Tarefas - Cálculo 4 2021-2

Tarefa 1 Questão 1 Correto Tempo Atividade: 0s 3 de Marcar questão Toda sequência limitada é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ (−1)^n é limitada, mas é divergente. A resposta correta é 'Falso'. Questão 2 Correto Tempo Atividade: 1s 1 de Marcar questão Se (a_n) é convergente, então (a_n) é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ A resposta correta é 'Falso'. Questão 3 Correto Tempo Atividade: 1s 1 de Marcar questão Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, então seu limite é zero. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 4 Errado Tempo Atividade: 10s 1 de Marcar questão Uma sequência (x_n) se diz convergente se existe um número L ∈ ℝ, chamado limite de (x_n), tal que, para todo N ∈ ℕ, existe ε > 0, de modo que n ≥ N ⇒ |x_n − L| < ε. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ A sequência ((−1)^n) é divergente, mas satisfaz a afirmação para L = 0 e ε = 2. A definição correta de sequência convergente é: Uma sequência (x_n) se diz convergente se existe um número L ∈ ℝ, chamado limite de (x_n), tal que, para todo ε > 0, existe N ∈ ℕ, de modo que n ≥ N ⇒ |x_n − L| < ε. Questão 5 Correto Tempo Atividade: 0s 1 de Marcar questão A sequência 1/n2 é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ A resposta correta é 'Falso'. Questão 6 Correto Tempo Atividade: 0s 1 de Marcar questão lim n→∞ (a^n + b^n)^(1/n) = max(a, b), onde a, b > 0. Escolha uma opção: Verdadeiro ✔️ Falso A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 7 Correto Tempo Atividade: 35s 1 de Marcar questão Se (x_n) não seja tal que |x_n − x| ≤ ε para todo n ∈ ℕ e x_n → x, então x_n → L. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ Pela desigualdade triangular, |x_n − L| ≤ |x_n − x| + |x − L|. Aplicou-se o teorema do confronto para concluir a afirmação. A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 8 Errado Tempo Atividade: 3s 1 de Marcar questão A sequência 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … é uma série inicialmente apresentada como produto e convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro ✔️ Falso Questão 9 Correto Tempo Atividade: 2s 1 de Marcar questão Seja b_k = (−1)^(k+1) * α^(1/2)*k, α ≥ 0. Então lim k→∞ b_k = ∞. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 10 Correto Tempo Atividade: 0s 1 de Marcar questão Sejam f : (0, ∞) → R uma função e a sequência x_n = f(n). Se lim x→∞ f(x) não existe, então lim n→∞ x_n não existe. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ Contra exemplo, considere a função f(x) = sin(πx). A resposta correta é 'Falso'. Tarefa 2 Questão 1 Correto Tempo Atividade: 11s 1 de Marcar questão A sequência (a_n), onde a_n = n! / 3 * 5 * … * (2n − 1) , converge para 0. Escolha uma opção: Verdadeiro ✔️ Falso Note que lim n→∞ a_n^1/n = < 1. A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 2 Correto Tempo Atividade: 10s 1 de Marcar questão A sequência (a_n), onde a_n = (2n^(2)/e^(n), é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✔️ Você deve ter notado que lim x→∞ (1 + 1/n)^ein/n = lim x→∞ n^(2)/e^(n) = e^(2) < ∞ < 1. A resposta correta é 'Falso'. Questão 6 Comente Linguatópico 1_at07 Marcar questão \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3k}{2(k+1)^2 + 1} Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Você deve ter notado que: \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{2(n+1)^2} = \frac{3}{2n + 1} \to \frac{3}{2n} = 0 , então \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{2(n+1)^2} = \frac{3}{2(n+1)^2} \to \frac{1}{(n+1)^2} A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 7 Comente Linguatópico 1_at07 Marcar questão Se uma série numérica é convergente, então o termo geral da série converge para zero. Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Se o termo geral de uma série numérica converge para zero, então a série é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Você pode ter pensado no exemplo da série harmônica \sum\frac{1}{k} A resposta correta é 'Falso'. Questão 9 Comente Linguatópico 1_at07 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+1)}{2(2k+1)^2} é convergente Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Você deve ter notado que \lim_{k\to\infty} \frac{k(k+1)}{2(k+1)^2} \neq \frac{1}{4} \neq 0. A resposta correta é 'Falso'. Questão 10 Comente Linguatópico 1_at07 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{k}{k+1}\right) \left(\frac{1}{(k+1)^2}\right) é convergente Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Você deve ter notado que \lim_{k\to\infty} \left(\frac{k}{k+1}\right) \left(\frac{1}{k}\right) \to \frac{1}{k+1} \to \frac{1}{k^2} \neq 0. A resposta correta é 'Falso'. Tarefa 3 Questão 1 Comente Análise de Séries T01 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k (\ln k)^{2}} é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Note que, para k ≥ 2, 0 \leq \frac{1}{k (\ln k)^{2}} E como a série \sum \frac{1}{k^2} converge, segue do critério da comparação que a série dada converge. A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 2 Comente Análise de Séries T01 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2 (\ln k)} é convergente. Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Questão 3 Comente Análise de Séries T01 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k (\ln k)(\ln (\ln k)^{2})} é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Você deve ter notado que a integral imprópria \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\ln x)(\ln (\ln x)^{2})} \, dx = \infty Logo, pelo critério da integral, a série dada diverge. A resposta correta é 'Falso'. Questão 4 Comente Análise de Séries T01 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k (\ln k)} é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Questão 5 Comente Análise de Séries T01 Marcar questão A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1} é convergente. Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Você pode ter notado o seguinte. Tomando, para facilitar a visualização, m = n - 1 + 1, temos \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{m^2 - 1} Mas, para n \geq 2, \frac{1}{n^2 - 1} = \frac{n}{n+1} = \frac{b}{n^2 - 1} Logo, pelo critério da comparação, a série converge. A resposta correta é 'Verdadeiro.'. Questão 6 Comente Análise de Séries T07 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^2} é convergente. Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Você pode ter notado que é possível adaptar levemente o raciocínio da questão anterior para concluir da mesma forma. Daí, pensando um pouco, você pode perceber que o mesmo raciocínio pode ser adaptado um pouco mais para provar que, se a é um número real maior que 1, qualquer (podendo ser muito grande, mas finita), a série \sum \frac{1}{k^2} converge (procure desenvolver o raciocínio completo). A resposta correta é 'Verdadeiro.'. Questão 7 Comente Análise de Séries T07 Marcar questão A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin x}{n^2} é convergente. Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Questão 8 Comente Análise de Séries T07 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin x}{3k^3} é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Você deve ter notado que, para 0 < x < \pi/2, \sin(x) < x, assim, para todo k \geq 2, temos \sin^2(x)\left(\frac{1}{2^k}\right)\left(\frac{1}{k^2}\right) \sum \frac{1}{3k^3} e 0\\ Como a série \sum \frac{1}{k^3} converge, segue do critério da comparação que a série converge. Uma outra solução possível seria usando o critério da comparação no limite. Questão 9 Comente Análise de Séries T07 Marcar questão A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{k^3 + 5} é convergente. Escolha uma opção: ✓ Verdadeiro Falso Você deve ter notado que \lim_{k\to\infty}\left(\frac{k^2}{k^3}\right) = \frac{1}{k} E como a série \sum \frac{1}{k} converge, segue do critério da comparação que a série dada converge. A resposta correta é 'Verdadeiro.'. Questão 10 Comente Análise de Séries T07 Marcar questão A série \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^2\frac{1}{n} Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✓ Tarefa 4 Questão 6 Mostrar Atividade de Uso de Materiais Tarefa 4 A série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) é convergente. