Questões - Sequências e Teste da Raiz - 2024-1

Questão 5. Considere a sequência (xn)_n≥1 cujo termo geral é dado por xn = n ln n. É verdadeiro dizer sobre a sequência: A) x(n+1) → ∞ pois lim n→∞ x(n+1) = 0 ✓ B) oscila entre -a e a. C) converge para r pois lim n→∞ (x(n+1)^(n+1)/(xn)^n) = 1 ✓ D) converge para r pois lim n→∞ (xn)^(1/n) = a ✓ E) converge para r pois lim n→∞ 1/n = 0 ✓ Questão 6. Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série? A) (n ln n)/n ✓ B) (3n³ + 3n² - 7n)/(n² + 9n + 700) C) (1/2)^(n) - 7n D) (2n² + 3)^n / 4^n E) 1/(n^2) Questão 7. Em geral não é possível determinar o limite de uma sequência se ainda não existir termos suficientes. A aproximação tem que ser testada uma vez que passa a existir uma quantidade polinomial n que perturba. Para evitar erros de sobreestimativa ou subestimativa é usada a integral para uma estimativa superior. O erro deve ser pago pela norma inferior com o que se acredita ser superior pela norma parcial que tende a zero. Assinale a alternativa correta para o erro s e integral: A) 16 ≤ ERRO ≤ 15 B) 31 ≤ ERRO ≤ 25 C) 21 ≤ ERRO ≤ 216 ✓ D) 15 ≤ ERRO ≤ 792 E) Nenhuma das outras alternativas está correta. Questão 8. Dada a sequência (a_n)_n≥0 definida por a_n = (5 += 1/n)^n, qual é o valor de lim n→∞ a_n? A) Esta sequência converge para 0. B) Esta sequência diverge oscilando. C) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira. ✓ D) Esta sequência converge para 2/5 ✓ E) Esta sequência converge para 25. F) Esta sequência diverge para ∞. QUESTÃO DISSERTATIVA Questão 9. (2pt) Considere a sequência (a_n)_{n=1}^∞ definida recursivamente por: a_1 = 1, a_(n+1) = √a_n + 2, n ≥ 1. Mostre que: (a) 0 < a_n < 2, para todo n ∈ ℕ [Vale 0,5pt]. (b) A sequência é crescente [Vale 1pt]. (c) Podemos concluir que a sequência converge? Se sim, justifique e calcule o seu limite. [Vale 0,5pt].