Slide - Estática dos Fluidos - Mecânicados Fluidos 1 - 2023-2

Est´atica dos Fluidos PME 3230 - Mecˆanica dos Fluidos I PME/EP/USP Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico 2◦ Semestre de 2023 Conteúdo da Aula Introduc¸ ˜ao Uma vez que um fluido ´e definido como sendo um meio material incapaz de resistir a qualquer valor de tens˜ao de cisalhamento, segue-se que para um fluido em repouso (est´atico) somente tens˜oes normais podem estar presentes. A press˜ao que se encontra num fluido em repouso tem muitas aplicac¸ ˜oes pr´aticas que v˜ao desde c´alculos de forc¸as sobre objetos submersos, instrumentac¸ ˜ao para medic¸ ˜ao de press˜ao at´e deduc¸ ˜ao de propriedades associadas `a atmosfera e aos oceanos. Os mesmos princ´ıpios poder˜ao ser utilizados para determinar forc¸as envolvidas em sistemas hidr´aulicos, como prensas, freios de autom´oveis, etc. Conceito de Press˜ao Parte-se de uma situac¸ ˜ao generalizada: um fluido perfeito (n˜ao est˜ao presentes tens˜oes de cisalhamento) escoando pode ser analisado por meio de um elemento de fluido de forma arbitr´aria, como ilustrado na figura abaixo. σnn σzz σyy ρ. g.dV α α dy dz ds y z x dx Conceito de Press˜ao Aplicando a 2a Lei de Newton nas direc¸ ˜oes z e y: Direc¸ ˜ao z: dFz = dFzz + dFn + dFm = dm.az onde dFzz ´e devida `a σzz; dFn ´e devida a σnn; e dFm ´e devida `a massa (forc¸a peso). −σzz.dx.dy +σnn.ds.dx.senα−ρ.g.dV = ρ.dV.az Uma vez que dV = [(dy.dz)/2].dx e senα = dy/ds, segue-se que: −σzz.dx.dy +σnn · ds · dx · dy ds −ρ· g · dx.dy.dz 2 = ρ.dx.dy.dz 2 .az Dividindo por dx.dy e rearranjando, σnn = σzz +ρ· g · dz 2 +ρ· dz 2 · az = σzz +ρ· dz 2 ·(g + az) como dz ´e infinitesimalmente pequeno, segue-se que σnn = σzz Conceito de Press˜ao Direc¸ ˜ao y: −σyy.dx.dz +σnn.ds.dx.cosα = ρ.dV.ay Uma vez que dV = [(dy.dz)/2].dx e cosα = dz/ds, segue-se que: −σyy.dx.dz +σnn · ds · dx · dz ds = ρ.dx.dy.dz 2 .ay Dividindo por dx.dz e rearranjando, σnn = σyy +ρ· dy 2 · ay como dy ´e infinitesimalmente pequeno, segue-se que σnn = σyy Analogamente, para a direc¸ ˜ao x, a mesma conclus˜ao seria obtida: σnn = σxx. Conceito de Press˜ao Assim, para o escoamento de fluido perfeito (inv´ıscido), a tens˜ao normal em um ponto ´e a mesma em todas as direc¸ ˜oes. Ela ´e, portanto, uma grandeza escalar. A tens˜ao normal em um escoamento de fluido perfeito ´e igual `a press˜ao termodinˆamica com sinal contr´ario: σnn = −p Para a situac¸ ˜ao do fluido em repouso, az = ay = 0 e os resultados obtidos continuam v´alidos: σzz = σyy = σxx = σnn = −p. H´a dois modos de interpretar a propriedade press˜ao: (1) escala microsc´opica onde cada mol´ecula ´e considerada individualmente; ou (2) escala macrosc´opica onde ´e o conjunto de mol´eculas que determina o comportamento m´edio do meio cont´ınuo. Conceito de Press˜ao Do ponto de vista microsc´opico, o fluido ´e composto por um grande n´umero de mol´eculas movendo-se de forma randˆomica e, frequentemente, colidindo-se umas contra as outras e contra as paredes do reservat´orio que as cont´em. Durante estas colis˜oes h´a mudanc¸a de velocidade das part´ıculas e, consequentemente, mudanc¸a de quantidade de movimento. Assim, a press˜ao num fluido (segundo