Aula 13 - Experimentos Fatoriais 2022-1

1 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos hart ZAB0229 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL AULA 13 EXPERIMENTOS FATORIAIS 2 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 1. INTRODUÇÃO Nos experimentos com um fator de tratamento (𝑜𝑛𝑒-𝑤𝑎𝑦) compara- mos as médias de tratamentos ou dos níveis de um único fator, con- siderando que todos os demais fatores que possam interferir nos re- sultados obtidos foram mantidos constantes. Exemplo: Comparar cinco tipos de inseticida num certo tipo de la- voura, admitindo que os demais fatores (variedades, níveis de adu- bação, tratos culturais, densidade de plantio 𝑒𝑡𝑐.) se mantêm 𝑐𝑜𝑛𝑠- 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, isto é, são os mesmos para todos os inseticidas estudados. Problema: Existem casos em que dois ou mais fatores de tratamen- to precisam ser estudados 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒. 3 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Fator é uma variável independente cujos valores são controlados, definidos ou escolhidos pelo experimentador. Cada valor que o fa- tor pode assumir é chamado de nível do fator. Experimentos fatoriais são aqueles em que são estudados 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎- 𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 os efeitos de dois ou mais fatores. Nos experimentos fatoriais chamamos de tratamento cada uma das combinações dos níveis dos diversos fatores. O experimento fatorial não é um tipo de delineamento experimental, mas sim um esquema orientado de desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos e pode ser instalado em qualquer um dos delineamentos experimentais já estudados: DIC, DCB e DQL. 4 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo 1. Estudar o efeito de duas variedades de cana-de-açúcar (𝑉1 e 𝑉2) e três diferentes herbicidas (𝐻1, 𝐻2 e 𝐻3) na produção de cana (t/ha). Neste caso, temos um experimento fatorial 2×3, com 6 tratamentos: 𝑉1𝐻1, 𝑉1𝐻2, 𝑉1𝐻3, 𝑉2𝐻1, 𝑉2𝐻2 e 𝑉2𝐻3. Se o delineamento usado for um D.I.C. com 𝑛 = 3 repetições, repre- sentamos bem a distribuição dos tratamentos no campo neste cro- qui: 𝑉2𝐻2 𝑉1𝐻1 𝑉1𝐻3 𝑉2𝐻1 𝑉1𝐻3 𝑉1𝐻1 𝑉1𝐻2 𝑉2𝐻3 𝑉1𝐻2 𝑉1𝐻1 𝑉2𝐻2 𝑉2𝐻3 𝑉2𝐻2 𝑉1𝐻3 𝑉2𝐻3 𝑉2𝐻1 𝑉1𝐻2 𝑉2𝐻1 5 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo 2. Num experimento fatorial 3×3×2 podemos combinar, por exemplo, três variedades (𝑉1, 𝑉2 e 𝑉3), três níveis de adubação (𝐴1, 𝐴2 e 𝐴3) e duas épocas de plantio (𝐸1 e 𝐸2 ), totalizando 3×3×2 = 18 tratamentos, quais sejam: 𝑉1𝐴1𝐸1 𝑉1𝐴1𝐸2 𝑉1𝐴2𝐸1 𝑉1𝐴2𝐸2 𝑉1𝐴3𝐸1 𝑉1𝐴3𝐸2 𝑉2𝐴1𝐸1 𝑉2𝐴1𝐸2 𝑉2𝐴2𝐸1 𝑉2𝐴2𝐸2 𝑉2𝐴3𝐸1 𝑉2𝐴3𝐸2 𝑉3𝐴1𝐸1 𝑉3𝐴1𝐸2 𝑉3𝐴2𝐸1 𝑉3𝐴2𝐸2 𝑉3𝐴3𝐸1 𝑉3𝐴3𝐸2 Problema: Para instalar um experimento com 18 tratamentos em um DIC com 𝑛 = 3 repetições, por exemplo, precisaremos de uma área experimental muito grande e homogênea! 6 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Sugestões: Usar um DCB e as áreas com características semelhantes de uma grande fazenda como blocos ou usar as áreas de diferentes fazendas como os blocos, instalando uma repetição dos 18 trata- mentos em cada fazenda... 