Lista - Aula 3 - Cálculo 4 2021-2

Exercicios - Calculo IV - Aula 3 - Semana 8/9-11/9 Critérios de Convergéncia de Séries de Termos Nao-Negativos Critério da Comparacao Normalmente — usado p °° . Se 0 < ay < by para todo | para uma série seme- ara So an com termos nao nega- | », > N, para algum N € | jhante a uma série n=0 ‘ot ar tivos, compare com uma série con- | N, e Soon converge, ent3o | eometrica ou p-serie. oo — As vezes, pode ser . n=0 "7° hecida Soon oo dificil encontrar uma n=0 Sian converge. série apropriada_ para n=0 comparar. Se a, > b, > O para todo n > N, para algum N EN, CO CO e S- b, diverge, entao S- Gn n=0 n=0 diverge. Critério da Comparacao no _ | Normalmente —_usado Limite_ SeLeReL> 0, entao para uma série seme- Para So an com termos positivos, | OU ambas as séries Sian e Ihante a uma serie — nao geométrica ou p-série. compare com uma série conhecida | Frequentemente mais sh iando L = An So bn convergem ou ambas | f4cil de aplicar do que n avaliando L = lim —. n=0 x a n—00 Dp divergem. o teste de comparacao. CO SeL=0Oe Soon converge, n=0 co entao S- Gyn converge. n=0 CO SeL=owe Soon diverge, n=0 co entao S- Gy, diverge. n=0 Critério da Integral Limitado as séries para . ~ 8 CO . ~ Se existe uma funcao positiva, Se | f(a)dx converge, | 25 quails a funcao f cor- continua e decrescente f tal que N respondente pode ser Gn = f(n) para todo n > N, avalie << facilmente —integrada n=H(n)P oo entdo S- f(n) converge. 8 ; ; se ou que sua_ integral a integral imprdpria f(x)dz. n=0 er oo N impropria fa, f(x)da possa ser estudada quanto a convergéncia ou divergéncia. CO Se | f(x)dx diverge, N co entao S- f(n) diverge. n=0 As demonstracoes desses critérios sao baseadas no seguinte resultado: Proposicao. Se a, > 0, n = 0,1,..., a série Sian é convergente se, e somente se, a n=0 sequéncia (5S,,) das somas parciais é limitada. Observe que se os termos de uma série sao nao-negativos, a sequencia de suas somas parciais é crescente. Assim, a proposicao acima é uma consequéncia do Teorema da Convergéncia Mondétona estudado na Lista da Aula 1. Exemplo 1. Para qualquer numero real p, a série ye n=1 ne . ea a _ ee WoL, é chamada uma p-série ou uma série harmonica de ordem p. Mostre que a série S- —, & convergente n n=1 se p > 1 e divergente se p < 1. 1 “1 Solugao. Se p < 0, entao — 4 0, com n — oo. Pelo Critério da Divergéncia, a série S- — ne 2 ne diverge. Se p > 0, a fungdo f(x) = 1/zx? é positiva e decrescente em |1,00). Para verificar que f é decrescente, basta ver que f’(x) = —p/x?t! <0 para todo x € [1, 00). Para p = 1, love) 1 ; t 1 ; —dx = lim —dzx = lim Int = ow. 1 x t-0o 1 & too Sep>0,p#1, ~ 4 ‘1 1 1 : >1 | code = jim [de = jim (-)- p-W we Pe 1 uP foo Jy uP too LL —p 1p OO, sep <l. Juntando esta informacao com o estudo da caso p = 1, temos que a integral diverge se 0 <p <1 e converge se p > 1. Assim, pelo Critério da Integral, a série diverge se 0 < p < 1. Assim, “1 concluimos que a p-série S- — é convergente se p > 1 e divergente se p < 1. n n=1 a Vol. 1, ; Exemplo 2. A série S- — sin — é convergente ou divergente? <n on Solugado. Sendo 0 < sinx < x para todo x € (0,7), segue que 1 1 1 1 1 0<-sn—-<—---=-—, Vn> 1. nen nn on a ; ss wos - Como S- —, € convergente, pois trata-se de uma 2-série, segue do critério da comparagao que n n=1 “1.41, S- — sin — é convergente. <n on 2n? + 3n Exemplo 3. A série ———— é convergente ou divergente? » Vv5+n° Solucdo. Seja an = (2n? + 3n)/V5+ n>. Para n grande, a, se comporta como 2n?/n5/? = 2/n'/?, pois o termos principais dominam para n grande, assim tomamos b, = 2/n'/?. Como co ; _ CO 9 di S- n= S- ni/2 lverge n=1 n=1 e i Qn, i Qn? +3n ni? i 2n?/? +. 3n3/? i 2+ 3 1>0 mM — >| WM eS = ODT |_!_!—_ &=sgW*HT_s P—_— =| ; n—0o by, n—0o J/5 + n> 2 noo 2/5+n° N00 9 (5 44 2n? + 3n segue do Critério da Comparacao no Limite que a série ———— também diverge. ° » V5+n° ee QoL, Exemplo 4. A série S- —— é convergente ou divergente? —~ Inn - oe ~ ~. yal Solucao. Vamos tomar como série de comparacao a série harmonica S- —. Temos, n n=2 1 1 Qn =— e b,=-. Inn n Entao, . an . n lim — = lim — =oo. noo b, n>o0 lnn es ~ . wel. Pelo Critério da Comparacao no Limite, a série S- —— é divergente. — Inn -. yn, . Exemplo 5. A série S- — é convergente ou divergente? e” n=0 oOo l - Solucao. A série S- nla é convergente, pois se trata da série geométrica de razao Ti <1. Temos, e” e n=0 n 1 Aan = en e by = en]? Entao, . an . n Jim. 5, = im. aaa =O cn - i -. RN, Pelo Critério da Comparacao no Limite, a série S- — é convergente. en n=0 Exercicio. Determine se as séries sao convergentes ou divergentes. = n “1 a ——— d —- ) » n?+1 ) » ninn “2+sinn 142" b ——— e —— ) UB ) igs “Inn ~ yt f) S21 = cos(1/n) n=2 n=1