Eletromagnetismo: Capítulo 1 - Equações de Maxwell

Eletromagnetismo 2 Capítulo 1 Equações de Maxwell Professor Renan Carvalho rvbcpolibr Sumário 1 Lei de Faraday 2 Fem de movimento e Fem de transformador 3 Corrente de deslocamento 4 Equações de Maxwell nas formas finais 5 Potenciais variáveis no tempo 6 Campos harmônicos no tempo Considere uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo Então 1 Lei de Faraday Aplicando o teorema de Stokes temse que S E dS S Bt dS Introdução Oersted Uma corrente estacionária produz um campo magnético Michael Faraday e Joseph Henry Um campo magnético variante no tempo produz uma corrente elétrica Experimento de Faraday Um campo magnético estático não produz fluxo de corrente mas um campo magnético variante no tempo produz uma tensão induzida chamada de força eletromotriz fem em um circuito elétrico fechado o que gera um fluxo de corrente Lei de Faraday a fem induzida Vfem em volts em qualquer circuito fechado é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético enlaçado pelo circuito Vfem dλdt N dΨdt N é o número de espiras λ é o fluxo total e Ψ é o fluxo em cada espira O sinal negativo mostra que a tensão induzida age de tal forma a se opor ao fluxo que produziu Lei de Lenz O sentido de fluxo da corrente induzida produz um campo magnético que se opõe ao campo magnético original Campo elétrico Eletrostática Campos elétricos são causados por cargas elétricas Entretanto existem campos elétricos causados não diretamente por cargas elétricas Eles são produzidos por fem Algumas fontes de fem são geradores elétricos baterias e células fotovoltaicas todas elas convertem energia não elétrica em energia elétrica 2 Fem de movimento e fem de transformador Lei de Faraday forma integral Pela lei de Faraday vêse a variação do fluxo de campo magnético com o tempo pode ser causada de três maneiras diferentes Uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo A área de uma espira variável no tempo em um campo magnético estático A área de uma espira variável no tempo em um campo magnético variável no tempo Fem de transformador Fem de transformador Fem de movimento Fem de movimento Fem de movimento Fem total 3 Corrente de deslocamento Lei circuital de Ampère Para campos eletromagnéticos estáticos temse que abla imes vecH vecJ A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero Ou seja abla cdot abla imes vecH abla cdot vecJ 0 Porém de acordo com a equação de continuidade da corrente temse que abla cdot vecJ fracpartial rhopartial t Assim as equações abla cdot vecJ 0 e abla cdot vecJ fracpartial rhopartial t são incompatíveis para campos variantes no tempo Densidade de corrente de deslocamento A lei circuital de Ampère deve ser modificada para compatibilizarse com a equação de continuidade de corrente Para isso é adicionado um termo vecJd na lei circuital de Ampère tal que ela se torna abla imes vecH vecJ vecJd A divergência do rotacional de um vetor é igual zero Então abla cdot abla imes vecH abla cdot vecJ abla cdot vecJd 0 abla cdot vecJd abla cdot vecJ fracpartial rhopartial t abla cdot vecJd fracpartialpartial t abla cdot vecD abla cdot fracpartial vecDpartial t Logo vecJd fracpartial vecDpartial t Densidade de corrente de deslocamento Lei circuital de Ampère para campos magnéticos variáveis no tempo Corrente de deslocamento 4 Equações de Maxwell nas formas finais Equações de Maxwell nas formas finais Contribuições de Maxwell Unificou a teoria da electricidade e do magnetismo Introduziu a corrente de deslocamento a qual levou à descoberta das ondas eletromagnéticas por