Mecânica Estrutural

A partir de um elemento estrutural submetido às cargas externas foi isolado um ponto P cujo entorno é solicitado conforme o esquema fornecido Sabendo que σx 36 MPa σy 47 MPa e τxy 21 MPa através do Método Gráfico Círculo de Mohr pedese a Calcule as tensões principais σPR b Calcular a direção de cada um dos planos principais para as tensões principais encontradas c Verifique os resultados encontrados através do método analítico Considerando a barra isostática em destaque análise estrutural submetida à ação da carga externa conforme esquema simplificado determine o que se pede a Considerando que a segurança da viga é de FS 29 e material dúctil com σLC σLT 200 MPa determine t e as dimensões da seção transversal dada b Esboçar o diagrama de tensões normais para a seção crítica indicando as tensões máximas A partir da seção transversal indicada abaixo determinar o coeficiente de segurança ao cisalhamento cortante peças fleitidas sendo o material frágil usar critério de falha de Coulomb e força cortante atuante de Q 255 kN traçar a distribuição das tensões tangenciais τ na seção Dados Tensões limites do material σT 76 MPa e σc 180σT Considere a 23 cm Obs Seção transversal cotas em centímetros Dado o pilar submetido à ação de uma carga excêntrica P1 247 kN conforme esquema ilustrado abaixo ADOTE a 4 cm pedese a Calcule as tensões normais máximas nos pontos A B C e D na seção crítica em MPa b Determine os valores limites σT e σLC considerando FS 2 PROPOSIÇÃO DE TRABALHO 2 ENTREGA VER ORIENTAÇÕES MOODLE Dado o sólido ilustrado calcule as deformações totais correspondentes nas direções x y e z PROPOSIÇÃO DE TRABALHO 3 ENTREGA VER ORIENTAÇÕES MOODLE A partir da treliça plana em destaque considere que as barras são feitas de aço E 210 GPa com áreas de seção transversal de 25 cm2 para barras comprimidas e 15 cm2 para barras tracionadas Para o carregamento mostrado na figura determine a As tensões normais nas barras TRACIONADAS e COMPRIMIDAS b O alongamento das barras TRACIONADAS c O encurtamento das barras COMPRIMIDAS d O coeficiente de segurança da estrutura adotando material dúctil de tensão de escoamento de 250 MPa PROPOSIÇÃO