7 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Principal vantagem de um experimento fatorial: • Permite o estudo dos efeitos principais dos fatores e dos efeitos da interação entre os níveis de dois ou mais fatores, ou seja, per- mitem chegar a conclusões mais abrangentes. Principais desvantagens: • O número de tratamentos aumenta rapidamente com o aumento do número de níveis e de fatores, o que pode dificultar o seu uso. É impraticável distribuir um número grande de tratamentos em um DIC, DCB ou em outro delineamento mais complexo. • A análise estatística é mais trabalhosa e a interpretação dos resul- tados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento. 8 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2. DEFINIÇÕES INICIAIS E VOCABULÁRIO (1) Exemplo 3: Vamos estudar um experimento fatorial 2×2, com os fa- tores Adubação (𝑨) e Calcário (𝑪) nos níveis: 𝑨𝟎 (sem adubo) e 𝑨𝟏 (com adubo); 𝑪𝟎 (sem calcário) e 𝑪𝟏 (com calcário), respectivamen- te. As produções totais de cana-de-açúcar (𝒕/𝒉𝒂) para os 2×2 = 4 tratamentos foram: 𝑪𝟎(sem) 𝑪𝟏(com) Total 𝑨𝟎(sem) 14 23 37 𝑨𝟏(com) 32 53 85 Total 46 76 112 1 Para mais detalhes ver: Banzatto, D. A. e Kronka, S. N. Experimentação Agrícola, Jaboti- cabal-SP, 1989. 9 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Definição: Efeito simples de um fator é uma medida da variação que ocorre com a característica em estudo (produção, neste exemplo) e correspondente às variações nos níveis deste fator, em cada um dos níveis do outro fator. No exemplo 3: 𝑪𝟎(sem) 𝑪𝟏(com) 𝑨𝟎(sem) 14 23 𝑨𝟏(com) 32 53 Efeito simples de adubo: • Na ausência de calcário: 𝐴𝑑. 𝐶0 = 𝐴1𝐶0 − 𝐴0𝐶0 = 32 – 14 = 18 • Na presença de calcário: 𝐴𝑑. 𝐶1 = 𝐴1𝐶1 − 𝐴0𝐶1 = 53 – 23 = 30 10 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Efeito simples de calcário: • Na ausência de adubo: 𝐶𝑑. 𝐴0 = 𝐴0𝐶1 − 𝐴0𝐶0 = 23 – 14 = 9 • Na presença de adubo: 𝐶𝑑. 𝐴1 = 𝐴1𝐶1 − 𝐴1𝐶0 = 53 – 32 = 21 𝑪𝟎(sem) 𝑪𝟏(com) 𝑨𝟎(sem) 14 23 𝑨𝟏(com) 32 53 Note que, neste exemplo, todos os efeitos simples são positivos e o maior efeito simples é do adubo na presença de calcário. 11 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Definição: Efeito principal de um fator é uma medida da variação que ocorre com a característica e corresponde à média das variações nos níveis desse fator em todos os níveis do outro fator. • Efeito principal de Adubo = 1 2 [𝐴𝑑. 𝐶0 + 𝐴𝑑. 𝐶1] = (18+30) 2 = 24 que também pode ser calculado como: • Efeito principal de Adubo = 1 2 [𝐴1 − 𝐴0] = (85 – 37) 2 = 24 𝑪𝟎(sem) 𝑪𝟏(com) Total 𝑨𝟎(sem) 14 23 37 𝑨𝟏(com) 32 53 85 Total 46 76 112 12 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • Efeito principal de Calcário = 1 2 [𝐶𝑑. 𝐴0 + 𝐶𝑑. 𝐴1] = (9+21) 2 = 15 que também pode ser calculado como: • Efeito principal de Calcário = 1 2 (𝐶1 – 𝐶0) = (76 – 46) 2 = 15 𝑪𝟎(sem) 𝑪𝟏(com) Total 𝑨𝟎(sem) 14 23 37 𝑨𝟏(com) 32 53 85 Total 46 76 112 Note que o efeito principal de Adubo (24) é superior ao efeito de Calcário (15) na produção de cana-de-açúcar. 13 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Definição: Efeito da interação entre os dois fatores é uma medida da variação que ocorre com a característica em estudo e corresponde à média das variações nos níveis de um fator, ao passar de um nível a outro nível do outro fator. • Efeito da interação A×C = 1 2 (𝐴𝑑. 𝐶1 – 𝐴𝑑. 𝐶0) = (30 – 18) 2 = 6 ou então • Efeito da interação C×A = 1 2 (𝐶𝑑. 𝐴1 – 𝐶𝑑. 𝐴0) = (21 – 9) 2 = 6 Note que: • O efeito da interação A×C é igual ao efeito da interação C×A. • Neste exemplo, o efeito da interação entre os dois fatores não é nulo. 14 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para termos uma indicação da existência ou não da interação A×C, devemos observar: • Como as médias dos níveis do fator 𝐴 se comportam na ausência de 𝐶 (𝐴𝑑. 