Hertz Maxwell compilou as leis do eletromagnetismo em quatro equações Forma diferencial Forma integral Significado D ρV S D dS V ρV dv Lei de Gauss B 0 S B dS 0 Inexistência de carga magnética isolada E Bt S E dl S B dS Lei de Faraday H J Dt L H dl S J Dt dS Lei circuital de Ampère Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco 5 Potenciais variáveis no tempo Campo elétrico B A A é o vetor potencial magnético Utilizando a lei de Faraday E Bt temse que E t A E At 0 Assim E At V E At V Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Campo elétrico CONCLUSÕES EM CAMPOS VARIANTES NO TEMPO TANTO mathbfE QUANTO mathbfB DEPENDEM DE mathbfA mathbfE PODE SER VISTO COMO UMA COMPOSIÇÃO DE DUAS PARTES UMA É DEVIDA À UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA rho A OUTRA É CONSEQUÊNCIA DE UMA CORRENTE VARIÁVEL mathbfJ NO TEMPO Condições de Lorentz DA LEI DE GAUSS abla cdot mathbfD rhov E DO CAMPO ELÉTRICO COM OS POTENCIAIS ELÉTRICO E MAGNÉTICO mathbfE partial mathbfApartial t abla V TEMSE QUE abla cdot mathbfD rhov COMO mathbfD epsilon mathbfE abla cdot mathbfE fracrhovepsilon abla cdot mathbfE fracrhovepsilon abla2 V fracpartialpartial t abla cdot mathbfA abla2 V fracpartialpartial t abla cdot mathbfA fracrhovepsilon Condições de Lorentz APLICANDO O ROTACIONAL NOS DOIS LADOS DE mathbfB abla imes mathbfA OBTÉMSE abla imes mathbfB abla imes abla imes mathbfA SABENDO QUE mathbfD epsilon mathbfE mathbfB mu mathbfH mathbfE partial mathbfApartial t abla V abla imes mathbfH mathbfJ partial mathbfDpartial t ENTÃO abla imes abla imes mathbfA abla imes mathbfB mu abla imes mathbfH mu mathbfJ mu fracpartial mathbfDpartial t mu mathbfJ mu epsilon fracpartial mathbfEpartial t abla imes mathbfB mu mathbfJ mu epsilon fracpartialpartial t leftfracpartial mathbfApartial t abla Vright mu mathbfJ mu epsilon abla leftfracpartial Vpartial tright mu epsilon fracpartial2 mathbfApartial t2 Condições de Lorentz Equações de onda Equações de onda 6 Campos harmônicos no tempo Fasor Um campo harmônico no tempo é aquele que varia periodicamente ou senoidalmente com o tempo Senóides são expressas geralmente como fasores Um fasor z é um número complexo que pode ser escrito como Propriedades básicas dos fasores Para introduzir a dependência temporal façamos phi omega t heta heta pode ser uma função do tempo ou do espaço ou uma constante As partes real Re e a imaginária Im de rejphi rej heta ejomega t são dadas respectivamente por Rerejphi r cosomega t heta Imrejphi r sinomega t heta Um fasor pode ser um escalar ou um vetor Se um vetor vecA xyzt é um campo harmônico no tempo a forma fasorial de vecA é vecAsxyz estando estas duas grandezas relacionadas conforme vecA RevecAs ejomega t Se vecA A0 cosomega t beta x haty podese escrever vecA como vecA ReA0 ejbeta x haty ejomega t Ou seja a forma fasorial de vecA é vecAs A0 ejbeta x haty Determinar a derivada no tempo de uma grandeza instantânea é equivalente a multiplicar a sua forma fasorial por jomega Ou seja fracpartial vecApartial t rightarrow jomega vecAs De maneira análoga int vecA dt rightarrow fracvecAsjomega Derivação e integração As equações de Maxwell para campos harmônicos no tempo em um meio linear isotrópico e homogêneo são Forma diferencial Forma integral vecDs rho vs intL vecDs cdot dvecS intv rhov d v vecBs 0 intS vecBs cdot dvecS 0 vecEs jomega vecBs intL vecEs cdot dvecl jomega intS vecBs cdot dvecS vecHs vecJs jomega vecDs intL vecHs cdot dvecl intS vecJs jomega vecDs cdot dvecS Observe que o fator ejomega t desaparece Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco