Prova de Calculo - Otimizacao e Derivadas

ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Dr Juscelino G Lopes ENTREGA DA ATIVIDADE 14092023 Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Informacoes Importantes A atividade deve ser individual A pontuacao maxima dessa ativade e 5 pontos A entrega pode ser feita por email juscelinolopesupebr ate as 23h59min do dia 14092023 Cada exercıcio a seguir possui a mesma pontuacao 0416 por questao Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 1 Um fazendeiro quer cercar um terreno retangular de 1000 m2 com uma cerca que custa R 5m e entao dividilo ao meio com uma cerca que custa R 6m e e paralela a um dos lados Encontre as dimensoes do terreno que minimizam o custo total Justifique sua resposta Exercıcio 2 Considere a funcao f R R dada por f x x2ex a Calcule lim xf x b Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento bem como os pontos crıticos de f c Determine os pontos de maximo e de mınimo locais e globais de f d Com as informcoes do item anterior esboce o grafico de f Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 3 Encontre o ponto sobre a curva y x que esta mais proximo do ponto 30 Exercıcio 4 Seja f ab R uma funcao contınua com derivada f x contınua em ab tal que 0 f x M x ab Encontre cd R tais que c f x d Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 5 Considere uma funcao f R R definida da seguinte forma f x x2 se x c ax b se x c para ab e c constantes Por simplicidade considere a constante c positiva a Determine as constantes a e b em termos da constante c de modo que f c exista b Faca um esboco do grafico da funcao f Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 6 Sejam f g R R com f 0 g0 a Prove que se existe x 0 tal que f x gx entao existe y 0 tal que f y gy b A recıprova de a e verdadeira Prove ou dˆe um contraexemplo Exercıcio 7 Seja f R R uma funcao diferenciavel tal que para todo xy R f x f y x y2 Mostre que f e constante Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 8 Seja f uma funcao real continuamente diferenciavel satisfazendo a equacao x f x x2 f x2 para todo x R onde f denota a derivada de f Mostre que f 0 f 0 0 Exercıcio 9 Seja f 11 R uma funcao diferenciavel Pra cada uma das afirmacoes abaixo diga se e verdadeira ou falsa justificando sua resposta a Existe c 11 tal que f c f 1 f 1 2 b Existe c 11 tal que f c f 1 f 1 2 b Existe c 11 tal que f c 0 Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 10 Seja f ab R uma funcao contınua e naonegativa Entao b a f xdx 0 se e somente se f x 0 Exercıcio 11 Para ab R e n N considere a equacao x2n1 ax2n b 0 1 a Prove que a equacao 1 admite ao menos uma raiz real b Use o Teorema de Rolle para provar que quando a 0 a equacao 1 tem apenas uma solucao real Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE Exercıcio 12 Seja f 15 R uma funcao uniformemente contınua tal que f 2 3 e f 4 6 Considere as seguintes afirmacoes acerca do conjunto f 15 I Ele e necessariamente um conjunto que contem 36 II Ele e necessariamente um intervalo que contem 36 III Ele e necessariamente um intervalo aberto que contem 36 IV Ele e necessariamente um intervalo limitado que contem 36 V Ele e necessariamente um intervalo aberto e limitado que contem 36 Quantas destas afirmacoes sao verdadeiras Dr Juscelino G Lopes ATIVIDADE AVALIATIVA III UNIDADE I PARTE