Circuitos Elétricos 2: Excitação Senoidal e Análise de Circuitos

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO Escola Politécnica de Pernambuco CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 Prof Eduardo Henrique Diniz Fittipaldi DSc Recife PE SUMÁRIO 1 EXCITAÇÃO SENOIDAL E FASORES A EXCITAÇÃO SENOIDAL Função Senoidal Circuito RL com Excitação Senoidal EXCITAÇÃO COMPLEXA Números Complexos Excitação Complexa Circuito RL com Excitação Complexa FASORES E O MÉTODO FASORIAL Relações Tensão Corrente para Fasores Impedância e Admitância Leis de Kirchhoff e o Método Fasorial Circuitos Fasoriais 2 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL ANÁLISE DE CIRCUITOS PELO MÉTODO FASORIAL Análise de Nós Análise de Malhas Teoremas de Circuitos Princípio da Superposição e Teoremas de Thévenis e de Norton 3 POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL POTÊNCIA INSTANTÂNEA E POTÊNCIA MÉDIA VALORES EFICAZES FATOR DE POTÊNCIA E POTÊNCIA COMPLEXA 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS SISTEMAS MONOFÁSICOS A TRÊS FIOS SISTEMAS TRIFÁSICOS Ligação Y e Ligação Δ Potências Trifásicas Transformação YΔ e ΔY 5 FREQUÊNCIA COMPLEXA E FUNÇÕES DE REDE SENOIDE AMORTECIDA FREQUÊNCIA COMPLEXA E FASORES GENERALIZADOS Frequência Complexa Fasores Generalizados Impedâncias e Admitâncias Generalizadas FUNÇÕES DE REDE Polos e Zeros Frequências Naturais e a Resposta Natural de Um Circuito Resposta Completa pelo Método Fasorial Generalizado Quadripolos 6 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS RESPOSTAS EM AMPLITUDE E FASE DIAGRAMAS DE BODE FILTROS PASSIVOS Tipos Ressonância de Circuitos Índice de Mérito Fator de Escala TÓPICO ESPECIAL TRANSFORMADORES CAPÍTULO 1 EXCITAÇÃO SENOIDAL E FASORES Este capítulo tem o objetivo de aprofundar o estudo das excitações senoidais principal fonte de excitação de energia elétrica em todo o mundo Além da se noidal as principais outras formas de excitação são a função constante e a ex ponencial No entanto a geração transmissão distribuição e consumo de ener gia elétrica na sua grande maioria é feita como uma função alternada senoidal Também serão apresentados os conceitos de fasores impedâncias e admitân cias e discutido o Método Fasorial para a análise de circuitos com excitações senoidais 1 Excitação Senoidal Esta seção apresenta os principais conceitos da forma mais usual de tensões e correntes em todo o mundo a função senoidal Esta é a principal forma de ten sões e correntes alternadas utilizadas em diversos sistemas elétricos Dessa forma logo no início do curso serão apresentadas em detalhes a ten são e a corrente senoidais 31 Definições e Conceitos A excitação senoidal corresponde a alimentar um circuito elétrico a partir de uma função senoidal do tipo 𝑣𝑡 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 Com 𝑣𝑡 em 𝑉 volts 𝑉𝑚 é a amplitude da senoide ou valor de pico e 𝜔 é a frequência elétrica em 𝑟𝑎𝑑𝑠 A Figura 11 apresenta esta senoide Figura 11 Função Senoidal Observase que a senoide é uma função periódica do tempo ou seja 𝑣𝑡 𝑇 𝑣𝑡 Onde 𝑇 é o período da senoide A partir da figura anterior o período da senoide pode ser dado por 𝑇 2𝜋 𝜔 Podese definir também a frequência da senoide como o inverso do período Da expressão do período para a senoide apresentada temse 𝜔𝑇 2𝜋 e como 𝑇 1 𝑓 temse que 𝜔 2𝜋𝑓 sendo 𝑓 a frequência em 𝐻𝑧 hertz Uma expressão mais geral para a senoide apresenta um deslocamento no tempo em relação à senoide original 𝑣𝑡 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 é chamado ângulo de fase ou simplesmente fase da senoide A Figura 12 mostra a senoide original e a senoide defasada da origem de um tempo 𝜔 Figura 12 Funções Senoidais Defasadas Afirmase que a senoide 𝑣1𝑡 𝑉𝑚1𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝛼 está adiantada em relação à senoide 𝑣2𝑡 𝑉𝑚2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝛽 de um ângulo 𝛼 𝛽 OBS Para poder comparar senoides e verificar quem está adiantada e quem está atrasada as frequências das senoides devem ser iguais e representadas pela mesma função trigonométrica seno ou cosseno Fórmulas Trigonométricas transformação de seno para cosseno e viceversa cos 𝜔𝑡 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜋 2 cos𝜔𝑡 Seno para cosseno 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 cos𝜔𝑡 90 Cosseno para seno cos𝜔𝑡 sen𝜔𝑡 90 Exemplos Verificar a função que está adiantada a 𝑎1 20 𝑠𝑒𝑛2𝑡 30 e 𝑎2 10 𝑠𝑒𝑛2𝑡 30 b 𝑏1 5 𝑠𝑒𝑛3𝑡 45 e 𝑏2 20 𝑐𝑜𝑠3𝑡 90 c 𝑐1 10 𝑐𝑜𝑠4𝑡 45 e 𝑐2 5 𝑐𝑜𝑠4𝑡 20 d 𝑑1 3 𝑐𝑜𝑠5𝑡 45 e 𝑑2 2 𝑐𝑜𝑠5𝑡 200 e 𝑒1 8 𝑐𝑜𝑠5𝑡 60 e 𝑒2 20 𝑐𝑜𝑠4𝑡 20 OBS Existe um erro na expressão 𝑣𝑡 20 cos2𝑡 30 Apesar disso essa notação continuará sendo usada apenas tendo o cuidado de se colocar os ângulos na mesma unidade caso se deseje calcular o valor daquela grandeza em algum instante específico OBS A soma de uma função seno com uma função cosseno de mesma frequên cia é igual a uma função cosseno de mesma frequência porém defasada da função original 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐴2 𝐵2 𝐴 𝐴2 𝐵2 cos𝜔𝑡 𝐵 𝐴2 𝐵2 sen𝜔𝑡 A partir das relações no triângulo retângulo cos𝜃 𝐴 𝐴2𝐵2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐵 𝐴2𝐵2 𝜃 𝑡𝑎𝑛1 𝐵 𝐴 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐵 𝐴 Assim 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐴2 𝐵2cos𝜃 cos𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜃 sen𝜔𝑡 A partir da trigonometria cos𝑎 𝑏 cos𝑎 cos𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏 A equação fica então 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐴2 𝐵2cos𝜔𝑡 𝜃 Onde 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐵 𝐴 rad grau 32 Circuito RL com Excitação Senoidal Seja o circuito RL a seguir Desejase determinar a corrente 𝑖𝑡 que circula no circuito Pela LKT temse 𝑣𝐿 𝑣𝑅 𝑣𝑔 0 𝑣𝐿 𝑣𝑅 𝑣𝑔 Relações tensãocorrente nos elementos passivos Das expressões anteriores 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑅 𝑖 𝑣𝑔𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 Resposta Natural 𝐿 𝑑𝑖𝑛 𝑑𝑡 𝑅 𝑖𝑛 0 𝑖𝑛𝑡 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑛 𝑑𝑡 𝐴𝑠 𝑒𝑠𝑡 Substituindo na equação temse 𝐿𝐴𝑠𝑒𝑠𝑡 𝑅𝐴𝑒𝑠𝑡 0 𝐴𝑒𝑠𝑡𝐿𝑠 𝑅 0 𝐿𝑠 𝑅 0 E a resposta natural será 𝑖𝑛𝑡 𝐴𝑒 𝑅 𝐿 𝑡 decai a zero com o tempo 𝒗𝒈𝒕 𝒗𝑳 𝒗𝑹 𝑣𝑅 𝑅 𝑖 𝑣𝐿 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑠 𝑅 𝐿 Resposta Forçada 𝐿 𝑑𝑖𝑓 𝑑𝑡 𝑅 𝑖𝑓 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑖𝑓𝑡 𝐴1 cos𝜔𝑡 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑖𝑓 𝑑𝑡 𝐴1𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐴2𝜔 cos𝜔𝑡 Substituindo na equação temse 𝐿𝐴1𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐴2𝜔 cos𝜔𝑡 𝑅𝐴1 cos𝜔𝑡 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑉𝑚cos𝜔𝑡 Igualandose os coeficientes dos termos em 𝑠𝑒𝑛 e em 𝑐𝑜𝑠 𝐿𝐴1𝜔 𝑅𝐴2 0 𝐴2 𝜔𝐿𝐴1 𝑅 𝐿𝐴2𝜔 𝑅𝐴1 𝑉𝑚 𝜔𝐿𝐴1 𝑅 𝐿𝜔 𝑅𝐴1 𝑉𝑚 𝜔2𝐿2𝐴1 𝑅2𝐴1 𝑅𝑉𝑚 𝐴1 𝑅𝑉𝑚 𝑅2𝜔2𝐿2 e 𝐴2 𝜔𝐿𝑉𝑚 𝑅2𝜔2𝐿2 E a resposta forçada será 𝑖𝑓𝑡 𝑅𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 cos𝜔𝑡 𝜔𝐿𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 E aplicando a fórmula anteriormente desenvolvida 𝑖𝑓𝑡 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 cos𝜔𝑡 𝜙 Onde 𝜙 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝜔𝐿 𝑅 Depois de um certo tempo 𝑖𝑡 se estabiliza no seu valor de regime permanente que é uma função senoidal que é a própria resposta forçada OBS Em qualquer circuito excitado por uma função senoidal com uma certa fre quência 𝜔 a resposta forçada para qualquer tensão ou corrente deste circuito será uma senoide de mesma frequência da excitação 33 Excitação Complexa 131 Números Complexos Revisão Um número complexo A é escrito na forma retangular como 𝐴 𝑎 𝑖𝑏 𝑎 𝑗𝑏 Onde 𝑎 é a parte real de 𝐴 e 𝑏 é a parte imaginária de 𝐴 Esse mesmo número complexo pode ser escrito na forma polar como 𝐴 𝐴𝑒𝑗𝐴 𝐴𝐴 Onde 𝐴 é o módulo de 𝐴 e 𝐴 é a fase de 𝐴 As formas retangular e polar se relacionam a partir das seguintes expressões 𝐴 𝑎2 𝑏2 e 𝐴 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏 𝑎 𝑎 𝐴cos 𝐴 e 𝑏 𝐴𝑠𝑒𝑛𝐴 As expressões anteriores vêm da relação A fórmula de Euler estabelece que 𝑒𝑗𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒𝑗𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 Assim 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑗𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 Re 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 Im 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 Re Im a b A A 𝑏 𝐴𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑎 𝐴cos 𝐴 132 Operações com Números Complexos a Soma e Subtração obrigatoriamente na forma retangular 𝐴 𝑎1 𝑗𝑎2 e B 𝑏1 𝑗𝑏2 𝐴 𝐵 𝑎1 𝑏1 𝑗𝑎2 𝑏2 𝐴 𝐵 𝑎1 𝑏1 𝑗𝑎2 𝑏2 OBS 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 mas 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 b Produto pode ser feito na forma retangular ou polar Retangular 𝐴 𝑎1 𝑗𝑎2 e B 𝑏1 𝑗𝑏2 𝐴 𝐵 𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 𝑗𝑎1𝑏2 𝑎2𝑏1 Polar 𝐴 𝐴𝐴 e 𝐵 𝐵𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵𝐴 𝐵 OBS 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 c Divisão pode ser em forma retangular ou polar Retangular 𝐴 𝑎1 𝑗𝑎2 e B 𝑏1 𝑗𝑏2 𝐴 𝐵 𝑎1 𝑗𝑎2 𝑏1 𝑗𝑏2 𝑏1 𝑗𝑏2 𝑏1 𝑗𝑏2 𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 𝑗𝑎2𝑏1 𝑎1𝑏2 𝑏1 2 𝑏2 2 OBS 𝐵 𝑏1 𝑗𝑏2 𝐵 𝐵 número complexo conjugado Polar 𝐴 𝐴𝐴 e 𝐵 𝐵𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 OBS 𝐴𝐵 𝐵𝐴 133 Circuito RL com Excitação Complexa Para o circuito RL