Vibrações Mecânicas

1 Uma caixa de som é colocada no centro de um balcão de aço A oscilação geranda pelo som da caixa provoca uma força sobre a barra dada por Ft 5 sen3t A massa da caixa de som é desprezível em relação a do balcão o qual tem sua massa calculado pela expressão mB ρV Considerando o balcão como uma viga fixafixa determine a equação que modela a oscilação da barra no ponto de aplicação da força em função do tempo utilizando os dados da tabela abaixo E 80 x 109 N d 0020 m ρ 7850 kgm³ 2 Para mesmas condições do problema acima encontre a equação que modela o deslocamento da barra se o som do rádio gerar uma vibração de base y 5 sen3t sobre o balcão 3 Acrescente ao problema um amortecimento que representado o enchimento do balcão cujo valor é b 500Nsm Modele oscilação do balcão em função do tempo 4 Determine a resposta total de um sistema quando submetido a uma força oscilante Ft 3 cos cos 2t que possui massa igual a m 6 kg frequência natural de ω0 3 rads e constante de amortecimento ζ 052 1 Uma caixa de som é colocada no centro de um balcão de aço A oscilação geranda pelo som da caixa provoca uma força sobre a barra dada por F t 5 sen3t A massa da caixa de som é despresível em relação a do balcão o qual tem sua massa calculado pela expressão mBρV Considerando o balcão como uma viga fixafixa determine a equação que modela a oscilação da barra no ponto de aplicação da força em função do tempo utilizando os dados da tabela abaixo 2 Para mesmas condições do problema acima encontre a equação que modela o deslocamento da barra se o som do rádio gerar uma vibração de base y5 sen3t sobre o balcão 3 Acrescente ao problema um amortececimento que representado o enchimento do balcão cujo valor é b500 Ns m Modele oscilação do balcão em função do tempo 4 Determine a resposta total de um sistema quando submetido a uma força oscilante F t 3cos2t que possui massa igual a m6 kg frenquencia natural de ω03 rad s e constantede amortecimentoζ052 Universidade de Pernambuco Departamento Engenharia de Controle e Automação Disciplina Vibrações Mecanismos Prof Kenia Carvalho Segunda Avaliação Entrega 10072025 grupo Acsa e Carlos Edwardo Nome Nota This image is blank or contains no text to extract Viga em balanço yx Px26EI 3a x 0 x a Pa26EI 3x a a x l Viga simplesmente apoiada yx Pbx6EI l2 x2 b2 0 x a Pal x6EI 2lx x2 a2 a x l Viga fixafixa yx Pb2x26EI l3 3al x3a b 0 x a Pa2l x26EI l3 3bl l x3b a a x l Viga simplesmente apoiada com extremidade em balanço yx Mesmo caso que o da viga simplesmente apoiada para 0 x a e a x l Pa6EI l2 a2x l l x l c Viga simplesmente apoiada com carga em balanço yx Pax6EI x2 l2 0 x l Px l6EI a3x l x l2 l x l a Viga fixafixa com deslocamento da extremidade yx P12EI 3 lx2 2x3 Boa Prova Lista Vibrações Mecânicas 1 O sistema pode ser modelado como um sistema massa mola Ft mx kx calculando a massa mb p v mb p v e V A L πd²4 L π 1020² 2 2π 10⁴ m³ mb 7850 2π 10⁴ 4932 kg a relação entre a força aplicada P e a deflexão γ resultante no ponto de aplicação é a rigidez K K P γ para uma viga fixafixa com carga concentrada no centro ab12 12 L a deflexão máxima no centro é γmax Pl³ 192 E I logo K P γmax 192 E I L³ calculando o momento de inércia para uma viga I π d⁴ 64 π 020⁴ 64 7854 10⁹ m⁴ substituindo todos os valores K 192 80 10⁹ 7854 10⁹ 2³ 12063744 150797 Nm L 2m E 80 10⁹ I 7854 10⁹ Agora montamos a eq do movimento mx Kx Ft 4932 x 150797 x 5 sin3t A solução em regime permanente para essa eq diferencial é xpt X sinwt onde w 3 rads sendo xp 3x cos3t xp 9 sin3t logo 49329x sin3t 150797 x sin3t 5 sin 3t 44388x 150797 x sin3t 5 sin3t 5 150353125 x 15035312 3325 10⁴ m Portanto a equação que modela a oscilação em regime permanente é xt 3325 10⁴ sin 3 t 2 A equação do movimento para um sistema não amortecido com excitação na base é m z k z m y onde z x y é o deslocamento relativo de massa em relação à base Se yt 5 sin3t y 9 5 sin3t 45 sin3t y 3 5 cos3t e y 3 3 5 sin3t logo nova equação fica 4932 z 150797 z 4932 45 sin3t 4932 z 150797 z 22194 sin3t cuja solução part zp Z sin3t logo Z P K m w² 22194 150797 49323² 22194 15035312 001426 m Zt 001476 sin3t m 3 A equação do movimento para um sistema amortecido m z b z k z m y subtituindo os valores m 4932 kg K 150797 Nm b 500 Nsm y 45 sin3t logo substituindo em m z b z k z m y m y 4932 45 sin3t 22194 sin3t 4932 z 500 z 150797 z 22194 sin3t aqui a solução em regime permanente é dada por Zt Z sinw t Φ 4 A partir dos dados m 6 kg w0 3 rads δ 052 Ft 3 cos 2t Rigidezk k m w0² 6 3² 54 Nm Amortecimento b b 2 m k 052 2 6 54 3872 Nsm e a equação de movimento mx bx kx Ft logo 6 x 3872 x 54 x 3 cos 2 t a amplitude x é uma das soluções dessa equação dysoneral do formato Xpt X sinwt Φ X F0 k 1 ww0² ² 2 δ w w0 ² 3 54 1 23 ² 12 052 2 3 ² 03086 04307 118 x 00625 e o ângulo de fase Φ arc tg 2 δ w w0 1 w w0 ² arc tg 2 052 2 3 1 2 3 ² 513º ou 0895 rad Portanto a resposta em regime permanente é xpt X sinwt Φ Xp t 00625 sin2t 0895 Como 0 δ 1 para δ 052 o sistema é sub amortecido logo Xnt e δ w0 t A coswd t B sinwd t Sendo Wd W0 1 δ² 3 1 052² 2562 rads e e δ w0 t e¹56 t logo Xn t e¹56 t A cos2562 t B sin 2562 t A resposta total é xt Xnt Xpt Xt e¹56 t A cos2562 t B sin2562 t 00625 cos2t 0895