𝐶0) e na presença de 𝐶 (𝐴𝑑. 𝐶1) ou • Como as médias dos níveis do fator 𝐶 se comportam na ausência de 𝐴 (𝐶𝑑. 𝐴0) e na presença de 𝐴 (𝐶𝑑. 𝐴1). Quando o comportamento das médias dos níveis de um fator for o mesmo, tanto na ausência como na presença do outro fator, isto é, 𝐴𝑑. 𝐶0 = 𝐴𝑑. 𝐶1 ou 𝐶𝑑. 𝐴0 = 𝐶𝑑. 𝐴1 concluiremos que não existe interação entre os níveis dos dois fato- res. Graficamente temos: 15 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP (𝑎) (𝑏) (𝑐) (𝑑) Figura 1. Gráficos mostrando a presença (ou não) de interação entre os níveis dos fatores 𝐴 e 𝐶. 16 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Nos gráficos da Figura 1 percebe-se que: • Os gráficos (𝑎) e (𝑏) mostram situações em que não existe intera- ção entre os níveis dos dois fatores. Neste caso as duas retas dos perfis são paralelas! • No gráfico (𝑐) existe uma interação entre os níveis de 𝐴 e 𝐶 devida à diferença nas grandezas das respostas. As retas dos perfis não são paralelas. • No gráfico (𝑑) existe uma clara interação entre os níveis de 𝐴 e 𝐶 devida à diferença na direção das respostas. As retas dos perfis não são paralelas e se cruzam. 17 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP No Exemplo 3 percebe-se a presença da interação por conta das dife- renças nas grandezas das respostas, ou seja, o efeito simples de Adu- bação em 𝐶0 (32 − 14 = 18) é inferior ao efeito simples de Adubação em 𝐶1 (53 − 23 = 30). Figura 2. Interação entre os níveis de Adubação (A) e Calagem (C) 18 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 3. MODELO E FÓRMULAS DE CÁLCULO O modelo de um experimento fatorial 𝑎𝑏 com dois fatores num deli- neamento inteiramente casualizado com 𝑛 repetições, pode ser es- crito como: 𝑦𝑖𝑗𝑘 =  + 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐴𝐵𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑖 = 1, 2,, 𝑎 𝑗 = 1, 2,, 𝑏 𝑘 = 1, 2,, 𝑛 Em que: 𝑦𝑖𝑗𝑘 é a resposta da 𝑘-ésima repetição do 𝑖-ésimo nível do fator 𝐴 e 𝑗-ésimo nível do fator 𝐵;  é uma constante comum a todas as observações; 𝐴𝑖 é o efeito do 𝑖-ésimo nível do fator 𝐴; 19 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 𝐵𝑗 é o efeito da 𝑗-ésimo nível do fator 𝐵; 𝐴𝐵𝑖𝑗 é o efeito da interação entre o 𝑖-ésimo nível do fator 𝐴 e 𝑗-ési- mo nível do fator 𝐵; 𝜀𝑖𝑗𝑘 é o erro associado à resposta 𝑦𝑖𝑗𝑘. Por suposição, admite-se que os erros não são correlacionados e que 𝜀𝑖𝑗𝑘 ~ 𝑁(0; 𝜎2). Note que 𝑎 é o número de níveis do fator A, 𝑏 é o número de níveis do fator B, 𝑛 é o número de repetições de cada um dos 𝑎𝑏 trata- mentos e no total temos 𝑎𝑏𝑛 unidades experimentais. 20 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP FÓRMULAS PARA CÁLCULO DAS SOMAS DE QUADRADOS • 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘 2 𝑘 𝑗 𝑖 − 𝐶, onde 𝐶 = (𝑦•••)2 𝑎𝑏𝑛 = ∑ ∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅•••) 2 𝑘 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄(𝐴) = 1 𝑏𝑛 ∑ 𝑦𝑖•• 2 𝑎 𝑖=1 – C = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖•• − 𝑦̅•••)2 𝑘 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄(𝐵) = 1 𝑎𝑛 ∑ 𝑦•𝑗• 2 𝑏 𝑗=1 – C = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅•𝑗• − 𝑦̅•••) 2 𝑘 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄(𝐴×𝐵) = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 – 𝑆𝑄(𝐴) – 𝑆𝑄(𝐵) em que 