anterior a excitação era da forma 𝑣𝑔𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 Se utilizarmos a nova excitação complexa 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡𝑉 Podese escrever que 𝑣𝑔 𝑅𝑒𝑣1 A partir dessa excitação a equação do circuito RL anterior fica 𝐿 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑅𝑖1 𝑣1 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 Para esta nova excitação a resposta forçada será 𝑖1𝑓 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑖1𝑓 𝑑𝑡 𝑗𝜔𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 a excitação exponencial é mais fácil de ser analisada do que a excitação senoidal Assim 𝑗𝜔𝐿𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑅𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑅 𝑗𝜔𝐿𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐴 𝑉𝑚 𝑅 𝑗𝜔𝐿 E a resposta forçada será 𝑖1𝑓 𝑉𝑚 𝑅𝑗𝜔𝐿 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚 𝑅2𝜔2𝐿2 𝑒𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚 𝑅2𝜔2𝐿2 𝑒𝑗𝜔𝑡 onde arctan 𝜔𝐿 𝑅 E como 𝑣𝑔 𝑅𝑒𝑣1 𝑖𝑓 𝑅𝑒𝑖1𝑓 E com isso 𝑖𝑓 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 cos𝜔𝑡 onde arctan 𝜔𝐿 𝑅 133 Excitações Complexas Uma vez que trabalhar com excitações exponenciais é mais simples que traba lhar com excitações senoidais será utilizada a excitação complexa 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡 ao invés da excitação senoidal 𝑣𝑔𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 e em seguida considerar apenas a parte real da resposta do circuito à excitação complexa Generalizando a ideia de se utilizar excitações complexas no lugar das excita ções senoidais seja a excitação senoidal geral 𝑣𝑔𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 A partir desta excitação uma determinada resposta forçada sempre terá a forma 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 O que se precisa é descobrir os valores de 𝐼𝑚 e de que a resposta será então determinada Para resolver esta questão seja a excitação complexa mais geral 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡𝜃 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 A partir dessa excitação complexa será determinada a solução 𝑖1𝑡 que ainda não é a resposta desejada A resposta desejada será 𝑖𝑡 𝑅𝑒𝑖1𝑡 Onde a solução 𝑖1𝑡 é da forma 𝑖1𝑡 𝑨𝑒𝑗𝜔𝑡 Como a resposta final será 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝑅𝑒𝑨𝑒𝑗𝜔𝑡 Fazendo com que 𝑨 𝐼𝑚𝑒𝑗 E assim 𝑖1𝑡 𝐼𝑚𝑒𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 mesma forma da excitação exponencial 34 Fasores e o Método Fasorial Seja a excitação de um circuito dada pela tensão senoidal geral 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 Se a frequência 𝜔 é conhecida a tensão senoidal 𝑣𝑡 fica completamente es pecificada a partir de sua amplitude 𝑉𝑚 e da sua fase 𝜃 Essas grandezas por sua vez podem ser representadas como um número complexo da seguinte forma 𝑉 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃 𝑉𝑚𝜃 Esse número complexo é definido como um FASOR ou REPRESENTAÇÃO FASORIAL de uma função senoidal Neste caso o fasor é chamado de Fasor Tensão Existe também o Fasor Corrente para uma corrente senoidal Assim temse 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡𝜃 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑣𝑡 𝑅𝑒𝑣1𝑡 𝑅𝑒𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑣𝑡 𝑅𝑒𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 Onde 𝑉 é o Fasor Tensão Exemplos Escreva os fasores para as seguintes funções senoidais função cosseno a 𝑣𝑡 10 cos4𝑡 30 b 𝑣𝑡 5 cos3𝑡 45 c 𝑣𝑡 20 cos8𝑡 50 d 𝑣𝑡 4 sen2𝑡 20 Exemplos Escreva as funções senoidais para os seguintes fasores função cosseno a 𝑉 8 60 e 𝜔 6 𝑟𝑎𝑑𝑠 b 𝑉 5 45 e 𝜔 20 𝑟𝑎𝑑𝑠 c 𝑉 18 135 e 𝜔 1000 𝑟𝑎𝑑𝑠 d 𝑉 40 160 e 𝜔 25 𝑟𝑎𝑑𝑠 FASOR TENSÃO OBS Todo FASOR está associado obrigatoriamente a uma FUNÇÃO SENOIDAL O circuito RL anterior com o conceito de fasores será 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑅𝑖 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 Seja a excitação complexa 𝑣1 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡𝜃 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 onde 𝑉 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃 é o Fasor Tensão Para esta excitação complexa a equação diferencial ficará 𝐿 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑅𝑖1 𝑣1 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 onde 𝑉 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃 e 𝜃 0 Para esta excitação a resposta forçada será 𝑖1 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑗𝜔𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 Levando os valores anteriores para a equação temse 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑅𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼 𝑉 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝑉𝑚𝑒𝑗0 𝑅2 𝜔2𝐿2𝑒𝑗 onde 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝜔𝐿 𝑅 Assim 𝐼 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝑒𝑗 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 E a resposta forçada será 𝑖1 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝑒𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝑒𝑗𝜔𝑡 A resposta desejada 𝑖𝑡 será 𝑖𝑡 𝑅𝑒𝑖1 𝑅𝑒𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑡 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 cos𝜔𝑡 onde 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝜔𝐿 𝑅 A corrente 𝑖𝑡 poderia ter sido obtida mais facilmente associando o fasor cor rente encontrado 𝐼 a partir da associação desse número complexo com a fun ção senoidal específica exatamente como foi feito no início do problema para a excitação dada No início do problema o fasor tensão foi associado a uma função senoidal da seguinte forma 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 𝑉𝑚𝑒𝑗0 𝑉𝑚0 Para o fasor corrente encontrado poderseia usar a mesma associação com a função senoidal original Assim 𝐼 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝑒𝑗 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝑖𝑡 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 cos𝜔𝑡 onde 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝜔𝐿 𝑅 Buscase então um método para encontrar 𝐼𝑚 e diretamente sem precisar escrever a equação diferencial do circuito Esse método existe e é conhecido como Método Fasorial e será desenvolvido a partir das relações entre os fasores tensão e corrente do circuito em análise 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝑉 𝑉𝑚𝜃 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝐼 𝐼𝑚 FASOR TENSÃO FASOR CORRENTE 341 Relações TensãoCorrente para Fasores a Resistores A relação tensãocorrente para os resistores no tempo é dada pela Lei de Ohm 𝑣 𝑅 𝑖 Se 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 e 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 e 𝑖1𝑡 𝐼𝑚𝑒𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 Para o resistor temse 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣1 𝑅 𝑖1 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑅 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉 𝑅 𝐼 Como 𝑅 é um número real puro temse 𝑉 𝐼 𝑅 𝑉𝑚𝜃 𝐼𝑚 𝑅0 No tempo temse E em termos fasoriais temse 𝑉𝑚 𝐼𝑚 𝑅 𝜃 0 𝜃 A corrente e a tensão estão em fase 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣 𝑅 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣 𝑅 Para os resistores a tensão e a corrente estão em fase fazendo com que os fasores tenham a mesma defasagem As funções no tempo e os fasores serão b Indutores A relação tensãocorrente para os indutores no tempo é dada por 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Se 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 e 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 e 𝑖1𝑡 𝐼𝑚𝑒𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 Para o indutor temse 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑣1 𝐿 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉 𝑗𝜔𝐿 𝐼 Como 𝑗𝜔𝐿 é um número imaginário puro positivo temse 𝑉 𝐼 𝑗𝜔𝐿 𝑉𝑚𝜃 𝐼𝑚 𝜔𝐿90 𝑉𝑚 𝐼𝑚 𝜔𝐿 𝜃 90 A corrente está atrasada 𝟗𝟎 em relação à tensão No tempo temse E em termos fasoriais temse Para os indutores a corrente está atrasada 90 em relação à tensão As funções no tempo e os fasores serão c Capacitores A relação tensãocorrente para os capacitores no tempo é dada por 𝑖 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Se 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 e 𝑣1𝑡 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 e 𝑖1𝑡 𝐼𝑚𝑒𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣 𝑅 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣 𝑅 𝐿 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑗𝜔𝐿 Para o capacitor temse 𝑖 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑖1 𝐶 𝑑𝑣1 𝑑𝑡 𝐼𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑗𝜔𝐶𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑉 𝐼𝑗𝜔𝐶 Como 𝑗𝜔𝐶 é um número imaginário puro positivo temse 𝑉 𝐼 1 𝑗𝜔𝐶 𝑉𝑚𝜃 𝐼𝑚 1 0 𝜔𝐶90 No tempo temse E em termos fasoriais temse 𝑉𝑚 𝐼𝑚 1 𝜔𝐶 𝜃 90 A corrente está adiantada 𝟗𝟎 em relação à tensão 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣 𝑅 𝑣 𝑅 𝑖 𝑣 𝑅 Para os capacitores a corrente está adiantada 90em relação à tensão As fun ções no tempo e os fasores serão 342 Impedância e Admitância Seja um circuito representado a partir de grandezas fasoriais fasor tensão e fasor corrente Onde A relação entre os fasores tensão e corrente é definida