orientação dos três fios no espaço A corrente não é uma grandeza vetorial e sim uma grandeza escalar A corrente elétrica definida pela Eq 261 é uma grandeza escalar já que a carga e o tempo que aparecem na equação são grandezas escalares Entretanto como na Fig 261b muitas vezes representamos uma corrente por uma seta para indicar o sentido em que as cargas estão se movendo Essas setas não são vetores e a elas não se aplicam as regras das operações vetoriais A Fig 263a mostra um condutor percorrido por uma corrente i0 que se divide em duas ao chegar a uma bifurcação que no caso das correntes elétricas é chamada de nó Como a carga é conservada a soma das correntes nos dois ramos é igual à corrente inicial Como mostra a Fig 263b a Eq 263 continua a ser válida mesmo que os fios sejam retorcidos No caso da corrente as setas indicam apenas o sentido em que as cargas estão se movendo em um condutor e não uma direção no espaço O Sentido da Corrente Elétrica Na Fig 261b desenhamos as setas que indicam a corrente no sentido em que partículas positivamente carregadas seriam forçadas pelo campo elétrico a se mover no circuito Se fossem positivos esses portadores de carga como são chamados sairiam do terminal positivo da bateria e entrariam no terminal negativo Na verdade no caso do fio de cobre da Fig 261b os portadores de carga são elétrons partículas negativamente carregadas O campo elétrico faz essas partículas se moverem no sentido oposto ao indicado pelas setas do terminal negativo para o terminal positivo Por questões históricas usamos a seguinte convenção A seta da corrente é desenhada no sentido em que portadores de carga positivos se moveriam mesmo que os portadores sejam negativos e se movam no sentido oposto Podemos usar essa convenção porque na maioria das situações supor que portadores de carga positivos estão se movendo em um sentido tem exatamente o mesmo efeito que supor que portadores de carga negativos estão se movendo no sentido oposto Nos casos em que isso não é verdade abandonamos a convenção e descrevemos o movimento do modo como realmente acontece Teste 1 A figura mostra parte de um circuito Quais são o valor absoluto e o sentido da corrente i no fio da extremidade inferior direita Exemplo 2601 A corrente elétrica como derivada do fluxo de carga A vazão da água em uma mangueira dVdt é 450 cm3s Qual é a corrente de carga negativa IDEIASCHAVE A corrente i de carga negativa se deve ao movimento dos elétrons das moléculas de água A corrente é a taxa com a qual a carga negativa passa por qualquer plano que intercepte totalmente a mangueira Cálculos Podemos escrever a corrente em termos do número de moléculas que passam por um plano por segundo como Usamos 10 como número de elétrons por molécula porque em uma molécula de água H2O existem 8 elétrons no átomo de oxigênio e 1 elétron em cada átomo de hidrogênio Podemos expressar a derivada dNdt em termos da vazão dVdt escrevendo Moléculas por mol é o número de Avogadro NA Mols por unidade de massa é o inverso da massa molar M da água Massa por unidade de volume é a massa específica ρ da água Volume por segundo é a vazão dVdt Assim temos Substituindo esse resultado na equação de i obtemos O valor de NA é 602 1023 moléculasmol ou 602 1023 mol1 e de acordo com a Tabela 141 a massa específica da água nas condições normais é ρ 1000 kgm3 Podemos calcular a massa molar da água a partir das massas molares do oxigênio e do hidrogênio veja o Apêndice F Somando a massa molar do oxigênio 16 gmol a duas vezes a massa molar do hidrogênio 1 gmol obtemos 18 gmol 0018 kgmol Assim Essa corrente de carga negativa é compensada exatamente por uma corrente de carga positiva produzida pelos núcleos dos três átomos que formam a molécula de água Assim a corrente elétrica total que atravessa a mangueira é nula 262 DENSIDADE DE CORRENTE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2605 Saber o que é o vetor densidade de corrente 2606 Saber o que é o vetor elemento de área de um fio 2607 Calcular a corrente em um fio integrando o produto escalar do vetor densidade de corrente pelo vetor elemento de área para toda a seção reta do fio 2608 Conhecer a relação entre corrente i o módulo da densidade de corrente J e a área A no caso em que a corrente é uniforme ao longo da seção reta de um fio 2609 Saber o que são linhas de corrente 2610 Explicar o movimento dos elétrons de condução em termos da velocidade de deriva 2611 Saber a diferença entre velocidade de deriva e velocidade térmica dos elétrons de condução 2612 Saber o que é a densidade de portadores 2613 Conhecer a relação entre a densidade de corrente J a densidade de portadores n e a velocidade de deriva vd IdeiasChave A corrente i uma grandeza escalar está relacionada à densidade de corrente uma grandeza vetorial pela equação em que é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA e a integral é calculada para uma seção reta do condutor A densidade de corrente tem o mesmo sentido que a velocidade dos portadores de corrente se os portadores de corrente são positivos e o sentido oposto se os portadores de corrente são negativos Quando um campo elétrico é criado em um condutor os portadores de carga adquirem uma velocidade de deriva no sentido de se forem positivos e no sentido oposto se forem negativos A velocidade de deriva está relacionada à densidade de corrente pela equação em que ne é a densidade de carga dos portadores Densidade de Corrente Às vezes estamos interessados em conhecer a corrente total i em um condutor Em outras ocasiões nosso interesse é mais específico e queremos estudar o fluxo de carga através de uma seção reta que se estende apenas a uma parte do material Para descrever esse fluxo usamos a densidade de corrente que tem a mesma direção e o mesmo sentido que a velocidade das cargas que constituem a corrente se as cargas forem positivas e a mesma direção e o sentido oposto se as cargas forem negativas Para cada elemento da seção reta o módulo J da densidade de corrente é igual à corrente dividida pela área do elemento Podemos escrever a corrente que atravessa o elemento de área como em que é o vetor área do elemento perpendicular ao elemento A corrente total que atravessa a seção reta é portanto Figura 264 A densidade de corrente pode ser representada por linhas de corrente cujo espaçamento é inversamente proporcional à densidade de corrente Se a corrente é uniforme em toda a seção reta e paralela a também é uniforme e paralela a Nesse caso a Eq 264 se torna em que A é a área total da superfície De acordo com a Eq 264 e a Eq 265 a unidade de densidade de corrente do SI é o ampère por metro quadrado Am2 Como vimos no Capítulo 22 os campos elétricos podem ser representados por linhas de campo A Fig 264 mostra que a densidade de corrente também pode ser representada por um conjunto de linhas conhecidas como linhas de corrente Na Fig 264 a corrente que é da esquerda para a direita faz uma transição de um condutor mais largo à esquerda para um condutor mais estreito à direita Como a carga é conservada na transição a quantidade de carga e a quantidade de corrente não podem mudar o que muda é a densidade de corrente que é maior no condutor mais estreito O espaçamento das linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade de corrente quanto mais próximas as linhas de corrente maior a densidade de corrente Velocidade de Deriva Quando um condutor não está sendo percorrido por corrente os elétrons de condução se movem aleatoriamente sem que haja uma direção preferencial Quando existe uma corrente os elétrons continuam a se mover aleatoriamente mas tendem a derivar com uma velocidade de deriva vd no sentido oposto ao do campo elétrico que produziu a corrente A velocidade de deriva é muito pequena em relação à velocidade com a qual os elétrons se movem aleatoriamente conhecida como velocidade térmica vt por estar associada ao conceito de temperatura Assim por exemplo nos condutores de cobre da fiação elétrica residencial a velocidade de deriva dos elétrons é da ordem de 107 ms enquanto a velocidade térmica é da ordem de 106 ms Podemos usar a Fig 265 para relacionar a velocidade de deriva vd dos elétrons de condução em um fio ao módulo J da densidade de corrente no fio Por conveniência a Fig 265 mostra a velocidade de deriva como se os portadores de carga fossem positivos é por isso que o sentido de é o mesmo de e Na verdade na maioria dos casos os portadores de carga são negativos e tem o sentido oposto ao de e Vamos supor que todos esses portadores de carga se movem com a mesma velocidade de deriva vd e que a densidade de corrente J é a mesma em toda a seção reta A do fio Vamos supor ainda que a seção reta do fio seja constante Nesse caso o número de portadores em um pedaço do fio de comprimento L é nAL em que n é o número de portadores por unidade de volume Como cada portador possui uma carga e a carga total dos portadores nesse pedaço do fio é dada por Figura 265 Portadores de carga positivos se movem com velocidade de deriva vd na direção do campo elétrico aplicado Por convenção o sentido da densidade de corrente é o mesmo da corrente q nALe Como os portadores estão todos se movendo com velocidade vd essa carga atravessa uma seção reta do fio em um intervalo de tempo De acordo com a Eq 261 a corrente i é a taxa de variação com o tempo do fluxo de carga em uma seção reta Assim temos Explicitando vd e lembrando que de acordo com a Eq 265 iA J temos ou em forma vetorial O produto ne que no SI é medido em coulombs por metro quadrado Cm3 é chamado de densidade de carga dos portadores No caso de portadores positivos ne é positivo e portanto de acordo com a Eq 267 e têm o mesmo sentido No caso de portadores negativos ne é negativo e e têm sentidos opostos Teste 2 A figura mostra elétrons de condução que se movem para a esquerda em um fio Determine se o sentido das grandezas a seguir é para a esquerda ou para a direita a a corrente i b a densidade de corrente c o campo elétrico no interior do fio Exemplo 2602 Densidade de corrente uniforme e não uniforme a A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R 20 mm é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a 20 105 Am2 Qual é a corrente na parte externa do fio entre as distâncias radiais R2 e R Fig 266a IDEIACHAVE Como a densidade de corrente é uniforme a densidade de corrente J a corrente i e a seção reta A estão relacionadas pela Eq 265 J iA Cálculos Estamos interessados apenas na corrente que atravessa uma parte A da seção reta do fio em que Neste caso podemos escrever a Eq 265 na forma i JA e substituir J e A por seus valores para obter b Suponha que em vez de ser uniforme a densidade de corrente varie com a distância radial r de acordo com a equação J ar2 em que a 30 1011 Am4 e r está em metros Nesse caso qual é a corrente na mesma parte do fio IDEIACHAVE Como a densidade de corrente não é uniforme devemos usar a Eq 264 e integrar a densidade de corrente para a parte do fio entre r R2 e r R Cálculos O vetor densidade de corrente que é paralelo ao eixo do fio e o vetor elemento de área que é perpendicular à seção reta do fio têm a mesma direção e o mesmo sentido Assim O elemento de área dA deve ser expresso em termos de uma variável que possa ser integrada entre os limites r R2 e r R No caso que estamos examinando como J é dada em função de r é conveniente usar como elemento de área a área 2πr dr de um anel elementar de circunferência 2πr e largura dr Fig 266b pois nesse caso podemos integrar a expressão resultante usando r como variável de integração De acordo com a Eq 264 temos 1 2 Figura 266 a Seção reta de um fio de raio R Se a densidade de corrente for uniforme a corrente é simplesmente o produto da densidade de corrente pela área da seção reta be Se a densidade de corrente não for uniforme calculamos a corrente em um anel elementar e depois somamos por integração as correntes em todos os anéis que pertencem à região de interesse Exemplo 2603 A velocidade de deriva dos elétrons é muito pequena Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução em um fio de cobre de raio r 900 μm percorrido por uma corrente i 17 mA Suponha que cada átomo de cobre contribui para a corrente com um elétron de condução e que a densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio IDEIASCHAVE A velocidade de deriva vd está relacionada à densidade de corrente e ao número n de elétrons de condução por unidade de volume pela Eq 267 que neste caso pode ser escrita na forma J nevd Como a densidade de corrente é uniforme o módulo J da densidade de corrente está relacionado à corrente i e à área A da seção reta do fio pela Eq 265 J iA 3 Como estamos supondo que existe um elétron de condução por átomo o número n de elétrons de condução por unidade de volume é igual ao número de átomos por unidade de volume Cálculos Vamos começar pela terceira ideia e escrever Número de átomos por mol é o número de Avogadro NA 602 1023 mol1 Mols por unidade de massa é o inverso da massa por mol que no caso é a massa molar M do cobre Massa por unidade de volume é a massa específica ρ do cobre Assim Os valores de ρ e M para o cobre aparecem no Apêndice F Usando esses valores temos depois de algumas conversões de unidades ou Vamos agora combinar as duas primeiras ideias e escrever Substituindo A por πr2 254 106 m2 e explicitando vd obtemos que é apenas 18 mmh uma velocidade menor que a de uma lesma A luz acende depressa A essa altura o leitor deve estar se perguntando Se a velocidade de deriva dos elétrons é tão pequena por que a luz acende no momento em que eu ligo o interruptor Acontece que existe uma diferença entre a velocidade de deriva dos elétrons e a velocidade com a qual uma variação do campo elétrico se propaga em um fio A segunda velocidade é quase igual à velocidade da luz os elétrons em todos os pontos de um circuito começam a se mover quase instantaneamente entre eles os elétrons que fazem as lâmpadas acenderem Analogamente quando você abre o registro de água do jardim e a mangueira está cheia dágua uma onda de pressão se move ao longo da mangueira com uma velocidade igual à velocidade do som na água e a água começa a sair do bico da mangueira quase instantaneamente A velocidade com a qual a água se move no interior da mangueira que pode ser medida por exemplo usando um corante é muito menor 263 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2614 Conhecer a relação entre a diferença de potencial V aplicada entre dois pontos de um objeto a resistência R do objeto e a corrente i que atravessa do objeto 2615 Saber o que é um resistor 2616 Conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico em um ponto de um material a resistividade ρ do material e o módulo J da densidade de corrente nesse ponto 2617 No caso de um campo elétrico uniforme em um fio conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a diferença de potencial V entre as extremidades do fio e o comprimento L do fio 2618 Conhecer a relação entre a resistividade ρ e a condutividade σ 2619 Conhecer a relação entre a resistência R de um objeto a resistividade ρ do material o comprimento L do objeto e a área A da seção reta do objeto 2620 Conhecer a equação que expressa de forma aproximada a variação da resistividade ρ de um metal com a temperatura T 2621 Criar um gráfico da resistividade ρ de um metal em função da temperatura T IdeiasChave A resistência R entre dois pontos de um condutor é definida pela equação em que V é a diferença de potencial entre os pontos e i é a corrente A resistividade ρ e a condutividade σ de um material são dadas pelas expressões em que E é o módulo do campo aplicado e J é o módulo da densidade de corrente O campo elétrico e a densidade de corrente estão relacionados pela equação em que ρ é a resistividade A resistência R de um fio condutor de comprimento L e seção reta uniforme é dada por em que A é a área da seção reta A resistividade da maioria dos materiais varia com a temperatura No caso dos metais a variação da resistividade ρ com a temperatura T é dada aproximadamente por uma equação da forma ρ ρ0 ρ0αT T0 em que T0 é uma temperatura de referência r0 é a resistividade na temperatura T0 e a é o coeficiente de temperatura da resistividade do metal The Image Works Figura 267 Resistores variados As faixas coloridas indicam o valor da resistência por meio de um código simples Resistência e Resistividade Quando aplicamos a mesma diferença de potencial às extremidades de barras de mesmas dimensões feitas de cobre e de vidro os resultados são muito diferentes A característica do material que determina a diferença é a resistência elétrica Medimos a resistência entre dois pontos de um condutor aplicando uma diferença de potencial V entre esses pontos e medindo a corrente i resultante A resistência R é dada por De acordo com a Eq 268 a unidade de resistência do SI é o volt por ampère Essa combinação ocorre com tanta frequência que uma unidade especial o ohm Ω é usada para representála Assim Um condutor cuja função em um circuito é introduzir uma resistência é chamado de resistor veja a Fig 267 Nos diagramas dos circuitos elétricos um resistor é representado pelo símbolo Quando escrevemos a Eq 268 na forma vemos que resistência é um nome bem escolhido Para uma dada diferença de potencial quanto maior a resistência à passagem de corrente menor a corrente A resistência de um condutor depende do modo como a diferença de potencial é aplicada A Fig 26 8 por exemplo mostra a mesma diferença de potencial aplicada de duas formas diferentes ao mesmo condutor Como se pode ver pelas linhas de corrente as correntes nos dois casos são diferentes portanto as resistências também são diferentes A menos que seja dito explicitamente o contrário vamos supor que as diferenças de potencial são aplicadas aos condutores como na Fig 268b Como já fizemos em outras ocasiões estamos interessados em adotar um ponto de vista que enfatize mais o material que o dispositivo Por isso concentramos a atenção não na diferença de potencial V entre as extremidades de um resistor mas no campo elétrico que existe em um ponto do material resistivo Em vez de lidar com a corrente i no resistor lidamos com a densidade de corrente no ponto em questão Em vez de falar da resistência R de um componente falamos da resistividade ρ do material Compare essa equação com a Eq 268 Figura 268 Duas formas de aplicar uma diferença de potencial a um condutor A resistência dos contatos é tão pequena que pode ser desprezada No arranjo a em que os contatos se estendem apenas a uma pequena região das extremidades do condutor a resistência é maior que no arranjo b em que os contatos cobrem toda a superfície das extremidades do condutor Combinando as unidades de E e J do SI de acordo com a Eq 2610 obtemos para a unidade de ρ o ohmmetro Ω m Não confundir o ohmmetro que é a unidade de resistividade do SI com o ohmímetro que é um instrumento para medir resistências A Tabela 261 mostra a resistividade de alguns materiais Podemos escrever a Eq 2610 em forma vetorial As Eqs 2610 e 2611 são válidas apenas para materiais isotrópicos ou seja materiais cujas propriedades são as mesmas em todas as direções Também podemos falar da condutividade σ de um material que é simplesmente o recíproco da resistividade A unidade de condutividade do SI é o ohmmetro recíproco Ω m1 Essa unidade é às vezes chamada de mho por metro mho é ohm escrito ao contrário Usando a definição de σ podemos escrever a Eq 26 11 na forma Cálculo da Resistência a Partir da Resistividade Vamos chamar a atenção mais uma vez para uma diferença importante A resistência é uma propriedade de um componente a resistividade é uma propriedade de um material Quando conhecemos a resistividade de um material como o cobre por exemplo não é difícil calcular a resistência de um fio feito desse material Sejam A a área da seção reta L o comprimento e V a diferença de potencial entre as extremidades do fio Fig 269 Se as linhas de corrente que representam a densidade de corrente são uniformes ao longo de toda a seção reta o campo elétrico e a densidade de corrente são iguais em todos os pontos do fio e de acordo com as Eqs 2442 e 265 têm os valores Nesse caso podemos combinar as Eqs 2610 e 2614 para obter Como Vi é a resistência R a Eq 2615 pode ser escrita na forma A Eq 2616 se aplica apenas a condutores isotrópicos homogêneos de seção reta uniforme com a diferença de potencial aplicada como na Fig 268b As grandezas macroscópicas V i e R são de grande interesse quando estamos realizando medidas elétricas em condutores específicos São essas as grandezas que lemos diretamente nos instrumentos de medida Por outro lado quando estamos interessados nas propriedades elétricas dos materiais usamos as grandezas microscópicas E J e ρ Tabela 261 Resistividade de Alguns Materiais à Temperatura Ambiente 20oC Material Resistividade ρΩ m Coeficiente de Temperatura da Resistividade α K1 Metais Típicos Prata 162 108 41 103 Cobre 169 108 43 103 Ouro 235 108 40 103 Alumínio 275 108 44 103 Manganina 482 108 0002 103 Tungstênio 525 108 45 103 Ferro 968 108 65 103 Platina 106 108 39 103 Semicondutores Típicos Silício puro 25 103 70 103 Silíciob tipo n 87 104 Silícioc tipo p 28 103 Isolantes Típicos Vidro 1010 1014 Quartzo fundido 1016 aUma liga especial com um baixo valor de α bSilício dopado com 1023 átomosm3 de fósforo cSilício dopado com 1023 átomosm3 de alumínio Figura 269 Uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades de um fio de comprimento L e seção reta A estabelecendo uma corrente i Teste 3 A figura mostra três condutores cilíndricos de cobre com os respectivos valores do comprimento e da área da seção reta Coloque os condutores na ordem decrescente da corrente que os atravessa quando a mesma diferença de potencial é aplicada às extremidades Figura 2610 Resistividade do cobre em função da temperatura O ponto assinala uma temperatura de referência conveniente T0 293 K na qual a resistividade é ρ0 169 108 Ω m Variação da Resistividade com a Temperatura Os valores da maioria das grandezas físicas variam com a temperatura a resistividade não é exceção A Fig 2610 por exemplo mostra a variação da resistividade do cobre com a temperatura A relação entre temperatura e resistividade para o cobre e para os metais em geral é quase linear em uma larga faixa de temperaturas Isso nos possibilita escrever uma fórmula empírica que é adequada para a maioria das aplicações práticas Aqui T0 é uma temperatura de referência e ρ0 é a resistividade a essa temperatura Costumase escolher como referência T0 293 K temperatura ambiente caso em que ρ0 169 108 Ω m para o cobre Como a temperatura entra na Eq 2617 apenas como uma diferença tanto faz usar a escala Celsius ou a escala Kelvin já que o valor de um grau nas duas escalas é o mesmo A constante α que aparece na Eq 2617 conhecida como coeficiente de temperatura da resistividade é escolhida para que a concordância da resistividade calculada com a resistividade medida experimentalmente seja a melhor possível na faixa de temperaturas considerada A Tabela 261 mostra os valores de α para alguns metais Exemplo 2604 Uma substância possui resistividade uma amostra da substância possui resistência Uma amostra de ferro em forma de paralelepípedo tem dimensões 12 cm 12 cm 15 cm Uma diferença de potencial é aplicada à amostra entre faces paralelas de tal forma que as faces são superfícies equipotenciais como na Fig 268b Determine a resistência da amostra se as faces paralelas forem 1 as extremidades quadradas de dimensões 12 cm 12 cm e 2 as extremidades retangulares de dimensões 12 15 cm IDEIACHAVE A resistência R de um objeto depende do modo como a diferença de potencial é aplicada ao objeto Em particular de acordo com a Eq 2616 R ρLA a resistência depende da razão LA em que A é a área das superfícies às quais é aplicada a diferença de potencial e L é a distância entre as superfícies Cálculos No caso 1 L 15 cm 015 m e A 12 cm2 144 104 m2 Substituindo esse valor na Eq 2616 e usando a resistividade ρ do ferro que aparece na Tabela 261 temos No caso 2 em que L 12 cm e A 12 cm15 cm obtemos 264 A LEI DE OHM Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2622 Saber a diferença entre um componente que obedece à lei de Ohm e um componente que não obedece à lei de Ohm 2623 Saber a diferença entre um material que obedece à lei de Ohm e um material que não obedece à lei de Ohm 2624 Descrever o movimento de um elétron de condução sob o efeito de um campo elétrico 2625 Conhecer a relação entre o livre caminho médio a velocidade térmica e a velocidade de deriva dos elétricos de condução 2626 Conhecer a relação entre a resistividade ρ a concentração de elétrons de condução n e o livre caminho médio τ dos elétrons Ideiaschave Dizemos que um componente fio resistor ou outro dispositivo elétrico qualquer obedece à lei de Ohm se a resistência R Vi do componente não depende da diferença de potencial V Dizemos que um material obedece à lei de Ohm se a resistividade ρ EJ do material não depende do campo elétrico aplicado A hipótese de que os elétrons de condução de um metal estão livres para se movimentar como as moléculas de um gás leva a uma expressão para a resistividade de um metal da forma em que m é a massa do elétron e é a carga do elétron n é o número de elétrons por unidade de volume e t é o tempo médio entre as colisões de um elétron com os átomos do metal Os metais obedecem à lei de Ohm porque nesse tipo de material o tempo livre médio τ praticamente não varia com o módulo E do campo elétrico aplicado A Lei de Ohm Como vimos no Módulo 263 o resistor é um condutor com um valor específico de resistência A resistência de um resistor não depende do valor absoluto e do sentido polaridade da diferença de potencial aplicada Outros componentes porém podem ter uma resistência que varia de acordo com a diferença de potencial aplicada A Fig 2611a mostra como as propriedades elétricas dos componentes podem ser investigadas Uma diferença de potencial V é aplicada aos terminais do componente que está sendo testado e a corrente resultante i é medida em função de V A polaridade de V é tomada arbitrariamente como positiva quando o terminal da esquerda do componente está a um potencial maior que o terminal da direita O sentido da corrente da esquerda para a direita é tomado arbitrariamente como positivo A polaridade oposta de V com o terminal da direita com um potencial maior e a corrente resultante são tomadas como negativas A Fig 2611b mostra o gráfico de i em função de V para um componente Como o gráfico é uma linha reta que passa pela origem a razão iV que corresponde à inclinação da reta é a mesma para qualquer valor de V Isso significa que a resistência R VI do componente não depende do valor absoluto e da polaridade da diferença de potencial aplicada V A Fig 2611c mostra o gráfico de i em função de V para outro componente Nesse caso só existe corrente quando a polaridade de V é positiva e a diferença de potencial aplicada é maior que 15 V Além disso no trecho do gráfico em que existe corrente a razão entre i e V não é constante mas depende do valor da diferença de potencial aplicada V Em casos como esses fazemos uma distinção entre os componentes que obedecem à lei de Ohm e os componentes que não obedecem à lei de Ohm A definição original da lei de Ohm é a seguinte Figura 2611 a Uma diferença de potencial V é aplicada aos terminais de um componente estabelecendo uma corrente i b Gráfico da corrente i em função da diferença de potencial aplicada V para um resistor de 1000 Ω c O mesmo tipo de gráfico para um diodo semicondutor Um componente obedece à lei de Ohm se a corrente que o atravessa varia linearmente com a diferença de potencial aplicada ao componente para qualquer valor da diferença de potencial Hoje sabemos que essa afirmação é correta apenas em certas situações entretanto por questões históricas continua a ser chamada de lei O componente da Fig 2611b que é um resistor de 1000 Ω obedece à lei de Ohm O componente da Fig 2611c que é um diodo semicondutor não obedece à lei de Ohm Uma definição mais realista da lei de Ohm é a seguinte Um componente obedece à lei de Ohm se dentro de certos limites a resistência do componente não depende do valor absoluto nem da polaridade da diferença de potencial aplicada É frequente ouvirmos a afirmação de que V iR é uma expressão matemática da lei de Ohm Isso não é verdade A equação é usada para definir o conceito de resistência e se aplica a todos os componentes que conduzem corrente elétrica mesmo que não obedeçam à lei de Ohm Se medirmos a diferença de potencial V entre os terminais de qualquer componente e a corrente i que atravessa o componente ao ser submetido a essa diferença de potencial podemos calcular a resistência do dispositivo para esse valor de V como R Vi mesmo que se trate de um componente como um diodo semicondutor que não obedece à lei de Ohm Para que um componente obedeça à lei de Ohm é preciso que dentro de certos limites o gráfico de i em função de V seja linear ou seja que R não varie com V Podemos expressar a lei de Ohm de modo mais geral se nos concentrarmos nos materiais e não nos componentes Nesse caso a relação relevante passa a ser a Eq 2611 ρ em vez de V iR e a lei de Ohm passa a ser definida da seguinte forma Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade do material dentro de certos limites não depende do módulo nem do sentido do campo elétrico aplicado Todos os materiais homogêneos sejam eles condutores como o cobre ou semicondutores como o silício puro ou dopado com impurezas obedecem à lei de Ohm dentro de uma faixa de valores do campo elétrico aplicado Para valores elevados do campo elétrico sempre são observados desvios em relação à lei de Ohm Teste 4 A tabela mostra a corrente i em ampères em dois componentes para vários valores da diferença de potencial V em volts Determine a partir desses dados qual é o componente que não obedece à lei de Ohm Dispositivo 1 Dispositivo 2 V i V i 200 450 200 150 300 675 300 220 400 900 400 280 Uma Visão Microscópica da Lei de Ohm Para verificar por que alguns materiais obedecem à lei de Ohm precisamos examinar os detalhes do processo de condução de eletricidade a nível atômico No momento vamos considerar apenas a condução em materiais metálicos como o cobre por exemplo Nossa análise será baseada no modelo de elétrons livres no qual supomos que os elétrons de condução de um metal estão livres para vagar por toda a amostra como as moléculas de gás no interior de um recipiente fechado Vamos supor também que os elétrons não colidem uns com os outros mas apenas com os átomos do metal De acordo com a física clássica os elétrons de condução deveriam apresentar uma distribuição maxwelliana de velocidades como a das moléculas de um gás Módulo 196 e portanto a velocidade média dos elétrons deveria variar com a temperatura Acontece que os movimentos dos elétrons não são governados pelas leis da física clássica e sim pelas leis da física quântica Por isso uma hipótese que está muito mais próxima da realidade é a de que os elétrons de condução em um metal se movem com uma única velocidade efetiva vef e que essa velocidade não depende da temperatura No caso do cobre vef 16 106 ms Quando aplicamos um campo elétrico a uma amostra metálica os elétrons modificam ligeiramente seus movimentos aleatórios e passam a derivar lentamente no sentido oposto ao do campo com uma velocidade de deriva vd A velocidade de deriva em um condutor metálico é da ordem de 107 ms muito menor portanto que a velocidade efetiva que é da ordem de 106 ms A Fig 2612 ilustra a relação entre as duas velocidades As retas cinzentas mostram um possível caminho aleatório de um elétron na ausência de um campo elétrico aplicado o elétron se move de A para B sofrendo seis colisões no percurso As retas verdes mostram qual poderia ser o mesmo caminho na presença de um campo elétrico Vemos que o elétron deriva para a direita e vai terminar no ponto B em vez de B A Fig 2612 foi desenhada para vd 002vef Como na verdade a relação é vd 1013vef a deriva mostrada na figura está grandemente exagerada O movimento dos elétrons de condução na presença de um campo elétrico é portanto um movimento em alta velocidade a velocidade térmica em direções aleatórias por causa de colisões superposto a um movimento em uma direção definida produzido pelo campo elétrico Para um grande número de elétrons livres a média dos movimentos em direções aleatórias é zero e não contribui para a velocidade de deriva que deve apenas ao efeito do campo elétrico sobre os elétrons Se um elétron de massa m é submetido a um campo elétrico de módulo E o elétron sofre uma aceleração dada pela segunda lei de Newton A natureza das colisões experimentadas pelos elétrons de condução é tal que depois de uma colisão típica o elétron perde por assim dizer a memória da velocidade de deriva que possuía antes da colisão Em outras palavras os elétrons passam a se mover em uma direção aleatória após cada colisão No intervalo de tempo médio τ entre colisões um elétron adquire uma velocidade de deriva vd aτ Supondo que os elétrons se movem de forma independente podemos concluir que em qualquer instante os elétrons possuem em média uma velocidade de deriva vd aτ Nesse caso de acordo com a Eq 2618 Combinando esse resultado com o módulo da Eq 267 ne obtemos que pode ser escrita na forma Combinando a Eq 2621 com o módulo da Eq 2611 ρ obtemos A Eq 2622 pode ser considerada uma demonstração de que os metais obedecem à lei de Ohm se for possível provar que no caso dos metais a resistividade ρ não depende da intensidade do campo elétrico aplicado Considere as grandezas que aparecem na Eq 2622 A não ser em casos extremos podemos supor que n o número de elétrons de condução por unidade de volume não depende da intensidade do campo aplicado Como m e e são constantes resta apenas mostrar que τ o tempo médio entre colisões ou tempo livre médio também não depende da intensidade do campo aplicado Acontece que τ é inversamente proporcional à velocidade efetiva vef dos elétrons que como vimos é muito maior que a velocidade de deriva vd causada pelo campo Isso significa que τ praticamente não é afetado pela intensidade do campo aplicado Assim o lado direito da Eq 2622 não varia com a temperatura e portanto os metais obedecem à lei de Ohm Figura 2612 As retas cinzentas mostram um possível caminho aleatório de um elétron de A a B na ausência de um campo elétrico aplicado sofrendo seis colisões no percurso as retas verdes mostram qual poderia ser o mesmo caminho na presença de um campo elétrico Observe o deslocamento para a direita do ponto final da trajetória no sentido contrário ao do campo elétrico Na verdade as retas verdes deveriam ser ligeiramente curvas para representar as trajetórias parabólicas do elétron entre colisões por causa da influência do campo elétrico Exemplo 2605 Tempo livre médio e livre caminho médio a Qual é o tempo médio entre colisões τ para os elétrons de condução do cobre IDEIASCHAVE O tempo médio entre colisões τ no cobre é aproximadamente constante e em particular não depende do valor do campo elétrico aplicado a uma amostra de cobre Assim não precisamos considerar um valor em particular do campo elétrico aplicado Por outro lado como a resistividade ρ do cobre depende de τ podemos determinar o tempo médio entre colisões a partir da Eq 2622 ρ me2nτ Cálculos De acordo com a Eq 2622 O valor de n o número de elétrons de condução do cobre por unidade de volume é 849 1028 m3 O valor de ρ aparece na Tabela 261 O denominador é portanto 849 1028 m316 1019 C2169 108 Ω m 367 1017 C2Ωm2 367 1017 kgs em que as unidades foram convertidas da seguinte forma Usando esses resultados e substituindo a massa m do elétron por seu valor obtemos b O livre caminho médio λ dos elétrons de condução em um condutor é definido como a distância média percorrida por um elétron entre duas colisões sucessivas Essa definição é semelhante à apresentada no Módulo 195 para o livre caminho médio das moléculas em um gás Qual é o valor de λ para os elétrons de condução do cobre supondo que a velocidade efetiva dos elétrons é vef 16 106 ms IDEIACHAVE A distância d percorrida por uma partícula que se move com velocidade constante v durante um intervalo de tempo t é d vt Cálculo No caso dos elétrons no cobre temos Essa distância é aproximadamente 150 vezes maior que a distância entre átomos vizinhos na rede cristalina do cobre Assim em média um elétron de condução passa por muitos átomos de cobre antes de se chocar com um deles1 265 POTÊNCIA SEMICONDUTORES E SUPERCONDUTORES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2627 Saber por que os elétrons perdem energia ao atravessarem um componente resistivo de um circuito 2628 Saber que potência é a taxa de transferência de energia 2629 Conhecer a relação entre a potência P a corrente i a tensão V e a resistência R de um componente resistivo 2630 Conhecer a relação entre a potência P a corrente i e a diferença de potencial V de uma bateria 2631 Aplicar a lei de conservação da energia a um circuito com uma bateria e um componente resistivo para calcular as transferências de energia em um circuito 2632 Saber a diferença entre condutores semicondutores e supercondutores IdeiasChave A potência P ou taxa de transferência de energia de um componente que conduz uma corrente i e está submetido a uma diferença de potencial V é dada por P iV Se o dispositivo é um resistor a potência também é dada por em que R é a resistência do resistor Nos resistores a energia potencial elétrica é convertida em energia térmica por colisões entre os elétrons de condução e os átomos do resistor Os semicondutores são materiais em que o número de elétrons de condução é pequeno mas pode ser aumentado dopando o material com átomos de outros elementos Os supercondutores são materiais cuja resistência elétrica é zero abaixo de certa temperatura A maioria desses materiais só se tornam supercondutores em temperaturas muito baixas próximas do zero absoluto mas alguns se tornam supercondutores em temperaturas um pouco maiores A Potência em Circuitos Elétricos A Fig 2613 mostra um circuito formado por uma bateria B ligada por fios de resistência desprezível a um componente não especificado que pode ser um resistor uma bateria recarregável um motor ou qualquer outro dispositivo elétrico A bateria mantém uma diferença de potencial de valor absoluto V entre os seus terminais e portanto graças aos fios de ligação entre os terminais do componente com um potencial mais elevado no terminal a do componente que no terminal b Como existe um circuito fechado ligando os terminais da bateria e a diferença de potencial produzida pela bateria é constante uma corrente constante i atravessa o circuito no sentido do terminal a para o terminal b A quantidade de carga dq que atravessa o circuito em um intervalo de tempo dt é igual a i dt Ao completar o circuito a carga dq tem seu potencial reduzido de V e portanto sua energia potencial é reduzida de um valor dado por De acordo com a lei de conservação da energia a redução da energia potencial elétrica no percurso de a a b deve ser acompanhada por uma conversão da energia para outra forma qualquer A potência P associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia dUdt que de acordo com a Eq 2625 pode ser expressa na forma Além disso P é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o componente Se o componente é um motor acoplado a uma carga mecânica a energia se transforma no trabalho realizado pelo motor sobre a carga Se o componente é uma bateria recarregável a energia se transforma na energia química armazenada na bateria Se o componente é um resistor a energia se transforma em energia térmica e tende a provocar um aquecimento do resistor De acordo com a Eq 2626 a unidade de potência elétrica é o voltampère VA mas a unidade de potência elétrica também pode ser escrita na forma Quando um elétron atravessa um resistor com velocidade de deriva constante sua energia cinética média permanece constante e a energia potencial elétrica perdida é convertida em energia térmica do resistor Em escala microscópica essa conversão de energia ocorre por meio de colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor o que leva a um aquecimento do resistor A energia mecânica convertida em energia térmica é dissipada perdida já que o processo não pode ser revertido No caso de um resistor ou outro componente resistivo podemos combinar as Eqs 268 R Vi e 2626 para obter para a taxa de dissipação de energia elétrica devido à resistência as seguintes expressões em que R é a resistência do componente Atenção É preciso ter em mente que as Eqs 2627 e 2628 são menos gerais que a Eq 2626 A relação P iV se aplica a qualquer tipo de transferência de energia elétrica as relações P i2R e P V2R se aplicam apenas à conversão de energia elétrica em energia térmica em um componente resistivo Figura 2613 Uma bateria B estabelece uma corrente i em um circuito que contém um componente não especificado Teste 5 Uma diferença de potencial V é aplicada a um componente de resistência R fazendo com que uma corrente i atravesse o dispositivo Coloque as seguintes mudanças na ordem decrescente da variação da taxa com a qual a energia elétrica é convertida em energia térmica a V é multiplicada por dois e R permanece a mesma b i é multiplicada por dois e R permanece a mesma c R é multiplicada por dois e V permanece a mesma d R é multiplicada por dois e i permanece a mesma Exemplo 2606 Taxa de dissipação de energia em um fio percorrido por corrente Um pedaço de fio resistivo feito de uma liga de níquel cromo e ferro chamada Nichrome tem uma resistência de 72 Ω Determine a taxa com a qual a energia é dissipada nas seguintes situações 1 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada às extremidades do fio 2 O fio é cortado pela metade e diferenças de potencial de 120 V são aplicadas às extremidades dos dois pedaços resultantes IDEIACHAVE Uma corrente em um material resistivo produz uma conversão de energia mecânica em energia térmica a taxa de conversão dissipação é dada pelas Eqs 2626 a 2628 Cálculos Como conhecemos o potencial V e a resistência R usamos a Eq 2628 que nos dá para a situação 1 Na situação 2 a resistência de cada metade do fio é 722 36 Ω Assim a dissipação para cada metade é e para as duas metades é Esse valor é quatro vezes maior que a dissipação do fio inteiro À primeira vista pode parecer que se você comprar uma resistência de aquecimento cortála ao meio e tornar a ligála aos mesmos terminais terá quatro vezes mais calor Por que não é aconselhável fazer isso O que acontece com a corrente que atravessa a resistência Semicondutores Os semicondutores são os principais responsáveis pela revolução da microeletrônica que nos trouxe a era da informação Na Tabela 262 as propriedades do silício um semicondutor típico são comparadas com as do cobre um condutor metálico típico Vemos que o silício possui um número muito menor de portadores de carga uma resistividade muito maior e um coeficiente de temperatura da resistividade que é ao mesmo tempo elevado e negativo Assim enquanto a resistividade do cobre aumenta quando a temperatura aumenta a resistividade do silício diminui O silício puro possui uma resistividade tão alta que se comporta quase como um isolante e portanto não tem muita utilidade em circuitos eletrônicos Entretanto a resistividade do silício pode ser reduzida de forma controlada pela adição de certas impurezas um processo conhecido como dopagem A Tabela 261 mostra valores típicos da resistividade do silício puro e dopado com duas impurezas diferentes Podemos explicar qualitativamente a diferença entre a resistividade e portanto a condutividade dos semicondutores e a dos isolantes e dos condutores metálicos em termos da energia dos elétrons Uma análise quantitativa exigiria o uso das equações da física quântica Em um condutor metálico como um fio de cobre quase todos os elétrons estão firmemente presos aos átomos da rede cristalina seria necessária uma energia muito grande para que esses elétrons se libertassem dos átomos e pudessem participar da corrente elétrica Entretanto existem alguns elétrons que estão fracamente presos aos átomos e precisam de muito pouca energia para se libertar Essa energia pode ser a energia térmica ou a energia fornecida por um campo elétrico aplicado ao condutor O campo elétrico não só libera esses elétrons mas também faz com que se movam ao longo do fio em outras palavras um campo elétrico produz uma corrente nos materiais condutores Tabela 262 Algumas Propriedades Elétricas do Cobre e do Silício Propriedade Cobre Silício Tipo de material Metal Semicondutor Densidade de portadores de carga m3 849 1028 1 1016 Resistividade Ω m 169 108 25 103 Coeficiente de temperatura da resistividade K1 43 103 70 103 Nos isolantes é muito grande a energia necessária para liberar elétrons dos átomos da rede cristalina A energia térmica não é suficiente para que isso ocorra um campo elétrico de valor razoável também não é suficiente Assim não existem elétrons disponíveis e o material não conduz corrente elétrica mesmo na presença de um campo elétrico Um semicondutor tem as mesmas propriedades que um isolante exceto pelo fato de que é um pouco menor a energia necessária para liberar alguns elétrons O mais importante porém é que a dopagem pode fornecer elétrons ou buracos déficits de elétrons que se comportam como portadores de carga positivos que estão fracamente presos aos átomos e por isso conduzem corrente com facilidade Por meio da dopagem podemos controlar a concentração dos portadores de carga e assim modificar as propriedades elétricas dos semicondutores Quase todos os dispositivos semicondutores como transistores e diodos são produzidos a partir da dopagem de diferentes regiões de um substrato de silício com diferentes tipos de impurezas Considere novamente a Eq 2622 usada para calcular a resistividade de um condutor em que n é o número de portadores de carga por unidade de volume e τ é o tempo médio entre colisões dos portadores de carga Essa equação foi deduzida para o caso dos condutores mas também se aplica aos semicondutores Vejamos como as variáveis n e τ se comportam quando a temperatura aumenta Nos condutores n tem um valor elevado que varia muito pouco com a temperatura O aumento da resistividade com o aumento da temperatura nos metais Fig 2610 se deve ao aumento das colisões dos portadores de carga com os átomos da rede cristalina2 que se manifesta na Eq 2629 como uma redução de τ o tempo médio entre colisões Nos semicondutores n é pequeno mas aumenta rapidamente com o aumento da temperatura porque a agitação térmica faz com que haja um maior número de portadores disponíveis Isso resulta em uma redução da resistividade com o aumento da temperatura como indica o valor negativo do coeficiente de temperatura da resistividade do silício na Tabela 262 O mesmo aumento do número de colisões que é observado no caso dos metais também acontece nos semicondutores porém é mais do que compensado pelo rápido aumento do número de portadores de carga Supercondutores Em 1911 o físico holandês Kamerlingh Onnes descobriu que a resistência elétrica do mercúrio cai para zero quando o metal é resfriado abaixo de 4 K Fig 2614 Esse fenômeno conhecido como supercondutividade é de grande interesse tecnológico porque significa que as cargas podem circular em supercondutor sem perder energia na forma de calor Correntes criadas em anéis supercondutores por exemplo persistiram sem perdas durante vários anos é preciso haver uma fonte de energia para produzir a corrente inicial mas depois disso mesmo que a fonte seja removida a corrente continua a circular indefinidamente Figura 2614 A resistência do mercúrio cai bruscamente para zero quando o metal é resfriado abaixo de 4 K Cortesia de Shoji TonakaInternational Superconductivity Technology Center Tóquio Japão Um ímã em forma de disco é levitado por um material supercondutor resfriado com nitrogênio líquido O aquário com o peixinho é parte da demonstração Antes de 1986 as aplicações tecnológicas da supercondutividade eram limitadas pelo custo de produzir as temperaturas extremamente baixas necessárias para que o efeito se manifestasse Em 1986 porém foram descobertos materiais cerâmicos que se tornam supercondutores em temperaturas bem mais altas portanto mais fáceis e baratas de obter embora menores que a temperatura ambiente No futuro talvez seja possível operar dispositivos supercondutores à temperatura ambiente A supercondutividade é um fenômeno muito diferente da condutividade Na verdade os melhores condutores normais como a prata e o cobre não se tornam supercondutores nem em temperaturas muito baixas enquanto os novos supercondutores cerâmicos são isolantes à temperatura ambiente Uma explicação para a supercondutividade se baseia na ideia de que em um supercondutor os elétrons responsáveis pela corrente se movem em pares Um dos elétrons do par distorce a estrutura cristalina do material criando nas proximidades uma concentração temporária de cargas positivas o outro elétron do par é atraído por essas cargas Segundo a teoria essa coordenação dos movimentos dos elétrons impede que eles colidam com os átomos da rede cristalina eliminando a resistência elétrica A teoria explicou com sucesso o comportamento dos supercondutores de baixa temperatura descobertos antes de 1986 mas parece que será necessária uma teoria diferente para explicar o comportamento dos novos supercondutores cerâmicos Revisão e Resumo Corrente A corrente elétrica i em um condutor é definida pela equação em que dq é a carga positiva que passa durante um intervalo de tempo dt por um plano hipotético que corta o condutor Por convenção o sentido da corrente elétrica é tomado como o sentido no qual cargas positivas se moveriam A unidade de corrente no SI é o ampère A 1 A 1 Cs Densidade de Corrente A corrente uma grandeza escalar está relacionada à densidade de corrente uma grandeza vetorial pela equação em que é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA e a integral é calculada ao longo de uma superfície que intercepta o condutor tem o mesmo sentido que a velocidade dos portadores de carga se estes são positivos e o sentido oposto se são negativos Velocidade de Deriva dos Portadores de Carga Quando um campo elétrico é estabelecido em um condutor os portadores de carga considerados positivos adquirem uma velocidade de deriva vd na direção de a velocidade está relacionada à densidade de corrente pela equação em que ne é a densidade de carga dos portadores Resistência de um Condutor A resistência R de um condutor é definida pela equação em que V é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor e i é a corrente A unidade de resistência do SI é o ohm Ω 1 Ω 1 VA Equações semelhantes definem a resistividade ρ e a condutividade σ de um material em que E é o módulo do campo elétrico aplicado A unidade de resistividade do SI é o ohmmetro Ωm A Eq 2610 corresponde à equação vetorial A resistência R de um fio condutor de comprimento L e seção reta uniforme é dada por em que A é a área da seção reta Variação de ρ com a Temperatura A resistividade ρ da maioria dos materiais varia com a temperatura Em muitos metais a relação entre ρ e a temperatura T é dada aproximadamente pela equação em que T0 é uma temperatura de referência ρ0 é a resistividade na temperatura T0 e α é o coeficiente de temperatura da resistividade do material Lei de Ohm Dizemos que um dispositivo condutor resistor ou qualquer outro componente de um circuito obedece à lei de Ohm se a resistência R do dispositivo definida pela Eq 268 como Vi não depende da diferença de potencial aplicada V Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade ρ definida pela Eq 2610 não depende do módulo e do sentido do campo aplicado Resistividade de um Metal Supondo que os elétrons de condução de um metal estão livres para se mover como as moléculas de um gás é possível escrever uma expressão para a resistividade de um metal como em que n é o número de elétrons livres por unidade de volume e τ é o tempo médio entre colisões dos elétrons de condução com os átomos do metal Podemos entender por que os metais obedecem à lei de Ohm observando que τ praticamente não depende da intensidade do campo elétrico aplicado ao metal Potência A potência P ou taxa de transferência de energia em um componente submetido a uma diferença de potencial V é dada por Dissipação Resistiva No caso de um resistor a Eq 2626 pode ser escrita na forma Nos resistores a energia potencial elétrica é convertida em energia térmica por meio de colisões entre os portadores de carga e os átomos da rede cristalina Semicondutores Os semicondutores são materiais que possuem um número relativamente pequeno de elétrons de condução mas se tornam bons condutores quando são dopados com outros átomos que fornecem elétrons livres Supercondutores Os supercondutores são materiais cuja resistência se anula totalmente em baixas temperaturas Recentemente foram descobertos materiais cerâmicos que se tornam supercondutores em temperaturas bem maiores que as temperaturas em que o efeito se manifesta nos supercondutores metálicos Perguntas 1 A Fig 2615 mostra as seções retas de três condutores longos de mesmo comprimento feitos do mesmo material As dimensões das seções retas estão indicadas O condutor B se encaixa perfeitamente no condutor A e o condutor C se encaixa perfeitamente no condutor B Coloque na ordem decrescente da resistência entre as extremidades os três condutores e a combinação A B B no interior de A e a combinação B C C no interior de B e A B C C no interior de B e B no interior de A Figura 2615 Pergunta 1 2 A Fig 2616 mostra as seções retas de três fios de mesmo comprimento feitos do mesmo material A figura também mostra as dimensões das seções retas em milímetros Coloque os fios na ordem decrescente da resistência medida entre as extremidades do fio Figura 2616 Pergunta 2 3 A Fig 2617 mostra um condutor em forma de paralelepípedo de dimensões L 2L e 3L Uma diferença de potencial V é aplicada uniformemente entre pares de faces opostas do condutor como na Fig 268b A diferença de potencial é aplicada primeiro entre as faces esquerda e direita depois entre as faces superior e inferior e finalmente entre as faces dianteira e traseira Coloque esses pares na ordem decrescente dos valores das seguintes grandezas no interior do condutor a módulo do campo elétrico b densidade de corrente c corrente e d velocidade de deriva dos elétrons Figura 2617 Pergunta 3 4 A Fig 2618 mostra os gráficos da corrente i em uma seção reta de um fio em quatro diferentes intervalos de tempo Coloque os intervalos na ordem decrescente da corrente total que passa pela seção reta durante o intervalo Figura 2618 Pergunta 4 5 A Fig 2619 mostra quatro situações nas quais cargas positivas e negativas se movem horizontalmente e a taxa com a qual as cargas se movem Coloque as situações na ordem decrescente da corrente efetiva Figura 2619 Pergunta 5 6 Na Fig 2620 um fio percorrido por corrente possui três trechos de raios diferentes Coloque os trechos na ordem decrescente do valor das seguintes grandezas a corrente b módulo da densidade de corrente e c módulo do campo elétrico Figura 2620 Pergunta 6 7 A Fig 2621 mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x ao longo de um fio de cobre percorrido por corrente O fio possui três trechos de raios diferentes Coloque os trechos na ordem decrescente do valor das seguintes grandezas a campo elétrico e b densidade de corrente Figura 2621 Pergunta 7 8 A tabela a seguir mostra o comprimento o diâmetro e a diferença de potencial entre as extremidades de três barras de cobre Coloque as barras na ordem decrescente a do módulo do campo elétrico no interior da barra b da densidade de corrente no interior da barra e c da velocidade de deriva dos elétrons Barra Comprimento Diâmetro Diferença de Potencial 1 L 3d V 2 2L d 2V 3 3L 2d 3V 9 A Fig 2622 mostra a velocidade de deriva vd dos elétrons de condução em um fio de cobre em função da posição x ao longo do fio O fio possui três trechos com raios diferentes Coloque os trechos na ordem decrescente do valor das seguintes grandezas a raio b número de elétrons de condução por metro cúbico c módulo do campo elétrico e d condutividade Figura 2622 Pergunta 9 10 Três fios de mesmo diâmetro são ligados sucessivamente entre dois pontos mantidos a certa diferença de potencial As resistividades e os comprimentos dos fios são ρ e L fio A 12ρ e 12L fio B e 09ρ e L fio C Coloque os fios na ordem decrescente da taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica 11 A Fig 2623 mostra para três fios de raio R a densidade de corrente Jr em função da distância r do centro do fio Os fios são todos do mesmo material Coloque os fios na ordem decrescente do módulo do campo elétrico a no centro do fio b a meio caminho da superfície do fio e c na superfície do fio Figura 2623 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 261 Corrente Elétrica 1 Durante os 40 min em que uma corrente de 50 A atravessa um fio a quantos coulombs e b quantos elétrons passam por uma seção reta do fio 2 Uma esfera condutora tem 10 cm de raio Um fio leva até a esfera uma corrente de 1000 002 0 A Outro fio retira da esfera uma corrente de 1000 000 0 A Quanto tempo é necessário para que o potencial da esfera aumente de 1000 V 3 Uma correia com 50 cm de largura está se movendo a 30 ms entre uma fonte de cargas e uma esfera A correia transporta as cargas para a esfera a uma taxa que corresponde a 100 μA Determine a densidade superficial de cargas da correia Módulo 262 Densidade de Corrente 4 A tabela a seguir foi extraída do National Electric Code que estabelece a corrente máxima considerada segura nos Estados Unidos para fios de cobre isolados de vários diâmetros Plote a densidade de corrente segura mostrada na tabela em função do diâmetro Para qual calibre de fio a densidade de corrente segura é máxima Calibre é uma forma de indicar o diâmetro dos fios e 1 mil 1 milésimo de polegada Calibre 4 6 8 10 12 14 16 18 Diâmetro mils 204 162 129 102 81 64 51 40 Corrente segura A 70 50 35 25 20 15 6 3 5 Um feixe de partículas contém 20 108 íons positivos duplamente carregados por centímetro cúbico todos se movendo para o norte com uma velocidade de 10 105 ms a Determine o módulo e b a direção da densidade de corrente c Que grandeza adicional é necessária para calcular a corrente total i associada a esse feixe de íons 6 Certo fio cilíndrico está conduzindo uma corrente Desenhamos uma circunferência de raio r e centro no eixo do fio Fig 2624a e determinamos a corrente i no interior da circunferência A Fig 2624b mostra a corrente i em função de r2 A escala vertical é definida por is 40 mA e a escala horizontal é definida por 40 mm2 a A densidade de corrente é uniforme b Caso a resposta do item a seja afirmativa calcule o valor da densidade de corrente Figura 2624 Problema 6 7 O fusível de um circuito elétrico é um fio projetado para fundir abrindo o circuito se a corrente ultrapassar certo valor Suponha que o material a ser usado em um fusível funde quando a densidade de corrente ultrapassa 440 Acm2 Que diâmetro de fio cilíndrico deve ser usado para fazer um fusível que limite a corrente a 050 A 8 Uma corrente pequena porém mensurável de 12 1010 A atravessa um fio de cobre com 25 mm de diâmetro O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 Supondo que a corrente é uniforme calcule a a densidade de corrente e b a velocidade de deriva dos elétrons 9 O módulo Jr da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 200 mm de raio é dado por Jr Br em que r é a distância do centro do fio em metros e B 200 105 Am3 Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio com 100 μm de largura situado a 120 mm do centro do fio 10 O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R 200 mm é dado por J 300 108r2 com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio cujo raio interno é 0900R e cujo raio externo é R 11 Determine a corrente em um fio de raio R 340 mm se o módulo da densidade de corrente é dado por a Ja J0R e b Jb J01 rR em que r é a distância radial e J0 550 104 Am2 c Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior 12 Nas vizinhanças da Terra a densidade de prótons do vento solar uma corrente de partículas proveniente do Sol é 870 cm3 e a velocidade dos prótons é 470 kms a Determine a densidade de corrente dos prótons do vento solar b Se o campo magnético da Terra não desviasse os prótons qual seria a corrente recebida pela Terra 13 Quanto tempo os elétrons levam para ir da bateria de um carro até o motor de arranque Suponha que a corrente é 300 A e que o fio de cobre que liga a bateria ao motor de arranque tem 085 m de comprimento e uma seção reta de 021 cm2 O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 Módulo 263 Resistência e Resistividade 14 Um ser humano pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 mA passar perto do coração Um eletricista trabalhando com as mãos suadas o que reduz consideravelmente a resistência da pele segura dois fios desencapados um em cada mão Se a resistência do corpo do eletricista é 2000 Ω qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de produzir um choque mortal 15 Uma bobina é feita de 250 espiras de fio isolado de cobre calibre 16 13 mm de diâmetro enroladas em uma única camada para formar um cilindro com 12 cm de raio Qual é a resistência da bobina Despreze a espessura do isolamento Sugestão Veja a Tabela 261 16 Existe a possibilidade de usar cobre ou alumínio em uma linha de transmissão de alta tensão para transportar uma corrente de até 600 A A resistência por unidade de comprimento deve ser de 0150 Ωkm As massas específicas do cobre e do alumínio são 8960 e 2600 kgm2 respectivamente Determine a o módulo J da densidade de corrente e b a massa por unidade de comprimento λ no caso de um cabo de cobre e c J e d λ no caso de um cabo de alumínio 17 Um fio de Nichrome uma liga de níquel cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento tem 10 m de comprimento e 10 mm2 de seção reta e conduz uma corrente de 40 A quando uma diferença de potencial de 20 V é aplicada às extremidades Calcule a condutividade σ do Nichrome 18 Um fio com 400 m de comprimento e 600 mm de diâmetro tem uma resistência de 150 mΩ Uma diferença de potencial de 230 V é aplicada às extremidades do fio a Qual é a corrente no fio b Qual é o módulo da densidade de corrente c Calcule a resistividade do material do fio d Identifique o material com o auxílio da Tabela 261 19 Um fio elétrico tem 10 mm de diâmetro 20 m de comprimento e uma resistência de 50 mΩ Qual é a resistividade do material do fio 20 Um fio tem uma resistência R Qual é a resistência de um segundo fio feito do mesmo material com metade do comprimento e metade do diâmetro 21 As especificações de uma lâmpada de lanterna são 030 A e 29 V os valores da corrente e tensão de trabalho respectivamente Se a resistência do filamento de tungstênio da lâmpada à temperatura ambiente 20oC é 11 Ω qual é a temperatura do filamento quando a lâmpada está acesa 22 Empinando uma pipa durante uma tempestade A história de que Benjamin Franklin empinou uma pipa durante uma tempestade é apenas uma lenda ele não era tolo nem tinha tendências suicidas Suponha que a linha de uma pipa tem 200 mm de raio cobre uma distância de 0800 km na vertical e está coberta por uma camada de água de 0500 mm de espessura com uma resistividade de 150 Ω m Se a diferença de potencial entre as extremidades da linha é 160 MV a diferença de potencial típica de um relâmpago qual é a corrente na camada de água O perigo não está nessa corrente mas na possibilidade de que a pessoa que segura a linha seja atingida por um relâmpago que pode produzir uma corrente de até 500000 A mais do que suficiente para matar 23 Quando uma diferença de potencial de 115 V é aplicada às extremidades de um fio com 10 m de comprimento e um raio de 030 mm o módulo da densidade de corrente é 14 108 Am2 Determine a resistividade do fio 24 A Fig 2625a mostra o módulo Ex do campo elétrico criado por uma bateria ao longo de uma barra resistiva de 900 mm de comprimento Fig 2625b A escala vertical é definida por Es 400 103 Vm A barra é formada por três trechos feitos do mesmo material porém com raios diferentes O diagrama esquemático da Fig 2625b não mostra os raios diferentes O raio da seção 3 é 200 mm Determine o raio a da seção 1 e b da seção 2 Figura 2625 Problema 24 25 Um fio com uma resistência de 60 Ω é trefilado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial Determine a resistência do fio após a operação supondo que a resistividade e a massa específica do material permaneçam as mesmas 26 Na Fig 2626a uma bateria de 900 V é ligada a uma placa resistiva formada por três trechos com a mesma seção reta e condutividades diferentes A Fig 2626b mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x ao longo da placa A escala horizontal é definida por xs 800 mm A condutividade do trecho 3 é 300 107 Ωm1 a Qual é a condutividade do trecho 1 b Qual é a condutividade do trecho 2 Figura 2626 Problema 26 27 Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo comprimento O condutor A é um fio maciço de 10 mm de diâmetro o condutor B é um tubo oco com um diâmetro externo de 20 mm e um diâmetro interno de 10 mm Qual é a razão entre as resistências dos dois fios RARB As resistências são medidas entre as extremidades dos fios 28 A Fig 2627 mostra o potencial elétrico Vx ao longo de um fio de cobre percorrido por uma corrente uniforme de um ponto de potencial mais alto Vs 120 μV em x 0 até um ponto de potencial nulo em xs 300 m O fio tem um raio de 200 mm Qual é a corrente no fio Figura 2627 Problema 28 29 Uma diferença de potencial de 300 nV é estabelecida entre as extremidades de um fio de cobre com 200 cm de comprimento e um raio de 200 mm Qual é a carga que passa por uma seção reta do fio em 300 ms 30 Se o número que indica o calibre de um fio aumenta de 6 o diâmetro é dividido por 2 se o calibre aumenta de 1 o diâmetro é dividido por 216 veja a tabela do Problema 4 Com base nessas informações e no fato de que 1000 pés de fio de cobre calibre 10 têm uma resistência de aproximadamente 100 Ω estime a resistência de 25 pés de fio de cobre calibre 22 31 Um cabo elétrico é formado por 125 fios com uma resistência de 265 μΩ cada um A mesma diferença de potencial é aplicada às extremidades de todos os fios o que produz uma corrente total de 0750 A a Qual é a corrente em cada fio b Qual é a diferença de potencial aplicada c Qual é a resistência do cabo 32 A atmosfera inferior da Terra contém íons negativos e positivos que são produzidos por elementos radioativos do solo e por raios cósmicos provenientes do espaço Em certa região a intensidade do campo elétrico atmosférico é 120 Vm e o campo aponta verticalmente para baixo Esse campo faz com que íons com uma unidade de carga positiva com uma concentração de 620 cm3 se movam para baixo enquanto íons com uma unidade de carga negativa com uma concentração de 550 cm3 se movam para cima Fig 2628 O valor experimental da condutividade do ar nessa região é 270 1014 Ω m1 Determine a o módulo da densidade de corrente e b a velocidade de deriva dos íons supondo que é a mesma para íons positivos e negativos Figura 2628 Problema 32 33 Um objeto em forma de paralelepípedo tem uma seção reta de 350 cm2 um comprimento de 158 cm e uma resistência de 935 Ω O material de que é feito o objeto possui 533 1022 elétronsm3 Uma diferença de potencial de 358 V é mantida entre as faces dianteira e traseira a Qual é a corrente que atravessa o objeto b Se a densidade de corrente é uniforme qual é o valor da densidade de corrente c Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução d Qual é o módulo do campo elétrico no interior do objeto 34 A Fig 2629 mostra um fio 1 com 400R de diâmetro e um fio 2 com 200R de diâmetro ligados por um trecho em que o diâmetro do fio varia gradualmente O fio é de cobre e está sendo percorrido por uma corrente distribuída uniformemente ao longo da seção reta do fio A variação do potencial elétrico V ao longo do comprimento L 200 m do fio 2 é 100 μV O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução no fio 1 Figura 2629 Problema 34 35 Na Fig 2630 uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω m raio menor a 200 mm raio maior b 230 mm e comprimento L 194 cm A densidade de corrente é uniforme em todas as seções retas perpendiculares ao eixo da peça Qual é a resistência da peça Figura 2630 Problema 35 36 Nadando durante uma tempestade A Fig 2631 mostra um nadador a uma distância D 350 m de um relâmpago com uma corrente I 78 kA que atinge a água A água tem uma resistividade de 30 Ω m a largura do nadador ao longo de uma reta que passa pelo ponto em que caiu o raio é 070 m e a resistência do corpo do nadador nessa direção é 400 kΩ Suponha que a corrente se espalha pela água como um hemisfério com o centro no ponto em que caiu o relâmpago Qual é o valor da corrente que atravessa o corpo do nadador Figura 2631 Problema 36 Módulo 264 A Lei de Ohm 37 Mostre que de acordo com o modelo do elétron livre para a condução de corrente elétrica em metais e a física clássica a resistividade dos metais é proporcional a em que T é a temperatura em kelvins Veja a Eq 1931 Módulo 265 Potência Semicondutores e Supercondutores 38 Na Fig 2632a um resistor de 20 Ω é ligado a uma bateria A Fig 2632b mostra a energia térmica Et gerada pelo resistor em função do tempo t A escala vertical é definida por Ets 250 mJ e a escala horizontal é definida por ts 400 s Qual é a diferença de potencial entre os terminais da bateria Figura 2632 Problema 38 39 Uma máquina de cachorroquente funciona aplicando uma diferença de potencial de 120 V às extremidades de uma salsicha e cozinhandoa com a energia térmica produzida A corrente é 100 A e a energia necessária para cozinhar uma salsicha é 600 kJ Se a potência dissipada não varia quanto tempo é necessário para cozinhar três salsichas simultaneamente 40 Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando a corrente é 300 A Qual é a resistência 41 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência de operação é 14 Ω a Qual é a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica b Qual é o custo de 50 h de uso do aquecedor se o preço da eletricidade é R005kW h 42 Na Fig 2633 uma bateria com uma diferença de potencial V 12 V está ligada a um fio resistivo de resistência R 60 Ω Quando um elétron percorre o fio de um extremo a outro a em que sentido o elétron se move b Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico do fio sobre o elétron c Qual é a energia transformada pelo elétron em energia térmica do fio Figura 2633 Problema 42 43 Quando um resistor de valor desconhecido é ligado aos terminais de uma bateria de 300 V a potência dissipada é 0540 W Quando o mesmo resistor é ligado aos terminais de uma bateria de 150 V qual é a potência dissipada 44 Um estudante manteve um rádio de 90 V 70 W ligado no volume máximo das 9 horas da noite às 2 horas da madrugada Qual foi a carga que atravessou o rádio 45 Um aquecedor de ambiente de 1250 W foi projetado para funcionar com 115 V a Qual é a corrente consumida pelo aparelho b Qual é a resistência do elemento de aquecimento c Qual é a energia térmica produzida pelo aparelho em 10 h 46 Um fio de cobre com seção reta de 200 106 m2 e comprimento de 400 m é percorrido por uma corrente uniformemente distribuída a Qual é o módulo do campo elétrico no interior do fio b Qual é a energia elétrica transformada em energia térmica em 30 min 47 Um elemento de aquecimento feito de Nichrome com uma seção reta de 260 106 é submetido a uma diferença de potencial de 750 V O fio de Nichrome tem uma resistividade de 500 107 Ω m a Se o fio dissipa 5000 W qual é o comprimento do fio b Qual deve ser o comprimento do fio para que a mesma dissipação seja obtida com uma diferença de potencial de 100 V 48 Sapatos que explodem Os sapatos molhados de chuva de uma pessoa podem explodir se a corrente de terra de um relâmpago vaporizar a água A transformação brusca de água em vapor produz uma expansão violenta suficiente para destruir os sapatos A água tem massa específica de 1000 kgm3 e calor de vaporização de 2256 kJkg Se a corrente de terra produzida pelo relâmpago é horizontal aproximadamente constante dura 200 ms e encontra água com uma resistividade de 150 Ω m 120 cm de comprimento e uma seção reta vertical de 15 105 m2 qual é o valor da corrente necessária para vaporizar a água 49 Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma tomada de parede de 120 V a Quanto custa deixar a lâmpada ligada continuamente durante um mês de 31 dias Suponha que o preço da energia elétrica é R006kWh b Qual é a resistência da lâmpada c Qual é a corrente na lâmpada 50 A corrente que circula na bateria e nos resistores 1 e 2 da Fig 2634a é 200 A A energia elétrica é convertida em energia térmica nos dois resistores As curvas 1 e 2 da Fig 2634b mostram a energia térmica Et produzida pelos dois resistores em função do tempo t A escala vertical é definida por Ets 400 mJ e a escala horizontal é definida por ts 500 s Qual é a potência da bateria Figura 2634 Problema 50 51 O fio C e o fio D são feitos de materiais diferentes e têm comprimentos LC LD 10 m A resistividade e o diâmetro do fio C são 20 106 Ω m e 100 mm e a resistividade e o diâmetro do fio D são 10 106 Ω m e 050 mm Os fios são unidos da forma mostrada na Fig 2635 e submetidos a uma corrente de 20 A Determine a diferença de potencial elétrico a entre os pontos 1 e 2 e b entre os pontos 2 e 3 Determine a potência dissipada c entre os pontos 1 e 2 e d entre os pontos 2 e 3 Figura 2635 Problema 51 52 O módulo da densidade de corrente em um fio circular com 300 mm de raio é dado por J 275 1010 Am4r2 em que r é a distância radial O potencial aplicado às extremidades do fio é 600 V Qual é a energia convertida em energia térmica em 100 h 53 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente de 500 W a Qual é a resistência do elemento de aquecimento b Qual é a corrente no elemento de aquecimento 54 A Fig 2636a mostra uma barra de material resistivo A resistência por unidade de comprimento da barra aumenta no sentido positivo do eixo x Em qualquer posição x ao longo da barra a resistência dR de um elemento de largura dx é dada por dR 500x dx em que dR está em ohms e x em metros A Fig 2636b mostra um desses elementos de resistência O trecho da barra entre x 0 e x L é cortado e ligado aos terminais de uma bateria com uma diferença de potencial V 50 V Fig 2636c Qual deve ser o valor de L para que a potência dissipada pelo trecho cortado seja de 200 W Figura 2636 Problema 54 Problemas Adicionais 55 Um aquecedor de Nichrome dissipa 500 W quando a diferença de potencial aplicada é 110 V e a temperatura do fio é 800oC Qual será a potência dissipada se a temperatura do fio for mantida em 200oC por imersão em um banho de óleo A diferença de potencial é a mesma nos dois casos e o valor de α para o Nichrome a 800oC é 40 104 K1 56 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a 330 m de um fio de cobre calibre 18 00400 polegada de diâmetro Calcule a a corrente b o módulo da densidade de corrente no interior do fio c o módulo do campo elétrico no interior do fio e d a potência dissipada no fio 57 Um dispositivo de 180 W funciona com uma diferença de potencial de 900 V Qual é a carga que atravessa o dispositivo em 400 h 58 Uma barra de alumínio de seção reta quadrada tem 13 m de comprimento e 52 mm de lado a Qual é a resistência entre as extremidades da barra b Qual deve ser o diâmetro de uma barra cilíndrica de cobre com 13 m de comprimento para que a resistência seja a mesma que a da barra de alumínio 59 Uma barra de metal cilíndrica tem 160 m de comprimento e 550 mm de diâmetro A resistência entre as duas extremidades a 20oC é 109 103 Ω a Qual é o material do fio b Um disco circular com 200 cm de diâmetro e 100 mm de espessura é fabricado com o mesmo material Qual é a resistência entre as faces do disco supondo que as duas faces são superfícies equipotenciais 60 O mistério do chocolate em pó Essa história começou no Problema 60 do Capítulo 23 e continuou nos Capítulos 24 e 25 O pó de chocolate foi transportado para o silo em um cano de raio R com velocidade v e densidade uniforme de carga ρ a Determine uma expressão para a corrente i o fluxo da carga elétrica associada ao pó em uma seção reta do cano b Calcule o valor de i para as condições da fábrica raio do cano R 50 cm velocidade v 20 ms e densidade de carga ρ 11 103 Cm3 Se o pó sofresse uma variação de potencial elétrico V a energia do pó poderia ser transferida para uma centelha a uma taxa P iV c Poderia haver essa transferência no interior do cano devido à diferença de potencial radial discutida no Problema 70 do Capítulo 24 Quando o pó saiu do cano e entrou no silo o potencial elétrico do pó mudou O valor absoluto dessa variação foi pelo menos igual à diferença de potencial radial no interior do cano calculada no Problema 70 do Capítulo 24 d Tomando esse valor para a diferença de potencial e usando a corrente calculada no item b deste problema determine a taxa com a qual a energia pode ter sido transferida do pó para uma centelha quando o pó deixou o cano e Se uma centelha ocorreu no momento em que o pó deixou o tubo e durou 020 s uma estimativa razoável qual foi a energia transferida para a centelha Lembrese de que como foi visto no Problema 60 do Capítulo 23 é necessária uma transferência de energia de no mínimo 150 mJ para provocar uma explosão f Onde ocorreu provavelmente a explosão na nuvem de pó da bandeja Problema 60 do Capítulo 25 no interior do cano ou na entradado silo 61 Um feixe de partículas alfa q 2e com uma energia cinética de 20 MeV corresponde a uma corrente de 025 μA a Se o feixe incide perpendicularmente em uma superfície plana quantas partículas alfa atingem a superfície em 30 s b Quantas partículas alfa existem em uma extensão de 20 cm do feixe c Qual é a diferença de potencial necessária para acelerar as partículas alfa a partir do repouso para que adquiram uma energia de 20 MeV 62 Um resistor com uma diferença de potencial de 200 V dissipa uma potência de 3000 W Qual é a resistência do resistor 63 Um elemento de aquecimento de 20 kW de uma secadora de roupas tem 80 cm de comprimento Se 10 cm do elemento forem removidos qual será a potência dissipada pelo novo elemento para uma diferença de potencial de 120 V 64 Um resistor cilíndrico com 50 mm de raio e 20 cm de comprimento é feito de um material cuja resistividade é 35 105 Ω m Determine a o módulo da densidade de corrente e b a diferença de potencial para que a potência dissipada no resistor seja 10 W 65 Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A comprimento L e resistividade ρ Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 300 e a corrente seja multiplicada por 400 Supondo que a massa específica do fio permaneça a mesma determine a a razão entre o novo comprimento e L e b a razão entre a nova seção reta e A 66 Os faróis de um carro em movimento consomem 10 A do alternador de 12 V que é acionado pelo motor Suponha que o alternador tem uma eficiência de 80 a potência elétrica de saída é 80 da potência mecânica de entrada e calcule o número de horsepower que o motor precisa fornecer para manter os faróis acesos 67 Um aquecedor de 500 W foi projetado para funcionar com uma diferença de potencial de 115 V a Qual será a queda percentual da potência dissipada se a diferença de potencial aplicada diminuir para 110 V Suponha que a resistência permanece a mesma b Se a variação da resistência com a temperatura for levada em consideração a queda de potência será maior ou menor que o valor calculado no item a 68 Os enrolamentos de cobre de um motor têm uma resistência de 50 Ω a 20oC quando o motor está frio Depois de o motor trabalhar durante várias horas a resistência aumenta para 58 Ω Qual é a nova temperatura dos enrolamentos Suponha que as dimensões dos enrolamentos não variam Sugestão Veja a Tabela 261 69 Qual é a energia dissipada em 200 h por uma resistência de 400 Ω se a diferença de potencial aplicada à resistência é 900 V 70 Uma lagarta de 40 cm de comprimento rasteja no mesmo sentido que a deriva de elétrons em um fio de cobre de 52 mm de diâmetro que conduz uma corrente uniforme de 12 A a Qual é a diferença de potencial entre as extremidades da lagarta b A cauda da lagarta é positiva ou negativa em relação à cabeça c Quanto tempo a lagarta leva para rastejar 10 cm à mesma velocidade que a velocidade de deriva dos elétrons no fio O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 71 a Para qual temperatura a resistência de um fio de cobre é o dobro da resistência a 200oC Use 200oC como ponto de referência na Eq 2617 compare a resposta com a Fig 2610 b A temperatura para o dobro da resistência é a mesma para qualquer fio de cobre independentemente da forma e do tamanho 72 Um trilho de aço tem uma seção reta de 560 cm2 Qual é a resistência de 100 km de trilhos A resistividade do aço é 300 107 Ω m 73 Uma bobina de fio de Nichrome é imersa em um líquido Nichrome é uma liga de níquel cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento Quando a diferença de potencial entre as extremidades da bobina é 12 V e a corrente na bobina é 52 A o líquido evapora à taxa de 21 mgs Determine o calor de vaporização do líquido Sugestão Veja o Módulo 184 74 A densidade de corrente em um fio é 20 106 Am2 o comprimento do fio é 50 m e a densidade de elétrons de condução é 849 1028 m3 Quanto tempo um elétron leva em média para atravessar o fio de um extremo a outro 75 Um tubo de raios X funciona com uma corrente de 700 mA e uma diferença de potencial de 800 kV Qual é a potência do tubo em watts 76 Uma corrente é estabelecida em um tubo de descarga de gás quando uma diferença de potencial suficientemente elevada é aplicada a dois eletrodos situados no interior do tubo O gás se ioniza elétrons se movem na direção do eletrodo positivo e íons positivos monoionizados se movem na direção do terminal negativo a Qual é a corrente em um tubo de descarga de hidrogênio no qual 31 1018 elétrons e 11 1018 prótons atravessam uma seção reta do tubo por segundo b O sentido da densidade de corrente é do eletrodo positivo para o eletrodo negativo ou do eletrodo negativo para o eletrodo positivo 77 Na Fig 2637 um fio resistivo ligado a uma bateria é colocado no interior de um cilindro isolado termicamente com um êmbolo sem atrito na extremidade superior que contém um gás ideal Uma corrente i 240 mA atravessa o fio que tem uma resistência R 550 Ω Se a temperatura do gás permanece constante enquanto o êmbolo de 12 kg se desloca para cima qual é a velocidade limite do êmbolo Figura 2637 Problema 77 78 Uma correia feita de material isolante com 50 cm de largura se move a uma velocidade de 30 ms A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório corresponde a uma corrente elétrica de 100 μA Qual é a densidade superficial de carga da correia 79 Em um laboratório hipotético de fusão nuclear gás hélio a uma temperatura elevada é totalmente ionizado cada átomo de hélio dá origem a dois elétrons livres e um núcleo positivamente carregado que é chamado de partícula alfa Um campo elétrico aplicado faz com que as partículas alfa se movam para leste com uma velocidade de deriva de 250 ms e que os elétrons se movam para oeste com uma velocidade de deriva de 880 ms O número de partículas alfa por unidade de volume é 280 1015 cm3 Determine a a densidade de corrente total e b o sentido da corrente elétrica 80 Quando um fio de metal é aquecido não é apenas a resistividade que muda o comprimento e a área do fio também são afetados De acordo com a equação R ρLA as três grandezas devem ser levadas em consideração ao calcularmos o efeito da temperatura sobre a resistência Se a temperatura varia de 10Co qual é a variação percentual a de L b de A e c de ρ para um fio de cobre d Que conclusão podemos tirar desses resultados O coeficiente de dilatação linear do cobre é 170 105 K1 81 Um feixe de dêuterons de 16 Mev produzido por um cíclotron incide em um bloco de cobre O feixe equivale a uma corrente de 15 μA a Qual é o número de dêuterons que se chocam com o bloco por segundo b Qual é a energia térmica produzida no bloco por segundo 82 Um acelerador linear produz um feixe pulsado de elétrons A corrente equivalente dos pulsos é 050 A e a duração de cada pulso é 010 μs a Quantos elétrons são acelerados por pulso b Qual é a corrente média se a frequência de operação da máquina é de 500 pulsos por segundo Se a energia dos elétrons é 50 MeV determine c a potência média e d a potência máxima do acelerador 83 Um aquecedor elétrico de imersão normalmente leva 100 minutos para fazer com que água fria em um recipiente com um bom isolamento térmico chegue a uma determinada temperatura na qual um termostato desliga o aquecedor Um dia a tensão da rede é reduzida de 600 por causa de uma sobrecarga Quanto tempo o aquecedor leva para aquecer a água até a mesma temperatura Suponha que a variação da resistência do aquecedor com a temperatura é desprezível 84 Um aquecedor elétrico de imersão de 400 W é introduzido em uma panela que contém 200 L de água a 20oC a Quanto tempo a água leva para atingir a temperatura de ebulição supondo que 80 da energia disponível é absorvida pela água b Quanto tempo a mais é necessário para que metade da água seja transformada em vapor 85 Um capacitor de 30 μF é ligado aos terminais de uma fonte de alimentação programável Durante o intervalo de t 0 a t 300 s a tensão de saída da fonte é dada por Vt 600 400t 200t2 volts Determine no instante t 0500 s a a carga do capacitor b a corrente do capacitor e c a potência de saída da fonte 1Esse valor inesperadamente elevado do livre caminho médio foi explicado pela física quântica por meio de um modelo no qual os elétrons interagem com vibrações da rede cristalina NT 2Esse aumento é explicado pela física quântica como consequência do aumento das vibrações da rede cristalina NT CAPÍTULO 27 Circuitos 271 CIRCUITOS DE UMA MALHA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2701 Conhecer a relação entre a força eletromotriz e o trabalho realizado 2702 Conhecer a relação entre a força eletromotriz a corrente e a potência de uma fonte ideal 2703 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito de uma malha com uma fonte e três resistores 2704 Usar a regra das malhas para escrever uma equação para as diferenças de potencial dos elementos de um circuito ao longo de uma malha fechada 2705 Conhecer a relação entre a resistência e a diferença de potencial entre os terminais de um resistor regra das resistências 2706 Conhecer a relação entre a força eletromotriz e a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte regra das fontes 2707 Saber que resistores em série são atravessados pela mesma corrente que também é a mesma do resistor equivalente 2708 Calcular o resistor equivalente de resistores em série 2709 Saber que a diferença de potencial entre as extremidades de um conjunto de resistores em série é a soma das diferenças de potencial entre os terminais dos resistores 2710 Calcular a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito 2711 Conhecer a diferença entre uma fonte real e uma fonte ideal e substituir no diagrama de um circuito uma fonte real por uma fonte real em série com uma resistência 2712 Calcular a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte real para os dois sentidos possíveis da corrente no circuito 2713 Saber o que significa aterrar um circuito e representar esse aterramento em um diagrama esquemático 2714 Saber que aterrar um circuito não afeta a corrente do circuito 2715 Calcular a taxa de dissipação de energia de uma fonte real 2716 Calcular a potência fornecida ou recebida por uma fonte IdeiasChave Uma fonte de tensão realiza trabalho sobre cargas elétricas para manter uma diferença de potencial entre os terminais Se dW é o trabalho elementar que a fonte realiza para fazer com que uma carga elementar atravesse a fonte do terminal negativo para o terminal positivo da fonte a força eletromotriz da fonte trabalho por unidade de carga é dada por Uma fonte ideal é uma fonte cuja resistência interna é zero A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz As fontes reais possuem uma resistência interna diferente de zero A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte real é igual à força eletromotriz apenas se a corrente que atravessa a fonte for nula A variação de potencial de um terminal para o outro de uma resistência R no sentido da corrente é dada por iR e a variação no sentido oposto é dada por iR em que i é a corrente regra das resistências A variação de potencial de um terminal para o outro de uma fonte ideal no sentido do terminal negativo para o terminal positivo é e a variação no sentido oposto é regra das fontes A lei de conservação da energia leva à regra das malhas Regra das Malhas A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é igual a zero A lei de conservação da carga leva à lei dos nós Capítulo 26 Lei dos Nós A soma das correntes que entram em um nó de um circuito é igual à soma das correntes que saem do nó Quando uma fonte real de força eletromotriz e resistência interna r realiza trabalho sobre os portadores de carga da corrente i que atravessa a bateria a taxa P com a qual a fonte transfere energia para os portadores de carga é dada por P iV em que V é a diferença de potencial entre os terminais da bateria A taxa Pr com a qual a resistência interna da fonte dissipa energia é dada por Pr i2r A taxa Pfem com a qual a energia química da fonte é transformada em energia elétrica é dada por Pfem i Resistores ligados em série são atravessados pela mesma corrente e podem ser substituídos por um resistor equivalente cuja resistência é dada por O que É Física Estamos cercados de circuitos elétricos Podemos nos orgulhar do número de aparelhos elétricos que possuímos ou fazer uma lista mental dos aparelhos elétricos que gostaríamos de possuir Todos esses aparelhos e a rede de distribuição de energia elétrica que os faz funcionar dependem da engenharia elétrica moderna Não é fácil estimar o valor econômico atual da engenharia elétrica e seus produtos mas podemos ter certeza de que esse valor aumenta sem parar à medida que mais e mais tarefas são executadas eletricamente Hoje em dia os aparelhos de rádio e televisão são sintonizados eletricamente as mensagens são enviadas pela internet os artigos científicos são publicados e copiados na forma de arquivos digitais e lidos nas telas dos computadores A ciência básica da engenharia elétrica é a física Neste capítulo estudamos a física de circuitos elétricos que contêm apenas resistores e fontes e no Módulo 274 capacitores Vamos limitar nossa discussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempre no mesmo sentido conhecidos como circuitos de corrente contínua ou circuitos de CC Começamos com a seguinte pergunta Como é possível colocar cargas elétricas em movimento Bombeamento de Cargas Se quisermos fazer com que cargas elétricas atravessem um resistor precisamos estabelecer uma diferença de potencial entre as extremidades do dispositivo Para isso poderíamos ligar as extremidades do resistor às placas de um capacitor carregado O problema é que o movimento das cargas faria o capacitor se descarregar e portanto depois de certo tempo o potencial seria o mesmo nas duas placas Quando isso acontecesse não haveria mais um campo elétrico no interior do resistor e a corrente deixaria de circular Para produzir uma corrente constante precisamos de uma bomba de cargas um dispositivo que realizando trabalho sobre os portadores de carga mantenha uma diferença de potencial entre dois terminais Um dispositivo desse tipo é chamado de fonte de tensão ou simplesmente fonte Dizemos que uma fonte de tensão produz uma força eletromotriz o que significa que submete os portadores de carga a uma diferença de potencial O termo força eletromotriz às vezes abreviado para fem é usado por questões históricas para designar a diferença de potencial produzida por uma fonte de tensão embora na verdade não se trate de uma força No Capítulo 26 discutimos o movimento de portadores de carga em um circuito em termos do campo elétrico existente no circuito o campo produz forças que colocam os portadores de carga em movimento Neste capítulo vamos usar uma abordagem diferente discutindo o movimento dos portadores de carga em termos de energia uma fonte de tensão fornece a energia necessária para o movimento por meio do trabalho que realiza sobre os portadores Uma fonte muito útil é a bateria usada para alimentar uma grande variedade de máquinas desde relógios de pulso até submarinos A fonte mais importante na vida diária porém é o gerador de eletricidade que por meio de ligações elétricas fios a partir de uma usina de energia elétrica cria uma diferença de potencial nas residências e escritórios As células solares presentes nos painéis em forma de asa das sondas espaciais também são usadas para gerar energia em localidades remotas do nosso planeta Fontes menos conhecidas são as células de combustível dos ônibus espaciais e as termopilhas que fornecem energia elétrica a algumas naves espaciais e estações remotas na Antártida e outros locais Nem todas as fontes são artificiais organismos vivos como enguias elétricas e até seres humanos e plantas são capazes de gerar eletricidade Embora os dispositivos mencionados apresentem diferenças significativas quanto ao modo de operação todos executam as mesmas funções básicas realizar trabalho sobre portadores de carga e manter uma diferença de potencial entre dois terminais Figura 271 Um circuito elétrico simples no qual uma fonte de força eletromotriz realiza trabalho sobre portadores de carga e mantém uma corrente constante i em um resistor de resistência R Trabalho Energia e Força Eletromotriz A Fig 271 mostra um circuito formado por uma fonte uma bateria por exemplo e uma única resistência R o símbolo de resistência e de um resistor é A fonte mantém um dos terminais o terminal positivo ou terminal a um potencial elétrico maior que o outro o terminal negativo ou terminal Podemos representar a força eletromotriz da fonte por meio de uma seta apontando do terminal negativo para o terminal positivo como na Fig 271 Um pequeno círculo na origem da seta que representa a força eletromotriz serve para distinguila das setas que indicam a direção da corrente Quando uma fonte não está ligada a um circuito a energia que existe no interior da fonte não provoca nenhum movimento dos portadores de carga Quando porém a fonte é ligada a um circuito como na Fig 271 essa energia faz com que portadores de carga positivos por convenção sejam transferidos do terminal negativo para o terminal positivo da fonte ou seja no sentido da seta que representa a força eletromotriz Esse movimento é parte da corrente que se estabelece no mesmo sentido em todo o circuito no caso da Fig 271 o sentido horário No interior da fonte os portadores de carga positivos se movem de uma região de baixo potencial elétrico e portanto de baixa energia potencial elétrica o terminal negativo para uma região de alto potencial elétrico e alta energia potencial elétrica o terminal positivo Esse movimento tem o sentido contrário ao sentido no qual os portadores positivos se moveriam sob a ação do campo elétrico que existe entre os dois terminais que aponta do terminal positivo para o terminal negativo Isso significa que deve haver uma energia no interior da fonte realizando um trabalho sobre as cargas e forçando as cargas a se moverem dessa forma A energia pode ser química como nas baterias e nas células de combustível ou mecânica como nos geradores Também pode resultar de diferenças de temperatura como nas termopilhas ou ser fornecida pelo Sol como nas células solares Vamos agora analisar o circuito da Fig 271 do ponto de vista do trabalho e da energia Em um intervalo de tempo dt uma carga dq passa por todas as seções retas do circuito como a seção aa A mesma carga entra no terminal de baixo potencial da fonte de tensão e sai do terminal de alto potencial Para que a carga dq se mova dessa forma a fonte deve realizar sobre a carga um trabalho dW Definimos a força eletromotriz da fonte por meio desse trabalho Figura 272 a Como neste circuito B A o sentido da corrente é determinado pela bateria B b As transferências de energia que acontecem no circuito Em palavras a força eletromotriz de uma fonte é o trabalho por unidade de carga que a fonte realiza para transferir cargas do terminal de baixo potencial para o terminal de alto potencial A unidade de força eletromotriz do SI tem dimensões de joule por coulomb como vimos no Capítulo 24 essa unidade é chamada de volt Uma fonte de tensão ideal é uma fonte na qual os portadores de carga não encontram resistência ao se deslocarem do terminal negativo para o terminal positivo A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz da fonte Assim por exemplo uma bateria ideal com uma força eletromotriz de 120 V mantém uma diferença de 120 V entre os terminais esteja ou não a fonte ligada a um circuito e sejam quais forem as características do circuito Uma fonte de tensão real possui uma resistência interna diferente de zero Quando uma fonte real não está ligada a um circuito e portanto não conduz uma corrente elétrica a diferença de potencial entre os terminais é igual à força eletromotriz Quando a fonte conduz uma corrente a diferença de potencial é menor que a força eletromotriz As fontes reais serão discutidas no final deste módulo Quando uma fonte é ligada a um circuito a fonte transfere energia para os portadores de carga que passam por ela Essa energia pode ser transferida dos portadores de carga para outros dispositivos do circuito e usada por exemplo para acender uma lâmpada A Fig 272a mostra um circuito formado por duas baterias ideais recarregáveis A e B uma resistência R e um motor elétrico M que é capaz de levantar um objeto usando a energia que recebe dos portadores de carga do circuito Observe que as baterias estão ligadas de tal forma que tendem a fazer as cargas circularem em sentidos opostos O sentido da corrente é determinado pela bateria que possui a maior força eletromotriz que no caso estamos supondo que seja a bateria B de modo que a energia química da bateria B diminui com a transferência de parte da energia para os portadores de carga Por outro lado a energia química da bateria A aumenta pois o sentido da corrente no interior da bateria A é do terminal positivo para o terminal negativo Assim a bateria B além de fornecer energia para acionar o motor M e vencer a resistência R também carrega a bateria A A Fig 272b mostra as três transferências de energia todas diminuem a energia química da bateria B Cálculo da Corrente em um Circuito de uma Malha Vamos discutir agora dois métodos diferentes para calcular a corrente no circuito de uma malha da Fig 273 um dos métodos se baseia na lei de conservação da energia e o outro no conceito de potencial O circuito que vamos analisar é formado por uma fonte ideal B cuja força eletromotriz é um resistor de resistência R e dois fios de ligação A menos que seja afirmado o contrário vamos supor que os fios dos circuitos possuem resistência desprezível Na maioria dos casos os fios servirão apenas para transferir os portadores de corrente de um dispositivo para outro Método da Energia De acordo com a Eq 2627 P i2R em um intervalo de tempo dt uma energia dada por i2R dt é transformada em energia térmica no resistor da Fig 273 Como foi observado no Módulo 265 podemos dizer que essa energia é dissipada no resistor Como estamos supondo que a resistência dos fios é desprezível os fios não dissipam energia Durante o mesmo intervalo uma carga dq i dt atravessa a fonte B e o trabalho realizado pela fonte sobre essa carga de acordo com a Eq 271 é dado por dW dq i dt De acordo com a lei de conservação da energia o trabalho realizado pela fonte ideal é igual à energia térmica que aparece no resistor i dt i2R dt Isso nos dá iR A força eletromotriz é a energia por unidade de carga transferida da fonte para as cargas que se movem no circuito A grandeza iR é a energia por unidade de carga