Metodo das Forcas - Analise Estrutural 2

1 Análise Estrutural 2 Professor Ricardo Laguardia Justen de Almeida laguardiaufscarbr Período 20252 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia Civil Agosto2025 Unidade 2 Método das Forças Introdução Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida O Método das Forças também conhecido como Processo dos Esforços ou Método da Flexibilidade é o processo mais simples de resolução de estruturas hiperestáticas e se aplica a qualquer estrutura reticulada Na prática a metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática consiste em somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é em geral uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos Essa estrutura isostática é chamada de Sistema Principal SP As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados denominados hiperestáticos são as incógnitas do problema 2 Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Imagine um problema no qual se deseja resolver a viga contínua representada abaixo com grau de hiperestaticidade igual a 2 submetida a um carregamento genérico Do ponto de vista estático não haverá alteração se forem rompidos os vínculos B e C e aplicadas as reações correspondentes a estes vínculos Estrutura I Estrutura II Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Imagine um problema no qual se deseja resolver a viga contínua representada abaixo com grau de hiperestaticidade igual a 2 submetida a um carregamento genérico Do ponto de vista estático não haverá alteração se forem rompidos os vínculos B e C e aplicadas as reações correspondentes a estes vínculos Estrutura I Estrutura II 3 Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida A estrutura II é uma estrutura isostática resultante da ruptura dos vínculos em excesso e é denominada Sistema Principal SP As reações VB e VC identificadas por X1 e X2 serão as incógnitas Uma vez obtidas o problema estará resolvido Estrutura II Sistema Principal Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Estrutura I Estrutura II Sistema Principal 4 Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Na passagem da Estrutura I para a Estrutura II foram liberados deslocamentos que não ocorrem na estrutural real de modo que se devem impor à estrutura do Sistema Principal Estrutura II as condições de compatibilidade de deslocamentos que indicam que os deslocamentos na direção dos vínculos rompidos devem ser nulos Estes vínculos rompidos indicados pelas incógnitas X1 e X2 são denominados hiperestáticos Estrutura I Estrutura II Sistema Principal Metodologia de análise pelo Método das Forças Na estrutura do Sistema Principal os deslocamentos verticais em B e C devem ser nulos Empregandose o princípio da superposição de efeitos e separando o efeito do carregamento externo e dos hiperestáticos temse Sistema Principal 5 Metodologia de análise pelo Método das Forças i0 termo independente deslocamento ou rotação na direção do hiperestático Xi devido à atuação do carregamento externo no Sistema Principal 10 21 12 Os índices que estão indexando os deslocamentos significam o efeito e a causa do deslocamento respectivamente ij coeficiente de flexibilidade deslocamento ou rotação na direção do hiperestático Xi devido à aplicação do hiperestático Xj no Sistema Principal x X1 x X2 O efeito de cada hiperestático é multiplicado pelo respectivo valor final que ele deverá ter SP 6 Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Para restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do Sistema Principal nesse exemplo de que os deslocamentos verticais reais dos pontos B e C Br e Cr são nulos aplicase a equação de compatibilidade de deslocamentos 10 11 1 12 2 20 21 1 22 2 0 0 Br Cr X X X X Por definição as unidades dos coeficientes de flexibilidade ij correspondem às unidades de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático em questão geralmente adotase mkN Da mesma forma as unidades dos termos independentes i0 correspondem às unidades de deslocamento ou rotação geralmente adotase m Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida O sistema de equações de compatibilidade de deslocamento da solução pelo Método das Forças pode ser reescrito na forma matricial 10 11 1 12 2 10 1 11 12 21 22 20 21 1 22 2 20 2 0 0 0 0 X X X X X X No caso geral de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g podese escrever 0 0 X em que 0 X vetor de termos independentes matriz de flexibilidade vetor de hiperestáticos 7 Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Observações O vetor de termos independentes depende do SP escolhido e da solicitação externa Já a matriz de