como a IMPEDÂNCIA do circuito sendo representada pela letra 𝑍 𝑍 𝑉 𝐼 Assim 𝑍 𝑉 𝐼 𝑉𝑚𝜃 𝐼𝑚 𝑉𝑚 𝐼𝑚 𝜃 OBS Apesar de ser uma relação entre dois fasores a impedância não é um fasor pois não tem associada a ela uma função senoidal CIRCUITO FASORIAL 𝑉 𝑉𝑚𝜃 𝐼 𝐼𝑚 𝑍 𝑉 𝐼 𝑉 𝑉𝑚𝜃 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝐼 𝐼𝑚 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝑍 𝑍𝑍 A impedância 𝑍 é um número complexo e pode ser escrito nas formas retangular e polar 𝑍 𝑅 𝑗𝑋 𝑍 𝑍𝑍 A parte real da impedância é chamada Resistência componente resistiva e a parte imaginária é chamada de Reatância componente reativa 𝑅 𝑅𝐸𝑆𝐼𝑆𝑇Ê𝑁𝐶𝐼𝐴 𝑋 𝑅𝐸𝐴𝑇Â𝑁𝐶𝐼𝐴 Unidades Z R X VA Ω ohm Como 𝑍 é a relação entre os fasores tensão e corrente podem ser encontradas as impedâncias para um resistor um indutor e um capacitor a Resistor 𝑉 𝑅 𝐼 𝑍𝑅 𝑉 𝐼 𝑅 𝑅0 b Indutor 𝑉 𝑗𝜔𝐿 𝐼 𝑍𝐿 𝑉 𝐼 𝑗𝜔𝐿 𝑗𝑋𝐿 𝜔𝐿90 c Capacitor 𝑉 1 𝑗𝜔𝐶 𝐼 𝑍𝐶 𝑉 𝐼 1 𝑗𝜔𝐶 𝑗 𝜔𝐶 𝑗𝑋𝐶 1 𝜔𝐶 90 𝑅 𝑍cos𝑍 𝑋 𝑍𝑠𝑒𝑛𝑍 𝑍 𝑅2 𝑋2 𝑍 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑋 𝑅 Parte Real Parte Imaginária Módulo Fase Impedância Resistiva é a própria Resistência Reatância Indutiva 0 Reatância Capacitiva 0 O inverso da Impedância é chamado de Admitância e representado pela letra 𝑌 Assim 𝑌 1 𝑍 𝐼 𝑉 A admitância também é um número complexo que apresenta uma parte real e uma parte imaginária 𝑌 𝐺 𝑗𝐵 1 𝑍 1 𝑅 𝑗𝑋 A parte real da Admitância é chamada de Condutância e a parte imaginária é chamada de Susceptância 𝐺 𝐶𝑂𝑁𝐷𝑈𝑇Â𝑁𝐶𝐼𝐴 𝐵 𝑆𝑈𝑆𝐶𝐸𝑃𝑇Â𝑁𝐶𝐼𝐴 Unidades Y G B AV S siemens Uma vez que a admitância é a relação entre os fasores corrente e tensão tam bém podem ser escritas as admitâncias para um resistor um indutor e um capa citor a Resistor 𝑉 𝑅 𝐼 𝑍𝑅 𝑉 𝐼 𝑅 e 𝑌𝑅 1 𝑅 𝐺 b Indutor 𝑉 𝑗𝜔𝐿 𝐼 𝑍𝐿 𝑉 𝐼 𝑗𝜔𝐿 e 𝑌𝐿 1 𝑗𝜔𝐿 𝑗 𝜔𝐿 c Capacitor 𝑉 1 𝑗𝜔𝐶 𝐼 𝑍𝐶 𝑉 𝐼 1 𝑗𝜔𝐶 e 𝑌𝐶 𝑗𝜔𝐶 Admitância Resistiva é a própria Condutância Susceptância Indutiva 0 Susceptância Capacitiva 0 343 Associação de Impedâncias Série 𝑍𝑒𝑞 𝑍1 𝑍2 𝑍𝑛 Paralela 1 𝑍𝑒𝑞 1 𝑍1 1 𝑍2 1 𝑍𝑛 344 O Método Fasorial É um método que consiste no uso dos fasores tensão e corrente bem como das impedâncias para se determinar a resposta forçada de um circuito qualquer ex citado por uma fonte senoidal Pode ser formulado nas seguintes etapas Escrever todas as tensões e correntes do circuito inclusive as excita çãoões como fasores tensão e corrente Escrever o circuito na chamada forma fasorial ou circuito fasorial de terminando as impedâncias de todos os elementos passivos do circuito 𝑍𝑅 𝑅 𝑍𝐿 𝑗𝜔𝐿 𝑍𝐶 𝑗 𝜔𝐶 Fazer a análise do circuito fasorial como se fosse um circuito resistivo com as impedâncias assumindo o lugar das resistências A fonte de excitação está representada com um fasor no circuito fasorial OBS A análise do circuito será feita a partir das Leis de Kirchhoff e das Técnicas de Análise de Circuitos Análise de Nós Análise de Malhas e Teoremas de Circuitos Após determinar a tensão ou a corrente fasorial desejada devese escre ver a função senoidal no tempo correspondente ao fasor determinado na análise Exemplo Análise do circuito RL utilizando o método fasorial Escrevendose o circuito na forma fasorial As impedâncias estão em série e pode ser escrita a impedância equivalente 𝑍𝑒𝑞 𝑅 𝑗𝜔𝐿 E a partir da Lei de Ohm para as impedâncias 𝑉𝑔 𝑍𝑒𝑞𝐼 𝑅 𝑗𝜔𝐿𝐼 A partir dessa expressão a corrente será 𝐼 𝑉𝑔 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝑉𝐿 𝑉𝑅 𝐼 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝑉𝑔 Fazendo a divisão na forma polar 𝐼 𝑉𝑚0 𝑅2 𝜔2𝐿2𝜙 𝐼 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 𝜙𝐴 E passando para a forma de função senoidal 𝑖𝑡 𝑉𝑚 𝑅2 𝜔2𝐿2 cos𝜔𝑡 𝜙 𝐴 Exercícios 1 Determine a corrente 𝑖𝑡 em regime permanente no circuito abaixo 2 Determine as correntes 𝑖𝑡 e 𝑖1𝑡 em regime permanente no circuito abaixo CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL Este capítulo apresenta os Métodos de Análise de Circuitos Análise de Nós e Análise de Malhas e os Teoremas de Circuitos Superposição Thévenin e Nor ton a partir dos conceitos de fasores impedâncias e admitâncias Método Fa sorial 1 Métodos de Análise com Fasores A partir do circuito fasorial podese determinar uma tensão ou uma corrente de sejada em termos fasoriais utilizando uma das técnicas ou métodos de análise de circuitos Análise de Nós e Análise de Malhas Os procedimentos para utilização desses métodos seguem exatamente o mesmo passo a passo que foi estudado para circuitos resistivos 11 Método da Análise de Nós O Método da Análise de Nós ou Análise Nodal segue as mesmas regras deste método aplicadas aos circuitos resistivos após o circuito sob análise ter sido escrito na forma fasorial Etapas do Método da Análise de Nós a Escrever o circuito na forma fasorial Tensões e correntes expressas como fasores e todos os elementos passivos resistores indutores e capacitores expressas como impedâncias 𝑍𝑅 𝑅 𝑍𝐿 𝑗𝜔𝐿 𝑍𝐶 𝑗 𝜔𝐶 b Determinar e numerar todos os nós do circuito em análise Para a Análise de Nós o nó representa o ponto de encontro de mais de dois terminais de elementos de circuito c Associar a cada nó uma variável chamada Tensão de Nó que serão as in cógnitas desse método Cada nó terá associada a ele uma Tensão de Nó que serão as variáveis deste método A partir dessas variáveis qualquer outra variável de interesse poderá ser determinada d Escolher um dos nós como nó de referência cuja tensão de nó passará a ter o valor 0 zero servindo de referência para as outras tensões de nó Para o nó de referência a tensão de nó é feita igual a zero devese escolher como nó de referência apenas como forma de simplificar as equações que serão montadas aquele que tenha mais elementos ligados a ele eou que esteja ligado ao terminal negativo de uma fonte de tensão As tensões de nó são as variáveis deste método cujos valores estarão refe renciados ao valor zero da tensão do nó de referência Todas as outras tensões de nó estão referenciadas ao nó de referência fa zendo com que passe a ter sentido o conceito de tensão de nó e Escrever uma Equação da Lei de Kirchhoff das Correntes LKC para cada nó exceto para o nó de referência Essas equações serão escritas inicialmente a partir de correntes auxiliares que deverão em seguida ser escritas em função das tensões de nó para que as equações da LKC fiquem em função dessas variáveis sendo formado um sistema de 𝑛 1 equações a 𝑛 1 incógnitas sendo 𝑛 o número de nós do circuito em análise Dessa forma o número de variáveis e de equações neste método é igual ao número de nós menos um OBS Relação entre as correntes auxiliares e as tensões de nó para as impe dâncias f Resolver o sistema de equações formado para determinar as Tensões de Nó As tensões de nó são as incógnitas desse método g De posse das tensões de nó podem ser determinadas quaisquer variáveis de interesse do circuito elétrico sob análise Com as tensões de nó podese determinar tensões e correntes em qualquer elemento do circuito h As tensões eou correntes calculadas estarão na forma fasorial e deverão ser escritas na forma senoidal no tempo para que sejam determinadas as respos tas desejadas Exemplo Determinar as correntes 𝑖1 e 𝑖2 em regime permanente pelo método da análise de nós 1º Passo Escrever o circuito na forma fasorial 𝑉 𝑉𝑚𝛼𝑉 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝛼 𝑉 𝐼 𝐼𝑚𝛽𝐴 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽 𝐴 2º Passo Determinar e numerar todos os nós do circuito em análise 3º Passo Associar a cada nó uma variável chamada Tensão de Nó que serão as incógnitas desse método 4º Passo Escolher um dos nós como nó de referência cuja tensão de nó passará a ter o valor 0 zero servindo de referência para as outras tensões de nó 5º Passo Escrever uma Equação da Lei de Kirchhoff das Correntes LKC para cada nó exceto para o nó de referência inicialmente em função das correntes auxiliares e depois em função das tensões de nó Equações da LKC em termos das correntes auxiliares Nó 1 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 𝐼1 Nó 2 𝐼𝑐 𝐼1 𝐼𝑔 𝐼2 𝐼𝑑 Escrever as correntes auxiliares em função das tensões de nó Equações da LKC em termos das tensões de nó Nó 1 2 j2𝑉1 𝑗𝑉2 10 Nó 2 j𝑉1 1 𝑗𝑉2 5 𝐼𝑎 𝑉𝑔 𝑉1 1 2 5 𝑉1 1 2 10 2𝑉1 𝐼𝑏 𝑉1 𝑉3 𝑗 𝑗𝑉1 𝐼𝑐 𝑉1 𝑉2 𝑗 𝑗𝑉2 𝑗𝑉1 𝐼𝑑 𝑉2 𝑉3 1 𝑉2 𝐼2 𝑉2 𝑉3 𝑗 2 𝑗2𝑉2 𝐼1 𝑉1 𝑉2 𝑗 2 𝑗2𝑉1 𝑗2𝑉2 6º Passo Resolver o sistema de equações formado para determinar as Tensões de Nó 𝑉1 2 𝑗 5 266 𝑉 𝑉2 2 𝑗4 25634 𝑉 7º Passo De posse das tensões de nó podem ser determinadas quaisquer va riáveis de interesse do circuito elétrico sob análise 𝐼1 𝑗2𝑉1 𝑗2𝑉2 𝑗22 𝑗 𝑗22 𝑗4 𝑗4 2 𝑗4 8 10 100 𝐴 𝐼2 𝑗2𝑉2 𝑗2 𝑗4 4 𝑗2 25 266 𝐴 8º Passo Escrever as variáveis determinadas como funções senoidais no tempo utilizando a mesma função senoidal da excitação 𝑖1𝑡 10 cos2𝑡 𝐴 𝑖2𝑡 25 cos2𝑡 266 𝐴 12 Método da Análise de Malhas Como no método anterior a Análise de Malhas segue as mesmas regras e con ceitos deste método para o caso de circuitos resistivos Após escrever o circuito sob análise na forma fasorial com as tensões e correntes expressas como faso res e os elementos passivos como impedâncias são seguidas as demais etapas do método Etapas do Método da Análise de Malhas a Escrever o circuito na forma fasorial Tensões e correntes expressas como fasores e todos os elementos passivos resistores indutores e capacitores expressas como impedâncias 𝑍𝑅 𝑅 𝑍𝐿 𝑗𝜔𝐿 𝑍𝐶 𝑗 𝜔𝐶 b Determinar e numerar todas as malhas do circuito em análise Uma malha é qualquer caminho fechado que não possui elementos de circuito em seu interior c Associar a