Gabarito Exercício Escolar Eletromagnetismo - Fundamentos e Resoluções

Fundamentos do Eletromagnetismo Profs Augusto Otávio Fabio Rodrigo José Roberto Irami Buarque Nome CPF Turma Data 31maio2024 GABARITO do Primeiro Exercício Escolar de 20241 Orientações Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta É permitido o uso de calculadora Dados K0 8 99 109 N m2 C2 constante eletrostática qp e 1 602 1019C carga nuclear 1º 250 pontos Uma carga puntiforme de 50µC é localizada no ponto de coordenadas x 1 0 m y 3 0 m e uma carga puntiforme de 40µC é localizada no ponto x 2 0 m y 2 0 m Determine o módulo do campo elétrico no ponto de coordenadas x 3 0 m y 1 0 m Resolução da 1ª questão O campo elétrico resultante produzido no ponto P x 3 0 m y 1 0 m pelas cargas puntiformes será dado pela soma vetorial Ep E1p E2p 1 onde E1p e E2p são os campos elétricos gerados pelas cargas q1 5 0µC e q2 4 0µC no ponto P respectivamente e Ep é o campo elétrico resultante em P Para a carga q1 5 106C localizada no ponto P11m 3m o campo elétrico E1p é dado pela expressão E1p Ko q1 r3 1p r1p 2 Sendo a posição do ponto P dado pelo vetor rp 3mi 1mj e a posição da carga q1 dada pelo vetor r1 1mi 3mj então r1p rp r1 4mi 2mj r1p 20m 4 47m r3 1p 89 44m3Logo E1p Ko q1 r3 1p r1p 2i j 103NC 3 Para a carga q2 4 0 106C localizada no ponto P22m 2m temos r2p rp r2 5mi 3mj r2p 34m 5 83m r3 2p 198m3 Daí resulta que E2p Ko q2 r3 2p r2p 0 91i 0 54j 103NC 4 O campo Ep usandoa relação 1 será portanto Ep 1 09 103i 1 54 103jNC com módulo igual à 1 89 103NC 2º 250 pontos No modelo atômico de Thompson supunhase que o átomo apresentava uma simetria esférica e que sua carga elétrica positiva estava uniformemente distribuída densidade volumétrica ρC m³ constante ao longo de uma esfera de raio R igual a aproximadamente 10 10¹⁰m Desprezando os possíveis efeitos dos elétrons de acordo com essa hipótese atômica e usando a Lei de Gauss para a eletrostática determine a 150 ponto a intensidade do campo elétrico para pontos internos r R e externos r R ao átomo considerando uma esfera maciça b100 ponto o módulo do campo elétrico na superfície de um átomo de ouro número atômico Z 79 Resolução da 2ª questão a Considerando o átomo como uma distribuição de cargas positivas em uma esfera de raio R e de densidade de carga uniforme a partir da lei de Gauss aplicada a uma superfície gaussiana esférica Σr de raio r R obtemos Σr E dA qintrε₀ Eint Aesf r qrε₀ Eintr q4πε₀ r² 1 onde q e a fração de carga contida da esfera de raio r A fração restante da carga situada fora dessa esfera não contribui para o valor do campo elétrico existente a uma distância r do centro Para pontos internos a essa esfera a fração de carga será ρ constante qr43πr³ q43πR³ q q 43πr³43πR³ q q r³R³ 2 Assim substituindo 2 em 1 Eint q r³R³4πε₀ r² Eintr q4πε₀ R³ r r R 3 O módulo campo decresce linearmente com r sendo E 0 no centro r 0 Para pontos em que r R a superfície Gaussiana engloba toda a carga q q De 1 Eextr q4πε₀ 1r² r R 4 b Ponto na superfície r R De 3 vem Esup ErR q4πε₀ R³ R Esup q4πε₀ R² O campo atinge o valor máximo isto é Esup q4πε₀ R² Sendo o átomo de ouro com Z 79 Esup Zq4πε₀ R² Esup 9 10⁹ 79 1602 10¹⁹ 10 10¹⁰² NC 11 10¹³ NC 3º250 pontos Quatro cargas iguais a 3 0µC se encontram nos vértices de um quadrado de lado 3 0 cm Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de 10µC que se desloca em equilíbrio do infinito até metade de um dos lados do quadrado Resolução da 3ª questão O trabalho realizado pelo campo elétrico W sobre a carga qp 10µC será igual ao negativo do produto da carga pelo potencial elétrico gerado pelas quatro cargas na metade de um dos lados do quadradro Assim temos W qpVp O potencial elétrico no ponto Pmetade de um dos lados do quadrado será igual à Vp 2Ko q r1 q r2 com r1 3 35 cm e r2 1 5 cm Sendo q 3µC o potencial no ponto P será igual à Vp 2Ko q r1 q r2 2 8 99 109 3 106 1 3 35 102 1 1 5 102V 5 20 106V Assim o trabalho do campo elétrico será W qp Vp52 0J 4ª 250 pontos Considere um circuito composto por duas fontes de tensão E1 10 0 V e E2 5 0 V de dois resistores R1 3 00 Ω e de um resistor R2 4 00 Ω associados conforme a figura 2 abaixo Determine a 150 ponto as correntes em cada um dos ramos do circuito e seus respectivos sentidos b 100 ponto o valor da resistência R1 que maximiza a potencia dissipada em cada resistor R1 Page 3 Resolução da 4ª questão a Usando as leis das malhas podemos encontrar as correntes nos ramos do circuito Para as malhas I e II temos malhaI E1 i1 R1 3 i1R2 0 i1 3 E1 R1 3R2 3 10V 3 12Ω 2 00A malha II E1 2i2R2 E2 0 i2 E1 E2 2R2 5V 2 4Ω 0 625A Segue então que i3 i2 i1 2 62A Valores positivos obtidos para i1 i2 e i3 indicam que os senti dosescolhidos arbitrariamente dessas correntes no circuito estão corretos b A potencia dissipida em cada resistor R1 em função do valor da sua resistência será dada pela função PR1 iR12 R1 E1 12 R1 2 R1 Derivando P em relaão a R1 e depois igualando a zero teremos dP dR1 0 E2 12 R12 2 E2 12 R13 R1 0 R1 12Ω Page 4