transferida das cargas móveis para o resistor e convertida em calor Assim essa equação mostra que a energia por unidade de carga transferida para as cargas em movimento é igual à energia por unidade de carga transferida pelas cargas em movimento Explicitando i obtemos Método do Potencial Suponha que começamos em um ponto qualquer do circuito da Fig 273 e nos deslocamos mentalmente ao longo do circuito em um sentido arbitrário somando algebricamente as diferenças de potencial que encontramos no caminho Ao voltar ao ponto de partida teremos voltado também ao potencial inicial Antes de prosseguir queremos chamar a atenção para o fato de que esse raciocínio vale não só para circuitos com uma malha como o da Fig 273 mas também para uma malha fechada de um circuito com várias malhas como os que serão discutidos no Módulo 272 REGRA DAS MALHAS A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é zero Figura 273 Um circuito de uma malha no qual uma resistência R está ligada aos terminais de uma fonte ideal B de força eletromotriz A corrente resultante i é a mesma em todo o circuito Essa regra também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff ou lei das tensões de Kirchhoff em homenagem ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff equivale a dizer que cada ponto de uma montanha possui apenas uma altitude em relação ao nível do mar Se partimos de um ponto qualquer e voltamos ao mesmo ponto depois de passear pela montanha a soma algébrica das mudanças de altitude durante a caminhada é necessariamente zero Na Fig 273 vamos começar no ponto a cujo potencial é Va e nos deslocar mentalmente no sentido horário até estarmos de volta ao ponto a anotando as mudanças de potencial que ocorrem no percurso Nosso ponto de partida será o terminal negativo da fonte Como a fonte é ideal a diferença de potencial entre os terminais da fonte é Assim quando atravessamos a fonte passando do terminal negativo para o terminal positivo a variação de potencial é Quando passamos do terminal positivo da fonte para o terminal superior do resistor não há variação de potencial já que a resistência do fio é desprezível Quando atravessamos o resistor o potencial varia de acordo com a Eq 268 que pode ser escrita na forma V iR O potencial deve diminuir pois estamos passando do lado de potencial mais alto do resistor para o lado de potencial mais baixo Assim a variação de potencial é iR Voltamos ao ponto a pelo fio que liga o terminal inferior do resistor ao terminal negativo da fonte Uma vez que a resistência do fio é desprezível não há variação de potencial nesse trecho do circuito No ponto a o potencial é novamente Va Como percorremos todo o circuito o potencial inicial depois de modificado pelas variações de potencial ocorridas ao longo do caminho deve ser igual ao potencial final ou seja Va iR Va Subtraindo Va de ambos os membros da equação obtemos iR 0 Explicitando i nesta equação obtemos o mesmo resultado i R que obtivemos usando o método da energia Eq 272 Se aplicarmos a regra da malha a um percurso no sentido antihorário o resultado será iR 0 e mais uma vez obteremos i R Assim o sentido no qual percorremos o circuito para aplicar a regra das malhas é irrelevante Com o objetivo de facilitar o estudo de circuitos mais complexos que o da Fig 273 vamos resumir o que vimos até agora em duas regras para as diferenças de potencial produzidas pelos dispositivos do circuito quando percorremos uma malha REGRA DAS RESISTÊNCIAS Quando atravessamos uma resistência no sentido da corrente a variação do potencial é iR quando atravessamos uma resistência no sentido oposto a variação é iR REGRA DAS FONTES Quando atravessamos uma fonte ideal no sentido do terminal negativo para o terminal positivo a variação do potencial é quando atravessamos uma fonte no sentido oposto a variação é Teste 1 A figura mostra a corrente i em um circuito formado por uma fonte B e uma resistência R além de fios de resistência desprezível a A seta que indica a força eletromotriz da fonte B deve apontar para a esquerda ou para a direita Coloque os pontos a b e c na ordem decrescente b do valor absoluto da corrente c do potencial elétrico e d da energia potencial elétrica dos portadores de carga Outros Circuitos de uma Malha Nesta seção vamos ampliar o circuito simples da Fig 273 de duas formas Resistência Interna A Fig 274a mostra uma fonte real de resistência interna r ligada a um resistor externo de resistência R A resistência interna da fonte é a resistência elétrica dos materiais condutores que existem no interior da fonte e portanto é parte integrante da fonte Na Fig 274a porém a fonte foi desenhada como se pudesse ser decomposta em uma fonte ideal de força eletromotriz em série com um resistor de resistência r A ordem em que os símbolos dos dois dispositivos são desenhados é irrelevante Figura 274 a Circuito de uma malha com uma fonte real de força eletromotriz e resistência interna r b O mesmo circuito representado de outra forma para mostrar as variações do potencial elétrico quando o circuito é percorrido no sentido horário a partir do ponto a O potencial Va foi tomado arbitrariamente como zero os outros potenciais foram calculados em relação a Va Aplicando a regra das malhas no sentido horário a partir do ponto a as variações do potencial nos dão Explicitando a corrente obtemos Observe que a Eq 274 se reduz à Eq 272 se a fonte for ideal ou seja se r 0 A Fig 274b mostra graficamente as variações de potencial elétrico ao longo do circuito Para estabelecer uma ligação mais direta da Fig 274b com o circuito fechado da Fig 274a imagine o gráfico desenhado na superfície lateral de um cilindro com o ponto a da esquerda coincidindo com o ponto a da direita Percorrer o circuito é como passear em uma montanha e voltar ao ponto de partida na chegada você se encontra na mesma altitude em que estava quando partiu Neste livro se não especificarmos uma resistência interna para a fonte ou afirmarmos que a fonte é real estará implícito que se trata de uma fonte ideal ou seja que a resistência interna da fonte é tão pequena em comparação com as outras resistências do circuito que pode ser desprezada Resistências em Série A Fig 275a mostra três resistências ligadas em série a uma fonte ideal de força eletromotriz Essa descrição pouco tem a ver com o modo como as resistências estão desenhadas A expressão em série significa apenas que as resistências são ligadas uma após a outra e que uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades da ligação Na Fig 275a as resistências estão ligadas uma após a outra entre os pontos a e b e uma diferença de potencial entre os pontos a e b é mantida por uma fonte As diferenças de potencial entre os terminais de cada resistência produzem a mesma corrente i em todas as resistências De modo geral Figura 275 a Três resistores ligados em série entre os pontos a e b b Circuito equivalente com os três resistores substituídos por uma resistência equivalente Req Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências ligadas em série a corrente i é a mesma em todas as resistências e a soma das diferenças de potencial das resistências é igual à diferença de potencial aplicada V Observe que as cargas que atravessam resistências ligadas em série têm um único caminho possível Se existe mais de um caminho as resistências não estão ligadas em série Resistências ligadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente Req percorrida pela mesma corrente i e com a mesma diferença de potencial total V que as resistências originais A Fig 275b mostra a resistência equivalente Req das três resistências da Fig 275a Para determinar o valor da resistência Req da Fig 275b aplicamos a regra das malhas aos dois circuitos Na Fig 275a começando no ponto a e percorrendo o circuito no sentido horário temos Na Fig 275b com as três resistências substituídas por uma resistência equivalente Req obtemos Igualando as Eqs 275 e 276 obtemos Req R1 R2 R3 A extensão para n resistores é imediata e nos dá Observe que no caso de duas ou mais resistências ligadas em série a resistência equivalente é maior que a maior das resistências Teste 2 Na Fig 275a se R1 R2 R3 coloque as três resistências na ordem decrescente a da corrente que passa pelas resistências e b da diferença de potencial entre os terminais das resistências Figura 276 Existe uma diferença de potencial entre os pontos a e b que são os terminais de uma fonte real Diferença de Potencial entre Dois Pontos Muitas vezes estamos interessados em determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito Assim por exemplo na Fig 276 qual é a diferença de potencial Vb Va entre os pontos a e b Para obter a resposta vamos começar no ponto a cujo potencial é Va e nos deslocar passando pela fonte até o ponto b cujo potencial é Vb anotando as diferenças de potencial encontradas no percurso Quando passamos pela fonte o potencial aumenta de Quando passamos pela resistência interna r da fonte estamos nos movendo no sentido da corrente e portanto o potencial diminui de ir A essa altura estamos no ponto b e temos Para calcular o valor dessa expressão precisamos conhecer a corrente i Observe que o circuito é o mesmo da Fig 274a para o qual de acordo com a Eq 274 Substituindo i pelo seu valor dado pela Eq 279 na Eq 278 obtemos Substituindo os valores numéricos que aparecem na Fig 276 temos Suponha que tivéssemos escolhido percorrer o circuito no sentido antihorário passando pelo resistor R em vez de passar pela fonte Como nesse caso estaríamos nos movendo no sentido oposto ao da corrente o potencial aumentaria de iR Assim Substituindo i pelo seu valor dado pela Eq 279 obtemos mais uma vez a Eq 2710 Assim substituindo os valores numéricos obtemos o mesmo resultado Vb Va 80 V No caso geral Para determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito começamos em um dos pontos e percorremos o circuito até o outro ponto somando algebricamente as variações de potencial que encontramos no percurso Diferença de Potencial entre os Terminais de uma Fonte Real Na Fig 276 os pontos a e b estão situados nos terminais da fonte assim a diferença de potencial Vb Va é a diferença de potencial entre os terminais da fonte De acordo com a Eq 278 temos De acordo com a Eq 2713 se a resistência interna r da fonte da Fig 276 fosse zero V seria igual à força eletromotriz da fonte ou seja 12 V Como r 20 τ V é menor que De acordo com a Eq 27 11 V 80 V Observe que o resultado depende da corrente que atravessa a fonte Se a fonte estivesse em outro circuito no qual a corrente fosse diferente V teria outro valor Aterramento de um Circuito A Fig 277a mostra o mesmo circuito da Fig 276 exceto pelo fato de que o ponto a está ligado diretamente à terra o que é indicado pelo símbolo Aterrar um circuito pode significar ligar o circuito à superfície da Terra na verdade ao solo úmido que é um bom condutor de eletricidade Neste diagrama porém o símbolo de terra significa apenas que o potencial é definido como zero no ponto em que se encontra o símbolo Assim na Fig 277a o potencial do ponto a é definido como Va 0 Nesse caso conforme a Eq 2711 o potencial no ponto b é Vb 80 V Figura 277 a O ponto a está ligado diretamente à terra b O ponto b está ligado diretamente à terra A Fig 277b mostra o mesmo circuito exceto pelo fato de que agora é o ponto b que está ligado à terra Assim o potencial do ponto b é definido como Vb 0 nesse caso de acordo com a Eq 2711 o potencial no ponto a é Va 80 V Potência Potencial e Força Eletromotriz Quando uma bateria ou outro tipo de fonte de tensão realiza trabalho sobre portadores de carga para estabelecer uma corrente i o dispositivo transfere energia de sua fonte interna de energia energia química no caso de uma bateria para os portadores de carga Como toda fonte real possui uma resistência interna r a fonte também dissipa uma parte da energia na forma de calor Módulo 265 Vamos ver agora como essas transferências estão relacionadas A potência P fornecida pela fonte aos portadores de carga é dada pela Eq 2626 em que V é a diferença de potencial entre os terminais da fonte De acordo com a Eq 2713 podemos fazer V ir na Eq 2714 para obter Examinando a Eq 2715 reconhecemos o termo i2r como a potência Pr dissipada no interior da fonte Eq 2627 como Nesse caso o termo i da Eq 2715 é a soma da potência transferida para os portadores de carga com a potência dissipada pela fonte que pode ser chamada de Pfonte Assim Quando uma bateria está sendo recarregada com uma corrente passando no sentido inverso a transferência de energia é dos portadores de carga para a bateria parte da energia é usada para aumentar a energia química da bateria e parte é dissipada na resistência interna r da bateria A taxa de variação da energia química é dada pela Eq 2717 a taxa de dissipação é dada pela Eq 2716 e a taxa com a qual os portadores de carga fornecem energia é dada pela Eq 2714 Teste 3 Uma fonte possui uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 2 τ A diferença de potencial entre os terminais é menor maior ou igual a 12 V se a corrente que atravessa a fonte a é do terminal negativo para o terminal positivo b é do terminal positivo para o terminal negativo e c é zero Exemplo 2701 Circuito de uma malha com duas fontes reais As forças eletromotrizes e resistências do circuito da Fig 278a têm os seguintes valores 1 44 V 2 21 V r1 23 Ω r2 18 Ω R 55 Ω a Qual é a corrente i no circuito IDEIACHAVE Podemos obter uma expressão para a corrente i nesse circuito de uma malha aplicando uma vez a regra das malhas na qual somamos as variações de potencial ao longo da malha e igualamos a soma a zero Figura 278 a Circuito de uma malha com duas fontes reais e um resistor As fontes estão em oposição ou seja tendem a fazer a corrente atravessar o resistor em sentidos opostos b Gráfico dos potenciais percorrendo o circuito no sentido horário a partir do ponto a e tomando arbitrariamente o potencial do ponto a como zero Para estabelecer uma correlação direta da Fig 278b com o circuito fechado da Fig 278a interrompa mentalmente o circuito no ponto a da Fig 278a desdobre para a esquerda a parte do circuito à esquerda de a e desdobre para a direita a parte do circuito à direita de a Cálculos Embora conhecer o sentido de i não seja necessário podemos determinálo com facilidade a partir dos valores das forças eletromotrizes das duas fontes Como 1 é maior que 2 a fonte 1 controla o sentido de i e a corrente tem o sentido horário Vamos aplicar a regra das malhas percorrendo o circuito no sentido antihorário contra a corrente começando no ponto a O resultado é o seguinte 1 ir1 iR ir2 2 0 O leitor pode verificar que a mesma equação é obtida quando aplicamos a regra das malhas no sentido horário ou começamos em outro ponto do circuito Além disso vale a pena comparar a equação termo a termo com a Fig 278b que mostra graficamente as variações de potencial com o potencial do ponto a tomado arbitrariamente como zero Explicitando a corrente i na equação anterior obtemos b Qual é a diferença de potencial entre os terminais da fonte 1 na Fig 278a IDEIACHAVE Precisamos somar as diferenças de potencial entre os pontos a e b Cálculos Vamos começar no ponto b o terminal negativo da fonte 1 e percorrer o circuito no sentido horário até chegar ao ponto a o terminal positivo da fonte 1 anotando as variações de potencial O resultado é o seguinte Vb ir1 1 Va o que nos dá que é menor que a força eletromotriz da fonte O leitor pode verificar que o resultado está correto começando no ponto b da Fig 278a e percorrendo o circuito no sentido antihorário até chegar ao ponto a Este problema chama a atenção para dois fatos 1 A diferença de potencial entre dois pontos de um circuito não depende do caminho escolhido para ir de um ponto a outro 2 Quando a corrente que atravessa a bateria tem o sentido correto a diferença de potencial entre os terminais é menor que o valor nominal da força eletromotriz ou seja o valor de tensão que está escrito na bateria 272 CIRCUITOS COM MAIS DE UMA MALHA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2717 Conhecer a regra dos nós 2718 Desenhar um diagrama esquemático de um circuito formado por uma fonte e três resistores em paralelo e saber distingui lo do diagrama de um circuito formado por uma bateria e três resistores em série 2719 Saber que resistores em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial que também é a mesma do resistor equivalente 2720 Calcular a resistência do resistor equivalente de vários resistores em paralelo 2721 Saber que a corrente total que atravessa uma combinação de resistores em paralelo é a soma das correntes que atravessam os resistores 2722 No caso de um circuito com uma fonte alguns resistores em paralelo e outros resistores em série simplificar o circuito por partes usando resistores equivalentes até que a corrente na fonte possa ser determinada e depois trabalhar no sentido inverso para calcular a corrente e a diferença de potencial de cada resistor 2723 Se um circuito não pode ser simplificado usando resistores equivalentes identificar as malhas do circuito escolher nomes e sentidos para as correntes dos ramos escrever equações para todas as malhas usando a regra das malhas e resolver o sistema de equações resultante para obter as correntes dos ramos 2724 Em um circuito com fontes reais em série substituílas por uma única fonte ideal em série com um resistor 2725 Em um circuito com fontes reais em paralelo substituílas por uma única fonte ideal em série com um resistor IdeiaChave Quando duas ou mais resistências estão em paralelo elas são submetidas à mesma diferença de potencial A resistência equivalente de uma associação em paralelo de várias resistências é dada por Figura 279 Circuito com mais de uma malha formado por três ramos o ramo da esquerda bad o ramo da direita bcd e o ramo central bd O circuito também contém três malhas a malha da esquerda badb a malha da direita bcdb e a malha externa badcb Circuitos com Mais de uma Malha A Fig 279 mostra um circuito com mais de uma malha Para simplificar a análise vamos supor que as fontes são ideais Existem dois nós no circuito nos pontos b e d e três ramos ligando os nós o ramo da esquerda bad o ramo da direita bcd e o ramo central bd Quais são as correntes nos três ramos Vamos rotular arbitrariamente as correntes usando um índice diferente para cada ramo A corrente i1 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bad i2 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bcd e i3 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bd Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente Considere o nó d As cargas entram no nó pelas correntes i1 e i3 e deixam o nó pela corrente i2 Como a carga total não pode mudar a corrente total que chega tem que ser igual à corrente total que sai Podemos verificar facilmente que a aplicação dessa condição ao nó b leva à mesma equação A Eq 27 18 sugere o seguinte princípio geral REGRA DOS NÓS A soma das corrente que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó Essa regra também é conhecida como lei dos nós de Kirchhoff ou lei das correntes de Kirchhoff Trata se simplesmente de outra forma de enunciar a lei de conservação da carga a carga não pode ser criada nem destruída em um nó Nossas ferramentas básicas para resolver circuitos complexos são portanto a regra das malhas baseada na lei de conservação da energia e a regra dos nós baseada na lei da conservação da carga A Eq 2718 envolve três incógnitas Para resolver o circuito ou seja para determinar o valor das três correntes precisamos de mais duas equações independentes que envolvam as mesmas variáveis Podemos obtêlas aplicando duas vezes a regra das malhas No circuito da Fig 279 temos três malhas a malha da esquerda badb a malha da direita bcdb e a malha externa badcb A escolha das duas malhas é arbitrária vamos optar pelas malhas da esquerda e da direita Percorrendo a malha da esquerda no sentido antihorário a partir do ponto b obtemos Percorrendo a malha da direita no sentido antihorário a partir do ponto b obtemos Agora dispomos de três equações Eqs 2718 2719 e 2720 tendo como incógnitas as três correntes esse sistema de equações pode ser resolvido por várias técnicas Se tivéssemos aplicado a regra das malhas à malha externa teríamos obtido percorrendo a malha no sentido antihorário a partir do ponto b a seguinte equação 1 i1R1 i2R2 2 0 Esta equação pode parecer uma informação nova mas é na verdade a soma das Eqs 2719 e 2720 e portanto não constitui uma terceira equação independente obtida a partir da regra das malhas Por outro lado poderia ser usada para resolver o problema em combinação com a Eq 2718 e a Eq 2719 ou a Eq 2720 Resistências em Paralelo A Fig 2710a mostra três resistências ligadas em paralelo a uma fonte ideal de força eletromotriz O termo em paralelo significa que as três resistências estão ligadas entre si nas duas extremidades Assim todas estão sujeitas à mesma diferença de potencial aplicada pela fonte No caso geral Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências ligadas em paralelo todas as resistências são submetidas à mesma diferença de potencial V Na Fig 2710a a diferença de potencial aplicada V é mantida pela fonte Na Fig 2710b as três resistências em paralelo foram substituídas por uma resistência equivalente Req Resistências ligadas em paralelo podem ser substituídas por uma resistência equivalente Req com a mesma diferença de potencial V e a mesma corrente total i que as resistências originais Figura 2710 a Três resistores ligados em paralelo entre os pontos a e b b Circuito equivalente com os três resistores substituídos por uma resistência equivalente Req Para determinar o valor da resistência Req da Fig 2710b escrevemos as correntes nas resistências da Fig 2710a na forma em que V é a diferença de potencial entre a e b Aplicando a regra dos nós ao ponto a da Fig 2710a e substituindo as correntes por seus valores temos Quando substituímos as resistências em paralelo pela resistência equivalente Req Fig 2710b obtemos Comparando as Eqs 2721 e 2722 temos Generalizando esse resultado para o caso de n resistências temos No caso de duas resistências a resistência equivalente é o produto das resistências dividido pela soma ou seja Note que se duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo a resistência equivalente é menor que a menor das resistências A Tabela 271 mostra as relações de equivalência para resistores e capacitores em série e em paralelo Tabela 271 Resistores e Capacitores em Série e em Paralelo Em série Em paralelo Em série Em paralelo Resistores Capacitores A corrente é a mesma em todos os resistores A diferença de potencial é a mesma em todos os resistores A carga é a mesma em todos os capacitores A diferença de potencial é a mesma em todos os capacitores Teste 4 Uma fonte com uma diferença de potencial V entre os terminais é ligada a uma combinação de dois resistores iguais e passa a conduzir uma corrente i Qual é a diferença de potencial e qual a corrente em um dos resistores se os resistores estiverem ligados a em série e b em paralelo Exemplo 2702 Resistores em paralelo e em série A Fig 2711a mostra um circuito com mais de uma malha formado por uma fonte ideal e quatro resistências com os seguintes valores R1 20 Ω R2 20 Ω 12 V R3 30 Ω R4 80 Ω a Qual é a corrente na fonte IDEIACHAVE Observando que a corrente na fonte é a mesma que em R1 vemos que é possível determinar a corrente aplicando a regra das malhas a uma malha que inclui R1 já que a diferença de potencial entre os terminais de R1 depende dessa corrente Método incorreto As duas malhas que se prestam a esse papel são a malha da esquerda e a malha externa Observando que a seta que representa a força eletromotriz aponta para cima e portanto a corrente na fonte tem o sentido horário podemos aplicar a regra das malhas à malha da esquerda começando no ponto a e percorrendo a malha no sentido horário Chamando de i a corrente na fonte temos iR1 iR2 iR4 0 incorreta Esta equação porém é incorreta porque parte do pressuposto de que as correntes nas resistências R1 R2 e R4 são iguais As correntes em R1 e R4 são realmente iguais já que a corrente que passa por R4 também passa pela fonte e por R1 sem mudar de valor Entretanto essa corrente se divide ao chegar ao nó b uma parte da corrente passa por R2 e uma parte passa por R3 Método ineficaz Para distinguir as várias correntes presentes no circuito devemos rotulálas como na Fig 2711b Em seguida começando no ponto a podemos aplicar a regra das malhas à malha da esquerda no sentido horário para obter i1R1 i2R2 i1R4 0 Infelizmente essa equação contém duas incógnitas i1 e i2 necessitamos de pelo menos mais uma equação para resolver o problema Método eficaz Uma tática muito melhor é simplificar o circuito da Fig 2711b usando resistências equivalentes Observe que R1 e R2 não estão em série e portanto não podem ser substituídas por uma resistência equivalente entretanto R2 e R3 estão em paralelo de modo que podemos usar a Eq 2724 ou a Eq 2725 para calcular o valor da resistência equivalente R23 De acordo com a Eq 2725 Podemos agora desenhar o circuito como na Fig 2711c observe que a corrente em R23 deve ser i1 já que as mesmas cargas que passam por R1 e R4 também passam por R23 Para esse circuito simples com uma única malha a regra das malhas aplicada no sentido horário a partir do ponto a como na Fig 2711d nos dá i1R1 i1R23 i2R4 0 Substituindo os valores dados obtemos 12 V i120 Ω i112 Ω i180 Ω 0 e portanto b Qual é a corrente i2 em R2 IDEIASCHAVE 1 Podemos começar com o circuito equivalente da Fig 2711d no qual R2 e R3 foram substituídas por R23 2 Como R2 e R3 estão em paralelo elas estão submetidas à mesma diferença de potencial que também é a mesma de R23 Cálculos Sabemos que a corrente em R23 é i1 030 A Assim podemos usar a Eq 268 R Vi e a Fig 2711e para calcular a diferença de potencial V23 em R23 V23 i1R23 030 A12 Ω 36 V Isso significa que a diferença de potencial em R2 também é 36 V Fig 2711f De acordo com a Eq 268 e a Fig 2711g a corrente i2 em R2 é dada por c Qual é a corrente i3 em R3 IDEIASCHAVE Podemos encontrar a resposta de duas formas 1 Usando a Eq 268 como no item b 2 Usando a regra dos nós segundo a qual no ponto b da Fig 2711b a corrente que entra i1 e as correntes que saem i2 e i3 estão relacionadas pela equação i1 i2 i3 Cálculo Explicitando i3 na equação anterior obtemos o resultado que aparece na Fig 2711g Figura 2711 a Circuito com uma fonte ideal b Escolha de nomes e sentidos para as correntes c Substituição de resistores em paralelo por um resistor equivalente dg Substituição inversa para determinar as correntes nos resistores em paralelo Exemplo 2703 Muitas fontes reais em série e em paralelo em um peixe elétrico Os peixes elétricos são capazes de gerar correntes elétricas com o auxílio de células chamadas eletroplacas que são fontes de tensão biológicas No peixe elétrico conhecido como poraquê as eletroplacas estão dispostas em 140 linhas longitudinais com cerca de 5000 eletroplacas cada uma como mostrado na Fig 2712a Cada eletroplaca tem uma força eletromotriz de 015 V e uma resistência interna r de 025 τ A água em torno da enguia completa o circuito entre as extremidades do conjunto de eletroplacas uma situada na cabeça do animal e a outra situada na cauda a Se a água em torno da enguia tem uma resistência Ra 800 τ qual é o valor da corrente que o animal é capaz de produzir na água IDEIACHAVE Podemos simplificar o circuito da Fig 2712a substituindo combinações de fontes e resistências internas por fontes e resistências equivalentes Cálculos Considere uma linha A força eletromotriz total linha de 5000 eletroplacas ligadas em série é a soma das forças eletromotrizes linha 5000 5000015 V 750 V A resistência total Rlinha de uma linha é a soma das resistências internas das 5000 eletroplacas Rlinha 5000r 5000025 Ω 1250 Ω Podemos agora representar cada uma das 140 linhas por uma única força eletromotriz linha e uma única resistência Rlinha Fig 27 12b Na Fig 2712b a força eletromotriz entre o ponto a e o ponto b em todas as linhas é linha 750 V Como as linhas são iguais e estão todas ligadas ao ponto a da Fig 2712b o potencial é o mesmo em todos os pontos b da figura Assim podemos imaginar que todos os pontos b estão ligados entre si formando um único ponto b Uma vez que a força eletromotriz entre o ponto a e esse ponto b único é linha 750 V podemos substituir o circuito da Fig 2712b pelo circuito da Fig 2712c Figura 2712 a Circuito usado para modelar uma enguia elétrica Cada eletroplaca do animal tem uma força eletromotriz e uma resistência interna r Em cada uma das 140 linhas que se estendem da cabeça à cauda da enguia existem 5000 eletroplacas A resistência da água é Ra b A força eletromotriz linha e resistência Rlinha de cada linha c A força eletromotriz entre os pontos a e b é linha Entre os pontos b e c existem 140 resistências Rlinha em paralelo d Circuito simplificado com as resistências em paralelo substituídas por uma resistência equivalente Req Entre os pontos b e c da Fig 2712c existem 140 resistências Rlinha 1250 τ todas em paralelo A resistência equivalente Req dessa combinação é fornecida pela Eq 2724 Substituindo as resistências em paralelo por Req obtemos o circuito simplificado da Fig 2712d Aplicando a regra das malhas e percorrendo o circuito no sentido antihorário a partir do ponto b temos linha Ra iReq 0 Explicitando i e substituindo os valores conhecidos obtemos Se a cabeça ou a cauda da enguia está nas proximidades de um peixe parte dessa corrente pode passar pelo corpo do peixe atordoandoo ou matandoo b Qual é corrente ilinha em cada linha da Fig 2712a IDEIACHAVE Como todas as linhas são iguais a corrente se divide igualmente entre elas Cálculo Podemos escrever Assim a corrente em cada linha é pequena cerca de duas ordens de grandeza menor que a corrente que circula na água Como a corrente está bem distribuída no corpo da enguia o animal não sofre nenhum incômodo ao produzir uma descarga elétrica Exemplo 2704 Circuito com mais de uma malha e o sistema de equações de malha A Fig 2713 mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores 1 30 V 2 60 V R1 20 Ω R2 40 Ω As três fontes são ideais Determine o valor absoluto e o sentido da corrente nos três ramos IDEIASCHAVE Não vale a pena tentar simplificar o circuito já que não existem dois resistores em paralelo e os resistores que estão em série no ramo da direita e no ramo da esquerda são muito fáceis de lidar Assim é melhor aplicar logo de saída as regras dos nós e das malhas Regra dos nós Escolhendo arbitrariamente o sentido das correntes como mostra a Fig 2713 aplicamos a regra dos nós ao ponto a para escrever Como uma aplicação da regra dos nós ao ponto b fornece apenas uma repetição da Eq 2726 aplicamos a regra das malhas a duas das três malhas do circuito Figura 2713 Circuito de duas malhas com três fontes ideais e cinco resistências Malha da esquerda Escolhemos arbitrariamente a malha da esquerda começamos arbitrariamente no ponto b e percorremos arbitrariamente a malha no sentido horário obtendo i1R1 1 i1R1 i1 i2R2 2 0 em que usamos i1 i2 em vez de i3 para representar a corrente do ramo central Substituindo os valores dados e simplificando obtemos Malha da direita Para aplicar a regra das malhas pela segunda vez escolhemos arbitrariamente percorrer a malha da direita no sentido antihorário a partir do ponto b o que nos dá i2R1 2 i2R1 i1 i2R2 2 0 Substituindo os valores dados e simplificando obtemos Solução das equações Agora temos um sistema de duas equações Eqs 2727 e 2728 e duas incógnitas i1 e i2 que podemos resolver à mão o que é fácil nesse caso ou usando um computador Um dos métodos mais usados para resolver sistemas de equações envolve o uso da regra de Cramer apresentada no Apêndice E para o caso simples de um sistema de duas equações e duas incógnitas O resultado é o seguinte O sinal negativo mostra que o sentido escolhido para i1 na Fig 2713 está errado mas a correção só deve ser feita no final dos cálculos Fazendo i1 050 A na Eq 2728 e explicitando i2 obtemos De acordo com a Eq 2726 temos i3 i1 i2 050 A 025 A 025 A O sinal positivo de i2 mostra que o sentido escolhido para a corrente está correto Por outro lado os sinais negativos de i1 e i3 mostram que os sentidos escolhidos para as duas correntes estão errados Assim depois de executados todos os cálculos corrigimos a resposta invertendo as setas que indicam os sentidos de i1 e i3 na Fig 2713 e escrevendo Atenção A correção do sentido das correntes só deve ser feita depois que todas as correntes tiverem sido calculadas 273 O AMPERÍMETRO E O VOLTÍMETRO Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2726 Saber como funcionam o amperímetro e o voltímetro e qual deve ser a resistência interna desses instrumentos para que eles indiquem corretamente a grandeza que está sendo medida IdeiaChave Três instrumentos muito usados para medir grandezas elétricas são o amperímetro que mede correntes o voltímetro que mede tensões diferenças de potencial e o multímetro que mede corrente tensões e resistências O Amperímetro e o Voltímetro O instrumento usado para medir correntes é chamado de amperímetro Para medir a corrente em um fio em geral precisamos desligar ou cortar o fio e introduzir o amperímetro no circuito para que a corrente passe pelo aparelho Na Fig 2714 o amperímetro A está sendo usado para medir a corrente i É essencial que a resistência RA do amperímetro seja muito menor que todas as outras resistências do circuito se não for assim a simples presença do medidor mudará o valor da corrente que se pretende medir O instrumento usado para medir diferenças de potencial é chamado de voltímetro Para medir a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito ligamos os terminais do voltímetro a esses pontos sem desligar nem cortar nenhum fio do circuito Na Fig 2714 o voltímetro V está sendo usado para medir a diferença de potencial entre os terminais de R1 É essencial que a resistência RV do voltímetro seja muito maior que a resistência dos elementos do circuito que estão ligados entre os mesmos pontos do circuito que o voltímetro Se não for assim a simples presença do medidor mudará o valor da diferença de potencial que se pretende medir Existem medidores que dependendo da posição de uma chave podem ser usados como um amperímetro ou como um voltímetro e também em geral como um ohmímetro um aparelho que mede a resistência do elemento ligado entre seus terminais Esses instrumentos multifuncionais são chamados de multímetros Figura 2714 Circuito de uma malha mostrando como ligar um amperímetro A e um voltímetro V 274 CIRCUITOS RC Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2727 Desenhar diagramas esquemáticos de circuitos RC em que o capacitor está sendo carregado e circuitos RC em que o capacitor está sendo descarregado 2728 Escrever a equação de malha uma equação diferencial de um circuito RC em que o capacitor está sendo carregado 2729 Escrever a equação de malha uma equação diferencial de um circuito RC em que o capacitor está sendo descarregado 2730 Saber como varia a carga do capacitor com o tempo em um circuito RC 2731 Calcular a diferença de potencial do capacitor de um circuito RC a partir da variação com o tempo da carga do capacitor 2732 Calcular a corrente e a diferença de potencial do resistor de um circuito RC em função do tempo 2733 Calcular a constante de tempo capacitiva τ de um circuito RC 2734 Calcular a carga e a diferença de potencial do capacitor no instante inicial e após um longo tempo para circuitos RC em que o capacitor está sendo carregado e circuitos RC em que o capacitor está sendo descarregado IdeiasChave Quando uma força eletromotriz é aplicada a um resistor R e a um capacitor C ligados em série a carga do capacitor aumenta de acordo com a equação em que C q0 é a carga de equilíbrio carga final e RC τ é a constante de tempo capacitiva do circuito Durante a carga do capacitor a corrente no circuito diminui de acordo com a equação Quando um capacitor C se descarrega através de um resistor R a carga do capacitor diminui de acordo com a equação Durante a descarga do capacitor a corrente no circuito diminui de acordo com a equação Figura 2715 Quando a chave S é colocada na posição a o capacitor é carregado através do resistor Mais tarde quando a chave é colocada na posição b o capacitor é descarregado através do resistor Circuitos RC Nos módulos anteriores lidamos apenas com circuitos nos quais as correntes não variavam com o tempo Vamos agora iniciar uma discussão de correntes que variam com o tempo Carga de um Capacitor O capacitor de capacitância C da Fig 2715 está inicialmente descarregado Para carregálo podemos colocar a chave S na posição a Isso completa um circuito RC série formado por um capacitor uma fonte ideal de força eletromotriz e uma resistência R Como vimos no Módulo 251 no momento em que o circuito é completado cargas começam a se mover surge uma corrente no circuito Essa corrente acumula uma carga q cada vez maior nas placas do capacitor e estabelece uma diferença de potencial VC qC cada vez maior entre as placas do capacitor Quando a diferença de potencial é igual à diferença de potencial entre os terminais da fonte que é igual por sua vez à força eletromotriz a corrente deixa de circular De acordo com a Eq 251 q CV a carga de equilíbrio carga final do capacitor é igual a C Vamos examinar mais de perto o processo de carga do capacitor Em particular estamos interessados em saber como variam com o tempo a carga q a diferença de potencial VC e a corrente i enquanto o capacitor está sendo carregado Começamos por aplicar a regra das malhas ao circuito percorrendoo no sentido horário a partir do terminal negativo da fonte Temos O último termo do lado esquerdo representa a diferença de potencial entre as placas do capacitor O termo é negativo porque a placa de cima do capacitor que está ligada ao terminal positivo da fonte tem um potencial mais alto que a placa de baixo assim há uma queda de potencial quando passamos da placa de cima para a placa de baixo do capacitor Não podemos resolver imediatamente a Eq 2730 porque a equação tem duas variáveis i e q Entretanto as variáveis não são independentes pois estão relacionadas pela equação Combinando as Eqs 2730 e 2731 obtemos Essa equação diferencial descreve a variação com o tempo da carga q no capacitor da Fig 2715 Para resolvêla é preciso encontrar a função qt que satisfaz a Eq 2732 e que também satisfaz a condição de que o capacitor está inicialmente descarregado ou seja de que q 0 no instante t 0 Mais adiante vamos mostrar que a solução da Eq 2732 é A constante e que aparece na Eq 2733 é a base dos logaritmos naturais 2718 e não a carga elementar Observe que a Eq 2733 satisfaz a condição inicial já que para t 0 o termo etRC é igual a 1 portanto q 0 Observe também que quando t tende a infinito ou seja após um longo período de tempo o termo etRC tende a zero Isso significa que a equação também prevê corretamente o valor final da carga do capacitor q C A Fig 2716a mostra o gráfico de qt em função de t durante a carga do capacitor A derivada de qt é a corrente de carga do capacitor A Fig 2716b mostra o gráfico de it em função de t durante o processo de carga do capacitor Observe que o valor inicial da corrente é R e que a corrente tende a zero quando a carga do capacitor tende para o valor final Um capacitor que está sendo carregado se comporta inicialmente como um fio comum Após um longo período de tempo o capacitor se comporta como um fio partido De acordo com as Eqs 251 q CV e 2733 a diferença de potencial VCt entre as placas do capacitor durante o processo de carga é dada por De acordo com a Eq 2735 VC 0 no instante t 0 em que o capacitor está totalmente descarregado e VC quando t e a carga do capacitor tende para o valor final A Constante de Tempo O produto RC que aparece nas Eqs 2733 a 2735 tem dimensão de tempo tanto porque o argumento de uma exponencial deve ser adimensional como porque 10 Ω 10 F 10 s O produto RC é chamado de constante de tempo capacitiva do circuito e representado pela letra grega τ De acordo com a Eq 2733 no instante t τ RC a carga do capacitor inicialmente descarregado da Fig 2715 aumentou de zero para Em palavras durante a primeira constante de tempo τ a carga aumentou de zero para 63 do valor final C Na Fig 2716 os triângulos no eixo dos tempos assinalam intervalos sucessivos de uma constante de tempo durante a carga do capacitor Os tempos de carga dos circuitos RC são frequentemente expressos em termos de τ quanto maior o valor de τ maior o tempo necessário para carregar um capacitor Figura 2716 a Gráfico da Eq 2733 que mostra a carga do capacitor da Fig 2715 em função do tempo b Gráfico da Eq 2734 que mostra a corrente de carga no circuito da Fig 2715 em função do tempo As curvas foram plotadas para R 2000 τ C 1 μF e 10 V os triângulos representam intervalos sucessivos de uma constante de tempo τ Descarga de um Capacitor Suponha agora que o capacitor da Fig 2715 esteja totalmente carregado ou seja com um potencial V0 igual à força eletromotriz da fonte Em um novo instante t 0 a chave S é deslocada da posição a para a posição b fazendo com que o capacitor comece a se descarregar através da resistência R Nesse caso como variam com o tempo a carga q do capacitor e a corrente i no circuito A equação diferencial que descreve a variação de q com o tempo é semelhante à Eq 2732 exceto pelo fato de que agora como a fonte não está mais no circuito 0 Assim A solução dessa equação diferencial é em que q CV0 é a carga inicial do capacitor O leitor pode verificar por substituição que a Eq 2739 é realmente uma solução da Eq 2738 De acordo com a Eq 2739 a carga q diminui exponencialmente com o tempo a uma taxa que depende da constante de tempo capacitiva τ RC No instante t τ a carga do capacitor diminuiu para q0e1 ou aproximadamente 37 do valor inicial Observe que quanto maior o valor de τ maior o tempo de descarga Derivando a Eq 2739 obtemos a corrente it De acordo com a Eq 2740 a corrente também diminui exponencialmente com o tempo a uma taxa dada por τ A corrente inicial i0 é igual a qRC Note que é possível calcular o valor de i0 simplesmente aplicando a regra das malhas ao circuito no instante t 0 nesse instante o potencial inicial do capacitor V0 está aplicado à resistência R e portanto a corrente é dada por i0 V0R q0CR q0RC O sinal negativo da Eq 2740 pode ser ignorado significa simplesmente que a partir do instante t 0 a carga q do capacitor vai diminuir Demonstração da Eq 2733 Para resolver a Eq 2732 dividimos todos os termos por R o que nos dá A solução geral da Eq 2741 é da forma em que qp é uma solução particular da equação diferencial K é uma constante a ser determinada a partir das condições iniciais e a 1RC é o coeficiente de q na Eq 2741 Para determinar qp fazemos dqdt 0 na Eq 2741 o que corresponde à situação final de equilíbrio fazemos q qp e resolvemos a equação obtendo Para determinar K primeiro substituímos a Eq 2743 na Eq 2742 para obter q C Keat Em seguida usando a condição inicial q 0 no instante t 0 obtemos 0 C K ou K C Finalmente com os valores de qp a e K inseridos a Eq 2742 se torna q C C etRC que é equivalente à Eq 2733 Teste 5 A tabela mostra quatro conjuntos de valores para os componentes do circuito da Fig 2715 Coloque os conjuntos em ordem decrescente de acordo a com a corrente inicial com a chave na posição a e b com o tempo necessário para que a corrente diminua para metade do valor inicial 1 2 3 4 V 12 12 10 10 RΩ 2 3 10 5 CμF 3 2 05 2 Exemplo 2705 Descarga de um circuito RC para evitar um incêndio em uma parada para reabastecimento Quando um carro está em movimento elétrons passam do piso para os pneus e dos pneus para a carroceria O carro armazena essa carga em excesso como se a carroceria fosse uma das placas de um capacitor e o piso fosse a outra placa Fig 2717a Quando o carro para ele descarrega o excesso de carga através dos pneus da mesma forma como um capacitor se descarrega através de um resistor Se um objeto condutor se aproxima do carro antes que este esteja totalmente descarregado a diferença de potencial associada ao excesso de cargas pode produzir uma centelha entre o carro e o objeto Suponha que o objeto condutor seja o bico de uma mangueira de combustível Nesse caso a centelha inflamará o combustível produzindo um incêndio se a energia da centelha exceder o valor crítico Ufogo 50 mJ Quando o carro da Fig 2717a para no instante t 0 a diferença de potencial entre o carro e o piso é V0 30 kV A capacitância do sistema carropiso é C 500 pF e a resistência de cada pneu é Rpneu 100 GΩ Quanto tempo é preciso para que a energia associada às cargas do carro caia abaixo do valor crítico Ufogo IDEIASCHAVE 1 Em qualquer instante t a energia potencial elétrica U de um capacitor está relacionada à carga armazenada q pela Eq 2521 U q22C 2 Quando um capacitor está se descarregando a carga diminui com o tempo de acordo com a Eq 2739 q q0etRC Cálculos Podemos tratar os pneus como resistores com uma extremidade em contato com a carroceria do carro e a outra extremidade em contato com o piso A Fig 2717b mostra os quatro resistores ligados em paralelo com a capacitância do carro e a Fig 2717c mostra a resistência equivalente R dos quatro resistores De acordo com a Eq 2724 a resistência R é dada por Figura 2717 a Um carro eletricamente carregado e o piso se comportam como um capacitor que pode se descarregar através dos pneus b Circuito usado para modelar o capacitor carropiso com as resistências dos quatro pneus Rpneu ligadas em paralelo c A resistência equivalente R dos pneus d A energia potencial elétrica U do capacitor carropiso diminui durante a descarga Quando o carro para a carga em excesso é descarregada através da resistência R Vamos agora usar as duas IdeiasChave para analisar a descarga Substituindo a Eq 2739 na Eq 2521 obtemos De acordo com a Eq 251 q CV podemos relacionar a carga inicial q0 do carro à diferença de potencial V0 q0 CV0 Substituindo essa equação na Eq 2745 obtemos Tomando o logaritmo natural de ambos os membros obtemos Substituindo os valores conhecidos descobrimos que o tempo que o carro leva para se descarregar até a energia Ufogo 50 mJ é Conclusão Nas condições descritas neste exemplo seria recomendável esperar pelo menos 94 s para começar a abastecer o automóvel Como esse tempo de espera é inaceitável durante uma corrida a borracha dos pneus dos carros de corrida é misturada com um material condutor negro de fumo por exemplo para diminuir a resistência dos pneus e reduzir o tempo de descarga A Fig 2717d mostra a energia armazenada U em função do tempo t para resistências de 100 GΩ o valor usado nos cálculos e 10 GΩ Note que a energia chega muito mais depressa ao nível seguro Ufogo quando a resistência é reduzida para 10 GΩ1 Revisão e Resumo Força Eletromotriz Uma fonte de tensão realiza um trabalho sobre cargas elétricas para manter uma diferença de potencial entre os terminais Se dW é o trabalho realizado pela fonte para transportar uma carga positiva dq do terminal negativo para o terminal positivo a força eletromotriz trabalho por unidade de carga da fonte é dada por A unidade de força eletromotriz e de diferença de potencial no SI é o volt Uma fonte de tensão ideal não possui resistência interna a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz Uma fonte de tensão real possui resistência interna a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte real é igual à força eletromotriz apenas quando a corrente que a atravessa é zero Análise de Circuitos A variação de potencial quando atravessamos uma resistência R no sentido da corrente é iR a variação quando atravessamos a resistência no sentido oposto é iR regra das resistências A variação de potencial quando atravessamos uma fonte de tensão ideal do terminal negativo para o terminal positivo é a variação quando atravessamos a fonte no sentido oposto é regra das fontes A lei de conservação da energia leva à regra das malhas Regra das Malhas A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é zero A lei de conservação das cargas leva à regra dos nós Regra dos Nós A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó Circuitos com uma Malha A corrente em um circuito com uma malha que contém uma única resistência R e uma fonte de tensão de força eletromotriz e resistência r é dada por que se reduz a i R para uma fonte ideal ou seja para uma fonte com r 0 Potência Quando uma fonte de tensão real de força eletromotriz e resistência r realiza trabalho sobre portadores de carga fazendo uma corrente i atravessar a fonte a potência P transferida para os portadores de carga é dada por em que V é a diferença de potencial entre os terminais da fonte A potência Pr dissipada na fonte é dada por A potência Pfonte fornecida pela fonte é dada por Resistências em Série Quando duas ou mais resistências estão ligadas em série todas são percorridas pela mesma corrente Resistências em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente dada por Resistências em Paralelo Quando duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo todas são submetidas à mesma diferença de potencial Resistências em paralelo podem ser substituídas por uma resistência equivalente dada por Circuitos RC Quando uma força eletromotriz é aplicada a uma resistência R e uma capacitância C em série como na Fig 2715 com a chave na posição a a carga do capacitor aumenta com o tempo de acordo com a equação em que C q0 é a carga de equilíbrio carga final e RC τ é a constante de tempo capacitiva do circuito Durante a carga do capacitor a corrente é dada por Quando um capacitor se descarrega através de uma resistência R a carga do capacitor diminui com o tempo de acordo com a equação Durante a descarga do capacitor a corrente é dada por Perguntas 1 a Na Fig 2718a com R1 R2 a diferença de potencial entre os terminais de R2 é maior menor ou igual à diferença de potencial entre os terminais de R1 b A corrente no resistor R2 é maior menor ou igual à corrente no resistor R1 2 a Na Fig 2718a os resistores R1 e R3 estão em série b Os resistores R1 e R2 estão em paralelo c Coloque os quatro circuitos da Fig 2718 na ordem decrescente das resistências equivalentes Figura 2718 Perguntas 1 e 2 3 Os resistores R1 e R2 com R1 R2 são ligados a uma fonte primeiro separadamente depois em série e finalmente em paralelo Coloque esses arranjos na ordem decrescente da corrente que atravessa a fonte 4 Na Fig 2719 um circuito é formado por uma fonte e dois resistores uniformes a parte do circuito ao longo do eixo x é dividida em cinco segmentos iguais a Suponha que R1 R2 e coloque os segmentos na ordem decrescente do módulo do campo elétrico médio no interior do segmento b Repita o item a supondo que R1 R2 c Qual é o sentido do campo elétrico ao longo do eixo x Figura 2719 Pergunta 4 5 Para cada circuito da Fig 2720 responda se os resistores estão ligados em série em paralelo ou nem em série nem em paralelo Figura 2720 Pergunta 5 6 Labirinto de resistores Na Fig 2721 todos os resistores têm uma resistência de 40 Ω e todas as fontes ideais têm uma força eletromotriz de 40 V Qual é a corrente no resistor R Se o leitor souber escolher a malha apropriada poderá responder à pergunta de cabeça em poucos segundos Figura 2721 Pergunta 6 7 Inicialmente um único resistor R1 é ligado a uma fonte ideal Em seguida o resistor R2 é ligado em série com R1 Quando o resistor R2 é introduzido no circuito a a diferença de potencial entre os terminais de R1 aumenta diminui ou permanece a mesma b A corrente em R1 aumenta diminui ou permanece a mesma c A resistência equivalente R12 de R1 e R2 é maior menor ou igual a R1 8 Qual é a resistência equivalente de três resistores todos de resistência R se forem ligados a uma fonte ideal a em série e b em paralelo c A diferença de potencial da associação dos resistores em série é maior menor ou igual à diferença de potencial da associação dos resistores em paralelo 9 Dois resistores são ligados a uma fonte a Em que tipo de associação em série ou em paralelo as diferenças de potencial dos resistores e da associação de resistores são iguais b Em que tipo de associação as correntes nos resistores e na resistência equivalente são iguais 10 Labirinto de capacitores Na Fig 2722 todos os capacitores têm uma capacitância de 60 μF e todas as fontes têm uma força eletromotriz de 10 V Qual é a carga do capacitor C Se o leitor souber escolher a malha apropriada poderá responder à pergunta de cabeça em poucos segundos Figura 2722 Pergunta 10 11 Inicialmente um único resistor R1 é ligado a uma fonte ideal Em seguida o resistor R2 é ligado em paralelo com R1 Quando o resistor R2 é introduzido no circuito a a diferença de potencial entre os terminais de R1 aumenta diminui ou permanece a mesma b A corrente em R1 aumenta diminui ou permanece a mesma c A resistência equivalente R12 de R1 e R2 é maior menor ou igual a R1 d A corrente total em R1 e R2 juntos é maior menor ou igual à corrente em R1 antes da introdução de R2 12 Quando a chave da Fig 2715 é colocada na posição a uma corrente i passa a atravessar a resistência R A Fig 2723 mostra a corrente i em função do tempo para quatro conjuntos de valores de R e da capacitância C 1 R0 e C0 2 2R0 e C0 3 R0 e 2C0 4 2R0 e 2C0 Qual é a curva correspondente a cada conjunto Figura 2723 Pergunta 12 13 A Fig 2724 mostra três conjuntos de componentes que podem ser ligados alternadamente à mesma fonte por meio de uma chave como a da Fig 2715 Os resistores e capacitores são todos iguais Coloque os conjuntos na ordem decrescente a da carga final do capacitor e b do tempo necessário para a carga do capacitor atingir metade da carga final Figura 2724 Pergunta 13 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 271 Circuitos de uma Malha 1 Na Fig 2725 as fontes ideais têm forças eletromotrizes 1 12 V e 2 60 V e os resistores têm resistências R1 40 Ω e R2 80 Ω Determine a a corrente no circuito b a potência dissipada no resistor 1 c a potência dissipada no resistor 2 d a potência fornecida pela fonte 1 e e a potência fornecida pela fonte 2 f A fonte 1 está fornecendo ou recebendo energia g A fonte 2 está fornecendo ou recebendo energia Figura 2725 Problema 1 2 Na Fig 2726 as fontes ideais têm forças eletromotrizes 1 150 V e 2 50 V e os resistores têm resistências R1 30 Ω e R2 20 Ω Se o potencial no ponto P é tomado como 100 V qual é o potencial no ponto Q Figura 2726 Problema 2 3 Uma bateria de automóvel com uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 0040 Ω está sendo carregada com uma corrente de 50 A Determine a a diferença de potencial V entre os terminais da bateria b a potência Pr dissipada no interior da bateria e c a potência Pfem fornecida pela bateria Se a bateria depois de carregada é usada para fornecer 50 A ao motor de arranque determine d V e e Pr 4 A Fig 2727 mostra um conjunto de quatro resistores que faz parte de um circuito maior O gráfico abaixo do circuito mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x ao longo do ramo inferior do conjunto do qual faz parte o resistor 4 o potencial VA é 120 V O gráfico acima do circuito mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x ao longo do ramo superior do conjunto do qual fazem parte os resistores 1 2 e 3 as diferenças de potencial são ΔVB 200 V e ΔVC 500 V O resistor 3 tem uma resistência de 200 Ω Determine a resistência a do resistor 1 e b do resistor 2 5 Uma corrente de 50 A é estabelecida de um circuito durante 60 min por uma bateria recarregável com uma força eletromotriz de 60 V Qual é a redução da energia química da bateria Figura 2727 Problema 4 6 Uma pilha comum de lanterna pode fornecer uma energia da ordem de 20 Wh antes de se esgotar a Se uma pilha custa R 080 quanto custa manter acesa uma lâmpada de 100 W durante 80 h usando pilhas b Quanto custa manter acesa a mesma lâmpada usando a eletricidade da tomada se o preço da energia elétrica é R 006 por quilowatthora 7 Um fio com uma resistência de 50 Ω é ligado a uma bateria cuja força eletromotriz é 20 V e cuja resistência interna é 10 Ω Em 20 min a qual é a energia química consumida pela bateria b Qual é a energia dissipada pelo fio c Qual é a energia dissipada pela bateria 8 Uma bateria de automóvel com uma força eletromotriz de 120 V tem uma carga inicial de 120 Ah Supondo que a diferença de potencial entre os terminais permanece constante até a bateria se descarregar totalmente durante quantas horas a bateria é capaz de fornecer uma potência de 100 W 9 a Qual é o trabalho em elétronsvolts realizado por uma fonte ideal de 12 V sobre um elétron que passa do terminal positivo da fonte para o terminal negativo b Se 340 1018 elétrons passam pela fonte por segundo qual é a potência da fonte em watts 10 a Na Fig 2728 qual deve ser o valor de R para que a corrente no circuito seja 10 mA Sabese que 1 20 V 2 30 V r1 r2 30 Ω b Qual é a potência dissipada em R Figura 2728 Problema 10 11 Na Fig 2729 o trecho AB do circuito dissipa uma potência de 50 W quando a corrente i 10 A tem o sentido indicado O valor da resistência R é 20 Ω a Qual é a diferença de potencial entre A e B O dispositivo X não possui resistência interna b Qual é a força eletromotriz do dispositivo X c O ponto B está ligado ao terminal positivo ou ao terminal negativo do dispositivo X Figura 2729 Problema 11 12 A Fig 2730 mostra um resistor de resistência R 600 Ω ligado a uma fonte ideal de força eletromotriz 120 V por meio de dois fios de cobre Cada fio tem 200 cm de comprimento e 100 mm de raio Neste capítulo desprezamos a resistência dos fios de ligação Verifique se a aproximação é válida para o circuito da Fig 2730 determinando a a diferença de potencial entre as extremidades do resistor b a diferença de potencial entre as extremidades de um dos fios c a potência dissipada no resistor e d a potência dissipada em um dos fios Figura 2730 Problema 12 13 Um cabo subterrâneo de 10 km de comprimento está orientado na direção lesteoeste e é formado por dois fios paralelos ambos com uma resistência de 13 Ωkm Um defeito no cabo faz com que surja uma resistência efetiva R entre os fios a uma distância x da extremidade oeste Fig 2731 Com isso a resistência total dos fios passa a ser 100 Ω quando a medida é realizada na extremidade leste e 200 Ω quando a medida é realizada na extremidade oeste Determine a o valor de x e b o valor de R Figura 2731 Problema 13 14 Na Fig 2732a as duas fontes têm uma força eletromotriz 120 V e a resistência externa R é um resistor variável A Fig 2732b mostra as diferenças de potencial V entre os terminais das duas fontes em função de R A curva 1 corresponde à fonte 1 e a curva 2 corresponde à fonte 2 A escala horizontal é definida por Rs 020 Ω Determine a a resistência interna da fonte 1 e b a resistência interna da fonte 2 Figura 2732 Problema 14 15 A corrente em um circuito com uma única malha e uma resistência R é 50 A Quando uma resistência de 20 Ω é ligada em série com R a corrente diminui para 40 A Qual é o valor de R 16 Uma célula solar produz uma diferença de potencial de 010 V quando um resistor de 500 Ω é ligado a seus terminais e uma diferença de potencial de 015 V quando o valor do resistor é 1000 Ω Determine a a resistência interna e b a força eletromotriz da célula solar c A área da célula é 50 cm2 e a potência luminosa recebida é 20 mWcm2 Qual é a eficiência da célula ao converter energia luminosa em energia térmica fornecida ao resistor de 1000 Ω 17 Na Fig 2733 a fonte 1 tem uma força eletromotriz 1 120 V e uma resistência interna r1 0016 Ω e a fonte 2 tem uma força eletromotriz 2 120 V e uma resistência interna r2 0012 Ω As fontes são ligadas em série com uma resistência externa R a Qual é o valor de R para o qual a diferença de potencial entre os terminais de uma das fontes é zero b Com qual das duas fontes isso acontece Figura 2733 Problema 17 Módulo 272 Circuitos com Mais de uma Malha 18 Na Fig 279 determine a diferença de potencial Vd Vc entre os pontos d e c se 1 40 V 2 10 V R1 R2 10 Ω R3 50 Ω e a fonte é ideal 19 Pretendese obter uma resistência total de 300 Ω ligando uma resistência de valor desconhecido a uma resistência de 120 Ω a Qual deve ser o valor da resistência desconhecida b As duas resistências devem ser ligadas em série ou em paralelo 20 Quando duas resistências 1 e 2 são ligadas em série a resistência equivalente é 160 Ω Quando são ligadas em paralelo a resistência equivalente é 30 Ω Determine a a menor e b a maior das duas resistências 21 Quatro resistores de 180 Ω são ligados em paralelo a uma fonte ideal de 250 V Qual é a corrente na fonte 22 A Fig 2734 mostra cinco resistores de 500 Ω Determine a resistência equivalente a entre os pontos F e H e b entre os pontos F e G Sugestão Para cada par de pontos imagine que existe uma fonte ligada entre os dois pontos Figura 2734 Problema 22 23 Na Fig 2735 R1 100 Ω R2 50 Ω e as fontes ideais têm forças eletromotrizes 1 60 V 2 50 V e 3 40 V Determine a a corrente no resistor 1 b a corrente no resistor 2 e c a diferença de potencial entre os pontos a e b Figura 2735 Problema 23 24 Na Fig 2736 R1 R2 400 Ω e R3 250 Ω Determine a resistência equivalente entre os pontos D e E Sugestão Imagine que existe uma fonte ligada entre os dois pontos Figura 2736 Problema 24 25 Nove fios de cobre de comprimento ℓ e diâmetro d são ligados em paralelo para formar um cabo de resistência R Qual deve ser o diâmetro D de um fio de cobre de comprimento ℓ para que a resistência do fio seja a mesma do cabo 26 A Fig 2737 mostra uma fonte ligada a um resistor uniforme R0 Um contato deslizante pode ser deslocado ao longo do resistor do ponto x 0 à esquerda até o ponto x 10 cm à direita O valor da resistência à esquerda e à direita do contato depende da posição do contato Determine a potência dissipada no resistor R em função de x Plote a função para 50 V R 2000 Ω e R0 100 Ω Figura 2737 Problema 26 27 Descarga lateral A Fig 2728 ilustra uma das razões pelas quais é perigoso se abrigar debaixo de uma árvore durante uma tempestade elétrica Se um relâmpago atinge a árvore parte da descarga pode passar para a pessoa especialmente se a corrente que atravessa a árvore atingir uma região seca da casca e por isso tiver que atravessar o ar para chegar ao solo Na figura parte do relâmpago atravessa uma distância d no ar e chega ao solo por meio da pessoa que possui uma resistência desprezível em comparação com a do ar O resto da corrente viaja pelo ar paralelamente ao tronco da árvore percorrendo uma distância h Se dh 0400 e a corrente total é I 5000 A qual é o valor da corrente que atravessa a pessoa Figura 2738 Problema 27 28 A fonte ideal da Fig 2739a tem uma força eletromotriz 60 V A curva 1 da Fig 2739b mostra a diferença de potencial V entre os terminais do resistor 1 em função da corrente i no resistor A escala do eixo vertical é definida por Vs 180 V e a escala do eixo horizontal é definida por is 300 mA As curvas 2 e 3 são gráficos semelhantes para os resistores 2 e 3 Qual é a corrente no resistor 2 Figura 2739 Problema 28 29 Na Fig 2740 R1 600 Ω R2 180 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é 120 V Determine a o valor absoluto e b o sentido para a esquerda ou para a direita da corrente i1 c Qual é a energia total dissipada nos quatro resistores em 100 min Figura 2740 Problema 29 30 Na Fig 2741 as fontes ideais têm forças eletromotrizes 1 100 V e 2 0500 1 e todas as resistências são de 400 Ω Determine a corrente a na resistência 2 e b na resistência 3 Figura 2741 Problemas 30 41 e 88 31 Na Fig 2742 as forças eletromotrizes das fontes ideais são 1 50 V e 2 12 V as resistências são de 20 Ω e o potencial é tomado como zero no ponto do circuito ligado à terra Determine os potenciais a V1 e b V2 nos pontos indicados Figura 2742 Problema 31 32 As duas fontes da Fig 2743a são ideais A força eletromotriz 1 da fonte 1 tem um valor fixo mas a força eletromotriz 2 da fonte 2 pode assumir qualquer valor entre 10 V e 10 V Os gráficos da Fig 27 43b mostram as correntes nas duas fontes em função de 2 A escala vertical é definida por is 020 A Não se sabe de antemão que curva corresponde à fonte 1 e que curva corresponde à fonte 2 mas para as duas curvas a corrente é considerada negativa quando o sentido da corrente é do terminal positivo para o terminal negativo da bateria Determine a o valor de 1 b o valor de R1 e c o valor de R2 Figura 2743 Problema 32 33 Na Fig 2744 a corrente na resistência 6 é i6 140 A e as resistências são R1 R2 R3 200 Ω R4 160 Ω R5 800 Ω e R6 400 Ω Qual é a força eletromotriz da fonte ideal Figura 2744 Problema 33 34 As resistências das Figs 2745a e 2745b são todas de 60 Ω e as fontes ideais são baterias de 12 V a Quando a chave S da Fig 2745a é fechada qual é a variação da diferença de potencial V1 entre os terminais do resistor 1 b Quando a chave S da Fig 2745b é fechada qual é a variação da diferença de potencial V1 entre os terminais do resistor 1 Figura 2745 Problema 34 35 Na Fig 2746 120 V R1 2000 Ω R2 3000 Ω e R3 4000 Ω Determine as diferenças de potencial a VA VB b VB VC c VC VD e d VA VC Figura 2746 Problema 35 36 Na Fig 2747 1 600 V 2 120 V R1 100 Ω R2 200 Ω e R3 300 Ω Um ponto do circuito está ligado à terra V 0 Determine a o valor absoluto e b o sentido para cima ou para baixo da corrente na resistência 1 c o valor absoluto e d o sentido para a esquerda ou para a direita da corrente na resistência 2 e o valor absoluto e f o sentido para a esquerda ou para a direita da corrente na resistência 3 g Determine o potencial elétrico no ponto A Figura 2747 Problema 36 37 Na Fig 2748 R1 200 Ω R2 500 Ω e a fonte é ideal Qual é o valor de R3 que maximiza a potência dissipada na resistência 3 Figura 2748 Problemas 37 e 98 38 A Fig 2749 mostra uma parte de um circuito As resistências são R1 20 Ω R2 40 Ω e R3 60 Ω e a corrente indicada é i 60 A A diferença de potencial entre os pontos A e B que ligam o conjunto ao resto do circuito é VA VB 78 V a O elemento representado como está absorvendo energia do circuito ou cedendo energia ao circuito b Qual é a potência absorvida ou fornecida pelo elemento desconhecido Figura 2749 Problema 38 39 Na Fig 2750 duas fontes de força eletromotriz 120 V e uma resistência interna r 0300 Ω são ligadas em paralelo com uma resistência R a Para qual valor de R a potência dissipada no resistor é máxima b Qual é o valor da potência máxima Figura 2750 Problemas 39 e 40 40 Duas fontes iguais de força eletromotriz 120 V e resistência interna r 0200 Ω podem ser ligadas a uma resistência R em paralelo Fig 2750 ou em série Fig 2751 Se R 200r qual é a corrente i na resistência R a no caso da ligação em paralelo e b no caso da ligação em série c Em que tipo de ligação a corrente i é maior Se R r200 qual é a corrente na resistência R d no caso da ligação em paralelo e e no caso da ligação em série f Em que tipo de ligação a corrente i é maior Figura 2751 Problema 40 41 Na Fig 2741 1 300 V 2 100 V R1 400 Ω R2 200 Ω R3 500 Ω e as duas fontes são ideais Determine a potência dissipada a em R1 b em R2 e c em R3 Determine a potência d da fonte 1 e e da fonte 2 42 Na Fig 2752 um conjunto de n resistores em paralelo é ligado em série a um resistor e a uma fonte ideal Todos os resistores têm a mesma resistência Se outro resistor de mesmo valor fosse ligado em paralelo com o conjunto a corrente na fonte sofreria uma variação de 125 Qual é o valor de n Figura 2752 Problema 42 43 O leitor dispõe de um suprimento de resistores de 10 Ω capazes de dissipar no máximo 10 W sem serem inutilizados Qual é o número mínimo desses resistores que é preciso combinar em série ou em paralelo para obter uma resistência de 10 Ω capaz de dissipar 50 W 44 Na Fig 2753 R1 100 Ω R2 R3 500 Ω R4 750 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é 600 V a Determine a resistência equivalente Determine a corrente b na resistência 1 c na resistência 2 d na resistência 3 e e na resistência 4 Figura 2753 Problemas 44 e 48 45 Na Fig 2754 as resistências são R1 10 Ω e R2 20 Ω e as forças eletromotrizes das fontes ideais são 1 20 V 2 3 40 V Determine a o valor absoluto e b o sentido para cima ou para baixo da corrente na fonte 1 c o valor absoluto e d o sentido da corrente na fonte 2 e o valor absoluto e f o sentido da corrente na fonte 3 g a diferença de potencial Va Vb Figura 2754 Problema 45 46 Na Fig 2755a o resistor 3 é um resistor variável e a força eletromotriz da fonte ideal é 12 V A Fig 2755b mostra a corrente i na fonte em função de R3 A escala horizontal é definida por R3s 20 Ω A curva tem uma assíntota de 20 mA para R3 Determine a a resistência R1 e b a resistência R2 Figura 2755 Problema 46 47 Um fio de cobre de raio a 0250 mm tem uma capa de alumínio de raio externo b 0380 mm A corrente no fio composto é i 200 A Usando a Tabela 261 calcule a corrente a no cobre e b no alumínio c Se uma diferença de potencial V 120 V entre as extremidades mantém a corrente qual é o comprimento do fio composto 48 Na Fig 2753 R1 700 Ω R2 120 Ω R3 400 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é 240 V Determine para qual valor de R4 a potência fornecida pela fonte aos resistores é igual a a 600 W b ao maior valor possível Pmáx e c ao menor valor possível Pmín Determine d Pmáx e e Pmín Módulo 273 O Amperímetro e o Voltímetro 49 a Na Fig 2756 determine a leitura do amperímetro para 50 V fonte ideal R1 20 Ω R2 40 Ω e R3 60 Ω b Mostre que se a fonte for colocada na posição do amperímetro e viceversa a leitura do amperímetro será a mesma Figura 2756 Problema 49 50 Na Fig 2757 R1 200R a resistência do amperímetro é desprezível e a fonte é ideal A corrente no amperímetro corresponde a que múltiplo de R Figura 2757 Problema 50 51 Na Fig 2758 um voltímetro de resistência RV 300 Ω e um amperímetro de resistência RA 300 Ω estão sendo usados para medir uma resistência R em um circuito que também contém uma resistência R0 100 Ω e uma fonte ideal de força eletromotriz 120 V A resistência R é dada por R Vi em que V é a diferença de potencial entre os terminais de R e i é a leitura do amperímetro A leitura do voltímetro é V que é a soma de V com a diferença de potencial entre os terminais do amperímetro Assim a razão entre as leituras dos dois medidores não é R e sim a resistência aparente R Vi Se R 850 Ω determine a a leitura do amperímetro b a leitura do voltímetro e c o valor de R d Se RA diminui a diferença entre R e R aumenta diminui ou permanece a mesma Figura 2758 Problema 51 52 Um ohmímetro simples é construído ligando uma pilha de lanterna de 150 V em série com uma resistência R e um amperímetro capaz de medir correntes entre 0 e 100 mA como mostra a Fig 2759 A resistência R é ajustada de tal forma que quando os fios de prova são encostados um no outro o ponteiro mostra o valor de 100 mA que corresponde à deflexão máxima Determine o valor da resistência externa que quando colocada em contato com os fios de prova provoca uma deflexão do ponteiro do amperímetro de a 100 b 500 e c 900 da deflexão máxima d Se o amperímetro tem uma resistência de 200 Ω e a resistência interna da fonte é desprezível qual é o valor de R Figura 2759 Problema 52 53 Na Fig 2714 suponha que 30 V r 100 Ω R1 250 Ω e R2 300 Ω Se a resistência do voltímetro RV é 50 kΩ que erro percentual o voltímetro introduz na medida da diferença de potencial entre os terminais de R1 Ignore a presença do amperímetro 54 Quando os faróis de um automóvel são acesos um amperímetro em série com os faróis indica 100 A e um voltímetro em paralelo com os faróis indica 120 V Fig 2760 Quando o motor de arranque é acionado a leitura do amperímetro cai para 800 A e a luz dos faróis fica mais fraca Se a resistência interna da bateria é 00500 Ω e a resistência interna do amperímetro é desprezível determine a a força eletromotriz da bateria e b a corrente no motor de arranque quando os faróis estão acesos Figura 2760 Problema 54 55 Na Fig 2761 o valor de Rs pode ser ajustado com o auxílio de um contato deslizante até que os potenciais dos pontos a e b sejam iguais Um teste para verificar se essa condição foi satisfeita é ligar temporariamente um amperímetro sensível entre os pontos a e b se os potenciais dos dois pontos forem iguais a indicação do amperímetro será zero Mostre que quando esta condição é satisfeita Rx RsR2R1 Uma resistência desconhecida Rx pode ser medida em termos de uma resistência de referência Rs usando esse circuito conhecido como ponte de Wheatstone Figura 2761 Problema 55 56 Na Fig 2762 um voltímetro de resistência RV 300 Ω e um amperímetro de resistência RA 300 Ω estão sendo usados para medir uma resistência R em um circuito que também contém uma resistência R0 100 Ω e uma fonte ideal de força eletromotriz 120 V A resistência R é dada por R Vi em que V é a leitura do voltímetro e i é a corrente na resistência R Entretanto a leitura do amperímetro não é i e sim i que é a soma de i com a corrente no voltímetro Assim a razão entre as leituras dos dois medidores não é R e sim a resistência aparente R Vi Se R 850 Ω determine a a leitura do amperímetro b a leitura do voltímetro e c o valor de R d Se RV aumenta a diferença entre R e R aumenta diminui ou permanece a mesma Figura 2762 Problema 56 Módulo 274 Circuitos RC 57 A chave S da Fig 2763 é fechada no instante t 0 fazendo com que um capacitor inicialmente descarregado de capacitância C 150 μF comece a se carregar através de um resistor de resistência R 200 Ω Em que instante a diferença de potencial entre os terminais do capacitor é igual à diferença de potencial entre os terminais do resistor Figura 2763 Problemas 57 e 96 58 Em um circuito RC série 120 V R 140 MΩ e C 180 μF a Calcule a constante de tempo b Determine a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado c Qual é o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de 160 μC 59 Que múltiplo da constante de tempo τ é o tempo necessário para que um capacitor inicialmente descarregado seja carregado com 990 da carga final em um circuito RC série 60 Um capacitor com uma carga inicial q0 é descarregado através de um resistor Que múltiplo da constante de tempo τ é o tempo necessário para que o capacitor descarregue a um terço da carga inicial e b dois terços da carga inicial 61 Um resistor de 150 kΩ e um capacitor são ligados em série e uma diferença de potencial de 120 V é aplicada bruscamente ao conjunto A diferença de potencial entre os terminais do capacitor aumenta para 500 V em 130 μs a Calcule a constante de tempo do circuito b Determine a capacitância C do capacitor 62 A Fig 2764 mostra o circuito de uma lâmpada piscante como as que são usadas nas obras de estrada Uma lâmpada fluorescente L de capacitância desprezível é ligada em paralelo com o capacitor C de um circuito RC Existe uma corrente na lâmpada apenas quando a diferença de potencial aplicada à lâmpada atinge a tensão de ruptura VL nesse instante o capacitor se descarrega totalmente através da lâmpada e a lâmpada fica acesa por alguns instantes Para uma lâmpada com uma tensão de ruptura VL 720 V ligada a uma bateria ideal de 950 V e a um capacitor de 0150 μF qual deve ser o valor da resistência R para que a lâmpada pisque duas vezes por segundo Figura 2764 Problema 62 63 No circuito da Fig 2765 12 kV C 65 μF e R1 R2 R3 073 MΩ Com o capacitor C totalmente descarregado a chave S é fechada bruscamente no instante t 0 Determine para o instante t 0 a a corrente i1 no resistor 1 b a corrente i2 no resistor 2 e c a corrente i3 no resistor 3 Determine para t ou seja após várias constantes de tempo d i1 e i2 f i3 Determine a diferença de potencial V2 no resistor 2 g em t 0 e h para t i Faça um esboço do gráfico de V2 em função de t no intervalo entre esses dois instantes extremos Figura 2765 Problema 63 64 Um capacitor com uma diferença de potencial inicial de 100 V começa a ser descarregado por meio de um resistor quando uma chave é fechada no instante t 0 No instante t 100 s a diferença de potencial no capacitor é 100 V a Qual é a constante de tempo do circuito b Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante t 170 s 65 Na Fig 2766 R1 100 kΩ R2 150 kΩ C 0400 μF e a bateria ideal tem uma força eletromotriz 200 V Primeiro a chave é mantida por um longo tempo na posição fechada até que seja atingido o regime estacionário Em seguida a chave é aberta no instante t 0 Qual é a corrente no resistor 2 no instante t 400 ms Figura 2766 Problemas 65 e 99 66 A Fig 2767 mostra dois circuitos com um capacitor carregado que pode ser descarregado por um resistor quando uma chave é fechada Na Fig 2767a R1 200 Ω e C1 500 μF Na Fig 2767b R2 100 Ω e C2 800 μF A razão entre as cargas iniciais dos dois capacitores é q02q01 150 No instante t 0 as duas chaves são fechadas Em que instante t os dois capacitores possuem a mesma carga Figura 2767 Problema 66 67 A diferença de potencial entre as placas de um capacitor de 20 μF com fuga o que significa que há passagem de carga de uma placa para a outra diminui para um quarto do valor inicial em 20 s Qual é a resistência equivalente entre as placas do capacitor 68 Um capacitor de 10 μF com uma energia inicial armazenada de 050 J é descarregado através de um resistor de 10 MΩ a Qual é a carga inicial do capacitor b Qual é a corrente no resistor quando a descarga começa Escreva expressões que permitam calcular em função do tempo t c a diferença de potencial VC no capacitor d a diferença de potencial VR no resistor e e a potência PR dissipada pelo resistor 69 Um resistor de 300 MΩ e um capacitor de 100 μF são ligados em série com uma fonte ideal de força eletromotriz 400 V Depois de transcorrido 100 s determine a a taxa de aumento da carga do capacitor b a taxa de armazenamento de energia no capacitor c a taxa de dissipação de energia no capacitor e d a taxa de fornecimento de energia pela fonte Problemas Adicionais 70 Cada uma das seis fontes reais da Fig 2768 possui uma força eletromotriz de 20 V e uma resistência de 40 Ω a Qual é a corrente na resistência externa R 40 Ω b Qual é a diferença de potencial entre os terminais de uma das fontes c Qual é a potência fornecida por uma das fontes d Qual é a potência dissipada na resistência interna de uma das fontes Figura 2768 Problema 70 71 Na Fig 2769 R1 200 Ω R2 100 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é 120 V Determine a corrente no ponto a a com apenas a chave S1 fechada b com apenas as chaves S1 e S2 fechadas e c com as três chaves fechadas Figura 2769 Problema 71 72 Na Fig 2770 a força eletromotriz da fonte ideal é 300 V e as resistências são R1 R2 14 Ω R3 R4 R5 60 Ω R6 20 Ω e R7 15 Ω Determine a i2 b i4 c i1 d i3 e e i5 Figura 2770 Problema 72 73 Os fios A e B ambos com 400 m de comprimento e 260 mm de diâmetro são ligados em série Uma diferença de potencial de 600 V é aplicada às extremidades do fio composto As resistências são RA 0127 Ω e RB 0729 Ω Para o fio A determine a o módulo J da densidade de corrente e b a diferença de potencial V c De que material é feito o fio A Veja a Tabela 261 Para o fio B determine d J e e V f De que material é feito o fio B 74 Determine a o valor absoluto e b o sentido para cima ou para baixo da corrente i na Fig 27 71 em que todas as resistências são de 40 Ω e todas as fontes são ideais e têm uma força eletromotriz de 10 V Sugestão O problema pode ser resolvido de cabeça Figura 2771 Problema 74 75 Suponha que enquanto você está sentado em uma cadeira a separação de cargas entre sua roupa e a cadeira faz com que seu corpo fique a um potencial de 200 V com uma capacitância de 150 pF entre você e a cadeira Quando você se levanta o aumento da distância entre seu corpo e a cadeira faz a capacitância diminuir para 10 pF a Qual é o novo valor do potencial do seu corpo Esse potencial diminui com o tempo pois a carga tende a se escoar pelos sapatos você é um capacitor que está se descarregando através de uma resistência Suponha que a resistência efetiva para a descarga é 300 GΩ Se você toca num componente eletrônico enquanto o seu potencial é maior que 100 V o componente pode ficar inutilizado b Quanto tempo você deve esperar para que o potencial do seu corpo chegue ao nível seguro de 100 V Se você usar uma pulseira condutora em contato com a terra seu potencial não aumentará tanto quando você se levantar além disso a descarga será mais rápida pois a resistência da ligação à terra será menor que a dos sapatos c Suponha que no momento em que você se levanta o potencial do seu corpo é 1400 V e a capacitância entre o seu corpo e a cadeira é 10 pF Qual deve ser a resistência entre a pulseira e a terra para que o seu corpo chegue ao potencial de 100 V em 030 s ou seja em um tempo menor que o que você levaria para tocar por exemplo em um computador 76 Na Fig 2772 as forças eletromotrizes das fontes ideais são 1 200 V 2 100 V e 3 500 V e as resistências são todas de 200 Ω Determine a o valor absoluto e b o sentido para a direita ou para a esquerda da corrente i1 c A fonte 1 fornece ou absorve energia d Qual é a potência fornecida ou absorvida pela fonte 1 e A fonte 2 fornece ou absorve energia f Qual é a potência fornecida ou absorvida pela fonte 2 g A fonte 3 fornece ou absorve energia h Qual é a potência fornecida ou absorvida pela fonte 3 Figura 2772 Problema 76 77 Para fabricar um resistor cuja resistência varia muito pouco com a temperatura podese utilizar uma combinação em série de um resistor de silício com um resistor de ferro Se a resistência total desejada é 1000 Ω e a temperatura de referência é 20oC determine a resistência a do resistor de silício e b do resistor de ferro Sugestão Consulte a Tabela 261 78 Na Fig 2714 suponha que 50 V r 20 Ω R1 50 Ω e R2 40 Ω Se a resistência do amperímetro RA é 010 Ω que erro percentual essa resistência introduz na medida da corrente Ignore a presença do voltímetro 79 Um capacitor C inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ligada em série com um resistor R a Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte b Integrando o produto i2R no intervalo de carga mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte 80 Na Fig 2773 R1 500 Ω R2 100 Ω R3 150 Ω C1 500 μF C2 100 μF e a fonte ideal tem uma força eletromotriz 200 V Supondo que o circuito está no regime estacionário qual é a energia total armazenada nos dois capacitores Figura 2773 Problema 80 81 Na Fig 275a determine a diferença de potencial entre os terminais de R2 para 12 V R1 30 Ω R2 40 Ω e R3 50 Ω 82 Na Fig 278a calcule a diferença de potencial entre a e c considerando o percurso que envolve R r1 e 1 83 O controlador de um jogo de fliperama é formado por um resistor variável em paralelo com um capacitor de 0220 μF O capacitor é carregado com 500 V e descarregado pelo resistor O tempo para que a diferença de potencial entre as placas do capacitor diminua para 0800 V é medido por um relógio que faz parte do jogo Se a faixa útil de tempos de descarga vai de 100 μs a 600 ms determine a o menor valor e b o maior valor da resistência do resistor 84 A Fig 2774 mostra o circuito do indicador de combustível usado nos automóveis O indicador instalado no painel tem uma resistência de 10 Ω No tanque de gasolina existe uma boia ligada a um resistor variável cuja resistência varia linearmente com o volume de combustível A resistência é 140 Ω quando o tanque está cheio e 20 Ω quando o tanque está vazio Determine a corrente no circuito a quando o tanque está vazio b quando o tanque está pela metade e c quando o tanque está cheio Considere a bateria uma fonte ideal Figura 2774 Problema 84 85 O motor de arranque de um automóvel está girando muito devagar e o mecânico não sabe se o problema está no motor no cabo ou na bateria De acordo com o manual a resistência interna da bateria de 12 V não deveria ser maior que 0020 Ω a resistência do motor não deveria ultrapassar 0200 Ω e a resistência do cabo não deveria ser maior que 0040 Ω O mecânico liga o motor e mede 114 V entre os terminais da bateria 30 V entre as extremidades do cabo e uma corrente de 50 A Qual é o componente defeituoso 86 Dois resistores R1 e R2 podem ser ligados em paralelo ou em série entre os terminais de uma fonte ideal de força eletromotriz Estamos interessados em que a potência dissipada pela combinação dos resistores em paralelo seja cinco vezes maior que a potência dissipada pela combinação dos resistores em série Se R1 100 Ω determine a o menor e b o maior dos dois valores de R2 que satisfazem essa condição 87 O circuito da Fig 2775 mostra um capacitor duas fontes ideais dois resistores e uma chave S Inicialmente a chave S permaneceu aberta por um longo tempo Se a chave é fechada e permanece nesta posição por um longo tempo qual é a variação da carga do capacitor Suponha que C 10 μF 1 10 V 2 30 V R1 020 Ω e R2 040 Ω Figura 2775 Problema 87 88 Na Fig 2741 R1 100 Ω R2 200 Ω e as forças eletromotrizes das fontes ideais são 1 200 V e 2 500 V Qual deve ser o valor de R3 para que a corrente na fonte 1 seja zero 89 Na Fig 2776 R 10 Ω Qual é a resistência equivalente entre os pontos A e B Sugestão Imagine que existe uma fonte ligada entre os pontos A e B 90 a Na Fig 274a mostre que a potência dissipada em R é máxima para R r b Mostre que a potência máxima é P 24r Figura 2776 Problema 89 91 Na Fig 2777 as forças eletromotrizes das fontes ideais são 1 120 V e 2 400 V e as resistências são todas de 400 Ω Determine a o valor absoluto de i1 b o sentido para cima ou para baixo de i1 c o valor absoluto de i2 e d o sentido de i2 e A fonte 1 fornece ou absorve energia f Qual é a potência fornecida ou absorvida pela fonte 1 g A fonte 2 fornece ou absorve energia h Qual é a potência fornecida ou absorvida pela fonte 2 Figura 2777 Problema 91 92 A Fig 2778 mostra uma parte de um circuito pelo qual está passando uma corrente I 600 A As resistências são R1 R2 200R3 200R4 400 Ω Qual é a corrente i1 no resistor 1 Figura 2778 Problema 92 93 Pretendese dissipar uma potência de 10 W em um resistor de 010 Ω ligando o resistor a uma fonte cuja força eletromotriz é 15 V a Qual deve ser a diferença de potencial aplicada ao resistor b Qual deve ser a resistência interna da fonte 94 A Fig 2779 mostra três resistores de 200 Ω Determine a resistência equivalente a entre os pontos A e B b entre os pontos A e C c entre os pontos B e C Sugestão Imagine que existe uma fonte ligada entre os pontos indicados Figura 2779 Problema 94 95 Uma linha de transmissão de 120 V é protegida por um fusível de 15 A Qual é o número máximo de lâmpadas de 500 W que podem ser ligadas em paralelo na linha sem queimar o fusível 96 A Fig 2763 mostra uma fonte ideal de força eletromotriz 12 V um resistor de resistência R 40 Ω e um capacitor descarregado de capacitância C 40 μF Se a chave S é fechada qual é a corrente no resistor no instante em que a carga do capacitor é 80 μC 97 N fontes iguais de força eletromotriz e resistência interna r podem ser ligadas em série Fig 2780a ou em paralelo Fig 2780b antes que o conjunto seja ligado a uma resistência R Mostre que a corrente na resistência R será a mesma nos dois arranjos se R r Figura 2780 Problema 97 98 Na Fig 2748 R1 R2 100 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é 120 V a Qual o valor de R3 que maximiza a potência fornecida pela fonte b Qual o valor da potência máxima 99 Na Fig 2766 a força eletromotriz da fonte ideal é 30 V as resistências são R1 20 kΩ e R2 10 kΩ e o capacitor está descarregado Determine a corrente a na resistência 1 e b na resistência 2 no instante em que a chave é fechada c Depois de transcorrido um longo tempo qual é a corrente na resistência 2 100 Na Fig 2781 as forças eletromotrizes das fontes ideais são 1 200 V 2 100 V 3 500 V e 4 500 V e todas as resistências são de 200 Ω Determine a o valor absoluto e b o sentido para a direita ou para a esquerda da corrente i1 e c o valor absoluto e d o sentido para a direita ou para a esquerda da corrente i2 Sugestão O problema pode ser resolvido de cabeça e Qual é a potência fornecida ou recebida pela fonte 4 f A fonte 4 está fornecendo ou recebendo energia Figura 2781 Problema 100 101 Na Fig 2782 uma fonte ideal de força eletromotriz 120 V é ligada a um circuito cujas resistências são R1 600 Ω R2 1200 Ω R3 400 Ω R4 300 Ω e R5 500 Ω Qual é a diferença de potencial da resistência 5 Figura 2782 Problema 101 102 A tabela a seguir mostra a diferença de potencial VT entre os terminais de uma fonte para vários valores da corrente i fornecida pela fonte a Escreva uma equação que represente a relação entre VT e i e execute uma regressão linear em uma calculadora usando os números da tabela para determinar a reta de VT em função de i que melhor se ajusta aos dados Use os resultados do ajuste para calcular b a força eletromotriz da fonte e c a resistência interna da fonte iA 500 750 100 125 150 175 200 VTV 107 900 770 600 480 300 170 103 Na Fig 2783 1 600 V 2 120 V R1 200 Ω e R2 100 Ω Determine a o valor absoluto e b o sentido para cima ou para baixo da corrente na resistência 1 c o valor absoluto e d o sentido para a direita ou para a esquerda da corrente na resistência 2 e e o valor absoluto e f o sentido para cima ou para baixo da corrente na fonte 2 Figura 2783 Problema 103 104 Uma lâmpada de 120 V com dois filamentos pode operar em três níveis de potência 100 200 e 300 W Um dos filamentos queima Depois disso a lâmpada funciona com a mesma luminosidade dissipa a mesma potência que antes quando o interruptor está na posição de menor luminosidade ou na posição de maior luminosidade mas não acende quando o interruptor está na posição intermediária a De que forma estão ligados os filamentos nas três posições do interruptor b Qual é a resistência do filamento de menor resistência c Qual é a resistência do filamento de maior resistência 105 Na Fig 2784 R1 R2 20 Ω R3 40 Ω R4 30 Ω R5 10 Ω R6 R7 R8 80 Ω e as forças eletromotrizes das fontes são 1 16 V e 2 80 V Determine a o valor absoluto e b o sentido para cima ou para baixo da corrente i1 e c o valor absoluto e d o sentido para cima ou para baixo da corrente i2 Determine a potência fornecida ou absorvida e pela fonte 1 e f pela fonte 2 g A fonte 1 está fornecendo ou absorvendo energia h A fonte 2 está fornecendo ou absorvendo energia Figura 2784 Problema 105 1Na verdade de acordo com a Eq 2747 o tempo que a energia leva para chegar ao valor seguro é diretamente proporcional à resistência dos pneus NT CAPÍTULO 28 Campos Magnéticos 281 CAMPOS MAGNÉTICOS E A DEFINIÇÃO DE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2801 Saber a diferença entre um eletroímã e um ímã permanente 2802 Saber que o campo magnético é uma grandeza vetorial e que portanto tem um módulo e uma orientação 2803 Saber que um campo magnético pode ser definido em termos do que acontece com uma partícula carregada que se move na presença do campo 2804 No caso de uma partícula carregada que se move na presença de um campo magnético uniforme conhecer a relação entre o módulo FB da força exercida pelo campo a carga q da partícula a velocidade escalar v da partícula o módulo B do campo magnético e o ângulo ϕ entre a velocidade da partícula e o campo magnético 2805 No caso de uma partícula carregada que se move na presença de um campo magnético uniforme determinar a orientação da força magnética 1 usando a regra da mão direita para conhecer a direção do vetor e 2 usando o sinal da carga q para conhecer o sentido do vetor 2806 Determinar a força magnética que age sobre uma partícula carregada em movimento calculando o produto vetorial 2807 Saber que o vetor força magnética é perpendicular ao vetor velocidade e ao vetor campo magnético 2808 Conhecer o efeito da força magnética sobre a velocidade escalar e a energia cinética de uma partícula carregada 2809 Saber que um ímã pode ser representado por um dipolo magnético 2810 Saber que polos magnéticos de tipos diferentes se atraem e polos do mesmo tipo se repelem 2811 Saber o que são linhas de campo magnético onde começam onde terminam e o que representa o seu espaçamento IdeiasChave Quando uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético ela é submetida a uma força dada por em que q é a carga da partícula incluindo o sinal e é a velocidade da partícula A direção do produto vetorial é dado pela regra da mão direita O sinal de q determina se tem o mesmo sentido que ou o sentido oposto O módulo da força magnética é dado por FB qvB sen ϕ em que ϕ é o ângulo entre e O que É Física Como vimos em capítulos anteriores um objetivo importante da física é estudar o modo como um campo elétrico produz uma força elétrica em um corpo eletricamente carregado Um objetivo análogo é estudar o modo como um campo magnético produz uma força magnética em um corpo eletricamente carregado em movimento ou em um corpo com propriedades magnéticas especiais como um ímã permanente por exemplo O leitor provavelmente já prendeu um bilhete na porta da geladeira usando um pequeno ímã o ímã interage com a porta da geladeira por meio de um campo magnético As aplicações dos campos magnéticos e das forças magnéticas são incontáveis e mudam a cada ano Seguem alguns exemplos Durante várias décadas a indústria do entretenimento usou fitas magnéticas para gravar sons e imagens Embora hoje em dia as fitas de áudio e vídeo tenham caído em desuso a indústria ainda precisa dos ímãs que controlam os CD players e os DVD players os altofalantes dos aparelhos de rádio e televisão dos computadores e dos telefones celulares também utilizam ímãs Um carro moderno vem equipado com dezenas de ímãs que são usados no sistema de ignição no motor de arranque e também para acionar componentes como vidros elétricos limpadores de parabrisas e tetos solares Muitas campainhas de porta e trancas automáticas também trabalham com ímãs Na verdade vivemos cercados por ímãs O estudo dos campos magnéticos é tarefa da física as aplicações dos campos magnéticos ficam por conta da engenharia Tanto a física como a engenharia começam com a mesma pergunta O que produz um campo magnético Digital VisionGetty Images Inc Figura 281 O eletroímã mostrado na foto é usado para transportar sucata em uma fundição O que Produz um Campo Magnético Já que o campo elétrico é produzido por cargas elétricas seria natural que o campo magnético fosse produzido por cargas magnéticas Entretanto embora a existência de cargas magnéticas conhecidas como monopolos magnéticos seja prevista em algumas teorias essas cargas até hoje não foram observadas Como são produzidos então os campos magnéticos Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas formas A primeira forma consiste em usar partículas eletricamente carregadas em movimento como os elétrons responsáveis pela corrente elétrica em um fio para fabricar um eletroímã A corrente produz um campo magnético que pode ser usado por exemplo para fazer girar o disco rígido de um computador ou para transportar sucata de um lugar para outro Fig 281 O campo magnético produzido por correntes elétricas será discutido no Capítulo 29 A outra forma de produzir um campo magnético se baseia no fato de que muitas partículas elementares entre elas o elétron possuem um campo magnético intrínseco O campo magnético é uma propriedade básica das partículas elementares como a massa e a carga elétrica Como será discutido no Capítulo 32 em alguns materiais os campos magnéticos dos elétrons se somam para produzir um campo magnético no espaço que cerca o material É por isso que um ímã permanente do tipo usado para pendurar bilhetes na porta das geladeiras possui um campo magnético permanente Na maioria dos materiais porém os campos magnéticos dos elétrons se cancelam e o campo magnético em torno do material é nulo Essa é a razão pela qual não possuímos um campo magnético permanente em torno do nosso corpo o que é bom pois não seria nada agradável ser atraído por portas de geladeira Nosso primeiro trabalho neste capítulo será definir o campo magnético Para isso vamos usar o fato experimental de que quando uma partícula com carga elétrica se move na presença de um campo magnético uma força magnética age sobre a partícula A Definição de Determinamos o campo elétrico em um ponto colocando uma partícula de prova com uma carga q nesse ponto e medindo a força elétrica que age sobre a partícula Em seguida definimos o campo usando a relação Se dispuséssemos de um monopolo magnético poderíamos definir de forma análoga Entretanto como os monopolos magnéticos até hoje não foram encontrados devemos definir de outro modo ou seja em termos da força magnética exercida sobre uma partícula de prova carregada eletricamente e em movimento Partícula Carregada em Movimento Em princípio fazemos isso medindo a força que age sobre a partícula quando ela passa com várias velocidades e direções pelo ponto no qual está sendo medido Depois de executar muitos experimentos desse tipo constatamos que quando a velocidade da partícula tem certa direção a força é zero Para todas as outras direções de o módulo de é proporcional a v sen ϕ em que ϕ é o ângulo entre a direção em que a força é zero e a direção de Além disso a direção de é sempre perpendicular à direção de Esses resultados sugerem que um produto vetorial está envolvido O Campo Podemos em seguida definir um campo magnético como uma grandeza vetorial cuja direção coincide com aquela para a qual a força é zero Depois de medir para perpendicular a definimos o módulo de em termos do módulo da força em que q é a carga da partícula Podemos expressar esses resultados usando a seguinte equação vetorial ou seja a força que age sobre a partícula é igual à carga q multiplicada pelo produto vetorial da velocidade pelo campo medidos no mesmo referencial Usando a Eq 324 para o produto vetorial podemos escrever o módulo de na forma em que ϕ é o ângulo entre as direções da velocidade e do campo magnético Determinação da Força Magnética De acordo com a Eq 283 o módulo da força que age sobre uma partícula na presença de um campo magnético é proporcional à carga q e à velocidade v da partícula Assim a força é zero se a carga é zero ou se a partícula está parada A Eq 283 também mostra que a força é zero se e são paralelos ϕ 0o ou antiparalelos ϕ 180o e é máxima se e são mutuamente perpendiculares Orientação A Eq 282 também fornece a orientação de Como foi visto no Módulo 33 o produto vetorial da Eq 282 é um vetor perpendicular aos vetores e De acordo com a regra da mão direita Figs 282a a 282c o polegar da mão direita aponta na direção de quando os outros dedos apontam de para De acordo com a Eq 282 se a carga q é positiva a força tem o mesmo sinal que assim para q positiva aponta no mesmo sentido que o polegar Fig 282d Se q é negativa a força e o produto vetorial têm sinais contrários e portanto apontam em sentidos opostos Assim para q negativa aponta no sentido oposto ao do polegar Fig 282e Seja qual for o sinal da carga A força que age sobre uma partícula carregada que se move com velocidade na presença de um campo magnético é sempre perpendicular a e a Figura 282 ac Na regra da mão direita o polegar da mão direita aponta na direção de quando os outros dedos apontam de para passando pelo menor ângulo ϕ entre os dois vetores d Se a carga q é positiva a força tem o mesmo sentido que e Se a carga q é negativa a força tem o sentido oposto ao de Lawrence Berkeley LaboratoryPhoto Researchers Inc Figura 283 Rastros de dois elétrons e e um pósitron e em uma câmara de bolhas submetida a um campo magnético uniforme que aponta para fora do papel Assim a componente de na direção de é sempre nula Isso significa que não pode mudar a velocidade escalar v da partícula e portanto também não pode mudar a energia cinética da partícula A força pode mudar apenas a direção de ou seja a trajetória da partícula esse é o único tipo de aceleração que pode imprimir à partícula Para compreender melhor o significado da Eq 282 considere a Fig 283 que mostra alguns rastros deixados em uma câmara de bolhas por partículas carregadas A câmara que contém hidrogênio líquido está submetida a um forte campo magnético uniforme que aponta para fora do papel Um raio gama que não deixa rastro porque é eletricamente neutro interage com um átomo de hidrogênio e se transforma em um elétron trajetória espiral e e um pósitron trajetória espiral e ao mesmo tempo em que arranca um elétron do átomo de hidrogênio trajetória quase retilínea e As curvaturas das trajetórias das três partículas estão de acordo com a Eq 282 e a Fig 282 Unidade De acordo com as Eqs 282 e 283 