flexibilidade só depende do SP escolhido Portanto se outro carregamento atuar mantendose o mesmo SP somente os termos independentes devem ser calculados novamente Pelo Teorema de Maxwell a matriz de flexibilidade é simétrica 0 0 X ij ji Metodologia de análise pelo Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Desta forma utilizando o Princípio da Superposição de Efeitos os esforços finais atuantes na estrutura podem ser obtidos por meio da seguinte expressão 0 1 1 2 2 0 1 g i i i E E E X E X E E E X em que 0 i E E g esforço no SP devido à solicitação externa esforço no SP devido à aplicação do hiperestático Xi grau de hiperestaticidade da estrutura 8 Determinação dos coeficientes da matriz de flexibilidade Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Os coeficientes da matriz de flexibilidade ij são determinados por meio do Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV Seja por exemplo determinar o deslocamento ij que corresponde ao deslocamento na direção do hiperestático Xi devido à aplicação do hiperestático Xj Determinação dos coeficientes da matriz de flexibilidade Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida A partir do Estado de Carregamento e aplicandose o Princípio dos Trabalhos Virtuais temse ext i ij ij W X i j i j i j int estr estr estr M M N N Q Q W ds ds ds EI EA GA Podese desprezar 9 Determinação dos coeficientes da matriz de flexibilidade Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Igualando o trabalho das forças externas Wext com o trabalho das forças internas Wint temse portanto i j int ext ij estr M M W W ds EI Como calcular essa integral Determinação dos coeficientes da matriz de flexibilidade Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Há uma técnica mais prática menos cansativa e menos sujeita a equívocos do que o cálculo analítico que é a obtenção do valor numérico da integral através do uso de tabelas Nesse sentido para simplificar o trabalho numérico podese utilizar a Tabela de Kurt Beyer que fornece os tipos mais frequentes de integrais de produtos de duas funções 1 estr M M ds EI 10 Determinação dos coeficientes da matriz de flexibilidade Determinação dos coeficientes da matriz de flexibilidade Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Exemplo de cálculo Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de concreto armado representada a seguir utilizando a Tabela de Kurt Beyer Dados Seção transversal 15 x 40 cm C25 fck 25 MPa Resposta 0876 mm 11 Determinação dos termos independentes Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Devido ao carregamento externo Nos casos em que o agente externo solicitante é constituído por ações externas aplicadas à estrutura o cálculo dos coeficientes do vetor independente i0 é feito da mesma forma que os coeficientes da matriz de flexibilidade ou seja aplicandose o Princípio dos Trabalhos Virtuais Dessa forma utilizandose tabelas de integrais cada coeficiente i0 pode ser obtido pela combinação dos diagramas Mi Qi Ni devidos aos hiperestáticos Xi com os diagramas M0 Q0 N0 devidos ao carregamento externo atuantes no sistema principal i0 é o deslocamento na direção do hiperestático Xi devido à atuação do carregamento externo no sistema principal 0 0 i i estr M M ds EI Roteiro para o Método das Forças Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 1 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida 1º Passo Determinação do grau de hiperestaticidade e escolha do Sistema Principal 2º Passo Traçado dos diagramas de esforços solicitantes no Sistema Principal devidos à atuação do carregamento externo e de cada hiperestático separadamente 3º Passo Obtenção dos coeficientes de flexibilidade ij e do vetor de termos independentes i0 4º Passo Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade elástica 5º Passo Obtenção dos esforços finais 0 1 g i i i E E E X 0 0 X 12 Exercícios Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Exercício 1 Traçar os diagramas de esforços solicitantes DES para a viga contínua representada abaixo Dados Seção transversal 15 x 40 cm² C25 fck 25 MPa Exercícios Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Exercício 2 Traçar os diagramas de esforços solicitantes DES para a viga contínua representada abaixo Dados E 25 x 107 kNm2 I 208 x 103 m4 13 Exercícios Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Exercício 3 Traçar os diagramas de esforços solicitantes DES para a viga contínua representada abaixo Dados Seção transversal 15 x 50 cm² C25 fck 25 MPa Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura Variações de temperatura provocam deformações em estruturas que estão associadas à dilatação