Lista de Exercicios Resolvidos Sequencias e Series Numericas Reais - UPE

Exercício 1 Seja z1 1 e defina para cada n N zn1 sqrt2zn a Prove que zn é monótona e limitada b Conclua que zn é convergente e determine seu limite Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matemática Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequências e Séries de Números Reais Parte 2 Exercício 2 Dado a 0 seja s1 0 arbitrário e defina para cada n N sn1 12 sn asn a Mostre que sn2 a para todo n 2 b Mostre que sn é mónotona nãocrescente c Conclua que sn é convergente e prove que sn sqrta A sequência sn era usada pelos Mesopotâmios em torno de 1500 AC para determinar a raiz quadrada de um número real a positivo Exercício 3 Se lim xn a 0 mostre que existe n0 N tal que para n n0 temse xn 0 Exercício 4 Calcule o limite de cada uma das sequências a seguir caso exista a xn n3 3n 1 4n3 2 b an sqrtn 1 sqrtn c bn 1 2nn d yn cosn2 5n 8 n2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matemática Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequências e Séries de Números Reais Parte 2 Exercício 5 Se lim x2n a e lim x2n1 a mostre que lim xn a Exercício 6 Se lim xn a 0 e lim xn yn b mostre que lim yn ba Exercício 7 Sejam a 0 e b 0 Prove que lim nan bn maxa b Exercício 1 Use o teste da série geométrica para analisar a convergência das séries a seguir Em caso de convergência forneça a soma da série a n0 πn 3n1 b n0 2n 31n c n1 32n 43n2 Exercício 2 Analise a convergência das seguintes séries a n1 2n 3n 6n b n1 35n 2n Exercício 3 Use o teste da integral para analisar a convergência das seguintes séries a n1 1 n2 1 b n1 ln n n c n1 n en2 Exercício 4 Analise a convergência das seguintes séries por meio do teste da comparação a n1 até 1n b n1 até n nn Exercício 5 Analise a convergência das seguintes séries por meio do teste da comparação no limite a n1 até n2 1 3n4 1 b n1 até 1 1n2 en Qualquer necessidade de modificação ou problema estarei à disposição só comunicar a plataforma que irão me encaminhar sua mensagem Se gostou me avalie positivamente com 5 estrelas sua avaliação é muito importante Exercício 1 a Zn1 2 Zn Z1 1 n1 Z11 2 Z1 Z2 21 2 n2 Z21 2 Z2 Z3 2 2 n3 Z31 2 Z3 Z4 2 2 2 Temse 2 2 2 2 2 2 1 Portanto a sequência é monótona crescente Além disso verificase 2 2 2 2 portanto a sequência é limitada b limn Zn L L limn Zn1 2 Zn 2 limn Zn 2 L 2 2 L L2 2 L 2 2 Logo a sequência converge e L2 Exercício 2 a 0 s1 0 sn1 12 sn asn a sn2 a para todo n 2 n 2 s3 12 s2 as2 2s3 s2 as2 2s3 s2s2 a n 3 s4 12 s3 as3 2s4 s3 as3 2s4 s3s3 a Portanto sn2 a para todo n 2 b Com s1 0 e a 0 se fizermos s1 1 e a 1 s21 12 1 11 12 s21 12 12 12 12 12 2 12 32 34 1 12 34 Sn Sn1 logo a sequência é monótona não crescente c lim n Sn L lim n Sn1 lim n 12 Sn aSn lim n 12 lim n Sn alim n Sn lim n 12 L aL 12 L a2L L 12 L a2L L 12 L a2L L2 a2L L2 a L a logo como o limite existe a sequência converge e sn a Exercício 3 lim xn a 0 no N existe n no tem se xn 0 Seja ϵ a2 0 Então a ϵ a ϵ a2 