a unidade de no SI é o newton por coulombmetro por segundo Por conveniência essa unidade é chamada de tesla T Lembrando que um coulomb por segundo equivale a um ampère temos Uma unidade antiga de que não pertence ao SI mas ainda é usada na prática é o gauss G A relação entre o gauss e o tesla é a seguinte A Tabela 281 mostra a ordem de grandeza de alguns campos magnéticos Note que o campo magnético na superfície da Terra é da ordem de 104 T 100 μT ou 1 G Tabela 281 Ordem de Grandeza de Alguns Campos Magnéticos Na superfície de uma estrela de nêutrons 108 T Perto de um grande eletroímã 15 T Perto de um ímã pequeno 102 T Na superfície da Terra 104 T No espaço sideral 1010 T Em uma sala magneticamente blindada 1014 T Teste 1 A figura mostra três situações nas quais uma partícula carregada de velocidade é submetida a um campo magnético uniforme Qual é a direção da força magnética a que a partícula é submetida em cada situação Linhas de Campo Magnético O campo magnético como o campo elétrico pode ser representado por linhas de campo As regras são as mesmas 1 a direção da tangente a uma linha de campo magnético em qualquer ponto fornece a direção de nesse ponto 2 o espaçamento das linhas representa o módulo de quanto mais intenso o campo mais próximas estão as linhas e viceversa A Fig 284a mostra as linhas de campo magnético nas proximidades de um ímã em forma de barra Todas as linhas passam pelo interior do ímã e formam curvas fechadas mesmo as que não parecem formar curvas fechadas na figura O campo magnético externo é mais intenso perto das extremidades do ímã o que se reflete em um menor espaçamento das linhas Isso significa que o ímã em forma de barra da Fig 284b recolhe muito mais limalha de ferro nas extremidades Dois Polos As linhas de campo entram no ímã por uma das extremidades e saem pela outra A extremidade pela qual as linhas saem é chamada de polo norte do ímã a outra extremidade pela qual as linhas entram recebe o nome de polo sul Como um ímã tem dois polos dizemos que ele se comporta como um dipolo magnético Os ímãs que usamos para prender bilhetes nas geladeiras são ímãs em forma de barra A Fig 285 mostra outros dois tipos comuns de ímãs o ímã em forma de ferradura e o ímã em forma de C no segundo tipo o campo magnético entre os polos é aproximadamente uniforme Seja qual for a forma dos ímãs quando colocamos dois ímãs próximos um do outro sempre observamos o seguinte Polos magnéticos de tipos diferentes se atraem e polos do mesmo tipo se repelem A Terra possui um campo magnético que é produzido no interior do planeta por um mecanismo até hoje pouco conhecido Na superfície terrestre podemos observar esse campo com o auxílio de uma bússola constituída por um ímã fino em forma de barra montado em um eixo de baixo atrito Esse ímã em forma de barra ou agulha aponta aproximadamente na direção nortesul porque o polo norte do ímã é atraído para um ponto situado nas proximidades do polo geográfico norte Isso significa que o polo sul do campo magnético da Terra está situado nas proximidades do polo geográfico norte Assim o correto seria chamarmos de polo magnético sul o polo magnético mais próximo do polo geográfico norte Entretanto por causa da proximidade com o polo geográfico norte esse polo costuma ser chamado de polo geomagnético norte Medidas mais precisas revelam que no hemisfério norte as linhas do campo magnético da Terra apontam para baixo na direção do polo geomagnético norte enquanto no hemisfério sul apontam para cima na direção oposta à do polo geomagnético sul situado nas proximidades do polo geográfico sul Cortesia do Dr Richard Cannon Southeast Missouri State University Cape Girardeau Figura 284 a Linhas de campo magnético nas proximidades de um ímã em forma de barra b Um ímã de vaca ímã em forma de barra introduzido no rúmen das vacas para evitar que pedaços de ferro ingeridos acidentalmente cheguem ao intestino do animal A limalha de ferro revela as linhas de campo magnético Figura 285 a Ímã em forma de ferradura e b ímã em forma de C Apenas algumas linhas de campo externas foram desenhadas Exemplo 2801 Força magnética a que é submetida uma partícula carregada em movimento No interior de uma câmara de laboratório existe um campo magnético uniforme de módulo 12 mT orientado verticalmente para cima Um próton com uma energia cinética de 53 MeV entra na câmara movendose horizontalmente do sul para o norte Qual é a força experimentada pelo próton ao entrar na câmara A massa do próton é 167 1027 kg Despreze o efeito do campo magnético da Terra IDEIASCHAVE Como possui carga elétrica e está se movendo na presença de um campo magnético o próton é submetido a uma força magnética Uma vez que a direção inicial da velocidade do próton não coincide com a direção das linhas de campo magnético é diferente de zero Módulo Para calcular o módulo de podemos usar a Eq 283 FB qvB sen ϕ contanto que a velocidade v do próton seja conhecida Podemos calcular v a partir da energia cinética dada já que Explicitando v obtemos De acordo com a Eq 283 temos Essa força pode parecer pequena mas como age sobre uma partícula de massa muito pequena produz uma grande aceleração Orientação Para determinar a orientação de usamos o fato de que a direção de é a mesma do produto vetorial Como a carga q é positiva tem o sentido do produto que pode ser determinado usando a regra da mão direita para produtos vetoriais como na Fig 282d Sabemos que o sentido de é do sul para o norte e que o sentido de é de baixo para cima De acordo com a regra da mão direita a força é de oeste para leste como mostra a Fig 286 Os pontos da figura indicam que as linhas de campo magnético saem do papel Se o campo magnético entrasse no papel os pontos seriam substituídos por cruzes Se a carga da partícula fosse negativa a força magnética teria o sentido oposto ou seja de leste para oeste Esse resultado pode ser obtido substituindo q por q na Eq 282 Figura 286 Vista de topo de um próton que se move em uma câmara do sul para o norte com velocidade O campo magnético aponta verticalmente para cima como mostram os pontos que representam pontas de setas O próton é desviado para leste 282 CAMPOS CRUZADOS A DESCOBERTA DO ELÉTRON Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2812 Descrever o experimento de J J Thomson 2813 Determinar a força a que é submetida uma partícula que se move na presença de um campo elétrico e um campo magnético 2814 Em situações nas quais a força magnética e a força elétrica a que uma partícula está submetida têm sentidos opostos determinar as velocidades da partícula para as quais as forças se cancelam a força magnética é maior que a força elétrica e a força elétrica é maior que a força magnética IdeiasChave Se uma partícula carregada se move na presença de um campo elétrico e um campo magnético ela é submetida simultaneamente a uma força elétrica e a uma força magnética Quando são mutuamente perpendiculares os campos elétrico e magnético são chamados de campos cruzados Quando os campos elétrico e magnético apontam em sentidos opostos existe uma velocidade para a qual é nula a força resultante que os campos exercem sobre uma partícula carregada Campos Cruzados A Descoberta do Elétron Como vimos tanto o campo elétrico com o campo magnético podem exercer uma força sobre uma partícula com carga elétrica Quando são mutuamente perpendiculares os dois campos são chamados de campos cruzados Vamos discutir agora o que acontece quando uma partícula com carga elétrica como o elétron se move em uma região na qual existem campos cruzados Vamos basear nossa discussão no experimento que levou à descoberta do elétron realizado por J J Thomson em 1897 na Universidade de Cambridge Duas Forças A Fig 287 mostra uma versão moderna simplificada do equipamento experimental de Thomson o tubo de raios catódicos semelhante ao tubo de imagem dos antigos aparelhos de televisão Partículas carregadas que hoje chamamos de elétrons são emitidas por um filamento 1 2 3 aquecido em uma das extremidades de um tubo evacuado e aceleradas por uma diferença de potencial V Depois de passarem por uma fenda no anteparo A as partículas formam um feixe estreito Em seguida passam por uma região onde existem campos e cruzados e atingem uma tela fluorescente T onde produzem um ponto luminoso nos aparelhos de televisão o ponto é parte da imagem As forças a que o elétron é submetido na região dos campos cruzados podem desviálo do centro da tela Controlando o módulo e a orientação dos campos Thomson foi capaz de controlar a posição do ponto luminoso na tela Como vimos a força a que é submetida uma partícula de carga negativa na presença de um campo elétrico tem o sentido contrário ao do campo Assim para o arranjo da Fig 287 os elétrons são desviados para cima pelo campo elétrico e para baixo pelo campo magnético em outras palavras as duas forças estão em oposição O procedimento adotado por Thomson equivale aos passos que se seguem Faça E 0 e B 0 e registre a posição na tela T do ponto luminoso produzido pelo feixe sem nenhum desvio Aplique o campo e registre a nova posição do ponto na tela Mantendo constante o módulo do campo aplique o campo e ajuste o valor do módulo de para que o ponto volte à posição inicial Como as forças estão em oposição é possível fazer com que se cancelem A deflexão de uma partícula carregada que se move na presença de um campo elétrico uniforme criado por duas placas 2o passo do procedimento de Thomson foi discutida no Exemplo 2204 A deflexão da partícula no momento em que deixa a região entre as placas é dada por em que v é a velocidade da partícula m é a massa da partícula q é a carga da partícula e L é o comprimento das placas Podemos aplicar a mesma equação ao feixe de elétrons da Fig 287 medindo a posição do ponto luminoso na tela T e refazendo a trajetória das partículas para calcular a deflexão y no final da região entre as placas Como o sentido da deflexão depende do sinal da carga das partículas Thomson foi capaz de provar que as partículas responsáveis pelo ponto luminoso na tela tinham carga negativa Forças que se Cancelam De acordo com as Eqs 281 e 283 quando os dois campos da Fig 287 são ajustados para que a força elétrica e a força magnética se cancelem mutuamente 3o passo Figura 287 Uma versão moderna do equipamento usado por JJ Thomson para medir a razão entre a massa e a carga do elétron Um campo elétrico é criado ligando uma fonte aos terminais das placas defletoras e um campo magnético é criado fazendo passar uma corrente por um conjunto de bobinas que não é mostrado na figura O sentido do campo magnético é para dentro do papel como mostram as cruzes que representam as extremidades traseiras de setas Assim os campos cruzados permitem medir a velocidade das partículas Substituindo a Eq 287 na Eq 286 e reagrupando os termos obtemos em que todas as grandezas do lado direito são conhecidas Assim os campos cruzados permitem medir a razão mq das partículas que estão sendo investigadas1 Thomson afirmou que essas partículas estavam presentes em todas as formas de matéria e eram mais de 1000 vezes mais leves que o átomo mais leve conhecido o átomo de hidrogênio Mais tarde verificouse que a razão exata é 183615 A medida de mq acompanhada pelas duas afirmações ousadas de Thomson é considerada como o evento que assinalou a descoberta do elétron Teste 2 A figura mostra quatro direções do vetor velocidade de uma partícula positivamente carregada que se move na presença de um campo elétrico uniforme que aponta para fora do papel e está representado por um ponto no interior de um círculo e de um campo magnético uniforme a Coloque as direções 1 2 e 3 na ordem decrescente do módulo da força total que age sobre a partícula b Das quatro direções qual é a única em que a força total pode ser zero 283 CAMPOS CRUZADOS O EFEITO HALL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2815 Descrever o efeito Hall em uma tira metálica percorrida por uma corrente elétrica explicando por que é criado um campo elétrico transversal e o que limita o módulo desse campo 2816 Desenhar os vetores do campo elétrico do campo magnético da força elétrica da força magnética e da velocidade dos portadores associados ao efeito Hall 2817 Conhecer a relação entre a diferença de potencial de Hall V o módulo do campo elétrico E e a largura d da tira metálica 2818 Conhecer a relação entre a concentração de portadores de corrente n o módulo do campo magnético B a corrente i e a diferença de potencial de Hall V 2819 Aplicar os resultados do efeito Hall a uma fita condutora que se move na presença de um campo magnético uniforme para calcular a diferença de potencial V em função da velocidade da fita do módulo do campo magnético e da largura da fita IdeiasChave Quando um campo magnético uniforme B é aplicado a uma tira metálica percorrida por uma corrente i com o campo perpendicular à direção da corrente uma diferença de potencial de Hall é criada entre os lados da fita A força que o campo elétrico associado à diferença de potencial de Hall exerce sobre os elétrons é equilibrada pela força que o campo magnético exerce sobre eles A concentração n dos portadores de corrente é dada por em que l é a espessura da fita medida na direção de Quando uma fita metálica se move com velocidade na presença de um campo magnético uniforme a diferença de potencial de Hall V entre os lados da fita é dada por V vBd em que d é a largura da fita medida na direção perpendicular a e a Campos Cruzados O Efeito Hall Como vimos um feixe de elétrons no vácuo pode ser desviado por um campo magnético Será que os elétrons que se movem no interior de um fio de cobre também podem ser desviados por um campo magnético Em 1879 Edwin H Hall na época um aluno de doutorado de 24 anos da Johns Hopkins University mostrou que sim Esse desvio que mais tarde veio a ser conhecido como efeito Hall permite verificar se os portadores de corrente em um condutor têm carga positiva ou negativa Além disso pode ser usado para determinar o número de portadores de corrente por unidade de volume do condutor A Fig 288a mostra uma fita de cobre de largura d percorrida por uma corrente i cujo sentido convencional é de cima para baixo na figura Os portadores de corrente são elétrons que como sabemos se movem com velocidade de deriva vd no sentido oposto de baixo para cima No instante mostrado na Fig 288a um campo magnético externo que aponta para dentro do papel acaba de ser ligado De acordo com a Eq 282 uma força magnética age sobre os elétrons desviandoos para o lado direito da fita Com o passar do tempo os elétrons se acumulam na borda direita da fita deixando cargas positivas não compensadas na borda esquerda A separação de cargas positivas e negativas produz um campo elétrico no interior da fita que aponta para a direita na Fig 288b O campo exerce uma força sobre os elétrons que tende a desviálos para a esquerda e portanto se opõe à força magnética Equilíbrio Os elétrons continuam a se acumular na borda direita da fita até que a força exercida pelo campo elétrico equilibre a força exercida pelo campo magnético Quando isso acontece como mostra a Fig 288b as forças e têm módulos iguais e sentidos opostos Os elétrons passam a se mover em linha reta em direção ao alto do desenho com velocidade e o campo elétrico para de aumentar De acordo com a Eq 2421 ao campo elétrico está associada uma diferença de potencial de Hall entre as bordas da fita Essa diferença é dada por em que d é a largura da fita Ligando um voltímetro às bordas da fita podemos medir essa diferença de potencial e descobrir em qual das bordas o potencial é maior Para a situação da Fig 288b observaríamos que o potencial é maior na borda da esquerda como é de se esperar no caso de portadores de corrente negativos Vamos supor que os portadores responsáveis pela corrente i tivessem carga positiva Fig 288c Nesse caso os portadores estariam se movendo de cima para baixo seriam desviados para a borda da direita pela força e o potencial seria maior na borda da direita o que não estaria de acordo com a leitura do voltímetro A leitura obtida indica portanto que os portadores de corrente têm carga negativa Concentração de Portadores Vamos passar à parte quantitativa De acordo com as Eqs 281 e 28 3 quando as forças elétrica e magnética estão em equilíbrio Fig 288b temos De acordo com a Eq 267 a velocidade de deriva vd é dada por em que J iA é a densidade de corrente na fita A é a área da seção reta da fita e n é a concentração de portadores de corrente número de portadores por unidade de volume Combinando as Eqs 289 2810 e 2811 obtemos Figura 288 Uma fita de cobre percorrida por uma corrente i é submetida a um campo magnético a Situação logo depois que o campo magnético é aplicado mostrando a trajetória curva de um elétron b Situação após o equilíbrio ser atingido o que acontece rapidamente Observe que cargas negativas se acumulam do lado direito da fita deixando cargas positivas não compensadas do lado esquerdo o que faz com que o potencial seja maior do lado esquerdo c Para o mesmo sentido da corrente se os portadores de corrente fossem positivos eles tenderiam a se acumular no lado direito que ficaria com um potencial maior em que l Ad é a espessura da fita A Eq 1812 permite calcular o valor de n a partir de grandezas conhecidas Velocidade de Deriva Também é possível usar o efeito Hall para medir diretamente a velocidade de deriva vd dos portadores de corrente que como vimos é da ordem de centímetros por hora Nesse experimento engenhoso a fita é deslocada mecanicamente na presença de um campo magnético no sentido oposto ao da velocidade de deriva dos portadores e a velocidade da fita é ajustada para que a diferença de potencial de Hall seja zero Para que isso aconteça é preciso que seja zero a velocidade dos portadores em relação ao laboratório nessas condições portanto a velocidade dos portadores de corrente tem o mesmo módulo que a velocidade da fita mas o sentido oposto Condutor em Movimento Quando uma fita metálica se move com velocidade v na presença de um campo magnético os elétrons de condução do material se movem com a mesma velocidade comportandose como os elétrons da corrente elétrica mostrada nas Figs 288a e 288b e produzindo um campo elétrico e uma diferença de potencial V Como no caso da corrente o equilíbrio entre a força elétrica e a força magnética se estabelece rapidamente mas neste caso devemos escrever a condição de equilíbrio em termos da velocidade v da fita e não da velocidade de deriva vd como fizemos na Eq 28 10 eE evB Substituindo E por seu valor dado pela Eq 289 obtemos A diferença de potencial causada pelo movimento pode ser motivo de preocupação em algumas situações como no caso de certos componentes metálicos dos satélites artificiais que giram em órbita na presença do campo magnético terrestre Por outro lado se um longo fio metálico conhecido como cabo eletrodinâmico é pendurado em um satélite a diferença de potencial pode ser usada para alimentar os circuitos elétricos do satélite Exemplo 2802 Diferença de potencial em um condutor em movimento A Fig 289a mostra um cubo de metal de aresta d 15 cm que se move no sentido positivo do eixo y com uma velocidade constante de módulo 40 ms Na região existe um campo magnético uniforme de módulo 0050 T no sentido positivo do eixo z a Em que face do cubo o potencial é menor e em que face o potencial é maior por causa da influência do campo magnético IDEIACHAVE Como o cubo está se movendo na presença de um campo magnético uma força magnética age sobre as partículas carregadas que existem no cubo entre as quais estão os elétrons Raciocínio O cubo está se movendo e os elétrons participam desse movimento Como os elétrons têm carga q e estão se movendo com velocidade na presença de um campo magnético a força magnética que age sobre os elétrons é dada pela Eq 282 Como q é negativa o sentido de é o oposto ao do produto vetorial que aponta no sentido positivo do eixo x Fig 28 1 2 9b Assim aponta no sentido negativo do eixo x em direção à face esquerda do cubo Fig 289c A maioria dos elétrons está presa aos átomos do cubo Entretanto como é feito de metal o cubo contém elétrons de condução que estão livres para se mover Alguns desses elétrons de condução são desviados pela força na direção da face esquerda do cubo o que torna essa face negativamente carregada e deixa a face da direita positivamente carregada Fig 289d A separação de cargas produz um campo elétrico dirigido da face direita positivamente carregada para a face esquerda negativamente carregada Fig 289e Assim o potencial da face esquerda é menor e o potencial da face direita é maior b Qual é a diferença de potencial entre as faces de maior e menor potencial elétrico IDEIASCHAVE O campo elétrico criado pela separação de cargas faz com que cada elétron seja submetido a uma força elétrica Fig 289f Como q é negativa a força tem o sentido oposto ao de Assim aponta para a direita e aponta para a esquerda Quando o cubo penetra na região em que existe campo magnético e as cargas começam a se separar o módulo de começa a aumentar a partir de zero Assim o módulo de também começa a aumentar a partir de zero e é inicialmente menor que Nesse estágio inicial o movimento dos elétrons é dominado por que acumula elétrons na face esquerda do cubo aumentando a separação de cargas Fig 289g Figura 289 a Um cubo de metal que se move com velocidade constante na presença de um campo magnético uniforme bd Nessas vistas frontais a força magnética desloca os elétrons 3 para a face esquerda tornandoa negativa e deixando a face direita com uma carga positiva ef O campo elétrico resultante se opõe ao movimento dos elétrons mas eles continuam a se acumular na face esquerda Quando o campo elétrico atinge certo valor g a força elétrica se torna igual à força magnética e h a carga das faces laterais se estabiliza Com o aumento da separação de cargas chega um instante em que a força se torna igual em módulo à força Fig 28 9h Nesse instante a força total exercida sobre os elétrons é zero e os elétrons deixam de se acumular na face esquerda do cubo Assim o módulo de para de aumentar e o sistema entra em equilíbrio Cálculos Estamos interessados em calcular a diferença de potencial V entre a face esquerda e a face direita do cubo depois de atingido o equilíbrio que acontece quase instantaneamente Podemos obter o valor de V usando a Eq 289 V Ed mas para isso precisamos conhecer o módulo E do campo elétrico na condição de equilíbrio Para obter o valor de E usamos a equação de equilíbrio de forças FE FB Para calcular FE usamos a relação FE qE obtida a partir da Eq 281 para calcular FB usamos a relação FB qvB sen ϕ Eq 283 De acordo com a Fig 289a o ângulo ϕ entre os vetores e é 90o fazendo sen ϕ 1 e FE FB obtemos qE qvB sen 90o qvB Isso nos dá E vB e portanto V Ed se torna V vBd Substituindo os valores conhecidos obtemos 284 UMA PARTÍCULA CARREGADA EM MOVIMENTO CIRCULAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2820 No caso de uma partícula carregada que se move na presença de um campo magnético uniforme saber em que condições o movimento da partícula é retilíneo circular ou helicoidal 2821 No caso de uma partícula carregada que descreve um movimento circular sob a ação de uma força magnética obter a partir da segunda lei de Newton uma expressão para o raio r da circunferência em função do módulo B do campo magnético e da massa m carga q e velocidade v da partícula 2822 No caso de uma partícula carregada que descreve um movimento circular sob a ação de uma força magnética conhecer as relações entre a velocidade da partícula a força centrípeta a aceleração centrípeta e o raio período frequência e frequência angular do movimento e saber quais dessas grandezas não dependem da velocidade da partícula 2823 No caso de uma partícula positiva e uma partícula negativa que descrevem um movimento circular sob a ação de um campo magnético uniforme desenhar a trajetória das partículas e o vetor velocidade o vetor campo magnético o resultado do produto vetorial da velocidade pelo campo magnético e o vetor força magnética 2824 No caso de uma partícula carregada que descreve um movimento helicoidal sob a ação de um campo magnético desenhar a trajetória da partícula e o vetor campo magnético e indicar o passo o raio de curvatura a componente da velocidade paralela ao campo e a componente da velocidade perpendicular ao campo 2825 No caso de uma partícula carregada que descreve um movimento helicoidal na presença de um campo magnético conhecer a relação entre o raio de curvatura e uma das componentes da velocidade 2826 No caso de uma partícula carregada que descreve um movimento helicoidal na presença de um campo magnético conhecer a relação entre o passo e uma das componentes da velocidade IdeiasChave Uma partícula carregada de massa m e carga de valor absoluto q que se move com uma velocidade perpendicular a um campo magnético descreve uma trajetória circular Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento circular é possível demonstrar que e que portanto o raio da circunferência é dado por A frequência f a frequência angular ω e o período T do movimento são dados por Se a velocidade da partícula possui uma componente paralela ao campo magnético a partícula descreve um movimento helicoidal em torno do vetor Uma Partícula Carregada em Movimento Circular Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade constante podemos ter certeza de que a força que age sobre a partícula tem módulo constante e aponta para o centro da circunferência mantendose perpendicular à velocidade da partícula Pense em uma pedra amarrada a uma corda que gira em círculos em uma superfície horizontal sem atrito ou em um satélite que gira em torno da Terra em uma órbita circular No primeiro caso a tração da corda é responsável pela força e pela aceleração centrípeta no segundo a força e a aceleração são causadas pela atração gravitacional A Fig 2810 mostra outro exemplo Um feixe de elétrons é lançado em uma câmara por um canhão de elétrons G Os elétrons se movem no plano do papel com velocidade v em uma região na qual existe um campo magnético que aponta para fora do papel Em consequência uma força magnética age continuamente sobre os elétrons Uma vez que e são perpendiculares a força faz com que os elétrons descrevam uma trajetória circular A trajetória é visível na fotografia porque alguns dos elétrons colidem com átomos do gás presente na câmara fazendoos emitir luz Estamos interessados em determinar os parâmetros que caracterizam o movimento circular desses elétrons ou de qualquer outra partícula de carga q e massa m que se mova com velocidade v perpendicularmente a um campo magnético uniforme De acordo com a Eq 283 o módulo da força que age sobre a partícula é qvB De acordo com a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular Eq 618 temos Explicitando r vemos que o raio da trajetória circular é dado por Cortesia de Jearl Walker Figura 2810 Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena quantidade de gás a trajetória dos elétrons é o anel claro Na câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para fora do papel Note que a força magnética é radial para que o movimento seja circular é preciso que aponte para o centro da trajetória Utilize a regra da mão direita para produtos vetoriais a fim de confirmar que tem a direção apropriada Não se esqueça do sinal de q O período T o tempo necessário para completar uma revolução é igual à circunferência dividida pela velocidade A frequência f número de revoluções por minuto é dada por A frequência angular do movimento é portanto As grandezas T f e ω não dependem da velocidade da partícula contanto que a velocidade seja muito menor que a velocidade da luz Partículas velozes se movem em circunferências grandes e partículas lentas se movem em circunferências pequenas mas todas as partículas com a mesma razão entre carga e massa qm levam o mesmo tempo T o período para completar uma revolução Usando a Eq 282 é fácil mostrar que olhando no sentido de o sentido de rotação para uma partícula positiva é o sentido antihorário e o sentido de rotação para uma partícula negativa é o sentido horário Trajetórias Helicoidais Se a velocidade de uma partícula carregada tem uma componente paralela ao campo magnético uniforme a partícula descreve uma trajetória helicoidal cujo eixo é a direção do campo A Fig 2811a por exemplo mostra o vetor velocidade de uma dessas partículas separado em duas componentes uma paralela a e outra perpendicular a É a componente paralela que determina o passo p da hélice ou seja a distância entre espiras sucessivas Fig 2811b O raio da hélice e a grandeza que toma o lugar de v na Eq 2816 são determinados pela componente perpendicular A Fig 2811c mostra uma partícula carregada que se move em espiral na presença de um campo magnético não uniforme O espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo magnético é mais intenso nessas regiões Se o campo em uma das extremidades for suficientemente intenso a partícula será refletida de volta para o centro da região Quando a partícula é refletida nas duas extremidades dizemos que ela está aprisionada em uma garrafa magnética Figura 2811 a Uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético uniforme com a velocidade da partícula fazendo um ângulo ϕ com a direção do campo b A partícula descreve uma trajetória helicoidal de raio r e passo p c Uma partícula carregada se move em espiral na presença de um campo magnético não uniforme A partícula pode ser aprisionada passando a descrever um movimento de vaivém entre as regiões em que o campo é mais intenso Observe que nas duas extremidades a componente horizontal da força magnética aponta para o centro da região Teste 3 A figura mostra as trajetórias circulares de duas partículas que se movem com a mesma velocidade na presença de um campo magnético uniforme que aponta para dentro do papel Uma partícula é um próton a outra é um elétron que possui uma massa muito menor a Qual das partículas descreve a circunferência menor b Essa partícula se move no sentido horário ou no sentido antihorário Exemplo 2803 Movimento helicoidal de uma partícula carregada em um campo magnético Um elétron com uma energia cinética de 225 eV penetra em uma região onde existe um campo magnético de módulo 455 104 T O ângulo entre a direção de e a direção da velocidade do elétron é 655o Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron IDEIASCHAVE 1 O passo p é a distância que o elétron percorre paralelamente ao campo magnético durante um período T de revolução 2 O período T é dado pela Eq 2817 independentemente do ângulo entre e contanto que o ângulo não seja zero porque nesse caso a trajetória do elétron não será circular Cálculos De acordo com as Eqs 2820 e 2817 temos Podemos calcular a velocidade v do elétron a partir da energia cinética o resultado é v 281 106 ms Substituindo esse valor e outros valores conhecidos na Eq 2821 obtemos Exemplo 2804 Movimento circular uniforme de uma partícula carregada em um campo magnético A Fig 2812 ilustra o princípio de funcionamento do espectrômetro de massa um instrumento usado para medir a massa de íons Um íon de massa m a ser medida e carga q é produzido na fonte S e acelerado pelo campo elétrico associado a uma diferença de potencial V O íon entra em uma câmara de separação na qual existe um campo magnético uniforme perpendicular à sua velocidade O campo faz com que o íon descreva uma trajetória semicircular antes de atingir um detector situado na superfície inferior da câmara Suponha que B 80000 mT V 10000 V e que íons de carga q 16022 1019 C atinjam o detector em um ponto situado a uma distância x 16254 m do ponto de entrada na câmara Qual é a massa m dos íons em unidades de massa atômica Eq 17 1 u 16605 1027 kg IDEIASCHAVE 1 Como o campo magnético uniforme faz com que o íon descreva uma trajetória circular podemos relacionar a massa m do íon ao raio r da trajetória por meio da Eq 2816 r mvqB De acordo com a Fig 2812 r x2 o raio é metade do diâmetro e conhecemos o módulo B do campo magnético Entretanto não conhecemos a velocidade v dos íons depois que são acelerados pela diferença de potencial V 2 Para determinar a relação entre v e V usamos o fato de que a energia mecânica Emec K U é conservada durante a aceleração Cálculo da velocidade Quando o íon deixa a fonte a energia cinética é aproximadamente zero ao entrar na câmara a energia cinética aumentou para Além disso durante a aceleração o íon positivo sofre uma variação de potencial elétrico de V Como o íon possui uma carga positiva q a variação de energia potencial é qV De acordo com a lei de conservação da energia mecânica ΔK ΔU 0 e portanto Figura 2812 Princípio de funcionamento de um espectrômetro de massa Um íon positivo depois de ser gerado por uma fonte S e acelerado por uma diferença de potencial V penetra em uma câmara onde existe um campo magnético uniforme e descreve uma semicircunferência de raio r antes de atingir um detector a uma distância x do ponto em que penetrou na câmara Cálculo da massa Substituindo v pelo seu valor na Eq 2816 obtemos Explicitando m e substituindo os valores conhecidos temos 285 CÍCLOTRONS E SÍNCROTRONS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2827 Descrever o princípio de funcionamento de um cíclotron e mostrar em um desenho a trajetória de uma partícula em um cíclotron e as regiões em que a energia cinética da partícula aumenta 2828 Conhecer a condição de ressonância de um cíclotron 2829 Usar a condição de ressonância de um cíclotron para determinar a relação entre a massa da partícula a carga da partícula o campo magnético e a frequência do oscilador 2830 Saber a diferença entre um cíclotron e um síncrotron IdeiasChave Em um cíclotron partículas carregadas são aceleradas por forças elétricas enquanto descrevem uma trajetória espiral na presença de um campo magnético Em um síncrotron o campo magnético e a frequência do oscilador variam de modo a manter as partículas em uma trajetória circular Figura 2813 Diagrama esquemático de um cíclotron mostrando a fonte de partículas S e os dês Um campo magnético uniforme aponta para fora do papel As partículas descrevem uma trajetória espiral ganhando energia cada vez que atravessam o espaço entre os dês Cíclotrons e Síncrotrons Feixes de partículas de alta energia como elétrons e prótons têm sido imensamente úteis para os estudos de átomos e núcleos que têm por objetivo conhecer a estrutura fundamental da matéria Esses feixes foram fundamentais para a descoberta de que os núcleos atômicos são formados por prótons e nêutrons e para a descoberta de que os prótons e nêutrons são formados por quarks e glúons Como os elétrons e prótons possuem carga elétrica em princípio podemos acelerálos até que atinjam altas energias submetendoos a grandes diferenças de potencial No caso dos elétrons cuja massa é muito pequena é possível acelerálos dessa forma em uma distância razoável No caso dos prótons e de outras partículas carregadas porém como a massa é muito maior a distância necessária para a aceleração pode se tornar proibitiva Uma solução engenhosa consiste em acelerar os prótons e outras partículas pesadas com uma diferença de potencial relativamente pequena que imprime às partículas uma energia cinética relativamente pequena e usar um campo magnético para fazer com que passem várias vezes por essa mesma diferença de potencial Quando o processo é repetido milhares de vezes as partículas adquirem uma energia extremamente elevada Vamos agora discutir dois tipos de aceleradores de partículas que utilizam um campo magnético para conduzir as partículas repetidas vezes para uma região de aceleração onde ganham mais e mais energia até finalmente emergirem como um feixe de alta energia O Cíclotron A Fig 2813 mostra uma vista de topo da região de um cíclotron na qual circulam partículas prótons por exemplo As paredes das duas câmaras em forma de D abertas na face plana são feitas de cobre Os dês como são chamados estão ligados a um oscilador que alterna o potencial elétrico de tal forma que o campo elétrico na região entre os dês aponta ora em um sentido ora no sentido oposto Ao mesmo tempo é aplicado um campo magnético de alta intensidade dirigido para fora do plano da página O módulo B desse campo depende da corrente no eletroímã responsável pela produção do campo Suponha que um próton injetado pela fonte S situada no centro do cíclotron na Fig 2813 esteja inicialmente se movendo em direção ao dê da esquerda negativamente carregado O próton é atraído pelo dê e entra nele Depois de entrar fica isolado do campo elétrico pelas paredes de cobre do dê em outras palavras o campo elétrico não penetra nas câmaras O campo magnético porém não está sujeito aos efeitos das paredes de cobre um metal não magnético e portanto age sobre o próton fazendo com que ele descreva uma trajetória semicircular cujo raio que depende da velocidade é dado pela Eq 28 16 r mvqB Suponha que no instante em que o próton chega ao espaço central proveniente do dê da esquerda a diferença de potencial entre os dois dês seja invertida Nesse caso o próton é novamente atraído por um dê negativamente carregado e é novamente acelerado O processo continua com o movimento do próton sempre em fase com as oscilações do potencial até que a trajetória em espiral leve a partícula até a borda do sistema onde uma placa defletora a faz passar por um orifício e deixar um dos dês Frequência O funcionamento do cíclotron se baseia no fato de que a frequência f com a qual a partícula circula sob o efeito do campo magnético e que não depende da velocidade pode ser igual à frequência fosc do oscilador elétrico ou seja De acordo com essa condição de ressonância para que a energia da partícula aumente é preciso que a frequência fosc do oscilador elétrico seja igual à frequência com a qual a partícula circula sob o efeito do campo magnético Combinando as Eqs 2818 f qB2πm e 2823 podemos escrever a condição de ressonância na forma O oscilador é projetado para trabalhar em certa frequência fixa fosc Para sintonizar o cíclotron o valor de B é ajustado até que a Eq 2824 seja satisfeita o que faz com que muitos prótons circulem no aparelho e saiam pelo orifício na forma de um feixe de partículas de alta energia O Síncrotron O cíclotron convencional não funciona bem no caso de prótons com uma energia maior que 50 MeV porque a hipótese fundamental do projeto que a frequência de revolução de uma partícula carregada que circula na presença de um campo magnético não depende da velocidade é válida apenas para velocidades muito menores que a velocidade da luz Para velocidades acima de 10 da velocidade da luz devem ser usadas as equações da teoria da relatividade segundo as quais a frequência de revolução diminui progressivamente com aumento da velocidade Assim as partículas se atrasam em relação à frequência do oscilador que tem um valor fixo fosc e a energia da partícula passa a aumentar cada vez menos a cada revolução tendendo para um valor constante Existe outro problema Para um próton de 500 GeV em um campo magnético de 15 T o raio da trajetória é 11 km No caso de um cíclotron convencional o campo magnético teria que ser aplicado em toda a região limitada pela trajetória o que exigiria um ímã de tamanho descomunal ocupando uma área da ordem de 4 106 m2 O síncrotron foi criado para resolver os dois problemas Em vez de possuírem valores fixos como no cíclotron convencional o campo magnético B e a frequência do oscilador fosc variam com o tempo enquanto as partículas estão sendo aceleradas Quando isso é realizado de forma correta 1 a frequência de revolução das partículas permanece em fase com a frequência do oscilador 2 as partículas descrevem uma trajetória circular em vez de espiral Isso significa que o campo magnético precisa cobrir uma área bem menor correspondente a essa trajetória Mesmo assim no caso de partículas de alta energia o raio da trajetória deve ser muito grande2 Exemplo 2805 Aceleração de uma partícula carregada em um cíclotron A frequência do oscilador de um cíclotron é 12 MHz e o raio dos dês é R 53 cm a Qual é o módulo do campo magnético necessário para acelerar dêuterons nesse cíclotron A massa do dêuteron é m 334 1027 kg duas vezes maior que a massa do próton IDEIACHAVE De acordo com a Eq 2824 qB 2πmfosc para uma dada frequência do oscilador fosc o módulo do campo magnético B necessário para acelerar qualquer partícula em um cíclotron depende apenas da razão mq entre a massa e o valor absoluto da carga da partícula Cálculo No caso de dêuterons e para uma frequência do oscilador fosc 12 MHz temos Observe que para acelerar prótons B teria que ser dividido por 2 caso a frequência do oscilador permanecesse a mesma b Qual é a energia cinética dos dêuterons acelerados pelo cíclotron IDEIASCHAVE 1 A energia cinética de um dêuteron ao sair do cíclotron é igual à energia cinética que o dêuteron possuía quando estava descrevendo uma trajetória com um raio igual ao raio R do cíclotron 2 Podemos calcular a velocidade v do dêuteron nessa trajetória usando a Eq 2816 r mvqB Cálculos Explicitando v na Eq 2816 fazendo r R e substituindo os valores conhecidos obtemos Essa velocidade corresponde a uma energia cinética ou cerca de 17 MeV 286 FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2831 No caso de um campo magnético uniforme perpendicular a um fio que conduz uma corrente mostrar em um diagrama a direção do fio a direção do campo magnético e a direção da força magnética a que o fio é submetido 2832 No caso de um fio percorrido por uma corrente na presença de um campo magnético uniforme conhecer a relação entre o módulo FB da força magnética a corrente i o comprimento L do fio e o ângulo ϕ entre o vetor comprimento do fio e o vetor campo magnético 2833 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação da força magnética a que é submetido um fio que conduz uma corrente na presença de um campo magnético uniforme 2834 No caso de um fio percorrido por corrente na presença de um campo magnético uniforme determinar a força magnética calculando o produto vetorial do vetor comprimento do fio pelo vetor campo magnético 2835 Descrever o método usado para calcular a força que um campo magnético exerce sobre um fio percorrido por corrente quando o fio não é retilíneo ou quando o campo não é uniforme IdeiasChave Na presença de um campo magnético uniforme um fio percorrido por corrente é submetido a uma força dada por Na presença de um campo magnético um elemento de corrente é submetido a uma força dada por A orientação dos vetores e é a mesma da corrente i Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente Já vimos quando discutimos o efeito Hall que um campo magnético exerce uma força lateral sobre os elétrons que se movem em um fio Essa força naturalmente é transmitida para o fio já que os elétrons não podem deixálo Na Fig 2814a um fio vertical que não conduz corrente e está preso nas duas extremidades é colocado no espaço entre os polos de um ímã O campo magnético do ímã aponta para fora do papel Na Fig 2814b uma corrente para cima passa a circular no fio que se encurva para a direita Na Fig 28 14c o sentido da corrente é invertido e o fio se encurva para a esquerda A Fig 2815 mostra o que acontece no interior do fio da Fig 2814b Um dos elétrons se move para baixo com a velocidade de deriva vd De acordo com a Eq 283 neste caso com ϕ 90o uma força de módulo evdB age sobre o elétron De acordo com a Eq 282 a força aponta para a direita Esperamos portanto que o fio como um todo experimente uma força para a direita como mostra a Fig 2814b Se na Fig 2815 invertermos o sentido do campo magnético ou o sentido da corrente a força exercida sobre o fio mudará de sentido e passará a apontar para a esquerda Observe também que não importa se consideramos cargas negativas se movendo para baixo o que na realidade acontece ou cargas positivas se movendo para cima nos dois casos o sentido da força é o mesmo Podemos imaginar portanto para efeito dos cálculos que a corrente é constituída por cargas positivas Figura 2814 Um fio flexível passa entre os polos de um ímã apenas o polo mais distante aparece no desenho a Quando não há corrente o fio não se encurva para nenhum lado b Quando há uma corrente para cima o fio se encurva para a direita c Quando há uma corrente para baixo o fio se encurva para a esquerda As ligações necessárias para completar o circuito não são mostradas no desenho Figura 2815 Vista ampliada do fio da Fig 2814b O sentido da corrente é para cima o que significa que a velocidade de deriva dos elétrons aponta para baixo Um campo magnético que aponta para fora do papel faz com que os elétrons e o fio sejam submetidos a uma força para a direita Cálculo da Força Considere um trecho do fio de comprimento L Após um intervalo de tempo t Lvd todos os elétrons de condução desse trecho passam pelo plano xx da Fig 2815 Assim nesse intervalo de tempo uma carga dada por passa pelo plano xx Substituindo na Eq 283 obtemos A Eq 2825 permite calcular a força magnética que age sobre um trecho de fio retilíneo de comprimento L percorrido por uma corrente i e submetido a um campo magnético que é perpendicular ao fio Se o campo magnético não é perpendicular ao fio como na Fig 2816 a força magnética é dada por uma generalização da Eq 2825 Aqui é um vetor comprimento de módulo L com a mesma direção que o trecho de fio e o sentido convencional da corrente O módulo da força FB é dado por em que ϕ é o ângulo entre as direções de e A direção de é a do produto vetorial porque tomamos a corrente i como uma grandeza positiva De acordo com a Eq 2826 é perpendicular ao plano definido pelos vetores e como mostra a Fig 2816 A Eq 2826 é equivalente à Eq 282 no sentido de que qualquer das duas pode ser usada como equação de definição de Na prática definimos usando a Eq 2826 por ser muito mais fácil medir a força magnética que age sobre um fio percorrido por corrente do que a força que age sobre uma partícula em movimento Fio Curvo Se o fio não é retilíneo ou o campo não é uniforme podemos dividir mentalmente o fio em pequenos segmentos retilíneos e aplicar a Eq 2826 a cada segmento Nesse caso a força que age sobre o fio como um todo é a soma vetorial das forças que agem sobre os segmentos em que o fio foi dividido No caso de segmentos infinitesimais podemos escrever e calcular a força total que age sobre um fio integrando a Eq 2828 para todo o fio Ao aplicar a Eq 2828 é útil termos em mente que não existem segmentos isolados de comprimento dL percorridos por corrente deve sempre haver um meio de introduzir corrente em uma das extremidades do segmento e retirála na outra extremidade Figura 2816 Um fio percorrido por uma corrente i faz um ângulo ϕ com um campo magnético O fio tem um comprimento L e um vetor comprimento na direção da corrente Uma força magnética age sobre o fio Teste 4 A figura mostra a força magnética que age sobre um fio percorrido por uma corrente i ao ser submetido a um campo magnético uniforme Qual é a orientação do campo magnético Exemplo 2806 Força magnética em um fio percorrido por corrente Um fio horizontal retilíneo feito de cobre é percorrido por uma corrente i 28 A Determine o módulo e a orientação do menor campo magnético capaz de manter o fio suspenso ou seja equilibrar a força gravitacional A densidade linear massa por unidade de comprimento do fio é 466 gm IDEIASCHAVE 1 Como está sendo percorrido por uma corrente o fio sofre uma força magnética quando é submetido a um campo magnético Para equilibrar a força gravitacional que aponta para baixo precisamos de uma força magnética que aponte para cima Fig 2817 2 A orientação de está relacionada com as orientações de e do vetor comprimento do fio pela Eq 2826 Cálculos Como é horizontal e a corrente é tomada como positiva a Eq 2826 e a regra da mão direita para produtos vetoriais mostram que deve ser horizontal e apontar para a direita como na Fig 2817 para que a força seja para cima O módulo de é FB iLB sen ϕ Eq 2827 Como queremos que equilibre devemos ter em que mg é o módulo de e m é a massa do fio Como estamos interessados em calcular o menor valor de B para o qual equilibra devemos maximizar sen ϕ na Eq 2829 Para isso fazemos ϕ 90o o que significa que deve ser perpendicular ao fio Nesse caso sen ϕ 1 e a Eq 2829 nos dá Figura 2817 Um fio mostrado em seção reta percorrido por uma corrente elétrica para fora do papel Escrevemos o resultado dessa forma porque conhecemos mL a densidade linear do fio Substituindo os valores conhecidos obtemos Esse campo é aproximadamente 160 vezes maior que o campo magnético da Terra3 287 TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2836 Fazer um desenho de uma espira percorrida por uma corrente na presença de um campo magnético uniforme e indicar o sentido da corrente as forças magnéticas que agem sobre os quatro lados da espira o vetor normal e o sentido no qual o torque produzido pelas forças magnéticas faz a espira girar 2837 No caso de uma bobina percorrida por uma corrente na presença de um campo magnético uniforme conhecer a relação entre o módulo τ do torque o número N de espiras da bobina a área A das espiras a corrente i o módulo B do campo magnético e o ângulo θ entre o vetor normal e o vetor campo magnético IdeiasChave Uma espira retangular percorrida por uma corrente na presença de um campo magnético uniforme está sujeita a várias forças magnéticas mas a força resultante é zero O módulo do torque que age sobre uma bobina retangular percorrida por uma corrente na presença de um campo magnético uniforme é dado por τ NiAB sen θ em que N é o número de espiras da bobina A é a área das espiras i é a corrente B é o módulo do campo magnético e θ é o ângulo entre o vetor normal e o vetor campo magnético Torque em uma Espira Percorrida por Corrente Boa parte do trabalho do mundo é realizada por motores elétricos As forças responsáveis por esse trabalho são as forças magnéticas que estudamos no módulo anterior ou seja as forças que um campo magnético exerce sobre fios percorridos por correntes elétricas A Fig 2818 mostra um motor simples constituído por uma espira percorrida por uma corrente e submetida a um campo magnético As forças magnéticas e produzem um torque na espira que tende a fazêla girar em torno do eixo central Embora muitos detalhes essenciais tenham sido omitidos a figura mostra como o efeito de um campo magnético sobre uma espira percorrida por corrente produz um movimento de rotação Vamos analisar esse efeito A Fig 2819a mostra uma espira retangular de lados a e b percorrida por uma corrente i e submetida a um campo magnético uniforme Colocamos a espira no campo de tal forma que os lados mais compridos 1 e 3 estejam sempre perpendiculares ao campo que aponta para dentro do papel mas o mesmo não acontece com os lados mais curtos 2 e 4 Fios para introduzir e remover a corrente da espira são necessários mas não aparecem na figura Para definir a orientação da espira em relação ao campo magnético usamos um vetor normal que é perpendicular ao plano da espira A Fig 2819b ilustra o uso da regra da mão direita para determinar a direção de Quando os dedos da mão direita apontam na direção da corrente em um lado qualquer da espira o polegar estendido aponta na direção do vetor normal Figura 2818 Os elementos de um motor elétrico Uma espira retangular de fio percorrida por uma corrente e livre para girar em torno de um eixo é submetida a um campo magnético Forças magnéticas produzem um torque que faz a espira girar Um comutador que não aparece na figura inverte o sentido da corrente a cada meia revolução para que o torque tenha sempre o mesmo sentido Na Fig 2819c o vetor normal da espira é mostrado fazendo um ângulo θ com a orientação do campo magnético Estamos interessados em calcular a força total e o torque total que agem sobre a espira nessa orientação Torque Total A força total que age sobre a espira é a soma vetorial das forças que agem sobre os quatro lados No caso do lado 2 o vetor na Eq 2826 aponta na direção da corrente e tem módulo b O ângulo entre e para o lado 2 veja a Fig 2819c é 90o θ Assim o módulo da força que age sobre esse lado é É fácil mostrar que a força que age sobre o lado 4 tem o mesmo módulo que e o sentido oposto Assim e se cancelam A força total associada aos lados 2 e 4 é zero além disso como as duas forças estão aplicadas ao longo de uma reta que coincide com o eixo de rotação da espira o torque total produzido por essas forças também é zero A situação é diferente para os lados 1 e 3 Como nesse caso é perpendicular a o módulo das forças e é iaB independentemente do valor de θ Como têm sentidos opostos as duas forças não tendem a mover a espira para cima ou para baixo Entretanto como mostra a Fig 2819c as duas forças não estão aplicadas ao longo da mesma reta e portanto o torque associado a essas forças não é zero O torque tende a fazer a espira girar em um sentido tal que o vetor normal se alinhe com a direção do campo magnético Esse torque tem um braço de alavanca b2 sen θ em relação ao eixo da espira O módulo τ do torque produzido pelas forças e é portanto veja a Fig 2819c Figura 2819 Uma espira retangular de lados a e b percorrida por uma corrente i e submetida a um campo magnético uniforme Um torque τ tende a alinhar o vetor normal com a direção do campo a Vista da espira olhando na direção do campo magnético b Vista da espira em perspectiva mostrando como a regra da mão direita fornece a direção de que é perpendicular ao plano da espira c Vista lateral da espira com o lado 2 mais próximo do observador A espira tende a girar da forma indicada pelas setas curvas Bobina Suponha que a espira única seja substituída por uma bobina de N espiras Suponha ainda que as espiras sejam enroladas tão juntas que se possa supor que todas têm aproximadamente as mesmas dimensões e estão no mesmo plano Nesse caso as espiras formam uma bobina plana e um torque τ com o módulo dado pela Eq 2832 age sobre cada espira O módulo do torque total que age sobre a bobina é portanto em que A ab é a área limitada pela bobina O produto entre parênteses NiA foi separado por envolver as propriedades da bobina o número de espiras a corrente e a área A Eq 2833 é válida qualquer que seja a forma geométrica da bobina plana mas o campo magnético deve ser uniforme Por exemplo no caso de uma bobina circular de raio r Vetor Normal Em vez de acompanhar o movimento da bobina é mais fácil tomar como referência o vetor que é perpendicular ao plano da bobina De acordo com a Eq 2833 uma bobina plana percorrida por corrente e submetida a um campo magnético uniforme tende a girar até que fique alinhado com o campo Nos motores a corrente da bobina é invertida quando está prestes a se alinhar com a direção do campo para que o torque continue a fazer girar a bobina Essa inversão automática da corrente é executada por um comutador situado entre a bobina e os contatos estacionários que a alimentam com corrente 288 O MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2838 Saber que uma bobina percorrida por uma corrente se comporta como um dipolo magnético com um momento dipolar magnético que tem a direção do vetor normal dada pela regra da mão direita 2839 No caso de uma bobina percorrida por uma corrente conhecer a relação entre o módulo μ do momento dipolar magnético o número N de espiras a área A das espiras e a corrente i 2840 Fazer um desenho de uma bobina percorrida por uma corrente e indicar o sentido da corrente e o sentido do vetor momento dipolar magnético obtido usando a regra da mão direita 2841 No caso de um dipolo magnético submetido a um campo magnético conhecer a relação entre o módulo τ do torque o módulo μ do momento dipolar magnético o módulo B do campo magnético e o ângulo θ entre o momento dipolar magnético e o campo magnético 2842 Conhecer a convenção de atribuir um sinal positivo ou negativo ao torque dependendo do sentido da rotação 2843 Determinar o torque exercido por um campo magnético uniforme sobre um dipolo magnético calculando o produto vetorial do momento dipolar magnético pelo campo magnético 2844 No caso de um dipolo magnético submetido a um campo magnético uniforme conhecer as orientações do dipolo para as quais o módulo do torque é mínimo e máximo 2845 No caso de um dipolo magnético submetido a um campo magnético uniforme conhecer a relação entre a energia orientacional U o módulo μ do momento dipolar magnético o módulo B do campo magnético e o ângulo θ entre o momento dipolar magnético e o campo magnético 2846 Determinar a energia orientacional U de um dipolo magnético na presença de um campo magnético uniforme calculando o produto escalar do momento dipolar magnético pelo campo magnético 2847 No caso de um dipolo magnético submetido a um campo magnético uniforme conhecer as orientações do dipolo para as quais a energia orientacional é mínima e máxima 2848 No caso de um dipolo magnético submetido a um campo magnético uniforme conhecer a relação entre a variação da energia orientacional U do dipolo e o trabalho Wa realizado por um torque externo sobre o dipolo IdeiasChave Na presença de um campo magnético uma bobina com N espiras de área A percorridas por uma corrente i é submetida a um torque τʹ dado por em que é o momento dipolar magnético da bobina com módulo μ NiA e orientação dada pela regra da mão direita A energia potencial de um dipolo magnético na presença de um campo magnético uniforme é dada por Se um agente externo faz um dipolo magnético girar de uma orientação inicial θi para uma orientação final θf e se o dipolo está em repouso antes e depois da rotação o trabalho realizado pelo agente externo é dado por Wa ΔU Uf Ut O Momento Dipolar Magnético Como vimos uma bobina percorrida por uma corrente sofre um torque ao ser submetida a um campo magnético Sob este aspecto a bobina se comporta do mesmo modo que um ímã em forma de barra Assim como no caso de um ímã em forma de barra dizemos que uma bobina percorrida por uma corrente se comporta como um dipolo magnético Além disso para descrever o torque exercido sobre a bobina por um campo magnético associamos um momento dipolar magnético à bobina A direção de é a do vetor normal portanto é dada pela mesma regra da mão direita Fig 2819 Quando os dedos da mão direita apontam na direção da corrente na bobina o polegar estendido aponta na direção de O módulo de é dado por em que N é o número de espiras da bobina i é a corrente na bobina e A é a área das espiras da bobina Com base na Eq 2835 a unidade de no SI é o ampèremetro quadrado A m2 Torque Usando a definição de a equação para o torque exercido por um campo magnético sobre uma bobina Eq 2833 pode ser escrita na forma em que θ é o ângulo entre os vetores e Em forma vetorial a Eq 2836 se torna que se parece muito com a equação para o torque exercido por um campo elétrico sobre um dipolo elétrico Eq 2234 Nos dois casos o torque exercido pelo campo é igual ao produto vetorial do momento dipolar pelo campo Energia Na presença de um campo magnético um dipolo magnético possui uma energia que depende da orientação do momento dipolar em relação ao campo No caso de dipolos elétricos temos Eq 2238 Analogamente podemos escrever para o caso magnético Nos dois casos a energia é igual ao negativo do produto escalar do momento dipolar pelo campo A energia de um dipolo magnético tem o menor valor possível μB cos 0 μ B quando o momento dipolar aponta no mesmo sentido que o campo magnético Fig 2820 A energia tem o maior valor possível μB cos 180o μB quando o momento dipolar e o campo magnético apontam em sentidos opostos Analisando a Eq 2838 com U em joules e em teslas vemos que a unidade de pode ser o joule por tesla JT em vez do ampèremetro quadrado sugerido pela Eq 2835 Trabalho Quando um dipolo magnético submetido a um torque produzido por um agente externo gira de uma orientação inicial θi para uma orientação final θf o torque realiza um trabalho Wa sobre o dipolo Se o dipolo está em repouso antes e depois da rotação o trabalho Wa é dado por em que Uf e Ui são dadas pela Eq 2838 Até agora o único tipo de dipolo magnético que mencionamos foi o produzido por uma espira percorrida por corrente Entretanto um ímã em forma de barra e uma esfera carregada girando em torno do próprio eixo também produzem dipolos magnéticos A própria Terra produz um dipolo magnético aproximado Finalmente a maioria das partículas subatômicas como o elétron o próton e o nêutron possui um momento dipolar magnético Como vamos ver no Capítulo 32 todas essas entidades podem ser imaginadas como espiras percorridas por corrente A Tabela 282 mostra os momentos magnéticos de alguns objetos Terminologia Alguns livrostexto consideram a grandeza U da Eq 2838 como uma energia potencial e a relacionam ao trabalho realizado pelo campo magnético quando o dipolo muda de orientação Para evitar controvérsias preferimos dizer apenas que U é uma energia associada à orientação do dipolo4 Figura 2820 Orientações de maior e menor energia de um dipolo magnético no caso uma bobina percorrida por corrente na presença de um campo magnético externo O sentido da corrente i determina o sentido do momento dipolar magnético por meio da regra da mão direita mostrada para na Fig 2819b Tabela 282 Alguns Momentos Dipolares Magnéticos Ímã pequeno 5 JT Terra 80 H 1022 JT Próton 14 H 1026 JT Elétron 93 H 1024 JT Teste 5 A figura mostra quatro orientações de um momento dipolar magnético em relação a um campo magnético definidas por um ângulo θ Coloque as orientações na ordem decrescente a do módulo do torque exercido sobre o dipolo e b da energia orientacional do dipolo Exemplo 2807 Rotação de um dipolo magnético em um campo magnético A Fig 2821 mostra uma bobina circular de 250 espiras com uma área A de 252 104 m2 percorrida por uma corrente de 100 μA A bobina está em repouso em um campo magnético uniforme de módulo B 085 T com seu momento dipolar magnético inicialmente alinhado com a Qual é o sentido da corrente na bobina da Fig 2821 Regra da mão direita Envolva a bobina com a mão direita com o polegar estendido na direção de Os dedos da mão vão apontar no sentido da corrente Assim nos fios do lado mais próximo da bobina aqueles que são visíveis na Fig 2821 o sentido da corrente é de cima para baixo b Que trabalho o torque aplicado por um agente externo teria que realizar sobre a bobina para fazêla girar de 90o em relação à orientação inicial isto é para tornar perpendicular a com a bobina novamente em repouso Figura 2821 Vista lateral de uma bobina circular percorrida por uma corrente e orientada de tal forma que o momento dipolar magnético está alinhado com o campo magnético IDEIACHAVE O trabalho Wa realizado pelo torque aplicado é igual à variação da energia potencial da bobina devido à mudança da orientação Cálculos De acordo com a Eq 2839 Wa Uf Ui temos Usando a Eq 2835 μ NiA obtemos Da mesma forma é possível mostrar que para fazer a bobina girar mais 90o fazendo com que o momento dipolar tenha o sentido oposto ao do campo o torque precisa realizar um trabalho adicional de 54 μJ Revisão e Resumo Campo Magnético O campo magnético é definido em termos da força que age sobre uma partícula de prova de carga q que está se movendo com velocidade na presença do campo A unidade de do SI é o tesla T 1 T 1 NA m 104 gauss O Efeito Hall Quando uma fita condutora percorrida por uma corrente i é submetida a um campo magnético alguns portadores de corrente de carga e se acumulam em um dos lados da fita criando uma diferença de potencial V entre os lados da fita As polaridades dos lados indicam o sinal dos portadores de corrente Uma Partícula Carregada em Movimento Circular Uma partícula carregada de massa m e carga de valor absoluto q que está se movendo com velocidade perpendicularmente a um campo magnético uniforme descreve uma trajetória circular Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento temos e portanto o raio r da circunferência é dado por A frequência de revolução f a frequência angular ω e o período do movimento T são dados por Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente Um fio retilíneo percorrido por uma corrente i e submetido a um campo magnético uniforme experimenta uma força lateral A força que age sobre um elemento de corrente i na presença de um campo magnético é dada por O sentido do vetor comprimento ou é o mesmo da corrente i Torque em uma Espira Percorrida por Corrente Uma bobina de área A e N espiras percorrida por uma corrente i na presença de um campo magnético uniforme experimenta um torque dado por em que é o momento dipolar magnético da bobina de módulo μ NiA cuja direção é dada pela regra da mão direita Energia Orientacional de um Dipolo Magnético A energia orientacional de um dipolo magnético na presença de um campo magnético é dada por Se um agente externo faz um dipolo magnético girar de uma orientação inicial θi para uma orientação final θf e se o dipolo está em repouso antes e depois da rotação o trabalho Wa realizado pelo agente externo sobre o dipolo é dado por Perguntas 1 A Fig 2822 mostra três situações nas quais uma partícula positivamente carregada se move com velocidade na presença de um campo magnético uniforme e experimenta uma força magnética Em cada situação determine se as orientações dos vetores são fisicamente razoáveis Figura 2822 Pergunta 1 2 A Fig 2823 mostra um fio percorrido por corrente na presença de um campo magnético uniforme Mostra também quatro orientações possíveis para o campo a Coloque as direções na ordem decrescente do valor absoluto da diferença de potencial elétrico entre os lados do fio b Para qual orientação do campo magnético o lado de cima do fio está a um potencial mais alto que o lado de baixo Figura 2823 Pergunta 2 3 A Fig 2824 mostra um paralelepípedo metálico que se move a uma velocidade v na presença de um campo magnético uniforme As dimensões do sólido são múltiplos de d como mostra a figura Existem seis possibilidades para a orientação da velocidade o sentido positivo ou o sentido negativo dos eixos x y e z a Coloque as seis possibilidades na ordem decrescente da diferença de potencial a que o sólido é submetido b Para qual orientação a face dianteira é submetida ao menor potencial Figura 2824 Pergunta 3 4 A Fig 2825 mostra a trajetória de uma partícula que passa por seis regiões de campo magnético uniforme descrevendo trajetórias que são semicircunferências ou quartos de circunferência Depois de sair da última região a partícula passa entre duas placas paralelas eletricamente carregadas e é desviada na direção da placa de maior potencial Qual é a orientação do campo magnético em cada uma das seis regiões Figura 2825 Pergunta 4 5 No Módulo 282 discutimos o movimento de uma partícula carregada na presença de campos cruzados com as forças e em oposição Vimos que a partícula se move em linha reta ou seja as duas forças se equilibram se a velocidade for dada pela Eq 287 v EB Qual das duas forças é maior se a velocidade da partícula for a v EB e b v EB 6 A Fig 2826 mostra campos elétricos e magnéticos uniformes cruzados e e em um dado instante os vetores velocidade das 10 partículas carregadas que aparecem na Tabela 283 Os vetores não estão desenhados em escala As velocidades dadas na tabela são menores ou maiores que EB veja a Pergunta 5 Que partículas se movem para fora do papel em direção ao leitor após o instante mostrado na Fig 2826 Figura 2826 Pergunta 6 Tabela 283 Pergunta 6 Partícula Carga Velocidade 1 Menor 2 Maior 3 Menor 4 Maior 5 Menor 6 Maior 7 Menor 8 Maior 9 Menor 10 Maior 7 A Fig 2827 mostra a trajetória de um elétron que passa por duas regiões onde existem campos magnéticos uniformes de módulos B1 e B2 A trajetória nas duas regiões é uma semicircunferência a Qual dos dois campos é mais intenso b Qual é a orientação de cada campo c O tempo que o elétron passa na região de campo é maior menor ou igual ao tempo que passa na região de campo Figura 2827 Pergunta 7 8 A Fig 2828 mostra a trajetória de um elétron em uma região na qual o campo magnético é uniforme A trajetória é constituída por dois trechos retilíneos entre dois pares de placas uniformemente carregadas e duas semicircunferências a Qual das duas placas superiores possui o maior potencial elétrico b Qual das duas placas inferiores possui o maior potencial elétrico c Qual é a orientação do campo magnético Figura 2828 Pergunta 8 9 a No Teste 5 se um agente externo faz o momento dipolar girar da orientação 2 para a orientação 1 o trabalho realizado pelo agente externo sobre o dipolo é positivo negativo ou nulo b Coloque em ordem decrescente o trabalho realizado pelo agente externo sobre o dipolo para as três rotações a seguir 2 1 2 4 2 3 10 Ciranda de partículas A Fig 2829 mostra 11 trajetórias em uma região onde existe um campo magnético uniforme Uma trajetória é retilínea e as outras são semicircunferências A Tabela 284 mostra as massas cargas e velocidades das 11 partículas Associe as trajetórias da figura às partículas da tabela A orientação do campo magnético pode ser determinada a partir da trajetória de uma das partículas Figura 2829 Pergunta 10 Tabela 284 Pergunta 10 Partícula Massa Carga Velocidade 1 2m q v 2 m 2q v 3 m2 q 2v 4 3m 3q 3v 5 2m q 2v 6 m q 2v 7 m 4q v 8 m q v 9 2m 2q 3v 10 m 2q 8v 11 3m 0 3v 11 Na Fig 2830 uma partícula carregada entra com velocidade escalar v0 em uma região onde existe um campo magnético uniforme descreve uma semicircunferência em um intervalo de tempo T0 e deixa a região a A carga da partícula é positiva ou negativa b A velocidade final da partícula é maior menor ou igual a v0 c Se a velocidade inicial fosse 05v0 a partícula passaria um tempo maior menor ou igual a T0 na região onde existe campo magnético d Na situação do item c a trajetória seria uma semicircunferência um arco maior que uma semicircunferência ou um arco menor que uma semicircunferência Figura 2830 Pergunta 11 12 A Fig 2831 mostra três situações nas quais uma partícula de carga positiva passa em uma região onde existe um campo magnético uniforme A velocidade tem o mesmo módulo nas três situações Coloque as situações na ordem decrescente a do período b da frequência e c do passo do movimento da partícula Figura 2831 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LT C Rio de Janeiro 2008 Módulo 281 Campos Magnéticos e a Definição de 1 Um próton cuja trajetória faz um ângulo de 23o com a direção de um campo magnético de 260 mT experimenta uma força magnética de 650 1017 N Calcule a a velocidade do próton e b a energia cinética do próton em elétronsvolts 2 Uma partícula com massa de 10 g e carga de 80 μC se move em uma região onde existe um campo magnético uniforme e a aceleração da gravidade é 98 ms2 A velocidade da partícula é constante e igual a 20 kms perpendicular ao campo magnético Qual é o campo magnético 3 Um elétron com uma velocidade está se movendo em uma região em que existe um campo magnético uniforme a Determine a força que age sobre o elétron b Repita o cálculo para um próton com a mesma velocidade 4 Uma partícula alfa se move com uma velocidade de módulo 550 ms em uma região onde existe um campo magnético de módulo 0045 T Uma partícula alfa possui uma carga de 32 1019 C e uma massa de 66 1027 kg O ângulo entre e é 52o Determine a o módulo da força que o campo magnético exerce sobre a partícula e b a aceleração da partícula causada por c A velocidade da partícula aumenta diminui ou permanece constante 5 Um elétron se move em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por Em um dado instante o elétron tem uma velocidade ms e a força magnética que age sobre a partícula é 64 1019 N Determine Bx 6 Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por mT No instante t1 o próton possui uma velocidade dada por e a força magnética que age sobre o próton é 40 1017 N 20 1017 N Qual é nesse instante o valor a de vx e b de vy Módulo 282 Campos Cruzados A Descoberta do Elétron 7 Um elétron possui uma velocidade inicial de 120 150 kms e uma aceleração constante de 200 1012 ms2 em uma região na qual existem um campo elétrico e um campo magnético ambos uniformes Se 400 μT determine o campo elétrico 8 Um campo elétrico de 150 kVm e um campo magnético perpendicular de 0400 T agem sobre um elétron em movimento sem acelerálo Qual é a velocidade do elétron 9 Na Fig 2832 um elétron acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial V1 100 kV entra no espaço entre duas placas paralelas separadas por uma distância d 200 mm entre as quais existe uma diferença de potencial V2 100 V A placa inferior está a um potencial menor Despreze o efeito de borda e suponha que o vetor velocidade do elétron é perpendicular ao vetor campo elétrico na região entre as placas Em termos dos vetores unitários qual é o valor do campo magnético uniforme para o qual a trajetória do elétron na região entre as placas é retilínea Figura 2832 Problema 9 10 Um próton está se movendo em uma região onde existem um campo magnético e um campo elétrico ambos uniformes O campo magnético é 250 mT Em um dado instante a velocidade do próton é 2000 ms Nesse instante em termos dos vetores unitários qual é a força que age sobre o próton se o campo magnético é a 400 Vm e b 400 Vm e c 400 Vm 11 Uma fonte de íons está produzindo íons de 6Li que possuem carga e e massa 999 1027 kg Os íons são acelerados por uma diferença de potencial de 10 kV e passam horizontalmente em uma região onde existe um campo magnético uniforme vertical de módulo B 12 T Calcule a intensidade do menor campo elétrico que aplicado na mesma região permite que os íons de 6Li atravessem a região sem sofrer um desvio 12 No instante t1 um elétron que está se movendo no sentido positivo do eixo x penetra em uma região onde existem um campo elétrico e um campo magnético com paralelo ao eixo y A Fig 28 33 mostra a componente y da força total Ftoty exercida pelos dois campos sobre o elétron em função da velocidade v do elétron no instante t1 A escala do eixo horizontal é definida por vs 1000 ms As componentes x e z da força total são zero no instante t1 Supondo que Bx 0 determine a o módulo E do campo elétrico e b o campo magnético em termos dos vetores unitários Figura 2833 Problema 12 Módulo 283 Campos Cruzados O Efeito Hall 13 Uma fita de cobre com 150 μm de espessura e 45 mm de largura é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 065 T com perpendicular à fita Quando uma corrente i 23 A atravessa a fita uma diferença de potencial V aparece entre as bordas da fita Calcule o valor de V A concentração de portadores de corrente no cobre é 847 1028 elétronsm3 14 Uma fita metálica com 650 cm de comprimento 0850 cm de largura e 0760 mm de espessura está se movendo com velocidade constante em uma região onde existe um campo magnético uniforme B 120 mT perpendicular à fita como mostra a Fig 2834 A diferença de potencial entre os pontos x e y da fita é 390 μV Determine a velocidade escalar v Figura 2834 Problema 14 15 Na Fig 2835 um paralelepípedo metálico de dimensões dx 500 m dy 300 m e dz 200 m está se movendo com velocidade constante 200 ms em uma região onde existe um campo magnético uniforme 300 mT Determine a o campo elétrico no interior do objeto em termos dos vetores unitários e b a diferença de potencial entre as extremidades do objeto 16 A Fig 2835 mostra um paralelepípedo metálico com as faces paralelas aos eixos coordenados O objeto está imerso em um campo magnético uniforme de módulo 0020 T Uma das arestas do objeto que não está desenhado em escala mede 25 cm O objeto é deslocado a uma velocidade de 30 ms paralelamente aos eixos x y e z e a diferença de potencial V que aparece entre as faces do objeto é medida Quando o objeto se desloca paralelamente ao eixo y V 12 V quando o objeto se desloca paralelamente ao eixo z V 18 mV quando o objeto se desloca paralelamente ao eixo x V 0 Determine as dimensões a dx b dy e c dz do objeto Figura 2835 Problemas 15 e 16 Módulo 284 Uma Partícula Carregada em Movimento Circular 17 A partícula alfa que é produzida em alguns decaimentos radioativos de núcleos atômicos é formada por dois prótons e dois nêutrons A partícula tem uma carga q 2e e uma massa de 400 u em que u é a unidade de massa atômica 1 u 1661 1027 kg Suponha que uma partícula alfa descreva uma trajetória circular de raio 450 cm na presença de um campo magnético uniforme de módulo B 120 T Determine a a velocidade da partícula b o período de revolução da partícula c a energia cinética da partícula e d a diferença de potencial a que a partícula teria que ser submetida para adquirir a energia cinética calculada no item c 18 Na Fig 2836 uma partícula descreve uma trajetória circular em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B 400 mT A partícula é um próton ou um elétron a identidade da partícula faz parte do problema e está sujeita a uma força magnética de módulo 320 1015 N Determine a a velocidade escalar da partícula b o raio da trajetória e c o período do movimento Figura 2836 Problema 18 19 Uma partícula penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme com o vetor velocidade da partícula perpendicular à direção do campo A Fig 2837 mostra o período T do movimento da partícula em função do recíproco do módulo B do campo A escala do eixo vertical é definida por Ts 400 ns e a escala do eixo horizontal é definida por Qual é a razão mq entre a massa da partícula e o valor absoluto da carga Figura 2837 Problema 19 20 Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial V e penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme na qual descreve um movimento circular uniforme A Fig 2838 mostra o raio r da circunferência descrita pelo elétron em função de V12 A escala do eixo vertical é definida por rs 300 mm e a escala do eixo horizontal é definida por Qual é o módulo do campo magnético Figura 2838 Problema 20 21 Um elétron de energia cinética 120 keV descreve uma trajetória circular em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme O raio da órbita é 250 cm Determine a a velocidade escalar do elétron b o módulo do campo magnético c a frequência de revolução e d o período do movimento 22 Em um experimento de física nuclear um próton com uma energia cinética de 10 MeV descreve uma trajetória circular em um campo magnético uniforme Qual deve ser a energia a de uma partícula alfa q 2e m 40 u e b de um dêuteron q e m 20 u para que a trajetória da partícula seja igual à do próton 23 Qual é o valor do campo magnético uniforme aplicado perpendicularmente a um feixe de elétrons que se movem com uma velocidade de 130 106 ms que faz com que a trajetória dos elétrons seja um arco de circunferência com 0350 m de raio 24 Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial de 350 V Em seguida o elétron entra em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo 200 mT com uma velocidade perpendicular ao campo Calcule a a velocidade escalar do elétron e b o raio da trajetória do elétron na região onde existe campo magnético 25 a Determine a frequência de revolução de um elétron com uma energia de 100 eV em um campo magnético uniforme de módulo 350 μT b Calcule o raio da trajetória do elétron se sua velocidade é perpendicular ao campo magnético 26 Na Fig 2839 uma partícula carregada penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme descreve uma semicircunferência e deixa a região A partícula que pode ser um próton ou um elétron a identidade da partícula faz parte do problema passa 130 ns na região a Qual é o módulo de b Se a partícula é enviada de volta para a região onde existe campo magnético com uma energia duas vezes maior quanto tempo ela passa na região Figura 2839 Problema 26 27 Um espectrômetro de massa Fig 2812 é usado para separar íons de urânio de massa 392 1025 kg e carga 320 1019 C de íons semelhantes Os íons são submetidos a uma diferença de potencial de 100 kV e depois a um campo magnético uniforme que os faz descreverem um arco de circunferência com 100 m de raio Após sofrerem um desvio de 180o e passarem por uma fenda com 100 mm de largura e 100 cm de altura os íons são recolhidos em um recipiente a Qual é o módulo do campo magnético perpendicular do separador Se o aparelho é usado para separar 100 mg de material por hora calcule b a corrente dos íons selecionados pelo aparelho e c a energia térmica produzida no recipiente em 100 h 28 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com 261 μm de raio em um campo magnético uniforme O módulo da força magnética experimentada pela partícula é 160 1017 N Qual é a energia cinética da partícula 29 Um elétron descreve uma trajetória helicoidal em um campo magnético uniforme de módulo 0300 T O passo da hélice é 600 μm e o módulo da força magnética experimentada pelo elétron é 200 1015 N Qual é a velocidade do elétron 30 Na Fig 2840 um elétron com uma energia cinética inicial de 40 keV penetra na região 1 no instante t 0 Nessa região existe um campo magnético uniforme de módulo 0010 T que aponta para dentro do papel O elétron descreve uma semicircunferência e deixa a região 1 dirigindose para a região 2 situada a 250 cm de distância da região 1 Existe uma diferença de potencial ΔV 2000 V entre as duas regiões com uma polaridade tal que a velocidade do elétron aumenta no percurso entre a região 1 e a região 2 Na região 2 existe um campo magnético uniforme de módulo 0020 T que aponta para fora do papel O elétron descreve uma semicircunferência e deixa a região 2 Determine o instante t em que isso acontece Figura 2840 Problema 30 31 Uma partícula subatômica decai em um elétron e um pósitron Suponha que no instante do decaimento a partícula está em repouso em um campo magnético uniforme de módulo 353 mT e que as trajetórias do elétron e do pósitron resultantes do decaimento estão em um plano perpendicular a Quanto tempo após o decaimento o elétron e o pósitron se chocam 32 Uma fonte injeta um elétron de velocidade v 15 107 ms em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B 10 103 T A velocidade do elétron faz um ângulo θ 10o com a direção do campo magnético Determine a distância d entre o ponto de injeção e o ponto em que o elétron cruza novamente a linha de campo que passa pelo ponto de injeção 33 Um pósitron com energia cinética de 200 keV penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo 0100 T O vetor velocidade da partícula faz um ângulo de 890o com Determine a o período do movimento b o passo p e c o raio r da trajetória helicoidal 34 Um elétron descreve uma trajetória helicoidal na presença de um campo magnético uniforme dado por mT No instante t 0 a velocidade do elétron é dada por 20 30 50 ms a Qual é o ângulo ϕ entre e A velocidade do elétron varia com o tempo b A velocidade escalar varia com o tempo c O ângulo ϕ varia com o tempo d Qual o raio da trajetória Módulo 285 Cíclotrons e Síncrotrons 35 Um próton circula em um cíclotron depois de partir aproximadamente do repouso no centro do aparelho Toda vez que ele passa pelo espaço entre os dês a diferença de potencial entre os dês é de 200 V a Qual é o aumento da energia cinética cada vez que o próton passa no espaço entre os dês b Qual é a energia cinética do próton depois de passar 100 vezes pelo espaço entre os dês Seja r100 o raio da trajetória circular do próton no momento em que completa as 100 passagens e entra em um dê e seja r101 o raio após a passagem seguinte c Qual é o aumento percentual do raio de r100 para r101 ou seja qual é o valor de 36 Um cíclotron no qual o raio dos dês é 530 cm é operado a uma frequência de 120 MHz para acelerar prótons a Qual deve ser o módulo B do campo magnético para que haja ressonância b Para esse valor do campo qual é a energia cinética dos prótons que saem do cíclotron Suponha que o campo seja mudado para 157 T c Qual deve ser a nova frequência do oscilador para que haja ressonância d Para esse valor da frequência qual é a energia cinética dos prótons que saem do cíclotron 37 Estime a distância total percorrida por um dêuteron em um cíclotron com um raio de 53 cm e uma frequência de 12 MHz durante todo o processo de aceleração Suponha que a diferença de potencial entre os dês é de 80 kV 38 Em certo cíclotron um próton descreve uma circunferência com 0500 m de raio O módulo do campo magnético é 120 T a Qual é a frequência do oscilador b Qual é a energia cinética do próton em elétronsvolts Módulo 286 Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente 39 Uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 5000 A no sentido sulnorte O campo magnético da Terra 600 μT aponta para o norte e faz um ângulo de 700o com a horizontal Determine a o módulo e b a direção da força magnética exercida pelo campo magnético da Terra sobre 100 m da linha 40 Um fio de 180 m de comprimento é percorrido por uma corrente de 130 A e faz um ângulo de 350o com um campo magnético uniforme de módulo B 150 T Calcule a força magnética exercida pelo campo sobre o fio 41 Um fio com 130 g de massa e L 620 cm de comprimento está suspenso por um par de contatos flexíveis na presença de um campo magnético uniforme de módulo 0440 T Fig 2841 Determine a o valor absoluto e b o sentido para a direita ou para a esquerda da corrente necessária para remover a tração dos contatos Figura 2841 Problema 41 42 O fio dobrado da Fig 2842 está submetido a um campo magnético uniforme Cada trecho retilíneo tem 20 m de comprimento e faz um ângulo θ 60o com o eixo x O fio é percorrido por uma corrente de 20 A Qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio em termos dos vetores unitários se o campo magnético é a 40 T e b 40 T Figura 2842 Problema 42 43 Uma bobina de uma espira percorrida por uma corrente de 400 A tem a forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 500 120 e 130 cm A bobina é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 750 mT paralelo à corrente no lado de 130 cm Determine o módulo da força magnética a no lado de 130 cm b no lado de 500 cm e c no lado de 120 cm d Determine a força total que o campo magnético exerce sobre a espira 44 A Fig 2843 mostra um anel circular de fio com raio a 18 cm submetido a um campo magnético divergente de simetria radial O campo magnético em todos os pontos do anel tem o mesmo módulo B 34 mT é perpendicular ao anel e faz um ângulo θ 20o com a normal ao plano do anel A influência dos fios de alimentação da espira pode ser desprezada Determine o módulo da força que o campo exerce sobre a espira se a corrente na espira é i 46 mA Figura 2843 Problema 44 45 Um fio de 500 cm de comprimento é percorrido por uma corrente de 0500 A no sentido positivo do eixo x na presença de um campo magnético 300 mT 100 mT Em termos dos vetores unitários qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio 46 Na Fig 2844 um fio metálico de massa m 241 mg pode deslizar com atrito desprezível em dois trilhos paralelos horizontais separados por uma distância d 256 cm O conjunto está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo 563 mT No instante t 0 um gerador G é ligado aos trilhos e produz uma corrente constante i 913 mA no fio e nos trilhos mesmo quando o fio está se movendo No instante t 611 ms determine a a velocidade escalar do fio e b o sentido do movimento do fio para a esquerda ou para a direita Figura 2844 Problema 46 47 Uma barra de cobre de 10 kg repousa em dois trilhos horizontais situados a 10 m de distância um do outro e é percorrida por uma corrente de 50 A O coeficiente de atrito estático entre a barra e trilhos é 060 Determine a o módulo e b o ângulo em relação à vertical do menor campo magnético que faz a barra se mover 48 Um condutor longo rígido retilíneo situado no eixo x é percorrido por uma corrente de 50 A no sentido negativo do eixo x Um campo magnético está presente dado por 30 80x2 com x em metros e em militeslas Determine em termos dos vetores unitários a força exercida pelo campo sobre o segmento de 20 m do condutor entre os pontos x 10 m e x 30 m Módulo 287 Torque em uma Espira Percorrida por Corrente 49 A Fig 2845 mostra uma bobina retangular de cobre de 20 espiras com 10 cm de altura e 5 cm de largura A bobina que conduz uma corrente de 010 A e dispõe de uma dobradiça em um dos lados verticais está montada no plano xy fazendo um ângulo θ 30o com a direção de um campo magnético uniforme de módulo 050 T Em termos dos vetores unitários qual é o torque em relação à dobradiça que o campo exerce sobre a bobina Figura 2845 Problema 49 50 Um elétron se move em uma circunferência de raio r 529 1011 m com uma velocidade de 219 106 ms Trate a trajetória circular como uma espira percorrida por uma corrente constante igual à razão entre a carga do elétron e o período do movimento Se a trajetória do elétron está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B 710 mT qual é o maior valor possível do módulo do torque aplicado pelo campo à espira 51 A Fig 2846 mostra um cilindro de madeira de massa m 0250 kg e comprimento L 0100 m com N 100 espiras de fio enroladas longitudinalmente para formar uma bobina o plano da bobina passa pelo eixo do cilindro O cilindro é liberado a partir do repouso em um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal com o plano da bobina paralelo ao plano inclinado Se o conjunto é submetido a um campo magnético uniforme de módulo 0500 T qual é a menor corrente i na bobina que impede que o cilindro entre em movimento Figura 2846 Problema 51 52 Na Fig 2847 uma bobina retangular percorrida por corrente está no plano de um campo magnético uniforme de módulo 0040 T A bobina é formada por uma única espira de fio flexível enrolado em um suporte flexível que permite mudar as dimensões do retângulo O comprimento total do fio permanece inalterado Quando o comprimento x de um dos lados do retângulo varia de aproximadamente zero para o valor máximo de aproximadamente 40 cm o módulo τ do torque passa por um valor máximo de 480 108 N m Qual é a corrente na bobina Figura 2847 Problema 52 53 Prove que a relação τ NiAB sen θ não é válida apenas para a espira retangular da Fig 2819 mas também para uma espira fechada com qualquer forma geométrica Sugestão Substitua a espira de forma arbitrária por um conjunto de espiras longas finas aproximadamente retangulares muito próximas umas das outras que sejam quase equivalentes à espira de forma arbitrária no que diz respeito à distribuição de corrente Módulo 288 O Momento Dipolar Magnético 54 Um dipolo magnético com um momento dipolar de módulo 0020 JT é liberado a partir do repouso em um campo magnético uniforme de módulo 52 mT e gira livremente sob a ação da força magnética Quando o dipolo está passando pela orientação na qual o momento dipolar está alinhado com o campo magnético sua energia cinética é 080 mJ a Qual é o ângulo inicial entre o momento dipolar e o campo magnético b Qual é o ângulo quando o dipolo volta a ficar momentaneamente em repouso 55 Duas espiras circulares concêntricas de raios r1 200 cm e r2 300 cm estão situadas no plano xy ambas são percorridas por uma corrente de 700 A no sentido horário Fig 2848 a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido 56 Uma espira circular de 150 cm de raio conduz uma corrente de 260 A A normal ao plano da espira faz um ângulo de 410o com um campo magnético uniforme de módulo 120 T a Calcule o módulo do momento dipolar magnético da espira b Qual é o módulo do torque que age sobre a espira Figura 2848 Problema 55 57 Uma bobina circular de 160 espiras tem um raio de 190 cm a Calcule a corrente que resulta em um momento dipolar magnético de módulo 230 A m2 b Determine o valor máximo do torque a que a bobina é submetida quando sendo percorrida por essa corrente é colocada na presença de um campo magnético uniforme de módulo 350 mT 58 O módulo de momento dipolar magnético da Terra é 800 1022 JT Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra Se o raio da trajetória dessas cargas é 3500 km calcule a corrente associada 59 Uma espira que conduz uma corrente de 50 A tem a forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 30 40 e 50 cm A espira é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mT paralelo à corrente no lado de 50 cm da bobina Determine o módulo a do momento dipolar magnético da bobina e b do torque sobre a bobina 60 A Fig 2849 mostra uma espira ABCDEFA percorrida por uma corrente i 500 A Os lados da espira são paralelos aos eixos coordenados com AB 200 cm BC 300 cm e FA 100 cm Em termos dos vetores unitários qual é o momento dipolar magnético da espira Sugestão Imagine correntes iguais e opostas no segmento AD e calcule o momento produzido por duas espiras retangulares ABCDA e ADEFA Figura 2849 Problema 60 61 A bobina da Fig 2850 conduz uma corrente i 200 A no sentido indicado é paralela ao plano xz possui 300 espiras tem uma área de 400 103 m2 e está submetida a um campo magnético uniforme mT Determine a a energia orientacional da bobina na presença do campo magnético e b o torque magnético na notação dos vetores unitários a que está sujeita a bobina Figura 2850 Problema 61 62 Na Fig 2851a duas espiras concêntricas situadas no mesmo plano são percorridas por correntes em sentidos contrários A corrente i1 na espira 1 é fixa e a corrente i2 na espira 2 é variável A Fig 2851b mostra o momento magnético total do sistema em função de i2 A escala do eixo vertical é definida por μtots 20 105 A m2 e a escala do eixo horizontal é definida por i2s 100 mA Se o sentido da corrente na espira 2 for invertido qual será o módulo do momento magnético total do sistema para i2 70 mA Figura 2851 Problema 62 63 Uma espira circular com 80 cm de raio é percorrida por uma corrente de 020 A Um vetor de comprimento unitário paralelo ao momento dipolar da espira é dado por 060 080 Esse vetor unitário indica a orientação do vetor momento dipolar magnético Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por 025 T 030 T determine a o torque a que espira é submetida em termos dos vetores unitários e b a energia orientacional da espira 64 A Fig 2852 mostra a energia orientacional U de um dipolo magnético na presença de um campo magnético externo em função do ângulo ϕ entre a direção de e a direção do dipolo magnético A escala do eixo vertical é definida por Us 20 104 J O dipolo pode girar em torno de um eixo com atrito desprezível Rotações no sentido antihorário a partir de ϕ 0 correspondem a valores positivos de ϕ e rotações no sentido horário correspondem a valores negativos O dipolo é liberado na posição ϕ 0 com uma energia cinética de rotação de 67 104 J e gira no sentido antihorário Até que ângulo ϕ vai a rotação Na terminologia do Módulo 83 qual é o valor de ϕ no ponto de retorno do poço de energia da Fig 2852 65 Um fio de 250 cm de comprimento percorrido por uma corrente de 451 mA é convertido em uma bobina circular e submetido a um campo magnético uniforme de módulo 571 mT Se o torque que o campo exerce sobre a espira é o maior possível determine a o ângulo entre e o momento dipolar magnético da bobina b o número de espiras da bobina e c o módulo do torque Figura 2852 Problema 64 Problemas Adicionais 66 No instante t 0 um próton de carga e e massa m penetra com velocidade v0x v0y em uma região onde existe um campo magnético B Escreva uma expressão na notação dos vetores unitários para a velocidade em função de t para t 0 67 Um relógio de parede estacionário tem um mostrador circular com 15 cm de raio Seis espiras de fio são enroladas no mostrador o fio conduz uma corrente de 20 A no sentido horário No local onde o relógio se encontra existe um campo magnético uniforme de 70 mT que não impede o relógio de mostrar corretamente a hora Exatamente às 13 h o ponteiro das horas do relógio aponta na direção do campo magnético a Após quantos minutos o ponteiro de minutos do relógio aponta na direção do torque exercido pelo campo magnético sobre a bobina b Determine o módulo do torque 68 Um fio situado no eixo y entre y 0 e y 0250 m é percorrido por uma corrente de 200 mA no sentido negativo do eixo Na região existe um campo magnético não uniforme dado por 0300 Tmy 0400 Tmy Na notação dos vetores unitários qual é a força magnética que o campo exerce sobre o fio 69 Tanto o íon 1 de massa 35 u como o íon 2 de massa 37 u possuem uma carga e Depois de serem introduzidos em um espectrômetro de massa Fig 2812 e acelerados a partir do repouso por uma diferença de potencial V 73 kV os íons descrevem trajetórias circulares sob a ação de um campo magnético de módulo B 050 T Qual é a distância Δx entre os pontos em que os íons atingem o detector 70 Um elétron com uma energia cinética de 25 keV movendose em linha reta no sentido positivo do eixo x penetra em uma região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo 10 kVm orientado no sentido negativo do eixo y Desejase aplicar um campo na mesma região para que o elétron continue a se mover em linha reta e a direção de deve ser tal que o módulo de seja o menor possível Em termos dos vetores unitários qual deve ser o campo 71 O físico S A Goudsmit inventou um método para medir a massa de um íon pesado determinando o período de revolução do íon na presença de um campo magnético conhecido Um íon de iodo monoionizado descreve 700 revoluções em 129 milissegundo em um campo de 450 militeslas Calcule a massa do íon em unidades de massa atômica 72 Um feixe de elétrons de energia cinética K emerge de uma janela de folha de alumínio na extremidade de um acelerador A uma distância d da janela existe uma placa de metal perpendicular à direção do feixe Fig 2853 a Mostre que é possível evitar que o feixe atinja a placa aplicando um campo uniforme tal que em que m e e são a massa e a carga do elétron b Qual deve ser a orientação de Figura 2853 Problema 72 73 No instante t 0 um elétron com uma energia cinética de 12 keV que está se movendo no sentido positivo de um eixo x paralelo à componente horizontal do campo magnético da Terra passa pelo ponto x 0 A componente vertical do campo aponta para baixo e tem um módulo de 550 μT a Qual é o módulo da aceleração do elétron produzida pelo campo b Qual é a distância a que o elétron se encontra do eixo x ao chegar ao ponto de coordenada x 20 cm 74 Uma partícula de carga 20 C está se movendo na presença de um campo magnético uniforme Em dado instante a velocidade da partícula é 20 40 60 ms e a força magnética experimentada pela partícula é 40 20 12 N As componentes x e y do campo magnético são iguais Qual é o campo 75 Um próton um dêuteron q e m 20 u e uma partícula alfa q 2e m 40 u todos com a mesma energia cinética entram em uma região onde existe um campo magnético uniforme a velocidade das partículas é perpendicular a Determine a razão a entre o raio rd da trajetória do dêuteron e o raio rp da trajetória do próton e b entre o raio rα da trajetória da partícula alfa e rp 76 O espectrômetro de massa de Bainbridge mostrado de forma esquemática na Fig 2854 separa íons de mesma velocidade Depois de entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2 os íons passam por um seletor de velocidade composto por um campo elétrico produzido pelas placas carregadas P e Pʹ e por um campo magnético perpendicular ao campo elétrico e à trajetória dos íons Os íons que passam pelos campos cruzados e sem serem desviados entram em uma região onde existe um segundo campo magnético B ʹ que os faz descrever um semicírculo Uma placa fotográfica ou mais recentemente um detector registra a chegada dos íons Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é dada por qm ErBBʹ em que r é o raio do semicírculo Figura 2854 Problema 76 77 Na Fig 2855 um elétron se move com uma velocidade v 100 ms no eixo x na presença de um campo magnético uniforme e de um campo elétrico uniforme O campo magnético aponta para dentro do papel e tem módulo 500 T Qual é o campo elétrico na notação dos vetores unitários Figura 2855 Problema 77 78 a Na Fig 288 mostre que a razão entre o módulo E do campo elétrico de Hall e o módulo EC do campo elétrico responsável pelo movimento das cargas corrente é dada por em que ρ é a resistividade do material e n é a concentração de portadores de corrente b Calcule o valor numérico dessa razão para os dados do Problema 13 Sugestão Consulte a Tabela 261 79 Um próton um dêuteron q e m 20 u e uma partícula alfa q 2e m 40 u são acelerados pela mesma diferença de potencial e entram em uma região onde existe um campo magnético uniforme a velocidade das partículas é perpendicular a Determine a razão a entre a energia cinética do próton Kp e a