Atividade de Microeconomia 2

A tecnologia de uma empresa é descrita pela função de produção na qual z1 e z2 são valores não negativos que representam as quantidades empregadas de seus dois únicos insumos e q é a quantidade produzida Se a empresa produz eficientemente 14 unidades do produto e emprega 18 unidades do insumo 1 então emprega unidades do bem 2 a produtividade marginal do insumo 1 é unidades de produto por unidade do insumo 1 a taxa técnica de substituição também conhecida com taxa marginal de substituição técnica é unidades do insumo 2 por unidades do insumo 1 A função de produção acima apresenta ganhos de escala decrescentes crescentes constantes crescentes ou decrescentes a depender da quantidade empregada do insumo 2 Por favor responda todas as partes da questão A tecnologia de uma empresa é descrita pela função de produção 2 na qual z1 e z2 são valores não negativos que representam as quantidades empregadas de seus dois únicos insumos e q é a quantidade produzida Se a empresa produz eficientemente 32 unidades do produto e emprega 12 unidades do insumo 1 então emprega unidades do bem 2 a produtividade marginal do insumo 1 é unidades de produto por unidade do insumo 1 a taxa técnica de substituição também conhecida com taxa marginal de substituição técnica é unidades do insumo 2 por unidades do insumo 1 A função de produção acima apresenta ganhos de escala decrescentes crescentes constantes crescentes ou decrescentes a depender da quantidade empregada do insumo 2 A tecnologia de uma empresa é descrita pela função de produção na qual z1 e z2 são valores não negativos que representam as quantidades empregadas de seus dois únicos insumos e q é a quantidade produzida Se a empresa produz eficientemente 173 unidades do produto e emprega 8 unidades do insumo 1 então emprega unidades do bem 2 a produtividade marginal do insumo 1 é unidades de produto por unidade do insumo 1 a taxa técnica de substituição também conhecida com taxa marginal de substituição técnica é unidades do insumo 2 por unidades do insumo 1 A função de produção acima apresenta ganhos de escala decrescentes crescentes constantes crescentes ou decrescentes a depender da quantidade empregada do insumo 2 A tecnologia de uma empresa é descrita pela função de produção na qual z1 e z2 são valores não negativos que representam as quantidades empregadas de seus dois únicos insumos e q é a quantidade produzida Se a empresa produz eficientemente 29 unidades do produto e emprega 8 unidades do insumo 1 então emprega unidades do bem 2 a produtividade marginal do insumo 1 é unidades de produto por unidade do insumo 1 a taxa técnica de substituição também conhecida com taxa marginal de substituição técnica é unidades do insumo 2 por unidades do insumo 1 A função de produção acima apresenta ganhos de escala decrescentes crescentes constantes crescentes ou decrescentes a depender da quantidade empregada do insumo 2 Resposta detalhada A tecnologia da empresa é dada por q 2 1 3 z1 2 3z2 3 2 Substituindo q14 e z118 na função de produção 14 2 1 3z2 2 3z1 3 2 RESPOSTA z21828 PMg10806 TMST 120663emmodulo Retornos constantes de escala q2 3 z1 3 2 3 z2 3 3 Vamos isolar o que está elevado ao cubo Chamando de D temos D 3z1 3 2 3z2 3 3 q2 D Dq 2 Portanto 3z1 3 2 3z2 3 q 2 1 3 Substituindo q por 32 32 2 1 3 16 1 3 25198 Logo 3z1 3 2 3z2 3 25198 Multiplicando ambos os lados por 3 3 z12 3 z275594 3122 3z275594 228942 3 z275594 2 3z27559422894 