cada malha uma variável chamada Corrente de Malha que serão as incógnitas desse método Associase a cada malha uma corrente no sentido horário ou antihorário para o sentido das correntes de malha devese seguir preferencialmente e na me dida do possível o sentido das fontes de excitação presentes na malha d Escrever uma equação da Lei de Kirchhoff das Tensões LKT para cada ma lha Dessa forma o número de equações deste método é igual ao número de malhas do circuito Essas equações serão escritas inicialmente a partir de tensões auxiliares que deverão em seguida ser expressas em função das correntes de malha para que as equações da LKT fiquem escritas em função das incógnitas do método As relações entre as tensões auxiliares e as correntes de malha para as im pedâncias estão apresentadas a seguir Ao escrever as equações da LKT em função das correntes de malha existirá um conjunto de n equações a n incógnitas que são as correntes de malha desconhecidas sendo n o número de malhas do circuito e Resolver o sistema de equações formado para determinar as correntes de malha f A partir das correntes de malha podem ser determinadas quaisquer variáveis de interesse do circuito elétrico sob análise Com as correntes de malha podese determinar tensões e correntes em qual quer elemento do circuito g As tensões e correntes calculadas estarão na forma fasorial e precisam ser expressas como funções senoidais no tempo para se obter as respostas de sejadas Exemplo Determinar a tensão 𝑣1 e as correntes 𝑖1 e 𝑖2 em regime permanente pelo método da análise de malhas OBS As duas fontes independentes podem atuar juntas no circuito porque são ambas senoidais de mesma frequência No entanto as duas precisam ser repre sentadas na mesma função trigonométrica ambas em seno ou ambas em cos seno Passando a fonte de seno para cosseno 𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos2𝑡 90 𝐼 𝐼𝑚𝛽 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽 𝐴 𝑉 𝑉𝑚𝛼 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝛼 𝑉 1º Passo Escrever o circuito na forma fasorial 2º Passo Determinar e numerar todas as malhas do circuito em análise 3º Passo Associar a cada malha uma variável chamada Corrente de Malha no sentido horário ou antihorário que serão as incógnitas desse método Malha a Malha b Malha c Malha d 4º Passo Escrever uma equação da Lei de Kirchhoff das Tensões LKT para cada malha inicialmente a partir das tensões auxiliares e depois em função das correntes de malha Dessa forma o número de equações deste método é igual ao número de malhas do circuito Equações da LKT em termos das tensões auxiliares exceto para as malhas a e d em que os valores de 𝑉2 e 𝑉2 já podem ser determinados a partir dos valores das fontes de corrente Malha a 𝐼𝑎 𝐼𝑔1 40 4 Malha b 𝑉2 𝑉𝑔 𝑉1 0 Malha c 𝑉3 𝑉4 𝑉𝑔 0 Malha d 𝐼𝑑 𝐼𝑔2 1 90 𝑗 As relações entre as tensões auxiliares e as correntes de malha são as seguin tes Para a tensão 𝑉𝑔 não é possível determinar uma relação com as correntes de malha uma vez que ela é uma tensão sobre uma fonte de corrente controlada 𝑉1 𝑗𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝑗4 𝑗𝐼𝑏 𝑉2 𝑗𝐼𝑑 𝐼𝑏 1 𝑗𝐼𝑏 𝑉3 1𝐼𝑐 𝐼𝑐 𝑉4 𝑗2𝐼𝑐 Dessa forma será preciso juntas as equações das malhas b e c para eliminar a variável 𝑉𝑔 Dessa forma será perdida uma das equações do sistema No entanto a partir da expressão do valor da fonte de corrente controlada será possível estabelecer uma nova equação para as correntes de malha 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 que são as correntes de malha relacionadas com esta fonte Malha a 𝐼𝑎 𝐼𝑔1 40 4 Malha b 𝑉2 𝑉𝑔 𝑉1 0 Malha c 𝑉3 𝑉4 𝑉𝑔 0 Malha d 𝐼𝑑 𝐼𝑔2 1 90 𝑗 5º Passo Resolver o sistema de equações formado para determinar as correntes de malha Equação das malhas b e c em função das correntes de malha 1 𝑗𝐼𝑏 𝑗4 𝑗𝐼𝑏 𝐼𝑐 𝑗2𝐼𝑐 0 𝐼𝑐1 𝑗2 1 𝑗4 𝐼𝑐 9 𝑗2 5 A partir da fonte de corrente controlada pode ser escrita uma nova equação relacionando as correntes das malhas b e c 𝐼𝑏 𝐼𝑐 2𝑉1 𝐼𝑏 𝐼𝑐 2𝑗4 𝑗𝐼2 Substituindo nesta expressão o valor de 𝐼𝑐 9𝑗2 5 obtémse 𝐼𝑏 425 𝑗100 125 6º Passo A partir das correntes de malha podem ser determinadas quaisquer variáveis de interesse do circuito elétrico sob análise Desejase determinar os valores das variáveis 𝑉1 𝐼1 e 𝐼2 𝑉1 𝑗4 𝑗𝐼𝑏 100 𝑗75 125 1251433 1250 11433 𝑉 𝑉2 𝑉1 𝑉3 𝑉4 0 𝐼1 𝐼𝑑 𝐼𝑏 𝑗 425 𝑗100 125 425 𝑗25 125 4257 1766 1250 34 1766 𝐴 𝐼2 𝐼𝑐 9 𝑗2 5 92 1675 50 184 1675 𝐴 7º Passo As tensões e correntes calculadas estarão na forma fasorial e preci sam ser expressas como funções senoidais no tempo para se obter as respostas desejadas As variáveis 𝑉1 𝐼1 e 𝐼2 no tempo serão 𝑣𝑡 cos2𝑡 1433 𝑉 𝑖1𝑡 34 cos2𝑡 1766 𝐴 𝑖2𝑡 184 cos2𝑡 1675 𝐴 2 Teoremas de Circuitos com Fasores Os teoremas de circuitos também podem ser utilizados com os circuitos escritos na forma fasorial como se fossem circuitos resistivos com as impedâncias no lugar das resistências 21 Teorema ou Princípio da Superposição O Teorema ou Princípio da Superposição sempre pode ser usado quando se tem mais de uma fonte independente no circuito Quando as fontes independentes forem senoides de mesma frequência o princípio da superposição pode ser uti lizado com cada fonte atuando de forma individual bem como um método qual quer de análise de circuito com as fontes atuando simultaneamente análise de nós ou análise de malhas No entanto se as fontes independentes forem senoides de frequências diferen tes ou se forem excitações de natureza distintas uma senoide e outra constante por exemplo o princípio da superposição deverá ser utilizado obrigatoriamente OBS Considerase o circuito linear para que seja utilizado o princípio da super posição Utilizandose o Teorema da Superposição a resposta do circuito a todas as fon tes atuando simultaneamente é formada pela soma das respostas obtidas com cada fonte independente atuando individualmente É importante ressaltar que o princípio da superposição só vale para fontes inde pendentes Qualquer fonte dependente ou controlada existente deverá participar de todos os circuitos individuais montados com cada fonte independente Considerando cada fonte atuando de forma isolada devese eliminar as outras fontes independentes existentes considerando cada fonte independente atu ando uma de cada vez Na eliminação de fontes independentes devem ser se guidas as regras já conhecidas dos circuitos resistivos Eliminação de fontes independentes de corrente Substituir por um circuito aberto 𝑖𝑔 0 Eliminação de fontes independentes de tensão Substituir por um curto circuito 𝑣𝑔 0 OBS Para fontes de naturezas diferentes ou senoidais de frequências diferen tes não se pode somar as respostas fasoriais e a resposta total é a soma de funções de formas diferentes ou de senoides de frequências diferentes no tempo Para fontes senoidais de mesma frequência podese somar as respostas faso riais para obter uma única resposta no tempo Resolver um circuito pelo Princípio da Superposição significa utilizar cada fonte independente atuando individualmente com as outras fontes independentes eli minadas Se existirem fontes dependentes ou controladas elas devem participar de cada circuito individual Devese partir para cada circuito com as fontes independentes dos circuitos fasoriais Exemplo Determinar a corrente 𝑖 no circuito abaixo em regime permanente Circuito Fasorial 1 Apenas a fonte de tensão 𝜔 2 𝑟𝑎𝑑𝑠 Aplicando a associação de impedâncias 𝑍1 𝑗𝑗2 𝑗𝑗2 𝑗2 𝑍2 𝑍1 1 1 𝑗2 𝑍3 1𝑗2𝑗 1𝑗2𝑗 2𝑗 1𝑗 1𝑗 1𝑗 2𝑗2𝑗1 11 1𝑗3 2 𝑍4 𝑍3 3 𝑗2 1𝑗3 2 3 𝑗2 1𝑗36𝑗4 2 7𝑗 2 Assim 𝐼1 5 𝑍4 5 7𝑗 2 10 7𝑗 7𝑗 7𝑗 70𝑗10 50 7𝑗 5 2 81 𝐴 No tempo 𝑖1𝑡 2 cos2𝑡 81 𝐴 Fontes de natureza diferentes Princípio da Superposição 𝑉𝑔 50 𝑉 Circuito Fasorial 2 Apenas a fonte de corrente 𝜔 0 Por divisor de corrente 𝐼2 3 4 3 𝐼𝑔 3 4 3 4 1 No tempo 𝑖2𝑡 1 𝐴 A corrente total para as duas fontes atuando simultaneamente será 𝑖𝑡 𝑖1𝑡 𝑖2𝑡 2 cos2𝑡 81 1 𝐴 𝐼𝑔 4 𝐴 22 Teoremas de Thévenin e de Norton Para os Teoremas de Thévenin e de Norton em termos de circuitos fasoriais o procedimento é idêntico ao adotado para circuitos resistivos A única diferença é que a tensão de circuito aberto 𝑣𝑂𝐶 e a corrente de curto circuito 𝑖𝑆𝐶 no do mínio do tempo devem ser substituídas por suas representações fasoriais 𝑉𝑂𝐶 e 𝐼𝑆𝐶 Por sua vez a resistência equivalente de Thévenin 𝑅𝑡ℎ é substituída pela impedância equivalente de Thévenin 𝑍𝑡ℎ Determinação de 𝑉𝑂𝐶 𝐼𝑆𝐶 e 𝑍𝑡ℎ 𝑉𝑂𝐶 é determinada a partir do cálculo da tensão de circuito aberto entre os terminais do circuito original que se deseja calcular o equivalente de Thévenin 𝐼𝑆𝐶 é determinada a partir do cálculo da corrente de curto circuito que passa entre os terminais do circuito original que se deseja calcular o equivalente de Thévenin 𝑍𝑡ℎ é determinada a partir da relação entre 𝑉𝑂𝐶 e 𝐼𝑆𝐶 ou a partir da impedân cia equivalente do circuito original sem excitação fontes de tensão indepen dentes substituídas por curto circuito e fontes de corrente independentes por circuitos abertos também conhecido como circuito morto OBS Fontes controladas por ventura existentes no circuito não serão eliminadas no cálculo do 𝑍𝑡ℎ Em situações deste tipo costumase utilizar uma fonte de tensão qualquer 𝑉𝐸 injetando uma corrente 𝐼𝐸 no circuito A impedância 𝑍𝑡ℎ será a relação entre a tensão 𝑉𝐸 e a corrente 𝐼𝐸 Exemplo Determine o circuito equivalente de Thévenin à esquerda dos pontos a e b no circuito abaixo e em seguida determine a tensão 𝑣 e a corrente 𝑖 Circuito Fasorial CIRCUITO ELÉTRICO ORIGINAL Circuito