Resolução Atividade Cálculo 2

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉNICA DE PERNAMBUCO DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EM VÁRIAS VARIÁVEIS TURMA PROFESSOR CARLOS BOTELHO ALUNOA ASSINATURA DO ALUNOA TRABALHO DO 2º EXERCICIO ESCOLAR valor 20 pontos 01Esboçar a curva de equação polar r 6cosθ e calcular a área delimitada pela mesma use duas decimais Cálculo da área 02Encontre o comprimento exato da curva y ln secx x em 0π4 03Encontre o centroide da região delimitada pelas curvas y2cosxy0 x0 e xπ2 Bom trabalho θ r 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 1 r 6cosθ θ r 0 6 π6 33 π4 32 π3 3 π2 0 2π3 3 3π4 32 5π6 33 π 6 Sem cálculo Area A A πR2 π 32 9πμa Com cálculo A 0π 12 r2 dθ A 0π 12 6cosθ2 dθ 0π 12 36cos2θ dθ A 18 0Π ecos2θ dθ Lembre cos2θ cos2θ sen2θ cos2θ cos2θ 1 cos2θ cos2θ 2 cos2θ 1 2 cos2θ 1 cos2θ A 9 0Π 2 ecos2θ dθ 9 0π 1 cos2θ dθ A 9 θ 12 sen2θ 0π A 9 π 12 sen2Π 0 12 sen0 A 9 π 0 0 A 9πμa 2 Encontrar comprimento exato de y lnsec x x 0 π4 y secxtgx secx tgx Regra da cadeia Dai o comprimento é dado por L 0π4 1 y2 dx L 0π4 1 tg2x dx Lembre 1 tg2x sec2x L 0π4 sec2x dx 0π4 secx dx L ln secx tgx 0π4 L ln secπ4 tgπ4 ln sec 0 tg 0 L ln 2 1 ln 1 0 L ln 2 1 ln10 L ln 2 1 μe 3 Encontrar o centroide da região limitada por y 2cosx y 0 x 0 e x π2 y x0 Elemento dx Região x π2 x π2 lembre x x dA dA e y y dA dA Elemento dx y2 y x x y y2 dx Agora calculando dA y dx 0π2 2cosx dx dA 2 senx 0π2 2 x 2 dA x y dx x dA x 2cosx dx LIATE μ 2x v sen x dμ 2 dx dv cos x dx x dA 2 x sen x sen x 2 dx x dA 2 x sen x π20 π20 2 sen x dx Assim x dA 2 π2 sen π2 2 0 sen 00 π20 2 sen x dx x dA π 2 cos xπ20 x dA π 2 cos π2 2 cos 0 x dA π 2 π 2 y dA y2 y dx 12 π20 4 cos²x dx y dA π20 2 cos²x dx π20 1 cos 2x dx y dA x 12 sen 2xπ20 y dA π2 12 sen π 0 12 sen 0 y dA π2 Portanto x x dA dA π 22 π2 1 y y dA dA π22 π4 centroide Cx y π2 1 π4