Capítulo 2: Ondas Eletromagnéticas

Eletromagnetismo 2 Capítulo 2 Ondas eletromagnéticas Professor Renan Carvalho rvbcpolibr Sumário 1 Introdução 2 Ondas em geral 3 Propagação de ondas em dielétricos com perdas 4 Ondas planas em dielétricos sem perdas 5 Ondas planas no espaço livre 6 Ondas planas em bons condutores 7 Ondas transversais eletromagnéticas 8 Potência e o vetor de Poynting 9 Reflexão de uma onda plana com incidência normal 10 Reflexão de uma onda plana com incidência oblíqua 1 Introdução A existência das ondas eletromagnéticas foi prevista inicialmente por Maxwell e comprovada por Hertz Ondas são um meio de transportar energia ou informação Exemplos de ondas eletromagnéticas Ondas de rádio sinais de televisão feixes de radar e luz Meios de propagação Espaço livre Dieletricos sem perdas Dieletricos com perdas Bons condutores 2 Ondas em geral Uma onda é uma função do espaço e do tempo Em uma dimensão uma equação de onda escalar tem a forma de ²Et² u²²Ez² 0 ou ²Ez² 1u²²Et² 0 u é a velocidade da onda e o meio é livre de fonte ρv 0 e J 0 Ondas Assumindo uma dependência harmônica senoidal temporal a equação de onda tornase Ao tomar a parte imaginária da solução E Aejωtβz temse que E A senωt βz Ondas Ondas Ondas 3 Propagação de ondas em dielétricos com perdas Dieletrico com perdas Meio no qual ondas eletromagнеticas perdem energia à medida que se propagam devido a condutividade desse meio Parcialmente condutor dielétrico imperfeito ou condutor imperfeito no qual σ 0 Retornando às equações de Maxwell D ρv B 0 E Bt H J Dt Dieletrico com perdas Considerando um meio Dieletrico com perdas Linear isotrópico e homogêneo Livre de cargas ρv 0 As equações de Maxwell ficam E 0 H 0 E μHt H j εEt Ondas em um diéletrico com perdas Equações de Helmholtz Constante de propagação Equação da onda Equação da onda Impedância intrínseca Atenuação Assim overlineHz t Re left fracE0eta eaz ejomega t beta z hatay right overlineHz t fracE0eta eaz cosomega t beta z hetaeta hatay overlineEz t e overlineHz t decrescem em amplitude por um fator eaz alpha é conhecida como a constante de atenuação do meio 1 Np 20 log10 e 8686 dB Defasagem e ângulo de perdas overlineE e overlineH estão defasados overlineE adiantado em relação a overlineH por hetaeta em qualquer instante de tempo A razão entre os módulos das densidades de corrente de condução overlineJ e de deslocamento overlineJd em um meio com perdas é fracoverlineJoverlineJd fracsigma overlineEsjomegaepsilon overlineEs fracsigmaomegaepsilon an heta an heta é a tangente de perdas e heta é o ângulo de perdas do meio Permissividade complexa Como an 2 hetaeta fracsigmaomegaepsilon e an heta fracsigmaomegaepsilon então heta 2 hetaeta Partindo de abla imes overlineHs sigma jomegaepsilon overlineEs temse que abla imes overlineHs sigma jomegaepsilon overlineEs jomegaepsilonc overlineEs epsilonc epsilon left 1 fracjsigmaomegaepsilon right epsilonc epsilon jepsilon epsilon epsilon e epsilon fracsigmaomega epsilonc é permissividade complexa do meio an heta fracepsilonepsilon fracsigmaomegaepsilon 4 Ondas planas em dielétricos sem perdas Propagação em dielétricos sem perdas É um caso especial de um dielétrico com perdas exceto que σ 0 ε ε₀εₜ μ μ₀μᵣ Substituindo nas equações α ω με2 1 σωε² 1 β ω με2 1 σωε² 1 temse que α 0 β ω με Propagação em dielétricos sem perdas Assim u ωβ 1με λ 2πβ Por fim vêse que η jωμσ jωε jωμjωε η με 0 Dessa forma Ez t E₀cosωt βzâₓ e Hz t E₀εμcosωt βzâᵧ Logo E e H estão em fase no tempo 5 Ondas planas no espaço livre Propagação no espaço livre É um caso especial de um dielétrico sem perdas sendo que σ 0 ε ε0 μ μ0 Substituindo nas equações α ω 2 με 1 σωε² 1 β ω 2 με 1 σωε² 1 Temse que α 0 β ωμ0ε0 ωc Propagação no espaço Livre u ωβ 1μ0ε0 c λ 2πβ c 3 108 ms é a velocidade da luz no vácuo η jωμ0σ jωε0 jωμ0jωε0 η μ0ε0 0 η0 η0 120π 377 Ω η0 é a impedância intrínseca do espaço livre Propagação no espaço livre 6 Ondas planas em bons condutores Propagação em bons condutor Propagação em bons condutores u ωβ 2ωμσ λ 2πβ η ωμσ 45 Dessa forma vecEz t E0 eαz cosωt βz hatax e vecHz t E0 σωμ eαz cosωt βz 45 hatay Logo vecE está adiantado em relação a vecH de 45 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Efeito pelicular Durante a propagação em um meio condutor as amplitudes de vecE e vecH são atenuadas por um fator eαz A distância δ na qual a amplitude da onda decrese por um fator e1 cerca de 37 é chamada de profundidade de penetração pelicular Ou seja δ 1α Para bons condutores δ 1πfμσ O efeito pelo qual a intensidade de campo em um condutor decresce rapidamente é conhecido como efeito pelicular Para altas