Equivalente de Thévenin Circuito Equivalente de Norton Cálculo de 𝑽𝑶𝑪 Aplicando a LKC para os nós do circuito 2 2𝑉1 𝑉1 1 𝑉1𝑉𝑂𝐶 𝑗 𝑉1 𝑗𝑉1 𝑗𝑉𝑂𝐶 2 𝑉11 𝑗 𝑗𝑉𝑂𝐶 2𝑉1 𝑉1𝑉𝑂𝐶 𝑗 𝑗𝑉1 𝑗𝑉𝑂𝐶 𝑉𝑂𝐶 𝑉11 𝑗2 2 𝑉11 𝑗 𝑗𝑉11 𝑗2 𝑉11 𝑗 𝑉12 𝑗 𝑉1 2 Assim 𝑉𝑂𝐶 21 𝑗2 2 𝑗4 Cálculo de 𝑰𝑺𝑪 Aplicando a LKC para os nós do circuito 2 2𝑉1 𝑉1 1 𝑉1 𝑗 𝑉1 𝑗𝑉1 2 𝑉11 𝑗 𝑉1 2 1𝑗 1𝑗 1𝑗 2𝑗2 2 1 𝑗 𝑉1 𝑗 2𝑉1 𝐼𝑆𝐶 𝐼𝑆𝐶 𝑉1 2 𝑗 1 𝑗2 𝑗 3 𝑗 Assim 𝐼𝑆𝐶 3 𝑗 Cálculo de 𝒁𝒕𝒉 𝑍𝑡ℎ 𝑉𝑂𝐶 𝐼𝑆𝐶 2 𝑗4 3 𝑗 3 𝑗 3 𝑗 6 𝑗2 𝑗12 4 10 10 𝑗10 10 1 𝑗 Outra forma Pela LKT 𝑉𝐸 𝑉1 𝑉2 Pela LKC 𝐼𝐸 2𝑉1 𝐼2 Relações tensãocorrente para os elementos passivos 𝑉1 1 𝐼𝐸𝑉2 𝑗𝐼2 𝑍𝑡ℎ 𝑉𝐸 𝐼𝐸 Levando as relações tensãocorrente nas equações da LKT e da LKC temse 𝑉𝐸 𝐼𝐸 𝑗𝐼2 𝐼𝐸 2𝐼𝐸 𝐼2 𝐼2 𝐼𝐸 Assim 𝑉𝐸 𝐼𝐸 𝑗𝐼𝐸 𝐼𝐸1 𝑗 𝑍𝑡ℎ 𝑉𝐸 𝐼𝐸 1 𝑗 Circuito equivalente de Thévenin Determinação da tensão 𝑣 e da corrente 𝑖 A partir da associação de impedâncias e da Lei de Ohm 𝐼 2 𝑗4 1 𝑗 𝑗 2 𝑗4 25634 𝐴 𝑉 𝑗2 𝑗4 4 𝑗2 25 266 𝑉 No tempo 𝑖𝑡 25 cos3𝑡 634 𝐴 𝑣𝑡 25 cos3𝑡 266 𝑉 mesmo resultado anterior Exercícios 1 Determinar o valor de 𝑣 usando Análise de Nós 2 Determinar o valor da tensão 𝑣 usando Análise de Malhas 3 Determinar os valores de 𝑣 e 𝑖 no circuito abaixo 4 Determine os valores da tensão 𝑣 e da corrente 𝑖 5 Determine os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton fora dos pontos a e b e em seguida utilizando um dos circuitos equivalente determine o valor da tensão 𝑣 a b CAPÍTULO 3 POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL Este capítulo apresenta o importante conceito da potência elétrica para circuitos com excitação senoidal Serão discutidos os conceitos da potência instantânea potência média e os conceitos fundamentais para os sistemas elétricos das po tências ativa reativa e aparente bem como do importante conceito do fator de potência Além disso também será apresentado o conceito de valor eficaz para as funções senoidais 31 Potência Instantânea e Potência Média A Potência Instantânea em um circuito elétrico é dada pelo produto da tensão e da corrente no tempo 𝑝𝑡 𝑣𝑡 𝑖𝑡 Supondo 𝑣𝑡 e 𝑖𝑡 funções periódicas de período 𝑇 temse 𝑣𝑡 𝑇 𝑣𝑡 𝑖𝑡 𝑇 𝑖𝑡 Neste caso a potência instantânea será 𝑝𝑡 𝑣𝑡 𝑖𝑡 𝑝𝑡 𝑇 𝑣𝑡 𝑇 𝑖𝑡 𝑇 𝑣𝑡 𝑖𝑡 𝑝𝑡 𝑇 𝑝𝑡 Dessa forma 𝑝𝑡 também irá se repetir no período 𝑇 No entanto o período de 𝑝𝑡 𝑇1 pode ser igual ao período 𝑇 ou um submúltiplo de 𝑇 𝑇 𝑛 𝑇1 Exemplo Potência dissipada em um resistor de resistência 𝑅 𝑝𝑡 𝑅 𝑖2 a Se 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝑝𝑡 𝑅𝐼𝑚 2 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 𝑅𝐼𝑚 2 1cos2𝜔𝑡 2 b Se 𝑖𝑡 𝐼𝑚 1 cos𝜔𝑡 𝑝𝑡 𝑅𝐼𝑚 2 1 cos𝜔𝑡2 A Potência Média por sua vez é definida como o valor médio da potência ins tantânea que é uma onda periódica de período 𝑇1 Assim 𝑃 1 𝑇1 𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑇1 0 Onde T1 é o período de pt 𝑇 2𝑇1 𝑇 𝑇1 Se a integração for feita em um número inteiro de períodos por exemplo 𝑚 𝑇1 a área total é simplesmente 𝑚 vezes a integral original integrada em 𝑇1 As sim 𝑃 1 𝑚𝑇1 𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑚𝑇1 0 E se 𝑚 𝑇1 𝑇 temse 𝑃 1 𝑇 𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 Onde 𝑇 é o período de 𝑣𝑡 e de 𝑖𝑡 Como 𝑣𝑡 e 𝑖𝑡 são senoidais são apresentados na tabela abaixo vários exemplos das integrais que representam as Potências Médias associadas a ten sões e correntes senoidais Integrais para Funções Senoidais e seus produtos ou ou ou Supondo 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝛼 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽 Temse 𝑃 1 𝑇 𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 1 𝑇 𝑣𝑡𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 1 𝑇 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝛼 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽 𝑑𝑡 𝑇 0 1 2𝜋 𝜔 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝛼 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽 𝑑𝑡 2𝜋 𝜔 0 𝜔𝑉𝑚𝐼𝑚 2𝜋 cos𝜔𝑡 𝛼 cos𝜔𝑡 𝛽 𝑑𝑡 2𝜋 𝜔 0 E como 𝑚 𝑛 temse 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚𝜔 2𝜋 𝜋 cos𝛼 𝛽 𝜔 Chamando 𝛼 𝛽 𝜃 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos𝜃 A potência média para funções senoidais de mesma frequência é constante Exemplo Para um resistor de resistência 𝑅 𝜃 𝛼 𝛽 0 e assim 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos𝜃 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 Mas 𝑉𝑚 𝑅 𝐼𝑚 e assim P 𝑅𝐼𝑚 2 2 Para 𝑖 𝐼𝑑𝑐 contínua P 𝑅𝐼𝑑𝑐 2 Potência Média Senoidal OBS Para um indutor ou um capacitor 𝛼 𝛽 90 e em ambos os casos cos𝜃 0 fazendo com que 𝑃 0 se as cargas forem puramente indutivas ou capacitivas Apenas a resistência 𝑹 consome Potência Média Se Z R jX ReZ j ImZ Z𝛼 𝛽 𝑍𝜃 Assim P VmIm 2 cosθ 𝑉 Z 𝐼 𝑉𝑚 𝑍𝐼𝑚 e P VmIm 2 𝑅𝑒𝑍 𝑍 𝑍ImIm 2 𝑅𝑒𝑍 𝑍 𝑅𝑒𝑍𝐼𝑚 2 2 P 𝑅𝑒𝑍 𝐼𝑚 2 2 Apenas a parte real de 𝒁 consome potência média Re Im ReZ ImZ cos𝜃 𝑅𝑒𝑍 𝑍 De uma maneira geral uma carga que consome potência média apresenta P 0 𝑅𝑒𝑍 0 e 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 Para 𝜃 0 o elemento é um resistor puro e P VmIm 2 𝑅𝐼𝑚 2 2 Para 𝜃 90 o elemento é um indutor puro e P 0 Para 𝜃 90 o elemento é um capacitor puro e P 0 Para 0 𝜃 90 o elemento é equivalente a uma carga 𝑅𝐿 e P 0 Para 90 𝜃 0 o elemento é equivalente a uma carga 𝑅𝐶 e P 0 Para 𝜃 90 o elemento é mais ativo que passivo e P 0 A figura a seguir mostra todos os tipos de carpas com as suas respectivas po tências médias 𝜃 0 𝜃 90 𝜃 90 0 𝜃 90 90 𝜃 0 𝜃 90 32 Superposição e Potência Seja um circuito elétrico contendo duas fontes independentes A partir do Princí pio da superposição dado que o circuito seja linear podese escrever que uma corrente qualquer devido às duas fontes atuando simultaneamente será 𝑖 𝑖1 𝑖2 onde 𝑖1 é a corrente devido à fonte independente 1 atuando sozinha e 𝑖2 é a corrente devido à fonte independente 2 atuando sozinha Considere um resistor com resistência 𝑅 sendo percorrido pela corrente 𝑖 A po tência instantânea no resistor será 𝑝𝑡 𝑅𝑖2 𝑅𝑖1 𝑖22 𝑅𝑖1 2 𝑅𝑖2 2 2𝑅𝑖1𝑖2 𝑝𝑡 𝑝1𝑡 𝑝2𝑡 2𝑅𝑖1𝑖2 onde 𝑝1𝑡 e 𝑝2𝑡 são as potências instantâneas devido às correntes 𝑖1 e 𝑖2 respectivamente Como 2𝑅𝑖1𝑖2 0 verificase que o Princípio da Superposição não se aplica à potência instantânea Indutivo Resistor Puro Capacitivo Indutor Puro Capacitor Puro Para a Potência Média temse 𝑃 1 𝑇 𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 1 𝑇 𝑝1 𝑝2 2𝑅 𝑇 0 𝑖1𝑖2𝑑𝑡 𝑃1 𝑃2 2𝑅 𝑇 𝑖1𝑖2 𝑇 0 𝑑𝑡 onde 𝑃1 e 𝑃2 são as potências médias devido à 𝑖1 e à 𝑖2 respectivamente Dessa forma o Princípio da Superposição só se aplica à Potência Média se 𝑖1𝑖2 𝑇 0 𝑑𝑡 0 Assim se 𝑖1 e 𝑖2 forem senoidais de mesma frequência a superposição não pode ser aplicada Por outro lado se 𝑖1 e 𝑖2 forem senoidais de frequências diferentes a superposição pode ser aplicada Para o caso de frequências diferentes a potência média devido à soma das com ponentes é a soma das potências médias devido a cada componente atuando isoladamente 𝑃 𝑃1 𝑃2 se 𝑖1 e 𝑖2 forem senoidais de frequências diferentes Supondo uma corrente 𝑖 formada por vários componentes de tipos e de frequên cias diferentes 𝑖 𝐼𝑑𝑐 𝐼𝑚1 cos𝜔1𝑡 1 𝐼𝑚2 cos𝜔2𝑡 2 𝐼𝑚𝑛cos𝜔𝑛𝑡 𝑛 A potência média entregue a uma resistência 𝑅 será 𝑃 𝑅𝐼𝑑𝑐 2 𝑅 2 𝐼𝑚1 2 𝐼𝑚2 2 𝐼𝑚𝑛 2 𝑃 𝑃𝑑𝑐 𝑃1 𝑃2 𝑃𝑛 33 Valores Eficazes O valor eficaz de uma corrente ou de uma tensão alternada periódica corres ponde a um valor constante de corrente ou tensão que entregaria a mesma potência média a um resistor de resistência 𝑅 Chamando esse valor constante de corrente eficaz ou 𝐼𝑒𝑓 temse 𝑃 𝑅 𝐼𝑒𝑓 2 1 𝑇 𝑅 𝑖2𝑑𝑡 𝑇 0 E assim 𝐼𝑒𝑓 1 𝑇 𝑖2𝑑𝑡 𝑇 0 Da mesma forma 𝑉𝑒𝑓 1 𝑇 𝑣2𝑑𝑡 𝑇 0 O valor eficaz também é chamado de valor rms root mean square ou seja a raiz quadrada do valor médio ao quadrado da grandeza periódica Para uma corrente senoidal 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝐴 o valor eficaz será 𝐼𝑒𝑓 𝜔 2𝜋 𝐼𝑚 2 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 𝑑𝑡 2𝜋 𝜔 0 𝜔𝐼𝑚 2 2𝜋 1 𝑐𝑜𝑠 2𝜔𝑡 2 𝑑𝑡 2𝜋 𝜔 0 𝐼𝑒𝑓 𝜔𝐼𝑚 2 2𝜋 2𝜋 2𝜔 𝐼𝑚 2 2 𝐼𝑚 2 Dessa forma para funções senoidais Corrente Eficaz Tensão Eficaz 𝐼𝑒𝑓 𝐼𝑚 2 𝑉𝑒𝑓 𝑉𝑚 2 Uma corrente senoidal de amplitude 𝐼𝑚 entrega a mesma potência média a um resistor de resistência 𝑅 que uma corrente constante cc de valor 𝐼𝑚 2 A partir dos valores eficazes de tensão e de corrente a potência média pode ser escrita como 𝑃 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos𝜃 𝑉𝑚 2 𝐼𝑚 2 cos𝜃 𝑃 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos𝜃 E para um resistor 𝑃 𝑅 𝐼𝑒𝑓 2 𝑉𝑒𝑓 2 𝑅 Na prática valores eficazes são empregados normalmente nas áreas de gera ção transmissão e distribuição de energia elétrica Todos os valores fornecidos nos sistemas alternados senoidais são valores eficazes 500 kV 230 kV 138 kV 69 kV 138 kV entre outros O valor eficaz de uma corrente senoidal composta por senoides de diferentes frequências será 𝑃 𝑅 𝐼𝑒𝑓 2 𝑅𝐼𝑑𝑐 2 𝐼𝑒𝑓1 2 𝐼𝑒𝑓2 2 𝐼𝑒𝑓𝑛 2 𝐼𝑒𝑓 𝐼𝑑𝑐 2 𝐼𝑒𝑓1 2 𝐼𝑒𝑓2 2 𝐼𝑒𝑓𝑛 2 De modo análogo 𝑉𝑒𝑓 𝑉𝑑𝑐 2 𝑉𝑒𝑓1 2 𝑉𝑒𝑓2 2 𝑉𝑒𝑓𝑛 2 34 Fator de Potência A potência média 𝑃 entregue a uma carga em um sistema com excitação alter nada senoidal em watts é dada por 𝑃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos𝜃 Onde 𝜃 𝑉 𝐼 𝑍 Seja agora a Potência Aparente definida pelo produto da tensão eficaz e da corrente eficaz 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 Esta potência medida em VA representa o máximo valor de potência que a carga pode consumir e que ocorre para 𝜃 0 e cos𝜃 1 Definese como Fator de Potência a relação entre a Potência Média e a Potência Aparente Dessa forma o fator de potência representa uma espécie de percen tual da potência