energia cinética da partícula alfa Kα e b entre a energia cinética do dêuteron Kd e Kα Se o raio da trajetória circular do próton é 10 cm determine o raio c da trajetória do dêuteron e d da trajetória da partícula alfa 80 Um elétron está se movendo a 720 106 ms na presença de um campo magnético de 830 mT Determine a o valor máximo e b o valor mínimo da força que o campo magnético pode exercer sobre o elétron c Em um dado instante o elétron tem uma aceleração de módulo 490 1014 ms2 Qual é o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético nesse instante 81 Uma partícula com uma carga de 50 μC está se movendo em uma região onde existem um campo magnético de 20 mT e um campo elétrico de 300 Vm Em um dado instante a velocidade da partícula é 17 11 70 kms Nesse instante na notação dos vetores unitários qual é a força eletromagnética total soma das forças elétrica e magnética a que a partícula está submetida 82 Em um experimento de efeito Hall uma corrente de 30 A que percorre longitudinalmente um condutor com 10 cm de largura 40 cm de comprimento e 10 μm de espessura produz uma diferença de potencial de Hall entre os lados do condutor de 10 μV quando um campo magnético de 15 T é aplicado perpendicularmente ao plano do condutor A partir desses dados determine a a velocidade de deriva dos portadores de corrente e b a concentração dos portadores de corrente c Mostre em um diagrama a polaridade da diferença de potencial de Hall com sentidos arbitrados para a corrente e o campo magnético supondo que os portadores de corrente são elétrons 83 Uma partícula de massa 60 g está se movendo a 40 kms no plano xy em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por 50 mT No instante em que a velocidade da partícula faz um ângulo de 37o no sentido antihorário com o semieixo x positivo a força magnética que o campo exerce sobre a partícula é 048 N Qual é a carga da partícula 84 Um fio situado no eixo x entre os pontos x 0 e x 100 m conduz uma corrente de 300 A no sentido positivo do eixo Na região existe um campo magnético não uniforme dado por 400 Tm2x2 0600 Tm2x2 Em termos dos vetores unitários qual é a força magnética que o campo exerce sobre o fio 85 Em um dado instante 200 400 600 ms é a velocidade de um próton em um campo magnético uniforme 200 400 800 mT Para esse instante determine a a força magnética que o campo exerce sobre o próton na notação dos vetores unitários b o ângulo entre e e c o ângulo entre e 86 A velocidade de um elétron é 32 40 kms no instante em que penetra em uma região onde existe um campo magnético uniforme 60 μT Determine a o raio da trajetória helicoidal do elétron e b o passo da trajetória c Do ponto de vista de um observador que olha para a região onde existe o campo magnético a partir do ponto de entrada do elétron o elétron se move no sentido horário ou no sentido antihorário 87 A Fig 2856 mostra um gerador homopolar no qual um motor que não aparece na figura faz girar um disco metálico Duas escovas são usadas para ligar o sistema a um circuito elétrico Este tipo de gerador pode produzir uma força eletromotriz maior que os geradores que utilizam espiras giratórias já que o disco pode girar a uma velocidade muito maior que uma espira sem se romper Suponha que o disco tem um raio R 0250 m a frequência da rotação é f 4000 Hz e um campo magnético uniforme de módulo B 600 mT é aplicado perpendicularmente ao plano do disco Quando o disco está girando os elétrons de condução que estão na reta que liga o eixo do disco a uma das escovas reta tracejada são forçados a se mover perpendicularmente ao campo magnético a Para o sentido de rotação indicado na figura os elétrons são submetidos a uma força magnética para cima ou para baixo b O módulo da força é maior perto da borda ou perto do centro do disco c Qual é o trabalho por unidade de carga que a força realiza ao longo da reta do centro até a borda do disco d Qual é a diferença de potencial produzida pelo gerador e Se a corrente no circuito é 500 A qual é a potência elétrica produzida pelo gerador Figura 2856 Problema 87 88 Na Fig 2857 as duas extremidades de um fio em forma de U de massa m 100 g e comprimento L 200 cm estão imersas em mercúrio que é um condutor formando uma espira Um campo magnético uniforme de módulo B 0100 T é aplicado perpendicularmente ao plano da espira Uma chave que não aparece na figura é fechada e aberta rapidamente criando um pulso de corrente que se propaga na espira e faz o fio se deslocar para cima Se altura máxima atingida pelo fio em relação à posição inicial é h 300 m qual é a carga do pulso Suponha que a duração do pulso é muito menor que o tempo de subida do fio Sugestão Use a definição de impulso Eq 930 a relação entre impulso e momento Eq 931 e a relação entre carga e corrente Eq 262 Figura 2857 Problema 88 89 Na Fig 2858 um elétron de massa m carga e e velocidade inicial perpendicular ao plano da placa superior penetra em uma região entre duas placas separadas por uma distância d e submetidas a uma diferença de potencial V com uma velocidade inicial perpendicular ao plano da placa superior Na região entre as placas existe um campo magnético de módulo B que aponta para dentro do papel Considerando a velocidade inicial do elétron tão pequena que pode ser desprezada determine o menor valor de B para o qual o elétron não se choca com a placa superior Figura 2858 Problema 89 90 Uma partícula de carga q está se movendo em uma circunferência de raio r com velocidade v Tratando a trajetória da partícula como uma espira percorrida por corrente determine o torque máximo que pode ser exercido sobre a espira por um campo uniforme de módulo B 91 Em um experimento de efeito Hall expresse a concentração de portadores número de portadores por unidade de volume em função do módulo E do campo elétrico transversal da densidade de corrente J e do módulo B do campo magnético 92 Um elétron que está se movendo na presença de um campo magnético uniforme tem uma velocidade 40 kms 35 kms quando está submetido a uma força magnética 42 fN 48 fN Se Bx 0 determine o campo magnético na notação dos vetores unitários 1O resultado obtido por Thomson foi mq 13 H 1011 kgC o valor aceito atualmente é 057 H 1011 kgC NT 2O LHC o maior síncrotron atualmente em operação tem um raio de 43 km e foi projetado para acelerar prótons até energias da ordem de 7 TeV NT 1Na verdade o campo calculado é 320 vezes maior que o campo magnético médio da Terra NT 4O autor se refere ao fato de que como a força magnética é não conservativa não seria correto associar ao campo magnético uma energia potencial como foi feito em edições anteriores do livro NT CAPÍTULO 29 Campos Magnéticos Produzidos por Correntes 291 O CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UMA CORRENTE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2901 Desenhar um elemento de corrente em um fio e indicar a orientação do campo magnético produzido pelo elemento de corrente em um ponto fora do fio 2902 Dado um ponto fora de um fio e um elemento de corrente do fio determinar o módulo e a orientação do campo magnético produzido pelo elemento de corrente no ponto 2903 Saber que o módulo do campo magnético criado por um elemento de corrente em um ponto que está na mesma reta que o elemento de corrente é zero 2904 No caso de um ponto fora de um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente conhecer a relação entre o módulo do campo magnético a corrente e a distância entre o ponto e o fio 2905 No caso de um ponto fora de um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente usar a regra da mão direita para determinar a orientação do campo magnético produzido pela corrente 2906 Saber que as linhas de campo do campo magnético nas vizinhanças de um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente têm a forma de circunferências 2907 No caso de um ponto perto da extremidade de um fio semi infinito percorrido por uma corrente conhecer a relação entre o módulo do campo magnético a corrente e a distância entre o ponto e o fio 2908 No caso de um ponto situado no centro de curvatura de um arco de circunferência percorrido por uma corrente conhecer a relação entre o módulo do campo magnético a corrente o raio de curvatura e o ângulo subtendido pelo arco em radianos 2909 No caso de um ponto fora de um fio curto percorrido por uma corrente integrar a equação da lei de BiotSavart para determinar o campo magnético produzido pela corrente IdeiasChave O campo magnético produzido por um condutor percorrido por uma corrente pode ser determinado com o auxílio da lei de Biot Savart De acordo com essa lei a contribuição para o campo produzida por um elemento de corrente i em um ponto P situado a uma distância r do elemento de corrente é dada por em que é um vetor unitário cuja origem está no elemento de corrente e que aponta na direção do ponto P A constante μ0 conhecida como constante magnética tem o valor de 4π 107 mA 126 106 T mA No caso de um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente i o módulo do campo magnético a uma distância R do fio é dado por O módulo do campo magnético no centro de um arco de circunferência de raio R e ângulo central ϕ em radianos percorrido por uma corrente i é dado por O que É Física Uma observação básica da física é a de que partículas carregadas em movimento produzem campos magnéticos Isso significa que uma corrente elétrica também produz um campo magnético Esse aspecto do eletromagnetismo que é o estudo combinado dos efeitos elétricos e magnéticos foi uma surpresa para os cientistas na época em que foi descoberto Surpresa ou não ele se tornou extremamente importante para a vida cotidiana já que constitui a base para um número imenso de dispositivos eletromagnéticos Assim por exemplo os campos magnéticos estão presentes nos trens levitados magneticamente e outras máquinas usadas para levantar grandes pesos Nosso primeiro passo neste capítulo será determinar o campo magnético produzido pela corrente em um pequeno elemento de um fio percorrido por corrente Em seguida vamos calcular o campo magnético produzido por fios macroscópicos de diferentes formas Figura 291 Um elemento de corrente i produz um elemento de campo magnético no ponto P O verde que representa a extremidade traseira de uma seta no ponto P indica que o sentido do campo é para dentro do papel Cálculo do Campo Magnético Produzido por uma Corrente A Fig 291 mostra um fio de forma arbitrária percorrido por uma corrente i Estamos interessados em calcular o campo magnético em um ponto próximo P Para isso dividimos mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e definimos para cada elemento um vetor comprimento cujo módulo é ds e cuja direção é a direção da corrente no elemento ds Podemos definir um elemento de corrente como i e calcular o campo produzido no ponto P por um elemento de corrente típico Os experimentos mostram que os campos magnéticos como os campos elétricos podem ser somados para determinar o campo total Assim podemos calcular o campo total no ponto P somando por integração as contribuições de todos os elementos de corrente Entretanto esse processo é um pouco mais complicado que no caso do campo elétrico por causa de uma diferença enquanto o elemento de carga dq que produz o campo elétrico é uma grandeza escalar o elemento de corrente i responsável pelo campo magnético é o produto de uma grandeza escalar por uma grandeza vetorial e portanto é uma grandeza vetorial Módulo O módulo do campo produzido no ponto P por um elemento de corrente i é dado por em que θ é o ângulo entre as direções de e um vetor unitário que aponta de ds para P e μ0 é uma constante conhecida como constante magnética cujo valor por definição é dado por Orientação A orientação de que é para dentro do papel na Fig 291 é a do produto vetorial Podemos portanto escrever a Eq 291 na forma vetorial como Essa equação vetorial bem como sua forma escalar Eq 291 são conhecidas como lei de BiotSavart A lei que se baseia em observações experimentais é do tipo inverso do quadrado Vamos usála para calcular o campo magnético total produzido em um ponto por fios de várias geometrias Uma geometria é especialmente simples De acordo com a Eq 291 se um ponto P está na mesma reta que a corrente em um trecho de um fio o campo magnético produzido no ponto P pela corrente nesse trecho é zero o ângulo θ é 0o ou 180o e sen 0o sen 180o 0 Campo Magnético Produzido pela Corrente em um Fio Longo Retilíneo Daqui a pouco vamos usar a lei de BiotSavart para mostrar que o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular R de um fio retilíneo longo infinito percorrido por uma corrente i é dado por O módulo do campo B na Eq 294 depende apenas da corrente e da distância perpendicular R entre o ponto e o fio Vamos mostrar que as linhas de campo de formam circunferências concêntricas em torno do fio como podemos observar no diagrama da Fig 292 e no padrão formado por limalha de ferro na Fig 293 O aumento do espaçamento das linhas com o aumento da distância na Fig 292 reflete o fato de que o módulo de de acordo com a Eq 294 é inversamente proporcional a R Os comprimentos dos dois vetores que aparecem na figura também mostram que B diminui quando aumenta a distância entre o ponto e o fio Figura 292 As linhas de campo magnético produzidas por uma corrente em um fio retilíneo longo são círculos concêntricos em torno do fio Na figura o sentido da corrente é para dentro do papel como indica o símbolo Cortesia Education Development Center Figura 293 A limalha de ferro espalhada em um pedaço de cartolina forma círculos concêntricos quando uma corrente atravessa o fio central O alinhamento que coincide com as linhas de campo magnético se deve ao campo magnético produzido pela corrente Sentido do Campo Magnético É fácil calcular o módulo do campo magnético usando a Eq 294 o que muitos estudantes têm dificuldade para determinar é o sentido do campo em um ponto dado Como as linhas de campo formam circunferências em torno de um fio longo e o campo magnético é tangente às linhas de força é evidente que a direção do campo magnético é perpendicular à reta perpendicular ao fio que passa pelo ponto dado Acontece que como mostra a Fig 294 existem dois sentidos possíveis para o vetor um para o caso em que o sentido da corrente é para dentro do papel e o outro para o caso em que o sentido da corrente é para fora do papel Como é possível saber qual é o sentido correto Existe uma regra simples para isso conhecida como regra da mão direita Figura 294 O vetor campo magnético em um ponto dado é perpendicular à reta perpendicular ao fio que passa pelo ponto mas qual dos dois sentidos possíveis do vetor é o sentido correto Regra da mão direita Segure o fio na mão direita com o polegar estendido apontando no sentido da corrente Os outros dedos mostram a orientação das linhas de campo magnético produzidas pela corrente no fio O resultado da aplicação da regra da mão direita à corrente no fio retilíneo da Fig 292 é mostrado em uma vista lateral na Fig 295a Para determinar o sentido do campo magnético produzido por essa corrente em um ponto do espaço envolva mentalmente o fio com a mão direita com o polegar apontando no sentido da corrente Faça com que os outros dedos passem pelo ponto o sentido da base para a ponta dos dedos é a orientação do campo magnético nesse ponto Na vista da Fig 292 em qualquer ponto é tangente a uma linha de campo magnético nas vistas da Fig 295 é perpendicular à reta tracejada que liga o ponto ao fio Figura 295 A regra da mão direita mostra o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um fio a Vista lateral do resultado da aplicação da regra da mão direita à corrente no fio retilíneo da Fig 292 O campo magnético em qualquer ponto à esquerda do fio é perpendicular à reta tracejada e aponta para dentro do papel no sentido da ponta dos dedos como indica o símbolo b Quando o sentido da corrente é invertido o campo em qualquer ponto à esquerda do fio continua a ser perpendicular à reta tracejada mas passa a apontar para fora do papel como indica o símbolo Demonstração da Equação 294 A Fig 296 que é semelhante à Fig 291 exceto pelo fato de que agora o fio é retilíneo e de comprimento infinito ilustra bem o processo Queremos calcular o campo no ponto P situado a uma distância perpendicular R do fio O módulo do campo elementar produzido no ponto P por um elemento de corrente i situado a uma distância r do ponto P é dado pela Eq 291 A orientação de na Fig 296 é a do vetor ou seja para dentro do papel Observe que no ponto P tem a mesma orientação para todos os elementos de corrente nos quais o fio pode ser dividido Assim podemos calcular o módulo do campo magnético produzido no ponto P pelos elementos de corrente na metade superior de um fio infinitamente longo integrando dB na Eq 291 de 0 a Figura 296 Cálculo do campo magnético produzido por uma corrente i em um fio retilíneo longo O campo produzido no ponto P pelo elemento de corrente id s aponta para dentro do papel como indica o símbolo Considere agora um elemento de corrente na parte inferior do fio que esteja a uma distância tão grande abaixo de P quanto está acima de P De acordo com a Eq 293 o campo magnético produzido no ponto P por esse elemento de corrente tem o mesmo módulo e a mesma orientação que o campo magnético produzido pelo elemento i da Fig 296 Assim o campo magnético produzido pela parte inferior do fio é igual ao campo magnético produzido pela parte superior Para determinar o módulo do campo magnético total no ponto P basta portanto multiplicar por 2 o resultado da integração o que nos dá As variáveis θ s e r na Eq 295 não são independentes como se pode ver na Fig 296 elas estão relacionadas pelas equações Fazendo essas substituições e usando a integral 19 do Apêndice E obtemos que é a equação que queríamos demonstrar Note que o módulo do campo magnético produzido no ponto P pela parte inferior ou pela parte superior do fio infinito da Fig 296 tem metade do valor dado pela Eq 296 ou seja Campo Magnético Produzido por uma Corrente em um Fio em Forma de Arco de Circunferência Para determinar o campo magnético produzido em um ponto por uma corrente em um fio curvo usamos mais uma vez a Eq 291 para calcular o módulo do campo produzido por um elemento de corrente e integramos o resultado para obter o campo produzido por todos os elementos de corrente Essa integração pode ser difícil dependendo da forma do fio é relativamente simples porém quando o fio tem a forma de um arco de circunferência e o ponto escolhido é o centro de curvatura A Fig 297a mostra um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central ϕ raio R e centro C percorrido por uma corrente i No ponto C cada elemento de corrente i do fio produz um campo magnético de módulo dB dado pela Eq 291 Além disso como mostra a Fig 297b qualquer que seja a posição do elemento no fio o ângulo θ entre os vetores e é 90o e r R Fazendo θ 90o e r R na Eq 291 obtemos Esse é o módulo do campo produzido no ponto C por um dos elementos de corrente Figura 297 a Um fio em forma de arco de circunferência com centro no ponto C e percorrido por uma corrente i b Para qualquer elemento de comprimento ao longo do arco o ângulo entre as direções e é 90o c Determinação da direção do campo magnético produzido pela corrente no ponto C usando a regra da mão direita o campo aponta para fora do papel no sentido das pontas dos dedos como indica o símbolo Orientação O que dizer da orientação do campo elementar produzido por um elemento de corrente Sabemos que o vetor é perpendicular à reta que liga o ponto C ao elemento de corrente e portanto aponta para dentro ou para fora do papel nas Figs 297a e 297b Para determinar qual é o sentido correto aplicamos a regra da mão direita a um elemento qualquer do fio como é mostrado na Fig 297c Segurando o fio com o polegar apontando no sentido da corrente e fazendo os dedos passarem pelo ponto C vemos que todos os elementos de campo apontam para fora do papel Campo Total Para obter o campo total produzido pelo fio no ponto C devemos somar todos os elementos de campo do arco de circunferência Já que todos os vetores têm a mesma orientação não é preciso usar uma soma vetorial basta somar por integração os módulos dB de todos os campos elementares Como o tamanho do arco é especificado em termos do ângulo central ϕ e não do comprimento usamos a identidade ds R dϕ para converter a variável de integração de ds para dϕ na Eq 298 o que nos dá Integrando obtemos Atenção Note que a Eq 299 é válida apenas para o campo no centro de curvatura do fio Ao substituir as variáveis da Eq 299 por valores numéricos não se esqueça de que o valor de ϕ deve ser expresso em radianos Assim por exemplo para calcular o módulo do campo magnético no centro de uma circunferência completa de fio ϕ deve ser substituído por 2π na Eq 299 o que nos dá Exemplo 2901 Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente O fio da Fig 298a é percorrido por uma corrente i e tem a forma de um arco de circunferência de raio R e ângulo central π2 rad ladeado por dois trechos retilíneos cujos prolongamentos se interceptam no centro C do arco Determine o campo magnético no ponto C IDEIASCHAVE Podemos determinar o campo magnético no ponto C aplicando a lei de BiotSavart Eq 293 ponto por ponto ao longo de todo o fio No entanto a aplicação da Eq 293 pode ser simplificada calculando separadamente para as três partes do fio a saber 1 o trecho retilíneo da esquerda 2 o trecho retilíneo da direita 3 o arco de circunferência Trechos retilíneos Para qualquer elemento de corrente da parte 1 o ângulo θ entre e é zero Fig 298b portanto de acordo com a Eq 291 Assim a contribuição de toda a parte 1 para o campo magnético no ponto C é B1 0 Figura 298 a Fio formado por dois segmentos retilíneos 1 e 2 e um arco de circunferência 3 e percorrido por uma corrente i b Para um elemento de corrente no segmento 1 o ângulo entre e é zero c Determinação da orientação do campo magnético produzido pelo arco de circunferência no ponto C o sentido do campo é para dentro do papel O mesmo acontece na parte 2 em que o ângulo entre e é 180o para qualquer elemento de corrente Assim B2 0 Arco de circunferência O uso da lei de BiotSavart para calcular o campo magnético no centro de um arco de circunferência leva à Eq 299 B μ0iϕ4πR No nosso caso o ângulo central ϕ do arco é π2 rad Assim de acordo com a Eq 299 o módulo do campo magnético no centro C do arco é dado por Para determinar a orientação de basta usar a regra da mão direita da forma mostrada na Fig 295 Segure mentalmente o arco de circunferência com a mão direita como na Fig 298c com o polegar apontando no sentido da corrente Os outros dedos indicam a orientação do campo magnético nas vizinhanças do fio Na região onde se encontra o ponto C no interior do arco de circunferência os dedos apontam para dentro do papel Assim tem essa orientação Campo total Em geral quando é necessário combinar dois ou mais campos magnéticos para obter o campo magnético total precisamos executar uma soma vetorial e não simplesmente somar os módulos Neste caso porém como apenas o arco de circunferência produz um campo magnético diferente de zero no ponto C o módulo do campo total é dado por A orientação de é a mesma de ou seja para dentro do papel na Fig 298 Exemplo 2902 Campo magnético nas proximidades de dois fios longos retilíneos percorridos por corrente A Fig 299a mostra dois fios longos paralelos percorridos por correntes i1 e i2 em sentidos opostos Determine o módulo e a orientação do campo magnético total no ponto P para i1 15 A i2 32 A e d 53 cm IDEIASCHAVE 1 O campo magnético total no ponto P é a soma vetorial dos campos magnéticos produzidos pelas correntes nos dois fios 2 Podemos calcular o campo magnético produzido por qualquer corrente aplicando a lei de BiotSavart à corrente No caso de pontos próximos de um fio longo e retilíneo a lei de BiotSavart leva à Eq 294 Determinação dos vetores Na Fig 299a o ponto P está a uma distância R das correntes i1 e i2 De acordo com a Eq 294 as correntes produzem no ponto P campos e cujos módulos são dados por No triângulo retângulo da Fig 299a note que os ângulos da base entre os lados R e d são iguais a 45o Isso nos permite escrever cos 45o Rd e substituir R por d cos 45o Nesse caso os módulos dos campos magnéticos B1 e B2 se tornam Figura 299 a Dois fios conduzem correntes i1 e i2 em sentidos opostos para fora e para dentro do papel respectivamente Observe o ângulo reto no ponto P b O campo total é a soma vetorial dos campos e Estamos interessados em combinar e para obter a soma dos dois vetores que é o campo total no ponto P Para determinar as orientações de e aplicamos a regra da mão direita da Fig 295 às duas correntes da Fig 299a No caso do fio 1 em que a corrente é para fora do papel seguramos mentalmente o fio com a mão direita com o polegar apontando para fora do papel Nesse caso os outros dedos indicam que as linhas de campo têm o sentido antihorário Em particular na região do ponto P os dedos apontam para o alto da figura e para a esquerda Lembrese de que o campo magnético em um ponto nas proximidades de um fio longo percorrido por corrente é perpendicular ao fio e a uma reta perpendicular ao fio passando pelo ponto Assim o sentido de é para o alto e para a esquerda como mostra a Fig 299b Observe no desenho que o vetor é perpendicular à reta que liga o ponto P ao fio 1 Repetindo a análise para a corrente no fio 2 constatamos que o sentido de é para o alto e para a direita como mostra a Fig 299b Observe no desenho que o vetor é perpendicular à reta que liga o ponto P ao fio 2 Soma dos vetores Podemos agora somar vetorialmente e para obter o campo magnético no ponto P Isso poderia ser feito usando uma calculadora científica ou trabalhando com as componentes dos vetores Entretanto existe método mais simples Como são mutuamente perpendiculares e formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é Assim de acordo com o teorema de Pitágoras temos O ângulo ϕ entre as direções de e na Fig 299b é dado pela equação que para os valores conhecidos de B1 e B2 nos dá O ângulo entre a direção de e o eixo x na Fig 299b é portanto 292 FORÇAS ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2910 Dadas duas correntes paralelas ou antiparalelas calcular o campo magnético produzido pela primeira corrente na posição da segunda corrente e usar esse valor para calcular a força que a primeira corrente exerce sobre a segunda corrente 2911 Saber que correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se repelem 2912 Explicar como funciona um canhão eletromagnético IdeiaChave Fios paralelos percorridos por correntes no mesmo sentido se atraem e fios paralelos percorridos por correntes em sentidos opostos se repelem O módulo da força que um dos fios exerce sobre o outro é dado por em que L é o comprimento dos fios d é a distância entre os fios e ia e ib são as correntes nos fios Forças entre Duas Correntes Paralelas Dois longos fios paralelos percorridos por correntes exercem forças um sobre o outro A Fig 2910 mostra dois desses fios percorridos por correntes ia e ib e separados por uma distância d Vamos analisar as forças exercidas pelos fios Vamos calcular primeiro a força que a corrente no fio a exerce sobre o fio b da Fig 2910 A corrente produz um campo magnético e é esse campo na verdade o responsável pela força que estamos querendo calcular Para determinar a força portanto precisamos conhecer o módulo e a orientação do campo na posição do fio b De acordo com a Eq 294 o módulo de em qualquer ponto do fio b é dado por De acordo com a regra da mão direita o sentido do campo na posição do fio b é para baixo como mostra a Fig 2910 Agora que conhecemos o campo podemos calcular a força exercida sobre o fio b De acordo com a Eq 2826 a força a que está submetido um segmento L do fio b devido à presença do campo magnético externo é dada por em que é o vetor comprimento do fio Na Fig 2910 os vetores e são mutuamente perpendiculares e portanto de acordo com a Eq 2911 podemos escrever A direção de é a direção do produto vetorial a Aplicando a regra da mão direita para produtos vetoriais a e na Fig 2910 vemos que aponta na direção do fio a como mostra a figura A regra geral para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente é a seguinte Figura 2910 Dois fios paralelos que conduzem correntes no mesmo sentido se atraem mutuamente é o campo magnético no fio b devido à corrente no fio a é a força que age sobre o fio b porque o fio conduz uma corrente ib na presença do campo Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por outro fio percorrido por corrente determine primeiro o campo produzido pelo segundo fio na posição do primeiro em seguida determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio Podemos usar esse método para determinar a força exercida sobre o fio a pela corrente que circula no fio b O resultado é que a força aponta para o fio b o que significa que dois fios com correntes paralelas se atraem No caso em que as correntes têm sentidos opostos nos dois fios o resultado mostra que as forças apontam para longe dos dois fios ou seja os fios se repelem Assim Correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se repelem A força que age entre correntes em fios paralelos é usada para definir o ampère uma das sete unidades básicas do SI A definição adotada em 1946 é a seguinte O ampère é a corrente constante que quando mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção reta desprezível separados por 1 m de distância no vácuo produz uma força de 2 107 newtons por metro Canhão Eletromagnético Uma das aplicações da força dada pela Eq 2913 é o canhão eletromagnético Nesse aparelho a força magnética é usada para acelerar um projétil fazendoo adquirir alta velocidade em um curto período de tempo A Fig 2911a mostra o princípio de funcionamento do canhão eletromagnético Uma corrente elevada é estabelecida em um circuito formado por dois trilhos paralelos e um fusível condutor uma barra de cobre por exemplo colocado entre os trilhos O projétil a ser lançado fica perto da extremidade mais distante do fusível encaixado frouxamente entre os trilhos Quando a corrente é aplicada o fusível se funde e em seguida se vaporiza criando um gás condutor entre os trilhos na região onde se encontrava Aplicando a regra da mão direita da Fig 295 vemos que as correntes nos trilhos da Fig 2911a produzem um campo magnético que aponta para baixo na região entre os trilhos O campo magnético exerce uma força sobre o gás devido à corrente i que existe no gás Fig 2911b De acordo com a Eq 2912 e a regra da mão direita para produtos vetoriais a força é paralela aos trilhos e aponta para longe do fusível Assim o gás é arremessado contra o projétil imprimindolhe uma aceleração de até 5 106g e lançandoo com uma velocidade de 10 kms tudo isso em um intervalo de tempo menor que 1 ms Talvez no futuro os canhões eletromagnéticos venham a ser usados para lançar no espaço minérios extraídos da Lua ou de asteroides Figura 2911 a Princípio de funcionamento de um canhão eletromagnético Uma corrente elevada provoca a vaporização de um fusível condutor b A corrente produz um campo magnético entre os trilhos que exerce uma força sobre o gás devido à corrente i que existe no gás O gás é arremessado contra o projétil lançandoo ao espaço Teste 1 A figura mostra três fios longos paralelos igualmente espaçados percorridos por correntes de mesmo valor absoluto duas para fora do papel e uma para dentro do papel Coloque os fios na ordem decrescente do módulo da força a que estão sujeitos devido à corrente nos outros dois fios 293 LEI DE AMPÈRE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2913 Aplicar a lei de Ampère a uma curva fechada que envolve uma corrente 2914 Usar a regra da mão direita para determinar o sinal algébrico de uma corrente envolvida por uma curva fechada 2915 No caso de uma curva fechada que envolve mais de uma corrente determinar a corrente total a ser usada na lei de Ampère 2916 Aplicar a lei de Ampère a um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente para calcular o módulo do campo magnético dentro e fora do fio sabendo que apenas a corrente envolvida por uma amperiana deve entrar nos cálculos IdeiaChave De acordo com a lei de Ampère A integral de linha da equação acima deve ser calculada para uma curva fechada conhecida como amperiana A corrente i no lado direito da equação é a corrente total envolvida pela amperiana Lei de Ampère É possível obter o campo elétrico total associado a qualquer distribuição de cargas somando os campos elétricos elementares produzidos por todos os elementos de carga dq da distribuição No caso de uma distribuição complicada de cargas o método pode exigir o uso de um computador Por outro lado como vimos no Capítulo 23 se a distribuição possui simetria planar cilíndrica ou esférica podemos usar a lei de Gauss para determinar diretamente o campo elétrico total Analogamente é possível obter o campo magnético total associado a qualquer distribuição de correntes somando os campos magnéticos elementares Eq 293 produzidos por todos os elementos de corrente i da distribuição No caso de uma distribuição complicada de correntes o método pode exigir o uso de um computador Por outro lado se a distribuição possui certos tipos de simetria podemos usar a lei de Ampère para determinar diretamente o campo magnético total A lei que pode ser demonstrada a partir da lei de BiotSavart é expressa pela equação O círculo no sinal de integral indica que a integração do produto escalar deve ser realizada para uma curva fechada conhecida como amperiana A corrente ienv é a corrente total envolvida pela curva fechada Para compreender melhor o significado do produto escalar e sua integral vamos aplicar a lei de Ampère à situação geral da Fig 2912 A figura mostra a seção reta de três fios longos perpendiculares ao plano do papel percorridos por correntes i1 i2 e i3 Uma amperiana arbitrária traçada no plano do papel envolve duas das correntes mas não a terceira O sentido antihorário indicado na amperiana mostra o sentido arbitrariamente escolhido para realizar a integração da Eq 2914 Para aplicar a lei de Ampère dividimos mentalmente a amperiana em elementos de comprimento que são tangentes à curva e apontam no sentido de integração Suponha que no local do elemento que aparece na Fig 2912 o campo magnético total devido às correntes nos três fios seja Como os fios são perpendiculares ao plano do papel sabemos que os campos magnéticos em produzidos pelas três correntes estão no plano da Fig 2912 assim o campo magnético total também deve estar nesse plano Entretanto não conhecemos a orientação de Na Fig 2912 foi desenhado arbitrariamente fazendo um ângulo θ com a direção de O produto escalar do lado esquerdo da Eq 2914 é igual a B cos θ ds Isso significa que a lei de Ampère pode ser escrita na forma De acordo com a Eq 2915 o produto escalar pode ser interpretado como o produto de um comprimento elementar ds da amperiana pela componente do campo magnético tangente à amperiana no ponto onde se encontra o comprimento elementar ds B cos θ e portanto a integral pode ser interpretada como a soma desses produtos para toda a amperiana Figura 2912 Aplicação da lei de Ampère a uma amperiana arbitrária que envolve dois fios retilíneos longos mas não um terceiro Observe o sentido das correntes Sinal das Correntes Para executar a integração não precisamos conhecer o sentido de em todos os pontos da amperiana supomos arbitrariamente que o sentido de coincide com o sentido de integração como na Fig 2912 e usamos a seguinte regra da mão direita para atribuir um sinal positivo ou negativo às correntes que contribuem para a corrente total envolvida pela amperiana ienv Apoie a palma da mão direita na amperiana com os dedos apontando no sentido da integração Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal positivo uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo Finalmente resolvemos a Eq 2915 para obter o módulo de Se B é positivo isso significa que o sentido escolhido para está correto se B é negativo ignoramos o sinal e tomamos com o sentido oposto Corrente Total Na Fig 2913 aplicamos a regra da mão direita da lei de Ampère à situação da Fig 2912 Tomando o sentido de integração como o sentido antihorário a corrente total envolvida pela amperiana é ienv i1 i2 A corrente i3 está do lado de fora da amperiana Assim de acordo com a Eq 2915 O leitor pode estar se perguntando como é possível excluir a corrente i3 do lado direito da Eq 2916 já que ela contribui para o módulo B do campo magnético do lado esquerdo da equação A resposta é que as contribuições da corrente i3 para o campo magnético se cancelam quando a integração da Eq 2916 é realizada para uma curva fechada o que não acontece no caso das correntes que estão no interior da curva No caso da Fig 2912 não podemos usar a Eq 2916 para obter o módulo B do campo magnético porque não dispomos de informações suficientes para simplificar e resolver a integral Entretanto conhecemos o resultado da integração é μ0i1 i2 o valor obtido a partir das correntes envolvidas pela amperiana Vamos agora aplicar a lei de Ampère a duas situações nas quais a simetria permite resolver a integral e calcular o campo magnético Figura 2913 Uso da regra da mão direita da lei de Ampère para determinar o sinal das correntes envolvidas por uma amperiana A situação é a da Fig 2912 Campo Magnético nas Vizinhanças de um Fio Longo Retilíneo Percorrido por Corrente A Fig 2914 mostra um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente i dirigida para fora do plano do papel De acordo com a Eq 294 o campo magnético produzido pela corrente tem o mesmo módulo em todos os pontos situados a uma distância r do fio ou seja possui simetria cilíndrica em relação ao fio Podemos tirar partido da simetria para simplificar a integral que aparece na lei de Ampère Eqs 2914 e 2915 para isso envolvemos o fio em um amperiana circular concêntrica de raio r como na Fig 2914 O campo magnético tem o mesmo módulo B em todos os pontos da amperiana Como vamos realizar a integração no sentido antihorário tem o sentido indicado na Fig 2914 Figura 2914 Uso da lei de Ampère para determinar o campo magnético produzido do lado de fora de um fio retilíneo longo de seção reta circular percorrido por uma corrente i A amperiana é uma circunferência concêntrica com um raio maior que o raio do fio Podemos simplificar a expressão B cos θ da Eq 2915 observando que tanto como são tangentes à amperiana em todos os pontos da curva Assim e devem ser paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da amperiana vamos adotar arbitrariamente a primeira possibilidade Nesse caso em todos os pontos o ângulo θ entre e é 0o cos θ cos 0o 1 e a integral da Eq 2915 se torna Observe que ds é a soma de todos os segmentos de reta ds da amperiana o que nos dá simplesmente o perímetro 2πr da circunferência De acordo com a regra da mão direita o sinal da corrente da Fig 2914 é positivo assim o lado direito da lei de Ampère se torna μ0i e temos Com uma pequena mudança de notação a Eq 2917 nos dá a Eq 294 que foi obtida no Módulo 291 por um método muito mais trabalhoso usando a lei de BiotSavart Além disso como o módulo B do campo é positivo sabemos que o sentido correto de é o que aparece na Fig 2914 Campo Magnético no Interior de um Fio Longo Retilíneo Percorrido por Corrente A Fig 2915 mostra a seção reta de um fio longo retilíneo de raio R percorrido por uma corrente uniforme i dirigida para fora do papel Como a distribuição de corrente ao longo da seção reta do fio é uniforme o campo magnético produzido pela corrente tem simetria cilíndrica Assim para determinar o campo magnético em pontos situados no interior do fio podemos novamente usar uma amperiana de raio r como mostra a Fig 2915 em que agora r R Como mais uma vez é tangente à curva o lado esquerdo da lei de Ampère nos dá Para calcular o lado direito da lei de Ampère observamos que como a distribuição de corrente é uniforme a corrente ienv envolvida pela amperiana é proporcional à área envolvida pela curva ou seja Usando a regra da mão direita vemos que o sinal de ienv é positivo e portanto de acordo com a lei de Ampère Assim no interior do fio o módulo B do campo elétrico é proporcional a r o valor é zero no centro do fio e máximo na superfície em que r R Observe que as Eqs 2917 e 2920 fornecem o mesmo valor para B no ponto r R ou seja as expressões para o campo magnético do lado de fora e do lado de dentro do fio fornecem o mesmo valor para pontos situados na superfície do fio Figura 2915 Uso da lei de Ampère para determinar o campo magnético produzido por uma corrente i no interior de um fio retilíneo longo de seção reta circular A corrente está distribuída uniformemente ao longo da seção reta do fio e aponta para fora do papel A amperiana é uma circunferência concêntrica com um raio menor ou igual ao raio do fio Teste 2 A figura mostra três correntes de mesmo valor absoluto i duas paralelas e uma antiparalela e quatro amperianas Coloque as amperianas na ordem decrescente do valor absoluto de Exemplo 2903 Uso da lei de Ampère para calcular o campo no interior de um cilindro longo oco percorrido por corrente A Fig 2916a mostra a seção reta de um cilindro longo oco de raio interno a 20 cm e raio externo b 40 cm O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel e o módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J cr2 com c 30 106 Am4 e r em metros Qual é o campo magnético no ponto da Fig 2916a que está situado a uma distância r 30 cm do eixo central do cilindro IDEIASCHAVE O ponto no qual queremos determinar o campo está na parte sólida do cilindro entre o raio interno e o raio externo Observamos que a corrente tem simetria cilíndrica é igual em todos os pontos situados à mesma distância do eixo central A simetria permite usar a lei de Ampère para determinar o campo no ponto Para começar traçamos uma amperiana como a que aparece na Fig 2916b A curva é concêntrica com o cilindro e tem um raio r 30 cm porque estamos interessados em determinar o campo a essa distância do eixo central do cilindro Figura 2916 ab Para calcular o campo magnético em um ponto deste cilindro oco usamos uma amperiana concêntrica com o cilindro que passa pelo ponto e determinamos a corrente envolvida pela amperiana ch Como a densidade de corrente não é uniforme começamos com um anel elementar e somamos por integração as correntes em todos os anéis que estão situados no interior da amperiana O passo seguinte consiste em calcular a corrente ienv que é envolvida pela amperiana Entretanto não podemos usar uma simples regra de três como fizemos para chegar à Eq 2919 já que desta vez a distribuição de corrente não é uniforme Em vez disso devemos integrar o módulo da densidade de corrente entre o raio interno a do cilindro e o raio r da amperiana usando os passos mostrados nas Figs 2916c a 2916h Cálculos Escrevemos a integral na forma Note que nesses passos tomamos o elemento de área dA como a área do anel das Figs 2916d a 2916f e depois o substituímos por um elemento equivalente o produto do perímetro do anel 2πr pela espessura dr O sentido de integração indicado na Fig 2916b foi escolhido arbitrariamente como o sentido horário Aplicando à amperiana a regra da mão direita descobrimos que precisamos somar a corrente ienv como negativa já que o sentido da corrente é para fora do papel e o polegar aponta para dentro do papel Em seguida calculamos o lado esquerdo da lei de Ampère exatamente como fizemos na Fig 2915 e obtemos mais uma vez a Eq 2918 Assim a lei de Ampère nos dá Explicitando B e substituindo os valores conhecidos obtemos Assim o módulo do campo magnético em um ponto situado a 30 cm do eixo central é e as linhas de campo magnético são circunferências com o sentido contrário ao sentido de integração que escolhemos ou seja com o sentido antihorário na Fig 2916b 294 SOLENOIDES E TOROIDES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2917 Descrever um solenoide e um toroide e desenhar as linhas de campo magnético produzidas por esses dispositivos 2918 Saber com a lei de Ampère pode ser usada para calcular o campo magnético no interior de um solenoide 2919 Conhecer a relação entre o campo magnético B no interior de um solenoide a corrente i e o número n de espiras por unidade de comprimento do solenoide 2920 Saber como a lei de Ampère pode ser usada para calcular o campo magnético no interior de um toroide 2921 Conhecer a relação entre o campo magnético B no interior de um toroide a corrente i o número N de espiras e a distância r do centro do toroide IdeiasChave No interior de um solenoide em pontos não muito próximos das extremidades o módulo B do campo magnético é dado por B μ0in solenoide ideal em que i é a corrente e n é o número de espiras por unidade de comprimento No interior de um toroide o módulo B do campo magnético é dado por em que i é a corrente N é o número de espiras e r é a distância do centro do toroide Solenoides e Toroides Campo Magnético de um Solenoide Outra aplicação importante da lei de Ampère diz respeito ao cálculo do campo magnético produzido pela corrente em uma bobina helicoidal formada por espiras circulares muito próximas Uma bobina desse tipo é chamada de solenoide veja a Fig 2917 Vamos supor que o comprimento do solenoide é muito maior que o diâmetro Figura 2917 Um solenoide percorrido por uma corrente i A Fig 2918 mostra um trecho de um solenoide esticado O campo magnético do solenoide é a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras No caso de pontos próximos o fio se comporta magneticamente quase como um fio retilíneo e as linhas de são quase círculos concêntricos Como mostra a Fig 2918 o campo tende a se cancelar entre espiras vizinhas A figura também mostra que em pontos do interior do solenoide e razoavelmente afastados do fio é aproximadamente paralelo ao eixo central No caso limite de um solenoide ideal que é infinitamente longo e formado por espiras muito juntas espiras cerradas de um fio de seção reta quadrada o campo no interior do solenoide é uniforme e paralelo ao eixo central Figura 2918 Seção reta de um trecho esticado de um solenoide São mostradas apenas as partes traseiras de cinco espiras e as linhas de campo magnético associadas As linhas de campo magnético são circulares nas proximidades das espiras Perto do eixo do solenoide as linhas de campo se combinam para produzir um campo magnético paralelo ao eixo O fato de as linhas de campo apresentarem um pequeno espaçamento indica que o campo magnético nessa região é intenso Do lado de fora do solenoide as linhas de campo são bem espaçadas e o campo é muito mais fraco Em pontos acima do solenoide como o ponto P da Fig 2918 o campo magnético criado pela parte superior das espiras do solenoide representadas pelo símbolo aponta para a esquerda como nas proximidades do ponto P e tende a cancelar o campo criado em P pela parte inferior das espiras representadas pelo símbolo que aponta para a direita e não está desenhado na figura No caso limite de um solenoide ideal o campo magnético do lado de fora do solenoide é zero Tomar o campo externo como zero é uma excelente aproximação de um solenoide real se o comprimento do solenoide for muito maior que o diâmetro e se forem considerados apenas pontos como P que não estão muito próximos das extremidades do solenoide A orientação do campo magnético no interior do solenoide é dada pela regra da mão direita Segurando o solenoide com a mão direita com os dedos apontando no sentido da corrente o polegar estendido mostra a orientação do campo magnético A Fig 2919 mostra as linhas de em um solenoide real O espaçamento das linhas na região central mostra que o campo no interior do solenoide é intenso e uniforme em toda a região enquanto o campo externo é muito mais fraco Lei de Ampère Vamos agora aplicar a lei de Ampère ao solenoide ideal da Fig 2920 em que é uniforme do lado de dentro do solenoide e zero do lado de fora usando a amperiana retangular abcda Escrevemos como a soma de quatro integrais uma para cada segmento da amperiana Figura 2919 Linhas de campo magnético em um solenoide real O campo é intenso e uniforme em pontos do interior do solenoide como P1 e muito mais fraco em pontos do lado de fora do solenoide como P2 Figura 2920 Aplicação da lei de Ampère a um solenoide ideal percorrido por uma corrente i A amperiana é o retângulo abcda A primeira integral do lado direito da Eq 2922 é igual a Bh em que B é o módulo do campo uniforme no interior do solenoide e h é o comprimento arbitrário do segmento ab A segunda e a quarta integrais são nulas porque para os elementos ds desses segmentos é perpendicular a ds ou é zero e portanto o produto escalar é zero A terceira integral que envolve um segmento do lado de fora do solenoide também é nula porque B 0 em todos os pontos do lado de fora do solenoide Assim o valor de para toda a amperiana é Bh Corrente Total A corrente total ienv envolvida pela amperiana retangular da Fig 2920 não é igual à corrente i nas espiras do solenoide porque as espiras passam mais de uma vez pela amperiana Seja n o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide nesse caso a amperiana envolve nh espiras e portanto ienv inh De acordo com a lei de Ampère temos Embora tenha sido demonstrada para um solenoide ideal a Eq 2923 constitui uma boa aproximação para solenoides reais se for aplicada apenas a pontos internos e afastados das extremidades do solenoide A Eq 2923 está de acordo com as observações experimentais de que o módulo B do campo magnético no interior de um solenoide não depende do diâmetro nem do comprimento do solenoide e é uniforme ao longo da seção reta do solenoide O uso de um solenoide é portanto uma forma prática de criar um campo magnético uniforme de valor conhecido para realizar experimentos assim como o uso de um capacitor de placas paralelas é uma forma prática de criar um campo elétrico uniforme de valor conhecido Campo Magnético de um Toroide A Fig 2921a mostra um toroide que pode ser descrito como um solenoide cilíndrico que foi encurvado até as extremidades se tocarem formando um anel Qual é o valor do campo magnético no interior de um toroide Podemos responder a essa pergunta usando a lei de Ampère e a simetria do toroide Por simetria vemos que as linhas de formam circunferências concêntricas no interior do toroide como mostra a Fig 2921b Vamos escolher como amperiana uma circunferência concêntrica de raio r e percorrêla no sentido horário De acordo com a lei de Ampère temos B2πr μ0iN em que i é a corrente nas espiras do toroide que é positiva para as espiras envolvidas pela amperiana e N é o número de espiras Assim temos Isso mostra que ao contrário do que acontece no caso do solenoide B não é constante ao longo da seção reta de um toroide Figura 2921 a Um toroide percorrido por uma corrente i b Seção reta horizontal do toroide O campo magnético no interior do toroide pode ser calculado aplicando a lei de Ampère a uma amperiana como a que é mostrada na figura É fácil mostrar com o auxílio da lei de Ampère que B 0 nos pontos do lado de fora de um toroide ideal como se o toroide fosse fabricado a partir de um solenoide ideal O sentido do campo magnético no interior de um toroide pode ser determinado com o auxílio da regra da mão direita Segurando o toroide com a mão direita com os dedos apontando no sentido da corrente o polegar estendido mostra o sentido do campo magnético Exemplo 2904 Campo no interior de um solenoide Um solenoide tem um comprimento L 123 m um diâmetro interno d 355 cm e conduz uma corrente i 557 A É formado por cinco camadas de espiras cerradas cada uma com 850 espiras Qual é o valor de B no centro do solenoide IDEIACHAVE O módulo B do campo magnético no eixo central do solenoide está relacionado à corrente i do solenoide e ao número n de espiras por unidade de comprimento pela Eq 2923 B μ0in Cálculo Como B não depende do diâmetro das espiras o valor de n para cinco camadas de espiras é simplesmente cinco vezes maior que o valor para uma camada Assim de acordo com a Eq 2923 temos Esse é o valor aproximado do campo magnético no interior da maior parte do solenoide 295 RELAÇÃO ENTRE UMA BOBINA PLANA E UM DIPOLO MAGNÉTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2922 Desenhar as linhas de campo magnético produzidas por uma bobina plana 2923 No caso de uma bobina plana conhecer a relação entre o módulo μ do momento dipolar magnético a corrente i o número N de espiras e a área A das espiras 2924 No caso de um ponto do eixo central de uma bobina conhecer a relação entre o módulo B do campo magnético o momento dipolar magnético μ e a distância z do ponto ao centro da bobina IdeiaChave O campo magnético produzido por uma bobina percorrida por uma corrente em um ponto P situado no eixo da bobina é dado por em que é o momento dipolar magnético da bobina e z é a distância do ponto ao centro da bobina Essa equação só é válida para valores de z muito maiores que as dimensões da bobina Relação entre uma Bobina Plana e um Dipolo Magnético Até o momento examinamos os campos magnéticos produzidos por uma corrente em um fio retilíneo em um solenoide e em um toroide Vamos agora discutir o campo magnético produzido por uma corrente em uma bobina plana Como vimos no Módulo 288 uma bobina plana se comporta como um dipolo magnético no sentido de que na presença de um campo magnético experimenta um torque dado por em que o momento dipolar magnético da bobina tem um módulo dado por NiA em que N é o número de espiras i é a corrente e A é a área das espiras Atenção Não confundir o momento magnético dipolar com a constante magnética μ0 Como vimos o sentido de é dado pela regra da mão direita Segurando a bobina com a mão direita com os dedos apontando no sentido da corrente o polegar estendido mostra o sentido do momento dipolar magnético Campo Magnético de uma Bobina Plana Vamos agora examinar outro aspecto da relação entre uma bobina plana percorrida por uma corrente e um dipolo magnético Qual é o campo magnético produzido pela bobina em um ponto do espaço A simetria não é suficiente para que seja possível usar a lei de Ampère assim temos que recorrer à lei de Biot Savart Para simplificar o problema vamos considerar uma bobina com uma única espira circular e calcular o campo apenas em pontos situados no eixo central que tomaremos como o eixo z Vamos demonstrar que o módulo do campo magnético nesses pontos é dado por em que R é o raio da espira e z é a distância entre o ponto considerado e o centro da espira O sentido do campo magnético é o mesmo do momento magnético da bobina Campo Distante No caso de pontos muito distantes da bobina z R e a Eq 2926 se reduz a Lembrando que πR2 é a área A da bobina e generalizando o resultado para uma bobina de N espiras podemos escrever essa equação na forma Além disso como e são paralelos podemos escrever a equação em forma vetorial usando a identidade μ NiA Assim podemos considerar que uma bobina plana percorrida por uma corrente se comporta como um dipolo magnético de duas formas diferentes 1 a bobina experimenta um torque na presença de um campo magnético externo 2 a bobina produz um campo magnético que é dado para pontos distantes do eixo z pela Eq 2927 A Fig 2922 mostra o campo magnético produzido por uma bobina percorrida por uma corrente um lado da bobina se comporta como um polo norte para onde aponta o momento magnético e o outro lado como um polo sul como sugere o desenho de um ímã em forma de barra Uma bobina percorrida por uma corrente como um ímã em forma de barra tende a se alinhar com um campo magnético aplicado Figura 2922 Uma espira percorrida por uma corrente produz um campo magnético semelhante ao de um ímã em forma de barra com um polo norte e um polo sul O momento dipolar magnético da espira cujo sentido é dado pela regra da mão direita aponta do polo sul para o polo norte ou seja na mesma direção e sentido que o campo no interior da espira Teste 3 A figura mostra quatro pares de espiras circulares de raio r ou 2r com o centro em um eixo vertical perpendicular ao plano das espiras e percorridas por correntes de mesmo valor absoluto nos sentidos indicados Coloque os pares na ordem decrescente do módulo do campo magnético em um ponto do eixo central a meio caminho entre os anéis Demonstração da Equação 2926 A Fig 2923 mostra uma vista de perfil de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente i Considere um ponto P do eixo central situado a uma distância z do plano da espira Vamos aplicar a lei de BiotSavart a um elemento de comprimento ds situado na extremidade esquerda da espira O vetor comprimento associado a esse elemento aponta perpendicularmente para fora do papel O ângulo θ entre e na Fig 2923 é 90o o plano formado pelos dois vetores é perpendicular ao plano do papel e contém tanto como Conforme a lei de BiotSavart e com a regra da mão direita o elemento de campo produzido no ponto P pela corrente do elemento ds é perpendicular a esse plano e portanto paralelo ao plano do papel e perpendicular a como mostra a Fig 2923 Figura 2923 Seção reta de uma espira circular de raio R O plano da espira é perpendicular ao papel e apenas a parte mais distante da espira aparece na figura A lei de BiotSavart pode ser usada para calcular o campo magnético em um ponto P do eixo central da espira Vamos separar em duas componentes dB paralela ao eixo da espira e dB perpendicular ao eixo da espira Por simetria a soma vetorial das componentes perpendiculares dB produzidas por todos os elementos ds da espira é zero Isso deixa apenas as componentes paralelas dB e portanto Para o elemento da Fig 2923 a lei de BiotSavart Eq 291 nos diz que o campo magnético a uma distância r é dado por Temos também dB dB cos α Combinando as duas relações obtemos A Fig 2923 mostra que existe uma relação entre r e α Ambos podem ser expressos em termos da variável z a distância entre o ponto P e o centro da espira As relações são as seguintes e Substituindo as Eqs 2929 e 2930 na Eq 2928 obtemos Como i R e z têm o mesmo valor para todos os elementos ds da espira a integral dessa equação nos dá ou como ds é simplesmente o perímetro 2πR da espira que é a Eq 2926 a relação que queríamos demonstrar Revisão e Resumo Lei de BiotSavart O campo magnético criado por um condutor percorrido por uma corrente pode ser calculado com o auxílio da lei de BiotSavart De acordo com essa lei a contribuição de um elemento de corrente i para o campo em um ponto P situado a uma distância r é dada por Aqui é o vetor unitário que liga o elemento de corrente ao ponto P O valor da constante μ0 conhecida como constante magnética é 4π 107 T mA 126 106 T mA Campo Magnético de um Fio Longo Retilíneo No caso de um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente i a lei de BiotSavart nos dá para o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular R do fio Campo Magnético de um Arco de Circunferência O módulo do campo magnético no centro de um arco de circunferência de raio R e ângulo central ϕ em radianos percorrido por uma corrente i é dado por Força entre Correntes Paralelas Fios paralelos percorridos por correntes no mesmo sentido se atraem e fios paralelos percorridos por correntes em sentidos opostos se repelem O módulo da força que age sobre um segmento de comprimento L de um dos fios é dado por em que d é a distância entre os fios e ia e ib são as correntes nos fios Lei de Ampère De acordo com a lei de Ampère A integral de linha que aparece na Eq 2914 deve ser calculada para uma curva fechada conhecida como amperiana A corrente i é a corrente total envolvida pela amperiana No caso de algumas distribuições de corrente a Eq 2914 é mais fácil de usar que a Eq 293 para calcular o campo magnético produzido por correntes Campos Magnéticos de um Solenoide e de um Toroide No interior de um solenoide percorrido por uma corrente i em pontos não muito próximos das extremidades o módulo B do campo magnético é dado por em que n é o número de espiras por unidade de comprimento O campo interno de um solenoide portanto é uniforme Do lado de fora do solenoide o campo é praticamente nulo Em um ponto no interior de um toroide o módulo B do campo magnético é dado por em que r é a distância entre o ponto e o centro do toroide Campo de um Dipolo Magnético O campo magnético produzido por uma bobina plana percorrida por uma corrente que se comporta como um dipolo magnético em um ponto P situado no eixo da bobina a uma distância z do centro da bobina é paralelo ao eixo central e é dado por em que é o momento dipolar da bobina A Eq 2927 é válida apenas para valores de z muito maiores que as dimensões da bobina Perguntas 1 A Fig 2924 mostra três circuitos formados por dois segmentos radiais e dois arcos de circunferência concêntricos um de raio r e o outro de raio R r A corrente é a mesma nos dois circuitos e o ângulo entre os dois segmentos radiais é o mesmo Coloque os circuitos na ordem decrescente do módulo do campo magnético no centro dos arcos indicado na figura por um ponto Figura 2924 Pergunta 1 2 A Fig 2925 mostra os vetores velocidade de quatro elétrons nas vizinhanças de um fio percorrido por uma corrente i As velocidades têm módulos iguais e a velocidade aponta para dentro do papel Os elétrons 1 e 2 estão à mesma distância do fio e o mesmo acontece com os elétrons 3 e 4 Coloque os elétrons na ordem decrescente do módulo da força magnética a que estão sujeitos devido à corrente i Figura 2925 Pergunta 2 3 A Fig 2926 mostra quatro arranjos nos quais fios paralelos longos conduzem correntes iguais para dentro ou para fora do papel nos vértices de quadrados iguais Coloque os arranjos na ordem decrescente do módulo do campo magnético no centro do quadrado Figura 2926 Pergunta 3 4 A Fig 2927 mostra seções retas de dois fios longos retilíneos a corrente do fio da esquerda i1 é para fora do papel Para que o campo magnético total produzido pelas duas correntes seja zero no ponto P a o sentido da corrente i2 do fio da direita deve ser para dentro ou para fora do papel b O valor absoluto da corrente i2 deve ser maior menor ou igual ao valor absoluto de i1 Figura 2927 Pergunta 4 5 A Fig 2928 mostra três circuitos formados por segmentos retilíneos e arcos de circunferência concêntricos semicircunferências ou quartos de circunferência de raio r 2r ou 3r A corrente é a mesma nos três circuitos Coloque os circuitos na ordem decrescente do módulo do campo magnético no centro dos arcos indicado na figura por um ponto Figura 2928 Pergunta 5 6 A Fig 2929 mostra em função da distância radial r o módulo B do campo magnético do lado de dentro e do lado de fora de quatro fios a b c d cada um dos quais conduz uma corrente uniformemente distribuída ao longo da seção reta Os trechos em que os gráficos correspondentes a dois dos fios se superpõem estão indicados por duas letras Coloque os fios na ordem decrescente a do raio b do módulo do campo magnético na superfície e c da corrente d O módulo da densidade de corrente do fio a é maior menor ou igual ao do fio c Figura 2929 Pergunta 6 7 A Fig 2930 mostra quatro amperianas circulares a b c d concêntricas com um fio cuja corrente é dirigida para fora do papel A corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio região sombreada Coloque as amperianas na ordem decrescente do valor absoluto de ao longo da curva Figura 2930 Pergunta 7 8 A Fig 2931 mostra quatro arranjos nos quais fios longos paralelos igualmente espaçados conduzem correntes iguais para dentro e para fora do papel Coloque os arranjos na ordem decrescente do módulo da força a que está submetido o fio central Figura 2931 Pergunta 8 9 A Fig 2932 mostra quatro amperianas circulares a b c d e em seção reta quatro condutores circulares longos regiões sombreadas todos concêntricos Três dos condutores são cilindros ocos o condutor central é um cilindro maciço As correntes nos condutores são do raio menor para o maior 4 A para fora do papel 9 A para dentro do papel 5 A para fora do papel e 3 A para dentro do papel Coloque as amperianas na ordem decrescente do valor absoluto de Figura 2932 Pergunta 9 10 A Fig 2933 mostra quatro correntes iguais i e cinco amperianas a b c d e envolvendo essas correntes Coloque as amperianas na ordem do valor de nos sentidos indicados começando pelo maior valor positivo Figura 2933 Pergunta 10 11 A Fig 2934 mostra três arranjos de três fios longos retilíneos conduzindo correntes iguais para dentro e para fora do papel a Coloque os arranjos na ordem decrescente do módulo da força magnética a que está submetido o fio A b No arranjo 3 o ângulo entre a força a que está submetido o fio A e a reta tracejada é igual maior ou menor que 45o Figura 2934 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 291 O Campo Magnético Produzido por uma Corrente 1 Um topógrafo está usando uma bússola magnética 61 m abaixo de uma linha de transmissão que conduz uma corrente constante de 100 A a Qual é o campo magnético produzido pela linha de transmissão na posição da bússola b Esse campo tem uma influência significativa na leitura da bússola A componente horizontal do campo magnético da Terra no local é 20 μT 2 A Fig 2935a mostra um elemento de comprimento ds 100 μm em um fio retilíneo muito longo percorrido por uma corrente A corrente no elemento cria um campo magnético elementar no espaço em volta A Fig 2935b mostra o módulo dB do campo para pontos situados a 25 cm de distância do elemento em função do ângulo θ entre o fio e uma reta que liga o elemento ao ponto A escala vertical é definida por dBs 600 pT Qual é o módulo do campo magnético produzido pelo fio inteiro em um ponto situado a 25 cm de distância do fio Figura 2935 Problema 2 3 Em certo local das Filipinas o campo magnético da Terra tem um módulo de 39 μT é horizontal e aponta exatamente para o norte Suponha que o campo total é zero 80 cm acima de um fio longo retilíneo horizontal que conduz uma corrente constante Determine a o módulo da corrente e b a orientação da corrente 4 Um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i 50 A se divide em dois arcos semicirculares como mostra a Fig 2936 Qual é o campo magnético no centro C da espira circular resultante Figura 2936 Problema 4 5 Na Fig 2937 uma corrente i 10 A circula em um condutor longo formado por dois trechos retilíneos e uma semicircunferência de raio R 50 mm e centro no ponto a O ponto b fica a meio caminho entre os trechos retilíneos e tão afastado da semicircunferência que os dois trechos retos podem ser considerados fios infinitos Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético no ponto a Determine também c o módulo e d o sentido do campo magnético no ponto b Figura 2937 Problema 5 6 Na Fig 2938 o ponto P está a uma distância perpendicular R 200 cm de um fio retilíneo muito longo que conduz uma corrente O campo magnético no ponto P é a soma das contribuições de elementos de corrente i ao longo de todo o fio Determine a distância s entre o ponto P e o elemento a que mais contribui para o campo e b responsável por 10 da maior contribuição Figura 2938 Problema 6 7 Na Fig 2939 dois arcos de circunferência têm raios a 135 cm e b 107 cm subtendem um ângulo θ 740o conduzem uma corrente i 0411 A e têm o mesmo centro de curvatura P Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético no ponto P Figura 2939 Problema 7 8 Na Fig 2940 dois arcos de circunferência têm raios R2 780 cm e R1 315 cm subtendem um ângulo θ 180o conduzem uma corrente i 0281 A e têm o mesmo centro de curvatura C Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético no ponto C Figura 2940 Problema 8 9 Dois fios retilíneos longos são paralelos e estão separados por uma distância de 80 cm As correntes nos fios são iguais e o campo magnético em um ponto situado exatamente a meio caminho entre os dois fios tem um módulo de 300 μT a As correntes têm o mesmo sentido ou sentidos opostos b Qual é o valor das correntes 10 Na Fig 2941 um fio é formado por uma semicircunferência de raio R 926 cm e dois segmentos retilíneos radiais de comprimento L 131 cm cada um A corrente no fio é i 348 mA Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência Figura 2941 Problema 10 11 Na Fig 2942 dois fios retilíneos longos são perpendiculares ao plano do papel e estão separados por uma distância d1 075 cm O fio 1 conduz uma corrente de 65 A para dentro do papel Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel da corrente no fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P situado a uma distância d2 150 cm do fio 2 Figura 2942 Problema 11 12 Na Fig 2943 dois fios retilíneos longos separados por uma distância d 160 cm conduzem correntes i1 361 mA e i2 300i1 dirigidas para fora do papel a Em que ponto do eixo x o campo magnético total é zero b Se as duas correntes são multiplicadas por dois o ponto em que o campo magnético é zero se aproxima do fio 1 se aproxima do fio 2 ou permanece onde está Figura 2943 Problema 12 13 Na Fig 2944 o ponto P1 está a uma distância R 131 cm do ponto médio de um fio retilíneo de comprimento L 180 cm que conduz uma corrente i 582 mA Note que o fio não é longo Qual é o módulo do campo magnético no ponto P1 14 A Eq 294 fornece o módulo B do campo magnético criado por um fio retilíneo infinitamente longo em um ponto P situado a uma distância R do fio Suponha que o ponto P esteja na verdade a uma distância R do ponto médio de um fio de comprimento finito L Nesse caso o uso da Eq 294 para calcular B envolve um certo erro percentual Qual deve ser a razão LR para que o erro percentual seja 100 Em outras palavras para qual valor de LR a igualdade é satisfeita Figura 2944 Problemas 13 e 17 15 A Fig 2945 mostra dois fios O fio de baixo conduz uma corrente i1 040 A e inclui um arco de circunferência com 50 cm de raio e centro no ponto P que subtende um ângulo de 180o O fio de cima conduz uma corrente i2 2i1 e inclui um arco de circunferência com 40 cm de raio e centro também no ponto P que subtende um ângulo de 120o Determine a o módulo e b a orientação do campo magnético para os sentidos das correntes que estão indicados na figura Determine também c o módulo e d a direção de se o sentido da corrente i1 for invertido Figura 2945 Problema 15 16 Na Fig 2946 duas espiras circulares concêntricas que conduzem correntes no mesmo sentido estão no mesmo plano A espira 1 tem 150 cm de raio e conduz uma corrente de 400 mA A espira 2 tem 250 cm de raio e conduz uma corrente de 600 mA O campo magnético no centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira 2 em torno de um diâmetro Qual deve ser o ângulo de rotação da espira 2 para que o módulo do campo seja 100 nT Figura 2946 Problema 16 17 Na Fig 2944 o ponto P2 está a uma distância perpendicular R 251 cm de uma das extremidades de um fio retilíneo de comprimento L 136 cm que conduz uma corrente i 0693 A Note que o fio não é longo Qual é o módulo do campo magnético no ponto P2 18 Uma corrente é estabelecida em uma espira constituída por uma semicircunferência de 400 cm de raio uma semicircunferência concêntrica de raio menor e dois segmentos retilíneos radiais todos no mesmo plano A Fig 2947a mostra o arranjo mas não está desenhada em escala O módulo do campo magnético produzido no centro de curvatura é 4725 μT Quando a semicircunferência menor sofre uma rotação de 180o Fig 2947b o módulo do campo magnético produzido no centro de curvatura diminui para 1575 μT e o sentido do campo se inverte Qual é o raio da semicircunferência menor Figura 2947 Problema 18 19 Um fio longo está no eixo x e conduz uma corrente de 30 A no sentido positivo do eixo Um segundo fio longo é perpendicular ao plano xy passa pelo ponto 0 40 m 0 e conduz uma corrente de 40 A no sentido positivo do eixo z Determine o módulo do campo magnético produzido pelos fios no ponto 0 20 m 0 20 Na Fig 2948 parte de um fio longo isolado que conduz uma corrente i 578 mA é encurvada para formar uma espira circular de raio R 189 cm Determine o campo magnético C no centro da espira na notação dos vetores unitários a se a espira estiver no plano do papel e b se o plano da espira for perpendicular ao plano do papel depois de a espira sofrer uma rotação de 90o no sentido anti horário como mostra a figura Figura 2948 Problema 20 21 A Fig 2949 mostra em seção reta dois fios retilíneos muito longos ambos percorridos por uma corrente de 400 A orientada para fora do papel A distância entre os fios é d1 600 m e a distância entre o ponto P equidistante dos dois fios e o ponto médio do segmento de reta que liga os dois fios é d2 400 m Determine o módulo do campo magnético total produzido no ponto P pelos dois fios Figura 2949 Problema 21 22 A Fig 2950a mostra em seção reta dois fios longos e paralelos percorridos por correntes e separados por uma distância L A razão i1i2 entre as correntes é 400 o sentido das correntes não é conhecido A Fig 2950b mostra a componente By do campo magnético em função da posição no eixo x à direita do fio 2 A escala vertical é definida por Bys 40 nT e a escala horizontal é definida por xs 200 cm a Para qual valor de x 0 a componente By é máxima b Se i2 3 mA qual é o valor máximo de By Determine o sentido para dentro ou para fora do papel c de i1 e d de i2 Figura 2950 Problema 22 23 A Fig 2951 mostra um próton que se move com velocidade 200 ms em direção a um fio longo retilíneo que conduz uma corrente i 350 mA No instante mostrado a distância entre o próton e o fio é d 289 cm Na notação dos vetores unitários qual é a força magnética a que o próton está submetido Figura 2951 Problema 23 24 A Fig 2952 mostra em seção reta quatro fios finos paralelos retilíneos e muito compridos que conduzem correntes iguais nos sentidos indicados Inicialmente os quatro fios estão a uma distância d 150 cm da origem do sistema de coordenadas onde criam um campo magnético total a Para qual valor de x o fio 1 deve ser deslocado ao longo do eixo x para que o campo sofra uma rotação de 30o no sentido antihorário b Com o fio 1 na nova posição para qual valor de x o fio 3 deve ser deslocado ao longo do eixo x para que o campo volte à orientação inicial Figura 2952 Problema 24 25 A Fig 2953 mostra um fio que conduz uma corrente i 300 A Dois trechos retilíneos semi infinitos ambos tangentes à mesma circunferência são ligados por um arco de circunferência que possui um ângulo central θ e coincide com parte da circunferência O arco e os dois trechos retilíneos estão no mesmo plano Se B 0 no centro da circunferência qual é o valor de θ Figura 2953 Problema 25 26 Na Fig 2954a o fio 1 é formado por um arco de circunferência e dois segmentos radiais e conduz uma corrente i1 050 A no sentido indicado O fio 2 mostrado em seção reta é longo retilíneo e perpendicular ao plano do papel A distância entre o fio 2 e o centro do arco é igual ao raio R do arco e o fio conduz uma corrente i2 que pode ser ajustada As duas correntes criam um campo magnético total no centro do arco A Fig 2954b mostra o quadrado do módulo do campo B2 em função do quadrado da corrente i2 2 Qual é o ângulo subtendido pelo arco Figura 2954 Problema 26 27 Na Fig 2955 dois fios longos retilíneos mostrados em seção reta conduzem correntes i1 300 mA e i2 400 mA dirigidas para fora do papel Os fios estão à mesma distância da origem onde criam um campo magnético Qual deve ser o novo valor de i1 para que sofra uma rotação de 200o no sentido horário Figura 2955 Problema 27 28 A Fig 2956a mostra dois fios O fio 1 é formado por um arco de circunferência de raio R e dois segmentos radiais e conduz uma corrente i1 20 A no sentido indicado O fio 2 é longo e retilíneo conduz uma corrente i2 que pode ser ajustada e está a uma distância R2 do centro do arco O campo magnético produzido pelas duas correntes é medido no centro de curvatura do arco A Fig 2956b mostra a componente de na direção perpendicular ao plano do papel em função da corrente i2 A escala horizontal é definida por i2s 100 A Determine o ângulo subtendido pelo arco Figura 2956 Problema 28 29 Na Fig 2957 quatro fios longos retilíneos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de lado a 20 cm As correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel nos fios 2 e 3 e todos os fios conduzem uma corrente de 20 A Na notação dos vetores unitários qual é o campo magnético no centro do quadrado Figura 2957 Problemas 29 37 e 40 30 Dois fios longos retilíneos percorridos por uma corrente estão apoiados na superfície de um cilindro longo de plástico de raio R 200 cm paralelamente ao eixo do cilindro A Fig 2958a mostra em seção reta o cilindro e o fio 1 mas não o fio 2 Com o fio 2 mantido fixo no lugar o fio 1 é deslocado sobre o cilindro do ângulo θ1 0o até o ângulo θ1 180o passando pelo primeiro e segundo quadrantes do sistema de coordenadas xy e o campo magnético no centro do cilindro é medido em função de θ1 A Fig 2958b mostra a componente Bx de em função de θ1 a escala vertical é definida por Bxs 60 μT e a Fig 2958c mostra a componente By em função de θ1 a escala vertical é definida por Bys 40 μT a Qual é o ângulo θ2 que define a posição do fio 2 Determine b o valor absoluto e c o sentido para dentro ou para fora do papel da corrente no fio 1 Determine também d o valor absoluto e e o sentido da corrente no fio 2 Figura 2958 Problema 30 31 Na Fig 2959 a 47 cm e i 13 A Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético no ponto P Figura 2959 Problema 31 32 A espira percorrida por corrente da Fig 2960a é constituída por uma semicircunferência com 100 cm de raio uma semicircunferência menor com o mesmo centro e dois segmentos radiais todos no mesmo plano A semicircunferência menor sofre uma rotação de um ângulo θ para fora do plano veja a Fig 2960b A Fig 2960c mostra o módulo do campo magnético no centro de curvatura em função do ângulo θ A escala vertical é definida por Ba 100 μT e Bb 120 μT Qual é o raio do semicírculo menor Figura 2960 Problema 32 33 A Fig 2961 mostra a seção reta de uma fita longa e fina de largura w 491 cm que está conduzindo uma corrente uniformemente distribuída i 461 μA para dentro do papel Na notação dos vetores unitários qual é o campo magnético em um ponto P no plano da fita situado a uma distância d 216 cm de uma das bordas Sugestão Imagine a fita como um conjunto formado por um número muito grande de fios finos paralelos Figura 2961 Problema 33 34 A Fig 2962 mostra em seção reta dois fios retilíneos longos apoiados na superfície de um cilindro de plástico com 200 cm de raio e paralelos ao eixo do cilindro O fio 1 conduz uma corrente i1 600 mA para fora do papel e é mantido fixo no lugar do lado esquerdo do cilindro O fio 2 conduz uma corrente i2 400 mA para fora do papel e pode ser deslocado em torno do cilindro Qual deve ser o ângulo positivo θ2 do fio 2 para que na origem o módulo do campo magnético total seja 800 nT Figura 2962 Problema 34 Módulo 292 Forças entre Duas Correntes Paralelas 35 A Fig 2963 mostra o fio 1 em seção reta o fio é longo e retilíneo conduz uma corrente de 400 mA para fora do papel e está a uma distância d1 240 cm de uma superfície O fio 2 que é paralelo ao fio 1 e também longo está na superfície a uma distância horizontal d2 500 cm do fio 1 e conduz uma corrente de 680 mA para dentro do papel Qual é a componente x da força magnética por unidade de comprimento que age sobre o fio 2 Figura 2963 Problema 35 36 Na Fig 2964 cinco fios longos paralelos no plano xy estão separados por uma distância d 800 cm têm 100 m de comprimento e conduzem correntes iguais de 300 A para fora do papel Determine na notação dos vetores unitários a força magnética a que está submetido a o fio 1 b o fio 2 c o fio 3 d o fio 4 e e o fio 5 Figura 2964 Problemas 36 e 39 37 Na Fig 2957 quatro fios longos retilíneos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de lado a 135 cm Todos os fios conduzem correntes de 750 A e as correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel nos fios 2 e 3 Na notação dos vetores unitários qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 4 38 A Fig 2965a mostra em seção reta três fios percorridos por corrente que são longos retilíneos e paralelos Os fios 1 e 2 são mantidos fixos no eixo x separados por uma distância d O fio 1 conduz uma corrente de 0750 A mas o sentido da corrente é desconhecido O fio 3 com uma corrente de 0250 para fora do papel pode ser deslocado ao longo do eixo x o que modifica a força a que está sujeito o fio 2 A componente y dessa força é F2y e o seu valor por unidade de comprimento do fio 2 é F2yL2 A Fig 29 65b mostra o valor de F2yL2 em função da coordenada x do fio 3 O gráfico possui uma assíntota F2yL2 0627 μNm para x A escala horizontal é definida por xs 120 cm Determine a o valor e b o sentido para dentro ou para fora do papel da corrente no fio 2 Figura 2965 Problema 38 39 Na Fig 2964 cinco fios paralelos longos no plano xy estão separados por uma distância d 500 cm As correntes para dentro do papel são i1 200 A i3 0250 A i4 400 A e i5 200 A a corrente para fora do papel é i2 400 A Qual é o módulo da força por unidade de comprimento que age sobre o fio 3 40 Na Fig 2957 quatro fios longos retilíneos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de lado a 850 cm Todos os fios conduzem correntes de 150 A para fora do papel Em termos dos vetores unitários qual é a força magnética por metro de fio que age sobre o fio 1 41 Na Fig 2966 um fio longo retilíneo conduz uma corrente i1 300 A e uma espira retangular conduz uma corrente i2 200 A Suponha que a 100 cm b 800 cm e L 300 cm Na notação dos vetores unitários qual é a força a que está submetida a espira Figura 2966 Problema 41 Módulo 293 Lei de Ampère 42 Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de 15 Am2 no sentido positivo do eixo z Determine o valor de se a integral de linha for calculada para o percurso fechado formado por três segmentos de reta de 4d 0 0 para 4d 3d 0 de 4d 3d 0 para 0 0 0 e de 0 0 0 para 4d 0 0 com d 20 cm 43 A Fig 2967 mostra a seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a 200 cm que conduz uma corrente uniforme de 170 A Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a a 0 b 100 cm c 200 cm superfície do fio e d 400 cm Figura 2967 Problema 43 44 A Fig 2968 mostra duas curvas fechadas envolvendo duas espiras que conduzem correntes i1 50 A e i2 30 A Determine o valor da integral a para a curva 1 e b para a curva 2 Figura 2968 Problema 44 45 Os oito fios da Fig 2969 conduzem correntes iguais de 20 A para dentro ou para fora do papel Duas curvas estão indicadas para a integral de linha Determine o valor da integral a para a curva 1 e b para a curva 2 Figura 2969 Problema 45 46 Oito fios são perpendiculares ao plano do papel nos pontos indicados na Fig 2970 O fio k k 1 2 8 conduz uma corrente ki em que i 450 mA Para os fios com k ímpar a corrente é para fora do papel para os fios com k par a corrente é para dentro do papel Determine o valor de para a curva fechada mostrada na figura no sentido indicado Figura 2970 Problema 46 47 A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico longo de raio a 31 mm é paralela ao eixo central e o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação J J0ra em que J0 310 Am2 Determine o módulo do campo magnético a para r 0 b para r a2 e c para r a 48 Na Fig 2971 um cano longo circular de raio externo R 26 cm conduz uma corrente uniformemente distribuída i 800 mA para dentro do papel Existe um fio paralelo ao cano a uma distância de 300R do eixo do cano Determine a o valor e b o sentido para dentro ou para fora do papel da corrente no fio para que o campo magnético no ponto P tenha o mesmo módulo que o campo magnético no eixo do cano e o sentido oposto Figura 2971 Problema 48 Módulo 294 Solenoides e Toroides 49 Um toroide de seção reta quadrada com 500 cm de lado e raio interno de 150 cm tem 500 espiras e conduz uma corrente de 0800 A O toroide é feito a partir de um solenoide quadrado em vez de redondo como o da Fig 2917 Determine o campo magnético no interior do toroide a a uma distância do centro igual ao raio interno e b a uma distância do centro igual ao raio externo 50 Um solenoide com 950 cm de comprimento tem um raio de 200 cm e 1200 espiras a corrente é de 360 A Calcule o módulo do campo magnético no interior do solenoide 51 Um solenoide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro conduz uma corrente de 029 A Calcule o módulo do campo magnético no interior do solenoide 52 Um solenoide com 130 m de comprimento e 260 cm de diâmetro conduz uma corrente de 180 A O campo magnético no interior do solenoide é de 230 mT Determine o comprimento do fio de que é feito o solenoide 53 Um solenoide longo tem 100 espirascm e conduz uma corrente i Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência de 230 cm de raio perpendicular ao eixo do solenoide A velocidade do elétron é 00460c c é a velocidade da luz Determine a corrente i no solenoide 54 Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenoide ideal com uma velocidade de 800 ms que faz um ângulo de 30o com o eixo central do solenoide O solenoide tem 8000 espiras e conduz uma corrente de 40 A Quantas revoluções o elétron descreve no interior do solenoide antes de chegar à outra extremidade Em um solenoide real no qual o campo não é uniforme perto das extremidades o número de revoluções é ligeiramente menor que o valor calculado neste problema 55 Um solenoide longo com 100 espirascm e um raio de 700 cm conduz uma corrente de 200 mA Um condutor retilíneo situado no eixo central do solenoide conduz uma corrente de 600 A a A que distância do eixo do solenoide a direção do campo magnético resultante faz um ângulo de 45o com a direção do eixo b Qual é o módulo do campo magnético a essa distância do eixo Módulo 295 Relação entre uma Bobina Plana e um Dipolo Magnético 56 A Fig 2972 mostra um dispositivo conhecido como bobina de Helmholtz formado por duas bobinas circulares coaxiais de raio R 250 cm com 200 espiras separadas por uma distância s R As duas bobinas conduzem correntes iguais i 122 mA no mesmo sentido Determine o módulo do campo magnético no ponto P situado no eixo das bobinas a meio caminho entre elas Figura 2972 Problema 56 57 Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d 50 cm A bobina é ligada a uma bateria que produz uma corrente de 40 A no fio a Qual é o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã b A que distância axial z d o campo magnético do eletroímã tem um módulo de 50 μT aproximadamente um décimo do campo magnético da Terra 58 A Fig 2973a mostra um fio que conduz uma corrente i e forma uma bobina circular com uma espira Na Fig 2973b um fio de mesmo comprimento forma uma bobina circular com duas espiras de raio igual à metade do raio da espira da Fig 2973a a Se Ba e Bb são os módulos dos campos magnéticos nos centros das duas bobinas qual é o valor da razão BbBa b Qual é o valor da razão μbμa entre os momentos dipolares das duas bobinas Figura 2973 Problema 58 59 Qual é o módulo do momento dipolar magnético do solenoide descrito no Problema 51 60 Na Fig 2974a duas espiras circulares com diferentes correntes e o mesmo raio de 40 cm têm o centro no eixo y e estão separadas inicialmente por uma distância L 30 cm com a espira 2 posicionada na origem do eixo As correntes nas duas espiras produzem um campo magnético na origem cuja componente y é By Essa componente é medida enquanto a espira 2 é deslocada no sentido positivo do eixo y A Fig 2974b mostra o valor de By em função da coordenada y da espira 2 A curva tem uma assíntota By 720 μT para y A escala horizontal é definida por ys 100 cm Determine a a corrente i1 na espira 1 e b a corrente i2 na espira 2 Figura 2974 Problema 60 61 Uma espira circular com 12 cm de raio conduz uma corrente de 15 A Uma bobina plana com 082 cm de raio e 50 espiras conduzindo uma corrente de 13 A é concêntrica com a espira O plano da espira é perpendicular ao plano da bobina Suponha que o campo magnético da espira é uniforme na região em que se encontra a bobina Determine a o módulo do campo magnético produzido pela espira no centro comum da espira e da bobina e b o módulo do torque exercido pela espira sobre a bobina 62 Na Fig 2975 uma corrente i 562 mA circula em uma espira formada por dois segmentos radiais e duas semicircunferências de raios a 572 cm e b 936 cm com um centro comum P Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora da página do campo magnético no ponto P e c o módulo e d o sentido do momento magnético da espira Figura 2975 Problema 62 63 Na Fig 2976 um fio conduz uma corrente de 60 A ao longo do circuito fechado abcdefgha que percorre 8 das 12 arestas de um cubo com 10 cm de aresta a Considerando o circuito uma combinação de três espiras quadradas bcfgb abgha e cdefc determine o momento magnético total do circuito na notação dos vetores unitários b Determine o módulo do campo magnético total no ponto de coordenadas 0 50 m 0 Figura 2976 Problema 63 Problemas Adicionais 64 Na Fig 2977 uma espira conduz uma corrente i 200 mA A espira é formada por dois segmentos radiais e dois arcos de circunferência concêntricos de raios 200 m e 400 m O ângulo θ é π4 rad Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético no centro de curvatura P Figura 2977 Problema 64 65 Um fio cilíndrico com 800 mm de raio conduz uma corrente de 250 A uniformemente distribuída ao longo da seção reta A que distância do eixo central existem pontos no interior do fio nos quais o módulo do campo magnético é 0100 mT 66 Dois fios longos estão no plano xy e conduzem correntes no sentido positivo do eixo x O fio 1 está em y 100 cm e conduz uma corrente de 600 A o fio 2 está em y 500 cm e conduz uma corrente de 100 A a Na notação dos vetores unitários qual é o campo magnético na origem b Para qual valor de y o campo é zero c Se a corrente no fio 1 for invertida para qual valor de y o campo será zero 67 Duas espiras uma em forma de circunferência e outra em forma de quadrado têm o mesmo comprimento L e conduzem a mesma corrente i Mostre que o campo magnético produzido no centro da espira quadrada é maior que o campo magnético produzido no centro da espira circular 68 Um fio longo retilíneo conduz uma corrente de 50 A Um elétron está se movendo com uma velocidade de 10 107 ms a 50 cm de distância do fio Determine o módulo da força magnética que age sobre o elétron se o elétron estiver se movendo a na direção do fio b paralelamente ao fio no sentido da corrente e c perpendicularmente às direções dos itens a e b 69 Três fios longos são paralelos ao eixo z e conduzem uma corrente de 10 A no sentido z Os pontos de interseção dos fios com o plano xy formam um triângulo equilátero com 50 cm de lado como mostra a Fig 2978 Um quarto fio fio b passa pelo ponto médio da base do triângulo e é paralelo aos outros três fios Se a força magnética exercida sobre o fio a é zero determine a o valor e b o sentido z ou z da corrente no fio b Figura 2978 Problema 69 70 A Fig 2979 mostra uma espira percorrida por uma corrente i 200 A A espira é formada por uma semicircunferência de 400 m de raio dois quartos de circunferência de 200 m de raio cada um e três segmentos retilíneos Qual é o módulo do campo magnético no centro comum dos arcos de circunferência Figura 2979 Problema 70 71 Um fio nu de cobre calibre 10 ou seja com 26 mm de diâmetro pode conduzir uma corrente de 50 A sem superaquecer Qual é para essa corrente o módulo do campo magnético na superfície do fio 72 Um fio longo vertical conduz uma corrente desconhecida Uma superfície cilíndrica de espessura desprezível coaxial com o fio com 30 mm de raio conduz uma corrente de 30 mA dirigida para cima Se o módulo do campo magnético em um ponto situado a 50 mm de distância do fio é 10 μT determine a o valor e b o sentido da corrente no fio 73 A Fig 2980 mostra a seção reta de um condutor longo cilíndrico de raio r 400 cm que contém um furo longo cilíndrico de raio b 150 cm Os eixos centrais do cilindro e do furo são paralelos e estão separados por uma distância d 200 cm uma corrente i 525 A está distribuída uniformemente na região sombreada a Determine o módulo do campo magnético no centro do furo b Discuta os casos especiais b 0 e d 0 Figura 2980 Problema 73 74 O módulo do campo magnético a 880 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 730 μT Determine a corrente no fio 75 A Fig 2981 mostra um segmento de fio de comprimento Δs 30 cm com o centro na origem percorrido por uma corrente i 20 A no sentido positivo do eixo y como parte de um circuito completo Para calcular o módulo do campo magnético produzido pelo segmento em um ponto situado a vários metros da origem podemos usar a lei de BiotSavart na forma B μ04πi Δs sen θr2 já que r e θ podem ser considerados constantes para todo o segmento Calcule na notação dos vetores unitários para pontos situados nas seguintes coordenadas a 0 0 50 m b 0 60 m 0 c 70 m 70 m 0 e d 30 m 40 m 0 Figura 2981 Problema 75 76 A Fig 2982 mostra em seção reta dois fios longos paralelos separados por uma distância d 100 cm os dois fios conduzem uma corrente de 100 A que tem o sentido para fora do papel no fio 1 O ponto P está na mediatriz do segmento de reta que liga os dois fios Determine o campo magnético no ponto P na notação dos vetores unitários se o sentido da corrente 2 for a para fora do papel e b para dentro do papel Figura 2982 Problema 76 77 Na Fig 2983 dois fios longos conduzem a mesma corrente i Ambos seguem um arco de 90o da mesma circunferência de raio R Mostre que o campo magnético no centro da circunferência é igual ao campo em um ponto situado a uma distância R abaixo de um fio longo retilíneo que conduz uma corrente i para a esquerda Figura 2983 Problema 77 78 Um fio longo que conduz uma corrente de 100 A é perpendicular às linhas de campo magnético de um campo magnético uniforme cujo módulo é 50 mT A que distância do fio o campo magnético é zero 79 Um condutor longo oco cilíndrico raio interno 20 mm raio externo 40 mm é percorrido por uma corrente de 24 A distribuída uniformemente na seção reta Um fio longo e fino coaxial com o cilindro conduz uma corrente de 24 A no sentido oposto Determine o módulo do campo magnético a a 10 mm b 30 mm e c 50 mm de distância do eixo central do fio e do cilindro 80 Um fio longo tem um raio maior que 40 mm e conduz uma corrente uniformemente distribuída ao longo da seção reta O módulo do campo magnético produzido pela corrente é 028 mT em um ponto situado a 40 mm do eixo do fio e 020 mT em um ponto situado a 10 mm do eixo do fio Qual é o raio do fio 81 A Fig 2984 mostra a seção reta de uma placa condutora infinita que conduz uma corrente λ por unidade de largura dirigida para fora do papel a Utilize a lei de BiotSavart e a simetria da situação para mostrar que para todos os pontos P acima da placa e para todos os pontos Pʹ abaixo da placa o campo magnético é paralelo à placa e tem o sentido indicado na figura b Use a lei de Ampère para mostrar que B μ0λ2 em todos os pontos P e Pʹ Figura 2984 Problema 81 82 A Fig 2985 mostra em seção reta dois fios longos paralelos separados por uma distância d 186 cm A corrente nos fios é 423 A para fora do papel no fio 1 e para dentro do papel no fio 2 Na notação dos vetores unitários qual é o campo magnético no ponto P situado a uma distância R 342 cm da reta que liga os dois fios Figura 2985 Problema 82 83 Na notação dos vetores unitários qual é o campo magnético no ponto P da Fig 2986 se i 10 A e a 80 cm Note que os fios não são longos Figura 2986 Problema 83 84 Três longos fios estão no plano xy são paralelos ao eixo x e guardam entre si uma distância de 10 cm Os dois fios externos conduzem uma corrente de 50 A no sentido positivo do eixo x Determine o módulo da força que age sobre um trecho de 30 m de um dos fios externos se a corrente no fio central é 32 A a no sentido positivo do eixo x e b no sentido negativo do eixo x 85 A Fig 2987 mostra a seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b que conduz uma corrente i uniformemente distribuída a Mostre que para b r a o módulo Br do campo elétrico a uma distância r do eixo central do condutor é dado por b Mostre que para r a a equação do item a fornece o módulo B do campo magnético na superfície do condutor para r b o campo magnético é zero para b 0 a equação fornece o módulo do campo magnético no interior de um condutor cilíndrico maciço de raio a c Faça um gráfico de Br de r 0 a r 6 cm para a 20 cm b 18 cm e i 100 A Figura 2987 Problema 85 86 Mostre que o módulo do campo magnético produzido no centro de uma espira retangular de comprimento L e largura W percorrida por uma corrente i é dado por 87 A Fig 2988 mostra a seção reta de um cabo coaxial longo de raios a b e c Correntes i de mesmo valor e sentidos opostos estão uniformemente distribuídas nos dois condutores Escreva expressões para o módulo do campo magnético Br em função da distância radial r a para r c b para c r b c para b r a e d para r a e Teste essas expressões para todos os casos especiais possíveis f Suponha que a 20 cm b 18 cm c 040 cm e i 120 A e plote a função Br no intervalo 0 r 3 cm Figura 2988 Problema 87 88 A Fig 2989 é um desenho esquemático de um canhão eletromagnético O projétil P é colocado entre dois trilhos de seção reta circular uma fonte faz passar uma corrente nos trilhos e no projétil que é feito de material condutor não é necessário usar fusível a Sejam w a distância entre os trilhos R o raio dos trilhos e i a corrente Mostre que o projétil é submetido a uma força para a direita paralela aos trilhos cujo módulo é dado aproximadamente por b Se o projétil está inicialmente em repouso na extremidade esquerda dos trilhos determine a velocidade v com a qual é lançado da extremidade direita Suponha que i 450 kA w 12 mm R 67 cm L 40 m e a massa do projétil é 10 g Figura 2989 Problema 88 CAPÍTULO 30 Indução e Indutância 301 LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3001 Saber que o fluxo magnético Φ através de uma superfície é a quantidade de campo magnético que atravessa a superfície 3002 Saber que o vetor área de uma superfície plana é um vetor perpendicular à superfície cujo módulo é igual à área da superfície 3003 Saber que qualquer superfície pode ser dividida em elementos de área regiões suficientemente pequenas para serem consideradas planas vetores área de módulo infinitesimal perpendiculares à superfície no ponto em que se encontra o elemento 3004 Calcular o fluxo magnético Φ através de uma superfície integrando o produto escalar do vetor campo magnético pelo vetor elemento de área ao longo de toda a superfície 3005 Saber que quando varia o número de linhas de campo magnético interceptadas por uma espira condutora uma corrente é induzida na espira 3006 Saber que a corrente induzida em uma espira condutora é produzida por uma força eletromotriz induzida 3007 Conhecer a lei de Faraday que é a relação entre a força eletromotriz induzida em uma espira condutora e a taxa de variação do fluxo magnético através da espira 3008 Aplicar a lei de Faraday a uma bobina com várias espiras 3009 Conhecer as três formas diferentes de mudar o fluxo magnético que atravessa uma bobina 3010 Usar a regra da mão direita da lei de Lenz para determinar o sentido da força eletromotriz induzida e o sentido da corrente induzida em uma espira condutora 3011 Saber que quando varia o fluxo magnético através de uma espira condutora a corrente induzida na espira cria um campo magnético que se opõe à variação 3012 No caso de uma força eletromotriz induzida em um circuito que contém uma fonte determinar a força eletromotriz total e calcular a corrente no circuito IdeiasChave O fluxo magnético ΦB de um campo magnético através de uma área A é dado por em que a integral se estende a toda a área A unidade de fluxo do SI é o weber Wb 1 Wb 1 T m2 Se o campo magnético é uniforme e perpendicular a uma superfície de A o fluxo através da superfície é dado por 1 2 3 Se o fluxo magnético ΦB através de uma área limitada por uma espira condutora varia com o tempo uma corrente e uma força eletromotriz são produzidas na espira o processo é chamado de indução A força eletromotriz induzida é dada por Se a espira é substituída por um enrolamento compacto com N espiras a força eletromotriz induzida passa a ser O sentido de uma corrente induzida é tal que o campo magnético criado pela corrente se opõe à variação de campo magnético que induziu a corrente A força