DE TRABALHO 4 ENTREGA VER ORIENTAÇÕES MOODLE Questão 1 Verifique o coeficiente de segurança da viga abaixo levando em consideração apenas o efeito da flexão nas tensões normais O material constituinte é do tipo frágil onde σᵀ 50 MPa e σᶜ 80 MPa Trace o diagrama das tensões normais para as seções críticas à flexão Dado Tensões normais na flexão simples σₓ MᶻI𝓏 y P115 kN P230 Kn q110 kNm q220 kNm q330 kNm M40 kNm a20m b25m c15m Questão 2 A partir do esquema do pilar com carga excêntrica conforme esquema abaixo pedese A Coeficiente de segurança quanto aos limites do material onde σᵀ 55 MPa e σᶜ 85 MPa B Esboce a posição da linha neutra Dado Tensões normais para pilar com carga excêntrica P 500 kN σₓ NₓA MᵧIᵧ z M𝓏I𝓏 y t50mm t50 cm PROPOSIÇÃO DE TRABALHO 5 ENTREGA VER ORIENTAÇÕES MOODLE A partir da seção transversal indicada determinar o coeficiente de segurança ao cisalhamento cortante peças fletidas sendo o material frágil usar critério de falha de Coulomb e força cortante de 215 kN bem como traçar o diagrama de distribuição das tensões tangenciais τ na seção Dados σC 90 MPa σT 70 MPa a75 cm Utilizando a Teoria de Guest material dúctil encontrar o diâmetro da barra BC φbc para CS20 bem como verificar a segurança da barra AB Calcular o ângulo total de torção entre A e C utilizando o diâmetro calculado medido em rad Observação Considerar que as barras AB e BC são de seção transversal circular cheia Adote 1kN 100 kgf Tensão de escoamento de 500 MPa Módulo de Elasticidade Long de 130 GPa Coef De Poisson de 03 1 a Para plotar o círculo de Mohr inicialmente se determina a coordenada do centro 𝐶 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 Analisando o elemento estrutural temos que as tensões são 𝜎𝑥 36 𝑀𝑃𝑎 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝜎𝑦 47 𝑀𝑃𝑎 𝑇𝑟𝑎çã𝑜 𝜏𝑥𝑦 21 𝑀𝑃𝑎 Substituindo as tensões em x e y para determinar o centro do círculo 𝐶 36 47 2 𝐶 55 𝑀𝑃𝑎 O próximo passo é destacar as coordenadas referentes as tensões que atuam no elemento estrutural 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 3621 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 47 21 Agora podemos começar a esboçar o círculo Agora