Construção dos Números Reais e Análise de Conjuntos

Análise Matemática Construção dos números reais Contextualização Qual é a origem do conceito de número O que é o infinito Por que os números reais podem ser representados por uma reta httpsbitly2ujQcKm acesso em 16 dez 2022 Conceitos principais Números naturais e axiomas de Peano Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis Números racionais e irracionais Supremos ínfimos e conjuntos limitados Corpo dos números reais Construção dos números naturais Conjunto dos números naturais Axiomas de Peano Fundamentar a partir do aspecto ordinal tomando como base a existência do um ou do zero do sucessor e do número natural httpsbitly3c0vm3N acesso em 16 dez 2022 Axiomatização dos números naturais Função sucessor tal que A função é injetiva Fonte DIAS MORETTI 2012 p34 Podemos partir de 0 ou 1 Existe um único natural tal que para todo Se é tal que e então Axioma da Indução Princípio da Indução Finita Fonte DIAS MORETTI 2012 p34 Conjunto dos números naturais Elemento neutro da multiplicação Relação de ordem Propriedades Adição usual Multiplicação usual Associativa Comutativa Distributiva Elemento neutro da adição se Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos finitos Considere Xn x ℕ 1 x n para algum n ℕ Um conjunto A é classificado como finito quando é vazio ou existe uma bijeção f Xn A para algum n ℕ Número n número de elementos ou cardinalidade de A n cardA A Exemplo se A a b c então podemos construir fX3 A tal que f1 a f2 b f3 c Sendo assim A cardA 3 Conjuntos infinitos Um conjunto A é classificado como infinito quando É não vazio e Não existe seja qual for n ℕ uma bijeção fXn A Exemplos ℕ ℤ ℚ ℝ Obs conjuntos infinitos possuem cardinalidade infinita Exemplos A x ℕ 1 x 4 1 2 3 4 cardA 4 B x ℝ 1 x 4 14 cardb Resultados importantes Se A é um subconjunto próprio de Xn não existe bijeção f Xn A Todo subconjunto de um conjunto finito é finito A N é finito se e somente se é limitado Se A é um conjunto infinito então existe uma aplicação injectiva f N A Conjuntos enumeráveis Conjuntos enumeráveis Um conjunto A dizse enumerável quando É finito ou Existe uma bijeção f N A f1 x1 f2 x2 f3 x3 A x1 x2 x3 f enumeração dos elementos de A Exemplo é enumerável Existe uma bijeção definida por E assim por diante Conjuntos não enumeráveis Um conjunto dizse não enumerável quando É infinito e Não existe uma bijeção Exemplo Conjunto dos números reais Resultados importantes Todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável Todo subconjunto é enumerável Conjunto infinito Subconjunto infinito enumerável Construção dos números naturais Construção dos números naturais Suponha que você foi convidado para ministrar um curso de formação continuada para professores de Matemática que lecionam no Ensino Médio Em relação ao conceito de número natural explique em palavras a construção dos números naturais e os axiomas de Peano argumentando porque o conjunto dos números naturais é infinito propondo atividades relacionadas às operações básicas em Construção dos números naturais Todo número natural tem sucessor O sucessor deve ser único para cada número Números diferentes tem sucessores diferentes A partir do primeiro elemento do conjunto todos os outros serão obtidos a partir da noção de sucessor Construção das operações de adição e multiplicação por meio da aplicação da função sucessor Atividades em grupo para demonstrar propriedades utilizando o princípio da indução finita Exemplo prove que Pn 1 3 5 2n 1 é válida para n 1 2 3 pelo princípio da indução finita P1 Como 1 1² então P1 é verdadeira Pn 1 3 5 2n 1 n² Pk Pk 1 Suponha que Pk é verdadeira para algum k 1 1 3 5 2k 1 k² Como 2k 1 1 2k 1 adicionando 2k 1 1 a ambos os membros da igualdade em Pk temse 1 3 5 2k 1 2k 1 1 k² 2k 1 1 k² 2k 1 k 1² Assim Pk 1 é verdadeira Portanto Pn é válida para todo natural n 1 Operação de subtração Não é definida pelos axiomas de Peano Necessidade de considerar o conjunto dos números inteiros Operação de divisão Necessidade de considerar o conjunto dos números racionais Estudo do conjunto de números racionais Estudo do conjunto de números racionais Seja o conjunto Q composto pelos números racionais positivos Q left fracab a b in mathbbZ right O que podemos dizer a respeito da quantidade de elementos desse conjunto em