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 1 𝑛 ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗• 2 𝑎 𝑖=1 𝑏 𝑗=1 – C = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖𝑗• − 𝑦̅•••) 2 𝑘 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝑆𝑄(𝐴) – 𝑆𝑄(𝐵) – 𝑆𝑄(𝐴 × 𝐵) 21 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para calcular 𝑆𝑄(𝐴), 𝑆𝑄(𝐵) e 𝑆𝑄(𝐴×𝐵) devemos montar uma tabela com os totais das repetições e os totais marginais: Fator B Fator A 1 2 … 𝑏 Total 1 𝑦11• 𝑦12• … 𝑦1𝑏• 𝑦1•• 2 𝑦21• 𝑦22• … 𝑦2𝑏• 𝑦2•• ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ 𝑎 𝑦𝑎1• 𝑦𝑎2• … 𝑦𝑎𝑏• 𝑦𝑎•• Total 𝑦•1• 𝑦•2• … 𝑦•𝑏• 𝑦••• Cada total 𝑦𝑖𝑗• foi calculado 𝑛 valores; o total de cada linha (𝑦𝑖••) foi calculado com 𝑏𝑛 valores e o total de cada coluna (𝑦•𝑗•) com 𝑎𝑛 valo- res. 22 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Se quisermos usar as fórmulas de cálculo das SQ´s usando as médi- as devemos montar uma tabela com os seus valores: Fator B Fator A 1 2 … 𝑏 Média 1 𝑦̅11• 𝑦̅12• … 𝑦̅1𝑏• 𝑦̅1•• 2 𝑦̅21• 𝑦̅22• … 𝑦̅2𝑏• 𝑦̅2•• ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ 𝑎 𝑦̅𝑎1• 𝑦̅𝑎2• … 𝑦̅𝑎𝑏• 𝑦̅𝑎•• Média 𝑦̅•1• 𝑦̅•2• … 𝑦̅•𝑏• 𝑦̅••• Cada uma das 𝑎𝑏 médias dos tratamentos, 𝑦̅𝑖𝑗•, foi calculada a partir de 𝑛 valores; cada uma das médias do fator 𝐴, 𝑦̅𝑖••, foi calculada a par- tir de 𝑏𝑛 valores e as médias do fator 𝐵, 𝑦̅•𝑗•, com 𝑎𝑛 valores. 23 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Roteiro para os cálculos das somas de quadrados: 1) 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 é calculada da maneira usual. 2) 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖𝑗• − 𝑦̅•••) 2 𝑘 𝑗 𝑖 3) 𝑆𝑄(𝐴) = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖•• − 𝑦̅•••)2 𝑘 𝑗 𝑖 𝑆𝑄(𝐵) = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅•𝑗• − 𝑦̅•••) 2 𝑘 𝑗 𝑖 4) Interação: 𝑆𝑄(𝐴×𝐵) = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 – 𝑆𝑄(𝐴) – 𝑆𝑄(𝐵) 5) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝑆𝑄(𝐴) – 𝑆𝑄(𝐵) – 𝑆𝑄(𝐴 × 𝐵) Com essas SQ´s podemos montar o quadro da ANOVA. 24 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA Fontes de Variação g.l. SQ QM Fator A 𝑎–1 𝑆𝑄(𝐴) 𝑄𝑀(𝐴) Fator B 𝑏–1 𝑆𝑄(𝐵) 𝑄𝑀(𝐵) Interação A×B (𝑎– 1)(𝑏– 1) 𝑆𝑄(𝐴 × 𝐵) 𝑄𝑀(𝐴 × 𝐵) Resíduo 𝑎𝑏(𝑛– 1) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 Total 𝑎𝑏𝑛– 1 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 Admitindo que os fatores 𝐴 e 𝐵 são de efeito fixo, todas as estatísti- cas 𝐹 são calculadas utilizando 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 como denominador. 25 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP O primeiro teste de hipótese a ser realizado envolve a interação dos níveis dos dois fatores (𝐴 e 𝐵), ou seja, testar: 𝐻01: não existe interação entre os níveis dos fatores 𝐴 e 𝐵 𝐻𝑎1: existe interação entre os níveis dos fatores 𝐴 e 𝐵 Para testar 𝐻01 utilizamos a estatística F = 𝑄𝑀(𝐴×𝐵)/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜, que tem distribuição F com (𝑎 − 1)(𝑏 − 1) e 𝑎𝑏(𝑛– 1) graus de liber- dade. Se não rejeitarmos 𝐻01 e concluirmos que não existe interação entre os níveis dos fatores A e B, continuamos a análise testando as hipóte- ses sobre os efeitos principais dos fatores A e B, como segue: 26 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Efeito principal de 𝑨 𝐻02: 𝜇1• = 𝜇2• = ⋯ = 𝜇𝑎• 𝐻𝑎2: pelo menos duas médias diferem entre si. Utilizando a estatística 𝐹 = 𝑄𝑀(𝐴)/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜, que tem distribui- ção 𝐹 com (𝑎 − 1) e 𝑎𝑏(𝑛– 1) graus de liberdade. Efeito principal de 𝑩 𝐻03: 𝜇•1 = 𝜇•2 = ⋯ = 𝜇•𝑏 𝐻𝑎3: pelo menos duas médias diferem entre si. Utilizando a estatística 𝐹 = 𝑄𝑀(𝐵)/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜, que tem distribui- ção 𝐹 com (𝑏 − 1) e 𝑎𝑏(𝑛– 1) graus de liberdade. 