2 3z2527 3 z2527 2 3 z22635 Elevando os dois lados ao cubo z22635 3 z21828 O produto marginal do insumo 1 é dado por PMg1 q z1 Considere u 3z1 3 2 3z2 3 Então q2u 3 Logo q z1 32u 2 u z1 Calculando u z1 1 31 3 z1 23 u z1 1 9z1 23 Para z112 temos u25198 z1 2312 23 z101906 Portanto u z1 1 901906 u z1 002118 Logo PMg132u 2 u z1 u 225198 2 u6349 Logo PMg1326349002118 PMg10806 A taxa marginal de substituição é dada TMST 12PMg1 PMg2 O produto marginal do insumo 2 é dado por u z2 2 31 3 z2 23 u z2 2 9z2 23 Para z21828 318282635 z2 23 z2 230144 Logo u z2 2 90144 u z2 0032 Então PMg23263490032 PMg21216 Logo TMST 120806 1216 TMST 120663 Em valores absolutos TMST 120663 Multiplicando z1e z2 por uma constante t 3t z1t 1 3 3 z1 Logo u t z1t z2t 1 3uz1z2 Assim q t z1t z22t 1 3uz1 z2 3 q t z1t z22tu z1 z2 3 q t z1t z2tqz1 z2Retornos constantes de escala RESPOSTA z21484108 PMg17669 TMST 12469 Logo há retornos crescentes de escala q 2 1 3 z2 32 2 3z1 32 43 Vamos isolar o que está no denominador Chamando de D temos 1 3 z2 32 2 3z1 32 43 2 q 1 3z2 3 2 2 3 z1 3 2 2 q 3 4 Como q173 2 q 3 4 2 173 3 4 003529 Como z18 2 3z1 3 2 2 38 3 2 2 3226274 2 678822 002946 Então 1 3z2 32003529002946 1 3z2 32000583 3 z2 32 1 000583 3 z2 32171523 z2 32171523 3 z2 3257174 z257174 23 z21484108 A função é q2 1 3 z2 32 2 3z1 32 43 Se considerarmos S como sendo S 1 3 z2 32 2 3z1 32 S003529 Temos q z1 8 3 S 7 3 1 z1 52 Calculando z1 52 z1 52 8 52 181019 1 z1 52 1 181019 0005523 Calculando S 7 3 S 7 3 ln Sln 0035293343 7 3 ln003529 7801 S 7 3 e 780124466 Portanto PMg18 3244660005523 PMg13598 Para calcular a TMST precisamos do PMg2 q z2 8 3S 7 3 1 z2 52 Calculando z2 52 z2 52 1482 52 8455134 1 z2 52 1 8455134 0001182 Então PMg28 3244660001182 PMg17669 Logo TMST 123598 7669 TMST 12469 Em valores absolutos TMST 12469 Multiplicando z1e z2 por t reduz cada termo dentro do denominador por t 32 denominador fica proporcional a t 2 Logo a proporção cresce com t 2 Logo há retornos crescentes de escala RESPOSTAS z298375 PMg13382 TMST 12367 emmódulo Retornos crescentes de escala A tecnologia da empresa é dada por q 2 1 3 z2 2 2 3z1 2 58 Temos que 1 3 z2 2 2 3z1 2 58 2 q Elevando ambos os lados por 8 5 1 3z2 2 2 3 z1 2 2 q 85 Multiplicando ambos os lados por 3 1 z2 2 2 z1 23 2 q 85 Substituindo q29e z18 temos 2 z1 2 2 8 2 2 64 003125 2 q 85 2 29 85 0013861 1 z2 2 2 z1 23 2 q 85 1 z2 200312530013861 1 z2 20031250041583 1 z2 20041583003125 1 z2 20010333 z2 2 1 0010333 z2 29677731 z298375 Reescrevendo a função q2 1 3 z2 2 2 3z1 2 58 Considere A 1 3 z2 2 2 3z1 2 1 3z2 2 1 3 98375 2 1 2903292 0003444 2 3z1 2 2 364 2 2 192 0010417 A 1 3 z2 2 2 3z1 2 A00034440010417 A0013861 A 58 0013861 58 0068963 q 2 0068963 q290010 Derivar q com relação a z1 q2A 58 q z1 2 5 8 A 13 8 A z1 Calcular A z1 A 1 3 z2 2 2 3z1 2 d d z1 2 3 z1 2 4 3 z1 3 A z1 4 3z1 3 Substituir tudo A 13 8 1039 11 Produto Marginal do insumo 1 PMg12 5 8 1039 114 3512 PMg13382 Derivada de A em relação a z2 A z2 d d z2 1 3z2 2 2 3 z2 3 PMg2 2 5 8 A 1382 3 z2 3 Calcular z2 3 z2 3 9796 3 93934 Calcular a derivada de A 2 3z2 3 2 393934 3 2 281802 0000710 PMg21251039110000710 PMg20921 Calcular a TMS TMST 12338 0921 TMST 12367 Em valores absolutos TMST 12367 Se multiplicarmos todos os insumos por t q 2 1 3 z2 2 2 3z1 2 58 qt 2 1 3tz2 2 2 3tz1 2 58 Os termos viram 1 t 2termo original Logo q t t 54q Produção cresce mais do que proporcionalmente se os insumos dobram Retornos crescentes de escala