comparação com a quantidade de elementos do conjunto dos números naturais mathbbN Conjunto dos números racionais Resultados envolvendo enumerabilidade Seja injetora Se é enumerável então é enumerável Em particular todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável Seja sobrejetora Se é enumerável então é enumerável O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é enumerável Enumerabilidade de O conjunto é enumerável A partir de e podemos definir com Corpo Conjunto dos números racionais Operação de adição Operação de multiplicação Corpo dos racionais Operações Propriedades Adição Associativa comutativa existência de elemento neutro existência de inverso aditivo Multiplicação Associativa comutativa existência de elemento neutro existência de inverso multiplicativo Distributiva Corpo ordenado Q subset Q conjunto dos números racionais positivos Q é um corpo ordenado Relação de ordem x y x menor que y quando y x in Q isto é y x z onde z é positivo Conjuntos limitados supremos e ínfimos Limite superior e o supremo do conjunto Conjunto limitado superiormente existe tal que para todo é cota superior de Supremo menor das cotas superiores é o supremo de se Para todo Se é tal que para todo então De modo equivalente é o supremo de se para todo existir tal que Máximo quando o supremo é elemento do conjunto Exemplo O máximo do conjunto é o número 10 Limite inferior e o ínfimo do conjunto Conjunto limitado inferiormente existe tal que para todo é cota inferior de Ínfimo maior das cotas inferiores é o ínfimo de se Para todo Se é tal que para todo então limitado superiormente e inferiormente é limitado Exemplos A 1 2 1 4 1 6 1 8 1 10 min A 1 10 e max A 1 2 B x ℝ 1 x 5 min B 1 e max B 5 C x ℝ 1 x 5 min B 1 e sup B 5 Todos esses conjuntos são limitados ℝ como corpo ordenado completo Corpo dos números reais é um corpo as seguintes propriedades são verificadas Associatividade e Comutatividade e Elemento neutro 0 e 1 Elementos simétricos oposto e inverso Distributividade Corpo ordenado completo dos reais Corpo ordenado ℝ é completo Todo conjunto nãovazio X ℝ limitado superiormente possui supremo b supX ℝ Contraexemplo A x ℚ x 0 e x² 2 Consequência representação na reta real Intervalos Fonte Vieira 2019 p41 Resultados importantes O conjunto dos números reais não é enumerável Todo intervalo não degenerado é não enumerável Todo intervalo não degenerado contém números racionais e irracionais O conjunto dos números irracionais é não enumerável Números racionais e irracionais Estudo dos números racionais e irracionais Suponha que você foi convidado para ministrar um curso de formação continuada para professores de Matemática que lecionam no Ensino Médio Organize uma dinâmica na qual os professores coloquemse no papel de alunos propondo estudos a respeito do conceito de fração de número racional na relação de ordem em por meio de exemplos práticos e discussões sobre esse tema Questionar a definição de conjunto infinito Estudo das frações com exemplos práticos possibilitando ilustrar o conceito de contagem dentro dos racionais Associação com a definição de conjunto infinito enumerável Fonte Vieira 2019 p31 Discussão sobre a operação de divisão que dá origem aos números racionais observando que nem todo número é racional Exemplo 2 não é um número racional Por contradição suponha que 2 é um número racional então existem a e b inteiros com b 0 tais que 2 ab fração irredutível Assim 2 ab² 2 a²b² a² 2b² onde b² é um número inteiro Logo a² é um número par o que implica a ser par Dessa forma existe m ℤ com a 2m então a² 4m² e a² 2b² 4m² 2b² b² 2m² com m² inteiro Dessa forma b² é par o que implica b ser par Como a e b são pares então a fração ab não está em sua forma irredutível o que é um absurdo Portanto 2 não é racional Comparação entre frações pela relação de ordem Propriedades dos conjuntos numéricos Propriedades dos conjuntos numéricos Em relação ao diagrama a seguir existe algum problema com essa representação ou ela está adequada Fonte httpsbitly2SVepNJ acesso em 16 dez 2022 Recapitulando Recapitulando Nessa aula aprendemos sobre Números naturais e axiomas de Peano Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis Números racionais e irracionais Supremos ínfimos e conjuntos limitados Corpo dos números reais httpsbitly2Kd12cY acesso em 16 dez 2022