27 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP IMPORTANTE: Se rejeitarmos 𝐻01 e concluirmos pela presença de interação, não devemos testar as hipóteses 𝐻02 e 𝐻03, porque elas deixam de ter sentido prático. Neste caso, na presença de interação, devemos proceder a um des- dobramento dos graus de liberdade da interação visando: 𝑖) Comparar as médias dos níveis do fator 𝐴, em cada nível do fator 𝐵, separadamente. 𝑖𝑖) Comparar as médias dos níveis do fator 𝐵, em cada nível do fator 𝐴, separadamente. Este processo de desdobramento será apresentado durante a reso- lução do exemplo da próxima seção. 28 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 4. ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE UM EXPERIMENTO FATORIAL Exemplo 1. O objetivo do experimento foi estudar o desenvolvimen- to de mudas avaliando a altura, em cm, aos 80 dias de idade, utilizan- do 3 recipientes (𝑅1: saco plástico pequeno, 𝑅2: saco plástico grande e 𝑅3: saco laminado) e 2 espécies de eucaliptos (𝐸1: 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 𝑐𝑖- 𝑡𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑟𝑎 e 𝐸2: 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖𝑠). Utilizou-se um delineamento inteiramente casualizado (DIC) com os tratamentos em esquema fatorial 3×2. O objetivo do estudo foi escolher a melhor espécie e o melhor recipi- ente para produzir mudas mais altas. Modelo assumido: 𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝑅𝑖 + 𝐸𝑗 + 𝑅𝐸𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑖 = 1, 2, 3 𝑗 = 1, 2 𝑘 = 1, 2, 3, 4. 29 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Altura das mudas de eucalipto, por recipiente e espécie. Rep. 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝐸1 𝐸2 𝐸1 𝐸2 𝐸1 𝐸2 1 26,2 24,8 25,7 19,6 22,8 19,8 2 26,0 24,6 26,3 21,1 19,4 21,4 3 25,0 26,7 25,1 19,0 18,8 22,8 4 25,4 25,2 26,4 18,6 19,2 21,3 Total 102,6 101,3 103,5 78,3 80,2 85,3 Com base nas respostas individuais, calculamos: • 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 26,22 +  + 21,32 – (551,2)2 24 = 12858,0197 – 12659,2267 = 198,7930 30 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro auxiliar de totais 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Espécie 𝐸1 102,6(4) 103,5(4) 80,2(4) 286,3(12) 𝐸2 101,3(4) 78,3(4) 85,3(4) 264,9(12) Recipiente 203,9(8) 181,8(8) 165,5(8) 551,2(24) Quadro auxiliar de médias 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Espécie 𝐸1 25,6500(4) 25,8750(4) 20,0500(4) 23,8583(12) 𝐸2 25,3250(4) 19,5750(4) 21,3250(4) 22,0750(12) Recipiente 25,4875(8) 22,7250(8) 20,6875(8) 22,9667(24) (*) número de repetições entre parêntesis 31 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Utilizando as fórmulas de 𝑆𝑄’s envolvendo os totais temos: • 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 1 4 (102,62 +  + 85,32) – C = 12834,9300 – 12659,2267 = 175,7033 • 𝑆𝑄(𝑅) = 1 8 (203,92 + 181,82 + 165,52) – C = 92,8608 • 𝑆𝑄(𝐸) = 1 12 (286,32 + 264,92) – C = 19,0810 • 𝑆𝑄(𝑅×𝐸) = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 – 𝑆𝑄(𝑅) – 