3a2 Existe no N tal que n no xn a2 3a2 ou seja xn a2 Assim n no xn 0 Exercício 4 a xn n3 3n 1 4n3 2 lim n n3 3n 1 4n3 2 lim n 1 3n2 1n3 4 2n3 lim n 1 lim n 3n2 lim n 1n3 lim n 4 lim n 2n3 1 0 0 4 0 14 b an n 1 n lim n n 1 n lim n 1 n 1 n lim n 1 0 c bn 1 2nn lim n 1 2nn Aplicando a seguinte propriedade dos limites lim x 1 kxx ek se tem lim n 1 2nn e2 d ym cos n2 5n 8 n2 lim n cos n2 5n 8 n2 Aplicando o Teorema do Confronto 1 cos n2 5n 8 1 lim n 1n2 lim n cos n2 5n 8 n2 lim n 1n2 0 lim n cos n2 5n 8 n2 0 portanto lim n yn 0 Exercício 5 lim x2n a e lim x2n1 a Suponha que lim x2n lim x2n1 a Assim sendo dado ε 0 existe N ℕ tal que para todo n N temse x2n x ε x ε Analogamente existe M ℕ tal que para todo m M temse x2n1 x ε x ε Seja k max 2N 2M 1 ℕ Dessa forma para todo n k temse duas possibilidades ou n é par ou n é ímpar 1ª considerando que n é par se diz que n 2k para algum k ℕ Portanto 2k k 2N Consequentemente k N logo xn x2k x ε x ε O caso n é ímpar é análogo Com efeito se n é ímpar com n 2l 1 para algum l ℕ encontrase l M e xn x2l1 x ε x ε Por fim para todo n k se tem xn x ε x ε Isto leva a afirmar que lim xn a Exercício 6 lim xn a 0 lim xn yn b lim yn b a lim xn yn lim xn lim yn b lim yn b lim xn b a Exercício 7 a 0 e b 0 lim nan bn max a b sendo xn nan bn Dado ε 0 n0 ℕ tal que m n n0 xm xn ε2 Ainda xnk a se tem que para o mesmo ε 0 n1 ℕ tal que nk n1 xnk a ε2 Fazendo n max n0 n1 nπ tal que n n escollendo um índice nk n se tem xn L xn xnk xnk L xn xnk xnk a ε2 ε2 ε É com isto fazendo L max a b se tem lim nan bn max a b Exercicio 1 a n0 πn 3n1 13 n0 πn 3n 13 n0 π3n Aplicando o teste se tem r π3 1 Logo pelo teste a série diverge b n0 2n 31n an1an 2n1 31n1 2n 31n 23 lim n 23 pelo teste r 1 logo a série converge para 23 c n1 32n 43n2 142 n1 32n 233n 116 n1 3243n 116 n1 964n r 964 1 logo a série converge 116 n0 964n 9640 116 6455 9640 9880 Exercicio 2 a m1 2m 3m 6m m0 13m 12m 12 1 32 A série converge para 32 b n1 35n 2n Pelo teste da comparação n1 35n 2n n1 2n n1 2n diverge Portanto n1 35n 2n diverge Exercicio 3 a n1 1n2 1 1 1n2 1 dn arctg n1 π2 π4 π4 A série converge para π4 b n1 ln n n 3 ln n n dn ln2 n 2 3 Aplicando os limites do integral 3 ln n n dn logo n1 ln n n diverge c n1 nen2 1 nen2 dn Fazendo substituição u n2 dudn 2n e retirando os limites nen2 du eu2 du 12 eu 12 en2 Aplicando os limites da integral 12 en2 1 0 12e 12e A série converge para 12e Exercicio 4 a Σ n1 1n Sendo 0 an bm l lim n anbm l0 an1 e bmn Se tem como bn converge an converge Σ n0 1n converge para zero b Σ n1 nnn an n bm nn Como n e nn convergem logo Σ n1 nnn converge nmn1m nnn n1n1n1 nmn1m nn lim n nnn1n 1e Portanto 1e nnn 1e Σ n1 nnn converge para 1e Exercício 5 a Σ n1 n2 13n41 lim n n2 13n41 lim n n23n41 lim n n23n4 lim n n23n4 13 lim n 1n2 13 logo a série converge e portanto Σ n1 n213n4 1 converge b Σ n1 1 1n2 en lim n 1 1n2 e2 lim n 1 1n12 en1 lim n 1 1n2 e2 lim n 1 1n12 en1 1e logo a série converge para 1e e portanto Σ n1 1 1n2 en converge também para 1e