Análise de Circuitos Elétricos: Método Nodal e Dualidade - Exercícios Resolvidos

A a ARMAR A ÁRVORE b ESCREVER AS EQUAÇÕES EM TERMOS DE CORRENTE E TENSÃO c CONSTRUIR O DUAL B CALCULAR I0 TOTAL SABESE QUE Z uj2 COS UT f 2000 CPS I0 uj A V0 uj2 V C CALCULAR V2 PARA QUE I1 SEJA IGUAL A ZERO a Primeiro identificar os nós do circuito Segundo identificar todos os laços possíveis Um laço é qualquer caminho que começa em um determinado nó e termina nele mesmo 1421 14321 1321 14231 2432 21342 Notase que podemos encontrar caminhos alternativos mas serão repetidos aos já encontrados Terceiro montar o grafo correspondente Quarto a árvore é montada se não houver no grafo nenhum loop Como há várias possibilidades de se montar uma árvore estabelecese algumas regras As fontes de tensão ficam nos ramos 14 e 43 e precisam aparecer na árvore A fonte de corrente fica no ramo 12 e não deve aparecer na árvore Se existem 4 nós no circuito devem aparecer 4 nós na árvore Devem aparecer 413 ramos na árvore Nenhum nó deve ficar isolado b Por análise nodal escolhendo o nó 4 como nó de referência v2v3 jω XC 1 v3 R2 jω XL 1 1 v3 R2 jω X L2 v1 R1j XC 1 2 Uma terceira equação é necessária usando LKC para o nó 4 v2 1 R3 j ωX L3 1 R4 jX C2 1 v3 R2 jω X L2 v1 R1 j XC 1 Assim é possível descobrir as tensões v1v2e v3 e de posse dessas tensões descobrir as respectivas correntes nos ramos c No dual cada malha tornase um nó É necessário um nó de referência no caso o nó 4 A lógica do dual é o seguinte a malha 1 e 2 compartilham uma fonte de corrente No dual inverte para fonte de tensão A malha 2 e 3 compartilham uma associação em paralelo que se transforma em série os indutores e capacitores se invertem entre si de papeis Todos os outros elementos isolados nas malhas individuais são conectados ao nó 4 paralelamente Com inversão de papeis fonte de corrente vira fonte de tensão indutor vira capacitor e viceversa Frequência angular ω2πf 4000 π rad s Rotulando as malhas Todas circulam no sentido horário Os cálculos serão realizados no domínio da frequência Onde xcorrente damalha1 ycorrente damalha2 zcorrente damalha3 wcorrente damalha 4 Malha 1 72435 xy 73 xz 0 Malha 2 28 y72 yw35 yx 0 Malha 3 64 z73 zx 74 zw 0 Malha 4 72 wy 724 w j 4000π 002w j 4000π 3010 6 w74 wz 0 Utilizando uma calculadora de sistema de equações que envolvem números complexos wI t0532cos4000π177 A Fazendo a LKT para a malha 1 no domínio da frequência xcorrente damalha2 ycorrente damalha3 ztensãoV 2 Malha 1 72 cos20i sin203 j0y 5 j0x 0 Malha 2 z5 jx2 xy 4 jx0 Malha 3 2 yx 3 jy2 jy0 Usando uma calculadora de sistema de equações que utiliza números complexos zV 22466087 11 V a Primeiro identificar os nós do circuito Segundo identificar todos os laços possíveis Um laço é qualquer caminho que começa em um determinado nó e termina nele mesmo 1 4 2 1 1 4 3 2 1 1 3 2 1 1 4 2 3 1 2 4 3 2 2 1 3 4 2 Notase que podemos encontrar caminhos alternativos mas serão repetidos aos já encontrados Terceiro montar o grafo correspondente Quarto a árvore é montada se não houver no grafo nenhum loop Como há várias possibilidades de se montar uma árvore estabelecese algumas regras As fontes de tensão ficam nos ramos 14 e 43 e precisam aparecer na árvore A fonte de corrente fica no ramo 12 e não deve aparecer na árvore Se existem 4 nós no circuito devem aparecer 4 nós na árvore Devem aparecer 4 1 3 ramos na árvore Nenhum nó deve ficar isolado b Por análise nodal escolhendo o nó 4 como nó de referência 𝑣2 𝑣3 𝑗𝜔𝑋𝐶1 𝑣3 𝑅2 𝑗𝜔𝑋𝐿1 1 𝑣3 𝑅2 𝑗𝜔𝑋𝐿2 𝑣1 𝑅1 𝑗𝑋𝐶1 2 Uma terceira equação é necessária usando LKC para o nó 4 𝑣2 1 𝑅3 𝑗𝜔𝑋𝐿3 1 𝑅4 𝑗𝑋𝐶2 1 𝑣3 𝑅2 𝑗𝜔𝑋𝐿2 𝑣1 𝑅1 𝑗𝑋𝐶1 Assim é possível descobrir as tensões 𝑣1 𝑣2 𝑒 𝑣3 e de posse dessas tensões descobrir as respectivas correntes nos ramos c No dual cada malha tornase um nó É necessário um nó de referência no caso o nó 4 A lógica do dual é o seguinte a malha 1 e 2 compartilham uma fonte de corrente No dual inverte para fonte de tensão A malha 2 e 3 compartilham uma associação em paralelo que se transforma em série os indutores e capacitores se invertem entre si de papeis Todos os outros elementos isolados nas malhas individuais são conectados ao nó 4 paralelamente Com inversão de papeis fonte de corrente vira fonte de tensão indutor vira capacitor e viceversa Frequência angular 𝜔 2𝜋𝑓 4000𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Rotulando as malhas Todas circulam no sentido horário Os cálculos serão realizados no domínio da frequência Onde 𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 1 𝑦 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 2 𝑧 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 3 𝑤 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 4 Malha 1 724 35𝑥 𝑦 73𝑥 𝑧 0 Malha 2 28𝑦 72𝑦 𝑤 35𝑦 𝑥 0 Malha 3 64𝑧 73𝑧 𝑥 74𝑧 𝑤 0 Malha 4 72𝑤 𝑦 724𝑤 𝑗4000𝜋002𝑤 𝑗 4000𝜋30 106 𝑤 74𝑤 𝑧 0 Utilizando uma calculadora de sistema de equações que envolvem números complexos 𝑤 𝐼𝑡 0532 cos4000𝜋 177 𝐴 Fazendo a LKT para a malha 1 no domínio da frequência 𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 2 𝑦 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 3 𝑧 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑉2 Malha 1 72cos 20 𝑖 sin20 3𝑗0 𝑦 5𝑗0 𝑥 0 Malha 2 𝑧 5𝑗𝑥 2𝑥 𝑦 4𝑗𝑥 0 Malha 3 2𝑦 𝑥 3𝑗𝑦 2𝑗𝑦 0 Usando uma calculadora de sistema de equações que utiliza números complexos 𝑧 𝑉2 246608711 𝑉