𝑆𝑄(𝐸) = 175,7033 – 92,8608 – 19,0810 = 63,7615 • 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 23,0897 32 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP ANOVA do fatorial 3×2 em um DIC com 4 repetições (Altura das mudas de eucalipto) Fontes de Variação g.l. SQ QM F Recipiente (𝑅) 2 92,8608 46,4304 36,19 Espécie (𝐸) 1 19,0810 19,0810 14,87 Interação 𝑅 × 𝐸 2 63,7615 31,8808 24,85 Resíduo 18 23,0897 1,2828 Total 23 198,7930 𝑦̅𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 = 22,97 𝑠2 = 1,2828 CV = 4,93% Nota: Se utilizarmos as fórmulas de 𝑆𝑄’s envolvendo as médias obte- remos os mesmos resultados. 33 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 1º Teste (Interação): 𝐻01: Não existe interação entre os níveis de Espécie e Recipiente 𝐻𝑎1: Existe interação entre os níveis dos fatores 𝑅 e 𝐸 Como F𝑐𝑎𝑙𝑐 = 24,85 é superior a F𝑡𝑎𝑏(2; 18; 5%) = 3,55 rejeitamos 𝐻01 e concluímos que existe uma interação significativa entre os ti- pos de recipiente e as espécies de eucalipto na altura das mudas aos 80 dias de idade (ver Figura 2). Como a interação foi significativa concluímos que: “As mudas das duas espécies de eucalipto se comportam de manei- ras distintas quando plantadas em recipientes diferentes”, ou que “Os recipientes respondem de maneiras distintas quando recebem mudas de espécies diferentes”. 34 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Avaliando a Figura 3 percebem-se comportamentos distintos das al- turas médias das mudas nos recipientes, dependentes da espécie de eucalipto plantada. Figura 3. Alturas médias das mudas de eucalipto por espécie e recipiente 35 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Importante: Como a interação 𝑅 × 𝐸 resultou significativa, não deve- mos realizar os testes dos efeitos principais de Recipiente (𝑅) e de Espécie (𝐸), pois seus resultados perdem o significado. Ideal: Realizar os desdobramentos da interação! 𝒊) Desdobramento da interação 𝑹 × 𝑬 para comparar as médias das duas Espécies para cada um dos Recipientes. Vamos comparar as médias das duas espécies em cada um dos re- cipientes, ou seja, vamos testar: 𝐻0: 𝜇𝐸1 = 𝜇𝐸2 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻𝑎: 𝜇𝐸1 ≠ 𝜇𝐸2 separadamente, para os recipientes 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3. 36 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Utilizando o quadro auxiliar de totais e as fórmulas adequadas te- mos: 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Totais 𝐸1 102,6(4) 103,5(4) 80,2(4) 286,3(12) 𝐸2 101,3(4) 78,3(4) 85,3(4) 264,9(12) Totais 203,9(8) 181,8(8) 165,5(8) 551,2(24) 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅1) = 1 4 (102,62 + 101,32) – (203,9)2 8 = 0,2113 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅2) = 1 4 (103,52 + 78,32) – (181,8)2 8 = 79,3800 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅3) = 1 4 (80,22 + 85,32) – (165,5)2 8 = 3,2513 37 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Utilizando o quadro auxiliar de médias: 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Média 𝐸1 25,6500(4) 25,8750(4) 20,0500(4) 23,8583(12) 𝐸2 25,3250(4) 19,5750(4) 21,3250(4) 22,0750(12) Média 25,4875(8) 22,7250(8) 20,6875(8) 22,9667(24) Para calcular 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅1), entramos no modo STAT, com as médias 25,6500 e 25,3250 e as frequências de cada média (4). Calculamos a variância amostral e multiplicamos o resultado por 8−1 = 7. Repeti- mos esse processo para calcular 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅2) e 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅3). Nota: 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅1) + 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅2) + 𝑆𝑄(𝐸𝑑. 