eletromotriz induzida tem um sentido compatível com esse sentido da corrente O que É Física No Capítulo 29 discutimos o fato de que uma corrente produz um campo magnético Isso foi uma surpresa para os primeiros cientistas que observaram o fenômeno Talvez ainda mais surpreendente tenha sido a descoberta do efeito oposto Um campo magnético pode gerar um campo elétrico capaz de produzir uma corrente Essa ligação entre um campo magnético e o campo elétrico produzido induzido é hoje chamada de lei de indução de Faraday As observações que levaram a essa lei feitas por Michael Faraday e outros cientistas eram a princípio apenas ciência básica Hoje porém aplicações dessa ciência básica estão em toda parte A indução é responsável por exemplo pelo funcionamento das guitarras elétricas que revolucionaram o rock e ainda são muito usadas na música popular Também é essencial para a operação dos geradores que fornecem energia elétrica a nossas cidades e dos fornos de indução usados na indústria quando grandes quantidades de metal têm que ser fundidas rapidamente Antes de tratarmos de aplicações como a guitarra elétrica vamos discutir dois experimentos simples relacionados à lei de indução de Faraday Dois Experimentos Primeiro Experimento A Fig 301 mostra uma espira de material condutor ligada a um amperímetro Como não existe bateria ou outra fonte de tensão no circuito não há corrente Entretanto quando aproximamos da espira um ímã em forma de barra o amperímetro indica a passagem de uma corrente A corrente desaparece quando o ímã para Quando afastamos o ímã da espira a corrente torna a aparecer no sentido contrário Repetindo o experimento algumas vezes chegamos às seguintes conclusões A corrente é observada apenas se existe um movimento relativo entre a espira e o ímã a corrente desaparece no momento em que o movimento relativo deixa de existir Quanto mais rápido o movimento maior a corrente Se quando aproximamos da espira o polo norte do ímã a corrente tem o sentido horário quando afastamos o polo norte do ímã a corrente tem o sentido antihorário Nesse caso quando aproximamos da espira o polo sul do ímã a corrente tem o sentido antihorário e quando afastamos da espira o polo sul do ímã a corrente tem o sentido horário A corrente produzida na espira é chamada de corrente induzida o trabalho realizado por unidade de carga para produzir a corrente ou seja para colocar em movimento os elétrons de condução responsáveis pela corrente é chamado de força eletromotriz induzida o processo de produzir a corrente e a força eletromotriz recebe o nome de indução Segundo Experimento Para esse experimento usamos o arranjo da Fig 302 com duas espiras condutoras próximas uma da outra mas sem se tocarem Quando a chave S é fechada fazendo passar uma corrente na espira da direita o amperímetro registra por um breve instante uma corrente na espira da esquerda Quando a chave é aberta o instrumento também registra uma corrente no sentido oposto Observamos uma corrente induzida e portanto uma força eletromotriz induzida quando a corrente na espira da direita está variando aumentando ou diminuindo mas não quando é constante com a chave permanentemente aberta ou permanentemente fechada A força eletromotriz induzida e a corrente induzida nesses experimentos são aparentemente causadas pela variação de alguma coisa mas qual é essa coisa Faraday encontrou a resposta Figura 301 Um amperímetro revela a existência de uma corrente na espira quando o ímã está em movimento em relação à espira Figura 302 Um amperímetro revela a existência de uma corrente no circuito da esquerda quando a chave S é fechada fazendo circular uma corrente no circuito da direita ou quando a chave S é aberta fazendo com que a corrente no circuito da direita seja interrompida mesmo que a posição relativa das espiras não mude durante o processo A Lei de Indução de Faraday Faraday descobriu que uma força eletromotriz e uma corrente podem ser induzidas em uma espira como em nossos dois experimentos fazendo variar a quantidade de campo magnético que atravessa a espira Faraday percebeu ainda que a quantidade de campo magnético pode ser visualizada em termos das linhas de campo magnético que atravessam a espira A lei de indução de Faraday quando aplicada a nossos experimentos diz o seguinte Uma força eletromotriz é induzida na espira da esquerda das Figs 301 e 302 quando varia o número de linhas de campo magnético que atravessam a espira O número de linhas de campo que atravessam a espira não importa os valores da força eletromotriz e da corrente induzida são determinados pela taxa de variação desse número No primeiro experimento Fig 301 as linhas de campo magnético se espalham a partir do polo norte do ímã Assim quando aproximamos o polo norte do ímã da espira o número de linhas de campo que atravessam a espira aumenta Esse aumento aparentemente faz com que os elétrons de condução se movam ou seja produz uma corrente induzida e fornece a energia necessária para esse movimento ou seja produz uma força eletromotriz induzida Quando o ímã para de se mover o número de linhas de campo que atravessam a espira deixa de variar e a corrente induzida e a força eletromotriz induzida desaparecem No segundo experimento Fig 302 quando a chave está aberta a corrente é zero não existem linhas de campo Quando a chave é fechada passa a existir uma corrente na bobina da direita A corrente produz um campo magnético nas vizinhanças da espira da direita que também passa pela espira da esquerda Enquanto a corrente está aumentando o campo também está aumentando e o número de linhas de campo que atravessam a espira da esquerda aumenta Como no primeiro experimento é esse aumento do número de linhas de campo que aparentemente induz uma corrente e uma força eletromotriz na espira da esquerda Quando a corrente na espira da direita atinge o valor final constante o número de linhas de campo que atravessam a espira da esquerda deixa de variar e a corrente induzida e a força eletromotriz induzida desaparecem Um Tratamento Quantitativo Para aplicar a lei de Faraday a problemas específicos precisamos saber calcular a quantidade de campo magnético que atravessa uma espira No Capítulo 23 em uma situação semelhante precisávamos calcular a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície Para isso definimos um fluxo elétrico Vamos agora definir um fluxo magnético Suponha que uma espira que envolve uma área A seja submetida a um campo magnético Nesse caso o fluxo magnético que atravessa a espira é dado por em que é um vetor de módulo dA perpendicular a um elemento de área dA Como no caso do fluxo elétrico estamos interessados na componente do campo que atravessa a superfície ou seja na componente do campo perpendicular à superfície O produto escalar do campo pelo vetor área assegura automaticamente que apenas essa componente seja levada em conta na integração Caso Especial Como um caso especial da Eq 301 suponha que a espira seja plana e que o campo magnético seja perpendicular ao plano da espira Nesse caso podemos escrever o produto escalar da Eq 301 como B dA cos 0o B dA Se além disso o campo magnético for uniforme podemos colocar B do lado de fora do sinal de integral Nesse caso a integral se reduz a dA que é simplesmente a área da espira Assim a Eq 301 se torna Unidade De acordo com as Eqs 301 e 302 a unidade de fluxo magnético do SI é o teslametro quadrado que recebe o nome de weber Wb Lei de Faraday Usando a definição de fluxo magnético podemos enunciar a lei de Faraday de um modo mais rigoroso O módulo da força eletromotriz induzida em uma espira condutora é igual à taxa de variação com o tempo do fluxo magnético ΦB que atravessa a espira Como vamos ver mais adiante a força eletromotriz induzida se opõe à variação do fluxo de modo que matematicamente a lei de Faraday pode ser escrita na forma em que o sinal negativo indica a oposição a que nos referimos O sinal negativo da Eq 304 é frequentemente omitido já que em muitos casos estamos interessados apenas no valor absoluto da força eletromotriz induzida Se o fluxo magnético através de uma bobina de N espiras sofre uma variação uma força eletromotriz é induzida em cada espira e a força eletromotriz total é a soma dessas forças eletromotrizes Se as espiras da bobina estão muito próximas ou seja se temos um enrolamento compacto o mesmo fluxo 1 2 3 1 2 3 magnético ΦB atravessa todas as espiras e a força eletromotriz total induzida na bobina é dada por Existem três formas de mudar o fluxo magnético que atravessa uma bobina Mudar o módulo B do campo magnético Mudar a área total da bobina ou a parte da área atravessada pelo campo magnético aumentando ou diminuindo o tamanho da bobina no primeiro caso e colocando uma parte maior ou menor da bobina na região onde existe o campo no segundo Mudar o ângulo entre a direção do campo magnético e o plano da bobina fazendo girar a bobina por exemplo Teste 1 O gráfico mostra o módulo Bt de um campo magnético uniforme que atravessa uma bobina condutora com a direção do campo perpendicular ao plano da bobina Coloque as cinco regiões do gráfico na ordem descendente do valor absoluto da força eletromotriz induzida da bobina Exemplo 3001 Força eletromotriz induzida em uma bobina por um solenoide O solenoide longo S representado em seção seta na Fig 303 possui 220 espirascm tem um diâmetro D 32 cm e conduz uma corrente i 15 A No centro do solenoide é colocada uma bobina C de enrolamento compacto com 130 espiras e diâmetro d 21 cm A corrente no solenoide é reduzida a zero a uma taxa constante em 25 ms Qual é o valor absoluto da força eletromotriz induzida na bobina C enquanto a corrente no solenoide está variando IDEIASCHAVE Como está situada no interior do solenoide a bobina C é submetida ao campo magnético produzido pela corrente i do solenoide assim um fluxo ΦB atravessa a bobina C Quando a corrente i diminui o fluxo ΦB também diminui De acordo com a lei de Faraday quando ΦB diminui uma força eletromotriz é induzida na bobina C 4 5 O fluxo em cada espira da bobina C depende da área A e da orientação da espira em relação ao campo do solenoide Como é uniforme e perpendicular ao plano das espiras o fluxo é dado pela Eq 302 ΦB BA De acordo com a Eq 2923 B μ0in o módulo B do campo magnético no interior do solenoide depende da corrente i do solenoide e do número n de espiras por unidade de comprimento Figura 303 Uma bobina C no interior de um solenoide S que conduz uma corrente i Cálculos Como a bobina C possui mais de uma espira aplicamos a lei de Faraday na forma da Eq 305 N dΦBdt em que o número N de espiras é 130 e dΦBdt é a taxa de variação do fluxo que atravessa as espiras Como a corrente no solenoide diminui a uma taxa constante o fluxo ΦB também diminui a uma taxa constante e portanto podemos escrever dΦBdt como ΔΦBΔt Para calcular ΔΦB precisamos conhecer apenas os valores inicial e final do fluxo O fluxo final ΦBf é zero porque a corrente final no solenoide é zero Para determinar o fluxo inicial ΦBi observamos que a área A é πd24 3464 104 m2 e n 220 espirascm ou 22000 espirasm Substituindo a Eq 2923 na Eq 302 obtemos Nesse caso temos Como estamos interessados apenas no valor absoluto da força eletromotriz ignoramos o sinal negativo dessa equação e da Eq 305 e escrevemos 1 2 A Lei de Lenz Pouco depois de Faraday descobrir a lei de indução Heinrich Friedrich Lenz propôs uma regra hoje conhecida como lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida em uma espira A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que induz a corrente A força eletromotriz induzida tem um sentido compatível com o sentido da corrente induzida A ideia central da lei de Lenz é a de oposição Para termos uma ideia melhor de como essa ideia funciona vamos aplicála de dois modos diferentes mas equivalentes à situação da Fig 304 na qual o polo norte de um ímã está se aproximando de uma espira condutora Oposição ao Movimento de um Polo A aproximação do polo norte do ímã da Fig 304 aumenta o fluxo magnético que atravessa a espira e portanto induz uma corrente na espira De acordo com a Fig 2922 ao ser percorrida por uma corrente a espira passa a se comportar como um dipolo magnético com um polo sul e um polo norte o momento magnético associado a esse dipolo aponta do polo sul para o polo norte Para se opor ao aumento de fluxo causado pela aproximação do ímã o polo norte da espira e portanto o vetor deve estar voltado para o polo norte do ímã de modo a repelilo Fig 304 Neste caso de acordo com a regra da mão direita veja a Fig 2922 a corrente induzida na espira deve ter o sentido antihorário quando vista do lado do ímã na Fig 304 Quando afastamos o ímã da espira uma nova corrente é induzida na espira Agora o polo sul da espira deve estar voltado para o polo norte do ímã de modo a atraílo e assim se opor ao afastamento Assim a corrente induzida na espira tem o sentido horário quando vista do lado do ímã Oposição à Variação de Fluxo Na Fig 304 com o ímã inicialmente distante o fluxo magnético que atravessa a espira é zero Quando o polo norte do ímã se aproxima da espira com o campo magnético apontando para baixo o fluxo através da espira aumenta Para se opor a esse aumento de fluxo a corrente induzida i deve criar um campo apontando para cima como na Fig 305a nesse caso o fluxo para cima de se opõe ao aumento do fluxo para baixo causado pela aproximação do ímã e o consequente aumento de De acordo com a regra da mão direita da Fig 2922 o sentido de i nesse caso deve ser o sentido antihorário da Fig 305a Atenção O fluxo de sempre se opõe à variação do fluxo de mas isso não significa que e sempre têm sentidos opostos Assim por exemplo quando afastamos o ímã da espira da Fig 304 o fluxo ΦB produzido pelo ímã tem o mesmo sentido que antes para baixo mas agora está diminuindo Nesse caso como mostra a Fig 305b o fluxo de também deve ser para baixo de modo a se opor à diminuição do fluxo ΦB Nesse caso portanto e têm o mesmo sentido As Figs 305c e 305d mostram as situações em que o polo sul do ímã se aproxima e se afasta da espira mais uma vez se opondo à variação do fluxo Figura 304 Aplicação da lei de Lenz Quando o ímã se aproxima da espira uma corrente é induzida na espira A corrente produz um outro campo magnético cujo momento dipolar magnético está orientado de tal forma que se opõe ao movimento do ímã Assim a corrente induzida tem o sentido antihorário como mostra a figura Figura 305 O sentido da corrente i induzida em uma espira é tal que o campo magnético i produzido pela corrente se opõe à variação do campo magnético que induziu a corrente O campo i sempre tem o sentido oposto ao sentido de se está aumentando a c e o mesmo sentido que se está diminuindo b d A regra da mão direita fornece o sentido da corrente induzida a partir do sentido do campo induzido Teste 2 A figura mostra três arranjos nos quais espiras circulares iguais são submetidas a campos magnéticos uniformes crescentes Cre ou decrescentes Dec com a mesma taxa de crescimento ou decaimento A reta tracejada passa pelo centro das bobinas Coloque os arranjos na ordem decrescente do valor absoluto da corrente induzida na espira 1 2 3 4 Exemplo 3002 Força eletromotriz e corrente induzidas por um campo magnético uniforme variável A Fig 306 mostra uma espira condutora formada por uma semicircunferência de raio r 020 m e três fios retilíneos A semicircunferência está em uma região onde existe um campo magnético uniforme orientado para fora do papel o módulo do campo é dado por B 40t2 20t 30 com B em teslas e t em segundos Uma fonte ideal com uma força eletromotriz 20 V é ligada à espira A resistência da espira é 20 Ω a Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz induzida na espira pelo campo no instante t 10 s IDEIASCHAVE De acordo com a lei de Faraday o valor absoluto de é igual à taxa de variação do fluxo magnético através da espira dΦBdt O fluxo através da espira depende da área A da espira e da orientação da espira em relação ao campo magnético Como é uniforme e perpendicular ao plano da espira o fluxo é dado pela Eq 302 ΦB BA Não é necessário integrar B na região envolvida pela espira para calcular o fluxo O campo induzido Bind produzido pela corrente induzida se opõe à variação do fluxo magnético Valor absoluto Usando a Eq 302 e levando em conta o fato de que apenas o módulo B do campo varia com o tempo a área A é constante podemos escrever a lei de Faraday Eq 304 na forma Como o fluxo atravessa apenas a parte da bobina correspondente à semicircunferência a área A é igual a πr22 Substituindo esse valor e a expressão dada para B obtemos Figura 306 Uma fonte é ligada a uma espira condutora que inclui uma semicircunferência de raio r imersa em um campo magnético uniforme O campo cujo módulo varia com o tempo aponta para fora do papel Para t 10 s temos Sentido Para determinar o sentido de observamos que na Fig 306 o fluxo através da espira é para fora do papel e crescente Como o campo induzido Bind produzido pela corrente induzida se opõe a esse aumento ele deve estar orientado para dentro do papel Usando a regra de mão direita Fig 305c descobrimos que a corrente induzida tem o sentido horário e portanto o mesmo acontece com a força eletromotriz induzida b Qual é a corrente na espira no instante t 10 s IDEIACHAVE A espira está sujeita a duas forças eletromotrizes Cálculo A força eletromotriz induzida tende a produzir uma corrente no sentido horário a força eletromotriz da fonte tende a produzir uma corrente no sentido antihorário Como é maior que a força eletromotriz total tem o sentido horário e produz uma corrente no mesmo sentido Para calcular a corrente no instante t 10 s usamos a Eq 272 i R Exemplo 3003 Força eletromotriz induzida por um campo magnético não uniforme variável A Fig 307 mostra uma espira retangular imersa em um campo não uniforme variável que é perpendicular ao plano do papel e aponta para dentro do papel O módulo do campo é dado por B 4t2x2 com B em teslas t em segundos e x em metros Note que B varia com o tempo e com a posição A espira tem uma largura W 30 m e uma altura H 20 m Determine o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na espira no instante t 010 s IDEIASCHAVE 1 2 3 Como o módulo do campo magnético varia com o tempo o fluxo magnético ΦB através da espira também varia De acordo com a lei de Faraday a variação de fluxo induz na espira uma força eletromotriz dΦBdt Para usar essa equação precisamos de uma expressão para o fluxo ΦB em função do tempo t Entretanto como B não é uniforme no interior da espira não podemos usar a Eq 302 ΦB BA para calcular essa expressão mas devemos usar a Eq 301 Figura 307 Uma espira condutora de largura W e altura H está imersa em um campo magnético não uniforme e variável que aponta para dentro do papel Para aplicar a lei de Faraday usamos uma tira vertical de altura H largura dx e área dA Cálculos Na Fig 307 é perpendicular ao plano da espira e portanto paralelo ao vetor elemento de área assim o produto escalar da Eq 301 é igual a B dA Como o campo magnético varia com a coordenada x e não com a coordenada y podemos tomar a área elementar dA como a área de uma tira vertical de altura H e largura dx como mostra a Fig 307 Nesse caso dA H dx e o fluxo através da espira é Tratando t como constante nessa integração e introduzindo os limites de integração x 0 e x 30 m obtemos em que fizemos H 20 m e ΦB está em webers Agora podemos usar a lei de Faraday para determinar o valor absoluto de em função do tempo t em que está em volts No instante t 010 s O fluxo de através da espira é para dentro do papel na Fig 307 e aumenta com o tempo porque o módulo de B aumenta com o tempo De acordo com a lei de Lenz o campo Bind produzido pela corrente induzida se opõe a esse aumento e portanto aponta para fora do papel De acordo com a regra da mão direita da Fig 305a a corrente induzida na espira tem o sentido anti horário e o sentido da força eletromotriz induzida é compatível com esse sentido da corrente 302 INDUÇÃO E TRANSFERÊNCIAS DE ENERGIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3013 No caso de uma espira condutora que se aproxima ou se afasta de uma região onde existe um campo magnético calcular a taxa com a qual a energia é transformada em energia térmica 3014 Conhecer a relação entre a corrente induzida e a taxa com a qual ela produz energia térmica 3015 Saber o que são correntes parasitas IdeiaChave A indução de uma corrente por uma variação de fluxo magnético significa que está sendo transferida energia para a corrente Essa energia pode ser convertida para outras formas como energia térmica por exemplo Indução e Transferências de Energia De acordo com a lei de Lenz quando o ímã é aproximado ou afastado da espira da Fig 301 uma força magnética se opõe ao movimento e portanto é preciso realizar um trabalho positivo para executálo Ao mesmo tempo uma energia térmica é produzida na espira por causa da resistência elétrica do material à corrente induzida na espira pelo movimento A energia transferida ao sistema espira ímã pela força aplicada ao ímã acaba sendo transformada em energia térmica Por enquanto vamos ignorar a energia que é irradiada pela espira na forma de ondas eletromagnéticas durante a indução Quanto mais rápido o movimento do ímã mais depressa a força aplicada realiza trabalho e maior é a rapidez com a qual a energia se transforma em energia térmica em outras palavras maior a potência associada à transferência de energia Qualquer que seja a forma como a corrente é induzida a energia sempre se transforma em energia térmica durante o processo a menos que a espira seja supercondutora por causa da resistência elétrica do material de que é feita a espira Assim por exemplo na Fig 302 quando a chave S é fechada e uma corrente é induzida momentaneamente na espira da esquerda parte da energia fornecida pela fonte é transformada em energia térmica na espira da esquerda Figura 308 Uma espira é puxada com velocidade constante para fora de uma região onde existe um campo magnético Enquanto a espira está se movendo uma corrente i no sentido horário é induzida na espira e os segmentos da espira que ainda estão submetidos a um campo magnético experimentam forças e A Fig 308 mostra outra situação que envolve uma corrente induzida Uma espira retangular de largura L está parcialmente imersa em um campo magnético externo uniforme perpendicular ao plano da espira O campo pode ser produzido por exemplo por um grande eletroímã As retas tracejadas da Fig 308 mostram os limites do campo magnético o efeito das bordas é considerado desprezível Suponha que a espira seja puxada para a direita com velocidade constante Variação do Fluxo A situação da Fig 308 é essencialmente a mesma da Fig 301 Nos dois casos existe um movimento relativo entre um campo magnético e uma espira condutora nos dois casos o fluxo do campo através da espira varia com o tempo É verdade que na Fig 301 o fluxo varia porque varia enquanto na Fig 308 o fluxo varia porque a parte da espira que está imersa no campo magnético varia mas a diferença não é importante A diferença importante entre os dois arranjos é que os cálculos são mais simples para o arranjo da Fig 308 Vamos agora calcular a taxa com a qual é realizado trabalho mecânico quando a espira da Fig 308 é puxada com velocidade constante Potência Como vamos ver para puxar a espira da Fig 308 com velocidade constante é preciso aplicar à espira uma força constante pois a espira está sujeita a uma força magnética de mesmo módulo e sentido oposto De acordo com a Eq 748 a taxa com a qual a força aplicada realiza trabalho ou seja a potência desenvolvida pela força é dada por em que F é o módulo da força aplicada Estamos interessados em obter uma expressão para P em função do módulo B do campo magnético e dos parâmetros da espira que são no caso a resistência R e a largura L Quando deslocamos a espira da Fig 308 para a direita a parte da espira que está imersa no campo magnético diminui Assim o fluxo através da espira também diminui e de acordo com a lei de Faraday uma corrente é induzida na espira É a circulação dessa corrente que produz a força que se opõe ao movimento Força Eletromotriz Induzida Para determinar o valor da corrente começamos por aplicar a lei de Faraday No instante em que o comprimento da parte da espira que ainda está na região onde existe campo magnético é x a área da parte da espira que ainda está na região onde existe campo magnético é Lx Nesse caso de acordo com a Eq 302 o valor absoluto do fluxo através da bobina é Quando x diminui o fluxo diminui De acordo com a lei de Faraday a diminuição do fluxo faz com que uma força eletromotriz seja induzida na espira Ignorando o sinal negativo da Eq 304 e usando a Eq 30 7 podemos escrever o valor absoluto da força eletromotriz como em que substituímos dxdt por v a velocidade com a qual a espira está se movendo A Fig 309 mostra a espira como um circuito A força eletromotriz induzida aparece do lado esquerdo e a resistência R da espira do lado direito O sentido da corrente induzida i é dado pela regra da mão direita para um fluxo decrescente Fig 305b Aplicando a regra vemos que a corrente circula no sentido horário a força eletromotriz tem o mesmo sentido Figura 309 Diagrama esquemático da espira da Fig 308 enquanto está se movendo Corrente Induzida Para determinar o valor absoluto da corrente induzida não podemos aplicar a regra das malhas para diferenças de potencial em um circuito porque como vamos ver no Módulo 303 não é possível definir uma diferença de potencial para uma força eletromotriz induzida Entretanto podemos aplicar a equação i R Usando o valor de dado pela Eq 308 temos Como três segmentos da espira da Fig 308 se encontram em uma região onde existe campo magnético estão sujeitos a forças transversais quando são percorridos por uma corrente elétrica De acordo com a Eq 2826 essas forças são dadas em notação vetorial pela equação Na Fig 308 as forças que agem sobre os três segmentos da espira foram chamadas de e Note que por simetria as forças e têm módulos iguais e sentidos opostos e portanto se cancelam mutuamente Isso deixa apenas a força que tem o sentido oposto ao da força aplicada à espira e resiste ao movimento Assim Usando a Eq 3010 para obter o módulo de e observando que o ângulo entre e o vetor comprimento para o segmento da esquerda é 90o podemos escrever Substituindo i na Eq 3011 por seu valor dado pela Eq 309 obtemos Como B L e R são constantes a velocidade v com a qual a espira é puxada é constante se o módulo da força F aplicada à espira for constante Potência Substituindo a Eq 3012 na Eq 306 podemos obter a potência desenvolvida na tarefa de puxar a espira na presença de um campo magnético Energia Térmica Para completar nossa análise vamos calcular a potência dissipada na espira na forma de energia térmica quando a espira é puxada com velocidade constante De acordo com a Eq 26 27 Substituindo i pelo seu valor dado pela Eq 309 obtemos que é exatamente igual à potência desenvolvida na tarefa de puxar a espira veja a Eq 3013 Assim o trabalho para puxar a espira na presença de um campo magnético é totalmente transformado em energia térmica Correntes Parasitas Suponha que a espira condutora da Fig 308 seja substituída por uma placa condutora maciça Quando puxamos a placa para fora da região onde existe campo magnético como fizemos com a espira Fig 30 10a o movimento relativo entre o campo e o condutor induz uma corrente no condutor Assim surge uma força que se opõe ao movimento e precisamos realizar um trabalho por causa da corrente induzida No caso da placa os elétrons de condução responsáveis pela corrente induzida não seguem todos a mesma trajetória como no caso da espira Em vez disso circulam no interior da placa como se fizessem parte de um remoinho Uma corrente desse tipo é chamada de corrente parasita e pode ser representada como na Fig 3010a por uma única espira Como no caso da espira condutora da Fig 308 a corrente induzida faz com que a energia mecânica usada para puxar a placa se transforme em energia térmica A dissipação é mais evidente no arranjo da Fig 3010b uma placa condutora livre para girar em torno de um eixo é liberada para oscilar como um pêndulo passando por uma região onde existe um campo magnético Toda vez que a placa entra no campo ou sai do campo parte da energia mecânica é transformada em energia térmica Depois de algumas oscilações a energia mecânica se esgota e a placa agora aquecida permanece imóvel na parte inferior da trajetória Figura 3010 a Quando uma placa é puxada para fora de uma região onde existe um campo magnético correntes parasitas são induzidas na placa A figura mostra uma corrente parasita típica b Uma placa condutora balança como um pêndulo entrando e saindo de uma região onde existe um campo magnético Correntes parasitas são induzidas na placa toda vez que a placa entra na região ou sai da região Teste 3 A figura mostra quatro espiras cujos lados têm comprimento L ou 2L As quatro espiras se movem com a mesma velocidade constante em uma região onde existe um campo magnético uniforme que aponta para fora do papel Coloque as quatro espiras na ordem decrescente do valor absoluto da força eletromotriz induzida 303 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3016 Saber que um campo magnético variável induz um campo elétrico mesmo na ausência de uma espira condutora 3017 Usar a lei de Faraday para relacionar o campo elétrico induzido ao longo de uma curva fechada mesmo que não esteja associado a um material condutor à taxa de variação dΦdt do fluxo magnético envolvido pela curva 3018 Saber que não é possível associar um potencial elétrico a um campo elétrico induzido IdeiasChave Uma força eletromotriz é induzida por um fluxo magnético variável mesmo que a curva no interior da qual o fluxo é variável seja apenas uma linha imaginária O campo magnético variável induz um campo elétrico em todos os pontos da curva a força eletromotriz induzida está relacionada ao campo pela equação Usando o campo elétrico induzido podemos escrever a lei de Faraday de outra forma Um campo magnético variável induz um campo elétrico Campos Elétricos Induzidos Suponha que um anel de cobre de raio r seja submetido a um campo magnético externo uniforme como na Fig 3011a O campo desprezando o efeito de borda ocupa um volume cilíndrico de raio R Suponha que a intensidade do campo seja aumentada a uma taxa constante talvez aumentando de forma apropriada a corrente nos enrolamentos do eletroímã que produz o campo Nesse caso o fluxo magnético através do anel também aumenta a uma taxa constante e de acordo com a lei de Faraday uma força eletromotriz induzida e uma corrente induzida aparecem no anel De acordo com a lei de Lenz a corrente induzida tem o sentido antihorário na Fig 3011a Se existe uma corrente no anel de cobre deve haver um campo elétrico para colocar em movimento os elétrons de condução Esse campo elétrico induzido produzido pela variação do fluxo magnético é tão real quanto o campo elétrico produzido por cargas estáticas os dois tipos de campo exercem uma força q0 sobre uma partícula de carga q0 Por essa linha de raciocínio somos levados a um enunciado mais geral da lei de indução de Faraday Um campo magnético variável produz um campo elétrico Um dos aspectos mais interessantes do novo enunciado é o fato de que o campo elétrico induzido existe mesmo que o anel de cobre não esteja presente Assim o campo elétrico apareceria ainda que o campo magnético variável estivesse no vácuo Para você ter uma ideia melhor do que isso significa considere a Fig 3011b que é igual à Fig 30 11a exceto pelo fato de que o anel de cobre foi substituído por uma circunferência imaginária de raio r Vamos supor como antes que o módulo do campo magnético esteja aumentando a uma taxa constante dBdt O campo elétrico induzido nos pontos da circunferência deve por simetria ser tangente à circunferência como mostra a Fig 3011b Assim a circunferência é uma linha de campo elétrico Como não há nada de especial na circunferência de raio r as linhas de campo elétrico produzidas pela variação do campo magnético devem ser uma família de circunferências concêntricas como as da Fig 3011c Figura 3011 a Se o campo magnético aumenta a uma taxa constante uma corrente induzida aparece como mostra a figura no anel de cobre de raio r b Um campo elétrico induzido aparece mesmo na ausência do anel a figura mostra o campo elétrico em quatro pontos do espaço c A configuração do campo elétrico induzido mostrada por meio de linhas de campo d Quatro curvas fechadas de mesma forma e mesma área Forças eletromotrizes iguais são induzidas nas curvas 1 e 2 que estão totalmente na região onde existe um campo magnético variável Uma força eletromotriz menor é induzida na curva 3 que está apenas parcialmente imersa no campo magnético A força eletromotriz induzida na curva 4 é zero porque a curva está fora da região em que existe campo magnético Enquanto o campo magnético está aumentando o campo elétrico representado pelas linhas de campo circulares da Fig 3011c continua a existir Se o campo magnético se torna constante o campo elétrico desaparece e com ele as linhas de campo Se o campo magnético começa a diminuir a uma taxa constante as linhas de campo voltam a ser circunferências concêntricas como na Fig 3011c mas com o sentido oposto Tudo isso é consequência da afirmação de que um campo magnético variável produz um campo elétrico Uma Reformulação da Lei de Faraday Considere uma partícula de carga q0 que se move ao longo da circunferência imaginária da Fig 3011b O trabalho W realizado sobre a partícula pelo campo elétrico induzido durante uma revolução completa é W q0 em que é a força eletromotriz induzida trabalho realizado por unidade de carga para fazer uma carga de prova descrever a trajetória Entretanto por definição o trabalho também é dado por em que q0E é o módulo da força que age sobre a partícula e 2πr é a distância ao longo da qual a força atua Quando igualamos as duas expressões para o trabalho a carga q0 é cancelada e obtemos a seguinte relação Vamos agora escrever a Eq 3016 de outra forma para obter uma expressão mais geral do trabalho realizado sobre uma partícula de carga q0 que se move em uma trajetória fechada Os círculos nos sinais de integral indicam que a integral deve ser calculada para uma curva fechada Substituindo o trabalho W por q0 obtemos Essa integral se reduz à Eq 3017 quando é calculada para o caso especial da Fig 3011b Significado da Força Eletromotriz A Eq 3019 permite atribuir um significado mais geral à força eletromotriz induzida Até agora a força eletromotriz induzida era vista como o trabalho por unidade de carga necessário para manter a corrente produzida pela variação de um fluxo magnético ou pelo trabalho por unidade de carga realizado sobre uma partícula carregada que descreve uma curva fechada em uma região na qual existe um fluxo magnético variável Entretanto no caso da Fig 3011b e da Eq 3019 pode existir uma força eletromotriz induzida mesmo que não haja uma corrente ou uma partícula A força eletromotriz induzida é a soma por integração do produto escalar ao longo de uma curva fechada em que é o campo elétrico induzido pela variação do fluxo magnético e é o elemento de comprimento ao longo da curva Combinando a Eq 3019 com a Eq 304 dΦBdt obtemos uma nova expressão para a lei de Faraday De acordo com a Eq 3020 um campo magnético variável induz um campo elétrico O campo magnético aparece do lado direito da equação por meio do fluxo ΦB e o campo elétrico aparece do lado esquerdo Na forma da Eq 3020 a lei de Faraday pode ser aplicada a qualquer curva fechada que possa ser traçada em uma região onde existe um campo magnético variável A Fig 3011d mostra quatro dessas curvas todas com a mesma forma e a mesma área situadas em diferentes posições em relação ao campo magnético aplicado A força eletromotriz induzida para as curvas 1 e 2 é igual porque as duas curvas estão totalmente imersas no campo magnético e portanto o valor de dΦBdt é o mesmo embora os vetores campo elétrico ao longo das curvas sejam diferentes como mostram as linhas de campo elétrico No caso da curva 3 a força eletromotriz induzida é menor porque o fluxo ΦB através da região envolvida pela curva e portanto o valor de dΦBdt é menor Para a curva 4 a força eletromotriz induzida é zero embora o campo elétrico não seja zero em nenhum ponto da curva Uma Nova Visão do Potencial Elétrico Os campos elétricos induzidos não são produzidos por cargas elétricas estáticas e sim por fluxos magnéticos variáveis Embora os campos elétricos produzidos das duas formas exerçam forças sobre partículas carregadas existem diferenças importantes A diferença mais óbvia é o fato de que as linhas de campo dos campos elétricos induzidos formam curvas fechadas como na Fig 3011c As linhas de campo produzidas por cargas estáticas não formam curvas fechadas pois sempre começam em uma carga positiva e terminam em uma carga negativa Em termos mais formais podemos expressar a diferença entre os campos elétricos produzidos por indução e os campos produzidos por cargas estáticas da seguinte forma O potencial elétrico tem significado apenas para campos elétricos produzidos por cargas estáticas o conceito não se aplica aos campos elétricos produzidos por indução Podemos compreender qualitativamente essa afirmação considerando o que acontece com uma partícula carregada que se move ao longo da trajetória circular da Fig 3011b sob o efeito do campo elétrico induzido A partícula começa em determinado ponto ao voltar ao mesmo ponto ela experimentou uma força eletromotriz de digamos 5 V Nesse caso um trabalho de 5 JC foi realizado sobre a partícula portanto ela deveria estar em um ponto no qual o potencial é 5 V maior Entretanto isso é impossível já que a partícula está de volta ao mesmo ponto e a um mesmo ponto não podem corresponder dois valores diferentes do potencial Assim o conceito de potencial não se aplica aos campos elétricos produzidos por campos magnéticos variáveis Podemos abordar a questão de um ponto de vista mais formal a partir da Eq 2418 que define a diferença de potencial entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico No Capítulo 24 ainda não havíamos discutido a lei de indução de Faraday logo os campos elétricos envolvidos na demonstração da Eq 2418 eram apenas os campos produzidos por cargas estáticas Se i e f na Eq 3021 correspondem ao mesmo ponto a trajetória que liga i a f é uma curva fechada Vi e Vf são iguais e a Eq 3021 se reduz a Entretanto na presença de um fluxo magnético variável a integral da Eq 3022 não é zero e sim dΦBdt Eq 3020 Assim atribuir um potencial elétrico a um campo elétrico induzido leva a uma contradição A única conclusão possível é que o conceito de potencial elétrico não se aplica ao caso dos campos elétricos produzidos por indução Teste 4 A figura mostra cinco regiões identificadas por letras nas quais um campo magnético uniforme entra no papel ou sai do papel com o sentido indicado apenas no caso da região a O módulo do campo está aumentando à mesma taxa nas cinco regiões que possuem áreas iguais A figura mostra também quatro trajetórias numeradas ao longo das quais tem os módulos indicados a seguir em termos de uma constante m Determine se o campo magnético aponta para dentro ou para fora do papel nas regiões b c d e e Trajetória 1 2 3 4 m 2m 3m 0 Exemplo 3004 Campo elétrico induzido por um campo magnético variável Na Fig 3011b suponha que R 85 cm e dBdt 013 Ts a Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico induzido em pontos situados na região onde existe campo magnético a uma distância r do centro da região Calcule o valor da expressão para r 52 cm IDEIACHAVE A relação entre o campo elétrico induzido e o campo magnético variável é dada pela lei de Faraday Cálculos Para determinar o módulo E do campo usamos a lei de Faraday na forma da Eq 3020 Escolhemos uma trajetória circular de integração de raio r R porque queremos determinar o valor de E em pontos situados na região onde existe campo magnético Sabemos por simetria que na Fig 3011b é tangente à trajetória circular em todos os pontos Como o vetor comprimento também é tangente à trajetória circular o produto escalar na Eq 3020 é igual a E ds em todos os pontos da trajetória Sabemos também por simetria que E tem o mesmo valor em todos os pontos da trajetória Assim o lado esquerdo da Eq 3020 se torna A integral ds é o perímetro 2πr da trajetória Em seguida precisamos calcular o lado direito da Eq 3020 Como é uniforme em toda a área A envolvida pelo caminho de integração e perpendicular a essa área o fluxo magnético é dado pela Eq 302 Substituindo as Eqs 3023 e 3024 na Eq 3020 e ignorando o sinal negativo obtemos A Eq 3025 permite calcular o módulo do campo elétrico em qualquer ponto tal que r R ou seja dentro da região em que existe campo magnético Substituindo os valores conhecidos obtemos para r 52 cm b Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico induzido em pontos fora da região em que existe campo magnético a uma distância r do centro da região Calcule o valor da expressão para r 125 cm IDEIASCHAVE A ideia do item a também se aplica a este caso com a diferença de que agora devemos usar um caminho de integração com r R já que estamos interessados em calcular E do lado de fora da região em que existe campo magnético Procedendo como em a obtemos novamente a Eq 3023 Entretanto não obtemos a Eq 3024 já que a nova trajetória de integração está do lado de fora da região em que existe campo magnético e portanto o fluxo magnético envolvido pelo novo caminho é apenas o fluxo que atravessa a área πR2 onde existe campo magnético Cálculos Podemos escrever Substituindo as Eqs 3023 e 3026 na Eq 3020 e ignorando o sinal negativo obtemos A Eq 3027 mostra que um campo elétrico também é induzido do lado de fora da região em que existe um campo magnético variável um resultado importante que como vamos ver no Módulo 316 torna possível a construção de transformadores Substituindo os valores conhecidos na Eq 3027 obtemos para r 125 cm Como era de se esperar as Eqs 3025 e 3027 fornecem o mesmo resultado para r R A Fig 3012 mostra um gráfico de Er baseado nas duas equações Figura 3012 Gráfico do campo elétrico induzido Er 304 INDUTORES E INDUTÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3019 Saber o que é um indutor 3020 No caso de um indutor conhecer a relação entre a indutância L o fluxo total NΦ e a corrente i 3021 No caso de um solenoide conhecer a relação entre a indutância por unidade de comprimento Ll a área A das espiras e o número n de espiras por unidade de comprimento IdeiasChave Um indutor é um dispositivo que pode ser usado para produzir um campo magnético com as propriedades desejadas Se uma corrente i atravessa as N espiras de um indutor as espiras são enlaçadas por um fluxo magnético ΦB A indutância L do indutor é dada pela equação A unidade de indutância do SI é o henry H em que 1 H 1 T m2A A indutância por unidade de comprimento perto do centro de um solenoide de seção reta A e n espiras por unidade de comprimento é dada pela equação Indutores e Indutância Como vimos no Capítulo 25 um capacitor pode ser usado para produzir um campo elétrico com as propriedades desejadas O tipo mais simples de capacitor é o capacitor de placas paralelas ou mais precisamente a parte central de um capacitor de placas paralelas de grande extensão Analogamente um indutor símbolo pode ser usado para produzir um campo magnético com as propriedades desejadas O tipo mais simples de indutor é o solenoide ou mais precisamente a parte central de um solenoide longo Se as espiras do solenoide que estamos usando como indutor conduzem uma corrente i a corrente produz um fluxo magnético ΦB na região central do indutor A indutância do indutor é definida pela relação em que N é o número de espiras Dizemos que as espiras do solenoide estão enlaçadas pelo fluxo magnético e o produto NΦB é chamado de enlaçamento de fluxo magnético A indutância L é portanto uma medida do enlaçamento de fluxo magnético produzido pelo indutor por unidade de corrente Como a unidade de fluxo magnético do SI é o teslametro quadrado a unidade de indutância no SI é o teslametro quadrado por ampère T m2A Essa unidade é chamada de henry H em homenagem ao físico americano Joseph Henry contemporâneo de Faraday e um dos descobridores da lei da indução Assim No resto do capítulo vamos supor que não existem materiais magnéticos como o ferro por exemplo nas vizinhanças dos indutores Esses materiais distorcem o campo magnético produzido pelos indutores The Royal InstitutionBridgeman Art LibraryNY Os indutores toscos com os quais Michael Faraday descobriu a lei da indução Na época componentes como fios com isolamento ainda não eram fabricados comercialmente Dizem que Faraday isolava os fios enrolandoos com tiras de pano cortadas de uma das anáguas da sua mulher Indutância de um Solenoide Considere um solenoide longo de seção reta A Qual é a indutância por unidade de comprimento perto do centro do solenoide Para aplicar a definição de indutância Eq 3028 precisamos conhecer o enlaçamento de fluxo criado por uma corrente nos enrolamentos do solenoide Considere um segmento de comprimento l perto do centro do solenoide O enlaçamento de fluxo para esse segmento é NΦB nlBA em que n é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide e B é o módulo do campo magnético no interior do solenoide O módulo B do campo magnético é dado pela Eq 2923 B μ0in e portanto de acordo com a Eq 3028 Assim a indutância por unidade de comprimento perto do centro de um solenoide longo é Como a capacitância a indutância depende apenas da geometria do dispositivo A variação com o quadrado do número de espiras por unidade de comprimento é razoável já que por exemplo ao triplicarmos o valor de n não só triplicamos o número de espiras N mas também o fluxo ΦB BA μ0inA através de cada espira multiplicando assim por nove o enlaçamento de fluxo NΦB e portanto a indutância L Se o comprimento do solenoide é muito maior que o raio a Eq 3030 fornece uma boa aproximação para a indutância Essa aproximação despreza a distorção das linhas de campo magnético perto das extremidades do solenoide do mesmo modo como a fórmula do capacitor de placas paralelas C ε0Ad despreza a distorção das linhas de campo elétrico perto das extremidades do capacitor De acordo com a Eq 3030 lembrando que n é um número por unidade de comprimento a indutância pode ser escrita como o produto da constante magnética μ0 por uma grandeza com dimensão de comprimento Isso significa que μ0 pode ser expressa na unidade henry por metro A unidade Hm é a mais usada para a constante magnética 305 AUTOINDUÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3022 Saber que uma força eletromotriz induzida aparece em um indutor quando a corrente no indutor está variando 3023 Conhecer a relação entre a força eletromotriz induzida em um indutor a indutância L do indutor e a taxa de variação da corrente didt 3024 Quando uma força eletromotriz é induzida em um indutor porque a corrente no indutor está variando determinar o sentido da força eletromotriz usando a lei de Lenz segundo a qual a força eletromotriz sempre se opõe à variação de corrente tentando manter a corrente inicial IdeiasChave Se uma corrente em um indutor varia com o tempo uma força eletromotriz é induzida no indutor Essa força eletromotriz conhecida como força eletromotriz autoinduzida é dada pela equação O sentido de obedece à lei de Lenz A força eletromotriz autoinduzida se opõe à variação que a produziu Autoindução Quando a corrente que atravessa um indutor varia o fluxo magnético ΦB que atravessa as espiras também varia o que significa de acordo com a lei de Faraday que uma força eletromotriz induzida aparece no indutor Uma força eletromotriz induzida aparece em todo indutor cuja corrente está variando Esse processo veja a Fig 3013 é chamado de autoindução e a força eletromotriz associada recebe o nome de força eletromotriz autoinduzida Como qualquer força eletromotriz induzida a força eletromotriz autoinduzida obedece à lei de Faraday Figura 3013 Quando fazemos variar a corrente em um indutor mudando a posição do contato de um resistor variável uma força eletromotriz autoinduzida aparece no indutor enquanto a corrente está variando De acordo com a Eq 3028 para qualquer indutor Segundo a lei de Faraday Combinando as Eqs 3033 e 3034 temos Assim em qualquer indutor como uma bobina um solenoide ou um toroide uma força eletromotriz induzida aparece sempre que a corrente varia com o tempo O valor da corrente não tem nenhuma influência sobre o valor da força eletromotriz induzida o que importa é a taxa de variação da corrente Sentido Para determinar o sentido da força eletromotriz autoinduzida basta aplicar a lei de Lenz O sinal negativo da Eq 3035 indica que como diz a lei a força eletromotriz autoinduzida se opõe à variação da corrente i O sinal negativo pode ser ignorado se estivermos interessados apenas no valor absoluto de Suponha que como na Fig 3014a uma bobina seja percorrida por uma corrente i que está aumentando com o tempo a uma taxa didt Na linguagem da lei de Lenz o aumento da corrente é a variação a que se opõe a autoindução Para que haja essa oposição é preciso que o sentido da força eletromotriz autoinduzida na bobina seja tal que a corrente associada tenha o sentido oposto ao da corrente i Se a corrente i está diminuindo com o tempo como na Fig 3014b o sentido da força eletromotriz autoinduzida é tal que a corrente associada tem o mesmo sentido que a corrente i como mostra a figura Em ambos os casos a força eletromotriz tenta mas não consegue manter a situação inicial Potencial Elétrico No Módulo 303 vimos que não é possível definir um potencial elétrico para um campo elétrico induzido por uma variação de fluxo magnético Isso significa que se uma força eletromotriz autoinduzida é induzida no indutor da Fig 3013 não podemos definir um potencial elétrico no interior do indutor onde o fluxo magnético está variando Entretanto podemos definir potenciais elétricos em pontos do circuito que estão do lado de fora do indutor ou seja em pontos onde os campos elétricos se devem a distribuições de carga e aos potenciais elétricos associados Figura 3014 a A corrente i está aumentando e a força eletromotriz autoinduzida aparece no indutor com uma orientação tal que se opõe ao aumento A seta que representa pode ser desenhada ao longo de uma das espiras do indutor ou ao lado do indutor As duas representações foram usadas na figura b A corrente i está diminuindo e a força eletromotriz autoinduzida aparece com uma orientação tal que se opõe à diminuição Além disso podemos definir uma diferença de potencial autoinduzida VL entre os terminais de um indutor que por definição estão fora da região onde o fluxo está variando No caso de um indutor ideal cuja resistência é zero o valor absoluto de VL é igual ao valor absoluto da força eletromotriz autoinduzida No caso de um indutor não ideal com uma resistência r diferente de zero podemos considerar o indutor como uma associação em série de um resistor de resistência r que imaginamos estar do lado de fora da região em que o fluxo está variando e um indutor ideal de força eletromotriz autoinduzida Como no caso de uma fonte real de força eletromotriz e resistência interna r a diferença de potencial entre os terminais de um indutor real é diferente da força eletromotriz A menos que seja dito explicitamente o contrário vamos supor daqui em diante que todos os indutores são ideais Teste 5 A figura mostra a força eletromotriz induzida em uma bobina Indique entre as opções a seguir as que poderiam descrever corretamente a corrente na bobina a constante da esquerda para a direita b constante da direita para a esquerda c crescente da esquerda para a direita d decrescente da esquerda para a direita e crescente da direita para a esquerda f decrescente da direita para a esquerda 306 CIRCUITOS RL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3025 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito RL no qual a corrente está aumentando 3026 Escrever uma equação de malha uma equação diferencial para um circuito RL no qual a corrente está aumentando 3027 Determinar a equação da corrente em função do tempo it para um circuito RL em que a corrente está aumentando 3028 Determinar as equações da diferença de potencial do resistor em função do tempo VRt e da diferença de potencial do indutor em função do tempo VLt para um circuito em que a corrente está aumentando 3029 Calcular a constante de tempo indutiva τL 3030 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito RL no qual a corrente está diminuindo 3031 Escrever uma equação de malha uma equação diferencial para um circuito RL no qual a corrente está diminuindo 3032 Determinar a equação da corrente em função do tempo it para um circuito RL em que a corrente está diminuindo 3033 Determinar as equações da diferença de potencial do resistor em função do tempo VRt e da diferença de potencial do indutor em função do tempo VLt para um circuito em que a corrente está diminuindo 3034 No caso de um circuito RL saber qual é a corrente no indutor e a diferença de potencial do indutor no momento em que a corrente começa a circular condição inicial e depois que o equilíbrio é atingido condição final IdeiasChave Se uma fonte de força eletromotriz é introduzida em um circuito de uma malha que contém uma resistência R e uma indutância L a corrente aumenta até atingir um valor de equilíbrio R A variação da corrente com o tempo é dada pela equação em que τL LR é o parâmetro conhecido como constante de tempo indutiva do circuito que controla a taxa de aumento da corrente com o tempo Quando a fonte de força eletromotriz é removida a corrente diminui até se anular A variação da corrente com o tempo é dada por em que i0 é o valor da corrente no instante em que a força eletromotriz é removida Circuitos RL Como vimos no Módulo 274 quando introduzimos bruscamente uma força eletromotriz em um circuito com uma única malha que contém um resistor R e um capacitor C inicialmente descarregado a carga do capacitor não aumenta instantaneamente para o valor final C mas tende exponencialmente para esse valor A taxa de aumento da carga do capacitor é determinada pela constante de tempo capacitiva τC definida pela Eq 2736 como Quando removemos bruscamente a força eletromotriz do mesmo circuito a carga do capacitor não diminui instantaneamente para zero mas tende exponencialmente a zero A constante de tempo τC é a mesma para a carga e para a descarga do capacitor Figura 3015 Um circuito RL Quando a chave S é colocada na posição a a corrente começa a aumentar a partir de zero e tende a um valor final R A corrente apresenta um comportamento análogo quando introduzimos ou removemos uma força eletromotriz em um circuito que contém um resistor R e um indutor L Quando a chave S da Fig 3015 é colocada na posição a por exemplo a corrente no resistor começa a aumentar Se o indutor não estivesse presente a corrente atingiria quase instantaneamente o valor final R A presença do indutor faz com que uma força eletromotriz autoinduzida apareça no circuito De acordo com a lei de Lenz a força 1 2 3 eletromotriz se opõe ao aumento da corrente o que significa que tem o sentido oposto ao da força eletromotriz da fonte Assim a corrente no resistor responde à diferença entre duas forças eletromotrizes uma força eletromotriz constante produzida pela fonte e uma força eletromotriz variável L didt produzida pela autoindução Enquanto está presente a corrente é menor que R Com o passar do tempo a taxa de aumento da corrente diminui e o valor absoluto da força eletromotriz autoinduzida que é proporcional a didt também diminui Assim a corrente tende assintoticamente a R Esses resultados podem ser generalizados da seguinte forma Inicialmente um indutor se opõe a qualquer variação da corrente que o atravessa Após um tempo suficientemente longo o indutor se comporta como um fio comum Vamos agora analisar quantitativamente a mesma situação Com a chave S da Fig 3015 na posição a o circuito é equivalente ao da Fig 3016 Vamos aplicar a regra das malhas começando no ponto x da figura e nos deslocando no sentido horário o mesmo da corrente i Resistor Como atravessamos o resistor no sentido da corrente i o potencial elétrico diminui de iR Assim quando passamos do ponto x para o ponto y o potencial varia de iR Indutor Como a corrente i está variando existe uma força eletromotriz autoinduzida no indutor De acordo com a Eq 3035 o valor absoluto de é L didt O sentido de é para cima na Fig 3016 porque o sentido da corrente i é para baixo no indutor e a corrente está aumentando Assim quando passamos do ponto y para o ponto z atravessando o indutor no sentido contrário ao de o potencial varia de L didt Fonte Quando passamos do ponto z para o ponto x voltando ao ponto inicial o potencial varia de devido à força eletromotriz da fonte De acordo com a regra das malhas temos Figura 3016 O circuito da Fig 3015 com a chave na posição a Aplicamos a regra das malhas no sentido horário começando no ponto x A Eq 3039 é uma equação diferencial que envolve a variável i e sua derivada primeira didt A solução deve ser uma função it tal que quando it e sua derivada primeira são substituídas na Eq 3039 a equação e a condição inicial i0 0 são satisfeitas A Eq 3039 e sua condição inicial têm a mesma forma que a equação de um circuito RC Eq 2732 com i no lugar de q L no lugar de R e R no lugar de 1C A solução da Eq 3039 tem portanto a forma da Eq 2733 com as mesmas substituições o que nos dá que pode ser escrita na forma em que τL a constante de tempo indutiva é dada por Vamos examinar a Eq 3041 em duas situações particulares no instante em que a chave é fechada ou seja para t 0 e um longo tempo após a chave ter sido fechada ou seja para t Fazendo t 0 na Eq 3041 a exponencial se torna e0 1 Assim de acordo com a Eq 3041 a corrente é 0 no instante inicial Fazendo t a exponencial se torna e 0 Assim de acordo com a Eq 3041 para longos tempos a corrente tende ao valor final R Podemos também examinar as diferenças de potencial no circuito Assim por exemplo a Fig 3017 mostra a variação com o tempo das diferenças de potencial VR iR no resistor e VL L didt no indutor para valores particulares de L e R A figura correspondente para um circuito RC é a Fig 2716 Para mostrar que a constante τL LR tem dimensão de tempo usamos as seguintes equivalências O primeiro fator entre parênteses é um fator de conversão baseado na Eq 3035 e o segundo é um fator de conversão baseado na relação V iR Constante de Tempo Para compreender o significado físico da constante de tempo podemos usar a Eq 3041 Fazendo t τL LR nessa equação obtemos Assim a constante de tempo τL é o tempo necessário para que a corrente no circuito atinja 63 do valor final R Como a diferença de potencial VR do resistor é proporcional à corrente i o gráfico da corrente em função do tempo tem a mesma forma que o gráfico de VR da Fig 3017a Figura 3017 Variação com o tempo a de VR a diferença de potencial entre os terminais do resistor da Fig 3016 b de VL a diferença de potencial entre os terminais do indutor Os triângulos representam intervalos sucessivos de uma constante de tempo indutiva τL LR As curvas foram plotadas para R 2000 Ω L 40 H e 10 V Diminuição da Corrente Se a chave S da Fig 3015 for mantida na posição a por um tempo suficiente para que a corrente atinja o valor R e depois for deslocada para a posição b o efeito será o mesmo que remover a fonte do circuito Para que não haja uma variação brusca de corrente é preciso que a ligação com o ponto b seja feita antes que a ligação com o ponto a seja interrompida uma chave capaz de realizar esse tipo de operação é conhecida como chave makebeforebreak Na ausência de uma fonte a corrente no resistor cai para zero mas não de forma instantânea A equação diferencial que governa a diminuição da corrente pode ser obtida fazendo 0 na Eq 3039 Por analogia com as Eqs 2738 e 2739 a solução da Eq 3044 que satisfaz a condição inicial i0 i0 R é Assim tanto o aumento da corrente veja a Eq 3041 como a diminuição da corrente veja a Eq 3045 em um circuito RL são governados pela mesma constante de tempo indutiva τL Usamos i0 na Eq 3045 para representar a corrente no instante t 0 Nesse caso o valor da corrente é R mas poderia ser qualquer outro valor inicial Teste 6 A figura mostra três circuitos com fontes indutores e resistores iguais Coloque os circuitos na ordem decrescente da corrente que atravessa a fonte a logo depois que a chave é fechada e b muito tempo depois de a chave ter sido fechada Se o leitor tiver dificuldade para responder leia o exemplo a seguir e tente novamente Exemplo 3005 Circuito RL imediatamente após o fechamento de uma chave e muito tempo depois A Fig 3018a mostra um circuito que contém três resistores iguais de resistência R 90 Ω dois indutores iguais de indutância L 20 mH e uma fonte ideal de força eletromotriz 18 V a Qual é a corrente i que atravessa a fonte no instante em que a chave é fechada IDEIACHAVE No instante em que a chave é fechada os indutores se opõem à variação da corrente que os atravessa Cálculos Como antes de a chave ser fechada a corrente nos indutores é zero a corrente continua a ser zero logo depois Assim logo depois que a chave é fechada os indutores se comportam como fios interrompidos como mostra a Fig 3018b Temos portanto um circuito de uma malha no qual de acordo com a regra das malhas Substituindo os valores dados obtemos b Qual é a corrente i que atravessa a fonte depois que a chave permanece fechada por um longo tempo Figura 3018 a Circuito RL de várias malhas com uma chave aberta b O circuito equivalente logo depois que a chave é fechada c O circuito equivalente muito tempo depois de a chave ter sido fechada d Circuito de uma malha equivalente ao circuito c IDEIACHAVE Quando a chave permanece fechada por um longo tempo as correntes no circuito atingem os valores finais e os indutores passam a se comportar como simples fios de ligação como mostra a Fig 3018c Cálculos Agora temos um circuito com três resistores iguais em paralelo de acordo com a Eq 2723 a resistência equivalente é Req R3 90 Ω3 30 Ω Aplicando a regra das malhas ao circuito equivalente da Fig 3018d obtemos a equação iReq 0 o que nos dá Exemplo 3006 Corrente em um circuito RL durante a transição Um solenoide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 037 Ω Se o solenoide é ligado a uma bateria quanto tempo a corrente leva para atingir metade do valor final Tratase de um solenoide real já que estamos levando em conta a resistência interna IDEIACHAVE Podemos separar mentalmente o solenoide em uma resistência e uma indutância que estão ligadas em série a uma bateria como na Fig 3016 Nesse caso a aplicação da regra das malhas leva à Eq 3039 cuja solução é a Eq 3041 Cálculos De acordo com a Eq 3041 a corrente i aumenta exponencialmente de zero até o valor final R Seja t0 o tempo que a corrente i leva para atingir metade do valor final Nesse caso a Eq 3041 nos dá Para determinar t0 dividimos ambos os membros por R explicitamos a exponencial e tomamos o logaritmo natural de ambos os membros O resultado é o seguinte 1 307 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNÉTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3035 Demonstrar a equação usada para calcular a energia do campo magnético armazenado no indutor de um circuito RL com uma fonte de força eletromotriz constante 3036 Conhecer a relação entre a energia do campo magnético U a indutância L e a corrente i de um indutor IdeiaChave Se um indutor L conduz uma corrente i o campo magnético do indutor armazena uma energia dada pela equação Energia Armazenada em um Campo Magnético Quando afastamos duas partículas carregadas uma da outra podemos dizer que o aumento de energia potencial elétrica associado a esse afastamento fica armazenado no campo elétrico que existe entre as partículas Podemos recuperar essa energia permitindo que as partículas se aproximem novamente Da mesma forma quando afastamos dois fios percorridos por correntes elétricas podemos dizer que o aumento de energia potencial magnética associado a esse afastamento fica armazenado no campo magnético que existe entre os fios Para obter uma expressão matemática para a energia armazenada no campo magnético considere novamente a Fig 3016 que mostra uma fonte de força eletromotriz ligada a um resistor R e a um indutor L A Eq 3039 repetida aqui por conveniência é a equação diferencial que descreve o aumento da corrente no circuito Como vimos a equação é uma consequência direta da aplicação da regra das malhas que por sua vez é uma expressão da lei de conservação da energia em circuitos com uma única malha Multiplicando por i ambos os membros da Eq 3046 obtemos que tem a seguinte interpretação em termos de trabalho e energia Se uma quantidade elementar de carga dq passa pela fonte de força eletromotriz da Fig 3016 em um intervalo de tempo dt a fonte realiza um trabalho por unidade de tempo dqdt i Assim o lado esquerdo da Eq 3047 representa a taxa com a qual a fonte fornece energia ao resto do circuito 2 3 O termo i2R da Eq 3047 representa a taxa com a qual a energia é dissipada como energia térmica no resistor De acordo com a lei de conservação da energia a energia que é fornecida ao circuito e não é dissipada no resistor deve ser armazenada no campo magnético do indutor Isso significa que o termo Li didt da Eq 3047 representa a taxa dUBdt com a qual a energia potencial magnética UB é armazenada no campo magnético Assim que pode ser escrita na forma dUB Li di Integrando ambos os membros obtemos que representa a energia armazenada por um indutor L percorrido por uma corrente i Note a semelhança entre essa expressão e a expressão da energia armazenada por um capacitor de capacitância C e carga q A variável i2 corresponde a q2 e a constante L corresponde a 1C Exemplo 3007 Energia armazenada em um campo magnético Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 035 Ω a Se uma força eletromotriz de 12 V é aplicada à bobina qual é a energia armazenada no campo magnético quando a corrente atinge o valor final IDEIACHAVE De acordo com a Eq 3049 a energia armazenada no campo magnético da bobina em qualquer instante é função da corrente que atravessa a bobina nesse instante Cálculos Para determinar a energia final UB precisamos conhecer a corrente final De acordo com a Eq 3041 essa corrente é dada por Assim temos b Após quantas constantes de tempo metade da energia final está armazenada no campo magnético Cálculos Agora estamos interessados em saber em que instante de tempo t a relação é satisfeita Usando duas vezes a Eq 3049 podemos escrever essa equação na forma De acordo com a Eq 3052 se uma corrente aumenta a partir de 0 para um valor final i metade da energia final está armazenada no campo magnético quando a corrente é igual a Além disso sabemos que i é dada pela Eq 3041 e i veja a Eq 3051 é igual a R assim a Eq 3052 se torna Dividindo ambos os membros por R e reagrupando os termos podemos escrever essa equação na forma que nos dá Assim a energia armazenada no campo magnético da bobina atinge metade do valor final 12 constante de tempo após a força eletromotriz ser aplicada 308 DENSIDADE DE ENERGIA DE UM CAMPO MAGNÉTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3037 Saber que a todo campo magnético está associada uma energia 3038 Conhecer a relação entre a densidade de energia uB de um campo magnético e o módulo B do campo magnético IdeiaChave Se B é o módulo do campo magnético em um ponto do espaço a densidade de energia magnética nesse ponto é dada por Densidade de Energia de um Campo Magnético Considere um segmento de comprimento l perto do centro de um solenoide longo de seção reta A percorrido por uma corrente i o volume do segmento é Al A energia UB armazenada nesse trecho do solenoide deve estar toda no interior do solenoide já que o campo magnético do lado de fora de um solenoide é praticamente zero Além disso a energia armazenada deve estar uniformemente distribuída pois o campo magnético é aproximadamente uniforme no interior de um solenoide Assim a energia armazenada no campo por unidade de volume é Aqui L é a indutância do segmento do solenoide de comprimento l Substituindo Ll por seu valor dado pela Eq 3031 obtemos em que n é o número de espiras por unidade de comprimento Usando a Eq 2923 B μ0in podemos escrever a densidade de energia na forma que expressa a densidade de energia armazenada em um ponto do espaço no qual o módulo do campo magnético é B Embora tenha sido demonstrada para o caso especial de um solenoide a Eq 3055 é válida para qualquer campo magnético independentemente da forma como foi produzido A equação é análoga à Eq 2525 que fornece a densidade de energia armazenada no vácuo em um ponto do espaço no qual o módulo do campo elétrico é E Observe que uB e uE são proporcionais ao quadrado do módulo do campo correspondente B ou E Teste 7 A tabela mostra o número de espiras por unidade de comprimento a corrente e a seção reta de três solenoides Coloque os solenoides na ordem decrescente da densidade de energia magnética Solenoide Espiras por Unidade de Comprimento Corrente Área a 2n1 i1 2A1 b n1 2i1 A1 c n1 i1 6A1 309 INDUÇÃO MÚTUA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3039 Explicar o que é a indução mútua de duas bobinas e representála esquematicamente 3040 Calcular a indução mútua de uma bobina em relação a uma segunda bobina ou em relação a uma corrente variável externa 3041 Calcular a força eletromotriz induzida em um bobina por uma segunda bobina em função da indutância mútua e da taxa de variação da corrente na segunda bobina IdeiaChave Se as bobinas 1 e 2 estão próximas a variação da corrente em uma delas pode induzir uma força eletromotriz na outra bobina A indução mútua pode ser expressa pelas equações em que M medida em henries é a indutância mútua Indução Mútua Nesta seção vamos voltar ao caso de duas bobinas próximas que foi discutido no Módulo 301 e tratá lo de modo mais formal Como vimos se duas bobinas estão próximas como na Fig 302 uma corrente i em uma das bobinas faz com que um fluxo magnético Φ atravesse a outra bobina enlaçando as duas bobinas Se a corrente i varia com o tempo uma força eletromotriz dada pela lei de Faraday aparece na segunda bobina O processo foi chamado de indução mas poderíamos ter usado a expressão indução mútua para ressaltar o fato de que o processo envolve a interação de duas bobinas e distinguilo do processo de autoindução que envolve apenas uma bobina Figura 3019 Indução mútua a O campo magnético produzido pela corrente i1 na bobina 1 atravessa as espiras da bobina 2 Quando se faz variar a corrente i1 fazendo variar a resistência R uma força eletromotriz é induzida na bobina 2 e o amperímetro ligado à bobina 2 revela a passagem de uma corrente b O mesmo sistema com os papéis das bobinas 1 e 2 invertidos Vamos examinar o processo de indução mútua de modo quantitativo A Fig 3019a mostra duas bobinas circulares compactas muito próximas com o mesmo eixo central Com o resistor variável ajustado para certo valor R de resistência a bateria produz uma corrente constante i1 na bobina 1 A corrente cria um campo magnético representado pelas linhas de na figura O circuito da bobina 2 contém um amperímetro mas não conta com uma bateria um fluxo magnético Φ21 o fluxo através da bobina 2 devido à corrente na bobina 1 enlaça as N2 espiras da bobina 2 A indutância mútua M21 da bobina 2 em relação à bobina 1 é definida pela relação que tem a mesma forma que a Eq 3028 a definição de indutância Podemos escrever a Eq 3057 na forma Se fizermos i1 variar com o tempo variando R teremos De acordo com a lei de Faraday o lado direito da Eq 3060 é igual em valor absoluto à força eletromotriz que aparece na bobina 2 devido à variação da corrente na bobina 1 Assim com um sinal negativo para indicar o sentido temos que tem a mesma forma que a Eq 3035 para a autoindução L didt Inversão Vamos agora inverter os papéis das bobinas 1 e 2 como na Fig 3019b em outras palavras vamos produzir uma corrente na bobina 2 com o auxílio de uma bateria e criar um fluxo magnético Φ12 que enlaça a bobina 1 Se fizermos i2 variar com o tempo variando R teremos Assim a força eletromotriz produzida em uma das bobinas é proporcional à taxa de variação da corrente na outra É possível demonstrar que as constantes de proporcionalidade M21 e M12 são iguais o que nos permite escrever caso em que as Eqs 3061 e 3062 se tornam Exemplo 3008 Indutância mútua de duas bobinas paralelas A Fig 3020 mostra duas bobinas circulares compactas coplanares coaxiais a menor com raio R2 e N2 espiras e a maior com raio R1 e N1 espiras a Escreva a expressão da indutância mútua M para esse arranjo de bobinas supondo que R1 R2 IDEIACHAVE A indutância mútua M das bobinas é a razão entre o enlaçamento de fluxo NΦ através de uma das bobinas e a corrente i na outra bobina Assim precisamos supor que existe uma corrente em uma bobina e calcular o fluxo magnético que atravessa a outra bobina devido a essa corrente Cálculos Tanto o módulo como a direção do campo magnético produzido pela bobina menor variam de ponto para ponto no interior da bobina maior assim o fluxo magnético que atravessa a bobina maior é difícil de calcular Por outro lado como estamos supondo que o raio da bobina menor é muito menor que o raio da bobina maior podemos supor que o campo magnético criado pela bobina maior é aproximadamente uniforme no interior da bobina menor Assim para calcular o valor de M supomos que a bobina maior é percorrida por uma corrente i1 e calculamos o enlaçamento de fluxo N2Φ21 na bobina menor De acordo com a Eq 302 o fluxo Φ21 através de uma das espiras da bobina menor é dado por em que B1 é o módulo do campo magnético no interior da bobina menor devido à corrente na bobina maior e A2 é a área da espira Assim o enlaçamento de fluxo na bobina menor que possui N2 espiras é dado por Para determinar o campo B1 no interior da bobina menor usamos a Eq 2926 Figura 3020 Uma pequena bobina no centro de uma bobina maior A indutância mútua das bobinas pode ser determinada fazendo passar uma corrente i1 na bobina maior na qual podemos fazer z 0 porque a bobina menor está no mesmo plano que a bobina maior De acordo com essa equação cada espira da bobina maior produz um campo magnético de módulo μ0i12R1 no interior da bobina menor Assim a bobina maior que possui N1 espiras produz um campo magnético total de módulo no interior da bobina menor Substituindo os valores de B1 fornecidos pela Eq 3068 e A2 na Eq 3067 temos Substituindo esse resultado na Eq 3066 obtemos b Qual é o valor de M para N1 N2 1200 espiras R2 11 cm e R1 15 cm Cálculos De acordo com a Eq 3069 temos Suponha que os papéis das duas bobinas sejam invertidos ou seja que partimos de uma corrente i2 na bobina menor e tentamos determinar o valor de M usando a Eq 3057 na forma Não é fácil calcular Φ12 o fluxo do campo produzido pela bobina menor através da bobina maior já que como dissemos nesse caso não podemos supor que o campo é uniforme Entretanto se executarmos o cálculo em um computador encontraremos o mesmo valor M 23 mH Esse fato serve para ilustrar a ideia de que a Eq 3063 M21 M12 M embora não seja óbvia é verdadeira Revisão e Resumo Fluxo Magnético O fluxo magnético ΦB de um campo magnético através de uma área A é definido pela equação na qual a integral é calculada para toda a área A unidade de fluxo magnético do SI é o weber Wb 1 Wb 1 Tm2 Se é uniforme e perpendicular à área de integração a Eq 301 se torna Lei de Indução de Faraday Se o fluxo magnético ΦB através de uma área limitada por uma espira condutora fechada varia com o tempo uma corrente e uma força eletromotriz são produzidas na espira o processo recebe o nome de indução A força eletromotriz induzida é Se a espira é substituída por uma bobina compacta de N espiras a força eletromotriz se torna Lei de Lenz O sentido de uma corrente induzida é tal que o campo magnético produzido pela corrente se opõe à variação do fluxo magnético que induziu a corrente A força eletromotriz induzida tem o mesmo sentido que a corrente induzida Força Eletromotriz e o Campo Elétrico Induzido Uma força eletromotriz é induzida por um campo magnético variável mesmo que a espira através da qual o fluxo magnético está variando não seja um condutor de verdade mas uma curva imaginária O campo magnético variável induz um campo elétrico em todos os pontos da curva a força eletromotriz induzida e o campo elétrico induzido estão relacionados pela equação na qual a integração é executada ao longo da curva De acordo com a Eq 3019 a lei de Faraday pode ser escrita na forma mais geral Pela Eq 3020 um campo magnético variável induz um campo elétrico Indutores O indutor é um dispositivo que pode ser usado para produzir um campo magnético com o valor desejado em uma região do espaço Se uma corrente i atravessa as N espiras de um indutor um fluxo magnético ΦB enlaça essas espiras A indutância L do indutor é dada por A unidade de indutância do SI é o henry H 1 H 1 T m2A A indutância por unidade de comprimento perto do centro de um solenoide longo de área A e n espiras por unidade de comprimento é dada por Autoindução Se uma corrente i em uma bobina varia com o tempo uma força eletromotriz é induzida na bobina Essa força eletromotriz autoinduzida é dada por O sentido de é dado pela lei de Lenz A força eletromotriz autoinduzida se opõe à variação que a produz Circuitos RL Série Se uma força eletromotriz constante é aplicada a um circuito com uma única malha constituída por uma resistência R e uma indutância L a corrente tende a um valor final R de acordo com a equação Aqui τL LR governa a taxa de aumento da corrente e é chamada de constante de tempo indutiva do circuito Quando a fonte de força eletromotriz constante é removida a corrente diminui para zero a partir de um valor inicial i0 de acordo com a equação Energia Magnética Se um indutor L conduz uma corrente i o campo magnético do indutor armazena uma energia dada por Se B é o módulo do campo magnético criado por um indutor ou por qualquer outro meio em um ponto do espaço a densidade de energia magnética armazenada nesse ponto é dada por Indução Mútua Se duas bobinas 1 e 2 estão próximas a variação da corrente em uma das bobinas pode induzir uma força eletromotriz na outra Essa indução mútua é descrita pelas equações e em que M medida em henries é a indutância mútua das bobinas Perguntas 1 Se o condutor circular da Fig 3021 sofre uma dilatação térmica na presença de um campo magnético uniforme uma corrente é induzida no sentido horário Isso significa que o campo magnético aponta para dentro ou para fora do papel Figura 3021 Pergunta 1 2 A espira da Fig 3022a é submetida sucessivamente a seis campos magnéticos uniformes todos paralelos ao eixo z que apontam para fora do papel A Fig 3022b mostra o módulo Bz desses campos em função do tempo t As retas 1 e 3 e as retas 4 e 6 são paralelas As retas 2 e 5 são paralelas ao eixo do tempo Coloque os seis campos na ordem da força eletromotriz induzida na espira começando pela maior no sentido horário e terminando com a maior no sentido antihorário Figura 3022 Pergunta 2 3 Na Fig 3023 um fio retilíneo longo percorrido por uma corrente i passa sem fazer contato por três espiras retangulares de lados L 15L e 2L A distância entre as espiras é relativamente grande o suficiente para que não interajam As espiras 1 e 3 são simétricas em relação ao fio Coloque as espiras na ordem decrescente do valor absoluto da corrente induzida a se a corrente i for constante e b se a corrente i estiver aumentando Figura 3023 Pergunta 3 4 A Fig 3024 mostra dois circuitos nos quais uma barra condutora desliza com a mesma velocidade escalar v na presença do mesmo campo magnético uniforme ao longo de um fio em forma de U Os segmentos paralelos do fio estão separados por uma distância 2L no circuito 1 e por uma distância L no circuito 2 A corrente induzida no circuito 1 tem o sentido antihorário a O campo magnético aponta para dentro ou para fora do papel b A corrente induzida no circuito 2 tem o sentido horário ou o sentido antihorário c A força eletromotriz induzida no circuito 1 é maior menor ou igual à força eletromotriz induzida no circuito 2 Figura 3024 Pergunta 4 5 A Fig 3025 mostra uma região circular na qual existem um campo magnético uniforme decrescente orientado para fora do papel e quatro trajetórias circulares concêntricas Coloque as trajetórias na ordem decrescente do valor absoluto de Figura 3025 Pergunta 5 6 Na Fig 3026 uma espira é feita de três segmentos bc um segmento em forma de quarto de circunferência ac dois segmentos retilíneos formando um ângulo reto e ab um segmento retilíneo A espira pode ser submetida a três campos magnéticos em que está em militeslas e t está em segundos Sem fazer nenhum cálculo no papel coloque os campos magnéticos na ordem decrescente a do trabalho realizado por unidade de carga para criar a corrente induzida e b do valor absoluto da corrente induzida c Qual é o sentido da corrente induzida para cada um dos campos magnéticos Figura 3026 Pergunta 6 7 A Fig 3027 mostra um circuito com dois resistores iguais e um indutor ideal A corrente no resistor do meio é maior menor ou igual à corrente no outro resistor a logo depois que a chave S é fechada b muito tempo depois que a chave S é fechada c logo depois que a chave é aberta depois de permanecer fechada por muito tempo e d muito tempo depois que a chave é aberta depois de permanecer fechada por muito tempo Figura 3027 Pergunta 7 8 A chave do circuito da Fig 3015 permaneceu na posição a por muito tempo e depois foi deslocada para a posição b A Fig 3028 mostra a corrente no indutor para quatro pares de valores da resistência R e da indutância L 1 R0 e L0 2 2R0 e L0 3 R0 e 2L0 4 2R0 e 2L0 Qual é a curva correspondente a cada par Figura 3028 Pergunta 8 9 A Fig 3029 mostra três circuitos com fontes indutores e resistores iguais Coloque os circuitos na ordem decrescente da corrente no resistor R a muito tempo depois do fechamento da chave b logo depois de a chave ser aberta depois de permanecer fechada por muito tempo e c muito tempo depois de a chave ser aberta depois de permanecer fechada por muito tempo Figura 3029 Pergunta 9 10 A Fig 3030 mostra a variação com o tempo da diferença de potencial VR entre os terminais de um resistor em três circuitos como mostra a Fig 3016 A resistência R e a força eletromotriz da fonte são iguais nos três circuitos mas as indutâncias L são diferentes Coloque os circuitos na ordem decrescente do valor de L Figura 3030 Pergunta 10 11 A Fig 3031 mostra três situações nas quais parte de uma espira está em uma região onde existe um campo magnético Como indica a figura o campo pode apontar para dentro ou para fora do papel e o módulo do campo pode estar aumentando ou diminuindo Nas três situações uma fonte faz parte do circuito Em que situação ou situações a força eletromotriz induzida e a força eletromotriz da bateria têm o mesmo sentido Figura 3031 Pergunta 11 12 A Fig 3032 mostra quatro situações nas quais espiras retangulares são retiradas de campos magnéticos iguais que apontam para dentro do papel com a mesma velocidade constante Os lados das espiras têm um comprimento L ou 2L como mostra a figura Coloque as situações na ordem decrescente a do módulo da força necessária para movimentar as espiras e b da taxa com a qual a energia fornecida às espiras é convertida em energia térmica Figura 3032 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 301 Lei de Faraday e Lei de Lenz 1 Na Fig 3033 uma espira circular com 10 cm de diâmetro vista de perfil é posicionada com a normal fazendo um ângulo θ 30o com a direção de um campo magnético uniforme cujo módulo é 050 T A espira começa a girar de tal forma que descreve um cone em torno da direção do campo à taxa de 100 revoluções por minuto o ângulo θ permanece constante durante o processo Qual é a força eletromotriz induzida na espira Figura 3033 Problema 1 2 Um material condutor elástico é esticado e usado para fazer uma espira circular com 120 cm de raio que é submetida a um campo magnético uniforme de 0800 T perpendicular ao plano da espira Ao ser liberada a espira começa a se contrair e em um dado instante o raio está diminuindo à taxa de 750 cms Qual é a força eletromotriz induzida na espira nesse instante 3 Na Fig 3034 uma bobina de 120 espiras com 18 cm de raio e uma resistência de 53 Ω é coaxial com um solenoide de 220 espirascm e 32 cm de diâmetro A corrente no solenoide diminui de 15 A para zero em um intervalo de tempo Δt 25 ms Qual é a corrente induzida na bobina no intervalo Δt Figura 3034 Problema 3 4 Uma espira com 12 cm de raio e uma resistência de 85 Ω é submetida a um campo magnético uniforme cujo módulo varia da forma indicada na Fig 3035 A escala do eixo vertical é definida por Bs 050 T e a escala do eixo horizontal é definida por ts 600 s O plano da espira é perpendicular a Determine a força eletromotriz induzida na espira durante o intervalo de tempo a 0 t 20 s b 20 t 40 s c 40 t 60 s Figura 3035 Problema 4 5 Na Fig 3036 um fio forma uma espira circular de raio R 20 m e uma resistência de 40 Ω Um fio retilíneo longo passa pelo centro da espira No instante t 0 a corrente no fio é 50 A da esquerda para a direita Para t 0 a corrente varia de acordo com a equação i 50 A 20 As2t2 Como o fio retilíneo tem um revestimento isolante não há contato elétrico entre o fio e a espira Qual é o valor absoluto da corrente induzida na espira para t 0 Figura 3036 Problema 5 6 A Fig 3037a mostra um circuito formado por uma fonte ideal de força eletromotriz 600 μV uma resistência R e uma pequena espira com 50 cm2 de área Um campo magnético externo é aplicado à espira durante o intervalo de t 10 a t 20 s O campo é uniforme aponta para dentro do papel na Fig 3037a e o módulo do campo é dado por B at em que B está em teslas a é uma constante e t está em segundos A Fig 3037b mostra a corrente i no circuito antes durante e depois da aplicação do campo A escala vertical é definida por is 20 mA Determine o valor da constante a na equação do módulo do campo em função do tempo Figura 3037 Problema 6 7 Na Fig 3038 o fluxo de campo magnético na espira aumenta de acordo com a equação ΦB 60t2 70t em que ΦB está em miliwebers e t está em segundos a Qual é o módulo da força eletromotriz induzida na espira no instante t 20 s b O sentido da corrente no resistor R é para a direita ou para a esquerda 8 Um campo magnético uniforme é perpendicular ao plano de uma espira circular com 10 cm de diâmetro formada por um fio com 25 mm de diâmetro e uma resistividade de 169 108 Ω m Qual deve ser a taxa de variação de para que uma corrente de 10 A seja induzida na espira Figura 3038 Problema 7 9 Uma pequena espira com 68 mm2 de área é colocada no interior de um solenoide longo com 854 espirascm percorrido por uma corrente senoidal i com 128 A de amplitude e uma frequência angular de 212 rads Os eixos centrais da espira e do solenoide coincidem Qual é a amplitude da força eletromotriz induzida na espira 10 A Fig 3039 mostra uma espira formada por um par de semicircunferências de 37 cm de raio situadas em planos mutuamente perpendiculares A espira foi formada dobrando uma espira plana ao longo de um diâmetro até que as duas partes ficassem perpendiculares Um campo magnético uniforme de módulo 76 mT é aplicado perpendicularmente ao diâmetro da dobra fazendo ângulos iguais de 45o com os planos das semicircunferências O campo magnético é reduzido para zero a uma taxa uniforme durante um intervalo de tempo de 45 ms Determine a o valor absoluto e b o sentido horário ou anti horário do ponto de vista do sentido de da força eletromotriz induzida na espira durante esse intervalo Figura 3039 Problema 10 11 Uma bobina retangular de comprimento a e largura b com N espiras gira com frequência f na presença de um campo magnético uniforme como mostra a Fig 3040 A bobina está ligada a cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo a Mostre que a força eletromotriz induzida na bobina é dada em função do tempo t pela equação Esse é o princípio de funcionamento dos geradores comerciais de corrente alternada b Para qual valor de Nab a força eletromotriz gerada tem uma amplitude 150 V quando a bobina gira com uma frequência de 600 revoluções por segundo em um campo magnético uniforme de 0500 T Figura 3040 Problema 11 12 Na Fig 3041 uma espira retangular de dimensões L 400 cm e W 250 cm é submetida a um campo magnético Determine a o módulo e b o sentido horário antihorário ou nenhum se 0 da força eletromotriz induzida na espira se 400 102 Tsy Determine c e d o sentido de se 600 102 Tst Determine e e f o sentido de se 800 102 Tsyt Determine g e h o sentido de se 300 102 Tsxt Determine i e j o sentido de se 500 102 Tsyt Figura 3041 Problema 12 13 Cem espiras de fio de cobre isolado são enroladas em um núcleo cilíndrico de madeira com uma seção reta de 120 103 m2 As extremidades do fio são ligadas a um resistor A resistência do circuito é 130 Ω Se um campo magnético longitudinal uniforme aplicado ao núcleo muda de 160 T em um sentido para 160 T no sentido oposto qual é a carga que passa por um ponto do circuito durante a mudança 14 Na Fig 3042a o módulo do campo magnético uniforme aumenta com o tempo de acordo com o gráfico da Fig 3042b em que a escala do eixo vertical é definida por Bs 90 mT e a escala do eixo horizontal é definida por ts 30 s Uma espira circular com uma área de 80 104 m2 no plano do papel é submetida ao campo A Fig 3040c mostra a carga q que passa pelo ponto A da espira em função do tempo t com a escala do eixo vertical definida por qs 60 mC e a escala do eixo horizontal definida novamente por ts 30 s Qual é a resistência da espira Figura 3042 Problema 14 15 Uma espira quadrada com 200 m de lado é mantida perpendicular a um campo magnético uniforme com metade da área da espira na região em que existe campo como mostra a Fig 3043 A espira inclui uma fonte ideal de força eletromotriz 200 V Se o módulo do campo varia com o tempo de acordo com a equação B 00420 0870t com B em teslas e t em segundos determine a a força eletromotriz total aplicada à espira e b o sentido da corrente total que circula na espira Figura 3043 Problema 15 16 A Fig 3044a mostra um fio que forma um retângulo W 20 cm H 30 cm e tem uma resistência de 50 mΩ O interior do retângulo é dividido em três partes iguais que são submetidas a campos magnéticos e Os campos são uniformes dentro de cada região e apontam para dentro ou para fora do papel como indica a figura A Fig 3044b mostra a variação da componente Bz dos três campos com o tempo t a escala do eixo vertical é definida por Bs 40 μT e Bb 25Bs e a escala do eixo horizontal é definida por ts 20 s Determine a o módulo e b o sentido da corrente induzida no fio Figura 3044 Problema 16 17 Uma pequena espira circular com 200 cm2 de área é concêntrica e coplanar com uma espira circular muito maior com 100 m de raio A corrente na espira maior varia a uma taxa constante de 200 A para 200 A ou seja troca de sentido em um intervalo de 100 s começando no instante t 0 Determine o módulo do campo magnético no centro da espira menor devido à corrente na espira menor a em t 0 b em t 0500 s e c em t 100 s d O campo troca de sentido no intervalo 0 t 100 s Suponha que é uniforme na região em que se encontra a espira menor e Determine a força eletromotriz induzida na espira menor no instante t 0500 s 18 Na Fig 3045 dois trilhos condutores retilíneos formam um ângulo reto Uma barra condutora em contato com os trilhos parte do vértice no instante t 0 com uma velocidade escalar constante de 520 ms e passa a se mover entre os trilhos Um campo magnético B 0350 T que aponta para fora da página existe em toda a região Determine a o fluxo magnético através do triângulo formado pelos trilhos e a barra no instante t 300 s e b a força eletromotriz aplicada ao triângulo nesse instante c Se a força eletromotriz é dada por atn em que a e n são constantes determine o valor de n Figura 3045 Problema 18 19 Um gerador elétrico contém uma bobina de 100 espiras retangulares de 500 cm por 300 cm A bobina é submetida a um campo magnético uniforme de módulo B 350 T com inicialmente perpendicular ao plano da bobina Qual é o valor máximo da força eletromotriz produzida quando a bobina gira a 1000 revoluções por minuto em torno de um eixo perpendicular a 20 Em uma localidade o campo magnético da Terra tem módulo B 0590 gauss e uma inclinação para baixo de 700o em relação à horizontal Uma bobina plana horizontal tem 100 cm de raio 1000 espiras e uma resistência total de 850 Ω e está ligada em série com um medidor com 140 Ω de resistência A bobina descreve meia revolução em torno de um diâmetro Qual é a carga que atravessa o medidor durante o movimento 21 Na Fig 3046 uma semicircunferência de fio de raio a 200 cm gira com uma velocidade angular constante de 40 revoluções por segundo na presença de um campo magnético uniforme de 20 mT Determine a a frequência e b a amplitude da força eletromotriz induzida no circuito Figura 3046 Problema 21 22 Uma espira retangular com 015 m2 de área está girando na presença de um campo magnético uniforme de módulo B 020 T Quando o ângulo entre o campo e a normal ao plano da espira é π2 e está aumentando à taxa de 060 rads qual é a força eletromotriz induzida na espira 23 A Fig 3047 mostra duas espiras paralelas com um eixo comum A espira menor de raio r está acima da espira maior de raio R a uma distância x R Em consequência o campo magnético produzido por uma corrente i que atravessa a espira maior no sentido antihorário é praticamente uniforme na região limitada pela espira menor A distância x está aumentando a uma taxa constante dxdt v a Escreva uma expressão para o fluxo magnético através da bobina menor em função de x Sugestão Veja a Eq 2927 b Escreva uma expressão para a força eletromotriz induzida na espira menor c Determine o sentido da corrente induzida na espira menor Figura 3047 Problema 23 24 Uma espira é formada por três segmentos circulares todos de raio r 10 cm como mostra a Fig 3048 Cada segmento tem a forma de um quarto de circunferência ab está no plano xy bc no plano yz e ca no plano zx a Se um campo magnético uniforme aponta no sentido positivo do eixo x qual é o valor absoluto da força eletromotriz que aparece na espira quando B aumenta à taxa de 30 mTs b Qual é o sentido da corrente no segmento bc Figura 3048 Problema 24 25 Dois fios longos e paralelos de cobre com 25 mm de diâmetro conduzem uma corrente de 10 A em sentidos opostos a Se os eixos centrais dos fios estão separados por uma distância de 20 mm determine o fluxo magnético por metro de fio que existe no espaço entre os fios b Que porcentagem desse fluxo está no interior dos fios c Repita o item a supondo que as correntes têm o mesmo sentido 26 No sistema da Fig 3049 a 120 cm e b 160 cm A corrente no fio retilíneo longo é dada por i 450t2 100t em que i está em ampères e t está em segundos a Determine a força eletromotriz na espira quadrada no instante t 300 s b Qual é o sentido da corrente induzida na espira Figura 3049 Problema 26 27 Na Fig 3050 uma espira quadrada com 20 cm de lado é submetida a um campo magnético que aponta para fora do papel e cujo módulo é dado por B 40t2y em que B está em teslas t em segundos e y em metros Determine a o valor absoluto e b o sentido da força eletromotriz induzida na espira no instante t 25 s Figura 3050 Problema 27 28 Na Fig 3051 uma espira retangular de comprimento a 22 cm largura b 080 cm e resistência R 040 mΩ é colocada nas vizinhanças de um fio infinitamente longo percorrido por uma corrente i 47 A Em seguida a espira é afastada do fio com uma velocidade constante v 32 mms Quando o centro da espira está a uma distância r 15b do fio determine a o valor absoluto do fluxo magnético que atravessa a espira e b a corrente induzida na espira Figura 3051 Problema 28 Módulo 302 Indução e Transferências de Energia 29 Na Fig 3052 uma barra de metal é forçada a se mover com velocidade constante ao longo de dois trilhos paralelos ligados em uma das extremidades por uma fita de metal Um campo magnético de módulo B 0350 T aponta para fora do papel a Se a distância entre os trilhos é 250 cm e a velocidade escalar da barra é 550 cms qual é o valor absoluto da força eletromotriz gerada b Se a barra tem uma resistência de 180 Ω e a resistência dos trilhos e da fita de ligação é desprezível qual é a corrente na barra c Qual é a taxa com a qual a energia é transformada em energia térmica Figura 3052 Problemas 29 e 35 30 Na Fig 3053a uma espira circular é concêntrica com um solenoide e está em um plano perpendicular ao eixo central do solenoide A espira tem 600 cm de raio O solenoide tem um raio de 200 cm possui 8000 espirascm e a corrente isol varia com o tempo t da forma indicada na Fig 3053b em que a escala do eixo vertical é definida por is 100 A e a escala do eixo horizontal é definida por ts 20 s A Fig 3053c mostra em função do tempo a energia Et que é transformada em energia térmica na espira a escala do eixo vertical é definida por Es 1000 nJ Qual é a resistência da espira Figura 3053 Problema 30 31 Se 500 cm de um fio de cobre com 100 mm de diâmetro são usados para formar uma espira circular e a espira é submetida a um campo magnético uniforme perpendicular que está aumentando a uma taxa constante de 100 mTs qual é a taxa com a qual é gerada energia térmica na espira 32 Uma antena circular com área de 200 cm2 e uma resistência de 521 μΩ é submetida a um campo magnético uniforme perpendicular de módulo 170 μT O módulo do campo diminui para zero em 296 ms Qual é a energia térmica produzida na espira pela variação do campo 33 A Fig 3054 mostra uma barra de comprimento L 100 cm que é forçada a se mover com velocidade escalar constante v 500 ms ao longo de trilhos horizontais A barra os trilhos e a fita metálica na extremidade direita dos trilhos formam uma espira condutora A barra tem resistência de 0400 Ω a resistência do resto da espira é desprezível Uma corrente i 100 A que percorre um fio longo situado a uma distância a 100 mm da espira produz um campo magnético não uniforme que atravessa a espira Determine a a força eletromotriz e b a corrente induzida da espira c Qual é a potência dissipada na espira d Qual é o módulo da força que deve ser aplicada à espira para que se mova com velocidade constante e Qual é a taxa com a qual a força realiza trabalho sobre a espira Figura 3054 Problema 33 34 Na Fig 3055 uma espira retangular muito longa de largura L resistência R e massa m está inicialmente suspensa na presença de um campo magnético horizontal uniforme que aponta para dentro do papel e existe apenas acima da reta aa É deixada cair a espira que acelera sob a ação da gravidade até atingir uma velocidade terminal vt Escreva uma expressão para vt ignorando a resistência do ar Figura 3055 Problema 34 35 A barra condutora da Fig 3052 tem comprimento L e está sendo puxada em trilhos horizontais condutores sem atrito com velocidade constante Os trilhos estão ligados em uma das extremidades por uma fita condutora Um campo magnético uniforme orientado para fora do papel ocupa a região na qual se move a barra Suponha que L 10 cm v 50 ms e B 12 T Determine a o módulo e b o sentido para cima ou para baixo da força eletromotriz induzida na barra Determine também c o valor absoluto e d o sentido da corrente na espira formada pela barra os trilhos e a fita Suponha que a resistência da barra é 040 Ω e que a resistência dos trilhos e da fita é desprezível e Qual é a taxa com a qual a energia é dissipada na barra em forma de calor f Qual é o módulo da força externa que deve ser aplicada à barra para que continue a se mover com velocidade v g Qual é a taxa com a qual a força realiza trabalho sobre a barra Módulo 303 Campos Elétricos Induzidos 36 A Fig 3056 mostra duas regiões circulares R1 e R2 de raios r1 200 cm e r2 300 cm Em R1 existe um campo magnético uniforme de módulo B1 500 mT que aponta para dentro do papel em R2 existe um campo magnético uniforme de módulo B2 750 mT que aponta para fora do papel ignore os efeitos de borda Os dois campos estão diminuindo à taxa de 850 mTs Calcule o valor de a para a trajetória 1 b para a trajetória 2 e c para a trajetória 3 Figura 3056 Problema 36 37 Um solenoide longo tem um diâmetro de 120 cm Quando o solenoide é percorrido por uma corrente i um campo magnético uniforme de módulo B 300 mT é produzido no interior do solenoide Por meio de uma diminuição da corrente i o campo magnético é reduzido a uma taxa de 650 mTs Determine o módulo do campo elétrico induzido a a 220 cm e b a 820 cm de distância do eixo do solenoide 38 Uma região circular no plano xy é atravessada por um campo magnético uniforme que aponta no sentido positivo do eixo z O módulo B do campo em teslas aumenta com o tempo t em segundos de acordo com a equação B at em que a é uma constante A Fig 3057 mostra o módulo E do campo elétrico criado por esse aumento do campo magnético em função da distância radial r a escala do eixo vertical é definida por Es 300 μNC e a escala do eixo horizontal é definida por rs 400 cm Determine o valor de a Figura 3057 Problema 38 39 O campo magnético de um ímã cilíndrico com 33 cm de diâmetro varia senoidalmente entre 296 T e 300 T com uma frequência de 15 Hz Essa variação é produzida pela corrente em um fio enrolado em um ímã permanente Qual é a amplitude do campo elétrico induzido por essa variação a uma distância de 16 cm do eixo do cilindro Módulo 304 Indutores e Indutância 40 A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras é 80 mH Calcule o fluxo magnético através da bobina quando a corrente é 50 mA 41 Uma bobina circular tem 100 cm de raio e 300 espiras compactas Um campo magnético externo de módulo 260 mT é aplicado perpendicularmente ao plano da bobina a Se a corrente na bobina é zero qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras b Quando a corrente na bobina é 380 A em certo sentido o fluxo magnético através da bobina é zero Qual é a indutância da bobina 42 A Fig 3058 mostra uma fita de cobre de largura W 160 cm que foi enrolada para formar um tubo de raio R 18 cm com duas extensões planas Uma corrente i 35 mA está distribuída uniformemente na fita fazendo com que o tubo se comporte como um solenoide de uma espira Suponha que o campo magnético do lado de fora do tubo é desprezível e que o campo magnético no interior do tubo é uniforme Determine a o módulo do campo magnético no interior do tubo e b a indutância do tubo desprezando as extensões planas Figura 3058 Problema 42 43 Dois fios longos iguais de raio a 153 mm são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos A distância entre os eixos centrais dos fios é d 142 cm Despreze o fluxo no interior dos fios mas considere o fluxo na região entre os fios Qual é a indutância dos fios por unidade de comprimento Módulo 305 Autoindução 44 Um indutor de 12 H conduz uma corrente de 20 A Qual deve ser a taxa de variação da corrente para que a força eletromotriz induzida no indutor seja 60 V 45 Em um dado instante a corrente e a força eletromotriz autoinduzida em um indutor têm o sentido indicado na Fig 3059 a A corrente está aumentando ou diminuindo b A força eletromotriz induzida é 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kAs determine a indutância Figura 3059 Problema 45 46 A corrente i em um indutor de 46 H varia com o tempo t de acordo com o gráfico da Fig 3060 em que a escala do eixo vertical é definida por is 80 A e a escala do eixo horizontal é definida por ts 60 ms O indutor tem uma resistência de 12 Ω Determine o módulo da força eletromotriz induzida a para 0 t 2 ms b para 2 ms t 5 ms e c para 5 ms t 6 ms Ignore o comportamento nos extremos dos intervalos Figura 3060 Problema 46 47 Indutores em série Dois indutores L1 e L2 estão ligados em série e estão separados por uma distância tão grande que o campo magnético de um não pode afetar o outro a Mostre que a indutância equivalente é dada por Sugestão Estude novamente as seções que tratam de resistores em série e capacitores em série Qual é a situação mais parecida com o caso atual b Qual é a generalização da expressão do item a para N indutores em série 48 Indutores em paralelo Dois indutores L1 e L2 estão ligados em paralelo e estão separados por uma distância tão grande que o campo magnético de um não pode afetar o outro a Mostre que a indutância equivalente é dada por Sugestão Estude novamente as seções que tratam de resistores em série e capacitores em paralelo Qual é a situação mais parecida com o caso atual b Qual é a generalização da expressão do item a para N indutores em paralelo 49 O circuito de indutores da Fig 3061 com L1 300 mH L2 500 mH L3 200 mH e L4 150 mH é ligado a uma fonte de corrente alternada Qual é a indutância equivalente do circuito Sugestão Veja os Problemas 47 e 48 Figura 3061 Problema 49 Módulo 306 Circuitos RL 50 A corrente em um circuito RL aumenta para um terço do valor final em 500 s Determine a constante de tempo indutiva do circuito 51 A corrente em um circuito RL diminui de 10 A para 10 mA no primeiro segundo depois que a fonte é removida do circuito Se L 10 H determine a resistência R do circuito 52 A chave da Fig 3015 é colocada na posição a no instante t 0 Determine a razão entre a força eletromotriz autoinduzida no indutor e a força eletromotriz da fonte a logo após o instante t 0 e b no instante t 200τL c Para qual múltiplo de τL temos 0500 53 Um solenoide com uma indutância de 630 μH é ligado em série com um resistor de 120 kΩ a Se uma bateria de 140 V é ligada entre os terminais do conjunto quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 800 do valor final b Qual é a corrente no resistor no instante t 10τL 54 Na Fig 3062 100 V R1 100 Ω R2 200 Ω R3 300 Ω e L 200 H Determine os valores de a i1 e b i2 logo após o fechamento da chave S Considere positivas as correntes nos sentidos indicados na figura e negativas as correntes no sentido oposto Determine também os valores de c i1 e d i2 muito tempo após o fechamento da chave A chave é aberta depois de ter permanecido fechada por muito tempo Determine os valores de e i1 e f i2 logo depois de a chave ter sido novamente aberta Determine também os valores de g i1 e h i2 muito tempo depois de a chave ter sido novamente aberta Figura 3062 Problema 54 55 Uma bateria é ligada a um circuito RL série no instante t 0 Para qual múltiplo de τL a corrente atinge um valor 0100 menor que o valor final 56 Na Fig 3063 o indutor tem 25 espiras e a fonte ideal tem uma força eletromotriz de 16 V A Fig 3064 mostra o fluxo magnético Φ nas espiras do indutor em função da corrente i A escala do eixo vertical é definida por Φs 40 104 Tm2 e a escala do eixo horizontal é definida por is 200 A Se a chave S é fechada no instante t 0 qual é a taxa de variação da corrente didt no instante t 15τL Figura 3063 Problemas 56 80 83 e 93 Figura 3064 Problema 56 57 Na Fig 3065 R 15 Ω L 50 H a força eletromotriz da fonte ideal é 10 V e o fusível do ramo superior é um fusível ideal de 30 A A resistência do fusível é zero enquanto a corrente que o atravessa permanece abaixo de 30 A Quando a corrente atinge o valor de 30 A o fusível queima e passa a apresentar uma resistência infinita A chave S é fechada no instante t 0 a Em que instante o fusível queima Sugestão A Eq 3041 não se aplica use uma adaptação da Eq 3039 b Faça um gráfico da corrente i no indutor em função do tempo e assinale o instante em que o fusível queima Figura 3065 Problema 57 58 A força eletromotriz da fonte do circuito da Fig 3016 varia com o tempo de tal forma que a corrente é dada por it 30 50t em que i está em ampères e t em segundos Suponha que R 40 Ω e L 60 H e escreva uma expressão para a força eletromotriz da fonte em função de t Sugestão Use a regra das malhas 59 Na Fig 3066 depois que a chave S é fechada no instante t 0 a força eletromotriz da fonte é ajustada automaticamente para manter uma corrente constante i passando pela chave a Determine a corrente no indutor em função do tempo b Em que instante a corrente no resistor é igual à corrente no indutor Figura 3066 Problema 59 60 Um núcleo toroidal de madeira de seção reta quadrada possui um raio interno de 10 cm e um raio externo de 12 cm Em torno do núcleo é enrolada uma série de espiras O fio tem 10 mm de diâmetro e uma resistência de 0020 Ωm Determine a a indutância e b a constante de tempo indutiva do conjunto Ignore a espessura do isolamento do fio Módulo 307 Energia Armazenada em um Campo Magnético 61 Uma bobina é ligada em série com um resistor de 100 kΩ Uma fonte ideal de 500 V é ligada aos terminais do conjunto e a corrente atinge um valor de 200 mA após 500 ms a Determine a indutância da bobina b Determine a energia armazenada na bobina nesse instante 62 Uma bobina com uma indutância de 20 H e uma resistência de 10 Ω é ligada bruscamente a uma fonte ideal com 100 V Um décimo de segundo após ser feita a ligação determine a a taxa com a qual a energia está sendo armazenada no campo magnético da bobina b a potência dissipada na resistência da bobina e c a potência fornecida pela fonte 63 No instante t 0 uma bateria é ligada em série a um resistor e um indutor Se a constante de tempo indutiva é 370 ms em que instante a taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é igual à taxa com a qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor 64 No instante t 0 uma bateria é ligada em série com um resistor e um indutor Para qual múltiplo da constante de tempo indutiva a energia armazenada no campo magnético do indutor é 0500 vez o valor final 65 No circuito da Fig 3016 suponha que 100 V R 670 Ω e L 550 H A fonte ideal é ligada no instante t 0 a Qual é a energia fornecida pela fonte durante os primeiros 200 s b Qual é a energia armazenada no campo magnético do indutor nesse intervalo c Qual é a energia dissipada no resistor nesse intervalo Módulo 308 Densidade de Energia de um Campo Magnético 66 Uma espira circular com 50 mm de raio conduz uma corrente de 100 A Determine a a intensidade do campo magnético e b a densidade de energia no centro da espira 67 Um solenoide tem 850 cm de comprimento uma seção reta de 170 cm2 950 espiras e é percorrido por uma corrente de 660 A a Calcule a densidade de energia do campo magnético no interior do solenoide b Determine a energia total armazenada no campo magnético desprezando os efeitos de borda 68 Um indutor toroidal com uma indutância de 900 mH envolve um volume de 00200 m3 Se a densidade de energia média no toroide é 700 Jm3 qual é a corrente no indutor 69 Qual deve ser o módulo de um campo elétrico uniforme para que possua a mesma densidade de energia que um campo magnético de 050 T 70 A Fig 3067a mostra em seção reta dois fios retilíneos paralelos e muito compridos A razão i1i2 entre a corrente no fio 1 e a corrente no fio 2 é 13 O fio 1 é mantido fixo no lugar O fio 2 pode ser deslocado ao longo do semieixo x positivo o que faz variar a densidade de energia magnética uB criada pelas duas correntes na origem A Fig 3067b mostra um gráfico de uB em função da posição x do fio 2 A curva tem uma assíntota uB 196 nJm3 para x e a escala do eixo horizontal é definida por xs 600 cm Determine o valor de a i1 e b i2 Figura 3067 Problema 70 71 Um fio de cobre conduz uma corrente de 10 A uniformemente distribuída em sua seção reta Calcule a densidade de energia a do campo magnético e b do campo elétrico na superfície do fio O diâmetro do fio é 25 mm e a resistência é 33 Ωkm Módulo 309 Indução Mútua 72 A bobina 1 tem uma indutância L1 25 mH e N1 100 espiras A bobina 2 tem uma indutância L2 40 mH e N2 200 espiras As bobinas são mantidas fixas no espaço a indutância mútua é 30 mH Uma corrente de 60 mA na bobina 1 está variando à taxa de 40 As Determine a o enlaçamento de fluxo Φ12 da bobina 1 b a força eletromotriz autoinduzida na bobina 1 c o enlaçamento de fluxo Φ21 na bobina 2 e d a força eletromotriz mutuamente induzida na bobina 2 73 Duas bobinas são mantidas fixas no espaço Quando a corrente na bobina 1 é zero e a corrente na bobina 2 aumenta à taxa de 150 As a força eletromotriz na bobina 1 é 250 mV a Qual é a indutância mútua das duas bobinas b Quando a corrente na bobina 2 é zero e a corrente na bobina 1 é 360 A qual é o enlaçamento de fluxo da bobina 2 74 Dois solenoides fazem parte do circuito de ignição de um automóvel Quando a corrente em um dos solenoides diminui de 60 A para zero em 25 ms uma força eletromotriz de 30 kV é induzida no outro solenoide Qual é a indutância mútua M dos solenoides 75 Uma bobina retangular com N espiras compactas é colocada nas proximidades de um fio retilíneo longo como mostra a Fig 3068 Qual é a indutância mútua M da combinação fiobobina para N 100 a 10 cm b 80 cm e l 30 cm Figura 3068 Problema 75 76 Uma bobina C de N espiras envolve um solenoide longo S de raio R e n espiras por unidade de comprimento como na Fig 3069 a Mostre que a indutância mútua da combinação bobinasolenoide é dada por M μ0πR2nN b Explique por que M não depende da forma do tamanho ou da possível falta de compactação da bobina Figura 3069 Problema 76 77 As duas bobinas da Fig 3070 têm indutâncias L1 e L2 quando estão muito afastadas A indutância mútua é M a Mostre que a combinação que aparece na figura pode ser substituída por uma indutância equivalente dada por Leq L1 L2 2M b De que forma as bobinas da Fig 3070 podem ser ligadas para que a indutância equivalente seja Leq L1 L2 2M Este problema é uma extensão do Problema 47 na qual foi suprimida a condição de que as bobinas estejam muito afastadas Figura 3070 Problema 77 Problemas Adicionais 78 No instante t 0 uma diferença de potencial de 120 V é aplicada bruscamente a uma bobina que possui uma indutância de 230 mH e uma resistência desconhecida R No instante t 0150 ms a corrente na bobina está variando a uma taxa de 280 As Determine o valor de R 79 Na Fig 3071 a fonte é ideal 10 V R1 50 Ω R2 10 Ω e L 50 H A chave S é fechada no instante t 0 Determine logo após o fechamento da chave a i1 b i2 c a corrente iS na chave d a diferença de potencial V2 entre os terminais do resistor 2 e a diferença de potencial VL entre os terminais do indutor e f a taxa de variação di2dt Determine também muito tempo após o fechamento da chave g i1 h i2 i iS j V2 k VL e l di2dt Figura 3071 Problema 79 80 Na Fig 3063 R 40 kΩ L 80 μH e a força eletromotriz da fonte ideal é 20 V Quanto tempo após o fechamento da chave a corrente atinge o valor de 20 mA 81 A Fig 3072a mostra uma espira retangular de resistência R 0020 Ω altura H 15 cm e comprimento D 25 cm que é puxada com velocidade escalar constante v 40 cms e passa por duas regiões onde existem campos magnéticos uniformes A Fig 3070b mostra a corrente i induzida na espira em função da posição x do lado direito da espira A escala do eixo vertical é definida por is 30 μA Assim por exemplo uma corrente de 30 μA no sentido horário é induzida quando a espira penetra na região 1 Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do papel do campo magnético na região 1 Determine também c o módulo e d o sentido do campo magnético na região 2 Figura 3072 Problema 81 82 Um campo magnético uniforme é perpendicular ao plano de uma espira circular de raio r O módulo do campo varia com o tempo de acordo com a equação B B0etτ em que B0 e τ são constantes Escreva uma expressão para a força eletromotriz na espira em função do tempo 83 A chave S da Fig 3063 é fechada no instante t 0 fazendo com que a corrente comece a aumentar no indutor de 150 mH e no resistor de 200 Ω Em que instante a força eletromotriz entre os terminais do indutor é igual à diferença de potencial entre os terminais do resistor 84 A Fig 3073a mostra duas regiões circulares concêntricas nas quais campos magnéticos uniformes podem variar A região 1 com um raio r1 10 cm possui um campo magnético que aponta para fora do papel e cujo módulo está aumentando A região 2 com um raio r2 20 cm possui um campo magnético que aponta para fora do papel e que também pode estar variando Um anel condutor de raio R concêntrico com as duas regiões é instalado e a força eletromotriz no anel é medida A Fig 3073b mostra a força eletromotriz em função do quadrado R2 do raio do anel para 0 R 20 cm A escala do eixo vertical é definida por 200 nV Determine o valor da taxa a dB1dt e b dB2dt c O módulo de está aumentando diminuindo ou permanece constante Figura 3073 Problema 84 85 Na Fig 3074 mostrase um campo magnético uniforme confinado a um volume cilíndrico de raio R O módulo de está diminuindo a uma taxa constante de 10 mTs Determine na notação dos vetores unitários a aceleração inicial de um elétron liberado a no ponto a r 50 cm b no ponto b r 0 e c no ponto c r 50 cm Figura 3074 Problema 85 86 Na Fig 3075a a chave S permaneceu na posição A por um tempo suficiente para que a corrente no indutor de indutância L1 500 mH e no resistor de resistência R1 250 Ω se estabilizasse Da mesma forma na Fig 3075b a chave S permaneceu na posição A por um tempo suficiente para que a corrente no indutor de indutância L2 300 mH e no resistor de resistência R2 300 Ω se estabilizasse A razão Φ02Φ01 entre o fluxo magnético através de uma das espiras do indutor 2 e o fluxo magnético através de uma das espiras do indutor 1 é 150 No instante t 0 as duas chaves são deslocadas para a posição B Em que instante de tempo os fluxos magnéticos através de uma espira dos dois indutores são iguais Figura 3075 Problema 86 87 Uma espira quadrada com 20 cm de lado e uma resistência de 20 mΩ é mantida perpendicular a um campo magnético uniforme de módulo B 20 T Quando dois lados da espira são afastados um do outro os outros dois lados automaticamente se aproximam reduzindo a área envolvida pela espira Se a área se reduz a zero em um intervalo de tempo Δt 020 s determine a a força eletromotriz média e b a corrente média induzida no circuito no intervalo de tempo Δt 88 Uma bobina com 150 espiras está submetida a um fluxo magnético de 500 nT m2 através de cada espira quando a corrente é 200 mA a Qual é a indutância da bobina Determine b a indutância e c o fluxo através de cada espira quando a corrente aumenta para 400 mA d Qual é a força eletromotriz máxima entre os terminais da bobina quando a corrente é dada por i 300 mA cos377t com t em segundos 89 Uma bobina com uma indutância de 20 H e uma resistência de 10 Ω é ligada bruscamente a uma fonte ideal com 100 V a Qual é a corrente final b Qual é a energia armazenada no campo magnético quando a corrente do item a atravessa a bobina 90 Quanto tempo é necessário depois que a fonte é removida para que a diferença de potencial entre os terminais do resistor de um circuito RL com L 200 H e R 300 Ω diminua para 100 do valor inicial 91 No circuito da Fig 3076 R1 20 kΩ R2 20 Ω L 50 mH e a fonte ideal tem uma força eletromotriz 40 V A chave S permaneceu aberta por um longo tempo antes de ser fechada em t 0 Logo após o fechamento da chave determine a a corrente na fonte ifon e b a taxa de variação da corrente na fonte difondt Para t 30 μs determine c ifon e d difondt Muito depois de a chave ter sido fechada determine e ifon e f difondt Figura 3076 Problema 91 92 O enlaçamento de fluxo em uma bobina com uma resistência de 075 Ω é 26 mWb quando uma corrente de 55 A atravessa a bobina a Calcule a indutância da bobina b Se uma fonte ideal de 60 V é ligada bruscamente à bobina quanto tempo é necessário para que a corrente aumente de 0 para 25 A 93 Na Fig 3063 uma fonte ideal de 120 V um resistor de 200 Ω e um indutor são ligados por uma chave no instante t 0 Qual é a taxa com a qual a fonte transfere energia para o campo magnético do indutor no instante t 161τL 94 Um solenoide cilíndrico longo com 100 espirascm tem um raio de 16 cm Suponha que o campo magnético produzido no interior do solenoide é uniforme e paralelo ao eixo do solenoide a Qual é a indutância do solenoide por unidade de comprimento b Se a corrente varia à taxa de 13 As qual é a força eletromotriz induzida por metro 95 Na Fig 3077 R1 80 Ω R2 10 Ω L1 030 H L2 020 H e a força eletromotriz da fonte ideal é 60 V a Qual é a taxa de variação da corrente no indutor 1 logo após o fechamento da chave S b Qual é a corrente no indutor 1 depois que o circuito atinge o regime estacionário Figura 3077 Problema 95 96 Uma espira quadrada é mantida em um campo magnético uniforme de 024 T perpendicular ao plano da espira O comprimento dos lados do quadrado está diminuindo a uma taxa constante de 50 cms Qual é a força eletromotriz induzida na espira quando o comprimento dos lados é 12 cm 97 No instante t 0 uma diferença de potencial de 45 V é aplicada bruscamente a uma bobina com uma indutância L 50 mH e uma resistência R 180 Ω A que taxa a corrente na bobina está aumentando no instante t 12 ms 98 A indutância de uma bobina compacta é tal que uma força eletromotriz de 300 mV é induzida quando a corrente varia à taxa de 500 As Uma corrente constante de 800 A produz um fluxo magnético de 400 μWb através das espiras da bobina a Calcule a indutância da bobina b Determine o número de espiras da bobina 99 O campo magnético no espaço interestelar de nossa galáxia tem um módulo da ordem de 1010 T Qual é a energia magnética armazenada em um cubo com 10 anosluz de aresta A título de comparação observe que a estrela mais próxima do Sol está a 43 anosluz de distância e que o raio da galáxia é aproximadamente 8 104 anosluz 100 A Fig 3078 mostra um fio em forma de arco de circunferência de raio r 240 cm com centro no ponto O Um fio retilíneo OP pode girar em torno do ponto O e faz um contato deslizante com o arco no ponto P Outro fio retilíneo OQ completa o circuito Os três fios têm uma área da seção reta de 120 mm2 e uma resistividade de 170 108 Ω m e o circuito está em uma região onde existe um campo magnético de módulo B 0150 T que aponta para fora do papel O fio OP parte do repouso na posição θ 0 e passa a se mover com uma aceleração angular constante de 12 rads2 Determine em função de θ em radianos a a resistência do circuito e b o fluxo magnético que atravessa o circuito c Para qual valor de θ a corrente induzida no circuito é máxima d Qual é a corrente máxima induzida no circuito Figura 3078 Problema 100 101 Um toroide tem uma seção reta quadrada de 500 cm de lado um raio interno de 150 cm 500 espiras e uma corrente de 0800 A Qual é o fluxo magnético através da seção reta do toroide Linhas de campo elétrico radiais também seriam compatíveis com a simetria do problema Entretanto essas linhas radiais teriam que começar e terminar em cargas elétricas estamos supondo que o campo magnético foi criado em uma região do espaço desprovida de cargas CAPÍTULO 31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada 311 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3101 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito LC e explicar quais são as grandezas que oscilam e o que constitui um período da oscilação 3102 Desenhar os gráficos da diferença de potencial do capacitor e da corrente do indutor de um circuito LC em função do tempo e indicar o período T nos dois gráficos 3103 Explicar a analogia entre um oscilador blocomola e um circuito LC 3104 Conhecer a relação entre a frequência angular ω a indutância L e a capacitância C de um circuito LC 3105 Demonstrar a equação diferencial da carga q do capacitor em um circuito LC a partir da energia de um sistema bloco mola e determinar a função qt que descreve a variação com o tempo da carga do capacitor 3106 Calcular a carga q do capacitor de um circuito LC em qualquer instante de tempo e definir a amplitude Q das oscilações de carga 3107 Calcular a corrente it que descreve a variação com o tempo da corrente do indutor de um circuito LC a partir da função qt que descreve a variação com o tempo da carga do capacitor 3108 Calcular a corrente i no indutor de um circuito LC em qualquer instante de tempo e definir a amplitude I das oscilações de corrente 3109 Conhecer a relação entre a amplitude da carga Q a amplitude da corrente I e a frequência angular ω em um circuito LC 3110 Determinar a energia do campo magnético UBt a energia do campo elétrico UEt e a energia total de um circuito LC a partir das expressões da carga q e da corrente i em função do tempo 3111 Desenhar gráficos da energia do campo magnético UBt da energia do campo elétrico UEt e da energia total de um circuito LC em função do tempo 3112 Calcular os valores máximos da energia do campo magnético UBt e da energia do campo elétrico UEt e a energia total de um circuito LC IdeiasChave Em um circuito LC a energia é transferida periodicamente do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor e viceversa os valores instantâneos das duas formas de energia são em que q é a carga instantânea do capacitor e i é a corrente instantânea do indutor A energia total U UE UB de um circuito LC é constante De acordo com a lei de conservação da energia é a equação diferencial que descreve as oscilações da carga do capacitor em um circuito LC A solução da equação diferencial é q Q cosωt ϕ carga em que Q é a amplitude da carga carga máxima do capacitor e a frequência angular das oscilações é dada por A constante de fase ϕ é determinada pelas condições iniciais no instante t 0 do circuito A corrente no circuito no instante t é dada pela equação i ωQ senωt ϕ corrente em que ωQ é a amplitude I da corrente O que É Física Já discutimos a física básica dos campos elétricos e magnéticos e o armazenamento de energia nos campos elétricos e magnéticos de capacitores e indutores Vamos agora examinar a aplicação dessa física à transferência da energia para os locais onde será utilizada Por exemplo a energia produzida em uma usina de energia elétrica deve chegar até a casa do leitor para poder alimentar um computador O valor total dessa física aplicada é hoje em dia tão elevado que é quase impossível estimálo Na verdade a civilização moderna seria impossível sem ela Em quase todo o mundo a energia elétrica é transferida não como uma corrente constante corrente contínua ou CC mas como uma corrente que varia senoidalmente com o tempo corrente alternada ou CA O desafio para os cientistas e engenheiros é projetar sistemas de CA que transfiram energia de forma eficiente e aparelhos capazes de utilizar essa energia Em nossa discussão de sistemas alternados o primeiro passo será examinar as oscilações em um circuito simples constituído por uma indutância L e uma capacitância C Oscilações em um Circuito LC Análise Qualitativa Dos três componentes básicos dos circuitos a resistência R a capacitância C e a indutância L discutimos até agora as combinações em série RC no Módulo 274 e RL no Módulo 306 Nos dois tipos de circuito descobrimos que a carga a corrente e a diferença de potencial crescem e decrescem exponencialmente A escala de tempo do crescimento ou decaimento é dada por uma constante de tempo τ que pode ser capacitiva ou indutiva Vamos agora examinar a combinação de dois componentes que faltam a combinação LC Veremos que nesse caso a carga a corrente e a diferença de potencial não decaem exponencialmente com o tempo mas variam senoidalmente com um período T e uma frequência angular ω As oscilações resultantes do campo elétrico do capacitor e do campo magnético do indutor são chamadas de oscilações eletromagnéticas Quando um circuito se comporta dessa forma dizemos que ele está oscilando As partes a a h da Fig 311 mostram estágios sucessivos das oscilações de um circuito LC simples De acordo com a Eq 2521 a energia armazenada no campo elétrico do capacitor em qualquer instante é dada por Figura 311 Oito estágios em um ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência Os histogramas mostram a energia armazenada no campo magnético e no campo elétrico Também são mostradas as linhas de campo magnético do indutor e as linhas de campo elétrico do capacitor a O capacitor está totalmente carregado a corrente é zero b O capacitor está se descarregando a corrente está aumentando c O capacitor está totalmente descarregado a corrente é máxima d O capacitor está se carregando com a polaridade oposta à de a a corrente está diminuindo e O capacitor está totalmente carregado com a polaridade oposta à de a a corrente é zero f O capacitor está se descarregando a corrente está aumentando no sentido oposto ao de b g O capacitor está totalmente descarregado a corrente é máxima h O capacitor está se carregando a corrente está diminuindo em que q é a carga do capacitor nesse instante De acordo com a Eq 3049 a energia armazenada no campo magnético do indutor em qualquer instante é dada por em que i é a corrente no indutor nesse instante A partir de agora vamos adotar a convenção de representar os valores instantâneos das grandezas elétricas de um circuito por letras minúsculas como q e as amplitudes das mesmas grandezas por letras maiúsculas como Q Com essa convenção em mente vamos supor que inicialmente a carga q do capacitor da Fig 311 é o valor máximo Q e a corrente i no indutor é zero Esse estado inicial do circuito está representado na Fig 311a As barras que representam os níveis de energia mostram que nesse instante com corrente zero no indutor e carga máxima no capacitor a energia UB do campo magnético é zero e a energia UE do campo elétrico é máxima Durante as oscilações do circuito a energia é transferida do campo elétrico para o campo magnético e viceversa mas a energia total permanece constante Logo após o instante inicial o capacitor começa a se descarregar através do indutor com as cargas positivas se movendo no sentido antihorário como mostra a Fig 311b Isso significa que uma corrente i dada por dqdt e com o sentido de cima para baixo no indutor começa a circular Com a diminuição da carga do capacitor a energia armazenada no campo elétrico do capacitor também diminui Essa energia é transferida para o campo magnético que aparece nas vizinhanças do indutor por causa da existência da corrente i Assim o campo elétrico diminui e o campo magnético aumenta enquanto a energia é transferida do campo elétrico para o campo magnético Depois de algum tempo o capacitor perde toda a carga Fig 311c e portanto o campo elétrico e a energia armazenada no campo elétrico se anulam Nesse instante toda a energia foi transferida para o campo magnético do indutor O campo magnético está portanto com o valor máximo e a corrente no indutor é a corrente máxima I Embora a carga do capacitor seja zero nesse instante a corrente no sentido antihorário continua a existir já que o indutor não permite que a corrente diminua instantaneamente para zero A corrente continua a transferir cargas positivas da placa de cima para a placa de baixo do capacitor através do circuito Fig 311d Assim a energia que estava armazenada no indutor começa a acumular cargas no capacitor A corrente no indutor diminui gradualmente durante o processo No instante em que finalmente toda a energia é transferida de volta para o capacitor Fig 311e a corrente no indutor se anula momentaneamente A situação da Fig 311e é idêntica à da Fig 311a exceto pelo fato de que o capacitor agora está carregado com a polaridade oposta Em seguida o capacitor volta a se descarregar mas agora a corrente tem o sentido horário Fig 31 1f Raciocinando como antes vemos que a corrente passa por um máximo Fig 311g e depois diminui Fig 311h até que o circuito volta à situação inicial Fig 311a O processo se repete com uma frequência f e portanto com uma frequência angular ω 2πf Em um circuito LC ideal em que não existe resistência toda a energia do campo elétrico do capacitor é transferida para a energia do campo magnético do indutor e viceversa Por causa da lei de conservação da energia as oscilações continuam indefinidamente As oscilações não precisam começar com toda a energia no campo elétrico a situação inicial poderia ser qualquer outro estágio da oscilação Para determinar a carga q do capacitor em função do tempo podemos usar um voltímetro para medir a diferença de potencial ou tensão vC entre as placas do capacitor C De acordo com a Eq 251 temos que nos permite calcular o valor de q Para determinar a corrente podemos ligar um pequeno resistor R em série com o capacitor e o indutor e medir a diferença de potencial vR entre os terminais do resistor vR é proporcional a i por meio da relação vR iR Estamos supondo que R é tão pequeno que seu efeito sobre o comportamento do circuito pode ser desprezado A variação com o tempo de vC e vR e portanto de q e i é mostrada na Fig 312 As quatro grandezas variam de forma senoidal Figura 312 a A diferença de potencial entre os terminais do capacitor da Fig 311 em função do tempo Essa grandeza é proporcional à carga do capacitor b Um potencial proporcional à corrente no circuito da Fig 311 As letras se referem aos diferentes estágios de oscilação da Fig 311 Em um circuito LC real as oscilações não continuam indefinidamente porque sempre existe uma resistência que retira energia dos campos elétrico e magnético e a dissipa na forma de energia térmica o circuito se aquece Isso significa que a amplitude das oscilações diminui com o tempo como mostra a Fig 313 A Fig 313 é semelhante à Fig 1517 que mostra o decaimento das oscilações mecânicas de um sistema blocomola por causa do atrito Keysight Technologies Inc Reproduzido com permissão cortesia de Keysight Technologies Figura 313 Imagem na tela de um osciloscópio que mostra o amortecimento das oscilações em um circuito RLC por causa da dissipação de energia no resistor Teste 1 Um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante t 0 Determine em termos do período T das oscilações resultantes o tempo t 0 necessário para que as seguintes grandezas atinjam o valor máximo a a carga do capacitor b a tensão do capacitor com a polaridade inicial c a energia armazenada no campo elétrico d a corrente no circuito Analogia Eletromecânica Vamos examinar mais de perto a analogia entre o circuito LC oscilante da Fig 311 e um sistema oscilante blocomola No caso do sistema blocomola existem dois tipos de energia envolvidos a energia potencial da mola distendida ou comprimida e a energia cinética do bloco em movimento As duas energias são dadas pelas expressões que aparecem na coluna de energia da esquerda da Tabela 31 1 Tabela 311 Comparação das Energias de Dois Sistemas Oscilantes Sistema BlocoMola Circuito LC Componente Energia Componente Energia Mola Potencial kx22 Capacitor Elétrica 1Cq22 Bloco Cinética mv22 Indutor Magnética Li22 v dxdt i dqdt A tabela também apresenta na coluna de energia da direita os dois tipos de energia envolvidos nas oscilações de um circuito LC As linhas horizontais da tabela revelam uma analogia entre as formas dos dois pares de energias as energias mecânicas do sistema blocomola e as energias eletromagnéticas do sistema indutorcapacitor As equações para v e i que aparecem na última linha da tabela ajudam a completar a analogia Elas mostram que q corresponde a x e i corresponde a v nas duas equações a segunda variável é a derivada da primeira em relação ao tempo Essas correspondências sugerem que nas expressões da energia 1C corresponde a k e L corresponde a m Assim q corresponde a x 1C corresponde a k i corresponde a v e L corresponde a m Essas correspondências sugerem que em um oscilador LC o capacitor se comporta matematicamente como a mola de um sistema blocomola e o indutor se comporta como o bloco Vimos no Módulo 151 que a frequência angular de oscilação de um sistema blocomola sem atrito é As correspondências sugerem que para determinar a frequência angular de oscilação de um circuito LC ideal sem resistência k deve ser substituído por 1C e m por L o que nos dá Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa Vamos agora mostrar explicitamente que a Eq 314 é a expressão correta para a frequência angular das oscilações em um circuito LC Ao mesmo tempo examinaremos mais de perto a analogia entre as oscilações de um circuito LC e de um sistema blocomola Começamos por ampliar um pouco nosso tratamento anterior do oscilador mecânico blocomola O Oscilador BlocoMola Analisamos as oscilações do sistema blocomola no Capítulo 15 em termos da transferência de energia mas não chegamos a escrever a equação diferencial que governa essas oscilações é o que vamos fazer agora A energia total U de um oscilador blocomola é dada em qualquer instante de tempo pela equação em que Ub e Um são respectivamente a energia cinética do bloco e a energia potencial da mola Se o atrito é desprezível a energia total U não varia com o tempo ou seja dUdt 0 Assim temos Entretanto v dxdt e dvdt d2xdt2 Com essas substituições a Eq 316 se torna A Eq 317 é a equação diferencial a que obedecem às oscilações massamola sem atrito A solução geral da Eq 317 ou seja a função xt que descreve as oscilações é como vimos na Eq 153 em que X é a amplitude das oscilações mecânicas representada por xm no Capítulo 15 ω é a frequência angular das oscilações e ϕ é uma constante de fase O Oscilador LC Vamos agora analisar as oscilações de um circuito LC sem resistência procedendo exatamente como fizemos no caso do oscilador blocomola A energia total U presente em qualquer instante em um circuito LC oscilante é dada por em que UB é a energia armazenada no campo magnético do indutor e UE é a energia armazenada no campo elétrico do capacitor Como supusemos que a resistência do circuito é zero nenhuma energia é transformada em energia térmica e U permanece constante ou seja dUdt 0 Assim temos Entretanto i dqdt e didt d2qdt2 Com essas substituições a Eq 3110 se torna Essa é a equação diferencial que descreve as oscilações em um circuito LC sem resistência As Eqs 31 11 e 317 têm exatamente a mesma forma matemática Oscilações de Carga e de Corrente Quando duas equações diferenciais são matematicamente equivalentes as soluções também são matematicamente equivalentes Como q corresponde a x podemos escrever a solução geral da Eq 3111 por analogia com a Eq 318 como em que Q é a amplitude das variações de carga ω é a frequência angular das oscilações eletromagnéticas e ϕ é a constante de fase Derivando a Eq 3112 em relação ao tempo obtemos a corrente em um circuito LC A amplitude I dessa corrente senoidal é e portanto podemos reescrever a Eq 3113 na forma Frequências Angulares Podemos confirmar que a Eq 3112 é uma solução da Eq 3111 substituindo a Eq 3112 e sua derivada segunda em relação ao tempo na Eq 3111 A derivada primeira da Eq 3112 é a Eq 3113 A derivada segunda é portanto Substituindo q e d2qdt2 por seus valores na Eq 3111 obtemos Dividindo ambos os membros por Q cosωt ϕ e reagrupando os termos obtemos Assim a Eq 3112 é realmente uma solução da Eq 3111 contanto que Observe que a expressão de ω é a mesma da Eq 314 à qual chegamos usando correspondências A constante de fase ϕ da Eq 3112 é determinada pelas condições que existem em um dado instante como t 0 por exemplo De acordo com a Eq 3112 se ϕ 0 no instante t 0 q Q e de acordo com a Eq 3113 i 0 Essas são as condições representadas na Fig 311a Oscilações da Energia Elétrica e Magnética De acordo com as Eqs 311 e 3112 a energia elétrica armazenada no circuito LC no instante t é dada por 1 2 3 Figura 314 Energia magnética e energia elétrica armazenada no circuito da Fig 311 em função do tempo Observe que a soma das duas energias é constante T é o período das oscilações De acordo com as Eqs 312 e 3113 a energia magnética armazenada é dada por Substituindo ω por seu valor dado pela Eq 314 temos A Fig 314 mostra os gráficos de UEt e UBt para o caso de ϕ 0 Observe que O valor máximo tanto de UEt como de UBt é Q22C Em qualquer instante a soma de UEt e UBt também é Q22C Quando UEt é máxima UBt é mínima e viceversa Teste 2 Um capacitor em um circuito LC tem uma diferença de potencial máxima de 17 V e uma energia máxima de 160 μJ Quando o capacitor tem uma diferença de potencial de 5 V e uma energia de 10 μJ a qual é a força eletromotriz entre os terminais do indutor e b qual a energia armazenada no campo magnético Exemplo 3101 Variação de potencial e taxa de variação da corrente em um circuito LC Um capacitor de 15 μF é carregado por uma bateria de 57 V que em seguida é desligada No instante t 0 um indutor de 12 mH é ligado ao capacitor para formar um circuito LC Fig 311 a Qual é a diferença de potencial vLt entre os terminais do indutor em função do tempo IDEIASCHAVE 1 A corrente e as diferenças de potencial do circuito a diferença de potencial do capacitor e a diferença de potencial do indutor variam de forma senoidal 2 Podemos aplicar a um circuito oscilante a mesma regra das malhas que aplicamos a circuitos não oscilantes no Capítulo 27 Cálculos Aplicando a regra das malhas ao circuito Fig 311 temos para qualquer instante de tempo t ou seja como a diferença de potencial para o circuito como um todo é zero a diferença de potencial vL do indutor é sempre igual à diferença de potencial vC do capacitor Assim podemos calcular vLt a partir de vCt e podemos calcular vCt a partir de qt usando a Eq 251 q CV Como a diferença de potencial vCt é máxima no instante t 0 em que as oscilações começam a carga q do capacitor também é máxima nesse instante Assim a constante de fase ϕ é zero e a Eq 3112 nos dá Note que a função cosseno realmente passa por um máximo 1 para t 0 o que nos dá q Q Para calcular a diferença de potencial vCt dividimos ambos os membros da Eq 3119 por C para obter e usamos a Eq 251 para escrever Aqui VC é a amplitude das oscilações da diferença de potencial vC do capacitor De acordo com a Eq 3118 vC vL portanto Podemos calcular o lado direito da Eq 3121 observando que a amplitude VC é igual à diferença de potencial inicial máxima de 57 V entre os terminais do capacitor Em seguida usamos a Eq 314 para calcular ω Assim a Eq 3121 se torna b Qual é a máxima taxa de variação didtmáx da corrente no circuito IDEIACHAVE Com a carga do capacitor oscilando de acordo com a Eq 3112 a corrente tem a forma da Eq 3113 Como ϕ 0 a equação nos dá i ωQ sen ωt Cálculos Derivando a equação anterior em relação ao tempo obtemos Podemos simplificar essa equação substituindo Q por CVC já que conhecemos C e VC mas não conhecemos Q e substituindo ω por de acordo com a Eq 314 O resultado é o seguinte Isso significa que a taxa de variação da corrente varia senoidalmente e seu valor máximo é 312 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS EM UM CIRCUITO RLC Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3113 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito RLC série e explicar por que as oscilações do circuito são amortecidas 3114 A partir das expressões das energias do campo e da taxa de dissipação da energia em um circuito RLC escrever uma equação diferencial para a carga do capacitor 3115 Escrever uma expressão para a carga do capacitor de um circuito RLC em função do tempo qt 3116 Saber que em um circuito RLC a carga do capacitor e a energia do campo elétrico do capacitor diminuem exponencialmente com o tempo 3117 Conhecer a relação entre a frequência angular ω das oscilações de um circuito RLC e a frequência angular ω de um circuito LC com os mesmos valores de indutância e capacitância 3118 Escrever uma expressão para a energia UE do campo elétrico do capacitor de um circuito RLC em função do tempo IdeiasChave As oscilações de um circuito RLC são amortecidas por causa da presença de um componente dissipativo no circuito A variação com o tempo da carga do capacitor é dada pela equação A solução dessa equação diferencial é q QeRt2L cosωt ϕ em que Para pequenos valores de R ω ω Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC Um circuito formado por uma resistência uma indutância e uma capacitância é chamado de circuito RLC Vamos discutir apenas o caso de circuitos RLC série como o da Fig 315 Com uma resistência R presente a energia eletromagnética total U do circuito a soma da energia elétrica e da energia magnética não é constante como no circuito LC pois parte da energia é transformada pela resistência em energia térmica Por causa dessa perda de energia as oscilações de carga corrente e diferença de potencial diminuem continuamente de amplitude e dizemos que as oscilações são amortecidas Como vamos ver esse amortecimento é análogo ao do oscilador blocomola amortecido do Módulo 155 Para analisar as oscilações do circuito necessitamos de uma equação que expresse a energia eletromagnética total U no circuito em função do tempo Como a resistência não armazena energia eletromagnética podemos usar a Eq 319 para escrever a energia total da seguinte forma No caso que estamos examinando a energia eletromagnética total diminui com o tempo já que parte da energia é transformada em energia térmica De acordo com a Eq 2627 a taxa com a qual essa transformação ocorre é dada por Figura 315 Circuito RLC série Enquanto a carga contida no circuito oscila entre o indutor e o capacitor parte da energia do circuito é dissipada no resistor o que reduz progressivamente a amplitude das oscilações em que o sinal negativo indica que U diminui com o tempo Derivando a Eq 3122 em relação ao tempo e substituindo o resultado na Eq 3123 obtemos Substituindo i por dqdt e didt por d2qdt2 obtemos que é a equação diferencial para as oscilações amortecidas de um circuito RLC Diminuição da Carga A solução da Eq 3124 é em que e como no caso de um oscilador não amortecido A Eq 3125 expressa a variação da carga do capacitor em um circuito RLC ela é análoga à Eq 1542 que descreve o deslocamento do bloco em um oscilador blocomola amortecido A Eq 3125 descreve uma oscilação senoidal a função cosseno com uma amplitude exponencialmente decrescente QeRt2L o fator que multiplica o cosseno A frequência angular ωʹ das oscilações amortecidas é sempre menor que a frequência angular das oscilações não amortecidas entretanto vamos considerar apenas situações nas quais a resistência R é suficientemente pequena para que ωʹ possa ser substituída por ω Diminuição da Energia Vamos agora escrever uma expressão para a energia eletromagnética total U do circuito em função do tempo Para isso basta calcular a energia armazenada no campo elétrico do capacitor que é fornecida pela Eq 311 UE q22C Substituindo a Eq 3125 na Eq 311 obtemos Assim a energia do campo elétrico oscila de acordo com um termo proporcional ao quadrado do cosseno e a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo Um cálculo semelhante para a energia do campo magnético levaria a um resultado análogo Exemplo 3102 Amplitude da carga em um circuito RLC Um circuito RLC série tem uma indutância L 12 mH uma capacitância C 16 μF uma resistência R 15 Ω e começa a oscilar no instante t 0 a Em que instante t a amplitude das oscilações da carga do circuito é 50 do valor inicial Note que o valor inicial da carga não é dado IDEIACHAVE A amplitude das oscilações da carga diminui exponencialmente com o tempo t De acordo com a Eq 3125 a amplitude das oscilações da carga em um instante t é dada por Qet2L em que Q é a amplitude no instante t 0 Cálculos Estamos interessados em determinar o instante no qual a amplitude das oscilações da carga é 050Q ou seja o instante em que QeRt2L 050Q Dividindo ambos os membros por Q o que elimina Q da equação mostrando que não é preciso conhecer a carga inicial e tomando o logaritmo natural de ambos os membros obtemos Explicitando t e substituindo os valores conhecidos obtemos b Quantas oscilações o circuito executou até esse instante IDEIACHAVE O tempo necessário para o circuito completar uma oscilação é o período T 2πω em que a frequência angular das oscilações para pequenos valores de R é dada pela Eq 314 Cálculo No intervalo de tempo Δt 00111 s o número de oscilações completas é Assim a amplitude diminui 50 em cerca de 13 oscilações Esse amortecimento é bem mais lento que o da Fig 313 em que a amplitude diminui mais de 50 em apenas uma oscilação 313 OSCILAÇÕES FORÇADAS EM TRÊS CIRCUITOS SIMPLES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3119 Saber a diferença entre corrente alternada e corrente contínua 3120 Escrever a equação da força eletromotriz de um gerador de CA em função do tempo usando como parâmetros a amplitude da força eletromotriz e a frequência angular de excitação 3121 Escrever a equação da corrente de um gerador de CA em função do tempo usando como parâmetros a amplitude da corrente a frequência angular de excitação e a constante de fase em relação à força eletromotriz 3122 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito RLC série alimentado por um gerador de CA 3123 Saber a diferença entre a frequência angular de excitação ωd e a frequência angular natural ω 3124 Conhecer a condição de ressonância de um circuito RLC série e o efeito da ressonância sobre a amplitude da corrente 3125 Desenhar os diagramas esquemáticos dos três circuitos básicos carga puramente resistiva carga puramente capacitiva e carga puramente indutiva e diagramas fasoriais da tensão vt e da corrente it associados 3126 Conhecer as equações da tensão vt e da corrente it nos três circuitos básicos 3127 Identificar a velocidade angular a amplitude a componente vertical e o ângulo de rotação dos fasores de tensão e corrente associados aos três circuitos básicos 3128 Identificar as constantes de fase associadas aos três circuitos básicos e interpretálas em termos das orientações relativas dos fasores da tensão e da corrente e também em termos de avanços e atrasos 3129 Usar a frase mnemônica ELI que TOLICE 3130 Conhecer a relação entre a amplitude V da tensão e a amplitude I da corrente para os três circuitos básicos 3131 Calcular a reatância capacitiva XC e a reatância indutiva XL IdeiasChave Um circuito RLC série executa oscilações forçadas com uma frequência angular ωd quando é ligado a uma fonte cuja força eletromotriz é dada por A corrente no circuito é i I senωdt ϕ em que ϕ é a constante de fase da corrente A diferença de potencial entre os terminais de um resistor que conduz uma corrente alternada é dada por VR IR a corrente está em fase com a diferença de potencial No caso de um capacitor VC IXC em que XC 1ωdC é a reatância capacitiva a corrente está adiantada de 90o em relação à diferença de potencial ϕ 90o π2 rad No caso de um indutor VL IXL em que XL ωdL é a reatância indutiva a corrente está atrasada de 90o em relação à diferença de potencial ϕ 90o π2 rad Corrente Alternada As oscilações de um circuito RLC não são amortecidas se uma fonte de tensão externa fornece energia suficiente para compensar a energia dissipada na resistência R Os aparelhos elétricos usados nas fábricas escritórios e residências contêm um número muito grande de circuitos RLC que são alimentados pela rede de distribuição de energia elétrica Na grande maioria dos casos a energia é fornecida na forma de correntes e tensões senoidais sistema que é conhecido como corrente alternada ou CA No caso das correntes e tensões que não variam com o tempo como as fornecidas por uma bateria o sistema é conhecido como corrente contínua ou CC No sistema de corrente alternada usado no Brasil a tensão e a corrente mudam de sentido 120 vezes por segundo e portanto têm uma frequência f 60 Hz Oscilações dos Elétrons À primeira vista a corrente alternada pode parecer uma forma estranha de fornecer energia a um circuito Vimos que a velocidade de deriva dos elétrons de condução em um fio comum é da ordem de 4 105 ms Se o sentido de movimento dos elétrons se inverte a cada 1120 s os elétrons se deslocam apenas cerca de 3 107 m a cada meio ciclo Assim em média um elétron passa apenas por 10 átomos da rede cristalina do material de que é feito o fio antes de dar meiavolta Nesse ritmo o leitor deve estar se perguntando Como o elétron consegue chegar a algum lugar A resposta é simples O elétron não precisa ir a algum lugar Quando dizemos que a corrente em um fio é um ampère isso significa que as cargas passam por qualquer plano que intercepta totalmente o fio à taxa de um coulomb por segundo A velocidade com a qual os portadores passam pelo plano não é o único parâmetro importante um ampère pode corresponder a muitos portadores de carga se movendo devagar ou a poucos portadores de carga se movendo depressa Além disso o sinal para os elétrons passarem a se mover no sentido oposto que tem origem na força eletromotriz alternada produzida nos geradores das usinas elétricas se propaga ao longo dos condutores com uma velocidade quase igual à velocidade da luz Todos os elétrons onde quer que estejam recebem essa instrução praticamente no mesmo instante Finalmente convém observar que em muitos dispositivos como as lâmpadas e as torradeiras o sentido do movimento não é importante contanto que os elétrons estejam em movimento e transfiram energia para o dispositivo por meio de colisões com átomos Por que Usar CA A principal vantagem da corrente alternada é a seguinte Quando a corrente muda de sentido o mesmo acontece com o campo magnético nas vizinhanças do condutor Isso torna possível usar a lei de indução de Faraday o que entre outras coisas significa que podemos aumentar ou diminuir à vontade a diferença de potencial usando um dispositivo conhecido como transformador que será discutido mais tarde Além disso a corrente alternada é mais fácil de gerar e utilizar que a corrente contínua no caso de máquinas rotativas como geradores e motores Força Eletromotriz e Corrente Fig 316 mostra um tipo simples de gerador de corrente alternada Quando a espira condutora é forçada a girar na presença do campo magnético externo uma força eletromotriz senoidal é induzida na espira A frequência angular ωd da força eletromotriz é igual à velocidade angular de rotação da espira a fase é ωdt e a amplitude é o índice significa máxima Se a espira faz parte de um circuito elétrico a força eletromotriz produz uma corrente senoidal alternada no circuito com a mesma frequência angular ωd que nesse caso é chamada de frequência angular de excitação Podemos escrever a corrente na forma em que I é a amplitude da corrente Por convenção a fase da corrente é normalmente escrita como ωdt ϕ e não como ωdt ϕ Uma constante de fase ϕ foi introduzida na Eq 3129 porque a corrente i pode não estar em fase com a força eletromotriz Como vamos ver a constante de fase depende do circuito ao qual o gerador está ligado Podemos também escrever a corrente i em termos da frequência de excitação fd da força eletromotriz substituindo ωd por 2πfd na Eq 3129 Figura 316 Nos geradores de corrente alternada uma espira condutora é forçada a girar na presença do campo magnético externo Na prática a força eletromotriz induzida em uma bobina com muitas espiras é colhida por escovas que se apoiam em anéis rotativos solidários com bobina Cada anel está ligado a uma extremidade da bobina e faz contato com o resto do circuito do gerador por meio de uma das escovas Oscilações Forçadas Como vimos depois de um estímulo inicial a carga a diferença de potencial e a corrente nos circuitos LC e RLC para valores suficientemente pequenos de R oscilam com uma frequência angular Essas oscilações recebem o nome de oscilações livres livres de qualquer força eletromotriz externa e a frequência angular ω é chamada de frequência angular natural Quando a fonte externa de força eletromotriz alternada da Eq 3128 é ligada a um circuito RLC dizemos que as oscilações de carga diferença de potencial e corrente são oscilações forçadas Essas oscilações sempre acontecem na frequência angular de excitação ωd Qualquer que seja a frequência angular natural ω de um circuito as oscilações forçadas de carga corrente e diferença de potencial acontecem na frequência angular de excitação ωd Por outro lado como vamos ver no Módulo 314 a amplitude das oscilações depende da diferença entre ωd e ω Quando as duas frequências são iguais uma situação conhecida como ressonância a amplitude da corrente I no circuito é máxima quanto maior a diferença entre ωd e ω menor a amplitude das oscilações Três Circuitos Simples Daqui a pouco vamos estudar um sistema constituído por uma fonte de força eletromotriz alternada e um circuito RLC série como o sistema da Fig 317 e obter expressões para a amplitude I e constante de fase ϕ da corrente no circuito em função da amplitude e frequência angular ωd da força eletromotriz Antes porém vamos examinar três circuitos mais simples constituídos apenas pela fonte e um componente como R C e L Começaremos com um componente resistivo uma carga resistiva pura Figura 317 Circuito de uma malha formado por um resistor um capacitor e um indutor Um gerador representado por uma senoide no interior de um círculo produz uma força eletromotriz alternada que estabelece uma corrente alternada no circuito O sentido da força eletromotriz e da corrente varia periodicamente Carga Resistiva A Fig 318 mostra um circuito formado por um resistor R e um gerador de corrente alternada cuja força eletromotriz é dada pela Eq 3128 De acordo com a regra das malhas temos De acordo com a Eq 3128 temos Como a amplitude VR da diferença de potencial ou tensão entre os terminais da resistência é igual à amplitude da força eletromotriz podemos escrever Usando a definição de resistência R Vi podemos escrever a corrente na resistência como De acordo com a Eq 3129 a corrente também pode ser escrita na forma em que IR é a amplitude da corrente iR na resistência Comparando as Eqs 3131 e 3132 vemos que no caso de uma carga resistiva pura a constante de fase ϕ é nula Figura 318 Circuito formado por um resistor e um gerador de corrente alternada Vemos também que a amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação Embora essa relação tenha sido demonstrada apenas para o circuito da Fig 318 ela se aplica a qualquer resistência em qualquer circuito Comparando as Eqs 3130 e 3131 vemos que as grandezas variáveis com o tempo vR e iR são funções de sen ωdt com ϕ 0o Isso significa que as duas grandezas estão em fase ou seja passam ao mesmo tempo pelos máximos e pelos mínimos A Fig 319a que é um gráfico de vRt e iRt ilustra esse fato Observe que os valores máximos de vR e iR não diminuem com o tempo porque o gerador fornece energia ao circuito para compensar a energia dissipada em R As grandezas variáveis com o tempo vR e iR podem ser representadas geometricamente por fasores Como vimos no Módulo 166 fasores são vetores que giram em torno de uma origem Os fasores que representam a tensão e a corrente no resistor da Fig 318 são mostrados na Fig 319b para um instante de tempo arbitrário t Esses fasores têm as seguintes propriedades Velocidade angular Os dois fasores giram em torno da origem no sentido antihorário com uma velocidade angular igual à frequência angular ωd de vR e iR Comprimento O comprimento de cada fasor representa a amplitude de uma grandeza alternada VR no caso da tensão e IR no caso da corrente Projeção A projeção de cada fasor no eixo vertical representa o valor da grandeza alternada no instante t vR no caso da tensão e iR no caso da corrente Ângulo de rotação O ângulo de rotação de cada fasor é igual à fase da grandeza alternada no instante t Na Fig 319b a tensão e a corrente estão em fase como têm a mesma velocidade angular e o mesmo ângulo de rotação os dois fasores giram juntos Acompanhe mentalmente a rotação Não é fácil ver que a tensão e a corrente atingem os valores máximos vR VR e iR IR quando o ângulo de rotação é 90o ou seja quando os dois fasores estão apontando verticalmente para cima As Eqs 3130 e 3132 fornecem os mesmos resultados Teste 3 Quando aumentamos a frequência de excitação de um circuito com uma carga resistiva pura a a amplitude VR aumenta diminui ou permanece a mesma b A amplitude IR aumenta diminui ou permanece a mesma Figura 319 a Gráfico da corrente iR no resistor e da diferença de potencial vR entre os terminais do resistor em função do tempo t A corrente e a diferença de potencial estão em fase e completam um ciclo em um período T b Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em a Exemplo 3103 Diferença de potencial e corrente para uma carga resistiva pura No circuito da Fig 318 a resistência R é 200 Ω e o gerador produz uma força eletromotriz de amplitude 360 V e frequência fd 600 Hz a Qual é a diferença de potencial vRt entre os terminais do resistor em função do tempo t e qual é a amplitude VR de vRt IDEIACHAVE Em um circuito com uma carga puramente resistiva a diferença de potencial vRt entre os terminais do resistor é igual à diferença de potencial t entre os terminais do gerador Cálculos Nesse caso vRt t e VR Como é conhecida podemos escrever Para determinar vRt usamos a Eq 3128 para escrever e em seguida fazemos 360 V e ωd 2πfd 2π60 Hz 120π para obter vR 360 V sen120πt Podemos deixar o argumento do seno nessa forma por conveniência ou escrevêlo como 377 radst ou 377 s1t b Qual é a corrente iRt no resistor e qual é a amplitude IR de iRt IDEIACHAVE Em um circuito de CA com uma carga resistiva pura a corrente alternada iRt no resistor está em fase com a diferença de potencial alternada vRt entre os terminais do resistor ou seja a constante de fase ϕ da corrente é zero Cálculos Nesse caso podemos escrever a Eq 3129 na forma De acordo com a Eq 3133 a amplitude IR é Substituindo este valor e fazendo ωd 2πfd 120π na Eq 3135 obtemos Figura 3110 Circuito formado por um capacitor C e um gerador de corrente alternada Carga Capacitiva A Fig 3110 mostra um circuito formado por um capacitor C e um gerador de corrente alternada cuja força eletromotriz é dada pela Eq 3128 Aplicando a regra das malhas e procedendo como fizemos para obter a Eq 3130 descobrimos que a diferença de potencial entre os terminais do capacitor é dada por em que VC é a amplitude da tensão alternada no capacitor Usando a definição de capacitância também podemos escrever Nosso interesse porém está na corrente e não na carga Assim derivamos a Eq 3137 para obter Vamos agora modificar a Eq 3138 de duas formas Em primeiro lugar para padronizar a notação vamos definir uma grandeza XC conhecida como reatância capacitiva de um capacitor por meio da relação O valor de XC depende da capacitância e da frequência angular de excitação ωd Sabemos da definição de constante de tempo capacitiva τ RC que a unidade de C no SI pode ser expressa em segundos por ohm Usando essa unidade na Eq 3139 vemos que a unidade de XC no SI é o ohm a mesma da resistência R Em segundo lugar substituímos cos ωdt na Eq 3138 por um seno com um deslocamento de fase de 90o cos ωdt senωdt 90 Para mostrar que essa identidade está correta basta deslocar uma senoide de 90o no sentido negativo Com as duas modificações a Eq 3138 se torna De acordo com a Eq 3129 podemos escrever a corrente iC no capacitor da Fig 3110 na forma em que IC é a amplitude de iC Comparando as Eqs 3140 e 3141 vemos que para uma carga capacitiva pura a constante de fase ϕ da corrente é 90o Vemos também que a amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação Embora essa relação tenha sido demonstrada apenas para o circuito da Fig 3110 ela se aplica a qualquer capacitância em qualquer circuito de corrente alternada Comparando as Eqs 3136 e 3140 ou examinando a Fig 3111a vemos que as grandezas vC e iC estão defasadas de 90o o que equivale a π2 rad ou um quarto de ciclo e iC está adiantada em relação a vC ou seja quando medimos iC e vC no circuito da Fig 3110 em função do tempo iC atinge o valor máximo um quarto de ciclo antes de vC Essa relação entre iC e vC está ilustrada no diagrama fasorial da Fig 3111b Enquanto os fasores que representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido antihorário o fasor IC se mantém à frente do fasor VC e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90o ou seja quando o fasor IC coincide com o eixo vertical o fasor VC coincide com o eixo horizontal É fácil verificar que o diagrama fasorial da Fig 3111b é compatível com as Eqs 3136 e 3140 Figura 3111 a A corrente no capacitor está adiantada de 90o π2 rad em relação à tensão b Diagrama fasorial correspondente ao gráfico que está mostrado em a Teste 4 A figura mostra em a uma curva senoidal St senωdt e três outras curvas senoidais At Bt e Ct todas da forma senωdt ϕ a Coloque as outras três curvas na ordem do valor de ϕ começando pelo maior valor positivo e terminando no maior valor negativo b Estabeleça a correspondência entre as curvas da parte a da figura e os fasores da parte b c Qual das curvas da parte a está adiantada em relação a todas as outras Exemplo 3104 Diferença de potencial e corrente para uma carga capacitiva pura Na Fig 3110 a capacitância C é 150 μF e o gerador produz uma força eletromotriz senoidal de amplitude 360 V e frequência fd 600 Hz a Qual é a diferença de potencial vCt entre os terminais do capacitor em função do tempo e qual é a amplitude VC de vCt IDEIACHAVE Em um circuito com uma carga puramente capacitiva a diferença de potencial vCt entre os terminais do capacitor é igual à diferença de potencial t entre os terminais do gerador Cálculos Nesse caso vCt t e VC Como é conhecida podemos escrever Para determinar vCt usamos a Eq 3128 para escrever Em seguida fazemos 360 V e ωd 2πfd 120π na Eq 3143 para obter b Qual é a corrente iCt no circuito e qual é a amplitude IC de iCt IDEIACHAVE Em um circuito de CA com uma carga capacitiva pura a corrente alternada iCt no capacitor está adiantada de 90o em relação à diferença de potencial alternada vCt entre os terminais do capacitor ou seja a constante de fase ϕ para a corrente é 90o ou π2 rad Cálculos Nesse caso podemos escrever a Eq 3129 na forma Para calcular a amplitude IC da corrente no capacitor usando a Eq 3142 VC ICXC precisamos conhecer a reatância capacitiva XC De acordo com a Eq 3139 XC 1ωdC em que ωd 2πfd podemos escrever Nesse caso de acordo com a Eq 3142 temos Substituindo esse valor e ωd 2πfd 120π na Eq 3144 obtemos Carga Indutiva A Fig 3112 mostra um circuito formado por um indutor L e um gerador de corrente alternada cuja força eletromotriz é dada pela Eq 3128 Aplicando a regra das malhas e procedendo como fizemos para obter a Eq 3130 constatamos que a diferença de potencial entre os terminais do indutor é dada por em que VL é a amplitude da tensão alternada vL no indutor Utilizando a Eq 3035 L didt podemos escrever a diferença de potencial entre os terminais de um indutor L no qual a corrente está variando à taxa diLdt na forma Combinando as Eqs 3145 e 3146 obtemos Figura 3112 Circuito formado por um indutor L e um gerador de corrente alternada Nosso interesse porém está na corrente e não na derivada da corrente em relação ao tempo Assim integramos a Eq 3147 para obter Vamos agora modificar a Eq 3148 de duas formas Em primeiro lugar para padronizar a notação vamos definir a grandeza XL conhecida como reatância indutiva de um indutor por meio da relação O valor de XL depende tanto da indutância como da frequência angular de excitação ωd Sabemos da definição de constante de tempo indutiva τL LR que a unidade de L no SI pode ser expressa em ohmssegundos Usando essa unidade na Eq 3149 vemos que a unidade de XL no SI é o ohm a mesma da resistência R e da reatância capacitiva XC Em segundo lugar substituímos cos ωdt na Eq 3148 por um seno com um deslocamento de fase de 90o cos ωdt senωdt 90o Para mostrar que a identidade está correta basta deslocar uma senoide 90o no sentido positivo Com essas duas modificações a Eq 3148 se torna De acordo com a Eq 3129 também podemos escrever a corrente no indutor como em que IL é a amplitude de iL Comparando as Eqs 3150 e 3151 vemos que para uma carga indutiva pura a constante de fase ϕ da corrente é 90o Vemos também que a amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação Embora essa relação tenha sido demonstrada apenas para o circuito da Fig 3112 ela se aplica a qualquer indutância em qualquer circuito de corrente alternada Comparando as Eqs 3145 e 3150 ou examinando a Fig 3113a vemos que as grandezas vL e iL estão defasadas de 90o e iL está atrasada em relação a vL ou seja quando medimos iL e vL no circuito da Fig 3112 em função do tempo iL atinge o valor máximo um quarto de ciclo depois de vL Essa relação entre iL e vL está ilustrada no diagrama fasorial da Fig 3113b Enquanto os fasores que representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido antihorário o fasor VL se mantém à frente do fasor IL e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90o ou seja quando o fasor VL coincide com o eixo vertical o fasor IL coincide com o eixo horizontal É fácil verificar que o diagrama fasorial da Fig 3113b é compatível com as Eqs 3145 e 3150 Figura 3113 a A corrente no indutor está adiantada de 90o π2 rad em relação à tensão b Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em a Teste 5 Quando aumentamos a frequência de excitação de um circuito que contém uma carga capacitiva pura a a amplitude VC aumenta diminui ou permanece a mesma b A amplitude IC aumenta diminui ou permanece a mesma Quando aumentamos a frequência de excitação de um circuito que contém uma carga indutiva pura c a amplitude VL aumenta diminui ou permanece a mesma d A amplitude IL aumenta diminui ou permanece a mesma Táticas para a Solução de Problemas Tensões e Correntes em Circuitos de CA A Tabela 312 mostra a relação entre a corrente i e a tensão v nos três tipos de componentes que acabamos de discutir Quando uma tensão alternada é aplicada a esses componentes a corrente está em fase com a tensão nos resistores está adiantada em relação à tensão nos capacitores e está atrasada em relação à tensão nos indutores Alguns estudantes usam a frase mnemônica ELI que TOLICE para não esquecer essas relações ELI contém a letra L símbolo do indutor e nessa palavra a letra I símbolo de corrente vem depois da letra E símbolo de força eletromotriz ou tensão Assim em um indutor a corrente está atrasada em relação à tensão Por outro lado a palavra TOLICE contém a letra C símbolo do capacitor e nessa palavra a letra I vem antes da letra E que significa que a corrente está adiantada em relação à tensão O leitor também pode usar a frase Positivamente ELI isso é uma TOLICE para se lembrar de que a constante de fase é positiva para os indutores Se o leitor tiver dificuldade para lembrar se XC é igual a ωdC errado ou 1ωdC certo pense que C fica na cova ou seja no denominador Tabela 312 Relações de Fase e Amplitude para Correntes e Tensões Alternadas Componente Símbolo Resistência ou Reatância Fase da Corrente Constante de Fase ou Ângulo ϕ Relação de Amplitudes Resistor R R Em fase com vR 0o 0 rad VR IRR Capacitor L XC 1ωdC Adiantada de 90o π2 rad em relação a vC 90o π2 rad VC ICXC Indutor C XL ωdL Atrasada de 90o π2 rad em relação a vL 90o π2 rad VL ILXL Exemplo 3105 Diferença de potencial e corrente para uma carga indutiva pura Na Fig 3112 a indutância L é 230 mH e o gerador produz uma força eletromotriz de amplitude 360 V e frequência fd 600 Hz a Qual é a diferença de potencial vLt entre os terminais do indutor e qual é a amplitude VL de vLt IDEIACHAVE Em um circuito com uma carga puramente indutiva a diferença de potencial vLt entre os terminais do indutor é sempre igual à diferença de potencial t entre os terminais do gerador Cálculos Nesse caso vLt t e VL Como é conhecida podemos escrever Para determinar vLt usamos a Eq 3128 para escrever Em seguida fazemos 360 V e ωd 2πfd 120π na Eq 3153 para obter b Qual é a corrente iLt no circuito e qual é a amplitude IL de iLt IDEIACHAVE Em um circuito de CA com uma carga indutiva pura a corrente alternada iLt no indutor está atrasada 90o em relação à diferença de potencial alternada vLt entre os terminais do indutor ou seja a constante de fase ϕ para a corrente é 90o ou π2 rad Usando o artifício mnemônico da Tática 1 esse circuito é positivamente um circuito ELI o que nos diz que a força eletromotriz E está adiantada em relação à corrente I e que o ângulo de fase ϕ é positivo Cálculos Como o ângulo de fase ϕ da corrente é 90o ou π2 rad podemos escrever a Eq 3129 na forma Para calcular a amplitude IL da corrente no indutor usando a Eq 3152 VL ILXL precisamos conhecer a reatância indutiva XL De acordo com a Eq 3149 XL ωdL em que ωd 2πfd podemos escrever Nesse caso de acordo com a Eq 3152 temos Substituindo esse valor e ωd 2πfd 120π na Eq 3154 obtemos 314 O CIRCUITO RLC SÉRIE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3132 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito RLC série 3133 Saber em que condições um circuito RLC série é mais indutivo que capacitivo mais capacitivo que indutivo ou está em ressonância 3134 Desenhar gráficos da tensão e da corrente em função do tempo e diagramas fasoriais para circuitos RLC série mais indutivos que capacitivos mais capacitivos que indutivos e em ressonância 3135 Calcular a impedância Z de um circuito RLC série 3136 Conhecer a relação entre a amplitude I da corrente a impedância Z e a amplitude da força eletromotriz 3137 Conhecer a relação entre a constante de fase ϕ e as tensões VL e VC e a relação entre a constante de fase ϕ a resistência R e as reatâncias XL e XC 3138 Conhecer os possíveis valores da constante de fase ϕ para um circuito mais indutivo que capacitivo mais capacitivo que indutivo ou que está em ressonância 3139 Conhecer a relação entre a frequência angular de excitação ωd a frequência angular natural ω a indutância L e a capacitância C 3140 Desenhar uma curva da amplitude da corrente em função da razão ωdω mostrar as regiões correspondentes a um circuito mais indutivo que capacitivo mais capacitivo que indutivo ou que está em ressonância e explicar o que acontece com a curva quando a resistência aumenta IdeiasChave No caso de um circuito RLC série alimentado por uma fonte cuja força eletromotriz é dada por e cuja corrente é dada por i I senωdt ϕ a amplitude da corrente é dada por A constante de fase é dada por A impedância do circuito é A amplitude da corrente está relacionada à força eletromotriz da fonte e à impedância do circuito pela equação A amplitude I da corrente é máxima I R quando a frequência angular de excitação ωd é igual à frequência angular natural ω do circuito uma situação conhecida como ressonância Na ressonância XC XL ϕ 0 e a corrente está em fase com a força eletromotriz O Circuito RLC Série Agora estamos em condições de analisar o caso em que a força eletromotriz alternada da Eq 3128 é aplicada ao circuito RLC da Fig 317 Como R L e C estão em série a mesma corrente atravessa os três componentes Estamos interessados em determinar a amplitude I e a constante de fase ϕ da corrente e investigar a variação dessas grandezas com a frequência angular de excitação ωd A solução é facilitada pelo uso de diagramas fasoriais como os que foram apresentados para os três circuitos básicos no Módulo 313 carga capacitiva carga indutiva e carga resistiva Em particular vamos fazer uso das relações entre o fasor de tensão e o fasor da corrente nos três circuitos básicos Vamos ver que os circuitos RLC podem ser divididos em três tipos mais indutivos que capacitivos mais capacitivos que indutivos e em ressonância Amplitude da Corrente Começamos pela Fig 3114a em que o fasor que representa a corrente da Eq 3156 é mostrado em um instante de tempo arbitrário t O comprimento do fasor é a amplitude I da corrente a projeção do fasor no eixo vertical é a corrente i no instante t e o ângulo de rotação do fasor é a fase ωdt ϕ da corrente no instante t A Fig 3114b mostra os fasores que representam as tensões entre os terminais de R L e C no mesmo instante t Os fasores estão orientados em relação ao fasor de corrente I da Fig 3114a de acordo com as informações da Tabela 312 Resistor A corrente e tensão estão em fase e portanto o ângulo de rotação do fasor de tensão VR é igual ao ângulo de rotação da corrente I Capacitor A corrente está adiantada de 90o em relação à tensão e portanto o ângulo de rotação do fasor de tensão VC é igual ao ângulo de rotação da corrente I menos 90o Indutor A corrente está atrasada de 90o em relação à tensão e portanto o ângulo de rotação do fator de tensão VL é igual ao ângulo de rotação da corrente I mais 90o A Fig 3114b mostra também as tensões instantâneas vR vC e vL entre os terminais de R C e L no instante t essas tensões são as projeções dos três fasores no eixo vertical da figura A Fig 3114c mostra o fasor que representa a força eletromotriz aplicada da Fig 3155 O comprimento do fasor é o valor absoluto da força eletromotriz a projeção do fasor no eixo vertical é o valor da força eletromotriz no instante t e o ângulo de rotação do fasor é a fase ωdt da força eletromotriz no instante t De acordo com a regra das malhas a soma das tensões vR vC e vL é igual à força eletromotriz aplicada Assim a projeção da Fig 3114c é igual a soma algébrica das projeções vR vC e vL da Fig 3114b Como todos os fasores giram com a mesma velocidade angular a igualdade é mantida para qualquer ângulo de rotação Em particular isso significa que o fasor da Fig 3114c é igual à soma vetorial dos fasores VR VC e VL da Fig 3114b Essa relação está indicada na Fig 3114d em que o fasor foi desenhado como a soma dos fasores VR VL e VC Como os fasores VL e VC têm a mesma direção e sentidos opostos podemos simplificar a soma vetorial combinando VL e VC para formar o fasor VL VC Em seguida combinamos esse fasor com VR para obter o fasor total Como vimos esse fasor é igual ao fasor Os dois triângulos da Fig 3114d são triângulos retângulos Aplicando o teorema de Pitágoras a um deles obtemos De acordo com as informações da Tabela 312 essa equação pode ser escrita na forma que depois de explicitarmos a corrente I se torna Figura 3114 a Fasor que representa a corrente alternada no circuito RLC da Fig 317 em um instante de tempo t O diagrama mostra a amplitude I o valor instantâneo i e a fase ωdt ϕ da corrente b Fasores que representam as tensões no indutor no resistor e no capacitor orientados em relação ao fasor do item a que representa a corrente c Fasor que representa a força eletromotriz alternada responsável pela corrente representada em a d O fasor de força eletromotriz é igual à soma vetorial dos três fasores de tensão representados em b Os fasores de tensão VL e VC foram combinados para formar o fasor VL VC O denominador da Eq 3160 é chamado de impedância do circuito para a frequência de excitação ωd e representado pelo símbolo Z Assim a Eq 3160 pode ser escrita na forma Substituindo XC e XL por seus valores fornecidos pelas Eqs 3139 e 3149 podemos escrever a Eq 3160 na forma mais explícita Com isso atingimos um dos nossos objetivos expressar a amplitude I da corrente de um circuito RLC série em função da força eletromotriz senoidal aplicada e do valor dos componentes O valor de I depende da diferença entre ωdL e 1ωdC na Eq 3163 ou o que é equivalente da diferença entre XL e XC na Eq 3160 Nas duas equações não importa qual das duas grandezas é maior já que a diferença aparece elevada ao quadrado A corrente que estamos discutindo neste módulo é a corrente estacionária que só é observada algum tempo após a aplicação da força eletromotriz ao circuito Nos momentos que se seguem à aplicação da força eletromotriz existe no circuito uma corrente transitória cuja duração até que a corrente estacionária se estabeleça depende das constantes de tempo τL LR e τC RC o tempo necessário para que o capacitor e o indutor sejam carregados A corrente transitória pode por exemplo destruir um motor durante a partida se não foi levada em consideração no projeto do circuito do motor Constante de Fase De acordo com o triângulo de fasores da direita da Fig 3114d e a Tabela 312 podemos escrever o que nos dá Com isso atingimos nosso segundo objetivo expressar a constante de fase ϕ da corrente de um circuito RLC série em função da força eletromotriz senoidal aplicada neste caso na verdade o que importa é apenas a frequência ωd da força eletromotriz e do valor dos componentes Podemos obter três resultados diferentes para a constante de fase dependendo dos valores relativos de XL e XC XL XC Nesse caso dizemos que o circuito é mais indutivo que capacitivo De acordo com a Eq 31 65 ϕ é positivo em um circuito desse tipo o que significa que o fasor I está atrasado em relação ao fasor Fig 3115a Os gráficos de e i em função do tempo são semelhantes aos da Fig 3115b As Figs 3114c e 3114d foram desenhadas supondo que XL XC XC XL Nesse caso dizemos que o circuito é mais capacitivo que indutivo De acordo com a Eq 31 65 ϕ é negativo em um circuito desse tipo o que significa que o fasor I está adiantado em relação ao fasor Fig 3115c Os gráficos de e i em função do tempo são semelhantes aos da Fig 3115d XC XL Nesse caso dizemos que o circuito está em ressonância um estado que será discutido a seguir De acordo com a Eq 3165 ϕ 0o em um circuito desse tipo o que significa que os fasores I e estão em fase Fig 3115e Os gráficos de e i em função do tempo são semelhantes aos da Fig 31 15f Figura 3115 Diagramas fasoriais e gráficos da força eletromotriz alternada e da corrente i para o circuito RLC da Fig 317 No diagrama fasorial a e no gráfico b a corrente i está atrasada em relação à força eletromotriz e a constante de fase da corrente é positiva Em c e d a corrente i está adiantada em relação à força eletromotriz e a constante de fase ϕ é negativa Em e e f a corrente está em fase com a força eletromotriz e a constante de fase ϕ é zero Como ilustração vamos considerar dois casos extremos No circuito puramente indutivo da Fig 3112 em que XL 0 e XC R 0 a Eq 3165 nos dá ϕ 90o o valor máximo de ϕ o que está de acordo com a Fig 3113b No circuito puramente capacitivo da Fig 3110 em que XC 0 e XL R 0 a Eq 3165 nos dá ϕ 90o o valor mínimo de ϕ o que está de acordo com a Fig 3111b Ressonância A Eq 3163 fornece a amplitude I da corrente em um circuito RLC em função da frequência de excitação ωd da força eletromotriz aplicada Para uma dada resistência R a amplitude é máxima quando o termo ωdL 1ωdC do denominador é zero ou seja quando Como a frequência angular natural ω do circuito RLC também é igual a o valor I é máximo quando a frequência angular de excitação é igual à frequência natural ou seja na ressonância Assim em um circuito RLC série a frequência angular de excitação para a qual a corrente é máxima e a frequência angular de ressonância são dadas por Curvas de Ressonância A Fig 3116 mostra três curvas de ressonância para excitações senoidais em três circuitos RLC série que diferem apenas quanto ao valor de R As três curvas atingem o máximo de amplitude I quando a razão ωdω é 100 mas o valor máximo de I é inversamente proporcional a R O valor máximo de I é sempre igual a R para entender a razão basta combinar as Eqs 3161 e 3162 Além disso a largura das curvas medida na Fig 3116 em metade do valor máximo de I aumenta quando R aumenta Figura 3116 Curvas de ressonância do circuito RLC da Fig 317 para L 100 μH C 100 pF e três valores diferentes de R A amplitude I da corrente alternada depende da diferença entre a frequência angular de excitação ωd e a frequência angular natural ω A seta horizontal em cada curva mostra a largura a meia altura que é a largura da curva nos pontos em que a corrente é metade da corrente máxima e constitui uma medida da seletividade do circuito À esquerda do ponto ωdω 100 o circuito é principalmente mais capacitivo que indutivo com XC XL à direita é mais indutivo que capacitivo com XL XC Para compreender o significado físico da Fig 3116 considere o modo como as reatâncias XL e XC variam quando aumentamos a frequência angular de excitação ωd começando com um valor muito menor que a frequência natural ω Para pequenos valores de ωd a reatância XL ωdL é pequena e a reatância XC 1ωdC é grande Assim o circuito é altamente capacitivo e a impedância é dominada pelo elevado valor de XC que mantém a corrente baixa Quando aumentamos ωd a reatância XC continua a dominar mas diminui gradualmente enquanto a reatância XL aumenta Com a diminuição de XC a impedância diminui e a corrente aumenta como podemos ver no lado esquerdo da curva de ressonância da Fig 3116 Quando a diminuição de XC e o aumento de XL fazem com que as duas reatâncias sejam iguais a corrente atinge o valor máximo e o circuito está em ressonância com ωd ω Quando ωd continua a aumentar a reatância XL se torna cada vez mais dominante em relação à reatância XC A impedância aumenta por causa de XL e a corrente diminui como do lado direito da curva de ressonância da Fig 3116 Resumindo O lado de baixa frequência angular da curva de ressonância é dominado pela reatância do capacitor o lado de alta frequência angular é dominado pela reatância do indutor e a ressonância acontece no centro da curva Teste 6 As reatâncias capacitiva e indutiva respectivamente de três circuitos RLC série excitados senoidalmente são 1 50 Ω 100 Ω 2 100 Ω 50 Ω 3 50 Ω 50 Ω a Responda para cada circuito A corrente está adiantada em relação à força eletromotriz aplicada está atrasada em relação à força eletromotriz aplicada ou a corrente e a força eletromotriz aplicada estão em fase b Qual dos circuitos está em ressonância Exemplo 3106 Amplitude da corrente impedância e constante de fase No circuito da Fig 317 Sejam R 200 Ω C 150 μF L 230 mH fd 600 Hz e 360 V Os valores dos parâmetros são os mesmos de exemplos anteriores a Qual é a amplitude I da corrente IDEIACHAVE De acordo com a Eq 3162 I Z a amplitude da corrente I depende da amplitude da força eletromotriz aplicada e da impedância Z do circuito Cálculos Precisamos determinar o valor de Z que depende da resistência R da reatância capacitiva XC e da reatância indutiva XL A resistência do circuito é a resistência do resistor R A reatância capacitiva é a reatância do capacitor C de acordo com um exemplo anterior XC 177 Ω A reatância indutiva é a reatância do indutor L de acordo com um exemplo anterior XL 867 Ω A impedância do circuito é portanto Assim temos b Qual é a constante de fase ϕ da corrente no circuito em relação à força eletromotriz aplicada IDEIACHAVE De acordo com a Eq 3165 a constante de fase depende da reatância indutiva da reatância capacitiva e da resistência Cálculo Explicitando ϕ na Eq 3165 obtemos O fato de obtermos uma constante de fase negativa já era esperado pois a carga é principalmente capacitiva com XC XL Nas palavras da frase mnemônica este é um circuito TOLICE a corrente está adiantada em relação à força eletromotriz 315 POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3141 Conhecer a relação entre o valor médio quadrático e a amplitude da corrente a tensão e força eletromotriz nos circuitos de CA 3142 Desenhar a corrente e a tensão em função do tempo para um circuito de CA puramente capacitivo puramente indutivo e puramente resistivo e indicar o valor de pico e o valor médio quadrático da corrente e da tensão em cada caso 3143 Conhecer a relação entre a potência média Pméd a corrente média quadrática Irms e a resistência R 3144 Calcular a potência instantânea armazenada ou dissipada nos componentes de um circuito RLC série alimentado por uma fonte alternada 3145 No caso de um circuito RLC série alimentado por uma fonte alternada explicar o que acontece a com o valor médio da energia armazenada no circuito e b com o valor médio da energia fornecida ao circuito pela fonte ao ser atingido o regime estacionário 3146 Conhecer a relação entre o fator de potência cos ϕ a resistência R e a impedância Z de um circuito de CA 3147 Conhecer a relação entre a potência média Pméd a força eletromotriz média quadrática rms a corrente média quadrática Irms e o fator de potência cos ϕ 3148 Saber qual é o valor do fator de potência para o qual a potência dissipada na carga resistiva é máxima IdeiasChave Em um circuito RLC série alimentado por uma fonte de CA a potência média Pméd fornecida pela fonte é igual à potência dissipada no resistor O nome rms é um acrônimo de rootmeansquare valor médio quadrático em inglês Os valores rms da corrente da tensão e da força eletromotriz estão relacionados aos valores máximos das respectivas grandezas pelas equações O fator cos ϕ é chamado de fator de potência do circuito Potência em Circuitos de Corrente Alternada No circuito RLC da Fig 317 a fonte de energia é o gerador de corrente alternada Parte da energia fornecida pelo gerador é armazenada no campo elétrico do capacitor parte é armazenada no campo magnético do indutor e parte é dissipada como energia térmica no resistor No regime estacionário isto é depois de transcorrido um tempo suficiente para que o circuito se estabilize a energia média armazenada no capacitor e no indutor juntos permanece constante A transferência líquida de energia é portanto do gerador para o resistor onde a energia eletromagnética é convertida em energia térmica Figura 3117 a Gráfico de sen θ em função de θ O valor médio da função ao longo de um ciclo é zero b Gráfico de sen2 θ em função de θ O valor médio da função ao longo de um ciclo é 12 A taxa instantânea com a qual a energia é dissipada no resistor pode ser escrita com a ajuda das Eqs 2627 e 3129 na forma A taxa média com a qual a energia é dissipada no resistor é a média no tempo da Eq 3168 Em um ciclo completo o valor médio de sen θ é zero Fig 3117a mas o valor médio de sen2 θ é 12 Fig 3117b Observe na Fig 3117b que as partes sombreadas sob a curva que ficam acima da reta horizontal 12 completam exatamente os espaços vazios que ficam abaixo da mesma reta Assim de acordo com a Eq 3168 podemos escrever A grandeza é chamada valor médio quadrático ou valor rms1 da corrente I Podemos escrever a Eq 3169 na forma A Eq 3171 tem a mesma forma que a Eq 2627 P i2R isso significa que usando a corrente rms podemos calcular a taxa média de dissipação de energia em circuitos de corrente alternada como se estivéssemos trabalhando com um circuito de corrente contínua Podemos também definir o valor rms de uma tensão alternada e de uma força eletromotriz alternada Os instrumentos usados em circuitos de corrente alternada como amperímetros e voltímetros são quase sempre calibrados para indicar valores de Irms Vrms e rms Assim quando ligamos um voltímetro de corrente alternada a uma tomada de parede e obtemos um valor de 120 V tratase da tensão rms O valor máximo da diferença de potencial em uma tomada de parede é Em geral os cientistas e engenheiros usam os valores rms das grandezas elétricas e não os valores máximos Como o fator de proporcionalidade nas Eqs 3170 e 3172 é o mesmo para as três variáveis podemos escrever as Eqs 3162 e 3160 como e na verdade essa é na prática a forma que mais se usa Podemos usar a relação Irms rmsZ para escrever a Eq 3171 de outra forma Temos Acontece que de acordo com a Fig 3114d a Tabela 312 e a Eq 3162 RZ é o cosseno da constante de fase ϕ A Eq 3174 se torna portanto em que o termo cos ϕ recebe o nome de fator de potência Como cos ϕ cosϕ a Eq 3176 é independente do sinal da constante de fase ϕ Para maximizar a taxa com a qual a energia é fornecida a uma carga resistiva em um circuito RLC devemos manter o fator de potência o mais próximo possível da unidade o que equivale a manter a constante de fase ϕ da Eq 3129 o mais próximo possível de zero Se por exemplo o circuito é altamente indutivo ele pode se tornar menos indutivo ligando um capacitor adicional em série com o circuito Lembrese de que colocar uma capacitância em série com uma capacitância já existente reduz a capacitância total Ceq e de que a reatância capacitiva é inversamente proporcional à capacitância As empresas de energia elétrica costumam ligar capacitores em série com as linhas de transmissão para obter esse resultado Teste 7 a Se a corrente em um circuito RLC série com excitação senoidal está adiantada em relação à força eletromotriz devemos aumentar ou diminuir a capacitância para aumentar a taxa com a qual a energia da fonte é fornecida à resistência b Essa mudança aproxima ou afasta a frequência de ressonância do circuito da frequência da força eletromotriz da fonte Exemplo 3107 Fator de potência e potência média de um circuito RLC alimentado por uma fonte Um circuito RLC série alimentado por uma fonte com rms 120 V e fd 600 Hz contém uma resistência R 200 Ω uma indutância com uma reatância indutiva XL 800 Ω e uma capacitância com uma reatância capacitiva XC 150 Ω a Determine o fator de potência cos ϕ e a constante de fase ϕ do circuito IDEIACHAVE O fator de potência cos ϕ pode ser calculado a partir da resistência R e da impedância Z usando a Eq 3175 cos ϕ RZ Cálculos Para calcular Z usamos a Eq 3161 A Eq 3175 nos dá Tomando o arco cosseno obtemos ϕ cos1 0944 193o Tanto 193o como 193o têm um cosseno de 0944 Para determinar qual é o sinal correto temos que verificar se a corrente está adiantada ou atrasada em relação à força eletromotriz Como XC XL o circuito é mais capacitivo que indutivo com a corrente adiantada em relação à força eletromotriz Assim o ângulo de fase ϕ deve ser negativo Poderíamos também ter usado a Eq 3165 para calcular ϕ Nesse caso uma calculadora forneceria a resposta já com o sinal negativo b Qual é a taxa média Pméd com a qual a energia é dissipada na resistência IDEIASCHAVE Existem duas formas de abordar o problema 1 Como estamos supondo que o circuito está no regime estacionário a taxa com a qual a energia é dissipada na resistência é igual à taxa com a qual a energia é fornecida ao circuito que pode ser calculada com o auxílio da Eq 3176 Pméd rmsIrms cos ϕ 2 A taxa com a qual a energia é dissipada na resistência R pode ser calculada a partir do valor rms da corrente Irms usando a Eq 3171 Primeira abordagem O valor rms da força eletromotriz rms é um dos dados do problema e o valor de cos ϕ foi calculado no item a O valor de Irms pode ser calculado a partir do valor rms da força eletromotriz e da impedância Z do circuito que é conhecida usando a Eq 3173 Substituindo este resultado na Eq 3176 obtemos Segunda abordagem Temos c Que nova capacitância Cnova deve ser usada no circuito para maximizar Pméd sem mudar os outros parâmetros do circuito IDEIASCHAVE 1 A taxa média Pméd com a qual a energia é fornecida e dissipada é máxima quando o circuito está em ressonância com a força eletromotriz aplicada 2 A ressonância acontece para XC XL Cálculos De acordo com os dados do problema temos XC XL Assim precisamos reduzir XC para conseguir a ressonância De acordo com a Eq 3139 XC 1ωdC isso significa que a nova capacitância deve ser maior que a anterior De acordo com a Eq 3139 a condição XC XL pode ser escrita na forma Substituindo ωd por 2πfd porque conhecemos fd e não ωd e explicitando Cnova obtemos Usando o mesmo método do item b é possível mostrar que com o novo valor de capacitância Cnova Pméd atinge o valor máximo de 316 TRANSFORMADORES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3149 Saber por que as linhas de transmissão de energia elétrica trabalham com baixa corrente e alta tensão 3150 Saber por que é preciso usar transformadores nas duas extremidades de uma linha de transmissão 3151 Calcular a dissipação de energia em uma linha de transmissão 3152 Saber qual é a diferença entre o primário e o secundário de um transformador 3153 Conhecer a relação entre a tensão e o número de espiras nos dois lados de um transformador 3154 Saber qual é a diferença entre um transformador elevador de tensão e um transformador abaixador de tensão 3155 Conhecer a relação entre a corrente e o número de espiras nos dois lados de um transformador 3156 Conhecer a relação entre a potência de entrada e a potência de saída de um transformador ideal 3157 Saber calcular a resistência equivalente da carga do ponto de vista do primário de um transformador 3158 Conhecer a relação entre a resistência equivalente e a resistência real 3159 Explicar qual é o papel de um transformador no casamento de impedâncias IdeiasChave Um transformador considerado ideal é formado por um núcleo de ferro que contém dois enrolamentos o enrolamento primário com Np espiras e o enrolamento secundário com Ns espiras Se o enrolamento primário está ligado a um gerador de corrente alternada a relação entre as tensões do enrolamento primário e do enrolamento secundário é dada por A relação entre as correntes nos dois enrolamentos é dada por A resistência equivalente do circuito secundário do ponto de vista do gerador é dada por em que R é a carga resistiva do circuito secundário A razão NpNs é chamada de relação de espiras do transformador Transformadores Necessidades de um Sistema de Transmissão de Energia Elétrica Quando a carga de um circuito de corrente alternada é uma resistência pura o fator de potência da Eq 3176 é cos 0o 1 e a força eletromotriz aplicada rms é igual à tensão Vrms entre os terminais da carga Assim com uma corrente Irms na carga a energia é fornecida e dissipada a uma taxa média de Na Eq 3177 e no restante deste módulo vamos adotar a prática usual de omitir os índices que indicam tratarse de grandezas rms A menos que seja dito explicitamente o contrário os cientistas e engenheiros supõem que os valores de todas as correntes e tensões alternadas são valores rms já que são esses os valores indicados pelos instrumentos de medida A Eq 3177 mostra que para satisfazer a uma dada necessidade de energia temos uma larga faixa de opções desde uma alta corrente I e uma baixa tensão V até uma baixa corrente I e uma alta tensão V o que importa em termos de potência fornecida à carga é o produto IV Nos sistemas de distribuição de energia elétrica é desejável por motivos de segurança e para maior eficiência dos equipamentos que a tensão seja relativamente baixa tanto na ponta da geração nas usinas de energia elétrica como na ponta do consumo nas residências e indústrias Ninguém acharia razoável que uma torradeira ou um trem elétrico de brinquedo fosse alimentado com 10 kV Por outro lado na transmissão de energia elétrica da usina de geração até o consumidor final é desejável trabalhar com a menor corrente possível e portanto com a maior tensão possível para minimizar as perdas do tipo I2R conhecidas como perdas ôhmicas nas linhas de transmissão Considere por exemplo a linha de 735 kV usada para transmitir energia elétrica da usina hidrelétrica La Grande 2 em Quebec para a cidade de Montreal situada a 1000 km de distância Suponha que a corrente é 500 A e que o fator de potência é praticamente 1 Nesse caso de acordo com a Eq 3177 a potência elétrica fornecida pela usina é A resistência da linha de transmissão é da ordem de 0220 Ωkm assim a resistência total para o percurso de 1000 km é 220 Ω A potência dissipada na linha devido a essa resistência é Pméd I2R 500 A2220 Ω 550 MW que corresponde a quase 15 da potência total transmitida Imagine o que aconteceria se multiplicássemos a corrente por dois e reduzíssemos a tensão à metade A potência fornecida pela usina continuaria a mesma 368 MW mas a potência dissipada na linha de transmissão passaria a ser Pméd I2R 1000 A2220 Ω 220 MW que corresponde a quase 60 da potência total transmitida É por isso que existe uma regra geral para as linhas de transmissão de energia elétrica Usar a maior tensão possível e a menor corrente possível O Transformador Ideal A regra da transmissão de energia elétrica leva a uma incompatibilidade entre as condições para que a eletricidade seja distribuída de forma eficiente e as condições para que seja gerada e utilizada de forma segura O problema porém pode ser contornado por um dispositivo capaz de aumentar para a transmissão e reduzir para o consumo a tensão nos circuitos mantendo praticamente constante o produto corrente tensão Esse dispositivo é o transformador que não tem partes móveis utiliza a lei de indução de Faraday e não funciona com corrente contínua O transformador ideal da Fig 3118 é formado por duas bobinas com diferentes números de espiras enroladas em um núcleo de ferro Não existe contato elétrico entre as bobinas e o núcleo O enrolamento primário com Np espiras está ligado a um gerador de corrente alternada cuja força eletromotriz é dada por O enrolamento secundário com Ns espiras está ligado a uma resistência de carga R mas não há corrente no circuito se a chave S estiver aberta vamos supor por enquanto que isso é verdade Vamos supor também que como se trata de um transformador ideal a resistência dos enrolamentos é desprezível Nos transformadores bem projetados de alta capacidade a dissipação de energia nos enrolamentos pode ser menor que 1 assim a hipótese é razoável 1 2 3 Figura 3118 Um transformador ideal formado por duas bobinas enroladas em um núcleo de ferro ligado a uma fonte e uma carga Um gerador de corrente alternada produz uma corrente no enrolamento da esquerda o primário O enrolamento da direita o secundário é ligado à carga resistiva R quando a chave S é fechada Nessas condições o enrolamento primário ou simplesmente primário do transformador se comporta como uma indutância pura e o circuito primário é semelhante ao da Fig 3112 Assim a pequena corrente do