efetivamente consumida pela carga em relação ao máximo de potência que a carga poderia consumir A expressão do Fator de Potência é 𝑓𝑝 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos𝜃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 𝑓𝑝 cos𝜃 O ângulo 𝜃 𝑉 𝐼 Z é referido como o ângulo do fator de potência ou ângulo da carga Como cos𝜃 0 para 90 𝜃 90 é necessário estabelecer uma dife renciação para o fator de potência de cargas indutivas 𝑅𝐿 e capacitivas 𝑅𝐶 A tabela a seguir apresenta esses conceitos com o fator de potência das cargas 𝑅𝐿 sendo chamado de indutivo ou atrasado enquanto que o das cargas 𝑅𝐶 será capacitivo ou adiantado Carga RL Fator de Potência Indutivo ou Atrasado Carga RC Fator de Potência Capacitivo ou Adiantado Em termos práticos como apresentado anteriormente o fator de potência repre senta uma espécie de grau de utilização da potência total disponibilizada para a carga como se fosse um rendimento da carga Baixos fatores de potência não são benéficos para a concessionária de energia elétrica uma vez que elas disponibilizam uma certa quantidade de potência para a carga que por sua vez só paga por uma parte desta potência A parte não contabilizada para pagamento não pode ser entregue a outra carga pois está comprometida com a carga original Além disso baixos fatores de potência também podem desgastar mais o sis tema da concessionária enquanto elas receberiam o mesmo valor em termos de receita O exemplo a seguir explicita esta questão FATOR DE POTÊNCIA Cargas Resistivas Puras R Z R Cargas Indutivas Puras L Z jXL jωL Cargas Capacitivas Puras C Z jXc jωC Cargas Indutivas RL Z R jXL R jωL Cargas Capacitivas RC Z R jXC R jωC Exemplo Sejam duas cargas consumindo a mesma potência média de 10 𝑘𝑊 com tensão de 220 𝑉 eficaz Uma das cargas tem 𝑓𝑝 085 atrasado e a outra 095 atrasado Determine as correntes das cargas Faria diferença se os fatores de potência fossem adiantados ao invés de atrasados Para as duas cargas podese escrever 𝑃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼𝑒𝑓 𝑃 𝑉𝑒𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 Para a carga 1 temse 𝐼𝑒𝑓 10000 220 085 53476𝐴 Para a carga 2 temse 𝐼𝑒𝑓 10000 220 095 47847𝐴 Os seja a carga com maior fator de potência possui uma corrente menor que produz menos desgastes no sistema elétrico do fornecedor de energia elétrica para esta carga Por outro lado a carga com menor fator de potência apesar de pagar o mesmo valor em termos da energia elétrica consumida uma vez que as potências são iguais possui uma corrente que provoca um maior desgaste no sistema elétrico da concessionária da energia elétrica Não faria diferença para os cálculos e a análise se os fatores de potência fos sem capacitivos ao invés de indutivos Por causa disso a legislação brasileira estabelece um valor mínimo para o fator de potência indutivo ou capacitivo Abaixo desse valor o consumidor irá pagar uma multa pelo baixo valor do fator de potência exatamente na quantidade que estiver abaixo do valor mínimo estabelecido pela legislação A legislação atual Resolução Normativa ANEEL no 1000 de 07122021 estabelece o fator de po tência mínimo de 092 para os consumidores de um determinado grupo tarifário consumidores industriais Na sequência será mostrado como corrigir o baixo fator de potência para estes consumidores industriais 35 Potência Complexa Sejam a tensão e a corrente fasoriais 𝑉 𝑉𝑚 𝑉 𝐼 𝐼𝑚 𝐼 Sejam agora os fasores eficazes para a tensão e a corrente 𝑉𝑒𝑓 𝑉 2 𝑉𝑚 2 𝑉 𝑉𝑒𝑓 𝑉 𝐼𝑒𝑓 𝐼 2 𝐼𝑚 2 𝐼 𝐼𝑒𝑓 𝐼 Seja também o fasor conjugado da corrente eficaz 𝐼𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝐼 Definese a Potência Complexa 𝑆 como o produto do fasor tensão eficaz pelo fasor conjugado da corrente eficaz Assim 𝑆 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑉𝑒𝑓 𝑉 𝐼𝑒𝑓 𝐼 𝑆 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑉 𝐼 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝜃 Em termos das coordenadas retangulares obtidas a partir da Fórmula de Euler temse 𝑆 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos𝜃 𝑗 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑆 𝑃 𝑗𝑄 Onde 𝑆 é a Potência Aparente 𝑃 é a Potência Ativa Potência Média 𝑄 é a Potência Reativa A parte real da Potência Complexa 𝑆 é a Potência Média ou Potência Ativa 𝑃 e a parte imaginária é a Potência Reativa 𝑄 Assim podese escrever 𝑃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos𝜃 𝑄 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛𝜃 O módulo da Potência Complexa será 𝑆 𝑃2 𝑄2 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 Unidades 𝑆 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 𝑉𝐴 𝑘𝑉𝐴 𝑀𝑉𝐴 𝑃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 cos𝜃 𝑊 𝑘𝑊 𝑀𝑊 𝑄 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣𝑎𝑟 𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑀𝑣𝑎𝑟 A potência ativa é aquela que efetivamente produz trabalho em uma carga sendo a que vai produzir a energia a ser paga pela unidade consumidora A potência reativa por sua vez representa a potência utilizada na magnetização dos materiais magnéticos que são fundamentais no processo global de geração transmissão e distribuição de energia elétrica tais como geradores motores transformadores e reatores A potência aparente é aquela que define a capacidade de vários equipamentos utilizados nos sistemas elétricos de potência como geradores motores e trans formadores Uma carga que possui um fator de potência unitário terá a sua potência ativa igual à potência aparente uma vez que 𝑃 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑄 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 A figura a seguir apresenta mais uma vez todos os tipos de cargas consumido ras resistiva pura indutiva pura capacitiva pura indutiva e capacitiva com a relação entre os fasores tensão e corrente o fator de potência e as potências ativas e reativas para cada uma delas Apenas as resistências parte real da impedância consomem potência ativa 𝑃 Apenas as reatâncias parte imaginária da impedância consomem potência re ativa 𝑄 Reatância Indutiva consome potência reativa positiva Reatância capacitiva consome potência reativa negativa fornece potência re ativa Correção do Fator de Potência Seja uma carga 𝑍 apresentando um baixo fator de potência 𝜃 elevado indu tivo ou atrasado por exemplo Z Fasores Fator de Potência P e Q R resistor puro unitário e jωL indutor puro indutivo ou atrasado e jωC capacitor puro capacitivo ou adiantado e R jωL indutiva indutivo ou atrasado e R jωC capacitiva capacitivo ou adiantado e 𝑓𝑝 cos𝜃 cos 𝑍 Seja agora o triângulo das potências consumidas pela carga Para corrigir o fator de potência diminuir o ângulo 𝜃 será introduzida uma outra carga em paralelo à carga 𝑍 para não alterar a tensão na carga Essa nova carga normalmente não apresenta resistência sendo apenas uma carga capa citiva pura ou indutiva pura dependendo do fator de potência da carga original indutivo ou capacitivo O fato de não possuir resistência é para não alterar a potência ativa consumida pois na correção do fator de potência desejase apenas reduzir o ângulo da carga sem alterar a potência ativa e a energia consumidas por ela Baixos fatores de potência são prejudiciais às concessionárias de energia que podem cobrar multas para valores de 𝑓𝑝 abaixo de certo limite atualmente no Brasil este limite é de 092 estabelecido em legislação específica Resolução Normativa ANEEL 10002021 Resumo Triângulos das Potências INDUTIVO ou ATRASADO CAPACITIVO ou ADIANTADO 𝑃 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑄 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑉𝑒𝑓𝐼𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑄 𝑃 0 𝜃 90 90 𝜃 0 Com a nova carga em paralelo o sistema fica então A potência complexa total será 𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓1 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓1 𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑆 𝑆1 𝑃𝑇 𝑃 𝑃1 𝑄𝑇 𝑄 𝑄1 Para que a potência ativa da carga existente não seja alterada e o consumidor venha a pagar mais pela energia consumida 𝑃1 0 e a carga 𝑍1 deve consumir apenas potência reativa 𝑆1 𝑗𝑄1 Dessa forma 𝑍1 será um capacitor puro ou um indutor puro a ser colocado em paralelo com a carga dependendo do fator de potência que se deseja corrigir se está atrasado ou adiantado OBS A situação mais comum na prática é a introdução de um banco de capaci tores para a correção do fator de potência pois a grande maioria das cargas é indutiva com fator de potência atrasado 𝑍 carga existente original 𝑍1 carga a ser introduzida Princípio da Conservação da Potência Complexa fp ATRASADO Introduzir um CAPACITOR fp ADIANTADO Introduzir um INDUTOR Exemplo 1 Seja uma carga com 𝑃 25 𝑘𝑊 e 𝑄 25 𝑘𝑣𝑎𝑟 Se 𝑉𝑒𝑓 707 𝑉 corrigir o fator de potência para 095 atrasado ou indutivo Exemplo 2 Sejam duas cargas em paralelo 1 𝑃1 1200 𝑘𝑊 e 𝑓𝑝1 08 indutivo 2 𝑍2 20 𝑗15 𝛺 Determine o fator de potência total visto pela fonte de 690003 𝑉 𝑓 60 𝐻𝑧 e os elementos a serem colocados em paralelo a estas cargas para que os fatores de potência sejam 095 indutivo 095 capacitivo e unitário Exercício 1 Determine a potência média absorvida pelos resistores e pela fonte no circuito abaixo Exercício 2 Para o circuito a seguir a Calcule a potência absorvida por 𝑅 se 𝑅 1 𝛺 b Calcule a potência máxima que pode ser entregue a 𝑅 bem como o valor de 𝑅 para esta potência máxima Exercício 3 Determine