precisamos calcular o raio do círculo que a reta que parte do ponto C até a coordenada 3621 por trigonometria 𝑅2 212 55 362 𝑅 212 55 362 𝑅 4651 𝑀𝑃𝑎 Agora que já possuímos o raio do círculo conseguimos determinar as tensões principais 𝜎1 𝐶 𝑅 𝜎1 55 4651 𝜎1 5201 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 𝐶 𝑅 𝜎2 55 4651 𝜎2 4101 𝑀𝑃𝑎 Portanto têmse o seguinte círculo de Mohr b Por trigonometria conseguimos determinar os planos principais 𝑡𝑔2𝜃𝑝2 21 55 36 2𝜃𝑝2 𝑡𝑔1 21 55 36 2𝜃𝑝2 2684 𝜃𝑝2 1342 Temos também que 𝜃𝑝1 𝜃𝑝2 90 𝜃𝑝1 1342 90 𝜃𝑝1 10342 c Para comprovar os resultados vamos utilizar as equações analíticas inicialmente determinando as tensões principais 𝜎12 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎1 36 47 2 36 47 2 2 212 5201 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 36 47 2 36 47 2 2 212 4101 𝑀𝑃𝑎 Já para calcular os planos principais têmse a seguinte expressão 𝑡𝑔2𝜃𝑝2 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑡𝑔2𝜃𝑝2 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜃𝑝2 𝑡𝑔1 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜃𝑝2 𝑡𝑔1 2 21 36 47 2𝜃𝑝2 2684 𝜃𝑝2 1342 Para calcular o outro ângulo principal temos 2𝜃𝑝1 2𝜃𝑝2 180 2𝜃𝑝1 2684 180 2𝜃𝑝1 20684 𝜃𝑝1 10342 2 a A tensão normal devido o momento fletor é dada pela seguinte equação 𝜎 𝑀𝑐 𝐼 Para o coeficiente de segurança dado e a tensão limite temos 𝜎 𝜎𝐿 𝐹𝑆 Substituindo a equação para tensão normal flexiva na expressão acima 𝑀𝑐 𝐼 𝜎𝐿 𝐹𝑆 Analisando o diagrama de momento fletor temos que a seção crítica ocorre no ponto B onde o momento fletor vale 𝑀 175 𝑘𝑁 𝑚 O momento de inércia da seção transversal é dado por 𝐼 2 7𝑡 𝑡3 12 7𝑡 𝑡 6𝑡 𝑡 2 2 𝑡 10𝑡3 12 𝐼 2 7 12 𝑡4 21175𝑡4 1000 12 𝑡4 𝐼 508𝑡4 Portanto temos o seguinte 𝑀 6𝑡 508𝑡4 𝜎𝐿 𝐹𝑆 6𝑀 508𝑡3 𝜎𝐿 𝐹𝑆 508𝑡3 6𝑀𝐹𝑆 𝜎𝐿 𝑡 6𝑀𝐹𝑆 508𝜎𝐿 1 3 𝑡 6 175 103 29 508 200 106 1 3 𝑡 0031 𝑚 𝑡 3106 𝑚𝑚 Agora vamos esboçar a seção transversal substituindo o valor de t encontrado b Para determinar as tensões máxima teremos 𝜎𝑚á𝑥 𝑀𝑐 𝐼 𝜎𝑚á𝑥 175 103 6 3106 103 508 31064 1012 𝜎𝑚á𝑥 6898 𝑀𝑃𝑎 Calculando a tensão normal na aba da seção 𝜎𝑎𝑏𝑎 175 103 5 3106 103 508 31064 1012 𝜎𝑎𝑏𝑎 5748 𝑀𝑃𝑎 Portanto temos o seguinte diagrama de tensões normais na