Sequências Numéricas - Exercícios Resolvidos e Análise de Subsequências

Exercício 1 Seja x1 0 e x2 1 e defina para cada n N xn2 xn xn1 2 a Obtenha os primeiros 10 termos dessa sequência b Mostre que a subsequência de x2n1 formada pelos termos da sequência xn de ordem ímpar é limitada e monótona decrescente c Mostre que a subsequência de x2n formada pelos termos da sequência xn de ordem par é limitada e monótona crescente d Mostre que xn é uma sequência limitada e xn é monótona Justifique a x1 0 x2 1 x3 012 05 x4 1052 075 x5 05 0752 0625 x6 075 06252 06875 x7 0625 068752 065625 x8 06875 0656252 0671875 x9 065625 06718752 06640625 x10 0671875 066406252 066796875 b Primeiro vamos mostrar que x2n1 x2n1 por indução em n base Para n 0 de fato x3 0 1 x2 passo Suponha que x2n1 x2n1 para n Logo x2n1 x2n2 x2n1 x2n2 2 x2n2 x2n1 x2n2 2 x2n2 x2n3 x2n2 2 x2n3 x2n2 x2n3 x2n3 x2n2 x2n3 2 x2n11 x2n2 como queríamos demonstrar Agora veja que como n N x2n1 x2n1 então x2n1 x2n2 2 x2n1 x2n1 x2n2 x2n1 x2n1 x2n2 2 x2n1 x2n11 Logo a subsequência x2n1 é monótona crescente E X2n1 é limitada inferiormente então por X1 0 Também é superiormente por X2 1 pelo que vamos demonstrar que X2n é decrescente junto ao fato de X2n1 X2n1 c Como sabemos que X2n1 X2n2 para todo n em N então X2n1 X2n X2n1 2 2X2n1 X2n X2n1 X2n1 X2n para todo n em N Daí X2n1 X2n 2 X2n X2n1 X2n 2 X2n X21n1 X2n para todo n em N Logo X2n é monótona decrescente Então X2n é limitada superiormente por X2 e inferiormente por X3 já que X2n1 X2n e mostramos na b que X2n1 é limitada inferiormente d Como vimos X2n e X2n1 são ambos limitadas superiormente por X2 1 e inferiormente por X1 0 Portanto Xn é limitada superiormente por X2 1 e inferiormente por X1 0 e Não é monótona pois x2 xn x1 para todo n N que não seja 1 ou 2 logo não é nem crescente nem decrescente