primário também chamada de corrente de magnetização Imag está atrasada de 90o em relação à tensão Vp do primário o fator de potência do primário cos ϕ na Eq 3176 é zero e nenhuma potência é transferida do gerador para o transformador Mesmo assim a pequena corrente alternada Imag do primário produz um fluxo magnético alternado ΦB no núcleo de ferro A função do núcleo é reforçar o fluxo e transferilo praticamente sem perdas para o enrolamento secundário ou simplesmente secundário do transformador Como varia com o tempo ΦB induz uma força eletromotriz espira dΦBdt em cada espira do primário e do secundário No primário a tensão Vp é o produto de espira pelo número de espiras do primário Np ou seja Vp espiraNp Analogamente no secundário a tensão é Vs espiraNs Podemos portanto escrever Se Ns Np o transformador é chamado de transformador elevador de tensão já que nesse caso a tensão Vs no secundário é maior que a tensão Vp no primário Quando Ns Np o transformador recebe o nome de transformador abaixador de tensão Com a chave S aberta nenhuma energia é transferida do gerador para o resto do circuito Quando a chave S é fechada ligando o secundário à carga R a carga poderia conter componentes indutivos e capacitivos mas vamos supor que é puramente resistiva várias coisas acontecem Uma corrente alternada Is passa a existir no circuito secundário e uma potência é dissipada na carga resistiva A corrente do secundário produz um fluxo magnético alternado no núcleo de ferro esse fluxo induz uma força eletromotriz no primário que se opõe à força eletromotriz do gerador A tensão Vp do primário não pode mudar em resposta à nova força eletromotriz já que de acordo com a regra das malhas é sempre igual à força eletromotriz do gerador 4 Para manter a tensão Vp o gerador passa a produzir além de Imag uma corrente Ip no circuito primário a amplitude e a fase de Ip são tais que a força eletromotriz induzida por Ip no primário cancela exatamente a força eletromotriz induzida no primário por Is Como a constante de fase de Ip não é 90o como a constante de fase de Imag a corrente Ip pode transferir energia do gerador para o primário Transferência de Energia Nosso interesse é calcular a relação entre Is e Ip para isso em vez de analisar com detalhes o funcionamento do transformador vamos simplesmente aplicar a lei de conservação da energia A potência elétrica transferida do gerador para o primário é igual a VpIp A potência recebida pelo secundário por meio do campo magnético que enlaça os dois enrolamentos é VsIs Como estamos supondo que o transformador é ideal nenhuma energia é dissipada nos enrolamentos e portanto de acordo com a lei de conservação na energia IpVp IsVs Substituindo Vs por seu valor dado pela Eq 3179 obtemos De acordo com a Eq 3180 a corrente Is do secundário pode ser muito diferente da corrente Ip do primário dependendo da relação de espiras NpNs A corrente Ip aparece no circuito primário por causa da carga resistiva R do circuito secundário Para calcular Ip fazemos Is VsR na Eq 3180 e substituímos Vs por seu valor dado pela Eq 3179 O resultado é o seguinte A Eq 3181 é da forma Ip VpReq em que a resistência equivalente Req é dada por A resistência equivalente Req é a resistência de carga do ponto de vista do gerador o gerador produz uma corrente Ip e uma tensão Vp como se estivesse ligado a uma resistência Req Casamento de Impedâncias A Eq 3182 sugere outra aplicação para o transformador Nos circuitos de corrente contínua para que a transferência de energia de uma fonte para uma carga seja máxima a resistência interna da fonte deve ser igual à resistência da carga A mesma condição se aplica aos circuitos de corrente alternada exceto pelo fato de que nesse caso são as impedâncias e não as resistências que devem ser iguais Em muitos casos a condição não é satisfeita Nos aparelhos de som por exemplo a saída do amplificador tem uma alta impedância e a entrada dos altofalantes tem uma baixa impedância Podemos compatibilizar casar as impedâncias de dois dispositivos ligandoos por um transformador com uma relação de espiras apropriada Teste 8 A fonte de alimentação alternada de um circuito tem uma resistência interna menor que a carga resistiva do circuito Para aumentar a transferência de energia da fonte para a carga decidiuse usar um transformador de casamento de impedâncias a O valor de Ns deve ser maior ou menor que o valor de Np b Isso faz do transformador um transformador elevador de tensão ou um transformador abaixador de tensão Exemplo 3108 Relação de espiras potência média e correntes de um transformador Um transformador instalado em um poste funciona com Vp 85 kV do lado do primário e fornece energia elétrica a várias casas das vizinhanças com Vs 120 V as duas tensões são valores rms Suponha que o transformador é ideal e a carga é resistiva a Qual é a relação de espiras NpNs do transformador IDEIACHAVE A relação de espiras NpNs está relacionada às tensões conhecidas do primário e do secundário pela Eq 3179 Vs VpNsNp Cálculo A Eq 3179 pode ser escrita na forma Observe que o lado direito da Eq 3183 é o inverso da relação de espiras Invertendo ambos os membros da Eq 3183 temos b A potência média consumida nas casas atendidas pelo transformador é 78 kW Quais são as correntes no primário e no secundário do transformador IDEIACHAVE Como a carga é resistiva o fator de potência cos ϕ é unitário e portanto a potência média fornecida e consumida é dada pela Eq 3177 Pméd I IV Cálculos No circuito primário com Vp 85 kV a Eq 3177 nos dá No circuito secundário temos É fácil verificar que Is IpNpNs como exige a Eq 3180 c Qual é a carga resistiva Rs do circuito secundário Qual é a carga correspondente Rp do circuito primário Primeira abordagem Podemos usar a equação V IR para relacionar a carga resistiva à tensão e à corrente No caso do circuito secundário temos No caso do circuito primário temos Segunda abordagem Podemos usar o fato de que Rp é a carga resistiva do ponto de vista do gerador dada pela Eq 3182 Req NpNs2R Fazendo Req Rp e R Rs obtemos Revisão e Resumo Transferências de Energia em um Circuito LC Em um circuito LC oscilante a energia é transferida periodicamente do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor e vice versa os valores instantâneos das duas formas de energia são em que q é a carga instantânea do capacitor e i é a corrente instantânea no indutor A energia total U UE UB permanece constante Oscilações de Carga e de Corrente em um Circuito LC De acordo com a lei de conservação da energia é a equação diferencial das oscilações de um circuito LC sem resistência A solução da Eq 3111 é em que Q é a amplitude da carga carga máxima do capacitor e a frequência angular ω das oscilações é dada por A constante de fase ϕ da Eq 3112 é determinada pelas condições iniciais em t 0 do sistema A corrente i no sistema em um instante qualquer t é dada por em que ωQ é a amplitude I da corrente Oscilações Amortecidas As oscilações de um circuito LC são amortecidas quando um componente dissipativo R é introduzido no circuito Nesse caso temos A solução da Eq 3124 é em que Consideramos apenas as situações em que R é pequeno e portanto o amortecimento é pequeno nesse caso ω ω Correntes Alternadas Oscilações Forçadas Um circuito RLC série pode sofrer oscilações forçadas com uma frequência angular de excitação ωd se for submetida a uma força eletromotriz da forma A corrente produzida no circuito pela força eletromotriz é dada por em que ϕ é a constante de fase da corrente Ressonância A amplitude I da corrente em um circuito RLC série excitado por uma força eletromotriz senoidal é máxima I R quando a frequência angular de excitação ωd é igual à frequência angular natural ω do circuito ou seja na ressonância Nesse caso XC XL ϕ 0 e a corrente está em fase com a força eletromotriz Componentes Isolados A diferença de potencial alternada entre os terminais de um resistor tem uma amplitude VR IR a corrente está em fase com a diferença de potencial No caso de um capacitor VC IXC em que XC 1ωdC é a reatância capacitiva a corrente está adiantada de 90o em relação à diferença de potencial ϕ 90o π2 rad No caso de um indutor VL IXL em que XL ωdL é a reatância indutiva a corrente está atrasada de 90o em relação à diferença de potencial ϕ 90o π2 rad Circuitos RLC Série No caso de um circuito RLC série com uma força eletromotriz dada pela Eq 3128 e uma corrente dada pela Eq 3129 e Definindo a impedância Z do circuito como podemos escrever a Eq 3160 como I Z Potência Em um circuito RLC série a potência média Pméd fornecida pelo gerador é igual à potência média dissipada no resistor Aqui rms significa valor médio quadrático Os valores médios quadráticos estão relacionados aos valores máximos pelas equações Irms O termo cos ϕ é chamado de fator de potência do circuito Transformadores Um transformador considerado ideal é formado por um núcleo de ferro que contém dois enrolamentos o enrolamento primário com Np espiras e o enrolamento secundário com Ns espiras Se o enrolamento primário é ligado a um gerador de corrente alternada as tensões no primário e no secundário estão relacionadas pela equação As correntes nos enrolamentos estão relacionadas pela equação e a resistência equivalente do circuito secundário do ponto de vista do gerador é dada por em que R é a carga resistiva do circuito secundário A razão NpNs é chamada de relação de espiras Perguntas 1 A Fig 3119 mostra três circuitos LC oscilantes com indutores e capacitores iguais Coloque os circuitos na ordem decrescente do tempo necessário para que os capacitores se descarreguem totalmente Figura 3119 Pergunta 1 2 A Fig 3120 mostra os gráficos da tensão vC do capacitor em dois circuitos LC que contêm capacitâncias iguais e têm a mesma carga máxima Q a A indutância L do circuito 1 é maior menor ou igual à do circuito 2 b A corrente I no circuito 1 é maior menor ou igual à corrente no circuito 2 Figura 3120 Pergunta 2 3 Um capacitor carregado e um indutor são ligados para formar um circuito fechado no instante t 0 Em termos do período T das oscilações resultantes determine o tempo necessário para que as seguintes grandezas passem por um máximo pela primeira vez a UB b o fluxo magnético no indutor c didt e d a força eletromotriz do indutor 4 Quais valores da constante de fase ϕ da Eq 3112 permitem que as situações a c e e g da Fig 311 ocorram no instante t 0 5 A curva a da Fig 3121 mostra a impedância Z de um circuito RC excitado em função da frequência angular de excitação ωd As outras duas curvas são semelhantes mas foram traçadas para valores diferentes da resistência R e da capacitância C Coloque as três curvas na ordem decrescente do valor correspondente de R Figura 3121 Pergunta 5 6 As cargas dos capacitores de três circuitos LC oscilantes variam segundo as equações 1 q 2 cos 4t 2 q 4 cos t 3 q cos 4t com q em coulombs e t em segundos Coloque os circuitos na ordem decrescente a da amplitude da corrente e b do período das oscilações Figura 3122 Pergunta 7 7 Uma fonte de força eletromotriz alternada é conectada sucessivamente a um resistor um capacitor e um indutor Depois que a fonte é conectada fazse variar a frequência de excitação fd e a amplitude I da corrente resultante é medida e plotada Estabeleça a correspondência entre as curvas da Fig 3122 e os dispositivos 8 Os valores da constante de fase ϕ para quatro circuitos RLC série com excitação senoidal são 1 15o 2 35o 3 π3 rad e 4 π6 rad a Em que circuitos a carga é mais capacitiva que indutiva b Em que circuitos a corrente está atrasada em relação à força eletromotriz Figura 3123 Pergunta 9 9 A Fig 3123 mostra a corrente i e a força eletromotriz de excitação de um circuito RLC série a A constante de fase é positiva ou negativa b Para aumentar a potência transferida para a carga resistiva é preciso aumentar ou diminuir o valor de L c A outra possibilidade é aumentar ou diminuir o valor de C 10 A Fig 3124 mostra três situações como as da Fig 3115 a A frequência angular de excitação é maior menor ou igual à frequência angular de ressonância do circuito na situação 1 b Responda à mesma pergunta para a situação 2 c Responda à mesma pergunta para a situação 3 Figura 3124 Pergunta 10 11 A Fig 3125 mostra a corrente i e a força eletromotriz aplicada para um circuito RLC série a A curva da corrente é deslocada para a esquerda ou para a direita em relação à curva da força eletromotriz e a amplitude da curva é maior ou menor se o valor de L aumenta ligeiramente b Responda às mesmas perguntas para o valor de C c Responda às mesmas perguntas para o valor de ωd 12 A Fig 3125 mostra a corrente i e a força eletromotriz em um circuito RLC série a A corrente está adiantada ou atrasada em relação à força eletromotriz b A carga do circuito é mais capacitiva que indutiva ou mais indutiva que capacitiva c A frequência angular ωd da força eletromotriz é maior ou menor que a frequência angular natural ω Figura 3125 Perguntas 11 e 12 13 O diagrama fasorial da Fig 3126 corresponde a uma fonte de força eletromotriz alternada ligada a um resistor capacitor ou indutor b Se a velocidade angular dos fasores aumentar o comprimento do fasor que representa a corrente deve aumentar ou diminuir para manter a escala do desenho Figura 3126 Pergunta 13 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 311 Oscilações em um Circuito LC 1 Um circuito LC oscilante é formado por um indutor de 750 mH e um capacitor de 360 μF Se a carga máxima do capacitor é 290 μC determine a a energia total presente no circuito e b a corrente máxima 2 A frequência de oscilação de um circuito LC é 200 kHz No instante t 0 a placa A do capacitor está com a carga positiva máxima Determine em que instante t 0 a a placa estará novamente pela primeira vez com a carga positiva máxima b a outra placa do capacitor estará pela primeira vez com a carga positiva máxima e c o indutor estará pela primeira vez com o campo magnético máximo 3 Em um circuito LC oscilante a energia total é convertida de energia elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em 150 μs Determine a o período das oscilações e b a frequência das oscilações c Se a energia magnética é máxima em um dado instante quanto tempo é necessário para que ela seja máxima novamente 4 Qual é a capacitância de um circuito LC oscilante se a carga máxima do capacitor é 160 μC e a energia total é 140 μJ 5 Em um circuito LC oscilante L 110 mH e C 400 μF A carga máxima do capacitor é 300 μC Determine a corrente máxima 6 Um corpo de 050 kg oscila em movimento harmônico simples preso a uma mola que quando alongada de 200 mm em relação à posição de equilíbrio possui uma força restauradora de 80 N Determine a a frequência angular de oscilação b o período de oscilação e c a capacitância de um circuito LC com o mesmo período se L 50 H 7 A energia de um circuito LC oscilante que contém um indutor de 125 H é 570 μJ A carga máxima do capacitor é 175 μC Para um sistema mecânico com o mesmo período determine a a massa b a constante da mola c o deslocamento máximo e d a velocidade escalar máxima 8 Um circuito com uma única malha é formado por indutores L1 L2 capacitores C1 C2 e resistores R1 R2 como na Fig 3127a Mostre que qualquer que seja a sequência de componentes no circuito o comportamento do circuito é igual ao do circuito LC simples da Fig 3127b Sugestão Considere a regra das malhas e veja o Problema 47 do Capítulo 30 Figura 3127 Problema 8 9 Em um circuito LC oscilante com L 50 mH e C 40 μF a corrente está inicialmente no máximo Quanto tempo é necessário para que o capacitor se carregue totalmente pela primeira vez 10 Osciladores LC têm sido usados em circuitos ligados a altofalantes para criar alguns dos sons da música eletrônica Que indutância deve ser usada com um capacitor de 67 μF para produzir uma frequência de 10 kHz que fica aproximadamente na metade da faixa de frequências audíveis 11 Um capacitor variável de 10 a 365 pF e um indutor formam um circuito LC de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio a Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre 054 MHz e 160 MHz a razão calculada no item a é grande demais A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável b Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de frequências seja a faixa desejada c Qual deve ser a indutância do indutor do circuito 12 Em um circuito LC oscilante quando uma energia igual a 75 da energia total está armazenada no campo magnético do indutor determine a a fração da carga máxima que está armazenada no capacitor e b a fração da corrente máxima que está atravessando o indutor 13 Em um circuito LC oscilante L 300 mH e C 270 μH No instante t 0 a carga do capacitor é zero e a corrente é 200 A a Qual é a carga máxima do capacitor b Em que instante de tempo t 0 a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez c Qual é o valor da taxa máxima 14 Para montar um circuito LC oscilante você dispõe de um indutor de 10 mH um capacitor de 50 μF e um capacitor de 20 μF Determine a a menor frequência b a segunda menor frequência c a segunda maior frequência e d a maior frequência de oscilação que pode ser conseguida combinando esses componentes 15 Um circuito LC oscilante formado por um capacitor de 10 nF e um indutor de 30 mH tem uma tensão máxima de 30 V Determine a a carga máxima do capacitor b a corrente máxima do circuito e c a energia máxima armazenada no campo magnético do indutor 16 Um indutor é ligado a um capacitor cuja capacitância pode ser ajustada por meio de um botão Queremos que a frequência desse circuito LC varie linearmente com o ângulo de rotação do botão de 2 105 Hz até 4 105 Hz quando o botão gira de 180o Se L 10 mH plote a capacitância desejada C em função do ângulo de rotação do botão 17 Na Fig 3128 R 140 Ω C 620 μF L 540 mH e a fonte ideal tem uma força eletromotriz 340 V A chave é mantida na posição a por um longo tempo e depois é colocada na posição b Determine a a frequência e b a amplitude das oscilações resultantes Figura 3128 Problema 17 18 Em um circuito LC oscilante a amplitude da corrente é 750 mA a amplitude da tensão é 250 mV e a capacitância é 220 nF Determine a o período de oscilação b a energia máxima armazenada no capacitor c a energia máxima armazenada no indutor d a taxa máxima de variação da corrente e e a taxa máxima de aumento da energia do indutor 19 Use a regra das malhas para obter a equação diferencial de um circuito LC Eq 3111 20 Em um circuito LC oscilante no qual C 400 μF a diferença de potencial máxima entre os terminais do capacitor durante as oscilações é 150 V e a corrente máxima no indutor é 500 mA Determine a a indutância L e b a frequência das oscilações c Qual é o tempo necessário para que a carga do capacitor aumente de zero até o valor máximo 21 Em um circuito LC oscilante com C 640 μF a corrente é dada por i 160 sen2500t 0680 em que t está em segundos i está em ampères e a constante de fase está em radianos a Quanto tempo após o instante t 0 a corrente atinge o valor máximo b Qual é o valor da indutância L c Qual é a energia total 22 Um circuito série formado por uma indutância L1 e uma capacitância C1 oscila com uma frequência angular ω Um segundo circuito série contendo uma indutância L2 e uma capacitância C2 oscila com a mesma frequência angular Qual é em termos de ω a frequência angular de oscilação de um circuito série formado pelos quatro componentes Despreze a resistência do circuito Sugestão Use as expressões da capacitância equivalente e da indutância equivalente veja o Módulo 254 e o Problema 47 do Capítulo 30 23 Em um circuito LC oscilante L 250 mH e C 780 μF No instante t 0 a corrente é 920 mA a carga do capacitor é 380 μC e o capacitor está sendo carregado Determine a a energia total do circuito b a carga máxima do capacitor e c a corrente máxima do circuito d Se a carga do capacitor é dada por q Q cosωt ϕ qual é o ângulo de fase ϕ Suponha que os dados são os mesmos exceto pelo fato de que o capacitor está sendo descarregado no instante t 0 Qual é o valor de ϕ nesse caso Módulo 312 Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC 24 Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 720 Ω um indutor de 120 H e um capacitor de 320 μF Inicialmente o capacitor possui uma carga de 620 μC e a corrente é zero Calcule a carga do capacitor após N ciclos completos a para N 5 b para N 10 e c para N 100 25 Que resistência R deve ser ligada em série com uma indutância L 220 mH e uma capacitância C 120 μF para que a carga máxima do capacitor caia para 990 do valor inicial após 500 ciclos Suponha que ωʹ ω 26 Em um circuito RLC série oscilante determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para metade do valor inicial Suponha que q Q em t 0 27 Em um circuito RLC oscilante mostre que ΔUU a fração da energia perdida por ciclo de oscilação é dada com boa aproximação por 2πRωL A grandeza ωLR é chamada de Q do circuito Q significa qualidade Um circuito de alto Q possui uma baixa resistência e uma baixa perda de energia 2πQ por ciclo Módulo 313 Oscilações Forçadas em Três Circuitos Simples 28 Um capacitor de 150 μF é ligado como na Fig 3110 a um gerador de corrente alternada com 300 V Determine a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da força eletromotriz for a 100 kHz e b 800 kHz 29 Um indutor de 500 mH é ligado como na Fig 3112 a um gerador de corrente alternada com 300 V Determine a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da força eletromotriz for a 100 kHz e b 800 kHz 30 Um resistor de 500 Ω é ligado como na Fig 318 a um gerador de corrente alternada com 300 V Determine a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da força eletromotriz for a 100 kHz e b 800 kHz 31 a Para que frequência um indutor de 60 mH e um capacitor de 10 μF têm a mesma reatância b Qual é o valor da reatância c Mostre que a frequência é a frequência natural de um circuito oscilador com os mesmos valores de L e C 32 A força eletromotriz de um gerador de corrente alternada é dada por sen ωdt com 250 V e ωd 377 rads O gerador é ligado a um indutor de 127 H a Qual é o valor máximo da corrente b Qual é a força eletromotriz do gerador no instante em que a corrente é máxima c Qual é a corrente no instante em que a força eletromotriz do gerador é 125 V e está aumentando em valor absoluto 33 Um gerador de corrente alternada tem uma força eletromotriz senωdt π4 em que 300 V e ωd 350 rads A corrente produzida no circuito ao qual o gerador está ligado é it I senωdt 3π4 em que I 620 mA Em que instante após t 0 a a força eletromotriz do gerador atinge pela primeira vez o valor máximo e b a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo c O circuito contém um único componente além do gerador Tratase de um capacitor de um indutor ou de um resistor Justifique sua resposta d Qual é o valor da capacitância da indutância ou da resistência desse componente 34 Um gerador de corrente alternada com uma força eletromotriz sen ωdt em que 250 V e ωd 377 rads é ligado a um capacitor de 415 μF a Qual é o valor máximo da corrente b Qual é a força eletromotriz do gerador no instante em que a corrente é máxima c Qual é a corrente quando a força eletromotriz é 125 e está aumentando em valor absoluto Módulo 314 O Circuito RLC Série 35 Uma bobina com 88 mH de indutância e resistência desconhecida e um capacitor de 094 μF são ligados em série com um gerador cuja frequência é 930 Hz Se a diferença de fase entre a tensão aplicada pelo gerador e a corrente no circuito é 75o qual é a resistência da bobina 36 Uma fonte alternada de frequência variável um capacitor de capacitância C e um resistor de resistência R são ligados em série A Fig 3129 mostra a impedância Z do circuito em função da frequência angular de excitação ωd A curva possui uma assíntota de 500 Ω e a escala do eixo horizontal é definida por ωds 300 rads A figura mostra também a reatância XC do capacitor em função de ωd Determine o valor a de R e b de C Figura 3129 Problema 36 37 Um motor elétrico possui uma resistência efetiva de 320 Ω e uma reatância indutiva de 450 Ω quando está em carga A amplitude da tensão da fonte alternada é 420 V Calcule a amplitude da corrente 38 A Fig 3130 mostra a amplitude I da corrente em função da frequência angular de excitação ωd de um circuito RLC A escala do eixo vertical é definida por Is 400 A A indutância é 200 μH e a amplitude da força eletromotriz é 80 V Determine o valor a de C e b de R Figura 3130 Problema 38 39 Remova o indutor do circuito da Fig 317 e faça R 200 Ω C 150 μF fd 600 Hz e 360 V Determine o valor a de Z b de ϕ e c de I d Desenhe um diagrama fasorial 40 Uma fonte alternada com uma força eletromotriz de 600 V e com um ângulo de fase de 300o é ligada a um circuito RLC série Quando a diferença de potencial entre os terminais do capacitor atinge o valor máximo positivo de 500 V qual é a diferença de potencial entre os terminais do indutor incluindo o sinal 41 Na Fig 317 faça R 200 Ω C 700 μF L 230 mH fd 600 Hz e 360 V Determine o valor a de Z b de ϕ e c de I d Desenhe um diagrama fasorial 42 Uma fonte de corrente alternada de frequência variável um indutor de indutância L e um resistor de resistência R são ligados em série A Fig 3131 mostra a impedância Z do circuito em função da frequência de excitação ωd com a escala do eixo horizontal definida por ωds 1600 rads A figura mostra também a reatância XL do indutor em função de ωd Determine o valor a de R e b de L Figura 3131 Problema 42 43 Remova o capacitor do circuito da Fig 317 e faça R 200 Ω L 230 mH fd 600 Hz e 360 V Determine o valor a de Z b de ϕ e c de I d Desenhe um diagrama fasorial 44 Um gerador de corrente alternada com 220 V e fd 400 Hz produz oscilações em um circuito RLC série com R 220 Ω L 150 mH e C 240 μF Determine a a reatância capacitiva XC b a impedância Z e c a amplitude I da corrente Um segundo capacitor com a mesma capacitância é ligado em série com os outros componentes Determine se o valor de d XC e Z e f I aumenta diminui ou permanece o mesmo 45 a Em um circuito RLC a amplitude da tensão do indutor pode ser maior que a força eletromotriz do gerador b Considere um circuito RLC com 10 V R 10 Ω L 10 H e C 10 μF Determine a amplitude da tensão do indutor na frequência de ressonância 46 Uma fonte alternada de frequência variável fd é ligada em série com um resistor de 500 Ω e um capacitor de 200 μF A amplitude da força eletromotriz é 120 V a Desenhe um diagrama fasorial para o fasor VR tensão do resistor e para o fasor VC tensão do capacitor b Para que frequência de excitação fd os dois fasores têm o mesmo comprimento Para essa frequência determine c o ângulo de fase em graus d a velocidade angular de rotação dos fasores e e a amplitude da corrente 47 Um circuito RLC como o da Fig 317 tem R 500 Ω C 200 μF L 100 H e 300 V a Para que frequência angular ωd a amplitude da corrente é máxima como nas curvas de ressonância da Fig 3116 b Qual é o valor máximo c Para que frequência angular ωd1 ωd a amplitude da corrente tem metade do valor máximo d Para que frequência angular ωd2 ωd a amplitude da corrente tem metade do valor máximo e Qual é o valor de ωd2 ωd1ω a largura de linha relativa a meia altura da curva de ressonância desse circuito 48 A Fig 3132 mostra um circuito RLC alimentado por um gerador que possui dois capacitores iguais e duas chaves A amplitude da força eletromotriz é 120 V e a frequência do gerador é 600 Hz Com as duas chaves abertas a corrente está adiantada 309o em relação à tensão Com a chave S1 fechada e a chave S2 aberta a corrente está adiantada 150o em relação à tensão Com as duas chaves fechadas a amplitude da corrente é 447 mA Determine o valor a de R b de C e c de L Figura 3132 Problema 48 49 Na Fig 3133 um gerador de frequência ajustável é ligado a um circuito formado pela resistência R 100 Ω as indutâncias L1 170 mH e L2 230 mH e as capacitâncias C1 400 μF C2 250 μF e C3 350 μF a Qual é a frequência de ressonância do circuito Sugestão Veja o Problema 47 do Capítulo 30 Determine o que acontece com a frequência de ressonância b quando R aumenta c quando L1 aumenta e d quando C3 é removido do circuito Figura 3133 Problema 49 50 Uma fonte de força eletromotriz alternada de frequência variável fd é ligada em série com um resistor de 800 Ω e um indutor de 400 mH A amplitude da força eletromotriz é 600 V a Desenhe um diagrama fasorial para o fasor VR a tensão no resistor e para o fasor VL a tensão no indutor b Para que frequência de excitação fd os dois fasores têm o mesmo comprimento Para essa frequência de excitação determine c o ângulo de fase em graus d a velocidade angular de rotação dos fasores e e a amplitude da corrente 51 A largura de linha relativa a meia altura Δωdω de uma curva de ressonância como as que aparecem na Fig 3116 é a largura de linha na metade do valor máximo de I dividida pela frequência angular de ressonância Mostre que Δωdω R3CL12 em que ω é a frequência angular de ressonância Observe que a razão Δωdω aumenta quando R aumenta como mostra a Fig 3116 52 Um voltímetro de CA com alta impedância é ligado sucessivamente aos terminais de um indutor aos terminais de um capacitor e aos terminais de um resistor em um circuito série ao qual é aplicada uma força eletromotriz alternada de 100 V rms nos três casos o instrumento fornece a mesma leitura em volts Qual é essa leitura Módulo 315 Potência em Circuitos de Corrente Alternada 53 Um aparelho de ar condicionado ligado a uma tomada de 120 V rms é equivalente a uma resistência de 120 Ω e uma reatância indutiva de 130 Ω ligadas em série Determine a a impedância do aparelho e b a potência consumida pelo aparelho 54 Qual é o valor máximo de uma tensão alternada cujo valor rms é 100 V 55 Que corrente contínua produz a mesma energia térmica em um resistor que uma corrente alternada com um valor máximo de 260 A 56 Um dimmer típico como os que são usados para regular a luminosidade das lâmpadas do palco nos teatros é composto por um indutor variável L cuja indutância pode ser ajustada entre zero e Lmáx ligado em série com uma lâmpada B como mostra a Fig 3134 O circuito é alimentado com uma tensão de 120 V rms 60 Hz a lâmpada é de 120 V 1000 W a Qual deve ser o valor de Lmáx para que a potência dissipada na lâmpada possa variar entre 200 e 1000 W Suponha que a resistência da lâmpada é independente da temperatura b É possível usar um resistor variável ajustável entre zero e Rmáx em vez de um indutor c Nesse caso qual deve ser o valor de Rmáx d Por que não se usa esse método Figura 3134 Problema 56 57 Em um circuito RLC como o da Fig 317 suponha que R 500 Ω L 600 mH fd 600 Hz e 300 V a Para qual valor de capacitância a potência dissipada na resistência é máxima b Para qual valor de capacitância a potência dissipada na resistência é mínima Determine c a dissipação máxima d o ângulo de fase correspondente e e o fator de potência correspondente Determine também f a dissipação mínima g o ângulo de fase correspondente e h o fator de potência correspondente 58 Mostre que a potência dissipada na resistência R da Fig 3135 é máxima quando R é igual à resistência r do gerador de corrente alternada Na discussão do texto supusemos tacitamente que r 0 Figura 3135 Problemas 58 e 66 59 Na Fig 317 R 150 Ω C 470 μF e L 250 mH O gerador produz uma força eletromotriz com uma tensão rms de 750 V e uma frequência de 550 Hz a Qual é a corrente rms Determine a tensão rms b em R c em C d em L e em C e L juntos e f em R C e L juntos Determine a potência média dissipada g em R h em C e i em L 60 Em um circuito RLC série oscilante R 160 Ω C 312 μF L 920 mH e sen ωdt com 450 V e ωd 3000 rads No instante t 0442 ms determine a a taxa Pg com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador b a taxa PC com a qual a energia do capacitor está variando c a taxa PL com a qual a energia do indutor está variando e d a taxa PR com a qual a energia está sendo dissipada no resistor e A soma de PC PL e PR é maior menor ou igual a Pg 61 A Fig 3136 mostra um gerador de CA ligado aos terminais de uma caixapreta A caixa contém um circuito RLC possivelmente com mais de uma malha cujos componentes e ligações são desconhecidos Medidas realizadas do lado de fora da caixa revelam que a Qual é o fator de potência b A corrente está adiantada ou atrasada em relação à força eletromotriz c O circuito no interior da caixa é mais indutivo ou mais capacitivo d O circuito no interior da caixa está sendo excitado na frequência de ressonância e Deve haver um capacitor no interior da caixa f Deve haver um indutor no interior da caixa g Deve haver um resistor no interior da caixa h Qual é a potência fornecida à caixa pelo gerador i Por que não é preciso conhecer o valor de ωd para responder a essas perguntas Figura 3136 Problema 61 Módulo 316 Transformadores 62 Um gerador fornece 100 V ao enrolamento primário de um transformador que possui 50 espiras Se o enrolamento secundário possui 500 espiras qual é a tensão no secundário 63 Um transformador possui 500 espiras no primário e 10 espiras no secundário a Se Vp é 120 V rms quanto é Vs com o secundário em circuito aberto Se o secundário está ligado a uma carga resistiva de 15 Ω determine b a corrente no primário e c a corrente no secundário 64 A Fig 3137 mostra um autotransformador um componente no qual uma bobina com três terminais é enrolada em um núcleo de ferro Entre os terminais T1 e T2 existem 200 espiras e entre os terminais T2 e T3 existem 800 espiras Qualquer par de terminais pode ser usado como os terminais do primário e qualquer par de terminais pode ser usado como os terminais do secundário Para as escolhas que resultam em um transformador elevador de tensão determine a o menor valor da razão VsVp b o segundo menor valor da razão VsVp e c o maior valor da razão VsVp Para as escolhas que resultam em um transformador abaixador de tensão determine d o menor valor da razão VsVp e o segundo menor valor da razão VsVp e f o maior valor da razão VsVp Figura 3137 Problema 64 65 Um gerador de CA alimenta uma carga resistiva em uma fábrica distante por meio de uma linha de transmissão de dois cabos Na fábrica um transformador abaixador de tensão reduz a tensão do valor de transmissão Vt rms para um valor muito menor que é mais seguro e conveniente para ser usado na fábrica A resistência da linha de transmissão é 030 Ωcabo e a potência do gerador é 250 kW Se Vt 80 kV determine a a queda de tensão ΔV na linha de transmissão e b a potência Pd dissipada na linha Se Vt 80 kV determine o valor c de ΔV e d de Pd Se Vt 080 kV determine o valor e de ΔV e f de Pd Problemas Adicionais 66 Na Fig 3135 suponha que o retângulo da esquerda representa a saída de alta impedância de um amplificador de áudio com r 1000 Ω Suponha que R 10 Ω representa a bobina de baixa impedância de um altofalante Para que a transferência de energia para a carga R seja máxima devemos ter R r o que nesse caso não é verdade Entretanto os transformadores podem ser usados para transformar resistências fazendo com que estas se comportem eletricamente como se fossem maiores ou menores do que realmente são a Modifique o circuito da Fig 3135 de modo a incluir um transformador entre o amplificador e o altofalante para casar as impedâncias b Qual deve ser a relação de espiras do transformador 67 Um gerador de corrente alternada produz uma força eletromotriz senωdt π4 em que 300 V e ωd 350 rads A corrente no circuito ligado ao gerador é dada por it I senωdt π4 em que I 620 mA a Em que instante após t 0 a força eletromotriz atinge o valor máximo pela primeira vez b Em que instante após t 0 a corrente atinge o valor máximo pela primeira vez c O circuito contém um único componente além do gerador Tratase de um capacitor de um indutor ou de um resistor Justifique sua resposta d Qual é o valor do componente 68 Um circuito RLC série é excitado por um gerador com uma frequência de 2000 Hz e uma amplitude de 170 V A indutância é 600 mH a capacitância é 0400 μF e a resistência é 200 Ω a Qual é a constante de fase em radianos b Qual é a amplitude da corrente 69 Um gerador com uma frequência de 3000 Hz aplica uma força eletromotriz de 120 V de amplitude a um circuito RLC série A resistência do circuito é 400 Ω a capacitância é 160 μF e a indutância é 850 μH Determine a a constante de fase em radianos e b a amplitude da corrente c O circuito é mais capacitivo mais indutivo ou está em ressonância 70 Um indutor de 450 mH possui uma reatância de 130 kΩ a Qual é a frequência de operação do circuito b Qual é a capacitância de um capacitor com a mesma reatância na mesma frequência Se a frequência for multiplicada por dois qual será a nova reatância c do indutor e d do capacitor 71 Um circuito RLC é excitado por um gerador com uma força eletromotriz com 800 V de amplitude e uma corrente com 125 A de amplitude A corrente está adiantada de 0650 rad em relação à tensão Determine a a impedância e b a resistência do circuito c O circuito é mais indutivo mais capacitivo ou está em ressonância 72 Um circuito RLC série é alimentado de tal forma que a tensão máxima no indutor é 150 vez a tensão máxima no capacitor e 200 vezes a tensão máxima no resistor a Qual é o ϕ do circuito b O circuito é mais indutivo mais capacitivo ou está em ressonância A resistência é 499 Ω e a amplitude da corrente é 200 mA c Qual é a amplitude da força eletromotriz de excitação 73 Um capacitor de 158 μF e um indutor formam um circuito LC que oscila com uma frequência de 815 kHz e uma amplitude de corrente de 421 mA Determine a a impedância b a energia total do circuito e c a carga máxima do capacitor 74 Um circuito LC oscilante tem uma indutância de 300 mH e uma capacitância de 100 μF Determine a a frequência angular e b o período de oscilação c No instante t 0 o capacitor é carregado com 200 μC e a corrente é zero Faça um esboço da carga do capacitor em função do tempo 75 Em um circuito RLC série a força eletromotriz máxima do gerador é 125 V e a corrente máxima é 320 A Se a corrente está adiantada de 0982 rad em relação à força eletromotriz do gerador determine a a impedância e b a resistência do circuito c O circuito é mais capacitivo ou mais indutivo 76 Um capacitor de 150 μF possui uma reatância capacitiva de 120 Ω a Qual é a frequência de operação do circuito b Qual será a reatância capacitiva do capacitor se a frequência for multiplicada por dois Figura 3138 Problema 77 77 Na Fig 3138 um gerador trifásico G produz energia elétrica que é transmitida por três fios Os potenciais dos três fios em relação a uma referência comum são V1 A sen ωdt para o fio 1 V2 A senωdt 120o para o fio 2 e V3 A senωdt 240o para o fio 3 Alguns equipamentos industriais pesados motores por exemplo possuem três terminais e são projetados para serem ligados diretamente aos três fios Para usar um dispositivo mais convencional de dois terminais uma lâmpada por exemplo basta ligar o dispositivo a dois dos três fios Mostre que a diferença de potencial entre dois fios quaisquer a oscila senoidalmente com frequência angular ωd e b tem uma amplitude A 78 Um motor elétrico ligado a uma tomada de 120 V 60 Hz desenvolve uma potência mecânica de 0100 hp 1 hp 746 W a Se o motor consome uma corrente rms de 0650 A qual é a resistência efetiva do motor do ponto de vista da transferência de energia b A resistência efetiva é igual à resistência dos enrolamentos do motor medida com um ohmímetro com o motor desligado da tomada 79 a Em um circuito LC oscilante qual é a carga em termos da carga máxima Q do capacitor quando a energia do campo elétrico é 500 da energia do campo magnético b Que fração de período deve transcorrer após o instante em que o capacitor está totalmente carregado para que essa situação aconteça 80 Um circuito RLC série é excitado por uma fonte alternada cuja frequência é 400 Hz e cuja força eletromotriz tem uma amplitude de 900 V A resistência do circuito é 200 Ω a capacitância é 121 μF e a indutância é 242 mH Determine a diferença de potencial rms a no resistor b no capacitor e c no indutor d Qual é a potência média dissipada no circuito 81 Em um circuito RLC série excitado com uma frequência de 600 Hz a tensão máxima no indutor é 200 vezes a tensão máxima no resistor e 200 vezes a tensão máxima no capacitor a De que ângulo a corrente está atrasada em relação à força eletromotriz do gerador b Se a força eletromotriz máxima do gerador é 300 V qual deve ser a resistência do circuito para que a corrente máxima seja de 300 mA 82 Um indutor de 150 mH em um circuito LC oscilante armazena uma energia máxima de 100 μJ Qual é a corrente máxima 83 Um gerador de frequência ajustável é ligado em série com um indutor L 250 mH e um capacitor C 300 μF Para que frequência o gerador produz uma corrente com a maior amplitude possível no circuito 84 Um circuito RLC série possui uma frequência de ressonância de 600 kHz Quando é excitado com uma frequência de 800 kHz o circuito possui uma impedância de 100 kΩ e uma constante de fase de 45o Determine o valor de a R b L e c C nesse circuito 85 Um circuito LC oscila com uma frequência de 104 kHz a Se a capacitância é 340 μF qual é a indutância b Se a corrente máxima é 720 mA qual é a energia total do circuito c Qual é a carga máxima do capacitor 86 Quando está em carga e funcionando com uma tensão rms de 220 V um motor consome uma corrente rms de 300 A A resistência do motor é 240 Ω e a reatância capacitiva é zero Qual é a reatância indutiva 87 O gerador de corrente alternada da Fig 3139 fornece uma força eletromotriz de 120 V e 600 Hz Com a chave aberta como na figura a corrente está adiantada de 200o em relação à força eletromotriz do gerador Quando a chave é colocada na posição 1 a corrente fica atrasada de 100o em relação à força eletromotriz do gerador Quando a chave é colocada na posição 2 a amplitude da corrente é 200 A Determine o valor a de R b de L e c de C Figura 3139 Problema 87 88 Em um circuito LC oscilante L 800 mH e C 140 μF No instante t 0 a corrente é máxima e tem o valor de 120 mA a Qual é a carga máxima do capacitor durante as oscilações b Em que instante de tempo t 0 a taxa de variação da energia armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez c Qual é o valor da taxa de variação 89 No caso de um circuito RLC série mostre que em um ciclo completo de período T a a energia armazenada no capacitor não varia b a energia armazenada no indutor não varia c a energia fornecida pela fonte alternada é T2 I cos ϕ d a energia dissipada no resistor é TRI22 e Mostre que os resultados dos itens c e d são iguais 90 Que capacitância deve ser ligada a um indutor de 130 mH para que a frequência de ressonância do circuito seja de 350 kHz 91 Um circuito série com a combinação resistorindutorcapacitor R1 L1 C1 tem a mesma frequência de ressonância que um segundo circuito com uma combinação diferente R2 L2 C2 As duas combinações são ligadas em série Mostre que a frequência de ressonância do novo circuito é a mesma dos dois circuitos separados 92 Considere o circuito da Fig 3140 Com a chave S1 fechada e as outras duas chaves abertas a constante de tempo do circuito é τC Com a chave S2 fechada e as duas outras chaves abertas a constante de tempo do circuito é τL Com a chave S3 fechada e as outras duas chaves abertas o circuito oscila com um período T Mostre que Figura 3140 Problema 92 93 Quando a força eletromotriz do gerador do Exemplo 3107 é máxima qual é a tensão a do gerador b do resistor c do capacitor e d do indutor Some as tensões com os sinais apropriados para mostrar que os resultados satisfazem a regra das malhas 1Do inglês root mean square NT CAPÍTULO 32 Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria 321 LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3201 Saber que a estrutura magnética mais simples é o dipolo magnético 3202 Calcular o fluxo magnético Φ através de uma superfície integrando o produto escalar do vetor campo magnético pelo vetor área ao longo de toda a superfície 3203 Saber que o fluxo magnético através de uma superfície gaussiana que é uma superfície fechada é zero IdeiasChave A estrutura magnética mais simples é o dipolo magnético Não existem até onde sabemos monopolos magnéticos De acordo com a lei de Gauss para campos magnéticos o fluxo magnético através de uma superfície gaussiana que é uma superfície fechada é zero Uma das consequências da lei de Gauss é o fato de que os monopolos magnéticos não existem O que É Física Este capítulo ajuda a dar uma ideia da abrangência da física pois cobre desde a ciência básica dos campos elétricos e magnéticos até a ciência aplicada e engenharia dos materiais magnéticos Em primeiro lugar concluímos a discussão dos campos elétricos e magnéticos mostrando que quase todos os princípios físicos apresentados nos últimos 11 capítulos podem ser resumidos em apenas quatro equações conhecidas como equações de Maxwell Em segundo lugar discutimos a ciência e engenharia dos materiais magnéticos Muitos cientistas e engenheiros estão empenhados em descobrir por que alguns materiais são magnéticos e outros não e de que forma os materiais magnéticos conhecidos podem ser melhorados Esses pesquisadores se perguntam por que há um campo magnético associado à Terra mas não há um campo magnético associado ao corpo humano Existe uma grande variedade de aplicações para materiais magnéticos em automóveis cozinhas escritórios e hospitais e as propriedades magnéticas dos materiais muitas vezes se manifestam de forma inesperada Assim por exemplo se você possui uma tatuagem Fig 321 e se submete a um exame de ressonância magnética o campo magnético de alta intensidade usado no exame pode produzir um puxão na sua pele porque algumas tintas usadas em tatuagens possuem partículas magnéticas Para dar outro exemplo alguns cereais são anunciados como fortificados com ferro porque contêm partículas de ferro para serem ingeridas Como são magnéticos os pedacinhos de ferro podem ser recolhidos e observados mergulhando um ímã permanente em uma mistura de água e cereal Nosso primeiro passo será apresentar novamente a lei de Gauss desta vez para campos magnéticos Oliver StreweGetty Imagens Inc Figura 321 Algumas tintas usadas em tatuagens contêm partículas magnéticas Lei de Gauss para Campos Magnéticos A Fig 322 mostra o desenho criado quando espalhamos limalha de ferro em uma folha transparente colocada acima de um ímã em forma de barra Ao se alinharem com o campo magnético do ímã as partículas de ferro formam um padrão que revela a presença e a configuração do campo Uma das extremidades do ímã é a fonte do campo as linhas de campo divergem nessa região e a outra extremidade é o dreno as linhas de campo convergem para essa região Por convenção a fonte é chamada de polo norte do ímã e o dreno é chamado de polo sul O ímã com seus dois polos é um exemplo de dipolo magnético Suponha que um ímã em forma de barra seja partido em vários pedaços como se fosse um bastão de giz Fig 323 É natural esperar que com isso fossem produzidos polos magnéticos isolados ou seja monopolos magnéticos Entretanto isso jamais acontece mesmo que o ímã seja separado em fragmentos do tamanho de átomos e os átomos sejam separados em núcleos e elétrons Na verdade todos os fragmentos possuem um polo norte e um polo sul Assim podemos afirmar o seguinte Richard MegnaFundamental Photographs Figura 322 Um ímã em forma de barra é um dipolo magnético A limalha de ferro acompanha as linhas de campo O fundo foi criado com luzes coloridas A estrutura magnética mais simples que existe é o dipolo magnético Não existem até onde sabemos monopolos magnéticos A lei de Gauss para campos magnéticos é um modo formal de afirmar que os monopolos magnéticos não existem De acordo com a lei o fluxo magnético ΦB através de uma superfície gaussiana é zero De acordo com a lei de Gauss para campos elétricos por outro lado Nas duas equações a integral é calculada para uma superfície fechada De acordo com a lei de Gauss para campos elétricos a integral o fluxo de campo elétrico através da superfície é proporcional à carga elétrica qenv envolvida pela superfície De acordo com a lei de Gauss para campos magnéticos o fluxo magnético através da superfície é zero porque não existe uma carga magnética monopolo magnético que possa ser envolvida pela superfície A estrutura magnética mais simples que existe e pode ser envolvida por uma superfície gaussiana é o dipolo magnético que contém tanto uma fonte como um dreno para as linhas de campo Assim o fluxo para fora da superfície é necessariamente igual ao fluxo para dentro da superfície e o fluxo total é zero Figura 323 Quando partimos um ímã em pedaços cada pedaço se torna um ímã completo com um polo norte e um polo sul A lei de Gauss para campos magnéticos se aplica a sistemas mais complicados que um dipolo magnético e é válida mesmo que a superfície gaussiana não envolva todo o sistema A superfície gaussiana II da Fig 324 não contém nenhum dos polos do ímã em forma de barra e podemos concluir facilmente que o fluxo que atravessa a superfície é zero O caso da superfície gaussiana I é mais difícil Aparentemente ela envolve apenas o polo norte do ímã uma vez que envolve a região assinalada com a letra N e não a região assinalada com a letra S Entretanto podemos associar um polo sul à parte inferior da superfície já que as linhas de campo magnético penetram na superfície nessa região A parte envolvida se comporta como um dos pedaços em que foi partido o ímã em forma de barra da Fig 323 Assim a superfície gaussiana I envolve um dipolo magnético e o fluxo total que atravessa a superfície é zero Figura 324 As linhas de campo do campo magnético de um ímã em forma de barra As curvas vermelhas representam seções retas de superfícies gaussianas tridimensionais Teste 1 A figura mostra quatro superfícies fechadas com bases planas e superfícies laterais curvas A tabela mostra a área A das bases e o módulo B do campo magnético uniforme e perpendicular que atravessa essas bases as unidades de A e de B são arbitrárias mas coerentes Coloque as superfícies na ordem decrescente do módulo do fluxo magnético através das superfícies laterais Superfície Asup Bsup Ainf Binf a 2 6 para fora 4 3 para dentro b 2 1 para dentro 4 2 para dentro c 2 6 para dentro 2 8 para fora d 2 3 para fora 3 2 para fora 322 CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3204 Saber que um fluxo elétrico variável induz um campo magnético 3205 Usar a lei de indução de Maxwell para relacionar o campo magnético induzido em uma curva fechada à taxa de variação do fluxo elétrico envolvido pela curva 3206 Desenhar as linhas de campo do campo magnético induzido no interior de um capacitor de placas paralelas circulares que está sendo carregado indicando a orientação dos vetores do campo elétrico e do campo magnético 3207 Saber que a lei de AmpèreMaxwell se aplica à situação geral em que existe uma corrente elétrica e campos magnéticos podem ser induzidos IdeiasChave Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético A lei de Maxwell relaciona o campo magnético induzido em uma curva fechada à variação do fluxo elétrico ΦE envolvido pela curva A lei de Ampère pode ser usada para calcular o campo magnético produzido por uma corrente ienv envolvida por uma curva fechada A lei de Maxwell e a lei de Ampère podem ser combinadas em uma única lei conhecida como lei de AmpèreMaxwell Campos Magnéticos Induzidos Como vimos no Capítulo 30 toda variação de fluxo magnético induz um campo elétrico que pode ser calculado usando a lei de indução de Faraday Nesta equação é o campo elétrico induzido em uma curva fechada pela variação do fluxo magnético ΦB envolvido pela curva Como a simetria é um dos princípios mais importantes da física somos levados a nos perguntar se a indução pode acontecer no sentido oposto ou seja se um fluxo elétrico variável pode induzir um campo magnético A resposta é afirmativa além disso a equação que governa a indução de um campo magnético é quase simétrica da Eq 322 Essa equação que recebe o nome de lei de indução de Maxwell em homenagem ao cientista inglês James Clerk Maxwell pode ser escrita na forma Aqui é o campo magnético induzido ao longo de uma curva fechada pela variação do fluxo elétrico ΦE na região envolvida pela curva Carga de um Capacitor Como exemplo desse tipo de indução considere a carga de um capacitor de placas paralelas com placas circulares Embora tenhamos escolhido essa configuração em nosso exemplo todo campo elétrico variável induz um campo magnético Suponha que a carga do capacitor Fig 325a esteja aumentando a uma taxa constante graças à existência de uma corrente constante i nos fios de ligação Nesse caso o módulo do campo elétrico entre as placas também está aumentando a uma taxa constante A Fig 325b mostra a placa da direita da Fig 325a do ponto de vista da região entre as placas O campo elétrico aponta para dentro do papel Considere uma circunferência passando pelo ponto 1 das Figs 325a e 325b concêntrica com as placas do capacitor e com um raio menor que o raio das placas Como o campo elétrico que atravessa a circunferência está variando o fluxo elétrico também varia De acordo com a Eq 323 essa variação do fluxo elétrico induz um campo magnético ao longo da circunferência Figura 325 a Um capacitor de placas paralelas circulares visto de lado está sendo carregado por uma corrente constante i b Uma vista do interior do capacitor olhando na direção da placa que está à direita em a O campo elétrico é uniforme aponta para dentro do papel em direção à placa e aumenta de intensidade quando a carga do capacitor aumenta O campo magnético induzido por esse campo elétrico variável é mostrado em quatro pontos de uma circunferência de raio r menor que o raio R das placas Os experimentos mostram que um campo magnético é realmente induzido ao longo da circunferência com o sentido indicado na figura Esse campo magnético tem o mesmo módulo em todos os pontos da circunferência e portanto apresenta simetria circular em relação ao eixo central das placas do capacitor reta que liga os centros das placas Quando consideramos uma circunferência maior como a que passa pelo ponto 2 situado do lado de fora das placas nas Figs 325a e 325b vemos que um campo magnético também é induzido ao longo da curva Assim quando o campo elétrico está variando campos magnéticos são induzidos tanto no espaço entre as placas como nas regiões vizinhas Quando o campo elétrico para de variar os campos magnéticos induzidos desaparecem Embora a Eq 323 seja semelhante à Eq 322 existem duas diferenças entre as equações Em primeiro lugar a Eq 323 possui dois fatores adicionais μ0 e ε0 mas eles estão presentes apenas porque adotamos as unidades do SI Em segundo lugar o sinal negativo da Eq 322 não está presente na Eq 32 3 o que significa que o campo elétrico induzido e o campo magnético induzido têm sinais opostos quando são produzidos em situações análogas Para você ter uma ideia da diferença observe a Fig 326 na qual um campo magnético crescente apontando para dentro do papel induz um campo elétrico O campo induzido tem o sentido antihorário enquanto o campo induzido da Fig 325b tem o sentido horário Figura 326 Um campo magnético uniforme em uma região circular O campo que aponta para dentro do papel está aumentando de intensidade O campo elétrico induzido pela variação do campo magnético é mostrado em quatro pontos de uma circunferência concêntrica com a região circular Compare essa situação com a da Fig 325b A Lei de AmpèreMaxwell O lado esquerdo da Eq 323 a integral do produto escalar ao longo de uma curva fechada aparece em outra equação a lei de Ampère em que ienv é a corrente envolvida pela curva Assim nas duas equações usadas para calcular o campo magnético produzido por outro meio que não seja um material magnético ou seja por uma corrente e por um campo elétrico variável o campo magnético aparece na forma de uma integral de linha Podemos combinar as duas equações para obter a equação Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando como no caso de um fio percorrido por uma corrente constante o primeiro termo do lado direito da Eq 325 é zero e portanto a Eq 325 se reduz à Eq 324 a lei de Ampère Quando o fluxo elétrico está variando e a corrente é zero como na região entre as placas de um capacitor que está sendo carregado o segundo termo do lado direito da Eq 325 é zero e a Eq 325 se reduz à Eq 323 a lei de indução de Maxwell Teste 2 A figura mostra gráficos da amplitude E do campo elétrico em função do tempo t para quatro campos elétricos uniformes todos contidos em regiões circulares como a da Fig 325b Coloque os campos na ordem decrescente do módulo do campo magnético induzido na borda da região Exemplo 3201 Campo magnético induzido por um campo elétrico variável Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado como na Fig 325a a Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central das placas que seja válida para r R IDEIASCHAVE Um campo magnético pode ser criado por uma corrente ou pela indução produzida por um fluxo elétrico variável os dois efeitos são levados em conta na Eq 325 Não existe corrente entre as placas do capacitor da Fig 325 mas o fluxo elétrico está variando Assim a Eq 325 se reduz a Vamos calcular separadamente o lado esquerdo e o lado direito da equação Lado esquerdo da Eq 326 Escolhemos uma amperiana circular de raio r R como a da Fig 325b porque queremos calcular o campo magnético para r R ou seja no espaço entre as placas do capacitor O campo magnético em todos os pontos da amperiana é tangente à curva o que também acontece com o elemento de comprimento Assim e são paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da curva Para simplificar os cálculos vamos supor que sejam paralelos essa opção não influi no resultado final Nesse caso temos Devido à simetria circular das placas podemos também supor que o módulo de é o mesmo ao longo de toda a curva Assim B pode ficar do lado de fora da integral do lado direito da equação A integral que resta é ds que é simplesmente o perímetro 2πr da amperiana O lado esquerdo da Eq 326 é portanto B2πr Lado direito da Eq 326 Vamos supor que o campo elétrico é uniforme na região entre as placas do capacitor e perpendicular às placas Nesse caso o fluxo elétrico ΦE através da amperiana é EA em que A é a parte da área envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo elétrico Assim o lado direito da Eq 326 é μ0ε0 dEAdt Combinação dos resultados Substituindo os resultados para o lado esquerdo e para o lado direito na Eq 326 obtemos Como A é constante dEA A dE assim temos A parte da área A envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo elétrico é a área total πr2 da curva pois o raio r da amperiana é menor que o raio R das placas ou igual ao raio Substituindo A por πr2 na Eq 327 e explicitando B obtemos para r R De acordo com a Eq 328 no interior do capacitor B aumenta linearmente com a distância radial r desde 0 no eixo central do capacitor até um valor máximo para r R b Calcule o módulo B do campo magnético para r R5 110 mm e dEdt 150 1012 Vms Cálculo De acordo com o item a temos c Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em que r R Cálculo O método usado é o mesmo do item a exceto pelo fato de que agora usamos uma amperiana cujo raio r é maior que o raio R das placas para calcular B do lado de fora do capacitor Calculando o lado esquerdo e o lado direito da Eq 326 obtemos novamente a Eq 327 Entretanto precisamos levar em conta uma diferença sutil Como o campo elétrico existe apenas na região entre as placas a área A envolvida pela amperiana que contém o campo elétrico agora não é a área total πr2 da espira mas apenas a área πR2 das placas Substituindo A por πR2 na Eq 327 e explicitando B obtemos para r R De acordo com a Eq 329 do lado de fora do capacitor B diminui com o aumento da distância radial r a partir do valor máximo que possui na borda das placas em que r R Fazendo r R nas Eqs 328 e 329 vemos que as duas equações são compatíveis ou seja fornecem o mesmo resultado para o campo B na borda das placas O campo magnético induzido calculado no item b é tão fraco que mal pode ser medido com um instrumento simples O mesmo não acontece com os campos elétricos induzidos lei de Faraday que podem ser medidos com facilidade Uma das razões para essa diferença é que a força eletromotriz induzida pode facilmente ser aumentada usando bobinas com um grande número de espiras mas não existe um método semelhante para aumentar o valor de um campo magnético induzido Mesmo assim o experimento sugerido por esse exemplo foi realizado e a existência de campos magnéticos induzidos foi confirmada experimentalmente 323 CORRENTE DE DESLOCAMENTO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3208 Saber que na lei de AmpèreMaxwell a contribuição da variação do fluxo elétrico para o campo magnético pode ser atribuída a uma corrente imaginária a corrente de deslocamento para simplificar a expressão 3209 Saber que em um capacitor que está sendo carregado ou descarregado a corrente de deslocamento se distribui uniformemente pela área das placas de uma placa até a outra 3210 Usar a relação entre a taxa de variação de um fluxo elétrico e a corrente de deslocamento associada 3211 Conhecer a relação entre a corrente de deslocamento e a corrente real de um capacitor que está sendo carregado ou descarregado e saber que a corrente de deslocamento existe apenas enquanto o campo elétrico no interior do capacitor está variando 3212 Usar uma analogia com o campo magnético do lado de dentro e do lado de fora de um condutor percorrido por uma corrente real para calcular o campo magnético do lado de dentro e do lado de fora de uma região onde existe uma corrente de deslocamento 3213 Usar a lei de AmpèreMaxwell para calcular o campo magnético produzido por uma combinação de uma corrente real com uma corrente de deslocamento 3214 Desenhar as linhas de campo magnético produzidas pela corrente de deslocamento em um capacitor com placas paralelas circulares que está sendo carregado ou descarregado 3215 Conhecer as equações de Maxwell e saber o que elas expressam IdeiasChave A corrente de deslocamento produzida por um campo elétrico variável é dada por Usando a definição de corrente de deslocamento a lei de AmpèreMaxwell pode ser escrita na forma em que idenv é a corrente de deslocamento envolvida pela amperiana A ideia de corrente de deslocamento permite supor que a corrente é conservada ao encontrar um capacitor Entretanto a corrente de deslocamento não está associada à transferência de cargas de uma placa para a outra do capacitor As equações de Maxwell mostradas na Tabela 321 resumem as leis do eletromagnetismo e podem ser usadas para analisar uma grande variedade de fenômenos elétricos magnéticos e óticos Corrente de Deslocamento Comparando os dois termos do lado direito da Eq 325 vemos que o produto ε0dΦEdt tem dimensões de corrente elétrica Na verdade o produto pode ser tratado como uma corrente fictícia conhecida como corrente de deslocamento e representada pelo símbolo id Deslocamento é um termo mal escolhido porque nada se desloca mas a expressão foi conservada por questões históricas Usando a definição da Eq 3210 podemos escrever a Eq 325 na forma em que idenv é a corrente de deslocamento envolvida pela amperiana Figura 327 a Antes e d depois que as placas são carregadas não há campo magnético b Durante a carga um campo magnético é criado tanto pela corrente real como pela corrente de deslocamento fictícia c A regra da mão direita pode ser usada para determinar a orientação do campo magnético produzido pelas duas correntes Vamos analisar novamente um capacitor de placas circulares que está sendo carregado como na Fig 327a A corrente real i que está carregando as placas faz variar o campo elétrico entre as placas A corrente de deslocamento fictícia id entre as placas está associada à variação do campo Vejamos qual é a relação entre as duas correntes Em qualquer instante a carga q das placas está relacionada ao campo elétrico entre as placas pela Eq 254 em que A é a área das placas Para obter a corrente real i derivamos a Eq 3212 em relação ao tempo o que nos dá Para obter a corrente de deslocamento id podemos usar a Eq 3210 Supondo que o campo elétrico entre as placas é uniforme ou seja desprezando o efeito de borda podemos substituir o fluxo de campo elétrico ΦE por EA Nesse caso a Eq 3210 se torna Mesmo Valor Comparando as Eqs 3213 e 3214 vemos que a corrente real i de carga do capacitor e a corrente fictícia de deslocamento id entre as placas do capacitor são iguais Assim podemos considerar a corrente fictícia de deslocamento id como uma continuação da corrente real i na região entre as placas Como o campo elétrico é uniforme o mesmo se pode dizer da corrente de deslocamento id como sugerem as setas da Fig 327b Embora não haja um movimento de cargas na região entre as placas a ideia de uma corrente fictícia id pode facilitar a determinação do campo magnético induzido como veremos a seguir Determinação do Campo Magnético Induzido Como vimos no Capítulo 29 a orientação do campo magnético produzido por uma corrente real i pode ser determinada com o auxílio da regra da mão direita da Fig 295 A mesma regra pode ser usada para determinar a orientação do campo magnético produzido por uma corrente de deslocamento id como se vê na parte central da Fig 327c Podemos também usar id para calcular o módulo do campo magnético induzido por um capacitor de placas paralelas circulares de raio R que está sendo carregado Para isso consideramos o espaço entre as placas como um fio cilíndrico imaginário de raio R percorrido por uma corrente imaginária id Nesse caso de acordo com a Eq 2920 o módulo do campo magnético em um ponto no espaço entre as placas situado a uma distância r do eixo do capacitor é dado por Da mesma forma de acordo com a Eq 2917 o módulo do campo magnético em um ponto do lado de fora do capacitor é dado por Teste 3 A figura mostra uma das placas de um capacitor de placas paralelas vista do interior do capacitor As curvas tracejadas mostram quatro trajetórias de integração a trajetória b acompanha a borda da placa Coloque as trajetórias na ordem decrescente do valor absoluto de durante a descarga do capacitor Exemplo 3202 Substituição de um campo elétrico variável por uma corrente de deslocamento Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R está sendo carregado por uma corrente i a Determine o valor absoluto de entre as placas a uma distância r R5 do eixo do capacitor em termos de μ0 e i IDEIACHAVE Um campo magnético pode ser criado por uma corrente e por um campo elétrico variável Entre as placas de um capacitor a corrente é zero e o campo magnético se deve apenas a um campo elétrico variável que pode ser substituído por uma corrente de deslocamento fictícia id A integral é dada pela Eq 3211 mas como não existe uma corrente real i entre as placas do capacitor a equação se reduz a Cálculos Como estamos calculando o valor de para r R5 ou seja em pontos situados no interior do capacitor a curva de integração envolve apenas uma parte idenv da corrente id Vamos supor que id está distribuída uniformemente ao longo da área das placas Nesse caso a parte da corrente de deslocamento envolvida pela curva é proporcional à área envolvida pela curva Isso nos dá Substituindo esse valor na Eq 3218 obtemos Fazendo id i Eq 3215 e r R5 na Eq 3219 obtemos b Em termos do campo magnético máximo induzido qual é o módulo do campo magnético induzido no ponto r R5 IDEIACHAVE Como o capacitor possui placas circulares paralelas podemos tratar o espaço entre as placas como um fio imaginário de raio R percorrido por uma corrente imaginária id Nesse caso podemos usar a Eq 3216 para calcular o módulo B do campo magnético induzido em qualquer ponto no interior do capacitor Cálculos Para r R5 a Eq 3216 nos dá De acordo com a Eq 3216 o campo magnético induzido atinge o valor máximo Bmáx para r R Esse valor é dado por Dividindo a Eq 3220 pela Eq 3221 e explicitando B obtemos Poderíamos obter o mesmo resultado com menos trabalho usando um raciocínio simples De acordo com a Eq 3216 B aumenta linearmente com r no interior do capacitor Assim em um ponto a uma distância do eixo central 5 vezes menor que a borda das placas em que o campo é Bmáx o campo B deve ser Bmáx5 Equações de Maxwell A Eq 325 é a última das quatro equações fundamentais do eletromagnetismo conhecidas como equações de Maxwell que aparecem na Tabela 321 As quatro equações explicam uma grande variedade de fenômenos desde a razão pela qual a agulha de uma bússola aponta para o norte até o motivo para um carro entrar em movimento quando giramos a chave de ignição Essas equações constituem a base para o funcionamento de dispositivos eletromagnéticos como motores elétricos transmissores e receptores de televisão telefones aparelhos de radar e fornos de microondas Tabela 321 Equações de Maxwella Nome Equação Lei de Gauss para a eletricidade Relaciona o fluxo elétrico às cargas elétricas envolvidas Lei de Gauss para o magnetismo Relaciona o fluxo magnético às cargas magnéticas envolvidas Lei de Faraday Relaciona o campo elétrico induzido à variação do fluxo magnético Lei de AmpèreMaxwell Relaciona o campo magnético induzido à variação do fluxo elétrico e à corrente aSupondo que não estão presentes materiais dielétricos ou magnéticos Também é possível deduzir a partir das equações de Maxwell muitas das equações que foram apresentadas a partir do Capítulo 21 Muitas equações que serão vistas nos Capítulos 33 a 36 dedicados à ótica também se baseiam nas equações de Maxwell 324 ÍMÃS PERMANENTES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3216 Saber o que é a magnetita 3217 Saber que o campo magnético da Terra é aproximadamente o campo de um dipolo magnético e ainda conhecer a localização no polo norte geomagnético 3218 Saber o que é a declinação e o que é a inclinação do campo magnético terrestre IdeiasChave O campo magnético da Terra é aproximadamente o campo de um dipolo magnético cuja direção não é exatamente a mesma do eixo de rotação e cujo polo magnético sul está no Hemisfério Norte A orientação local do campo magnético terrestre é dada pela declinação do campo ângulo para a direita ou para a esquerda em relação à direção do polo norte geográfico e pela inclinação do campo ângulo para cima ou para baixo em relação à horizontal Ímãs Os primeiros ímãs permanentes que a humanidade conheceu foram pedaços de magnetita um mineral que se magnetiza espontaneamente Quando os gregos e chineses antigos descobriram essas pedras raras ficaram surpresos com a capacidade que elas exibiam de atrair como que por mágica pedacinhos de metal Muito mais tarde usaram a magnetita e pedaços de ferro magnetizados artificialmente para construir as primeiras bússolas Hoje em dia ímãs e materiais magnéticos estão presentes em toda parte As propriedades magnéticas são causadas em última análise por átomos e elétrons O ímã barato que você usa para prender um bilhete na porta da geladeira por exemplo deve sua atração a efeitos quânticos associados às partículas atômicas e subatômicas que compõem o material Antes de estudar as propriedades dos materiais magnéticos porém vamos falar um pouco do maior ímã que existe em nossas vizinhanças que é a própria Terra O Magnetismo da Terra A Terra é um grande ímã em pontos próximos da superfície terrestre o campo magnético se assemelha ao campo produzido por um gigantesco ímã em forma de barra um dipolo magnético que atravessa o centro do planeta A Fig 328 é uma representação idealizada desse campo dipolar sem a distorção causada pelo vento solar Figura 328 O campo magnético da Terra representado como o campo de um dipolo O eixo do dipolo MM faz um ângulo de 115o com o eixo de rotação da Terra RR O polo sul do dipolo está no Hemisfério Norte Como o campo magnético da Terra é o campo de um dipolo magnético existe um momento dipolar magnético μ associado ao campo No caso do campo idealizado da Fig 328 o módulo de é 80 1022 JT e a direção de faz um ângulo de 115o com o eixo de rotação da Terra O eixo do dipolo MM na Fig 328 tem a mesma direção que e intercepta a superfície da Terra no polo norte geomagnético situado no noroeste da Groenlândia e no polo sul geomagnético situado na Antártica As linhas do campo magnético emergem no Hemisfério Sul e penetram na Terra no Hemisfério Norte Assim o polo magnético que está situado no Hemisfério Norte e é chamado de polo norte magnético é na verdade o polo sul do dipolo magnético da Terra A orientação do campo magnético em um ponto qualquer da superfície da Terra é normalmente especificada por dois ângulos A declinação do campo é o ângulo à esquerda ou à direita entre o norte geográfico isto é a direção da latitude 90o e a componente horizontal do campo A inclinação do campo é o ângulo para cima ou para baixo entre um plano horizontal e a direção do campo Medição Instrumentos chamados magnetômetros são usados para medir esses ângulos e determinar o módulo do campo com alta precisão Entretanto é possível descobrir qual é a orientação local do campo magnético terrestre usando dois instrumentos simples a bússola e a bússola de inclinação A bússola é simplesmente um ímã em forma de agulha que é montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo vertical Quando a bússola é mantida em um plano horizontal o polo norte da agulha aponta para o polo norte geomagnético que como vimos é na verdade o polo sul magnético O ângulo entre a agulha e o norte geográfico é a declinação do campo A bússola de inclinação é um dispositivo semelhante no qual a agulha pode girar livremente em torno de um eixo horizontal Quando o plano vertical de rotação está alinhado com a direção da bússola o ângulo entre a agulha do instrumento e a horizontal é a inclinação do campo Em um ponto da superfície da Terra o campo magnético medido pode diferir apreciavelmente tanto em módulo como em orientação do campo dipolar ideal da Fig 328 Na verdade o ponto do Hemisfério Norte no qual o campo é perpendicular à superfície da Terra não é o polo norte geomagnético na costa da Groenlândia como seria de se esperar o chamado polo norte de inclinação está situado nas Ilhas Queen Elizabeth no norte do Canadá a uma grande distância da Groenlândia Além disso o campo medido em um determinado local muda com o tempo Essa variação é pequena em intervalos de alguns anos mas atinge valores consideráveis em digamos centenas de anos Entre 1580 e 1820 por exemplo a direção indicada pela agulha das bússolas em Londres variou de 35o Apesar dessas variações locais o campo dipolar médio muda muito pouco em intervalos de tempo da ordem de centenas de anos Variações em intervalos mais longos podem ser estudadas medindo o magnetismo das rochas no fundo do mar dos dois lados da Cordilheira Mesoatlântica Fig 329 Nessa região o magma proveniente do interior da terra chegou ao fundo do mar por uma fenda solidificouse e foi arrastado longe da fenda pelo deslocamento das placas tectônicas à taxa de alguns centímetros por ano Ao se solidificar o magma ficou fracamente magnetizado com o campo magnético orientado na direção do campo magnético da Terra no momento da solidificação O estudo da magnetização do magma a diferentes distâncias da fenda mostrou que o campo magnético da Terra tem mudado de polaridade mais ou menos a cada milhão de anos com o polo norte magnético se transformando em polo sul e vice versa A causa dessas inversões não é conhecida Na verdade o próprio mecanismo responsável pelo campo magnético da Terra ainda não foi muito bem esclarecido Figura 329 Distribuição de rochas magnéticas no fundo do mar nas vizinhanças da Cordilheira Mesoatlântica O magma proveniente do interior da terra chegou ao fundo do mar por uma fenda solidificouse e foi arrastado para longe da fenda pelo movimento das placas tectônicas guardando um registro do passado magnético da Terra O campo magnético da Terra tem mudado de polaridade mais ou menos a cada milhão de anos 325 O MAGNETISMO E OS ELÉTRONS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3219 Saber que o momento angular de spin também chamado simplesmente de spin e o momento dipolar magnético de spin s são propriedades intrínsecas dos elétrons e também dos prótons e nêutrons 3220 Conhecer a relação entre o spin e o momento dipolar magnético de spin s 3221 Saber que e s não podem ser observados medidos apenas as componentes em relação a um eixo em geral chamado de eixo z podem ser observadas 3222 Saber que as componentes observadas Sz e μsz são quantizadas e explicar o que isso significa 3223 Conhecer a relação entre a componente Sz e o número quântico magnético de spin ms e saber quais são os valores permitidos de ms 3224 Saber o que significa dizer que o spin do elétron está para cima ou para baixo 3225 Determinar o valor da componente μsz do momento dipolar magnético de spin e conhecer sua relação com o magnéton de Bohr μB 3226 Determinar a energia orientacional U do momento dipolar magnético de spin s de um elétron na presença de um campo magnético externo 3227 Saber que um elétron de um átomo possui um momento angular orbital orb e um momento dipolar magnético orbital orb 3228 Conhecer a relação entre o momento angular orbital orb e o momento dipolar magnético orbital orb 3229 Saber que orb e orb não podem ser observados apenas as componentes em relação a um eixo em geral chamado de eixo z podem ser observadas 3230 Conhecer a relação entre a componente orbz e o número quântico magnético orbital mℓ e saber quais são os valores permitidos de mℓ 3231 Determinar o valor da componente orbz do momento dipolar magnético orbital e conhecer sua relação com o magnéton de Bohr μB 3232 Determinar a energia orientacional U do momento dipolar magnético orbital orb de um elétron de um átomo na presença de um campo magnético externo 3233 Calcular o módulo do momento magnético de uma partícula carregada que está se movendo em uma circunferência e de um anel com uma distribuição uniforme de carga que está girando com velocidade angular constante em torno de um eixo 3234 Explicar o modelo clássico de um elétron em órbita como uma espira percorrida por uma corrente e as forças a que essa espira é submetida na presença de um campo magnético não uniforme 3235 Saber a diferença entre diamagnetismo paramagnetismo e ferromagnetismo IdeiasChave Um elétron possui um momento angular intrínseco conhecido como momento angular de spin ou simplesmente spin ao qual está associado um momento magnético dipolar de spin s A componente Sz do spin em relação a um eixo z pode ter apenas os valores dados por em que h 663 1034 J s é a constante de Planck Analogamente em que μB é o magnéton de Bohr A energia U associada à orientação do momento dipolar magnético de spin na presença de um campo magnético externo ext é dada por Um elétron de um átomo possui um momento angular adicional chamado momento angular orbital orb ao qual está associado um momento dipolar magnético orbital orb O momento angular orbital é quantizado e pode ter apenas os valores dados por O momento dipolar magnético orbital associado é dado por A energia U associada à orientação do momento dipolar magnético orbital na presença de um campo magnético externo ext é dada por O Magnetismo e os Elétrons Os materiais magnéticos da magnetita aos ímãs de geladeira são magnéticos por causa dos elétrons que eles contêm Já vimos uma das formas pelas quais os elétrons podem gerar um campo magnético Quando os elétrons se deslocam em um fio na forma de uma corrente elétrica o movimento produz um campo magnético em torno do fio Os elétrons podem produzir campos magnéticos por dois outros mecanismos ambos relacionados a momentos dipolares magnéticos Para explicálos com detalhes porém seria preciso usar conceitos de física quântica que vão além dos objetivos a que este livro se propõe por isso apresentaremos apenas os resultados Momento Dipolar Magnético de Spin Um elétron possui um momento angular intrínseco conhecido como momento angular de spin ou simplesmente spin representado pelo símbolo Associado a esse spin existe um momento dipolar 1 2 magnético de spin representado pelo símbolo s O termo intrínseco é usado para indicar que e s são propriedades básicas de um elétron como a massa e a carga elétrica Os vetores e s estão relacionados pela equação em que e é a carga elementar 160 1019 C e m é a massa do elétron 911 1031 kg O sinal negativo significa que s e têm sentidos opostos O spin é diferente dos momentos angulares do Capítulo 11 sob dois aspectos O spin não pode ser medido apenas sua componente em relação a um eixo qualquer pode ser medida A componente medida de é quantizada um termo geral que significa que a grandeza pode assumir apenas certos valores A componente medida de pode assumir apenas dois valores que diferem apenas quanto ao sinal Vamos supor que seja medida a componente do spin em relação ao eixo z de um sistema de coordenadas Nesse caso a componente Sz pode assumir apenas os valores dados por em que ms é chamado de número quântico magnético de spin e h 663 1034 J s é a constante de Planck uma constante que aparece em muitas equações da física quântica Os sinais que aparecem na Eq 3223 estão relacionados ao sentido de Sz em relação ao eixo z Quando Sz é paralelo ao eixo z ms 12 e dizemos que o spin do elétron está para cima Quando Sz é antiparalelo ao eixo z ms 12 e dizemos que o spin do elétron está para baixo O momento dipolar magnético de spin s de um elétron também não pode ser medido é possível apenas medir uma componente que também é quantizada com dois valores possíveis de mesmo valor absoluto e sinais opostos Podemos relacionar a componente μsz a Sz tomando as componentes de ambos os membros da Eq 3222 Substituindo Sz pelo seu valor dado pela Eq 3223 temos em que os sinais positivo e negativo correspondem às situações em que μsz está paralelo e antiparalelo ao eixo z respectivamente O valor absoluto da grandeza do lado direito da Eq 3224 é chamado de magnéton de Bohr e representado pelo símbolo μB O momento dipolar magnético do elétron e de outras partículas elementares pode ser expresso em termos de μB No caso do elétron o valor absoluto da componente z de s é dado por De acordo com a teoria quântica o valor de μsz é ligeiramente maior que 1μB mas vamos ignorar esse fato Energia Quando um elétron é submetido a um campo externo ext uma energia U pode ser associada à orientação do momento dipolar magnético de spin s do elétron da mesma forma como uma energia pode ser associada à orientação do momento magnético dipolar de uma espira percorrida por corrente submetida a um campo ext De acordo com a Eq 2838 a energia orientacional do elétron é em que o eixo z é tomado como a direção de ext Imaginando o elétron como uma esfera microscópica o que não corresponde à realidade podemos representar o spin o momento dipolar magnético de spin s e o campo magnético associado ao momento dipolar magnético como na Fig 3210 Apesar do nome spin rodopio em inglês o elétron não gira como um pião Como um objeto pode possuir momento angular sem estar girando Mais uma vez apenas a mecânica quântica pode fornecer a resposta Os prótons e os nêutrons também possuem um momento angular intrínseco chamado spin e um momento dipolar magnético de spin associado No caso do próton os dois vetores têm o mesmo sentido no caso do nêutron eles têm sentidos opostos Não vamos discutir as contribuições do momento dipolar dos prótons e nêutrons para o campo magnético dos átomos porque são cerca de mil vezes menores que a contribuição do momento dipolar dos elétrons Figura 3210 O spin o momento dipolar magnético de spin s e o campo dipolar magnético de um elétron representado como uma esfera microscópica Teste 4 A figura mostra a orientação dos spins de duas partículas submetidas a um campo magnético externo ext a Se as partículas forem elétrons que orientação do spin corresponde à menor energia potencial b Se as partículas forem prótons que orientação do spin corresponde à menor energia potencial Momento Dipolar Magnético Orbital Quando faz parte de um átomo um elétron possui um momento angular adicional que recebe o nome de momento angular orbital e é representado pelo símbolo orb Associado a orb existe um momento magnético dipolar orbital orb a relação entre as duas grandezas é a seguinte O sinal negativo significa que orb e orb têm sentidos opostos O momento angular orb não pode ser medido é possível apenas medir uma componente que é quantizada A componente segundo um eixo arbitrário z pode ter apenas valores dados por em que mℓ é chamado de número quântico magnético orbital e limite é o valor inteiro máximo permitido para mℓ Os sinais da Eq 3229 têm a ver com o sentido de Lorbz em relação ao eixo z O momento dipolar magnético orbital orb de um elétron também não pode ser medido é possível apenas medir uma componente que é quantizada Escrevendo a Eq 3228 para uma componente segundo o mesmo eixo z que o momento angular e substituindo o valor de Lorbz dado pela Eq 3229 podemos escrever a componente z μorbz do momento dipolar magnético orbital como e em termos do magnéton de Bohr como Na presença de um campo magnético externo ext os elétrons de um átomo possuem uma energia U que depende da orientação do momento dipolar magnético orbital em relação ao campo O valor dessa energia é dado por em que o eixo z é tomado como a direção de ext Embora tenhamos usado a palavra orbital os elétrons não giram em órbita em torno do núcleo da mesma forma que os planetas giram em órbita em torno do Sol Como um elétron pode possuir momento angular orbital sem estar se movendo em órbita Mais uma vez apenas a mecânica quântica pode fornecer a resposta Modelo da Espira para Órbitas Eletrônicas Podemos obter a Eq 3228 usando a demonstração a seguir que não envolve a física quântica e se baseia na suposição de que o elétron descreve uma trajetória circular com um raio muito maior que o raio atômico daí o nome modelo da espira Curiosamente a demonstração embora conduza ao resultado correto não é válida para os elétrons no interior de um átomo caso em que seria indispensável usar as equações da física quântica Figura 3211 Um elétron que se move com velocidade constante v em uma trajetória circular de raio r que envolve uma área A possui um momento angular orbital orb e um momento dipolar magnético associado orb Uma corrente i no sentido horário associada ao movimento de uma carga positiva equivale a um movimento no sentido antihorário de um elétron que possui carga negativa Imagine um elétron que esteja se movendo com velocidade escalar constante v em uma trajetória circular de raio r no sentido antihorário como mostrado na Fig 3211 O movimento da carga negativa do elétron é equivalente a uma corrente convencional i de carga positiva no sentido horário como também mostrado na Fig 3211 O módulo do momento dipolar magnético orbital dessa espira percorrida por uma corrente é dado pela Eq 2835 com N 1 em que A é a área envolvida pela espira De acordo com a regra da mão direita da Fig 2921 o sentido do momento dipolar magnético é para baixo na Fig 3211 Para usar a Eq 3233 precisamos conhecer o valor da corrente i A corrente pode ser definida como a taxa com a qual a carga passa por um ponto de um circuito Como nesse caso uma carga de valor absoluto e leva um tempo T 2πrv para descrever uma circunferência completa temos Substituindo esse valor e a área A πr2 da espira na Eq 3233 obtemos Para calcular o momento angular orbital do elétron orb usamos a Eq 1118 Como e são perpendiculares o módulo de orb é dado por O sentido do vetor orb é para cima na Fig 3211 veja a Fig 1112 Combinando as Eqs 3235 e 3236 generalizando para uma formulação vetorial e usando um sinal negativo para indicar que os vetores têm sentidos opostos obtemos que é a Eq 3228 Assim por meio de uma análise clássica não quântica é possível obter um resultado igual tanto em módulo como em orientação ao da mecânica quântica O leitor talvez esteja se perguntando ao constatar que essa demonstração fornece o resultado correto para um elétron no interior do átomo Por que a demonstração não é válida para essa situação A resposta é que a mesma linha de raciocínio leva a outros resultados que não estão de acordo com os experimentos Modelo da Espira em um Campo Não Uniforme Vamos continuar a considerar um elétron em órbita como uma espira percorrida por uma corrente como na Fig 3211 Agora porém vamos supor que a espira está submetida a um campo magnético não uniforme ext como na Fig 3212a Esse campo pode ser por exemplo o campo divergente que existe nas proximidades do polo norte do ímã da Fig 324 Fazemos essa mudança para nos preparar para os próximos módulos nos quais discutiremos as forças que agem sobre materiais magnéticos quando são submetidos a um campo magnético não uniforme Vamos discutir as forças supondo que as órbitas dos elétrons nesses materiais sejam pequenas espiras percorridas por uma corrente como a espira da Fig 32 12a Vamos supor que todos os vetores de campo magnético ao longo da trajetória do elétron têm o mesmo módulo e fazem o mesmo ângulo com a vertical como nas Figs 3212b e 3212d Vamos supor também que os elétrons de um átomo podem se mover no sentido antihorário Fig 3212b ou no sentido horário Fig 3212d A corrente i e o momento dipolar magnético orbital orb estão representados na Fig 3212 para esses sentidos de movimento As Figs 3212c e 3212e mostram visões diametralmente opostas de um elemento de comprimento da espira com o mesmo sentido que i visto do plano da órbita Também são mostrados o campo ext e a força magnética que age sobre o elemento Lembrese de que uma corrente ao longo de um elemento na presença de um campo magnético ext experimenta uma força dada pela Eq 2828 Do lado esquerdo da Fig 3212c de acordo com a Eq 3237 a força aponta para cima e para a direita Do lado direito a força tem o mesmo módulo e aponta para cima e para a esquerda Como os ângulos com a vertical são iguais as componentes horizontais se cancelam e as componentes verticais se somam O mesmo se aplica a todos os outros pares de pontos simétricos da espira Assim a força total a que a espira da Fig 3212b está submetida aponta para cima O mesmo raciocínio leva a uma força dirigida para baixo no caso da espira da Fig 3212d Vamos usar os dois resultados daqui a pouco quando estudarmos o comportamento de materiais magnéticos na presença de um campo magnético não uniforme Figura 3212 a Modelo da espira para um elétron em órbita em um átomo e submetido a um campo magnético não uniforme ext b Se uma carga e está se movendo no sentido antihorário a corrente convencional i associada tem o sentido horário c As forças magnéticas exercidas sobre as extremidades da espira vistas do plano da espira A força total que age sobre a espira é para cima d A carga e agora está se movendo no sentido horário e A força total que age sobre a espira agora é para baixo Propriedades Magnéticas dos Materiais Cada elétron de um átomo possui um momento dipolar magnético orbital e um momento dipolar magnético de spin que se combinam vetorialmente A resultante dessas duas grandezas vetoriais se combina vetorialmente com as resultantes dos outros elétrons do átomo e a resultante de cada átomo se combina vetorialmente com as resultantes dos outros átomos em uma amostra de um material As propriedades magnéticas dos materiais são o resultado da combinação de todos esses momentos 1 2 3 dipolares Essas propriedades podem ser classificadas em três tipos básicos diamagnetismo paramagnetismo e ferromagnetismo O diamagnetismo existe em todos os materiais mas é tão fraco que em geral não pode ser observado se o material possuir uma das outras duas propriedades No diamagnetismo momentos dipolares magnéticos são produzidos nos átomos do material apenas quando este é submetido a um campo magnético externo ext a combinação desses momentos dipolares induzidos resulta em um campo magnético de baixa intensidade no sentido contrário ao do campo externo que desaparece quando ext é removido O termo material diamagnético é aplicado a materiais que apresentam apenas propriedades diamagnéticas O paramagnetismo é observado em materiais que contêm elementos da família dos metais de transição da família das terras raras ou da família dos actinídeos veja o Apêndice G Os átomos desses elementos possuem momentos dipolares magnéticos totais diferentes de zero mas como esses momentos estão orientados aleatoriamente o campo magnético resultante é zero Entretanto um campo magnético externo ext pode alinhar parcialmente os momentos dipolares magnéticos atômicos fazendo com que o material apresente um campo magnético resultante no mesmo sentido que o campo externo que desaparece quando ext é removido O termo material paramagnético é aplicado a materiais que apresentam apenas propriedades diamagnéticas e paramagnéticas O ferromagnetismo é observado apenas no ferro níquel cobalto gadolínio e disprósio e em compostos e ligas desses elementos Nesses materiais os momentos dipolares magnéticos de átomos vizinhos se alinham produzindo regiões com intensos momentos magnéticos Um campo magnético externo ext pode alinhar os momentos magnéticos das regiões fazendo com que uma amostra do material produza um forte campo magnético no mesmo sentido que o campo externo que permanece quando ext é removido Os termos material ferromagnético e material magnético são aplicados a materiais que apresentam propriedades ferromagnéticas Nos próximos três módulos vamos discutir os três tipos de propriedades magnéticas 326 DIAMAGNETISMO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3236 No caso de um material diamagnético submetido a um campo magnético externo saber que o campo produz um momento dipolar magnético no material no sentido contrário ao do campo magnético externo 3237 No caso de um material diamagnético submetido a um campo magnético não uniforme descrever a força que age sobre o material e o movimento resultante IdeiasChave Os materiais diamagnéticos apresentam propriedades magnéticas apenas quando são submetidos a um campo magnético externo nesse caso adquirem dipolos magnéticos no sentido oposto ao do campo magnético externo Na presença de um campo magnético não uniforme os materiais diamagnéticos são submetidos a uma força que os afasta da região em que o campo magnético é mais intenso Diamagnetismo Não estamos em condições de discutir o diamagnetismo do ponto de vista da física quântica mas podemos apresentar uma explicação clássica usando o modelo da espira das Figs 3211 e 3212 Para começar supomos que em um átomo de um material diamagnético cada elétron pode girar apenas no sentido horário como na Fig 3212d ou no sentido antihorário como na Fig 3212b Para explicar a falta de magnetismo na ausência de um campo magnético externo ext supomos que o átomo não possui um momento dipolar magnético total diferente de zero Isso significa que antes da aplicação de ext o número de elétrons que giram em um sentido é igual ao número de elétrons que giram no sentido oposto de modo que o momento dipolar magnético total do átomo é zero Vamos agora aplicar aos átomos do material o campo magnético não uniforme ext da Fig 3212a que está orientado para cima e é divergente as linhas de campo magnético divergem Podemos fazer um campo desse tipo aumentar gradualmente aproximando o material do polo norte de um eletroímã ou de um ímã permanente De acordo com a lei de Faraday e a lei de Lenz enquanto o módulo de ext está aumentando um campo elétrico é induzido nas órbitas eletrônicas Vamos ver de que forma esse campo elétrico afeta os elétrons das Figs 3212b e 3212d Na Fig 3212b o elétron que está girando no sentido antihorário é acelerado pelo campo elétrico induzido assim enquanto o campo magnético ext está aumentando a velocidade do elétron aumenta Isso significa que a corrente i associada à espira e o momento dipolar magnético criado pela corrente orientado para baixo também aumentam Na Fig 3212d o elétron que está girando no sentido horário é freado pelo campo elétrico induzido Assim a velocidade do elétron a corrente e o momento dipolar magnético criado pela corrente orientado para cima diminuem Isso significa que ao aplicar o campo ext criamos um momento dipolar magnético orientado para baixo O mesmo aconteceria se o campo magnético fosse uniforme Força A não uniformidade do campo ext também afeta o átomo Como a corrente i da Fig 3212b aumenta com o tempo as forças magnéticas da Fig 3212c aumentam e portanto a força para cima a que a espira está submetida também aumenta Como a corrente i da Fig 3212d diminui com o tempo as forças magnéticas da Fig 3212e diminuem e portanto a força para baixo a que a espira está submetida também diminui Assim aplicando um campo não uniforme ext fazemos com que o átomo seja submetido a uma força total diferente de zero além disso a força aponta para longe da região em que o campo magnético é mais intenso Raciocinamos com órbitas eletrônicas fictícias espiras percorridas por corrente mas chegamos a uma conclusão que é válida para todos os materiais diamagnéticos Quando um campo magnético como o da Fig 3212 é aplicado o material passa a apresentar um momento dipolar magnético dirigido para baixo e experimenta uma força dirigida para cima Quando o campo é removido tanto o momento dipolar como a força desaparecem O campo externo não precisa ser como o da Fig 3212 os mesmos argumentos se aplicam a outras orientações de ext A conclusão é a seguinte Todo material diamagnético submetido a um campo magnético externo ext apresenta um momento dipolar magnético orientado no sentido oposto ao de ext Caso o campo ext não seja uniforme o material diamagnético é submetido a uma força que aponta da região em que o campo magnético é mais intenso para a região onde o campo magnético é menos intenso Cortesia de A K Geim University of Manchester Inglaterra Figura 3213 Vista de topo de uma rã sendo levitada pelo campo magnético produzido por um solenoide vertical colocado abaixo do animal A rã da Fig 3213 é diamagnética como todos os animais Quando a rã foi colocada em um campo magnético divergente perto da extremidade superior de um solenoide vertical percorrido por corrente todos os átomos da rã foram submetidos a uma força que apontava para cima ou seja para longe da região de forte campo magnético existente nas vizinhanças do solenoide Com isso a rã foi deslocada para uma região de campo magnético mais fraco nessa região a força magnética era apenas suficiente para equilibrar o peso da rã e ela ficou suspensa no ar A rã não sentiu nenhum incômodo já que todos os átomos do seu corpo foram submetidos praticamente à mesma força a sensação foi a mesma de flutuar na água algo que as rãs apreciam muito Se os pesquisadores responsáveis pelo experimento que resultou na foto da Fig 3213 se dispusessem a investir em um solenoide de grandes proporções poderiam repetir a demonstração com seres humanos mantendo uma pessoa suspensa no ar pela força magnética Teste 5 A figura mostra duas esferas diamagnéticas colocadas nas proximidades do polo sul de um ímã em forma de barra a As forças magnéticas a que as esferas estão submetidas tendem a aproximálas ou afastálas do ímã b Os momentos dipolares magnéticos das esferas apontam na direção do ímã ou na direção oposta c A esfera 1 está submetida a uma força magnética maior menor ou igual à força a que está submetida a esfera 2 327 PARAMAGNETISMO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3238 No caso de um material paramagnético submetido a um campo magnético externo conhecer a orientação do momento dipolar magnético do material em relação à orientação do campo magnético 3239 No caso de um material paramagnético submetido a um campo magnético não uniforme descrever a força que age sobre o material e o movimento resultante 3240 Conhecer a relação entre a magnetização M o momento magnético efetivo μef e o volume V de um material paramagnético 3241 Usar a lei de Curie para relacionar a magnetização M de um material paramagnético à temperatura T à constante de Curie C e ao módulo B do campo aplicado 3242 Interpretar a curva de magnetização de um material paramagnético em termos da agitação térmica 3243 No caso de um material paramagnético a uma dada temperatura e para um dado valor do campo magnético aplicado comparar a energia associada às orientações do momento dipolar magnético com a energia térmica IdeiasChave Nos materiais paramagnéticos os átomos