seção crítica 3 Inicialmente precisamos determinar a máxima tensão de cisalhamento na seção indicada para isso utilizamos a seguinte expressão 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Calculando a posição da linha neutra 𝑧 075𝑎 15𝑎 15𝑎 65𝑎 10𝑎 𝑎 125𝑎 2𝑎 5𝑎 15𝑎 15𝑎 10𝑎 𝑎 2𝑎 5𝑎 𝑧 206875𝑎3 425𝑎2 𝑧 206875𝑎 425 𝑧 487𝑎 Calculando o momento de inércia da seção transversal 𝐼 15𝑎 15𝑎3 12 15𝑎 15𝑎 487𝑎 075𝑎2 𝑎 10𝑎3 12 𝑎 10𝑎 65𝑎 487𝑎2 5𝑎 2𝑎3 12 5𝑎 2𝑎 125𝑎 487𝑎2 𝐼 108155𝑎4 𝐼 108155 234 𝐼 3026613 𝑐𝑚4 𝐼 303 104 𝑚4 Agora vamos determinar os momentos estático para cada ponto relevante da seção transversal O momento estático em A na parte superior 𝑄𝐴𝑠 115𝑎 487𝑎 2 115 487𝑎 𝑎 125𝑎 487𝑎 2𝑎 5𝑎 𝑄𝐴𝑠 9828𝑎3 𝑄𝐴𝑠 9828 233 𝑄𝐴𝑠 119575 𝑐𝑚3 𝑄𝐴𝑠 12 103 𝑚3 O momento estático em A na parte inferior 𝑄𝐴𝑖 487𝑎 15𝑎 2 487 15𝑎 𝑎 487𝑎 075𝑎 15𝑎 15𝑎 𝑄𝐴𝑖 9838𝑎3 𝑄𝐴𝑖 9838 233 𝑄𝐴𝑖 119697 𝑐𝑚3 𝑄𝐴𝑖 12 103 𝑚3 Calculando agora o momento estático em B 𝑄𝐵 125𝑎 487𝑎 2𝑎 5𝑎 𝑄𝐵 763𝑎3 𝑄𝐵 763 233 𝑄𝐵 92832 𝑐𝑚3 𝑄𝐵 928 104 𝑚3 O momento estático em C 𝑄𝐶 487𝑎 075𝑎 15𝑎 15𝑎 𝑄𝐶 927𝑎3 𝑄𝐶 927 233 𝑄𝐶 112788 𝑐𝑚3 𝑄𝐶 113 103 𝑚3 Agora podemos calcular as tensões de cisalhamento na seção no ponto A 𝜏𝐴𝑠 255 103 12 103 303 104 23 102 𝜏𝐴𝑠 𝜏𝐴𝑖 4391 𝑀𝑃𝑎 A tensão de cisalhamento no ponto B 𝜏𝐵 255 103 928 104 303 104 5 23 102 𝜏𝐵 679 𝑀𝑃𝑎 A tensão de cisalhamento no ponto C 𝜏𝐶 255 103 113 103 303 104 15 23 102 𝜏𝐶 276 𝑀𝑃𝑎 Portanto temos a seguinte distribuição de tensão Agora vamos calcular as tensões principais 𝜎12 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 Temos um problema de cisalhamento puro portanto 𝜎𝑥 𝜎𝑦 0 Logo as tensões principais serão 𝜎12 𝜏𝑥𝑦 4391 𝑀𝑃𝑎 Foi tomado a máxima tensão de cisalhamento na seção Agora vamos aplicar a teoria de falha de Coulomb para determinar o coeficiente de segurança 𝜎1 𝜎𝑇 𝜎2 𝜎𝐶 1 𝑛 𝜎1 𝜎𝑇 𝜎2 18𝜎𝑇 1 𝑛 𝑛 1 𝜎1 𝜎𝑇 𝜎2 18𝜎𝑇 𝑛 1 4391 76 4391 18 76 𝑛 111 4 a Inicialmente vamos determinar as propriedades geométricas da seção transversal calculando a área 𝐴 2 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 4𝑎 𝜋2𝑎2 4 𝐴 12𝑎2 𝜋𝑎2 𝐴 12 42 𝜋 42 𝐴 14173 𝑐𝑚2 𝐴 0014 𝑚2 Calculando a posição x do centroide 𝑥 2 3 𝑎 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 2𝑎 4𝑎 3 1 3 