o valor eficaz da tensão 𝑣 em regime permanente no circuito a seguir Exercício 4 Duas cargas em paralelo consomem respectivamente 210 𝑊 com um fator de potência de 06 adiantado e 40 𝑊 com fator de potência 08 atrasado Se a tensão aplicada sobre as cargas em paralelo é de 50 15 𝑉 eficaz calcule a corrente 𝐼 entregue pela fonte e o fator de potência total visto por ela Determine o elemento e seu valor que deveria ser colocado em paralelo com a associação de cargas para que o fator de potência total visto pela fonte passasse a ser unitário Considere 𝜔 377 𝑟𝑎𝑑𝑠 Exercício 5 Sejam três cargas em paralelo com as seguintes características Carga 1 𝑃1 1200 𝑘𝑊 e 𝑓𝑝1 08 indutivo Carga 2 𝑍2 20 𝑗15 𝛺 Carga 3 𝑍3 é o paralelo de 𝑅3 30 𝛺 e 𝑋3 40 𝛺 A tensão aplicada sobre as cargas tem o valor eficaz de 693 𝑘𝑉 e a frequên cia do sistema é de 60 𝐻𝑧 Determine a Fator de potência total visto pela fonte b Elemento a ser colocado em paralelo com as cargas para que o fator de po tência total visto pela fonte seja de 095 indutivo 095 capacitivo e unitário CAPÍTULO 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Uma das grandes discussões acerca do uso da energia elétrica é a questão do tipo de corrente a ser utilizada contínua CC ou alternada CA A razão princi pal do uso preponderante da corrente alternada em todo o mundo é a possibili dade da transformação de tensões baixas em altas e viceversa A partir dos transformadores é possível gerar energia elétrica em tensões relativamente bai xas eleválas para altas tensões e transmitir grandes quantidades de energia em condutores de diâmetros não tão elevados e utilizar esta energia nas diver sas cargas nas tensões mais adequadas em cada uma delas Transformadores só funcionam em corrente alternada 𝑒 𝑑𝜆𝑑𝑡 Lei de Faraday Outra grande discussão foi a questão da transmissão monofásica ou polifásica Devido a questões operacionais de desempenho e econômicas praticamente toda energia elétrica é gerada a partir de fontes polifásicas uma vez que na geração de energia elétrica o campo magnético girante só funciona em sistemas polifásicos Dessa forma devido aos campos girantes são utilizados sistemas polifásicos na geração de energia elétrica Dentre esses os sistemas trifásicos são de longe os mais comuns e utilizados dos sistemas polifásicos Mas por que os sistemas trifásicos se destacam Em um sistema monofásico a potência entregue à carga é pulsante potência instantânea Já em um sistema trifásico além do hexafásico e múltiplos do tri fásico a potência instantânea entregue é constante Mostrase também que dois sistemas trifásicos funcionam melhor e de forma mais econômica que um sistema hexafásico A partir dessa característica os sistemas trifásicos alterna dos são os mais utilizados no mundo para a geração transmissão e distribuição de energia elétrica Num sistema trifásico equilibrado as fontes de excitação são três tensões senoi dais de mesma amplitude mesma frequência e defasadas entre si de 120 Uma fonte trifásica é equivalente a três fontes monofásicas interconectadas cada uma gerando sinais de uma mesma amplitude mesma frequência e com fases com diferenças de 120 entre si 41 Sistemas Monofásicos e Trifásicos Sistema Monofásico 𝑣𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 𝑖𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝐴 𝑝1𝑡 𝑣𝑡 𝑖𝑡 Sistema Trifásico 𝑣𝑎𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 𝑖𝑎𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝐴 𝑣𝑏𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑖𝑏𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝜃 𝐴 𝑣𝑐𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑖𝑐𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝜃 𝐴 𝑝3𝑡 𝑣𝑎𝑖𝑎 𝑣𝑏𝑖𝑏 𝑣𝑐𝑖𝑐 42 Sistemas Trifásicos Ligação Y Representações da Ligação Y Caracterizase pelo ponto comum ligando as três fases N Neutro a b c ponto comum nas três fases N a b c N a b c Sistema de Fases ABC positiva 𝑣𝑎𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 𝑉𝑎 𝑉𝑚 0 𝑉 𝑣𝑏𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑉𝑏 𝑉𝑚 120 𝑉 𝑣𝑐𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑉𝑐 𝑉𝑚 120 𝑉 Sistema de Fases ACB negativa 𝑣𝑎𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 𝑉𝑎 𝑉𝑚 0 𝑉 𝑣𝑏𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑉𝑏 𝑉𝑚 120 𝑉 𝑣𝑐𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑉𝑐 𝑉𝑚 120 𝑉 OBS Será utilizado sempre a menos que indicado o contrário o sistema de fa ses ABC Diagrama Fasorial Sistema Trifásico ABC 𝑉𝑎 𝑉𝑏 e 𝑉𝑐 são as chamadas tensões de fase ou tensões faseneutro 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑏𝑐 e 𝑉𝑐𝑎 são as chamadas tensões fasefase ou tensões de linha Para as tensões de fase e de linha temse 𝑉𝑎 𝑉𝑚 0 𝑉 𝑉𝑏 𝑉𝑚 120 𝑉 𝑉𝑐 𝑉𝑚 120 𝑉 Tensões de Fase ou FaseNeutro Além disso observase que 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑐 0 três fasores de mesma amplitude defasados entre si de 120 𝑣𝑎𝑡 𝑣𝑏𝑡 𝑣𝑐𝑡 0 três senoides de mesma amplitude e mesma frequência no tempo defasadas entre si de 120 As tensões 𝑉𝑎 𝑉𝑏 e 𝑉𝑐 ou alternativamente 𝑉𝑎𝑛 𝑉𝑏𝑛 e 𝑉𝑐𝑛 são chamadas Ten sões de Fase Tensões FaseNeutro ou ainda Tensões FaseTerra Além dessas existem também as tensões fasefase descritas como 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑏𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑎 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑏𝑐 𝑉𝑏 𝑉𝑐 𝑉𝑐𝑏 𝑉𝑐 𝑉𝑏 𝑉𝑏𝑐 𝑉𝑐𝑎 𝑉𝑐 𝑉𝑎 𝑉𝑎𝑐 𝑉𝑎 𝑉𝑐 𝑉𝑐𝑎 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑏𝑐 𝑉𝑐𝑎 0 𝑉𝑏𝑎 𝑉𝑐𝑏 𝑉𝑎𝑐 0 As tensões 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑏𝑐 e 𝑉𝑐𝑎 e 𝑉𝑏𝑎 𝑉𝑐𝑏 e 𝑉𝑎𝑐 são chamadas Tensões de Linha Tensões FaseFase ou ainda Tensões Entre Fases A partir da Lei dos Cossenos o módulo das tensões de linha será 𝑉𝐿 2 𝑉𝑚 2 𝑉𝑚 2 2𝑉𝑚𝑉𝑚 cos120 2𝑉𝑚 2 2𝑉𝑚 2 1 2 2𝑉𝑚 2 𝑉𝑚 2 𝑉𝐿 2 3𝑉𝑚 2 𝑉𝐿 3 𝑉𝑚 Ou seja o módulo das tensões de linha fasefase é 3 vezes maior que o mó dulo das tensões de fase faseneutro Assim 𝑣𝑎𝑏𝑡 3 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 30 𝑉 𝑉𝑎𝑏 3 𝑉𝑚 30 𝑉 𝑣𝑏𝑐𝑡 3 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 90 𝑉 𝑉𝑏𝑐 3 𝑉𝑚 90 𝑉 𝑣𝑐𝑎𝑡 3 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 150 𝑉 𝑉𝑐𝑎 3 𝑉𝑚 150 𝑉 Tensões de Linha Cargas Ligadas em Y Seja o sistema trifásico com as fontes ligadas em Y alimentando cargas ligadas em Y também Sistema YY Sistema Equilibrado cargas iguais As correntes 𝐼𝑎 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 são chamadas Correntes de Linha e são determina das como 𝐼𝑎 𝑉𝑎 𝑍𝑃 𝐼𝐿 𝜃 𝐴 𝐼𝑏 𝑉𝑏 𝑍𝑃 𝐼𝐿 𝜃 120 𝐴 𝐼𝑐 𝑉𝑐 𝑍𝑃 𝐼𝐿 𝜃 120 𝐴 A corrente do neutro será 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 𝐼𝑁 Para o sistema equilibrado 𝐼𝑁 0 Quando as cargas são iguais as correntes de linha 𝑖𝑎𝑡 𝑖𝑏𝑡 e 𝑖𝑐𝑡 são correntes senoidais de mesma amplitude e defasadas entre si de 120 𝑖𝑎𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝐴 𝑖𝑏𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 120 𝐴 𝑖𝑐𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 120 𝐴 E para este caso N a b c N 𝑖𝑎𝑡 𝑖𝑏𝑡 𝑖𝑐𝑡 0 As correntes 𝑖𝑎𝑡 𝑖𝑏𝑡 e 𝑖𝑐𝑡 são chamadas de correntes de linha que na ligação Y são as mesmas correntes que passam nas fases Diagrama Fasorial Tensões de Fase e Correntes de Linha Determinação das Correntes de Linha a Sistemas Equilibrados 𝒁𝒂 𝒁𝒃 𝒁𝒄 𝒁 Os sistemas trifásicos equilibrados tensões iguais e impedâncias iguais po dem ser resolvidos através da análise por fase O que ocorre nas outras fases é o mesmo que ocorre em uma fase com as devidas defasagens de 120 𝐼𝑎 𝑉𝑎 𝑍 𝐼𝑚 𝐴 As correntes das outras fases podem ser obtidas a partir da corrente da fase a apenas defasandoa de 120 𝐼𝑎 𝐼𝑚 𝐴 𝐼𝑏 𝐼𝑚 120 𝐴 𝐼𝑐 𝐼𝑚 120 𝐴 Dessa forma não é preciso calcular as correntes nas outras fases basta calcular para a fase a e para as fases b e c apenas defasála de 120 e 120 respectivamente Para os sistemas equilibrados os neutros podem estar interligados ou não Exis tindo interligação a corrente do neutro será nula Exemplo Um sistema trifásico tem tensão 𝑉𝑎 100 0 𝑉 Considere as três cargas iguais a Z 3 𝑗3 𝛺 sistema equilibrado ligadas em Y Determine as correntes de linha dado que as linhas que interligam as fontes às cargas têm impedância de 1 𝛺 Uma vez que as cargas são iguais bem como as impedâncias das linhas tam bém são a carga trifásica é equilibrada e pode ser feita uma análise por fase Fase a 𝐼𝑎 𝑉𝑎 1 𝑍 1000 4 𝑗3 1000 53687 20 3687𝐴 Para as outras fases podese escrever 𝐼𝑏 20 15687𝐴 𝐼𝑐 208313𝐴 N N b Sistemas Desequilibrados 𝒁𝒂 𝒁𝒃 e 𝒁𝒄 distintos Quando as cargas nas três fases não forem todas iguais ou pelos menos uma delas for diferente das outras o sistema é desequilibrado e a análise vai depen der da existência ou não do fio condutor interligando os neutros ou os neutros estarem aterrados ou não b1 Neutros Interligados Caso os neutros das fontes e das cargas estejam interligados ou aterrados o cálculo das correntes das três fases ainda pode ser realizado pela análise por fase devendo ser calculada a corrente em todos os três circuitos pois as impe dâncias são diferentes e não se pode apenas defasar de 120 a corrente en contrada em uma fase Análise por Fase Fase a Fase b N N 𝐼𝑎 𝑉𝑎 𝑍𝑎 𝐼𝑏 𝑉𝑏 𝑍𝑏 Fase c b2 Neutros Não Interligados Caso não exista o fio condutor interligando os dois neutros não se pode utilizar a análise por fase Neste caso o circuito pode ser resolvido usando as técnicas de análise de circuitos com as três fases consideradas em conjunto Análise