𝑅3) = 𝑆𝑄(𝐸) + 𝑆𝑄(𝐸 × 𝑅) 38 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA para testar 𝐻0: 𝜇𝐸1 = 𝜇𝐸2 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻𝑎: 𝜇𝐸1 ≠ 𝜇𝐸2 em cada recipiente Fontes de Variação g.l. SQ QM F Espécies d. 𝑅1 1 0,2113 0,2113 0,16 n.s. Espécies d. 𝑅2 1 79,3800 79,3800 61,88 * Espécies d. 𝑅3 1 3,2513 3,2513 2,53 n.s. Resíduo 18 23,0897 1,2828 Comparando 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐’s com 𝐹𝑡𝑎𝑏(1, 18) = 4,41, conclui-se que existe di- ferença entre as alturas médias das duas espécies somente quando foram plantadas no recipiente 𝑅2 (saco plástico grande). Como comparamos somente duas espécies de eucalipto, com o teste 𝐹 já dá para decidir qual a espécie que proporciona mudas maiores. 39 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Alturas médias dos recipientes para cada uma das espécies Recipiente Espécie 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝐸1 25,65𝑎 25,88𝑎 20,05𝑎 𝐸2 25,32𝑎 19,58𝑏 21,32𝑎 Médias seguidas por letras diferentes na mesma coluna diferem entre si ao nível  = 5% • Quando se utiliza o saco plástico pequeno (𝑅1) ou o saco lamina- do (𝑅3), não existem diferenças nas médias das alturas das mudas das duas espécies de eucalipto. • Quando se utiliza o saco plástico grande (𝑅2), a espécie 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝- 𝑡𝑢𝑠 𝑐𝑖𝑡𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑟𝑎 (𝐸1) alcança a maior altura média. 40 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 𝒊𝒊) Desdobramento da interação 𝑹 × 𝑬 para comparar as médias dos três Recipientes para cada uma das Espécies Vamos comparar as médias dos três recipientes em cada uma das es- pécies, ou seja, vamos testar: 𝐻0: 𝜇𝑅1 = 𝜇𝑅2 = 𝜇𝑅3 𝐻𝑎: pelo menos duas das médias diferem entre si. separadamente para cada espécie 𝐸1 e 𝐸2. Neste caso vamos utilizar o quadro auxiliar de médias: 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Espécie 𝐸1 25,6500(4) 25,8750(4) 20,0500(4) 23,8583(12) 𝐸2 25,3250(4) 19,5750(4) 21,3250(4) 22,0750(12) Recipiente 25,4875(8) 22,7250(8) 20,6875(8) 22,9667(24) 41 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para calcular, por exemplo, 𝑆𝑄(𝑅𝑑. 𝐸1), entramos no modo STAT, com as médias 25,6500, 25,8750 e 20,0500 e com as frequências de cada média, 4. Calculamos o desvio padrão amostral, a variância amostral e multiplicamos o resultado por 12-1 = 11, obtendo: 𝑆𝑄(𝑅𝑑. 𝐸1) = 87,1217 Repetimos o processo para calcular 𝑆𝑄(𝑅𝑑. 𝐸2) e obtemos: 𝑆𝑄(𝑅𝑑. 𝐸2) = 69,5000 Note que: 𝑆𝑄(𝑅𝑑. 𝐸1)+ 𝑆𝑄(𝑅𝑑. 𝐸2) = 𝑆𝑄(𝑅) + 𝑆𝑄(𝑅×𝐸) 42 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA para testar 𝐻0: 𝜇𝑅1 = 𝜇𝑅2 = 𝜇𝑅3, por espécie Fontes de Variação g.l. SQ QM F Recipientes 𝑑. 𝐸1 2 87,1217 43,5609 33,96 * Recipientes 𝑑. 𝐸2 2 69,5000 34,7500 27,09 * Resíduo 18 23,0897 1,2828 Comparando os dois 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐’s com o 𝐹𝑡𝑎𝑏(2; 18) = 3,55, conclui-se que as médias de alturas de mudas plantadas nos três recipientes não são iguais entre si, tanto para 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 𝑐𝑖𝑡𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑟𝑎 (𝐸1) quanto para 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖𝑠 (𝐸2). Dúvida: Qual é o melhor Recipiente? 