𝑎 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 𝜋2𝑎2 4 2 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 4𝑎 𝜋2𝑎2 4 𝑥 1772𝑎3 886𝑎2 𝑥 2𝑎 𝑥 2 4 8 𝑐𝑚 008 𝑚 Calculando a posição y do centroide 𝑦 2 4 3 𝑎 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 2𝑎 4𝑎 2𝑎 𝜋2𝑎2 4 2 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 4𝑎 𝜋2𝑎2 4 𝑦 1505𝑎3 886𝑎2 𝑦 17𝑎 𝑦 17 4 68 𝑐𝑚 0068 𝑚 Agora vamos calcular os momentos de inércia em relação ao eixo x 𝐼𝑥 2 𝑎 4𝑎3 36 𝑎 4𝑎 2 17𝑎 4 3 𝑎 2 2𝑎 4𝑎3 12 2𝑎 4𝑎 2𝑎 17𝑎2 𝜋 𝑎4 4 𝜋𝑎2 2𝑎 172 𝐼𝑥 1441𝑎4 𝐼𝑥 1441 44 𝐼𝑥 3689435 𝑐𝑚4 𝐼𝑥 369 105 𝑚4 Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo y 𝐼𝑦 2 4𝑎 𝑎3 36 𝑎 4𝑎 2 2𝑎 2 3 𝑎 2 4𝑎 2𝑎3 12 𝜋𝑎4 4 𝐼𝑦 921𝑎4 𝐼𝑦 921 44 𝐼𝑦 2358938 𝑐𝑚4 𝐼𝑦 236 105 𝑚4 Agora vamos determinar os momentos fletor em relação a linha neutra da seção transversal 𝑀𝑥 0068 247 16796 𝑘𝑁 𝑚 𝑀𝑦 008 247 1976 𝑘𝑁 𝑚 Calculando a tensão normal no ponto A 𝜎𝐴 𝑃 𝐴 𝑀𝑥𝑦 𝐼𝑥 𝑀𝑦𝑥 𝐼𝑦 𝜎𝐴 247 103 0014 16796 103 23 004 369 105 1976 103 004 236 105 𝜎𝐴 5772 𝑀𝑃𝑎 No ponto B 𝜎𝐵 𝑃 𝐴 𝑀𝑥𝑦 𝐼𝑥 𝑀𝑦𝑥 𝐼𝑦 𝜎𝐵 247 103 0014 16796 103 23 004 369 105 1976 103 004 236 105 𝜎𝐵 926 𝑀𝑃𝑎 No ponto C 𝜎𝐶 𝑃 𝐴 𝑀𝑥𝑦 𝐼𝑥 𝑀𝑦𝑥 𝐼𝑦 𝜎𝐶 247 103 0014 16796 103 17 004 369 105 1976 103 008 236 105 𝜎𝐶 1839 𝑀𝑃𝑎 No ponto D 𝜎𝐷 𝑃 𝐴 𝑀𝑥𝑦 𝐼𝑥 𝑀𝑦𝑥 𝐼𝑦 𝜎𝐷 247 103 0014 16796 103 17 004 369 105 1976 103 008 236 105 𝜎𝐷 11558 𝑀𝑃𝑎 b Primeiro vamos determinar o limite de resistência a tração a maior tensão de tração foi no ponto A 𝐹𝑆 𝜎𝐿 𝑇 𝜎𝐴 𝜎𝐿 𝑇 𝜎𝐴𝐹𝑆 𝜎𝐿 𝑇 5772 2 𝜎𝐿 𝑇 11544 𝑀𝑃𝑎 Da mesma forma para o limite de resistência a compressão 𝜎𝐿 𝐶 𝜎𝐷𝐹𝑆 𝜎𝐿 𝐶 11558 2 𝜎𝐿 𝐶 23116 𝑀𝑃𝑎 5 Para calcular a deformação têmse a seguinte expressão 𝛿 𝜖𝐿 Onde 𝜎 𝐸𝜖 𝜖 𝜎 𝐸 Substituindo na expressão para a deformação 𝛿 𝜎𝐿 𝐸 Na direção x 𝛿𝑥 29 106 033 195 109 103 𝛿𝑥 0049 𝑚𝑚 Na direção y 𝛿𝑦 48 106 041 195 109 103 𝛿𝑦 01 𝑚𝑚 Na direção z 𝛿𝑧 54 106 021 195 109 103 𝛿𝑧 0058 𝑚𝑚 6 a Inicialmente vamos determinar as reações nos apoios 𝑀𝐶 0 27 53 39 54 65 18 21 18𝐻𝐸 0 2484 351 378 18𝐻𝐸 18𝐻𝐸 6372 𝐻𝐸 354 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças em x 𝐹𝑥 0 𝐻𝐶 47 21 354 0 𝐻𝐶 286 𝑘𝑁 Agora vamos determinar forças em cada barra analisando o nó A Por trigonometria temos 𝜃 𝑡𝑔1 18 27 𝜃 3369 Eixo y 𝑁𝐴𝐵𝑆𝑒𝑛3369 