frequências é uma boa aproximação que toda a corrente flui em um anel circular de espessura δ Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Efeito pelicular Frequência Hz 10 60 100 500 104 108 Profundidade pelicular mm 208 86 66 299 066 66 x 103 66 x 104 SADIKU M N O Elementos de Eletromagnetismo 5ª ed 2012 Editora Bookman Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Efeito pelicular Efeito pelicular 7 Ondas transversais eletromagnéticas Ondas transversais eletromagnéticas Ondas transversais eletromagnéticas 8 Potência e o vetor de Poynting Potência e o vetor de Poynting Potência e o vetor de Poynting Potência e o vetor de Poynting S E H dS é a potência total que deixa o volume O vetor de Poynting Wm² é p E H O vetor de Poynting representa o vetor densidade de potência instantânea associada com o campo eletromagnético em um dado ponto A integral do vetor de Poynting sobre qualquer superfície fechada fornece a potência liquida que flui para fora desta superfície Sobre o vetor de Poynting Devese notar que p é perpendicular tanto a E quanto a H p está orientado ao longo da propagação da onda plana uniforme O teorema de Poynting estabelece que a potência líquida que flui para fora de um volume v é igual à taxa temporal de decréscimo da energia armazenada em v menos as perdas por condução Potência e o vetor de Poynting Assumindo que overrightarrowEz t E0 ealpha z cosomega t beta z hatax então overrightarrowHz t fracE0eta ealpha z cosomega t beta z hetaeta hatay Dessa forma overrightarrowPz t fracE02eta e2alpha z cosomega t beta z cosomega t beta z hetaeta hataz overrightarrowPz t fracE022eta e2alpha z cos hetaeta cos2omega t 2beta z hetaeta hataz A média temporal do vetor de Poynting overlineoverrightarrowPmedz em Wm² sobre o período T frac2piomega é overlineoverrightarrowPmedz frac1T int0T overrightarrowPz tdt overlineoverrightarrowPmedz frac12 extReoverrightarrowEs imes overrightarrowHs overlineoverrightarrowPmedz fracE022eta e2alpha z cos hetaeta hataz A potência média total que atravessa uma dada superfície S é dada por Pmed S Pmed dS Logo temse o seguinte Px y z t é o vetor de Poynting em Wm² Pmedx y z é a média temporal do vetor de Poynting em Wm² Pmed é a potência média total que atravessa uma superfície em watts é uma grandeza escalar 9 Reflexão de uma onda plana uniforme com incidência normal Introdução Ao mudar de meio uma onda plana é parcialmente refletida e parcialmente transmitida A proporção da onda incidente que é refletida ou transmitida depende dos parâmetros ε μ σ dos meios envolvidos Suponha que a onda plana incidente é perpendicular à superfície de separação entre os dois meios Incidência normal da onda plana uniforme Campos resultantes Campos na interface Coeficientes de transmissão e reflexão Notase que 1 Γ τ Γ e τ não possuem dimensão e podem ser complexos 0 Γ 1 Caso especial meio 1 é um dielétrico perfeito e o meio 2 é um condutor perfeito Γ 1 e τ 0 A onda totalmente refletida se combina com a onda incidente para formar uma onda estacionária Uma onda estacionária para e não se desloca pois ela consiste em duas ondas viajantes Ei e Er de mesma amplitude mas com sentidos opostos Onda estacionária Como Eisz Ei0eγ1zax e Ersz Er0eγ1zax a onda estacionária no meio 1 é E1s Eis Ers Ei0eγ1z Er0eγ1zax Porém Γ Er0Ei0 1 σ1 0 α1 0 γ1 jβ1 Logo E1s Ei0ejβ1z ejβ1zax E1s 2jEi0 senβ1z ax Onda estacionária Onda estacionária Onda estacionária Onda estacionária Onda estacionária Onda estacionária 10 Reflexão de uma onda plana uniforme com incidência oblíqua Caso geral Será considerada uma situação mais geral para um meio sem perdas para um meio com perdas devese substituir ε por εc Uma onda plana uniforme pode ser representada pela expressão geral vecE vecE0 cos veck cdot vecr omega t Re vecE0 ejveck cdot vecr omega t O módulo de veck é dado por k2 k2x k2y k2z omega2 mu epsilon Meio sem perdas Para um meio sem perdas k é o mesmo beta das seções anteriores Com a forma geral de vecE vecE0 cos veck cdot vecr omega t Re vecE0 ejveck cdot vecr omega t as equações de Maxwell se reduzem a veck imes vecE omega mu vecH veck imes vecH omega epsilon vecE veck cdot vecE 0 veck cdot vecH 0 Logo vecE vecH e veck são mutuamente ortogonais vecE e vecH estão no mesmo plano veck cdot vecr kx x ky y kz z constante O campo vecH correspondente a forma geral de vecE é dado por vecH frac1omega mu veck imes vecE frachatak imes vecEeta Incidência oblíqua de uma onda plana uniforme em uma interface plana O plano definido pelo vetor propagação veck e um vetor unitário vecan normal à superfície de separação entre os dois meios é chamado plano de incidência