de Malhas 𝐼𝑐 𝑉𝑐 𝑍𝑐 N N N N Malha 1 Malha 2 Análise de Nós Exemplo Um sistema trifásico com 𝑉𝑎 100 0 𝑉 alimenta três cargas liga das em Y com 𝑍𝑎 10 𝛺 𝑍𝑏 3 𝑗4 𝛺 𝑍𝑐 𝑗20 𝛺 Determine as corren tes de linha supondo inicialmente que os neutros estão interligados e em se guida não interligados 𝑉𝑎 𝑍𝑎𝐼1 𝑍𝑏𝐼2 𝐼1 𝑉𝑏 0 𝑉𝑏 𝑍𝑏𝐼2 𝐼1 𝑍𝑐𝐼2 𝑉𝑐 0 𝐼𝑎 𝐼1 𝐼𝑏 𝐼2 𝐼1 𝐼𝑐 𝐼2 N N 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 0 𝐼𝑎 𝑉𝑎 𝑉𝑁 𝑍𝑎 𝐼𝑏 𝑉𝑏 𝑉𝑁 𝑍𝑏 𝐼𝑐 𝑉𝑐 𝑉𝑁 𝑍𝑐 N N Para o caso com as neutros interligados será feita a análise por fases 43 Sistemas Trifásicos Ligação Δ As fontes nos sistemas trifásicos normalmente são conectadas em Y pois a presença do neutro é muito importante para a proteção dessas fontes No en tanto as cargas nestes sistemas podem estar conectadas em Y ou em Δ triân gulo de acordo com as representações a seguir a b c a b c a b c Na ligação Δ não há o ponto comum neutro entre as três fases logo não exis tem tensões faseneutro nesta ligação apenas tensões fasefase ou de linha Além disso existem correntes dentro do Δ diferentes das correntes nas linhas 𝐼𝑎 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 As correntes nas fases Δ serão A partir dessas correntes podem ser determinadas as correntes de linha 𝐼𝑎 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 𝐼𝑎 𝐼𝑎𝑏 𝐼𝑐𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑏𝑐 𝐼𝑎𝑏 𝐼𝑐 𝐼𝑐𝑎 𝐼𝑏𝑐 Para o caso equilibrado 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑐𝑎 temse que 𝐼𝑎𝑏 𝐼𝑏𝑐 𝐼𝑐𝑎 e 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 𝐼𝑎𝑏 𝐼𝑎 3 Qualquer desequilíbrio num sistema em Δ fará com que essas correntes não tenham mais os mesmos módulos e nem estejam defasadas de 120 entre si Além disso o desequilíbrio irá produzir uma corrente remanescente corrente de desequilíbrio circulando dentro do Δ o que não seria produtivo para o sistema como um todo A ligação em Δ tem a vantagem de permitir que cargas possam ser facilmente adicionadas ou removidas de uma fase do Δ Em certas situações por outro lado a perda de uma fase do Δ não inviabiliza totalmente o sistema que irá operar com uma potência igual a 57 da potência do sistema original ligação V 𝐼𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑏 𝐼𝑏𝑐 𝑉𝑏𝑐 𝑍𝑏𝑐 𝐼𝑐𝑎 𝑉𝑐𝑎 𝑍𝑐𝑎 44 Transformações Entre as Ligações Ligações Y podem ser transformadas em Δ e ligações Δ podem ser transforma das em ligações Y para as cargas As fontes normalmente são ligadas em Y As transformações utilizam os valores das admitâncias e das impedâncias das car gas ligadas em Δ ou em Y 441 Transformação Y Δ A transformação Y Δ é feita em termos das admitâncias 𝑌𝑎𝑏 𝑌𝑎 𝑌𝑏 𝑌𝑎 𝑌𝑏 𝑌𝑐 𝑌𝑏𝑐 𝑌𝑏 𝑌𝑐 𝑌𝑎 𝑌𝑏 𝑌𝑐 𝑌𝑐𝑎 𝑌𝑐 𝑌𝑎 𝑌𝑎 𝑌𝑏 𝑌𝑐 Se todas as admitâncias forem iguais a 𝑌𝑌 sistema equilibrado temse 𝑌 𝑌𝑌 3 a b c 442 Transformação Δ Y A transformação Δ Y é feita em termos das impedâncias 𝑍𝑎 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑐𝑎 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑐𝑎 𝑍𝑏 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑐𝑎 𝑍𝑐 𝑍𝑐𝑎 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑐𝑎 Se todas as impedâncias forem iguais a 𝑍 sistema equilibrado temse 𝑍𝑌 𝑍 3 a b c 45 Potência em Sistemas Trifásicos Seja um sistema trifásico alimentando cargas equilibradas com os seguintes va lores 𝑣𝑎𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝑉 𝑣𝑏𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑣𝑐𝑡 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝑉 𝑖𝑎𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝐴 𝑖𝑏𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 120 𝐴 𝑖𝑐𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 120 𝐴 A potência trifásica instantânea será 𝑝3 𝑣𝑎𝑖𝑎 𝑣𝑏𝑖𝑏 𝑣𝑐𝑖𝑐 Substituindo os valores de 𝑣𝑎 𝑣𝑏 𝑣𝑐 e 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 a potência trifásica será 𝑝3 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 120 𝑉𝑚 cos𝜔𝑡 120𝐼𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃 120 𝑝3 𝑉𝑚 𝐼𝑚cos𝜔𝑡 cos𝜔𝑡 𝜃 cos𝜔𝑡 120 cos𝜔𝑡 𝜃 120 cos𝜔𝑡 120 cos𝜔𝑡 𝜃 120 A partir da identidade trigonométrica cos𝑎 cos𝑏 1 2 cos𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑏 A equação anterior passa a ser 𝑝3 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos2𝜔𝑡 𝜃 cos𝜃 cos2𝜔𝑡 𝜃 240 cosθ cos2ωt θ 240 cosθ 𝑝3 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 3 cos𝜃 cos2𝜔𝑡 𝜃 cos2𝜔𝑡 𝜃 120 cos2ωt θ 120 A soma dos três últimos termos da equação anterior é igual a zero pois temse três senoides de mesma frequência e mesma amplitude defasadas de 120 A partir desta afirmativa temse 𝑝3 3 𝑉𝑚 𝐼𝑚 2 cos𝜃 3 𝑉𝑚 2 𝐼𝑚 2 cos𝜃 𝑝3 3 𝑉𝐹 𝐼𝐿 cos𝜃 𝑃3 Onde 𝑉𝐹 é o valor eficaz da tensão de fase e 𝐼𝐿 é o valor eficaz da corrente de linha Dessa forma a potência trifásica instantânea é igual à potência trifásica média ou potência ativa trifásica A potência ativa trifásica e a potência reativa trifásica podem ser obtidas através da soma das potências ativa e reativa nas três fases independente das cargas estarem ligadas em Y ou em Δ 𝑃3 𝑃𝑎 𝑃𝑏 𝑃𝑐 𝑃𝑎 𝑉𝑎𝐼𝑎 cos𝜃𝑎 𝑃𝑏 𝑉𝑏𝐼𝑏 cos𝜃𝑏 𝑃𝑐 𝑉𝑐𝐼𝑐 cos𝜃𝑐 𝑄3 𝑄𝑎 𝑄𝑏 𝑄𝑐 𝑄𝑎 𝑉𝑎𝐼𝑎 sen𝜃𝑎 𝑄𝑏 𝑉𝑏𝐼𝑏 sen𝜃𝑏 𝑄𝑐 𝑉𝑐𝐼𝑐 sen𝜃𝑐 Nas expressões anteriores 𝑉𝑎 𝑉𝑏 e 𝑉𝑐 são tensões faseneutro ou tensões de fase e as correntes 𝐼𝑎 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 são as correntes de linha Para sistemas equilibrados temse 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 e 𝜃𝑎 𝜃𝑏 𝜃𝑐 𝜃 Assim 𝑃3 3 𝑉𝐹 𝐼𝐿 cos𝜃 𝑄3 3 𝑉𝐹 𝐼𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃𝑎 𝑉𝑎 𝐼𝑎 𝜃𝑏 𝑉𝑏 𝐼𝑏 𝜃𝑐 𝑉𝑐 𝐼𝑐 ou 𝑃3 3 𝑉𝐿 𝐼𝐿 cos𝜃 𝑄3 3 𝑉𝐿 𝐼𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 Onde 𝑉𝐹 é o módulo da tensão de fase 𝑉𝐿 é o módulo da tensão de linha e 𝐼𝐿 é o módulo da corrente de linha Fator de Potência nos Sistemas Trifásicos Nos sistemas trifásicos também se determina o fator de potência que pode ser definido por fase e o total trifásico Nessa definição vai depender do sistema ser equilibrado ou não Sistemas Equilibrados Para sistemas equilibrados temse 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 e 𝜃𝑎 𝜃𝑏 𝜃𝑐 Assim cos𝜃𝑎 cos𝜃𝑏 cos𝜃𝑐 cos𝜃3 e 𝑓𝑝𝑎 𝑓𝑝𝑏 𝑓𝑝𝑐 𝑓𝑝3 Sistemas Desequilibrados Para sistemas desequilibrados temse 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 e 𝜃𝑎 𝜃𝑏 𝜃𝑐 Assim 𝑓𝑝𝑎 cos𝜃𝑎 𝑓𝑝𝑏 cos𝜃𝑏 e 𝑓𝑝𝑐 cos𝜃𝑐 Para o total trifásico 𝑃3 𝑃𝑎 𝑃𝑏 𝑃𝑐 e 𝑄3 𝑄𝑎 𝑄𝑏 𝑄𝑐 𝜃3 arctan 𝑄3 𝑃3 e 𝑓𝑝3 cos𝜃3 Medição da Potência Em qualquer sistema elétrico a potência ativa pode ser medida a partir da cone xão de wattímetros ao sistema Para o sistema trifásico inicialmente poderia ser imaginado o uso de três wattímetros um para cada fase cada um deles com a sua bobina de corrente em série com uma fase da carga e sua bobina de tensão em paralelo com cada fase da carga e um ponto comum podendo ser o neutro Apesar desta ligação estar correta se o ponto neutro não estiver acessível essa ligação e os três wattímetros não teriam utilidade Será apresentado a seguir um método em que apenas dois wattímetros ligados às fases sem necessidade do neutro são necessários para medir o total da potência trifásica Considerando três wattímetros com o ponto neutro disponibilizado ou a partir de um ponto comum qualquer a potência trifásica será 𝑃3 1 𝑇 𝑣𝑎𝑖𝑎 𝑣𝑏𝑖𝑏 𝑣𝑐𝑖𝑐𝑑𝑡 Seja o sistema com três wattímetros A potência total trifásica será 𝑃3 1 𝑇 𝑣𝑎𝑥𝑖𝑎 𝑣𝑏𝑥𝑖𝑏 𝑣𝑐𝑥𝑖𝑐𝑑𝑡 𝑇 0 Podese escrever 𝑣𝑎𝑥 𝑣𝑎𝑁 𝑣𝑁𝑥 𝑣𝑏𝑥 𝑣𝑏𝑁 𝑣𝑁𝑥 𝑣𝑐𝑥 𝑣𝑐𝑁 𝑣𝑁𝑥 E assim 𝑃3 1 𝑇 𝑣𝑎𝑁𝑖𝑎 𝑣𝑏𝑁𝑖𝑏 𝑣𝑐𝑁𝑖𝑐𝑑𝑡 𝑇 0 1 𝑇 𝑣𝑁𝑥𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐𝑑𝑡 𝑇 0 Dessa forma observase que o ponto 𝑥 pode ser qualquer incluindo estar em uma das linhas de uma fase Neste caso o wattímetro que estivesse nesta linha marcaria o valor zero pois a tensão em sua bobina de potencial seria zero A potência trifásica total seria então a potência medida pelos outros dois wattíme tros Para o sistema anterior 𝑃3 𝑃1 𝑃2 Onde 𝑃1 é a leitura do wattímetro 1 e 𝑃2 é a leitura do wattímetro 2 considera das com os seus sinais OBS Um dos wattímetros pode marcar uma leitura negativa por causa das liga ções Nesse caso a soma das leituras para dar a potência trifásica é a soma algébrica O método também serve para medir a potência trifásica de um sistema que es teja com as cargas ligadas em Δ 0 Exercício 1 Em um sistema YY temse 𝑉𝑎𝑏 100 0 𝑉 eficaz e a carga em cada fase é a combinação em série de um resistor de 30 Ω um capacitor de 500 𝜇𝐹 e um indutor de 025 𝐻 A frequência é de 200 𝑟𝑎𝑑𝑠 Determine as correntes de linha e as potências ativa e reativa entregues pela fonte à carga trifásica Exercício 2 Uma carga equilibrada conectada em tem 𝑍𝑝 4 𝑗3 Ω em cada fase Se o módulo das tensões de linha é de 200 𝑉 eficaz determine as potências entregues à carga trifásica Exercício 3 Uma carga equilibrada conectada em tem uma tensão de linha de módulo 100 𝑉 eficaz e absorve uma potência total de 48 𝑘𝑊 Se o fator de potência da carga é 08 adiantado encontre a impedância da fase Exercício 4 Uma fonte trifásica equilibrada apresenta uma tensão de linha com o módulo de 100 𝑉 eficaz entrega potência a uma carga equilibrada conectada em Y com impedâncias de fase 𝑍𝑌 8 𝑗6 Ω em paralelo com uma carga equilibrada conectada em com impedâncias de fase 𝑍 12 𝑗9 Ω Calcule as potências entregues pela fonte Exercício 5 Uma fonte trifásica equilibrada com 𝑉𝑎 100 0 𝑉 𝑉𝑏 100 120 𝑉 e 𝑉𝑐 100 120 𝑉 alimenta três cargas iguais Z 4 j3 Ω ligadas em Determine os fasores das correntes 𝐼𝑎 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 e as potências entregues pela fonte trifásica ativa e reativa