65 𝑁𝐴𝐵 11718 𝑘𝑁 𝑇𝑟𝑎çã𝑜 Eixo x 𝑁𝐴𝐷 11718𝐶𝑜𝑠3369 21 𝑁𝐴𝐷 1185 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 Analisando o nó E 𝑁𝐸𝐷 354 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑁𝐸𝐶 0 Analisando o nó D Eixo x 𝑁𝐷𝐶𝐶𝑜𝑠3369 1185 354 𝑁𝐷𝐶 354 1185 𝐶𝑜𝑠3369 𝑁𝐷𝐶 28304 𝑘𝑁 𝑇𝑟𝑎çã𝑜 Eixo y 𝑁𝐷𝐵 39 28304𝑆𝑒𝑛3369 𝑁𝐷𝐵 28304𝑆𝑒𝑛3369 39 𝑁𝐷𝐵 118 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 Analisando o nó B 𝑁𝐵𝐶 47 11718𝐶𝑜𝑠3369 𝑁𝐵𝐶 11718𝐶𝑜𝑠3369 47 𝑁𝐵𝐶 505 𝑘𝑁 𝑇𝑟𝑎çã𝑜 Calculando agora as tensões normais 𝜎𝐴𝐵 11718 103 15 104 7812 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐴𝐷 1185 103 25 104 474 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐵𝐷 118 103 25 104 472 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐵𝐶 505 103 15 104 3367 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐷𝐶 28304 103 15 104 18869 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐷𝐸 354 103 25 104 1416 𝑀𝑃𝑎 b O alongamento das barras tracionadas 𝛿 𝑁𝐿 𝐴𝐸 Portanto teremos 𝛿𝐴𝐷 11718 103 182 272 15 104 210 109 103 121 𝑚𝑚 𝛿𝐷𝐶 28304 103 182 272 15 104 210 109 103 292 𝑚𝑚 𝛿𝐵𝐶 505 103 27 15 104 210 109 103 043 𝑚𝑚 c O encurtamento das barras comprimidas 𝛿𝐴𝐷 1185 103 27 25 104 210 109 103 061 𝑚𝑚 𝛿𝐷𝐵 118 103 18 25 104 210 109 103 04 𝑚𝑚 𝛿𝐷𝐸 354 103 27 25 104 210 109 103 182 𝑚𝑚 d Para determinar o coeficiente de segurança selecionamos a maior tensão normal obtida 𝐶𝑆 𝜎𝐿 𝜎𝐷𝐶 𝐶𝑆 250 18869 𝐶𝑆 132 7 Inicialmente vamos calcular as reações nos apoios 𝑀𝐷 0 40 15 30 075 15 30 20 25 275 4𝑉𝐵 2 10 5 6 15 0 40 3375 45 1375 100 90 4𝑉𝐵 4𝑉𝐵 36625 𝑉𝐵 9156 𝑘𝑁 Aplicando o somatório das forças em y 𝐹𝑦 0 15 10 2 915625 20 25 30 30 15 𝑉𝐷 0 15 20 915625 50 30 45 𝑉𝐷 0 𝑉𝐷 684375 0 𝑉𝐷 6844 𝑘𝑁 Plotando agora o diagrama de momento fletor Temos então que o maior momento fletor ocorre no ponto B e vale 𝑀𝑚á𝑥 50 𝑘𝑁 𝑚 Agora vamos determinar as propriedades geométricas da seção transversal da viga determinando inicialmente a posição da linha neutra 𝑧 𝑡 2 𝑡 3𝑡 4𝑡 6𝑡 𝑡 8𝑡 2𝑡 5𝑡 𝑡 3𝑡 6𝑡 𝑡 2𝑡 5𝑡 𝑧 1055𝑡3 19𝑡2 𝑧 555𝑡 Calculando agora o momento de inércia em relação a linha neutra 𝐼𝑧 3𝑡 𝑡3 12 3𝑡 𝑡 555𝑡 𝑡 2 2 𝑡 6𝑡3 12 𝑡 6𝑡 6𝑡 555𝑡2 5𝑡 2𝑡3 12 5𝑡 2𝑡 8𝑡 555𝑡2 𝐼𝑧 15933𝑡4 𝐼𝑧 15933 504 𝐼𝑧 995817 