43 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Figura 4. Alturas médias de mudas de eucalipto por espécie e recipiente 44 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para completar a análise, podemos comparar as médias das alturas das mudas dos três diferentes recipientes, para cada uma das espé- cies, utilizando o Teste de Tukey ( = 5%). Neste caso tem-se: 𝑑. 𝑚. 𝑠. = 3,61 √1,2828 4 ⁄ = 2,04 cm Alturas médias dos recipientes para cada uma das espécies 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 Recipiente 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑐𝑖𝑡𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑟𝑎 (𝐸1) 25,65 A 25,88 A 20,05 B 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖𝑠 (𝐸2) 25,32 A 19,58 B 21,32 B Médias seguidas por letras diferentes na mesma linha diferem entre si ao nível  = 5% pelo Teste de Tukey. 45 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Conclusões: • Para o 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 𝑐𝑖𝑡𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑟𝑎 (𝐸1) os sacos plásticos pequeno (𝑅1) e grande (𝑅2) proporcionaram mudas mais altas que o saco laminado (𝑅3). • Já para o 𝐸𝑢𝑐𝑎𝑙𝑦𝑝𝑡𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖𝑠 (𝐸2) o saco plástico pequeno (𝑅1) proporcionou o desenvolvimento de mudas mais altas que o saco plástico grande (𝑅2) e o saco laminado (𝑅3). Perceba que essas conclusões confirmam as diferenças indicadas na Figura 4. 46 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Finalizando, vale lembrar que se a hipótese: 𝐻01: não existe interação entre os níveis dos fatores 𝑅 e 𝐸 não fosse rejeitada e concluíssemos que não existe interação entre os níveis dos fatores 𝑅 e 𝐸, deveríamos continuar a análise testando as hipóteses sobre os efeitos principais dos dois fatores, ou seja: Para o efeito principal de 𝑅 (recipientes): 𝐻02: 𝜇1• = 𝜇2• = 𝜇3• 𝐻𝑎2: pelo menos duas médias diferem entre si. Para o efeito principal de 𝐸 (espécies): 𝐻03: 𝜇•1 = 𝜇•2 𝐻𝑎3: as duas médias diferem entre si. 47 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP EXERCÍCIO. Um pesquisador instalou um experimento para avaliar o efeito do horário de colheita e do tipo de colheitadeira na perda de grãos de soja. Para isto foram escolhidos três horários de colheita (H1, H2 e H3) e dois tipos de colheitadeira (T1 e T2). O pesquisador definiu como unidade experimental uma área de 10×20 metros e utilizou um 𝐷𝐼𝐶 com 𝑛 = 5 repetições. Com base nas informações e nos dados fornecidos, pede-se: 𝑎) Realize uma ANOVA completa e os testes adequados na sequência ideal. Comente. 𝑏) Realize o teste de Hartley para a homocedasticidade. 𝑐) Identifique o horário de colheita em que ocorreu a menor perda de grãos usando o teste de Tukey. 𝑑) Com qual tipo de colheitadeira ocorreu maior média de perda de grãos? Use o teste de Duncan, se necessário. 48 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Perda de grãos de soja (𝑘𝑔/ℎ𝑎) por tipo de colheitadeira e horário de colheita Colheitadeira T1 T2 Horário H1 H2 H3 H1 H2 H3 35 43 52 54 67 71 40 41 57 58 59 73 45 47 58 56 62 74 49 38 56 61 65 77 39 48 59 59 64 75 Total 208 217 282 288 317 370 49 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Croqui do ensaio