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✘ Note que, se fôssemos aplicar o critério de Leibniz encontraríamos que, apesar de \( a_n \to 0 \), nossa série diverge pois \( \{a_n\} \) não é monótona e decrescente. A resposta correta é: "Falso". Questão 7 Mostrar Atividade de Uso de Materiais Tarefa 4 A série \( \sum_{n=1}^{\infty} (n^e - (1+ \frac{1}{n})^n) \) converge. Escolha uma opção: Verdadeiro ✔ Falso Você deve ter se lembrado que a sequência \( (1+ \frac{1}{n})^n \) é crescente e converge para \( e \). Logo, a sequência \( n^e - (1+ \frac{1}{n})^n \) é decrescente e converge para \( 0 \). Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge. A resposta correta é "Verdadeiro". Questão 8 Mostrar Atividade de Uso de Materiais Tarefa 4 O maior subconjunto dos reais onde a série \( \sum \frac{r^n}{n^m} \) converge é o conjunto \( \{r \in \mathbb{R} : |r| < 1 \} \). Escolha uma opção: Verdadeiro ✔ Falso Note que, de fato, pelo critério do rácio, temos que \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < |r| < 1 \] Assim, a série converge se \( |r| < 1 \) e diverge se \( |r| > 1 \). Para \( |r| = 1 \), a série é harmônica, portanto, divergente. Logo, o maior subconjunto dos reais onde a série converge é \( \{r \in \mathbb{R} : |r| < 1 \} \). A resposta correta é "Verdadeiro". Questão 7 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Marcar questão O raio de convergência da série ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n^3x^n} é Escolha uma: a. 2 ✓ Correto, pois aplicando o teste da razão para x ≠ 0 temos \lim_{n\to∞} \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} = \lim_{n\to∞} | \frac{x^{n+1}x^n}{n^3} | = |x| \lim_{n\to∞} | \frac{x^{n+1}x}{n^3}| = |x|^n |x|^{1/3} = |x|^{8/3} < 1 desde que |a_n(x)| < 8 e portanto |x| < 2. b. nenhuma das anteriores c. √1/8 d. 1/2 e. 8 Sua resposta está correta. A resposta correta é: 2. Questão 8 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Marcar questão O raio de convergência da série ∑_{n=0}^{∞} \frac{(x-6)^5}{n^2 + 3} é 37. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso ✓ Correto, pois R = \lim_{n\to∞} | \frac{c_{n+1}(x)}{c_n(x)}| = \lim_{n\to∞} \frac{(n + 1)^{3/2} + 3}{n^2 + 3} \lim_{n\to∞} \frac{n^2 + 2n + 4}{n^2 + 3} = 1. Portanto o raio de convergência é: 1. A resposta correta é ‘Falso’. Questão 1 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Marcar questão Considere a série alternada ∑_{n=0}^{∞} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} O erro estimado ao aproximarmos a soma dessa série pela soma parcial de ordem 10 é aproximadamente 0.008265 7. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Correto, pelo teorema têm \sum_{n=0}^{∞} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \sum_{n=0}^{∞} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} ≤ a_11 = \frac{1}{11^2} = 0.008265 A resposta correta é ‘Verdadeiro’. Questão 2 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Marcar questão Estudamos nas aulas do Prof. Claudio Possani desta semana que a desigualdade \frac{ln n}{n^2} ≤ \frac{1}{n^{7/2}} é verdadeira. Podemos então afirmar que a série \sum_{n=2}^{∞} \frac{ln n}{n^2} converge pelo critério da comparação com a série \sum_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{7/2}}. Escolha uma opção: Verdadeiro ✓ Falso Correto, pois temos 0 < \frac{ln n}{n^2} ≤ \frac{1}{n^{7/2}}, e a série \sum_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{7/2}} é convergente (uma p-série com p = 3/2 > 1). A resposta correta é ‘Verdadeiro’. Questão 1 Incorreto Atingiu 0,00 de 1,00 Marcar questão A soma da série 2x^2 - 4x^4 + … + (-1)^n2nx2n + … bem como seu intervalo de convergência é: Escolha uma: a. Nenhuma das anteriores. ✗ Errado, a partir da série geométrica, troque x por -x^2, derive e multiplique por -x. b. \frac{2x^2}{(x^2 + 1)^2} ; |x| < 1. c. \frac{x}{(x^2 + 1)^2} ; |x| < 1. d. \frac{2x^2}{(x^2 - 1)^2} ∀x ∈ ℝ. e. \frac{1}{(x^2 - 1)^2} ; |x| < 1. Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: \frac{2x^2}{(x^2 + 1)^2} ; |x| < 1. Questão 2 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Marcar questão A série de potências que representa f(x) = e^{3x}, bem como seu raio de convergência é: Escolha uma: a. \sum_{n=0}^{∞} \frac{3^nx^n}{n!} ; R = 1. b. \sum_{n=0}^{∞} \frac{3^nx^n}{n!} ; R = ∞. c. \sum_{n=0}^{∞} \frac{3^nx^n}{n!} ; R = ∞. ✓ Correto, na série de e^x troque x por 3x. d. Nenhuma das anteriores. e. \sum_{n=0}^{∞} \frac{3^nx^n}{n!} ; R = 1. Questão 3 Correto A soma da série ∑_(n=1)^(∞) (-1)^(n+1)/n = ln 2 Escolha uma opção: Verdadeiro Falso Questão 4 A expressão ln(1 + 2zx) = ∑_(n=0)^(∞) (-1)^n+1 z^(2n+1) x^(2n+2)/(n+1)² vale para −√2/2 < x < √2/2. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso Errado. A expressão é válida no intervalo aberto e também nos extremos, ou seja, −√2/2 ≤ x ≤ √2/2. A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 5 A expressão x = -3∑_(n=0)^(∞) (-1)^(n+1) 2^(2n+1)/(2n+1) é: Escolha uma opção: Verdadeiro Falso Correto, pois arctan x = ∑_(n=0)^(∞) (-1)^(n+1) 2^(2n+1)/(2n+1) = 1. A resposta correta é 'Falso'. Tarefa 9 Questão 1 Correto A série de Taylor de f(x) = 1/z em torno de x_0 = 1 é ∑_(n=0)^(∞) (-1)^n (x-1)^n. Escolha uma opção: Verdadeiro A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 2 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Podemos dizer que a soma da série 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n+1)^2 + ... é: Escolha uma: a. 1/(1-(1/(1)^2)) b. ln 3 Correto, tome x = 1/2 na série de ln((1+z)/(1-z)). c. ln 2 d. 1/(1-(1/(1)^2)) e. Nenhuma das anteriores. Questão 3 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 A soma da série x + x^2/3 + x^4/5 + ... + x^(2n+1)/(2n+1) + ... bem como seu intervalo de convergência, é: Escolha uma: a. 1/2 ln((1+z)/(1-z)), para todo x ∈ R, x < 1. b. 2 ln(1+x), para todo |x| < 1. c. ln(sqrt((1+z)/(1-z))), para todo x ∈ R, x ≠ 1. d. ln((1+x)/(1-x)), para todo |x| < 1. e. ln((sqrt((1-z)/(z-1)))), para todo x ∈ R, x ≠ -1. Correto Questão 4 Correto A serie de Maclaurin de f(x) = cos x é ∑_(n=0)^(∞) (-1)^n z^(2n)/(2n)!, seu intervalo de convergência é |x| < 1 e converge para f. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso Questão 5 Correto f(x) = e^(-x) = ∑_(n=0)^(∞) (-1)^n x^n/n! Sejam P_k(x) o polinômio de Taylor de f de ordem k em 0 e R_k(x) = f(x) - P_k(x) o resto de Taylor. Seja k o menor número natural tal que |R_6(1)| < 10^-2. Então o valor de P_k(x) é: Escolha uma: a. 2,718254... b. 2,71666... Correto, k = 5. c. Nenhuma das anteriores. d. 2,70833... e. 2,718055... Questão 6 Sabendo que f(x) = sen x = ∑_(n=0)^(∞) (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)! podemos dizer que: Escolha uma: a. f^(999)(0) = -1. Correto. b. Nenhuma das anteriores. c. f^(999)(0) = 1. d. f^(999)(0) = (2n+1)! e. f^(999)(0) = -(2n+1)! Tarefa 10 Questão 1 Correto Temos que ∫_0^(3) sen x² dt = ∑_(n=0)^(∞) (-1)^n x^(3n+1)/(3n+3) + ... Seja a_9 = 1/6 + ... + (-1)^n x^(3n+1)/(3n+3)! Então a_9 fornece um valor aproximado para a integral com erro inferior a 10^-4. Escolha uma opção: Verdadeiro A resposta correta é 'Verdadeiro'. Questão 3 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 f Marcar questão O termo geral da série de Maclaurin de f(x) = √x ≠ 1 é (−1)^n \cdot \frac{1 · 3 · 5 · \cdots · (2n − 3)}{2^n}, quando n ≥ 1. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso Correto, faltou dividir por n! A resposta correta é 'Falso'. Questão 5 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 f Marcar questão Uma expressão para cos(0,7) com erro inferior a 0,002 é: Escolha uma: a. (0,7)^2/2 + (0,7)^4/24 b. 1 − (0,7)^4/4 Correto, pois \frac{0,7^3}{720} < 0,002 c. 1 − (0,7)^2/2 + (0,7)^4/4 − (0,7)^6/6 d. 1 − (0,7)^2/2 − (0,7)^4/4 + (0,7)^6/6 e. Nenhuma das anteriores Questão 7 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 f Marcar questão Um valor aproximado para \int_0^∞ \frac{1 − e^{−x}}{t} dt com erro inferior a 10^-3 é: Escolha uma: a. \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{36} + \frac{1}{8.41} Correto, pois \frac{π^3}{135} < 0,002 b. \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{36} c. \frac{1}{2} + \frac{1}{8} d. \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{36} + \frac{1}{8.41} e. Nenhuma das anteriores. Questão 9 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 f Marcar questão Seja f(x) = (1 + x)^α, α ∈ R − N. Seja a(x) a série de Maclaurin de f. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes afirmações: (I) A série a(x) é chamada de série binomial. (II) a(x) = 1 + \frac{α}{1!}x + \frac{(α − 1)(α)}{2!}x^2 + \frac{(α − 2)(α − 1)(α)}{3!}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(α − (n − 1))(α − (n − 2))(α − 2)(α − 1)α}{n!}x^n. (III) a(x) converge em todo x ∈ R. (IV) a(x) converge para f em |x| < 1. Escolha uma: a. V, F, V, F b. V, F, F, F c. V, F, F, V d. F, F, V, F e. F, V, V, V