106 𝑚𝑚4 𝐼𝑧 996 104 𝑚4 Agora vamos determinar a tensão normal na fibra superior Tração 𝜎𝑠 50 103 9 555 50 103 996 104 𝜎𝑠 866 𝑀𝑃𝑎 Calculando agora a tensão normal na fibra inferior Compressão 𝜎𝑖 50 103 555 50 103 996 104 𝜎𝑖 1393 𝑀𝑃𝑎 Agora vamos determinar o coeficiente de segurança para os 2 casos 𝐹𝑆 𝜎𝑇 𝜎𝑠 50 866 577 𝐹𝑆 𝜎𝐶 𝜎𝑖 80 1393 574 Portanto a viga precisa ter um coeficiente de segurança de no mínimo 577 para suportar os esforços da viga Traçando o diagrama dos esforços normais na seção mais crítica 8 a Inicialmente vamos determinar as propriedades geométricas da seção calculando a área 𝐴 6𝑡 4𝑡 4𝑡 2𝑡 𝐴 16𝑡2 𝐴 16 52 𝐴 400 𝑐𝑚2 𝐴 004 𝑚2 Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo y 𝐼𝑦 6𝑡 4𝑡3 12 4𝑡 2𝑡3 12 𝐼𝑦 2933𝑡4 𝐼𝑦 2933 54 𝐼𝑦 1833333 𝑐𝑚4 𝐼𝑦 183 104 𝑚4 Determinando agora o momento de inércia em relação ao eixo z 𝐼𝑧 4𝑡 6𝑡3 12 2𝑡 4𝑡3 12 𝐼𝑧 6133𝑡4 𝐼𝑧 6133 54 𝐼𝑧 3833333 𝑐𝑚4 𝐼𝑧 383 104 𝑚4 Agora vamos determinar os momentos fletores em relação ao eixo neutro 𝑀𝑦 005 500 25 𝑘𝑁 𝑚 𝑀𝑧 01 500 50 𝑘𝑁 𝑚 Agora vamos determinar as tensões nos pontos indicados no ponto A 𝜎𝐴 𝑁𝑥 𝐴 𝑀𝑦𝑧 𝐼𝑦 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧 𝜎𝐴 500 103 004 25 103 01 183 104 50 103 015 383 104 𝜎𝐴 658 𝑀𝑃𝑎 No ponto B 𝜎𝐵 𝑁𝑥 𝐴 𝑀𝑦𝑧 𝐼𝑦 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧 𝜎𝐵 500 103 004 25 103 01 183 104 50 103 015 383 104 𝜎𝐵 2074 𝑀𝑃𝑎 No ponto C 𝜎𝐶 𝑁𝑥 𝐴 𝑀𝑦𝑧 𝐼𝑦 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧 𝜎𝐶 500 103 004 25 103 01 183 104 50 103 015 383 104 𝜎𝐶 1842 𝑀𝑃𝑎 No ponto D 𝜎𝐷 𝑁𝑥 𝐴 𝑀𝑦𝑧 𝐼𝑦 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧 𝜎𝐷 500 103 004 25 103 01 183 104 50 103 015 383 104 𝜎𝐷 4574 𝑀𝑃𝑎 Analisando as tensões obtidas vamos selecionar as maiores solicitações de tração e compressão para determinar o fator de segurança 𝐹𝑆 𝜎𝑇 𝜎𝐵 55 2074 265 𝐹𝑆 𝜎𝐶 𝜎𝐷 85 4574 186 Portanto o fator de segurança que é necessário para o projeto é de 265 b Por se tratar de uma seção retangular simétrica a posição da linha neutra y e z está destacado na cor amarela na figura 9 Inicialmente vamos determinar as propriedades geométricas da seção transversal determinando a posição da linha neutra 𝑧 𝑎 2 𝑎 3𝑎 25𝑎 3𝑎 𝑎 45𝑎 2𝑎 𝑎 𝑎 3𝑎 2 