possuem momentos dipolares magnéticos mas esses momentos estão orientados aleatoriamente e o momento total é zero a menos que o material seja submetido a um campo magnético externo caso em que os momentos dipolares tendem a se alinhar com o campo O grau de alinhamento dos momentos dipolares por unidade de volume é medido pela magnetização M dada por em que μef é o momento dipolar efetivo do material que depende da temperatura e V é o volume do material Ao alinhamento perfeito dos momentos dipolares atômicos conhecido como saturação corresponde o valor máximo da magnetização Mmáx NμV em que N é o número de átomos do material Para pequenos valores da razão BextT em que T é a temperatura em kelvins e C é a constante de Curie do material Na presença de um campo magnético não uniforme os materiais paramagnéticos são submetidos a uma força que os aproxima da região em que o campo magnético é mais intenso Paramagnetismo Nos materiais paramagnéticos os momentos dipolares magnéticos orbitais e de spin dos elétrons de cada átomo não se cancelam e portanto cada átomo possui um momento dipolar magnético permanente Na ausência de um campo magnético externo esses momentos dipolares atômicos estão orientados aleatoriamente e o momento dipolar magnético total do material é zero Quando uma amostra do material é submetida a um campo magnético externo ext os momentos dipolares magnéticos se alinham parcialmente com o campo e a amostra adquire um momento magnético dipolar diferente de zero Ao contrário do que acontece nos materiais dielétricos esse momento tem o mesmo sentido que o campo magnético externo Todo material paramagnético submetido a um campo magnético externo ext apresenta um momento dipolar magnético orientado no mesmo sentido que ext Se o campo ext é não uniforme o material paramagnético é atraído da região onde o campo magnético é menos intenso para a região em que o campo magnético é mais intenso Uma amostra paramagnética com N átomos teria um momento dipolar magnético de módulo Nμ se os momentos magnéticos dos átomos estivessem perfeitamente alinhados Entretanto a agitação térmica produz colisões entre átomos que perturbam esse alinhamento e reduzem o momento magnético total da amostra Richard MegnaFundamental Photographs O oxigênio líquido fica suspenso entre os polos de um ímã porque o líquido é paramagnético e portanto é atraído pelo ímã Agitação Térmica A importância da agitação térmica pode ser avaliada comparando duas energias A primeira dada pela Eq 1924 é a energia cinética média de translação K 3kT2 em que k é a constante de Boltzmann 138 1023 JK e T é a temperatura em kelvins e não em graus Celsius A outra uma consequência da Eq 2838 é a diferença de energia ΔUB 2μBext entre os alinhamentos paralelo e antiparalelo do momento dipolar magnético de um átomo com o campo externo O estado de menor energia é μBext e o estado de maior energia é μBext Como vamos mostrar em seguida K ΔUB para temperaturas e campos magnéticos normais Desse modo transferências de energia por colisões entre átomos podem perturbar significativamente o alinhamento dos momentos dipolares atômicos tornando muito menor o momento dipolar magnético de um material que Nμ Magnetização Podemos expressar o grau de magnetização de uma amostra paramagnética calculando a razão entre o momento dipolar magnético e o volume V da amostra Essa grandeza vetorial o momento dipolar magnético por unidade de volume é chamada de magnetização e representada pelo símbolo O módulo da magnetização é dado por em que μef é o momento dipolar efetivo do material que depende da temperatura A unidade de é o ampèremetro quadrado por metro cúbico ou ampère por metro Am Ao alinhamento perfeito dos momentos dipolares atômicos conhecido como saturação corresponde o valor máximo da magnetização Mmáx NμV em que N é o número de átomos do material Figura 3214 A curva de magnetização do sulfato de potássio e cromo um sal paramagnético A razão entre a magnetização M do sal e a magnetização máxima possível Mmáx está plotada em função da razão entre o módulo do campo aplicado Bext e a temperatura T A lei de Curie reproduz satisfatoriamente os resultados experimentais para pequenos valores de BextT a teoria quântica reproduz satisfatoriamente os resultados experimentais para qualquer valor de BextT Baseada em medidas realizadas por W E Henry Em 1895 Pierre Curie descobriu experimentalmente que a magnetização de uma amostra paramagnética é diretamente proporcional ao módulo do campo magnético externo ext e inversamente proporcional à temperatura T em kelvins A Eq 3239 é conhecida como lei de Curie e a constante C é chamada de constante de Curie A lei de Curie é razoável já que o aumento de Bext faz aumentar o alinhamento dos momentos dipolares atômicos da amostra e portanto aumenta o valor de M enquanto o aumento de T faz diminuir o alinhamento por causa da agitação térmica e portanto diminui o valor de M Entretanto a lei é uma aproximação que vale somente para pequenos valores da razão BextT A Fig 3214 mostra a razão MMmáx em função de BextT para uma amostra do sal sulfato de cromo e potássio no qual os átomos paramagnéticos são íons de cromo Esse tipo de gráfico é chamado de curva de magnetização A linha reta do lado esquerdo que representa a lei de Curie reproduz satisfatoriamente os resultados experimentais para BextT 05 TK A curva que reproduz os resultados experimentais para todos os valores de BextT se baseia na física quântica Os pontos do lado direito da curva perto da saturação são muito difíceis de obter porque exigem campos magnéticos extremamente intensos 100000 vezes maiores que o campo magnético da Terra mesmo em baixas temperaturas Teste 6 A figura mostra duas esferas paramagnéticas colocadas nas proximidades do polo sul de um ímã em forma de barra a As forças magnéticas a que as esferas estão submetidas tendem a aproximálas ou afastálas do ímã b Os momentos dipolares magnéticos das esferas apontam na direção do ímã ou na direção oposta c A esfera 1 está submetida a uma força magnética maior menor ou igual à força a que está submetida a esfera 2 Exemplo 3203 Energia orientacional de um gás paramagnético submetido a um campo magnético Um gás paramagnético à temperatura ambiente T 300 K é submetido a um campo magnético externo de módulo B 15 T os átomos do gás possuem um momento dipolar magnético μ 10μB Calcule a energia cinética média de translação K de um átomo do gás e a diferença de energia ΔUB entre o alinhamento paralelo e o alinhamento antiparalelo dos momentos dipolares magnéticos dos átomos com o campo externo IDEIASCHAVE 1 A energia cinética média de translação K de um átomo de um gás depende da temperatura do gás 2 A energia UB de um dipolo magnético na presença de um campo magnético depende do ângulo θ entre as orientações de e de Cálculos De acordo com a Eq 1924 temos De acordo com a Eq 2838 UB a diferença UB entre o alinhamento paralelo θ 0o e o alinhamento antiparalelo θ 180o é dada por Nesse caso portanto K é cerca de 230 vezes maior que ΔUB e a troca de energia por colisões entre os átomos pode facilmente mudar a orientação de momentos dipolares magnéticos que tenham sido alinhados pelo campo magnético externo Assim o momento dipolar magnético efetivo do gás paramagnético é relativamente pequeno e se deve apenas a alinhamentos momentâneos dos momentos dipolares atômicos 328 FERROMAGNETISMO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3244 Saber que o ferromagnetismo se deve a um efeito quântico conhecido como interação de câmbio 3245 Explicar por que o ferromagnetismo desaparece quando a temperatura ultrapassa a temperatura de Curie do material 3246 Conhecer a relação entre a magnetização de um material ferromagnético e o momento dipolar magnético dos átomos do material 3247 No caso de um material ferromagnético a uma dada temperatura e submetido a um dado campo magnético comparar a energia associada à orientação dos momentos dipolares magnéticos com a energia térmica 3248 Descrever e desenhar um anel de Rowland 3249 Saber o que são domínios magnéticos 3250 No caso de um material ferromagnético submetido a um campo magnético externo conhecer a orientação do momento dipolar magnético do material em relação à orientação do campo magnético 3251 Saber quanto é o efeito de um campo magnético não uniforme sobre um material ferromagnético 3252 No caso de um material ferromagnético submetido a um campo magnético uniforme calcular o torque e a energia orientacional 3253 Explicar o que é histerese e o que é um laço de histerese 3254 Explicar a origem dos ímãs naturais IdeiasChave Os momentos dipolares magnéticos de um material ferromagnético estão alinhados localmente em regiões chamadas domínios A existência de uma magnetização total diferente de zero é uma consequência do fato de que a distribuição de orientações dos domínios não é aleatória mas depende do campo magnético a que o material foi submetido O alinhamento dos momentos dipolares magnéticos desaparece quando a temperatura do material excede uma temperatura crítica conhecida como temperatura de Curie Na presença de um campo magnético não uniforme os materiais ferromagnéticos são submetidos a uma força que os aproxima da região em que o campo magnético é mais intenso Ferromagnetismo Quando falamos de magnetismo no dia a dia quase sempre o que temos em mente é um ímã em forma de barra em forma de ferradura ou em forma de placa provavelmente preso a uma porta de geladeira Em outras palavras estamos pensando em um material ferromagnético com um magnetismo intenso e permanente e não em um material diamagnético ou paramagnético com um magnetismo fraco e temporário As propriedades ferromagnéticas do ferro do níquel do cobalto do gadolínio do disprósio e de muitas ligas que contêm esses elementos são consequência de um efeito quântico conhecido como acoplamento de câmbio que faz os spins dos elétrons de um átomo interagirem fortemente com os spins dos elétrons dos átomos vizinhos O resultado é que os momentos dipolares magnéticos dos átomos se mantêm alinhados apesar da agitação térmica É esse alinhamento persistente que proporciona aos materiais ferromagnéticos um magnetismo permanente Agitação Térmica Quando a temperatura de um material ferromagnético ultrapassa um valor crítico conhecido como temperatura de Curie a agitação térmica prevalece sobre o acoplamento de câmbio e o material se torna paramagnético ou seja os dipolos passam a se alinhar apenas na presença de um campo externo mesmo assim apenas parcialmente A temperatura de Curie do ferro é 1043 K 770oC Medida A magnetização de um material ferromagnético pode ser estudada usando um dispositivo conhecido como anel de Rowland Fig 3215 O material é moldado na forma de um núcleo toroidal de seção reta circular Um enrolamento primário P com N espiras é enrolado no núcleo e por ele se faz passar uma corrente iP Se o núcleo de ferro não estivesse presente o módulo do campo magnético no interior do enrolamento primário de acordo com a Eq 2925 seria dado por em que r é o raio do anel Figura 3215 Um anel de Rowland A bobina primária P tem um núcleo feito do material ferromagnético a ser estudado ferro no caso O núcleo é magnetizado por uma corrente iP aplicada pela bobina P As espiras da bobina estão representadas por pontos A magnetização do núcleo determina a intensidade do campo magnético total no interior da bobina P O campo pode ser medido usando uma bobina secundária S Com um núcleo de ferro presente o campo magnético no interior do enrolamento primário é muito maior que 0 Podemos escrever o módulo do campo como em que BM é o módulo da contribuição do núcleo de ferro para o campo magnético Essa contribuição é consequência do alinhamento dos momentos dipolares atômicos dos átomos de ferro e é proporcional à magnetização M do ferro Para determinar o valor de BM usamos um enrolamento secundário S para medir B usamos a Eq 3240 para calcular B0 e usamos a Eq 3241 para calcular BM A Fig 3216 mostra a curva de magnetização de um material ferromagnético obtida usando um anel de Rowland A razão BMBMmáx em que BMmáx é o valor máximo possível de BM correspondente à saturação e foi plotada em função de B0 A curva é semelhante à da Fig 3214 a curva de magnetização de um material paramagnético As duas curvas mostram o alinhamento parcial dos momentos dipolares atômicos do material produzido por um campo magnético aplicado Figura 3216 Curva de magnetização do núcleo de material ferromagnético de um anel de Rowland como o da Fig 3215 No eixo vertical 10 corresponde ao alinhamento total saturação dos dipolos atômicos do material No caso do núcleo ferromagnético responsável pelos resultados da Fig 3216 o alinhamento dos dipolos magnéticos é cerca de 70 do valor máximo para B0 1 103 T Se B0 fosse aumentado para 1 T o alinhamento seria quase total mas um campo B0 tão alto como 1 T é difícil de conseguir em um toroide Domínios Magnéticos Nos materiais ferromagnéticos que estão a uma temperatura menor que a temperatura de Curie o acoplamento de câmbio produz um alinhamento dos dipolos atômicos vizinhos Por que então o material não apresenta a magnetização de saturação mesmo na ausência de um campo magnético aplicado B0 Em outras palavras por que os objetos de ferro como um prego por exemplo nem sempre se comportam como ímãs permanentes Para compreender a razão considere uma amostra de um material ferromagnético como o ferro O material no estado normal apresenta vários domínios magnéticos regiões em que o alinhamento dos dipolos atômicos é praticamente perfeito Acontece que os domínios não estão todos alinhados Na verdade a orientação dos domínios pode ser tal que quase todos os momentos magnéticos se cancelam A micrografia da Fig 3217 que mostra a distribuição dos domínios magnéticos em um cristal de níquel foi obtida espalhando uma suspensão coloidal de partículas de óxido de ferro na superfície do material As paredes dos domínios ou seja as regiões em que o alinhamento dos dipolos atômicos muda de direção são locais em que os campos magnéticos sofrem variações bruscas As partículas coloidais em suspensão são atraídas para essas regiões e aparecem como linhas brancas na fotografia nem todas as paredes dos domínios são visíveis na Fig 3217 Embora os dipolos atômicos em cada domínio estejam totalmente alinhados na direção indicada pelas setas a amostra como um todo pode ter um momento magnético resultante relativamente pequeno Cortesia de Ralph W DeBlois Figura 3217 Micrografia da distribuição de domínios magnéticos em um monocristal de níquel as linhas brancas mostram as paredes dos domínios As setas brancas traçadas na fotografia mostram a orientação dos dipolos magnéticos dentro de cada domínio e portanto a orientação do dipolo magnético total de cada domínio O cristal como um todo não apresenta magnetização espontânea se o dipolo magnético total da amostra soma vetorial dos dipolos magnéticos de todos os domínios for igual a zero Quando magnetizamos uma amostra de um material ferromagnético submetendoa a um campo magnético externo que é aumentado gradualmente acontecem dois efeitos que juntos produzem uma curva de magnetização como a da Fig 3216 O primeiro é o aumento do tamanho dos domínios que estão orientados paralelamente ao campo externo aplicado enquanto os domínios com outras orientações diminuem de tamanho O segundo efeito é uma mudança da orientação dos dipolos dentro de um domínio no sentido de se aproximarem da direção do campo O acoplamento de câmbio e o movimento dos domínios levam ao seguinte resultado Um material ferromagnético submetido a um campo magnético externo ext adquire um grande momento dipolar magnético na direção de ext Se o campo é não uniforme o material ferromagnético é atraído da região onde o campo magnético é menos intenso para a região onde o campo magnético é mais intenso Histerese As curvas de magnetização dos materiais ferromagnéticos não se repetem quando aumentamos e depois diminuímos o campo magnético externo B0 A Fig 3218 mostra um gráfico de BM em função de B0 durante as seguintes operações com um anel de Rowland 1 Partindo de uma amostra desmagnetizada de ferro ponto a aumentamos a corrente no enrolamento do toroide até que B0 μ0in tenha o valor correspondente ao ponto b 2 reduzimos a zero a corrente no toroide e portanto o campo B0 chegando assim ao ponto c 3 aumentamos a corrente do toroide no sentido oposto até que B0 tenha o valor correspondente ao ponto d 4 reduzimos novamente a corrente a zero ponto e 5 invertemos mais uma vez o sentido da corrente e aumentamos seu valor até ser atingido o ponto b A falta de repetitividade mostrada na Fig 3218 recebe o nome de histerese e a curva bcdeb é chamada de laço de histerese Observe que nos pontos c e e a amostra de ferro está magnetizada embora não haja corrente no enrolamento do toroide esse é um exemplo de magnetismo permanente Figura 3218 Curva de magnetização ab de um material ferromagnético e o laço de histerese associado bcdeb A histerese pode ser compreendida a partir do conceito de domínios magnéticos Os resultados experimentais mostram que o movimento das paredes dos domínios e a reorientação da direção dos domínios não são fenômenos totalmente reversíveis Quando o campo magnético B0 é aumentado e depois reduzido novamente ao valor inicial os domínios não voltam à configuração original mas guardam certa memória do alinhamento que possuíam após o aumento inicial A memória dos materiais magnéticos é essencial para o armazenamento de informações em meios magnéticos A memória do alinhamento dos domínios também ocorre naturalmente Correntes elétricas produzidas por relâmpagos dão origem a campos magnéticos intensos que podem magnetizar rochas ferromagnéticas situadas nas proximidades Graças à histerese as rochas conservam a magnetização por muito tempo Essas rochas expostas e fragmentadas pela erosão produziram as pedras magnéticas que tanto encantaram os gregos e os chineses antigos Exemplo 3204 Momento dipolar magnético de uma agulha de bússola Uma agulha de bússola feita de ferro puro cuja massa específica é 7900 kgm3 tem 30 cm de comprimento 10 mm de largura e 050 mm de espessura O módulo do momento dipolar magnético de um átomo de ferro é μFe 21 1023 JT Se a magnetização da agulha equivale ao alinhamento de 10 dos átomos qual é o módulo do momento dipolar magnético da agulha IDEIASCHAVE 1 Se os momentos dos N átomos da agulha estivessem alinhados o módulo do momento dipolar magnético da agulha seria NμFe Como apenas 10 dos momentos atômicos estão alinhados e os momentos restantes estão orientados aleatoriamente e não contribuem para o momento magnético total temos 2 Podemos determinar o número N de átomos a partir da massa m da agulha e da massa atômica mFe do ferro Cálculo de N A massa atômica do ferro pode ser calculada a partir da massa molar M que é dada no Apêndice F e do número de Avogadro NA Temos Substituindo a massa atômica pelo seu valor dado pela Eq 3244 na Eq 3243 obtemos A massa m da agulha é igual ao produto da massa específica ρ pelo volume V Como o volume é 003 m 0001 m 00005 m 15 108 m3 temos m ρV 7900 kgm315 108 m3 1185 104 kg Substituindo esse valor de m na Eq 3245 e usando os valores conhecidos M 55847 gmol 0055 847 kgmol e NA 602 1023 obtemos Cálculo de μ Substituindo esse valor de N e o valor de μFe na Eq 3242 obtemos Revisão e Resumo Lei de Gauss para Campos Magnéticos A estrutura magnética mais simples é o dipolo magnético monopolos magnéticos até onde sabemos não existem De acordo com a lei de Gauss para campos magnéticos o fluxo magnético através de qualquer superfície gaussiana é zero Isso equivale a afirmar que não existem monopolos magnéticos Extensão de Maxwell da Lei de Ampère Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético A lei de Maxwell relaciona o campo magnético induzido em uma espira à variação do fluxo elétrico ΦE através da espira A lei de Ampère μ0ienv Eq 324 pode ser usada para calcular o campo magnético produzido por uma corrente ienv envolvida por uma curva fechada A lei de Maxwell e a lei de Ampère podem ser combinadas em uma única equação Corrente de Deslocamento A corrente de deslocamento fictícia produzida por um campo elétrico variável é definida pela equação Usando essa definição a Eq 325 pode ser escrita na forma em que idenv é a corrente de deslocamento envolvida pela amperiana A ideia da corrente de deslocamento permite aplicar aos capacitores o princípio de continuidade da corrente elétrica Entretanto a corrente de deslocamento não envolve o movimento de cargas Equações de Maxwell As equações de Maxwell mostradas na Tabela 321 representam uma versão condensada das leis do eletromagnetismo e constituem a base dessa disciplina Campo Magnético da Terra O campo magnético da Terra pode ser representado aproximadamente por um dipolo magnético cujo momento dipolar faz um ângulo de 115o com o eixo de rotação da Terra e cujo polo sul fica no Hemisfério Norte A orientação do campo magnético local em qualquer ponto da superfície da Terra é dada pela declinação do campo ângulo à esquerda ou à direita do polo geográfico e pela inclinação do campo ângulo para cima ou para baixo em relação à horizontal Momento Dipolar Magnético de Spin O elétron possui um momento angular intrínseco denominado momento angular de spin ou simplesmente spin representado pelo símbolo ao qual está associado um momento dipolar magnético de spin s Entre as duas grandezas existe a seguinte relação O spin não pode ser medido é possível medir apenas uma de suas componentes Supondo que a componente medida seja a componente z essa componente pode assumir apenas os valores dados por em que h 663 1034 Js é a constante de Planck Analogamente apenas uma das componentes do momento dipolar magnético de spin s pode ser medida A componente z é dada por em que μB é o magnéton de Bohr definido da seguinte forma A energia U associada à orientação do momento dipolar magnético de spin na presença de um campo externo ext é dada por Momento Dipolar Magnético Orbital Quando faz parte de um átomo um elétron possui outro tipo de momento angular conhecido como momento angular orbital orb ao qual está associado um momento dipolar magnético orbital orb Entre as duas grandezas existe a seguinte relação O momento angular orbital é quantizado e pode assumir apenas os valores dados por Assim o módulo do momento angular orbital é A energia U associada à orientação do momento dipolar magnético orbital na presença de um campo externo ext é dada por Diamagnetismo Os materiais diamagnéticos não possuem um momento dipolar magnético a não ser quando são submetidos a um campo magnético externo ext caso em que eles adquirem um momento dipolar magnético no sentido oposto ao de ext Se ext é não uniforme um material diamagnético é repelido das regiões onde o campo é mais intenso Esta propriedade recebe o nome de diamagnetismo Paramagnetismo Em um material paramagnético cada átomo possui um momento dipolar magnético permanente mas os momentos estão orientados aleatoriamente e o material como um todo não possui um momento magnético Entretanto um campo magnético externo ext pode alinhar parcialmente os momentos dipolares atômicos o que faz o material adquirir um momento magnético na direção de ext Se ext é não uniforme um material paramagnético é atraído para as regiões onde o campo é mais intenso Essa propriedade recebe o nome de paramagnetismo O alinhamento dos momentos dipolares atômicos de um material paramagnético é diretamente proporcional ao módulo de ext e inversamente proporcional à temperatura T O grau de magnetização de uma amostra de volume V é dado pela magnetização cujo módulo é dado por em que μef é o momento dipolar efetivo do material que depende da temperatura Ao alinhamento perfeito dos N momentos dipolares atômicos conhecido como saturação da amostra corresponde o valor máximo da magnetização Mmáx NμV Para pequenos valores da razão BextT pode ser usada a aproximação em que a constante C é conhecida como constante de Curie Ferromagnetismo Na ausência de um campo magnético externo os momentos dipolares magnéticos dos átomos de um material ferromagnético são alinhados por uma interação de origem quântica denominada interação de câmbio o que dá origem a regiões domínios no interior do material que apresentam um momento dipolar magnético diferente de zero Um campo magnético externo ext pode alinhar esses domínios produzindo um momento dipolar magnético elevado no material como um todo orientado na direção de ext Esse momento dipolar magnético pode persistir parcialmente quando ext é removido Se ext é não uniforme um material ferromagnético é atraído para as regiões onde o campo é mais intenso Essas propriedades recebem o nome de ferromagnetismo Um material ferromagnético se torna paramagnético quando a temperatura ultrapassa a temperatura de Curie Perguntas 1 A Fig 3219a mostra um capacitor de placas circulares que está sendo carregado O ponto a perto de um dos fios de ligação do capacitor e o ponto b no espaço entre as placas estão à mesma distância do eixo central o mesmo acontece com pontos c um pouco mais afastado do fio da esquerda que o ponto a e d na mesma posição horizontal que o ponto b mas fora do espaço entre as placas Na Fig 3219b uma curva mostra a variação com a distância r do módulo do campo magnético do lado de dentro e do lado de fora do fio da esquerda a outra mostra a variação com a distância r do módulo do campo magnético dentro e fora do espaço entre as placas As duas curvas se superpõem parcialmente Determine a correspondência entre os três pontos assinalados na Fig 3219b e os quatro pontos da Fig 3219a Figura 3219 Pergunta 1 2 A Fig 3220 mostra um capacitor de placas paralelas e a corrente nos fios de ligação do capacitor enquanto está sendo descarregado a O campo elétrico aponta para a esquerda ou para a direita b O sentido da corrente de deslocamento id é para a esquerda ou para a direita c O campo magnético no ponto P aponta para dentro ou para fora do papel Figura 3220 Pergunta 2 3 A Fig 3221 mostra em duas situações o vetor campo elétrico e uma linha de campo magnético induzido Determine nos dois casos se o módulo de está aumentando ou diminuindo Figura 3221 Pergunta 3 4 A Fig 3222a mostra duas orientações possíveis para o spin de um elétron em relação a um campo magnético externo ext A Fig 3222b mostra três possibilidades para o gráfico da energia associada às duas orientações em função do módulo de ext As possibilidades b e c envolvem retas que se interceptam e a possibilidade a envolve retas paralelas Qual das três é a correta Figura 3222 Pergunta 4 5 Um elétron é submetido a um campo magnético externo ext com a componente Sz do spin do elétron antiparalela a ext Se o elétron sofre uma inversão de spin que torna a componente Sz paralela a ext o elétron ganha ou perde energia 6 O módulo da força que age sobre a espira das Figs 3212a e 3212b aumenta diminui ou permanece constante a quando o módulo de ext aumenta e b quando a divergência de ext aumenta 7 A Fig 3223 mostra a vista frontal de uma das duas placas quadradas de um capacitor de placas paralelas e quatro curvas fechadas situadas no espaço entre as placas O capacitor está sendo descarregado a Desprezando o efeito de borda coloque as curvas na ordem decrescente do valor absoluto de ao longo das curvas b Ao longo de que curvas o ângulo entre as direções de e é constante o que facilita o cálculo do produto escalar dos dois vetores c Ao longo de que curvas o valor de B é constante o que permite colocar B do lado de fora do sinal de integral da Eq 32 3 Figura 3223 Pergunta 7 8 A Fig 3224 mostra três elétrons girando em órbita no sentido antihorário na presença de um campo magnético O campo é não uniforme nas configurações 1 e 2 e uniforme na configuração 3 Para cada configuração responda às seguintes perguntas a O momento dipolar magnético orbital do elétron aponta para cima para baixo ou é nulo b A força magnética que age sobre o elétron aponta para cima para baixo ou é nula Figura 3224 Perguntas 8 9 e 10 9 Substitua as órbitas da Pergunta 8 e da Fig 3224 por esferas diamagnéticas Para cada configuração do campo magnético responda às seguintes perguntas a O momento dipolar magnético da esfera aponta para cima para baixo ou é nulo b A força magnética que age sobre o elétron aponta para cima para baixo ou é nula 10 Substitua as órbitas da Pergunta 8 e da Fig 3224 por esferas paramagnéticas Para cada configuração do campo magnético responda às seguintes perguntas a O momento dipolar magnético da esfera aponta para cima para baixo ou é nulo b A força magnética que age sobre o elétron aponta para cima para baixo ou é nula 11 A Fig 3225 mostra três placas retangulares de um material ferromagnético no qual os dipolos magnéticos dos domínios foram orientados para fora da página ponto preto por um campo magnético muito intenso B0 Nas três amostras pequenos domínios residuais conservaram o sentido para dentro da página cruz A placa 1 é um cristal puro as outras placas contêm impurezas concentradas em linhas as paredes dos domínios não podem cruzar facilmente essas linhas O campo B0 é removido e um outro campo muito mais fraco é aplicado no sentido oposto A mudança faz com que os domínios residuais aumentem de tamanho a Coloque as amostras na ordem do tamanho dos domínios residuais após a aplicação do segundo campo começando pelo maior Os materiais ferromagnéticos em que a orientação dos domínios pode ser mudada com facilidade são chamados de magneticamente macios os materiais em que a orientação dos domínios não pode ser mudada com facilidade são chamados de magneticamente duros b Das três amostras qual é a magneticamente a mais dura Figura 3225 Pergunta 11 12 A Fig 3226 mostra quatro barras de aço três são ímãs permanentes Um dos polos está indicado Observase que as extremidades a e d se atraem as extremidades c e f se repelem as extremidades e e h se atraem e as extremidades a e h se atraem a Que extremidades são polos norte b Qual das barras não é um ímã permanente Figura 3226 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 321 Lei de Gauss para Campos Magnéticos 1 O fluxo magnético através de cinco faces de um dado é ΦB N Wb em que 1 N 5 é o número de pontos da face O fluxo é positivo para fora se N for par e negativo para dentro se N for ímpar Qual é o fluxo através da sexta face do dado 2 A Fig 3227 mostra uma superfície fechada Na face plana superior que tem um raio de 20 cm um campo magnético perpendicular de módulo 030 T aponta para fora da superfície Na face plana inferior um fluxo magnético de 070 mWb aponta para fora da superfície Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do fluxo magnético através da parte lateral da superfície Figura 3227 Problema 2 3 Uma superfície gaussiana em forma de cilindro circular reto tem um raio de 120 cm e um comprimento de 800 cm Em uma das bases existe um fluxo para dentro de 250 μWb Na outra base existe um campo magnético uniforme de 160 mT normal à superfície e dirigido para fora Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do fluxo magnético através da superfície lateral do cilindro Figura 3228 Problema 4 4 Dois fios paralelos ao eixo z e separados por uma distância de 4r conduzem correntes iguais i em sentidos opostos como mostra a Fig 3228 Um cilindro circular de raio r e comprimento L tem o eixo central no eixo z a meio caminho entre os fios as bases do cilindro estão à mesma distância da origem Usando a lei de Gauss escreva uma expressão para o fluxo magnético através da parte da superfície lateral do cilindro que está acima do eixo x Sugestão Calcule o fluxo através da parte do plano xz que está no interior do cilindro Módulo 322 Campos Magnéticos Induzidos 5 O campo magnético induzido a 60 mm do eixo central de um capacitor de placas circulares e paralelas é 20 107 T As placas têm 30 mm de raio Qual é a taxa de variação d dt do campo elétrico entre as placas 6 Um capacitor de placas quadradas de lado L está sendo descarregado por uma corrente de 075 A A Fig 3229 é uma vista frontal de uma das placas do ponto de vista do interior do capacitor A linha tracejada mostra uma trajetória retangular no espaço entre as placas Se L 12 cm W 40 cm e H 20 cm qual é o valor de ao longo da linha tracejada Figura 3229 Problema 6 7 Fluxo elétrico uniforme A Fig 3230 mostra uma região circular de raio R 300 cm na qual um fluxo elétrico uniforme aponta para fora do papel O fluxo elétrico total através da região é ΦE 300 mV mst em que t está em segundos Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial a de 200 cm e b de 500 cm Figura 3230 Problemas 7 a 10 e 19 a 22 8 Fluxo elétrico não uniforme A Fig 3230 mostra uma região circular de raio R 300 cm na qual um fluxo elétrico aponta para fora do papel O fluxo elétrico envolvido por uma circunferência concêntrica de raio r é dado por ΦEenv 0600 V msrRt em que r R e t está em segundos Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial a de 200 cm e b de 500 cm 9 Campo elétrico uniforme Na Fig 3230 um campo elétrico uniforme aponta para fora do papel em uma região circular de raio R 300 cm O módulo do campo elétrico é dado por E 450 103 Vmst em que t está em segundos Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial a de 200 cm e b de 500 cm 10 Campo elétrico não uniforme Na Fig 3230 um campo elétrico aponta para fora do papel em uma região circular de raio R 300 cm O módulo do campo elétrico é dado por E 0500 Vms1 Rrt em que t está em segundos e r é a distância radial r R Determine o módulo do campo magnético induzido a uma distância radial a de 200 cm e b de 500 cm 11 Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio R 30 mm e a distância entre as placas é 50 mm Uma diferença de potencial senoidal com um valor máximo de 150 V e uma frequência de 60 Hz é aplicada às placas ou seja a tensão entre as placas é V 150 V sen2π60 Hzt a Determine BmáxR o valor máximo do campo magnético induzido a uma distância radial r R b Plote Bmáxr para 0 r 10 cm 12 Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 40 mm de raio está sendo descarregado por uma corrente de 60 A A que distância radial a do lado de dentro e b do lado de fora do espaço entre as placas o campo magnético induzido é igual a 75 do valor máximo c Qual é o valor máximo Módulo 323 Corrente de Deslocamento 13 Qual deve ser a taxa de variação da diferença de potencial entre as placas de um capacitor de placas paralelas com uma capacitância de 2 μF para que seja produzida uma corrente de deslocamento de 15 A 14 Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado Mostre que o módulo da densidade de corrente da corrente de deslocamento é Jd ε0dEdt para r R 15 Prove que a corrente de deslocamento em um capacitor de placas paralelas de capacitância C pode ser escrita na forma id CdVdt em que V é a diferença de potencial entre as placas 16 Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 010 m de raio está sendo descarregado Um anel circular com 020 m de raio concêntrico com o capacitor está a meio caminho entre as placas A corrente de deslocamento através do anel é de 20 A Qual é a taxa de variação do campo elétrico entre as placas 17 Um fio de prata tem uma resistividade ρ 162 108 Ω m e uma seção reta de 500 mm2 A corrente no fio é uniforme e varia à taxa de 2000 As quando a corrente é 100 A a Determine o módulo do campo elétrico uniforme no fio quando a corrente é 100 A b Determine a corrente de deslocamento no fio nesse instante c Determine a razão entre o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento e o módulo do campo magnético produzido pela corrente a uma distância r do fio 18 O circuito da Fig 3231 é formado por uma chave S uma fonte ideal de 120 V um resistor de 200 MΩ e um capacitor cujo dielétrico é o ar O capacitor tem placas circulares paralelas com 500 cm de raio separadas por uma distância de 300 mm No instante t 0 a chave S é fechada e o capacitor começa a se carregar O campo elétrico entre as placas é uniforme No instante t 250 μs qual é o módulo do campo magnético no interior do capacitor a uma distância radial de 300 cm Figura 3231 Problema 18 19 Densidade de corrente de deslocamento uniforme A Fig 3230 mostra uma região circular de raio R 300 cm na qual existe uma corrente de deslocamento dirigida para fora do papel A corrente de deslocamento possui uma densidade de corrente uniforme cujo valor absoluto é Jd 600 Am2 Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento a a 200 cm do centro da região e b a 500 cm do centro da região 20 Corrente de deslocamento uniforme A Fig 3230 mostra uma região circular de raio R 300 cm na qual existe uma corrente de deslocamento uniforme id 0500 A dirigida para fora do papel Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento a a 200 cm do centro da região e b a 500 cm do centro da região 21 Densidade de corrente de deslocamento não uniforme A Fig 3230 mostra uma região circular de raio R 300 cm na qual existe uma corrente de deslocamento dirigida para fora do papel O módulo da densidade de corrente da corrente de deslocamento é dado por Jd 400 Am21 rR em que r R é a distância do centro da região Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento a em r 200 cm e b em r 500 cm 22 Corrente de deslocamento não uniforme A Fig 3230 mostra uma região circular de raio R 300 cm na qual existe uma corrente de deslocamento id dirigida para fora do papel O módulo da corrente de deslocamento é dado por id 300 ArR em que r R é a distância do centro da região Determine o módulo do campo magnético produzido por id a em r 200 cm e b em r 500 cm Figura 3232 Problema 23 23 Na Fig 3232 um capacitor de placas paralelas possui placas quadradas de lado L 10 m Uma corrente de 20 A carrega o capacitor produzindo um campo elétrico uniforme entre as placas com perpendicular às placas a Qual é a corrente de deslocamento id na região entre as placas b Qual é o valor de dEdt nessa região c Qual é a corrente de deslocamento envolvida pela trajetória tracejada um quadrado com d 050 m de lado d Qual é o valor de ao longo da trajetória tracejada 24 O módulo do campo elétrico entre as duas placas paralelas circulares da Fig 3233 é E 40 105 60 104t com E em volts por metro e t em segundos No instante t 0 aponta para cima A área das placas é 40 102 m2 Para t 0 determine a o módulo e b o sentido para cima ou para baixo da corrente de deslocamento na região entre as placas c Qual é o sentido do campo magnético induzido horário ou antihorário do ponto de vista da figura Figura 3233 Problema 24 25 Enquanto um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 20 cm de diâmetro está sendo carregado a densidade de corrente da corrente de deslocamento na região entre as placas é uniforme e tem módulo de 20 Am2 a Calcule o módulo B do campo magnético a uma distância r 50 mm do eixo de simetria dessa região b Calcule dEdt nessa região 26 Um capacitor com placas paralelas circulares de raio R 120 cm está sendo descarregado por uma corrente de 120 A Considere um anel de raio R3 concêntrico com o capacitor situado entre as placas a Qual é a corrente de deslocamento envolvida pelo anel O campo magnético máximo induzido tem módulo de 120 mT A que distância radial b do lado de dentro e c do lado de fora do espaço entre as placas o módulo do campo magnético induzido é 300 mT 27 Na Fig 3234 um campo elétrico uniforme é reduzido a zero A escala do eixo vertical é definida por Es 60 105 NC e a escala do eixo horizontal é definida por ts 120 μs Calcule o módulo da corrente de deslocamento através de uma área de 16 m2 perpendicular ao campo durante os intervalos de tempo a b e c mostrados no gráfico Ignore o comportamento da corrente na extremidade dos intervalos Figura 3234 Problema 27 28 A Fig 3235a mostra a corrente i que atravessa um fio de resistividade 162 108 Ω m O módulo da corrente em função do tempo t está indicado da Fig 3235b A escala do eixo vertical é definida por is 100 A e a escala do eixo horizontal é definida por ts 500 ms O ponto P está a uma distância radial de 900 mm do centro do fio Determine o módulo do campo magnético i no ponto P devido à corrente i a em t 20 ms b em t 40 ms c em t 60 ms Suponha agora que o campo elétrico responsável pela corrente exista apenas no interior do fio determine o módulo do campo magnético id no ponto P devido à corrente de deslocamento id no fio d em t 20 ms e em t 40 ms e f em t 60 ms No ponto P em t 20 s determine o sentido para dentro ou para fora do papel g de i e h de id Figura 3235 Problema 28 29 Na Fig 3236 um capacitor de placas circulares de raio R 180 cm está ligado a uma fonte de força eletromotriz sen ωt em que 220 V e ω 130 rads O valor máximo da corrente de deslocamento é id 760 μA Despreze o efeito de borda a Qual é o valor máximo da corrente i no circuito b Qual é o valor máximo de dΦEdt em que ΦE é o fluxo elétrico através da região entre as placas c Qual é a distância d entre as placas d Determine o valor máximo do módulo de entre as placas a uma distância r 110 cm do centro Figura 3236 Problema 29 Módulo 324 Ímãs Permanentes 30 Suponha que o valor médio da componente vertical do campo magnético da Terra seja 43 μT para baixo em todo o estado americano do Arizona que tem uma área de 295 105 km2 Determine a o valor absoluto e b o sentido para dentro ou para fora do fluxo magnético da Terra no resto da superfície do planeta ou seja em toda a superfície terrestre com exceção do Arizona 31 No estado americano de New Hampshire o valor médio da componente horizontal do campo magnético da Terra em 1912 era de 16 μT e a inclinação média era de 73o Qual era o valor correspondente do módulo do campo magnético da Terra Módulo 325 O Magnetismo e os Elétrons 32 A Fig 3237a mostra dois valores permitidos de energia níveis de energia de um átomo Quando o átomo é submetido a um campo magnético de 0500 T os níveis mudam para os que aparecem na Fig 3237b por causa da energia associada ao produto escalar orb Estamos ignorando o efeito de s O nível E1 não é alterado mas o nível E2 se desdobra em três níveis muito próximos Determine o valor de mℓ associado a ao nível de energia E1 e b ao nível de energia E2 c Qual é o valor em joules do espaçamento entre os níveis desdobrados Figura 3237 Problema 32 33 Se um elétron de um átomo possui um momento angular orbital com mℓ 0 determine as componentes a Lorbz e b μorbz Se o átomo for submetido a um campo magnético externo de módulo 35 mT que aponta no sentido positivo do eixo z determine c a energia Uorb associada a orb e d a energia Uspin associada a s Se em vez disso o átomo possuir um momento angular orbital com mℓ 3 determine e Lorbz f μorbz g Uorb e h Uspin 34 Determine a diferença de energia entre as orientações paralela e antiparalela da componente z do momento dipolar magnético de spin de um elétron submetido a um campo magnético de módulo 025 T que aponta no sentido positivo do eixo z 35 Determine o valor da componente medida do momento dipolar magnético orbital de um elétron a com mℓ 1 e b com mℓ 2 36 Um elétron é submetido a um campo magnético que aponta no sentido positivo do eixo z A diferença de energia entre os alinhamentos paralelo e antiparalelo da componente z do momento magnético de spin do elétron na presença de é 600 1025 J Determine o módulo de Módulo 326 Diamagnetismo 37 A Fig 3238 mostra um anel L que serve de modelo para um material diamagnético a Faça um esboço das linhas de campo magnético no interior e nas proximidades do anel devido ao ímã em forma de barra Determine b a orientação do momento dipolar magnético do anel c o sentido da corrente convencional i no anel horário ou antihorário e d a orientação da força magnética exercida pelo campo magnético do ímã sobre o anel Figura 3238 Problemas 37 e 71 38 Um elétron de massa m e carga e se move em uma órbita circular de raio r em torno de um núcleo quando um campo magnético uniforme é aplicado perpendicularmente ao plano da órbita Supondo que o raio da órbita não varia e que a variação da velocidade do elétron devido ao campo é pequena escreva uma expressão para a variação do momento dipolar magnético orbital do elétron devido à presença do campo Módulo 327 Paramagnetismo 39 Em um teste para verificar se a magnetização de um sal paramagnético ao qual se aplica a curva da Fig 3214 obedece à lei de Curie o sal é submetido a um campo magnético de 050 T que permanece constante durante todo o experimento e a magnetização M é medida em temperaturas que variam de 10 a 300 K Os resultados estarão de acordo com a lei de Curie 40 Um sal paramagnético ao qual a curva de magnetização da Fig 3214 se aplica é mantido à temperatura ambiente 300 K Determine para qual valor do campo magnético aplicado o grau de saturação magnética é a 50 e b 90 c É possível produzir esses campos em laboratório 41 Um ímã de forma cilíndrica tem 500 cm de comprimento e 100 cm de raio A magnetização é uniforme com um módulo de 530 103 Am Qual é o momento dipolar magnético do ímã 42 Um campo magnético de 050 T é aplicado a um gás paramagnético cujos átomos possuem um momento dipolar magnético intrínseco de 10 1023 JT A que temperatura a energia cinética média de translação dos átomos é igual à energia necessária para inverter a orientação de um desses dipolos na presença do campo magnético 43 Um elétron com energia cinética Ke está se movendo em uma trajetória circular cujo plano é perpendicular a um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo z O elétron está sujeito apenas à força exercida pelo campo a Mostre que o momento dipolar magnético do elétron devido ao movimento orbital tem o sentido oposto ao do campo magnético e que seu módulo é dado por μ KeB Determine b o módulo e c a orientação do momento dipolar magnético de um íon positivo de energia cinética Ki nas mesmas circunstâncias d Um gás ionizado possui 53 1021 elétronsm3 e a mesma concentração de íons Supondo que a energia cinética média dos elétrons é 62 1020 J e a energia cinética média dos íons é 76 1021 J calcule a magnetização do gás ao ser submetido a um campo magnético de 12 T 44 A Fig 3239 mostra a curva de magnetização de um material paramagnético A escala do eixo vertical é definida por a 015 e a escala do eixo horizontal é definida por b 02 TK Sejam μexp o valor experimental do momento magnético de uma amostra e μmáx o valor máximo possível do momento magnético da mesma amostra De acordo com a lei de Curie qual é o valor da razão μexpμmáx quando a amostra é submetida a um campo magnético de 0800 T a uma temperatura de 200 K Figura 3239 Problema 44 45 Considere um sólido com N átomos por unidade de volume cada átomo com um momento dipolar magnético Suponha que existam apenas duas orientações possíveis para paralelo ou antiparalelo a um campo magnético externamente aplicado o que segundo a física quântica acontece quando apenas um elétron do átomo é responsável pelo spin De acordo com a mecânica estatística a probabilidade de que um átomo esteja em um estado de energia U é proporcional a eUkT em que T é a temperatura e k é a constante de Boltzmann Assim como a energia U é igual a a fração de átomos com o momento dipolar paralelo a é proporcional a eμBkT e a fração de átomos com o momento dipolar antiparalelo a é proporcional a eμBkT a Mostre que o módulo da magnetização do sólido é M Nμ tanhμBkT em que tanh é a função tangente hiperbólica tanhx ex exex ex b Mostre que o resultado do item a se reduz a M Nμ2BkT para μB kT c Mostre que o resultado do item a se reduz a M Nμ para μB kT d Mostre que b e c concordam qualitativamente com a Fig 3214 Módulo 328 Ferromagnetismo 46 Uma bússola é colocada em uma superfície horizontal e a agulha recebe um leve empurrão que a faz oscilar em torno da posição de equilíbrio A frequência de oscilação é 0312 Hz O campo magnético da Terra no local possui uma componente horizontal de 180 μT e a agulha possui um momento magnético de 0680 mJT Determine o momento de inércia da agulha em relação ao eixo vertical de rotação 47 A Terra possui um momento dipolar magnético de 80 1022 JT a Se esse momento dipolar fosse causado por uma esfera de ferro magnetizado situada no centro da Terra qual deveria ser o raio da esfera b Que fração do volume da Terra a esfera ocuparia Suponha um alinhamento perfeito dos dipolos A massa específica do núcleo da Terra é 14 gcm3 e o momento dipolar magnético de um átomo de ferro é 21 1023 JT Nota O núcleo da Terra realmente contém uma grande quantidade de ferro mas a possibilidade de que o magnetismo terrestre se deva a um ímã permanente parece remota por várias razões Para começar a temperatura do núcleo é maior que a temperatura de Curie do ferro 48 O módulo do momento dipolar associado a um átomo de ferro em uma barra de ferro é 21 1023 JT Suponha que os momentos dipolares de todos os átomos da barra que tem 50 cm de comprimento e uma seção reta de 10 cm2 estejam alinhados a Qual é o momento dipolar da barra b Que torque deve ser exercido sobre a barra para mantêla perpendicular a um campo externo de 15 T A massa específica do ferro é de 79 gcm3 49 O acoplamento de câmbio mencionado no Módulo 328 como responsável pelo ferromagnetismo não é a interação entre dipolos magnéticos atômicos Para mostrar o que leva a essa conclusão calcule a o módulo do campo magnético a uma distância de 10 nm ao longo do eixo do dipolo de um átomo com um momento dipolar magnético de 15 1023 JT o átomo de cobalto e b a energia mínima necessária para inverter um segundo dipolo magnético do mesmo tipo na presença do campo calculado do item a c Comparando o resultado do item b com a energia cinética média de translação de um átomo à temperatura ambiente 0039 eV o que podemos concluir 50 Uma barra magnética com 600 cm de comprimento 300 mm de raio e uma magnetização uniforme de 270 103 Am pode girar em torno do centro como uma agulha de bússola A barra é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 350 mT cuja direção faz um ângulo de 680o com a direção de momento dipolar da barra a Determine o módulo do torque exercido pelo campo sobre a barra b Determine a variação da energia orientacional da barra se o ângulo mudar para 340o 51 A magnetização de saturação do níquel um metal ferromagnético é 470 105 Am Calcule o momento dipolar magnético de um átomo de níquel A massa específica do níquel é 890 gcm3 e a massa molar é 5871 gmol 52 Medidas realizadas em minas e poços revelam que a temperatura no interior da Terra aumenta com a profundidade à taxa média de 30oCkm Supondo que a temperatura na superfície seja 10oC a que profundidade o ferro deixa de ser ferromagnético A temperatura de Curie do ferro varia muito pouco com a pressão 53 Um anel de Rowland é feito de um material ferromagnético O anel tem seção reta circular com um raio interno de 50 cm e um raio externo de 60 cm e uma bobina primária enrolada no anel possui 400 espiras a Qual deve ser a corrente na bobina para que o módulo do campo do toroide tenha o valor B0 020 mT b Uma bobina secundária enrolada no anel possui 50 espiras e uma resistência de 80 Ω Se para esse valor de B0 temos BM 800B0 qual é o valor da carga que atravessa a bobina secundária quando a corrente na bobina primária começa a circular Problemas Adicionais 54 Use as aproximações do Problema 61 para calcular a a altitude em relação à superfície na qual o módulo do campo magnético da Terra é 500 do valor na superfície na mesma latitude b o módulo máximo do campo magnético na interface do núcleo com o manto 2900 km abaixo da superfície da Terra c o módulo e d a inclinação do campo magnético na Terra no polo norte geográfico e Explique por que os valores calculados nos itens c e d não são necessariamente iguais aos valores medidos 55 A Terra possui um momento dipolar magnético de 80 1022 JT a Que corrente teria que existir em uma única espira de fio estendida na superfície da Terra ao longo do equador geomagnético para criar um dipolo de mesma intensidade b Esse arranjo poderia ser usado para cancelar o magnetismo da Terra em pontos do espaço muito acima da superfície c Esse arranjo poderia ser usado para cancelar o magnetismo da Terra em pontos da superfície 56 Uma carga q está distribuída uniformemente ao longo de um anel delgado de raio r O anel está girando com velocidade angular ω em torno de um eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel a Mostre que o módulo do momento magnético associado à carga em movimento é dado por μ qωr22 b Qual será a orientação do momento magnético se a carga for positiva 57 A agulha de uma bússola com 0050 kg de massa e 40 cm de comprimento está alinhada com a componente horizontal do campo magnético da Terra em um local em que a componente tem o valor Bh 16 μT Depois que a agulha recebe um leve empurrão ela começa a oscilar com uma frequência angular ω 45 rads Supondo que a agulha seja uma barra fina e uniforme livre para girar em torno do centro determine o módulo do momento dipolar magnético da agulha 58 O capacitor da Fig 327 está sendo carregado com uma corrente de 250 A O raio do fio é 150 mm e o raio das placas é 200 cm Suponha que sejam uniformes as distribuições da corrente i no fio e da corrente de deslocamento id no espaço entre as placas do capacitor Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente i nas seguintes distâncias em relação ao eixo do fio a 100 mm dentro do fio b 300 mm fora do fio e c 220 cm fora do fio Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente id nas seguintes distâncias em relação à reta que liga os centros das placas d 100 mm dentro do espaço entre as placas e 300 mm dentro do espaço entre as placas e f 220 cm fora do espaço entre as placas g Explique por que os campos são muito diferentes para o fio e para o espaço entre as placas no caso das duas distâncias menores mas têm valores semelhantes para a distância maior 59 Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R 16 mm e afastadas de uma distância d 50 mm produz um campo uniforme entre as placas A partir do instante t 0 a diferença de potencial entre as placas é dada por V 100 V em que τ 12 ms Determine o módulo do campo magnético a uma distância r 080R do eixo central a em função do tempo para t 0 e b no instante t 3τ 60 Um fluxo magnético de 70 mWb dirigido para fora atravessa a face plana inferior da superfície fechada da Fig 3240 Na face plana superior que tem um raio de 42 cm existe um campo magnético de 040 T perpendicular à superfície que aponta para cima Determine a o valor absoluto e b o sentido para dentro ou para fora do fluxo magnético através da parte curva da superfície Figura 3240 Problema 60 61 O campo magnético da Terra pode ser aproximado pelo campo magnético de um dipolo As componentes horizontal e vertical do campo a uma distância r do centro da Terra são dadas por em que λm é a latitude magnética latitude medida a partir do equador geomagnético em direção a um dos polos geomagnéticos Suponha que o momento dipolar da Terra tem um módulo μ 800 1022 Am2 a Mostre que o módulo do campo magnético da Terra na latitude λm é dado por b Mostre que a inclinação φi do campo magnético está relacionada à latitude magnética λm pela equação tan φi 2 tan λm 62 Use os resultados do Problema 61 para calcular a o módulo e b a inclinação do campo magnético da Terra no equador geomagnético c o módulo e d a inclinação do campo na latitude geomagnética de 60o e e o módulo e f a inclinação do campo no polo norte geomagnético 63 Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 550 mm de raio está sendo carregado A que distância do eixo do capacitor a dentro do espaço entre as placas e b fora do espaço entre as placas o módulo do campo magnético induzido é igual a 500 do valor máximo 64 Uma amostra de um sal paramagnético ao qual se aplica a curva da Fig 3214 é submetida a um campo magnético uniforme de 20 T Determine a que temperatura o grau de saturação magnética da amostra é a 50 e b 90 65 Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R está sendo descarregado A corrente de deslocamento que atravessa uma área circular central paralela às placas de raio R2 é 20 A Qual é a corrente de descarga 66 A Fig 3241 mostra a variação de um campo elétrico que é perpendicular a uma região circular de 20 m2 Qual é a maior corrente de deslocamento que atravessa a região durante o período de tempo representado no gráfico Figura 3241 Problema 66 67 Na Fig 3242 um capacitor de placas paralelas está sendo descarregado por uma corrente i 50 A As placas são quadrados de lado L 80 mm a Qual é a taxa de variação do campo elétrico entre as placas b Qual é o valor de ao longo da linha tracejada na qual H 20 mm e W 30 mm Figura 3242 Problema 67 68 Qual é o valor da componente medida do momento dipolar magnético orbital de um elétron a com mℓ 3 e b com mℓ 4 69 Na Fig 3243 um ímã em forma de barra está nas vizinhanças de um tubo cilíndrico de papel a Faça um esboço das linhas de campo magnético que atravessam a superfície do tubo b Qual é o sinal de para todas as áreas do tubo c Esse fato está em contradição com a lei de Gauss para o magnetismo Justifique sua resposta Figura 3243 Problema 69 70 No estado de menor energia do átomo de hidrogênio a distância mais provável entre o único elétron e o próton o núcleo é 52 1011 m a Calcule o módulo do campo elétrico produzido pelo próton a essa distância A componente μsz do momento dipolar magnético do spin do próton é 14 1026 JT b Calcule o módulo do campo magnético do próton à distância de 52 1011 m ao longo do eixo z Sugestão Use a Eq 2927 c Qual é a razão entre o momento dipolar magnético de spin do elétron e o momento dipolar magnético de spin do próton 71 A Fig 3238 mostra um anel L que serve como modelo de um material paramagnético a Faça um esboço das linhas de campo magnético no interior e nas proximidades do anel devido ao ímã em forma de barra Determine b a orientação do momento dipolar magnético do anel c o sentido da corrente convencional i no anel horário ou antihorário e d a orientação da força magnética exercida pelo campo magnético do ímã sobre o anel 72 Duas placas como as da Fig 327 estão sendo descarregadas por uma corrente constante As placas têm 400 cm de raio Durante a descarga em um ponto entre as placas situado a uma distância de 200 cm do eixo central o campo magnético tem um módulo de 125 nT a Qual é o módulo do campo magnético a 600 cm do eixo central b Qual é a corrente nos fios ligados às placas 73 Se um elétron em um átomo tem um momento angular orbital com valores de mℓ limitados por 3 quantos valores de a Lorbz e b μorbz pode ter o elétron Em termos de h m e e qual é o maior valor permitido c de Lorbz e d de μorbz e Qual é o maior valor permitido da componente z do momento angular total do elétron soma do momento orbital com o momento de spin f Quantos valores incluindo o sinal são permitidos para a componente z do momento angular total do elétron 74 Um capacitor de placas paralelas circulares está sendo carregado Considere um anel circular com o centro no eixo central e situado entre as placas Se o raio do anel 300 cm é maior que o raio das placas qual é a corrente de deslocamento entre as placas quando o campo magnético ao longo do anel tem um módulo de 200 μT 75 Suponha que 4 sejam os limites dos valores de mℓ de um elétron em um átomo a Quantos valores são possíveis para a componente μorbz do momento dipolar magnético orbital do elétron b Desses valores qual possui o maior valor absoluto Suponha que o átomo seja submetido a um campo magnético de 0250 T que aponte no sentido positivo do eixo z Determine c a maior energia e d a menor energia associada a esses valores possíveis de μorbz 76 Quais são as componentes medidas do momento dipolar magnético orbital de um elétron com a mℓ 3 e b mℓ 4 APÊNDICE A O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI Tabela 1 As Unidades Fundameo SI Grandeza Nome Símbolo Definição comprimento metro m a distáncia percorrida pela luz no vácuo em 1299792458 de segun do 1983 massa quilograma kg este protótipo um certo cilindro de platinairídio será considerado daqui em diante como a unidade de massa 1889 tempo segundo s aduração de 9192631770 períodos da radiação correspondente àtransição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133 1967 em repouso a 0 K 1997 corrente elétrica ampére A a corrente constante que se mantida em dois condutores paralelos retos de comprimento infinito de seção transversal circular desprezível e separados por uma distáncia de 1 m no vácuo produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 107 newton por metro de comprimen to 1946 temperatura termodinâmica kelvin K a fração 127316 da temperatura termodinámica do ponto triplo da água 1967 quantidade de matéria mol mol a quantidade de matéria de um sistema que contém um número de entidades elementares igual ao número de átomos que existem em 0012 quilograma de carbono 12 1971 intensidade luminosa candela cd a intensidade luminosa em uma dada direção de uma fonte que emi te radiação monocromática de frequéncia 540 x 1012 hertz e que irradia nesta direção com uma intensidade de 1683 watt por esferorradiano 1979 Tabela 2 Algumas Unidades Secundárias do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo área metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 frequéncia hertz Hz s1 massa específica quilograma por metro cúbico kgm3 velocidade metro por segundo ms velocidade angular radiano por segundo rads aceleração metro por segundo ao quadrado ms2 aceleração angular radiano por segundo ao quadrado rads2 força newton N kg ms2 pressão pascal Pa Nm2 trabalho energia quantidade de calor joule J N m poténcia watt W Js quantidade de carga elétrica coulomb c A s diferença de potencial força eletromotriz volt V WA intensidade de campo elétrico volt por metro ou newton por coulomb Vm NC resistência elétrica ohm Ω VA capacitáncia farad F AsV fluxo magnético weber Wb V s indutáncia henry H VsA densidade de fluxo magnético tesla T Wbm2 intensidade de campo magnético ampére por metro Am entropia joule por kelvin JK calor específico joule por quilogramakelvin JkgK condutividade térmica watt por metrokelvin WmK intensidade radiante watt por esferorradiano Wsr Tabela 3 As Unidades Suplementares do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo ángulo plano radiano rad ángulo sólido esferorradiano sr Adaptado de The International System of Units SI Publicação Especial 330 do National Bureau of Standards edição de 2008 As definições acima foram adotadas pela Conferência Nacional de Pesos e Medidas órgão internacional nas datas indicadas A candela não é usada neste livro APÊNDICE B ALGUMAS CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FÍSICA Constante Símbolo Valor Prático Melhor Valor 2010 Valora Incertezab Velocidade da luz no vácuo c 300 108 ms 2997 924 58 exata Carga elementar e 160 1019C 1602 176 565 0022 Constante gravitacional G 667 1011 m3s2 kg 6673 84 120 Constante universal dos gases R 831 Jmol K 8314 462 1 091 Constante de Avogadro NA 602 1023 mol1 6022 141 29 0044 Constante de Boltzmann k 138 1023 JK 1380 648 8 091 Constante de StefanBoltzmann σ 567 108 Wm2K4 5670 373 36 Volume molar de um gás ideal nas CNTPC Vm 227 102 m3mol 2271 095 3 091 Constante elétrica ɛ0 885 1012 Fm 8854 187 817 exata Constante magnética μ0 126 106 Hm 1256 637 061 exata Constante de Planck h 663 1034 J s 6626 06957 0044 Massa do elétrond me 911 1031 kg 9109 382 91 0044 549 104 u 5485 799 094 6 40 104 Massa do prótond mp 167 1027 kg 1672 621 777 0044 10073 u 1007 276 466 812 89 105 Razão entre a massa do próton e a massa do elétron mpme 1840 1836152 67245 41 104 Razão entre a massa e a carga do elétron eme 176 1011 Ckg 1758 820 088 0022 Massa do nêutrond mn 168 1027kg 1674 927 351 0044 10087 u 1008 664 916 00 42 104 Massa do átomo de hidrogéniod M1H 10078 u 1007 825 032 07 10 104 Massa do átomo de deutériod M2H 20136 u 2014 101 778 040 40 105 Massa do átomo de héliod M4He 40026 u 4002 603 254 131 15 105 Massa do múon mμ 188 10 28 kg 1883 531 475 0051 Momento magnético do elétron μe 928 1024 JT 9284 764 30 0022 Momento magnético do próton μp 141 1026 JT 1410 606 743 0024 Magnéton de Bohr μB 927 1024 JT 9274 009 68 0022 Magnéton nuclear μN 505 1027 JT 5050 783 53 0022 Raio de Bohr a 529 1011 m 5291 772 109 2 32 104 Constante de Rydberg R 110 107m1 1097 373 156 853 9 50 106 Comprimento de onda de Compton do elétron λC 243 1012 m 2426 310 238 9 65 104 aOs valores desta coluna têm a mesma unidade e poténcia de 10 que o valor prático bPartes por milháo cCNTP significa condições normais de temperatura e pressáo 0C e 10 atm 01 MPa dAs massas dadas em u estáo em unidades unificadas de massa atômica 1 u 1660 538 782 1027 kg Os valores desta tabela foram selecionados entre os valores recomendados pelo Codata em 2010 wwwphysicsnistgov APÊNDICE C ALGUNS DADOS ASTRONÔMICOS Algumas Distâncias da Terra Á Lua 382 108 m Ao centro da nossa galáxia 22 1020 m Ao Sol 150 1011 m À galáxia de Andrómeda 21 1022 m Á estrela mais próxima Proxima Centauri 404 1016 m Ao limite do universo observável 1026 m Distância média O Sol a Terra e a Lua Propriedade Unidade Sol Terra Lua Massa kg 199 103 598 1024 736 1022 Raio médio m 696 108 637 106 174 106 Massa específica média kgm3 1410 5520 3340 Aceleração de queda livre na superfície ms2 274 981 167 Velocidade de escape kms 618 112 238 Período de rotaçãoa 37 d nos polosb 26 d no equadorb 23 h 56 min 273 d Poténcia de radiaçãoc W 390 1026 aMedido em relação às estrelas distantes bO Sol uma bola de gás não gira como um corpo rígido cPerto dos limites da atmosfera terrestre a energia solar é recebida a uma taxa de 1340 Wm2 supondo uma incidéncia normal Algumas Propriedades dos Planetas Mercúrio Vénus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutãod Distância média do Sol 106 km 579 108 150 228 778 1430 2870 4500 5900 Período de revolução anos 0241 0615 100 188 119 295 840 165 248 Período de rotaçãoa dias 587 243b 0997 103 0409 0426 0451b 0658 639 Velocidade orbital kms 479 350 298 241 131 964 681 543 474 Inclinação do eixo em relação à órbita 28 3 234 250 308 267 979 296 575 Inclinação da órbita em relação à órbita da Terra 700 339 185 130 249 077 177 172 Excentricidade da órbita 0206 00068 00167 00934 00485 00556 00472 00086 0250 Diámetro equatorial km 4880 12 100 12 800 6790 143 000 120 000 51 800 49 500 2300 Massa Terra 1 00558 0815 1000 0107 318 951 145 172 0002 Densidade água 1 560 520 552 395 131 0704 121 167 203 Valor de g na superfíciec ms2 378 860 978 372 229 905 777 110 05 Velocidade de escapec kms 43 103 112 50 595 356 212 236 13 Satélites conhecidos 0 0 1 2 67 anel 62 anéis 27 anéis 13 anéis 4 aMedido em relação ás estrelas distantes bVénus e Urano giram no sentido contrário ao do movimento orbital cAceleração gravitacional medida no equador do planeta dPlutão é atualmente classificado como um planeta anáo APÊNDICE D FATORES DE CONVERSÃO Os fatores de conversão podem ser lidos diretamente das tabelas a seguir Assim por exemplo 1 grau 2778 103 revoluções e portanto 167 167 2778 103 revoluções As unidades do SI estão em letras maiúsculas Adaptado parcialmente de G Shortley and D Williams Elements of Physics 1971 PrenticeHall Englewood Cliffs NJ Ângulo Plano o RADIANOS rev 1 grau 1 60 3600 1745 102 2778 103 1 minuto 1667 102 1 60 2909 104 4630 105 1 segundo 2778 104 1667 102 1 4848 106 7716 107 1 RADIANO 5730 3438 2063 105 1 01592 1 revolução 360 216 104 1296 106 6283 1 Ángulo Sólido 1 esfera 4π esferorradianos 1257 esferorradianos Comprimento cm METROS km polegadas pés milhas 1 centímetro 1 102 105 03937 3281 102 6214 106 1 METRO 100 1 103 3937 3281 6214 104 1 quilômetro 105 1000 1 3937 104 3281 06214 1 polegada 2540 2540 102 2540 105 1 8333 102 1578 105 1 pé 3048 03048 3048 104 12 1 1894 104 1 milha 1609 105 1609 1609 6336 104 5280 1 1 angström 1010m 1 milha marítima 1852 m 1151 milha 6076 pés 1 fermi 1015 m 1 anoluz 9461 1012 km 1 parsec 3084 1013 km 1 braça 6 pés 1 raio de Bohr 5292 1011 m 1 jarda 3 pés 1 vara 165 pés 1 mil 103 polegadas 1 nm 109 m Área METROS2 cm2 pés2 polegadas2 1 METRO QUADRADO 1 104 1076 1550 1 centímetro quadrado 104 1 1076 103 01550 1 pé quadrado 9290 102 9290 1 144 1 polegada quadrada 6452 104 6452 6944 103 1 1 milha quadrada 2788 107 pés2 640 acres 1 barn 1028 m2 1 acre 43560 pés2 1 hectare 104 m2 2471 acres Volume METROS3 cm3 L pés3 polegadas3 1 METRO CÚBICO 1 106 1000 3531 6102 104 1 centímetro cúbico 106 1 1000 103 3531 105 6102 102 1 litro 1000 103 1000 1 3531 102 6102 1 pé cúbico 2832 102 2832 104 2832 1 1728 1 polegada cúbica 1639 105 1639 1639 102 5787 104 1 1 galáo americano 4 quartos de galáo americano 8 quartilhos americanos 128 onças fluidas americanas 231 polegadas3 1 galáo imperial britânico 2774 polegadas3 1201 galáo americano Massa As grandezas nas áreas sombreadas náo sáo unidades de massa mas sáo frequentemente usadas como tais Assim por exemplo quando escrevemos 1 kg 2205 lb isso significa um quilograma é a massa que pesa 2205 libras em um local em que g tem o valorpadráo de 980665 ms2 g QUILOGRAMAS slug u onças libras toneladas 1 grama 1 0001 6852 105 6022 1023 3527 102 2205 103 1102 106 1 QUILOGRAMA 1000 1 6852 102 6022 1026 3527 2205 1102 103 1 slug 1459 104 1459 1 8786 1027 5148 3217 1609 102 unidade de massa atômica u 1661 1024 1661 1027 1138 1028 1 5857 1026 3662 1027 1830 1030 1 onça 2835 2835 102 1943 103 1718 1025 1 6250 102 3125 105 1 libra 4536 04536 3108 102 2732 1026 16 1 00005 1 tonelada 9072 105 9072 6216 5463 1029 32 104 2000 1 1 tonelada métrica 1000 kg Massa Específica As grandezas nas áreas sombreadas sáo pesos específicos e como tais dimensionalmente diferentes das massas específicas Veja a nota na tabela de massas slugpé3 QUILOGRAMASMETRO3 gcm3 lbpé3 lbpolegada3 1 slug por pé3 1 5154 05154 3217 1862 102 1 QUILOGRAMA por METRO3 1940 103 1 0001 6243 102 3613 105 1 grama por centímetro3 1940 1000 1 6243 3613 102 1 libra por pé3 3108 102 1602 1602 102 1 5787 104 1 libra por polegada3 5371 2768 104 2768 1728 1 Tempo ano d h min SEGUNDOS 1 ano 1 36525 8766 103 5259 105 3156 107 1 dia 2738 103 1 24 1440 8640 104 1 hora 1141 104 4167 102 1 60 3600 1 minuto 1901 106 6944 104 1667 102 1 60 1 SEGUNDO 3169 108 1157 105 2778 104 1667 102 1 Velocidade péss kmh METROSSEGUNDO milhash cms 1 pé por segundo 1 1097 03048 06818 3048 1 quilômetro por hora 09113 1 02778 06214 2778 1 METRO por SEGUNDO 3281 36 1 2237 100 1 milha por hora 1467 1609 04470 1 4470 1 centímetro por segundo 3281 102 36 102 001 2237 102 1 1 nó 1 milha marítimah 1688 pés 1 milhamin 8800 péss 6000 milhash Força O gramaforça e o quilogramaforça são atualmente pouco usados Um gramaforça 1 gf é a força da gravidade que atua sobre um objeto cuja massa é 1 grama em um local onde g possui o valorpadráo de 980665 ms2 dinas NEWTONS libras poundals gf kgf 1 dina 1 105 2248 106 7233 105 1020 103 1020 106 1 NEWTON 105 1 02248 7233 1020 01020 1 libra 4448 105 4448 1 3217 4536 04536 1 poundal 1383 104 01383 3108 102 1 1410 1410 102 1 gramaforça 9807 9807 103 2205 103 7093 102 1 0001 1 quilogramaforça 9807 105 9807 2205 7093 1000 1 1 tonelada 2000 libras Pressáo atm dinascm2 polegadas de água cm Hg PASCALS libraspolegada2 libraspé2 1 atmosfera 1 1013 106 4068 76 1013 105 1470 2116 1 dina por centímetro2 9869 107 1 4015 104 7501 105 01 1405 105 2089 103 1 polegada de águaa a 4C 2458 103 2491 1 01868 2491 3613 102 5202 1 centímetro de mercúrioa a 0C 1316 102 1333 104 5353 1 1333 01934 2785 1 PASCAL 9869 106 10 4015 103 7501 104 1 1450 104 2089 102 1 libra por polegada2 6805 102 6895 104 2768 5171 6895 103 1 144 1 libra por pé2 4725 104 4788 01922 3591 102 4788 6944 103 1 aOnde a aceleração da gravidade possui o valorpadráo de 980665 ms2 1 bar 106 dinacm2 01 MPa 1 milibar 103 dinascm2 102 Pa 1 torr 1 mm Hg Energia Trabalho e Calor As grandezas nas áreas sombreadas náo sáo unidades de energia mas foram incluídas por conveniéncia Elas se originam da fórmula relativística de equivalência entre massa e energia E mc2 e representam a energia equivalente a um quilograma ou uma unidade unificada de massa atómica u as duas últimas linhas e a massa equivalente a uma unidade de energia as duas colunas da extremidade direita Poténcia Btuh péslibrass hp cals kW WATTS 1 Btu por hora 1 02161 3929 104 6998 102 2930 104 02930 1 pélibra por segundo 4628 1 1818 103 03239 1356 103 1356 1 horsepower 2545 550 1 1781 07457 7457 1 caloria por segundo 1429 3088 5615 103 1 4186 103 4186 1 quilowatt 3413 7376 1341 2389 1 1000 1 WATT 3413 07376 1341 103 02389 0001 1 Campo Magnético gauss TESLAS miligauss 1 gauss 1 104 1000 1 TESLA 104 1 107 1 miligauss 0001 107 1 1 tesla 1 webermetro2 Fluxo Magnético maxwell WEBER 1 maxwell 1 108 1 WEBER 108 1 APÊNDICE E FÓRMULAS MATEMÁTICAS Geometria Círculo de raio r circunferência 2πr área πr2 Esfera de raio r área 4πr2 volume πr3 Cilindro circular reto de raio r e altura h área 2πr2 2πrh volume πr2h Triângulo de base a e altura h área ah Fórmula de Báskara Se ax2 bx c 0 então Funções Trigonométricas do Ângulo θ Teorema de Pitágoras Neste triângulo retângulo a2 b2 c2 Triângulos Ângulos A B C Lados opostos a b c A B C 180 c2 a2 b2 2ab cos C Ângulo externo D A C Sinais e Símbolos Matemáticos igual a aproximadamente igual a da ordem de grandeza de diferente de idêntico a definido como maior que muito maior que menor que muito menor que maior ou igual a não menor que menor ou igual a não maior que mais ou menos proporcional a Σ somatório de xméd valor médio de x Identidades Trigonométricas sen90 θ cos θ cos90 θ sen θ sen θcos θ tan θ sen2 θ cos2 θ 1 sen2 θ tan2 θ 1 csc2 θ cot2 θ 1 sen 2θ 2 sen θ cos θ cos 2θ cos2 θ sen2 θ 2 cos2 θ 1 1 2sen2 θ senα β sen α cos β cos α sen β cosα β cos α cos β sen α sen β sen α sen β 2 sen α β cos α θ cos α cos β 2 cos α β cos α θ cos α cos β 2 sen α β sen α θ Teorema Binomial Expansão Exponencial Expansão Logarítmica Expansões Trigonométricas θ em radianos Regra de Cramer Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas x e y a1x b1y c1 e a2x b2y c2 tem como soluções e Produtos de Vetores Sejam î ĵ e vetores unitários nas direções x y e z respectivamente Nesse caso Qualquer vetor de componentes ax ay e az ao longo dos eixos x y e z pode ser escrito na forma Sejam e vetores arbitrários de módulos a b e c Nesse caso Seja θ o menor dos dois ângulos entre e Nesse caso Derivadas e Integrais Nas fórmulas a seguir as letras u e v representam duas funções de x e a e m são constantes A cada integral indefinida devese somar uma constante de integração arbitrária O Handbook of Chemistry and Physics CRC Press Inc contém uma tabela mais completa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 APÊNDICE F PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS Todas as propriedades físicas são dadas para uma pressão de 1 atm a menos que seja indicado em contrário Elemento Símbolo Número Atômico Z Massa Molar gmol Massa Específica gcm3 a 20C Ponto de Fusão C Ponto de Ebulição C Específico Jg c a 25C Actínio Ac 89 227 1006 1323 3473 0092 Alumínio A1 13 269815 2699 660 2450 0900 Amerício Am 95 243 1367 1541 Antimônio Sb 51 12175 6691 6305 1380 0205 Argônio Ar 18 39948 16626 103 1894 1858 0523 Arsênio As 33 749216 578 817 28 atm 613 0331 Astatínio At 85 210 302 Bário Ba 56 13734 3594 729 1640 0205 Berílio Be 4 90122 1848 1287 2770 183 Berquélio Bk 97 247 1479 Bismuto Bi 83 208980 9747 27137 1560 0122 Bóhrio Bh 107 26212 Boro B 5 10811 234 2030 111 Bromo Br 35 79909 312 líquido 72 58 0293 Cádmio Cd 48 11240 865 32103 765 0226 Cálcio Ca 20 4008 155 838 1440 0624 Califórnio Cf 98 251 Carbono c 6 1201115 226 3727 4830 0691 Cério Ce 58 14012 6768 804 3470 0188 Césio Cs 55 132905 1873 2840 690 0243 Chumbo Pb 82 20719 1135 32745 1725 0129 3214 103 Cloro Cl 17 35453 0C 101 347 0486 Cobalto Co 27 589332 885 1495 2900 0423 Cobre Cu 29 6354 896 108340 2595 0385 Copernício Cn 112 285 Criptônio Kr 36 8380 3488 103 15737 152 0247 Cromo Cr 24 51996 719 1857 2665 0448 Cúrio Cm 96 247 133 Darmstádtio Ds 110 271 Disprósio Dy 66 16250 855 1409 2330 0172 Dúbnio Db 105 262114 Einstêinio Es 99 254 Enxofre S 16 32064 207 1190 4446 0707 Érbio Er 68 16726 915 1522 2630 0167 Escândio Sc 21 44956 299 1539 2730 0569 Estanho Sn 50 11869 72984 231868 2270 0226 Estrôncio Sr 38 8762 254 768 1380 0737 Európio Eu 63 15196 5243 817 1490 0163 Férmio Fm 100 237 Ferro Fe 26 55847 7874 15365 3000 0447 Fleróvio F1 114 289 Flúor F 9 189984 1696 103 0C 2196 1882 0753 Fósforo P 15 309738 183 4425 280 0741 Frâncio Fr 87 223 27 Gadolínio Gd 64 15725 790 1312 2730 0234 Gálio Ga 31 6972 5907 2975 2237 0377 Germânio Ge 32 7259 5323 93725 2830 0322 Háfnio Hf 72 17849 1331 2227 5400 0144 Hássio Hs 108 265 Hélio He 2 40026 01664 103 2697 2689 523 Hidrogênio H 1 100797 008375 103 25919 2527 144 Hólmio Ho 67 164930 879 1470 2330 0165 Índio In 49 11482 731 156634 2000 0233 Iodo I 53 1269044 493 1137 183 0218 Irídio Ir 77 1922 225 2447 5300 0130 Itérbio Yb 70 17304 6965 824 1530 0155 Ítrio Y 39 88905 4469 1526 3030 0297 Lantânio La 57 13891 6189 920 3470 0195 Laurêncio Lr 103 257 Lítio Li 3 6939 0534 18055 1300 358 Livermório Lv 116 293 Lutécio Lu 71 17497 9849 1663 1930 0155 Magnésio Mg 12 24312 1738 650 1107 103 Manganês Mn 25 549380 744 1244 2150 0481 Meitnério Mt 109 266 Mendelévio Md 101 256 Mercúrio Hg 80 20059 1355 3887 357 0138 Molibdênio Mo 42 9594 1022 2617 5560 0251 Neodímio Nd 60 14424 7007 1016 3180 0188 Neônio Ne 10 20183 08387 103 248597 2460 103 Netúnio Np 93 237 2025 637 126 Níquel Ni 28 5871 8902 1453 2730 0444 Nióbio Nb 41 92906 857 2468 4927 0264 Nitrogênio N 7 140067 11649 103 210 1958 103 Nobélio No 102 255 Ósmio Os 76 1902 2259 3027 5500 0130 Ouro Au 79 196967 1932 106443 2970 0131 Oxigênio O 8 159994 13318 103 21880 1830 0913 Paládio Pd 46 1064 1202 1552 3980 0243 Platina Pt 78 19509 2145 1769 4530 0134 Plutônio Pu 94 244 198 640 3235 0130 Polônio Po 84 210 932 254 Potássio K 19 39102 0862 6320 760 0758 Praseodímio Pr 59 140907 6773 931 3020 0197 Prata Ag 47 107870 1049 9608 2210 0234 Promécio Pm 61 145 722 1027 Protactínio Pa 91 231 1537 estimada 1230 Rádio Ra 88 226 50 700 Radônio Rn 86 222 996 103 0C 71 618 0092 Rênio Re 75 1862 2102 3180 5900 0134 Ródio Rh 45 102905 1241 1963 4500 0243 Roentgênio Rg 111 280 Rubídio Rb 37 8547 1532 3949 688 0364 Rutênio Ru 44 101107 1237 2250 4900 0239 Rutherfórdio Rf 104 26111 Samário Sm 62 15035 752 1072 1630 0197 Seabórgio Sg 106 263118 Selênio Se 34 7896 479 221 685 0318 Silício Si 14 28086 233 1412 2680 0712 Sódio Na 11 229898 09712 9785 892 123 Tálio T1 81 20437 1185 304 1457 0130 Tântalo Ta 73 180948 166 3014 5425 0138 Tecnécio Tc 43 99 1146 2200 0209 Telúrio Te 52 12760 624 4495 990 0201 Térbio Tb 65 158924 8229 1357 2530 0180 Titânio Ti 22 4790 454 1670 3260 0523 Tório Th 90 232 1172 1755 3850 0117 Túlio Tm 69 168934 932 1545 1720 0159 Tungstênio W 74 18385 193 3380 5930 0134 Ununóctio Uuo 118 294 Ununpêntio Uup 115 288 Ununséptio Uus 117 Ununtrio Uut 113 284 Urânio U 92 238 1895 1132 3818 0117 Vanádio V 23 50942 611 1902 3400 0490 Xenônio Xe 54 13130 5495 103 11179 108 0159 Zinco Zn 30 6537 7133 41958 906 0389 Zircônio Zr 40 9122 6506 1852 3580 0276 Os números entre parênteses na coluna das massas molares são os números de massa dos isótopos de vida mais longa dos elementos radioativos Os pontos de fusão e pontos de ebulição entre parênteses são pouco confiáveis Os dados para os gases são válidos apenas quando eles estão no estado molecular mais comum como H2 He O2 Ne etc Os calores específicos dos gases são os valores a pressão constante Fonte Adaptada de J Emsley The Elements 3a edição 1998 Clarendon Press Oxford Veja também wwwwebelementscom para valores atualizados e possivelmente novos elementos Nome provisório APÊNDICE G TABELA PERIÓDICA DOS ELEMENTOS R E S P O S T A S dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares Capítulo 21 T 1 C e D se atraem B e D se atraem 2 a para a esquerda b para a esquerda c para a esquerda 3 a a c b b menor 4 15e a carga total de 30e se divide igualmente P 1 3 1 2 4 zero 3 a e b 5 2kq2r2 para cima 7 b e c empatados a zero 9 a iguais b menor c subtraem d somam e que se somam f no sentido positivo de y g no sentido negativo de y h no sentido positivo de x i no sentido negativo de x 11 a 4e b 2e para cima c 3e para cima d 12e para cima PR 1 0500 3 139 m 5 281 N 7 400 9 a 100 μC b 300 μC 11 a 017 N b 0046 N 13 a 14 cm b 0 15 a 35 N b 10 c 84 cm d 27 cm 17 a 160 N b 277 N 19 a 300 cm b 0 c 0444 21 38 108 C 23 a 0 b 12 cm c 0 d 49 1026 N 25 63 1011 27 a 32 1019 C b 2 29 a 605 cm b 605 cm 31 122 mA 33 13 107 C 35 a 0 b 19 109 N 37 a 9B b 13N c 12C 39 131 1022 N 41 a 57 1013 C b porque as distâncias se cancelam c 60 105 kg 43 b 31 cm 45 019 MC 47 45 μC 49 38 N 51 a 200 1010 elétrons b 133 1010 elétrons 53 a 899 109 N b 899 kN 55 a 05 b 015 c 085 57 17 108 N 59 132 1013 C 61 a 0829 Nî b 0621 Nĵ 63 22 106 kg 65 468 1019 N 67 a 272L b 0 69 a 51 102 N b 77 1028 ms2 71 a 0 b 343 109 ms2 73 a 219 106 ms b 109 106 ms c diminuiria 75 416 1042 Capítulo 22 T 1 a para a direita b para a esquerda c para a esquerda d para a direita as cargas de p e e têm o mesmo valor absoluto e p está mais longe 2 a sentido positivo de y b sentido positivo de x c sentido negativo de y 3 a para a esquerda b para a esquerda c diminui 4 a todos empatados b 1 e 3 empatados e depois 2 e 4 empatados P 1 a b c 3 a sim b na direção das cargas c não os vetores não apontam na mesma direção d se cancelam e se somam f das componentes que se somam g o sentido negativo do eixo y 5 a à esquerda b não 7 a 4 3 1 2 b 3 depois 1 e 4 empatados 2 9 a b c 11 e b depois a e c empatados d zero 13 a b c PR 3 a 307 1021 NC b para fora 5 56 pC 7 102 105 NCĵ 9 a 138 1010 NC b 180 11 30 cm 13 a 360 106 NC b 255 106 NC c 360 104 NC d 709 107 NC e Quando o próton se aproxima do disco as componentes x dos campos que têm sentidos opostos se tornam mais importantes que as componentes y que têm o mesmo sentido 15 a 160 NC b 45 17 a 90 b 20 μC c 16 μC 19 a qd4πε0r3 b 90 23 0506 25 a 162 106 NC b 45 27 a 238 NC b 90 29 157 31 a 519 1014 Cm b 157 103 NC c 180 d 152 108 NC e 152 108NC 35 0346 m 37 28 39 5e 41 a 15 103 NC b 24 1016 N c para cima d 16 1026 N e 15 1010 43 351 1015 ms2 45 66 1015 N 47 a 192 1012 ms2 b 196 105 ms 49 a 0245 N b 113 c 108 m d 216 m 51 a 26 1010 N b 31 108 N c salta para o estigma 53 27 μm 55 a 27 106 ms b 10 kNC 57 a 930 1015 C m b 205 1011 J 59 122 1023J 61 l2πpEI05 63 a 887 1015 N b 120 65 217o 67 61 NC 69 a 47 NC b 27 NC 71 38 NC 73 a 10 cm b 0 c 10 pC 75 100 μC 77 a 60 mm b 180 79 9 h 30 min 81 a 0029 C b porque a esfera seria desintegrada pela força de repulsão 83 a 149 1026 J b 198 1026 N m c 347 1026 J 85 a linha de cima 4 8 12 linha do meio 5 10 14 linha de baixo 7 11 16 b 163 1019 C 87 a 180NCî b 432 NCî c 629 NCî Capítulo 23 T 1 a EA b EA c 0 d 0 2 a 2 b 3 c 1 3 a igual b igual c igual 4 3 e 4 empatados depois 21 P 1 a 8 N m2C b 0 3 todos empatados 5 todos empatados 7 a c depois b e d empatados zero 9 a 2 1 3 b todos empatados 4q 11 a impossível b 3q0 c impossível PR 1 0015 N m2C 3 a 0 b 392 N m2C c 0 d 0 5 301 nNm2C 7 20 105 N m2C 9 a 823 N m2C b 729 pC c 823 N m2C d 729 pC 11 170 nC 13 354 μC 15 a 0 b 00417 17 a 37 μC b 41 106 N m2C 19 a 45 107 Cm2 b 51 104 NC 21 a 30 10 6C b 13 105 C 23 a 032 μC b 014 μC 25 50 μCm 27 38 108 Cm2 29 a 0214 NC b para dentro c 0855 NC d para fora e 340 1012 C f 340 1012 C 31 a 23 106 NC b para fora c 45 105 NC d para dentro 33 a 0 b 0 c 791 1011 NCî 35 15 37 a 53 107 NC b 60 NC 39 50 nCm2 41 044 mm 43 a 0 b 131 μNC c 308 μNC d 308 μNC 45 a 250 104 NC b 135 104 NC 47 75 nC 49 a 0 b 562 mNC c 112 mNC d 499 mNC e 0 f 0 g 500 fC h 0 51 179 1011 Cm2 53 a 778 fC b 0 c 558 mNC d 223 mNC 55 6Kε0r3 57 a 0 b 288 104 NC c 200 NC 59 a 54 NC b 68 NC 61 a 0 b qa4πε0r2 c qa qb4πε0r2 63 104 nC 65 a 0125 b 0500 67 a 20 nC b 12 nC c 12 nC d 080 nC 69 565 104 NCĵ 71 a 253 102 N m2C b 253 102 N m2C 75 36 nC 77 a 40 μC b 40 μC 79 a 693 kgs b 693 kgs c 347 kgs d 347 kgs e 575 kgs 81 a 025R b 20R Capítulo 24 T 1 a negativo b positivo c aumenta d maior 2 a para a direita b 1 2 3 5 positivo 4 negativo c 3 depois 1 2 e 5 empatados 4 3 todos empatados 4 a c zero b 5 a 2 depois 1 e 3 empatados b 3 c é acelerado para a esquerda P 1 4q4πε0d 3 a l e 2 b nenhum c não d 1 e 2 sim 3 e 4 não 5 a maior b positivo c negativo d todas empatadas 7 a 0 b 0 c 0 d as três grandezas continuam a ser 0 9 a 3 e 4 empatados depois 1 e 2 empatados b 1 e 2 aumenta 3 e 4 diminui 11 a b c PR 1 a 30 105 C b 36 106 J 3 28 105 5 88 mm 7 320 V 9 a 187 1021 J b 117 mV 11 a 0268 mV b 0681 mV 13 a 33 nC b 12 nCm2 15 a 054 mm b 790 V 17 0562 mV 19 a 60 cm b 120 cm 21 163 μV 23 a 243 mV b 0 25 a 230 V b 178 V 27 13 kV 29 324 mV 31 471 μV 33 186 mV 35 12Vmî 12Vmĵ 37 150 NC 39 40 1016 Nî 16 1016Nĵ 41 a 090 J b 45 J 43 0192 pJ 45 25 kms 47 22 kms 49 032 kms 51 a 60 104 V b 78 105 V c 25 J d aumentar e igual f igual 53 a 0225 J b A 450 ms2 B 225 ms2 c A 775 ms B 387 ms 55 16 109 m 57 a 30 J b 85 m 59 a um próton b 653 kms 61 a 12 b 2 63 a 18 102 V b 29 kV c 89 kV 65 25 108 C 67 a 12 kNC b 18 kV c 58 cm 69 a 64 NC b 29 V c 0 71 p2πε0r3 73 a 36 105 V b não 75 64 108 V 77 290 kV 79 70 105 ms 81 a 18 cm b 84 105 ms c 21 1017 N d positivo e 16 1017 N f negativo 83 a 719 1010 V b 230 1028 J c 243 1029 J 85 230 1028 J 87 21 dias 89 230 1022 J 91 148 107 ms 93 192 MV 95 a Q4πε0r b ρ3ε015 r 050r2 r r1 ρ Q4π3r r c ρ2ε0r r com ρ como em b d sim 97 a 38 s b 27 102 dias 101 a 0484 MeV b 0 103 17 Capítulo 25 T 1 a permanece a mesma b permanece a mesma 2 a diminui b aumenta c diminui 3 a V q2 b V2 q P 1 a 2 b l c 3 3 a não b sim c todos empatados 5 a permanece a mesma b permanece a mesma c maior d maior 7 a em série b em paralelo c em paralelo 9 a aumenta b permanece constante c aumenta d aumenta e aumenta f aumenta 11 em paralelo C1 sozinha C2 sozinha em série PR 1 a 35 pF b 35 pF c 57 V 3 a 144 pF b 173 nC 5 0280 pF 7 679 104 Fm2 9 315 mC 11 316 μF 13 43 pF 15 a 300 μF b 600 μC c 100 V d 300 μC e 100 V f 200 μC g 500 V h 200 μC 17 a 789 μC b 789 V 19 a 40 μF b 20 μF 21 a 50 V b 50 105 C c 15 104 C 23 a 45 1014 b 15 1014 c 30 1014 d 45 1014 e para cima f para cima 25 36 pC 27 a 900 μC b 160 μC c 900 μC d 160 μC e 840 μC f 168 μC g 108 μC h 144 μC 29 72 F 31 027 J 33 011 Jm3 35 a 916 1018 Jm3 b 916 106 Jm3 c 916 106 Jm3 d 916 1018 Jm3 e 37 a 160 V b 451 pJ c 120 pJ d 752 pJ 39 a 190 V b 95 mJ 41 81 pFm 43 Pirex 45 66 μJ 47 063 m2 49 173 pF 51 a 10 kVm b 50 nC c 41 nC 53 a 89 pF b 012 nF c 11 nC d 11 nC e 10 kVm f 21 kVm g 88 V h 017 μJ 55 a 0107 nF b 779 nC c 745 nC 57 45 μC 59 16 μC 61 a 720 μC b 180 μC c A bateria fornece carga apenas às placas às quais ela está ligada a carga das outras placas se deve apenas à transferência de elétrons de uma placa para outra de acordo com a nova distribuição de tensões pelos capacitores Assim a bateria não fornece carga diretamente ao capacitor 4 63 a 10 μC b 20 μC 65 106 nC 67 a 240 μF b 0480 mC c 80 V d 0480 mC e 120 V 69 49 71 a 0708 pF b 0600 c 102 109 J d atraído 73 53 V 75 40 μF 77 a 200 kVm b 200 kVm c 177 μCm2 d 460 μCm2 e 283 μCm2 79 a q22ε0A Capítulo 26 T 1 8 A para a direita 2 ac para a direita 3 a e c empatados depois b 4 dispositivo 2 5 a e b empatadas depois d depois c P 1 A B e C empatados depois A B e B C empatados depois A B C 3 a superiorinferior dianteiratraseira esquerdadireita b superiorinferior dianteiratraseira esquerdadireita c superiorinferior dianteiratraseira esquerdadireita d superiorinferior dianteiratraseira esquerda direita 5 a b e c empatadas depois d 7 a B A C b B A C 9 a C B A b todos empatados c A B C d todos empatados 11 a a e c empatados depois b zero b a b c c a e b empatados depois c PR 1 a 12 kC b 75 1021 3 67 μCm2 5 a 64 Am2 b norte c a área da seção reta 7 038 mm 9 181 μA 11 a 133 A b 0666 A c Ja 13 13 min 15 24 Ω 17 20 106 Ω m1 19 20 108 Ω m 21 18 103 oC 23 82 108 Ω m 25 54 Ω 27 30 29 335 107 C 31 a 600 mA b 159 108 V c 212 nΩ 33 a 383 mA b 109 Am2 c 128 cms d 227 Vm 35 981 kΩ 39 150 s 41 a 10 kW b R025 43 0135 W 45 a 109 A b 106 Ω c 450 MJ 47 a 585 m b 104 m 49 a R446 b 144 Ω c 0833 A 51 a 51 V b 10 V c 10 W d 20 W 53 a 288 Ω b 260 1019 s1 55 660 W 57 288 kC 59 a prata b 516 nΩ 61 a 23 1012 b 50 103 c 10 MV 63 24 kW 65 a 137 b 0730 67 a 86 b menor 69 146 kJ 71 a 250 C b sim 73 30 106 Jkg 75 560 W 77 027 ms 79 a 10 Acm2 b para leste 81 a 94 1013 s1 b 240 102 W 83 113 min 85 a 225 μC b 600 μA c 0450 mW Capítulo 27 T 1 a para a direita b todos empatados c b depois a e c empatados d b depois a e c empatados 2 a todas empatadas b R1 R2 R3 3 a menor b maior c igual 4 a V2 i b V i2 5 a 1 2 4 3 b 4 1 e 2 empatados depois 3 P 1 a igual b maior 3 em paralelo R2 R1 em série 5 a em série b em paralelo c em paralelo 7 a diminui b diminui c aumenta 9 a em paralelo b em série 11 a permanece a mesma b permanece a mesma c menor d maior 13 a todos empatados b 1 3 2 PR 1 a 050 A b 10 W c 20 W d 60 W e 30 W f fornecendo g recebendo 3 a 14 V b 10 102 W c 60 102 W d 10 V e 10 102 W 5 11 kJ 7 a 80 J b 67 J c 13 J 9 a 120 eV b 653 W 11 a 50 V b 48 V c negativo 13 a 69 km b 20 Ω 15 80 Ω 17 a 0004 Ω b 1 19 a 400 Ω b em paralelo 21 556 A 23 a 50 mA b 60 mA c 90 V 25 3d 27 36 103 A 29 a 0333 A b para a direita c 720 J 31 a 11 V b 90 V 33 483 V 35 a 525 V b 150 V c 525 V d 675 V 37 143 Ω 39 a 0150 Ω b 240 W 41 a 0709 W b 0050 W c 0346 W d 126 W e 0158 W 43 9 45 a 067 A b para baixo c 033 A d para cima e 033 A f para cima g 33 V 47 a 111 A b 0893 A c 126 m 49 a 045 A 51 a 552 mA b 486 V c 880 Ω d diminui 53 30 57 0208 ms 59 461 61 a 241 μs b 161 pF 63 a 11 mA b 055 mA c 055 mA d 082 mA e 082 mA f 0 g 40 102 V h 60 102 V 65 411 μA 67 072 MΩ 69 a 0955 μCs b 108 μW c 274 μW d 382 μW 71 a 300 A b 375 A c 394 A 73 a 132 107 Am2 b 890 V c cobre d 132 107 Am2 e 511 V f ferro 75 a 30 kV b 10 s c 11 GΩ 77 a 850 Ω b 915 Ω 81 40 V 83 a 248 Ω b 149 kΩ 85 o cabo 87 13 μC 89 20 Ω 91 a 300 A b para baixo c 160 A d para baixo e fornece f 552 W g fornece h 640 W 93 a 10 V b 50 mΩ 95 3 99 a 15 mA b 0 c 10 mA 101 750 V 103 a 600 mA b para baixo c 180 mA d para a esquerda e 240 mA f para cima 105 a 40 A b para cima c 050 A d para baixo e 64 W f 16 W g fornecendo h absorvendo Capítulo 28 T 1 a z b x c B 0 2 a 2 e depois 1 e 3 empatadas b 4 3 a o elétron b no sentido horário 4 y 5 a todas empatadas b 1 e 4 empatadas e depois 2 e 3 empatadas P 1 a não porque e B devem ser perpendiculares b sim c não porque e B devem ser perpendiculares 3 a z e z empatadas depois y e y empatadas depois x e x empatadas zero b y 5 a E b B 7 a 1 b 1 para dentro do papel 2 para fora do papel c menor 9 a positivo b 2 1 e 2 4 empatados 2 3 que é zero 11 a negativa b igual c igual d semicircunferência PR 1 a 400 kms b 835 eV 3 a 62 1014 N b 62 1014 N 5 20 T 7 114 Vmî 600 Vmĵ 480 Vm 9 0267 mT 11 068 MVm 13 74 μV 15 a 600 mVm b 120 V 17 a 260 106 ms b 0109 μs c 0140 MeV d 700 kV 19 12 109 kgC 21 a 205 107 ms b 467 μT c 131 MHz d 763 ns 23 211 μT 25 a 0978 MHz b 964 cm 27 a 495 mT b 227 mA c 817 MJ 29 653 kms 31 507 ns 33 a 0358 ns b 0166 mm c 151 mm 35 a 200 eV b 200 keV c 0499 37 24 102 m 39 a 282 N b horizontal para oeste 41 a 467 mA b para a direita 43 a 0 b 0138 N c 0138 N d 0 45 250 mNĵ 0750 mN 47 a 010T b 31o 49 43 103 Nmĵ 51 245 A 55 a 286 Am2 b 110 Am2 57 a 127 A b 00805 N m 59 a 030 Am2 b 0024 Nm 61 a 720 μJ b 960î 480 μN m 63 a 97 104 N mî 72 104 N mĵ 80 104 Nm b 60 104 J 65 a 90 b l c 128 107 N m 67 a 20 min b 59 l02 N m 69 82 mm 71 127 u 73 a 63 1014 ms2 b 30 mm 75 a 14 b 10 77 500 Vmĵ 79 a 050 b 050 c 14 cm d 14 cm 81 080ĵ 11 mN 83 40 mC 85 a 128î 641ĵ 1022 N b 90o c 173o 87 a para cima b perto da borda c 471 V d 471 V e 236 kW 89 mV2ed205 91 n JBeE Capítulo 29 T 1 b c a 2 d depois a e c empatados depois b 3 d a depois b e c empatados zero P 1 c a b 3 c d depois a e b empatados zero 5 a c b 7 c e d empatados depois b depois a 9 b a d c zero 11 a 1 3 2 b menor PR 1 a 33 μT b sim 3 a 16 A b leste 5 a 10 mT b para fora c 080 mT d para fora 7 a 0102 μT b para fora 9 a opostos b 30 A 11 a 43 A b para fora 13 503 nT 15 a 17 μT b para dentro do papel c 67 μT d para dentro do papel 17 132 nT 19 50 μT 21 256 nT 23 775 1023 Nî 25 200 rad 27 613 mA 29 80 μTĵ 31 a 20 μT b para dentro do papel 33 223 pTĵ 35 884 pNm 37 125 μNmî 417 μNmĵ 39 800 nNm 41 320 mNĵ 43 a 0 b 0850 mT c 170 mT d 0850 mT 45 a 25 μT m b 0 47 a 0 b 010 μT c 040 μT 49 a 533 μT b 400 μT 51 030 mT 53 0272 A 55 a 477 cm b 355 μT 57 a 24 A m2 b 46 cm 59 047 A m2 61 a 79 μT b 11 106 N m 63 a 0060 A m2ĵ b 96 pTĵ 65 128 mm 69 a 15 A b z 71 77 mT 73 a 153 μT 75 a 024î nT b 0 c 43 pT d 014 nT 79 a 48 mT b 093 mT c 0 83 020 mT 87 a μ0ir2πc2 b μ0i2πr c μ0ia2 r22πa2 b2r d 0 Capítulo 30 T 1 b depois d e e empatados depois a e c empatados zero 2 a e b empatados depois c zero 3 c e d empatados depois a e b empatados 4 b para fora c para fora d para dentro e para dentro 5 d ou e 6 a 2 3 1 zero b 2 3 1 7 a e b empatados depois c P 1 para fora 3 a todas empatadas zero b 2 depois 1 e 3 empatadas zero 5 d e c empatadas depois b a 7 a maior b igual c igual d igual zero 9 a todos empatados zero b 1 e 2 empatados depois 3 c todos empatados zero 11 b PR 1 0 3 30 mA 5 0 7 a 31 mV b para a esquerda 9 0198 mV 11 b 0796 m2 13 295 mC 15 a 217 V b o sentido antihorário 17 a 126 104 T b 0 c 126 104 T d sim e 504 08 V 19 550 kV 21 a 40 Hz b 32 mV 23 a μ0iR2πr22x3 b 3μ0iπR2r2v2x4 c antihorário 25 a 13 μWbm b 17 c 0 27 a 80 μV b horário 29 a 481 mV b 267 mA c 0129 mW 31 368 μW 33 a 240 μV b 0600 mA c 0144 μW d 287 108 N e 0144 μW 35 a 060 V b para cima c 15 A d horário e 090 W f 018 N g 090 W 37 a 715 μVm b 143 μVm 39 015 Vm 41 a 245 mWb b 0645 mH 43 181 μHm 45 a diminuindo b 068 mH 47 b Leq ΣLj de j 1 a j N 49 593 mH 51 46 Ω 53 a 845 ns b 737 mA 55 691 57 a 15 s 59 a i1 expRtL b LR ln2 61 a 979 H b 0196 mJ 63 256 ms 65 a 187 J b 510 J c 136 J 67 a 342 Jm3 b 494 mJ 69 15 108 Vm 71 a 10 Jm3 b 48 1015 Jm3 73 a 167 mH b 600 mWb 75 13 μH 77 b enrolando as espiras dos dois solenoides em sentidos opostos 79 a 20 A b 0 c 20 A d 0 e 10 V f 20 As g 20 A h 10 A i 30 A j 10 V k 0 l 0 81 a 10 μT b para fora c 33 μT d para fora 83 0520 ms 85 a 44 107 ms2î b 0 c 44 107 ms2î 87 a 040 V b 20 A 89 a 10 A b 10 102 J 91 a 0 b 80 102 As c 18 mA d 44 102 As e 40 mA f 0 93 115 W 95 a 20 As b 075 A 97 12 As 99 3 1036 J 101 a 139 H b 120 mA Capítulo 31 T 1 a T2 b T c T2 d T4 2 a 5 V b 150 μJ 3 a permanece a mesma b permanece a mesma 4 a C B A b 1 A 2 B 3 S 4 C c A 5 a permanece a mesma b aumenta c permanece a mesma d diminui 6 a 1 atrasada 2 adiantada 3 em fase b 3 ωd ω para XL XC 7 a aumentar o circuito é mais capacitivo que indutivo devemos aumentar C para diminuir Xc e aproximar o circuito da ressonância na qual Pméd é máxima b aproxima 8 a maior b elevador P 1 b a c 3 a T4 b T4 c T2 d T2 5 c b a 7 a indutor b resistor c capacitor 9 a positiva b diminuir para diminuir XL e aproximar o circuito da ressonância c diminuir para aumentar XC e aproximar o circuito da ressonância 11 a para a direita maior XL aumenta o circuito se aproxima da ressonância b para a direita aumenta XC diminui o circuito se aproxima da ressonância c para a direita aumenta ωdω aumenta o circuito se aproxima da ressonância 13 a indutor b diminuir PR 1 a 117 μJ b 558 mA 3 a 600 μs b 167 kHz c 300 μs 5 452 mA 7 a 125 kg b 372 Nm c 175 104 m d 302 mms 9 70 104 s 11 a 60 b 36 pF c 022 mH 13 a 0180 mC b 707 μs c 667 W 15 a 30 nC b 17 mA c 45 nJ 17 a 275 Hz b 365 mA 21 a 356 μs b 250 mH c 320 mJ 23 a 198 μJ b 556 μC c 126 mA d 469o e 469o 25 866 mΩ 29 a 955 mA b 119 mA 31 a 065 kHz b 24 Ω 33 a 673 ms b 112 ms c um indutor d 138 mH 35 89 Ω 37 761 A 39 a 267 Ω b 415o c 135 mA 41 a 206 Ω b 137o c 175 mA 43 a 218 Ω b 234o c 165 mA 45 a sim b 10 kV 47 a 224 rads b 600 A c 219 rads d 228 rads e 0040 49 a 796 Hz b permanece a mesma c diminui d aumenta 53 a 121 Ω b 119 kW 55 184 A 57 a 117 μF b 0 c 900 W d 0o e 1 f 0 g 90o h 0 59 a 259 A b 388 V c 159 V d 224 V e 642 V f 750 V g 100 W h 0 i 0 61 a 0743 b adiantada c capacitivo d não e sim f não g sim h 334 W i porque como são dados os valores da tensão e da corrente da fonte a reatância da carga é conhecida 63 a 24 V b 32 mA c 016 A 65 a 19 V b 59 W c 19 V d 59 102 W e 019 kV f 59 kW 67 a 673 ms b 224 ms c um capacitor d 590 μF 69 a 0405 rad b 276 A c capacitivo 71 a 640 Ω b 509 Ω c capacitivo 73 a 241 μH b 214 pJ c 822 nC 75 a 391 Ω b 217 Ω c capacitivo 79 a 0577Q b 0152 81 a 450o b 707 Ω 83 184 kHz 85 a 0689 μH b 179 pJ c 0110 μC 87 a 165 Ω b 313 mH c 149 μF 93 a 360 V b 299 V c 119 V d 585 V Capítulo 32 T 1 d b c a zero 2 a c b d zero 3 b c e d empatados depois a 4 a 2 b 1 5 a afastálas b na direção oposta c menor 6 a aproximálas b na direção do ímã c menor P 1 1 a 2 b 3 c e d 3 a diminuindo b diminuindo 5 ganha energia 7 a a e b empatados c d b nenhuma a placa não possui simetria circular c nenhuma 9 a 1 para cima 2 para cima 3 para baixo b l para baixo 2 para cima 3 nula 11 a 1 3 2 b 2 PR 1 3 Wb 3 a 474 μWb b para dentro 5 24 1013 Vm s 7 a 118 1019 T b 106 1019 T 9 a 501 1022 T b 451 1022 T 11 a 19 pT 13 75 105 Vs 17 a 0324 Vm b 287 1016 A c 287 1018 19 a 754 nT b 679 nT 21 a 279 nT b 151 nT 23 a 20 A b 23 1011 Vm s c 050 A d 063 μT m 25 a 063 μT b 23 1012 Vm s 27 a 071 A b 0 c 28 A 29 a 760 μA b 859 kV ms c 339 mm d 516 pT 31 55 μT 33 a 0 b 0 c 0 d 32 1025 J e 32 1034 J s f 28 1023 JT g 97 1025 J h 32 1025 J 35 a 93 1024 JT b 19 1023 JT 37 b x c horário d x 39 sim 41 208 mJT 43 b KiB c z d 031 kAm 47 a 18 102 km b 23 105 49 a 30 μT b 56 1010 eV 51 515 1024 A m2 53 a 014 A b 79 μC 55 a 63 108 A b sim c não 57 084 kJT 59 a 12 1013 Texpt0012 s b 59 1015 T 63 a 275 mm b 110 mm 65 80 A 67 a 88 1015 Vm s b 59 107 T m 69 b negativo c não porque existe um fluxo positivo penetrando na base do cilindro mais próxima do ímã 71 b x c antihorário d x 73 a 7 b 7 c 3h2π d 3eh4πm e 35h2π f 8 75 a 9 b 371 1023 JT c 927 1024J d 927 1024 J FÓRMULAS MATEMÁTICAS Equação do Segundo Grau Se ax2 bx c 0 Teorema Binomial Produtos de Vetores Seja θ o menor dos dois ângulos entre e Nesse caso Identidades Trigonométricas Derivadas e Integrais Regra de Cramer Um sistema de duas equações com duas incógnitas x e y a1x b1y c1 e a2x b2y c2 tem como soluções e Uma lista mais completa está no Apêndice E PREFIXOS DO SI Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 1024 yotta Y 101 deci d 1021 zetta Z 102 centi c 1018 exa E 103 mili m 1015 peta P 106 micro μ 1012 tera T 109 nano n 109 giga G 1012 pico P 106 mega M 1015 femto f 103 quilo k 1018 atto a 102 hecto h 1021 zepto z 10 deca da 1024 yocto y ALGUMAS CONSTANTES FÍSICAS Velocidade da luz c 2998 108 ms Constante gravitacional G 6673 1011 N m2kg2 Constante de Avogadro NA 6022 1023 mol1 Constante universal dos gases R 8314 Jmol K Relação entre massa e energia c2 8988 1016 Jkg 93149 MeVu Constante de permissividade ε0 8854 1012 Fm Constante de permeabilidade μ0 1257 106 Hm Constante de Planck h 6626 1034J s 4136 1015 eV s Constante de Boltzmann k 1381 1023 JK 8617 105 eVK Carga elementar e 1602 1019C Massa do elétron me 9109 1031 kg Massa do próton mv 1673 1027 kg Massa do néutron mn 1675 1027 kg Massa do déuteron md 3344 1027 kg Raio de Bohr a 5292 1011 m Magnéton de Bohr μB 9274 1024 JT 5788 105 eVT Constante de Rydberg R 1097 373 107m1 Uma lista mais completa que mostra também os melhores valores experimentais está no Apêndice B ALFABETO GREGO Alfa A α Iota I ι Rô P ρ Beta B β Capa K κ Sigma Σ σ Gama Γ γ Lambda Λ λ Tau Τ τ Delta Δ δ Mi M μ Ípsilon Y υ Epsílon E ε Ni N υ Fi Φ ϕ φ Zeta Z ζ Csi Ξ ξ Qui X χ Eta H η Ömicron O o Psi Ψ ψ Teta θ θ Pi Π π Ômega Ω ω ALGUNS FATORES DE CONVERSÃO Massa e Massa Específica 1 kg 1000 g 602 1026 u 1 slug 1459 kg 1 u 1661 1027 kg 1 kgm3 103 gcm3 Comprimento e Volume 1 m 100 cm 394 in 328 ft 1 mi 161 km 5280 ft 1 in 254 cm 1 nm 109 m 10 Å 1 pm 1012 m 1000 fm 1 anoluz 9461 X 1015 m 1 m3 1000 L 353 ft3 264 gal Tempo 1 d 86 400 s 1 ano 365 d 6h 316 X 107 s Ângulos 1 rad 573 0159 rev π rad 180 rev Velocidade 1 ms 328 fts 224 mih 1 kmh 0621 mih 0278 ms Força e Pressão 1 N 105 dina 0225 lb 1 lb 445 N 1 t 2000 lb 1 Pa 1 Nm2 10 dinacm2 145 X 104 lbin2 1 atm 101 X 105 Pa 147 lbin2 760 cm Hg Energia e Potência 1 J 107 erg 02389 cal 0738 ft lb 1 kW h 36 X 106 J 1 cal 41868 J 1 eV 1602 X 1019 J 1 hp 746 W 550 ft lbs Magnetismo 1 T 1 Wbm2 104 gauss Uma lista mais completa está no Apêndice D A unidade de potência hp é uma abreviatura do inglês horsepower que não corresponde exatamente ao cavalovapor cv que é igual a 7355 W NT