ou ao encolhimento de seu material No caso de estruturas reticuladas as diversas barras podem ter variações distintas de temperatura sendo possível também que uma barra tenha variação de temperatura entre a face inferior e a superior Variações de temperatura Estruturas isostáticas Estruturas hiperestáticas Provocam deformações mas não provocam esforços internos Provocam deformações e esforços internos 14 Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura No caso de barras os deslocamentos relativos internos devido à variação de temperatura são T T T du d dh deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura rotação relativa interna por flexão devido à variação de temperatura deslocamento transversal relativo interno devido à variação de temperatura por hipótese é nulo Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura Para a definição dos deslocamentos relativos internos devidos à variação de temperatura são adotadas as seguintes hipóteses além de dhT 0 A temperatura varia linearmente ao longo da altura da seção transversal da fibra inferior para a fibra superior A variação de temperatura da fibra inferior é Ti e a da fibra superior é Ts O deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura duT corresponde ao alongamento ou encurtamento da fibra que passa pelo centro de gravidade da seção transversal A variação de temperatura nessa fibra TCG é obtida por interpolação linear de Ti e Te Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida 15 Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Da Física 0 L T L T CG du T ds 2 i s CG T T T T i s T T ds T ds d h h h coeficiente de dilatação térmica do material altura da seção transversal Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura Para determinar o deslocamento it devido à variação de temperatura pelo PTV Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida ext it it T T T int estr estr estr W P W M d N du Qdh Estado de Deformação Estado de Carregamento P 1 0 16 Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura Igualando Wext Wint temse portanto Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida ext it it int CG estr estr it CG estr estr it Mi CG Ni W P T W M ds N T ds h T Mds T Nds h T A T A h AMi área do diagrama de momentos fletores ANi área do diagrama de esforço normal Determinação dos termos independentes Devido à variação de temperatura Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida it Mi CG Ni T A T A h Observações Se Ti Ts T 0 variação uniforme de temperatura não ocorre o giro da seção apenas translação Se Ti Ts ocorre apenas o giro da seção Não ocorre translação da mesma TCG 0 17 Determinação dos termos independentes Devido a recalques de apoio Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Determinação dos termos independentes Devido a recalques de apoio Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida ir Deslocamento na direção do hiperestático Xi devido aos recalques de apoio Estado de Carregamento Estado de Deformação 18 Determinação dos termos independentes Devido a recalques de apoio Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida ir recalques R Igualando Wext Wint temse portanto recalque de apoio genérico na estrutural real reação de apoio no sistema virtual correspondente ao recalque real int 0 estr estr estr W M d N du Qdh ext ir recalques W P R R Exercícios Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Exercício 4 Traçar os diagramas de esforços solicitantes DES para a viga contínua representada abaixo para a seguinte variação de temperatura aquecimento de 30ºC e 10ºC das faces superior e inferior da viga respectivamente Dados E 2 x 107 kNm² 105ºC Seções transversais Vão AB Vão BC 20 x 50 cm² 19 Exercícios Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida Exercício 5 Traçar os diagramas de esforços solicitantes DES para a viga contínua representada abaixo para o efeito combinado dos seguintes agentes externos solicitantes carregamento indicado na figura recalque vertical para baixo de 4 cm do apoio C aquecimento de 30ºC e 10ºC das faces superior e inferior da viga respectivamente Dados E 2 x 107kNm² 105ºC Seções transversais Vão AB Vão BC 20 x 50 cm² Referências bibliográficas Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Análise Estrutural 2 Prof Ricardo Laguardia Justen de Almeida ALVARENGA R C S S Teoria das Estruturas II Notas de Aulas Universidade Federal de Viçosa 2012 MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos 2ª ed Rio de Janeiro Elsevier 2017 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural v 2 Deformações em Estruturas e Método das Forças Porto Alegre Globo 1980