2𝑎 𝑎 𝑧 18𝑎3 8𝑎2 𝑧 225𝑎 𝑧 225 75 𝑧 16875 𝑐𝑚 Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo neutro 𝐼𝑧 3𝑎 𝑎3 12 3𝑎 𝑎 225𝑎 05𝑎2 𝑎 3𝑎3 12 𝑎 3𝑎 25𝑎 225𝑎2 2𝑎 𝑎3 12 2𝑎 𝑎 45𝑎 225𝑎2 𝐼𝑧 2217𝑎4 𝐼𝑧 2217 754 𝐼𝑧 7013672 𝑐𝑚4 𝐼𝑧 701 104 𝑚4 Agora vamos determinar os momentos estático Calculando inicialmente o momento estático na linha neutra em relação a fibra superior 𝑄𝑍𝑠 4𝑎 225𝑎 2 4𝑎 225𝑎 𝑎 225𝑎 𝑎 2𝑎 𝑄𝑍𝑠 603𝑎3 𝑄𝑍𝑠 603 753 𝑄𝑍𝑠 254443 𝑐𝑚3 254 103 𝑚3 Calculando agora o momento estático no eixo neutro em relação a fibra inferior 𝑄𝑍𝑖 225𝑎 𝑎 2 125𝑎 𝑎 175𝑎 𝑎 3𝑎 𝑄𝑍𝑖 603𝑎3 𝑄𝑍𝑠 603 753 𝑄𝑍𝑠 254443 𝑐𝑚3 254 103 𝑚3 O momento estático em relação ao ponto B 𝑄𝐵 225𝑎 𝑎 2𝑎 𝑄𝐵 45𝑎3 𝑄𝐵 45 753 𝑄𝐵 18984375 𝑐𝑚3 19 103 𝑚3 O momento estático no ponto C 𝑄𝐶 175𝑎 𝑎 3𝑎 𝑄𝐶 525𝑎3 𝑄𝐶 525 753 𝑄𝐶 221484 𝑐𝑚3 221 103 𝑚3 Agora vamos calcular as tensões de cisalhamento na linha neutra 𝜏𝑍 215 103 254 103 701 104 0075 𝜏𝑍 1039 𝑀𝑝𝑎 No ponto B 𝜏𝐵 215 103 19 103 701 104 015 𝜏𝐵 388 𝑀𝑝𝑎 No ponto C 𝜏𝐶 215 103 221 103 701 104 0225 𝜏𝐶 301 𝑀𝑃𝑎 Como temos um problema de cisalhamento puro as tensões principais serão 𝜎12 1039 𝑀𝑃𝑎 Utilizando o critério de Coulomb 𝜎1 𝜎𝑇 𝜎2 𝜎𝐶 1 𝑛 𝑛 1 𝜎1 𝜎𝑇 𝜎2 𝜎𝐶 𝑛 1 1039 70 1039 90 𝑛 379 O diagrama de tensões tangenciais será 10 Inicialmente vamos determinar o torque no trecho BC 𝑇𝐵𝐶 2 15 3 𝑇𝐵𝐶 9 𝑘𝑁 𝑚 A tensão de cisalhamento devido o momento torçor é dada por 𝜏 𝑇𝑐 𝐽 𝜏 𝑇𝑟 𝜋 2 𝑟4 𝜏 2𝑇 𝜋𝑟3 Como temos um problema de cisalhamento puro 𝜎12 2𝑇 𝜋𝑟3 𝜏𝑚á𝑥 Do teorema de falha de Guest 𝜏𝑚á𝑥 𝑆𝑦 2𝑛 2𝑇 𝜋𝑟3 𝑆𝑦 2𝑛 𝑟 4𝑇𝑛 𝜋𝑆𝑦 1 3 𝑟 4 9 103 2 𝜋 500 106 1 3 𝑟 003578 𝑚 Portanto o diâmetro 𝑑 2𝑟 𝑑 2 003578 𝑑 007157 𝑚 𝑑 7158 𝑚𝑚 Agora vamos calcular a tensão de cisalhamento no trecho AB para determinar se o material irá suportar o torque aplicado 𝜏𝐴𝐵 9 16 103 004 𝜋 2 0044 𝜏𝐴𝐵 24868 𝑀𝑃𝑎 A resistência ao cisalhamento é dada por 𝑆𝑠𝑦 05𝑆𝑦 𝑆𝑠𝑦 05 500 250 𝑀𝑃𝑎 Como 𝜏𝐴𝐵 𝑆𝑠𝑦 O material não irá falhar O ângulo de torção será dado por 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Para determinar o modulo de elasticidade transversal 𝐺 𝐸 21 𝜈 𝐺 130 21 03 𝐺 50 𝐺𝑃𝑎 Portanto o ângulo de torção entre A e C 𝜙𝐴𝐶 𝑇𝐵𝐶𝐿𝐵𝐶 𝐽𝐵𝐶𝐺 𝑇𝐴𝐵𝐿𝐴𝐵 𝐽𝐴𝐵𝐺 𝜙𝐴𝐶 9 103 3 𝜋 2 0035784 50 109 25 103 2 𝜋 2 0044 50 109 𝜙𝐴𝐶 0458 𝑟𝑎𝑑