este ponto de vista) ´e uma medida a quantidade de movimento linear m´edio do mol´eculas no fluido. Do ponto de vista macrosc´opico a press˜ao de fluido ´e uma vari´avel (propriedade) de estado, como a temperatura e a massa espec´ıfica, e a mudanc¸a da propriedade press˜ao durante um processo ´e governada pelas leis da termodinˆamica. A Equac¸ ˜ao B´asica de Est´atica dos Fluidos Considere o elemento de fluido em repouso mostrado na figura abaixo. Para este elemento, a forc¸a de campo (peso, associada ao campo gravitacional) ´e dada por: d⃗Fc =⃗g.dm =⃗g.ρ.dV =⃗g.ρ.dx.dy.dz A Equação Básica de Estática dos Fluidos A força de superfície resultante (devida à pressão atuante nas faces do elemento) pode ser escrita por: d\overrightarrow{F_s} = \begin{bmatrix} \left( p - \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \frac{dx}{2} \right) \cdot dy \cdot dz - \left( p + \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \frac{dx}{2} \right) \cdot dy \cdot dz \right] \cdot \overrightarrow{i} \\ \left( p - \frac{\partial p}{\partial y} \cdot \frac{dy}{2} \right) \cdot dx \cdot dz - \left( p + \frac{\partial p}{\partial y} \cdot \frac{dy}{2} \right) \cdot dx \cdot dz \right] \cdot \overrightarrow{j} \\ \left( p - \frac{\partial p}{\partial z} \cdot \frac{dz}{2} \right) \cdot dx \cdot dy - \left( p + \frac{\partial p}{\partial z} \cdot \frac{dz}{2} \right) \cdot dx \cdot dy \right] \cdot \overrightarrow{k} \end{bmatrix} \\ d\overrightarrow{F_s} = - \left( \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} + \frac{\partial p}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} + \frac{\partial p}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} \right) \cdot dx \cdot dy \cdot dz \\ \therefore d\overrightarrow{F_s} = - \overrightarrow{\nabla} p \cdot dx \cdot dy \cdot dz A Equação Básica de Estática dos Fluidos A força resultante sobre o elemento será a soma da força de campo e de superfície: d\overrightarrow{F_R} = d\overrightarrow{F_c} + d\overrightarrow{F_s} = \left( - \overrightarrow{\nabla} p + \rho \cdot \overrightarrow{g} \right) \cdot dx \cdot dy \cdot dz = \left( - \overrightarrow{\nabla} p + \rho \cdot \overrightarrow{g} \right) \cdot dV \\ \frac{d\overrightarrow{F_R}}{dV} = - \overrightarrow{\nabla} p + \rho \cdot \overrightarrow{g} \\ Para o fluido em repouso esta força resultante deve ser nula. \\ Conclui-se, portanto, que: \\ - \overrightarrow{\nabla} p + \rho \cdot \overrightarrow{g} = 0 \\ Como a aceleração da gravidade só atua em uma direção, no caso do elemento ilustrado na direção do eixo Oz (g_z = -g), segue-se que a equação vetorial acima, decomposta, resulta em: \\ \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ; \frac{\partial p}{\partial y} = 0 ; \frac{\partial p}{\partial z} = - \rho \cdot g = - \gamma Medic¸ ˜ao da Press˜ao pabs = 0 pman, 2 pabs,2 pman, 1 pabs,1 patm pabs > 0 sempre pman, 1 > 0 pman, 2 < 0 patm pabs é uma pabs patm pman = + p 1 2 Subscritos: abs ≡ absoluta; man ≡ manom´etrica; atm ≡ atmosf´erica. Atmosfera Padr˜ao Em aviac¸ ˜ao o estabelecimento de uma atmosfera (fict´ıcia) padr˜ao ´e importante para que se tenha um padr˜ao de comparac¸ ˜ao e de referˆencia. Um dos padr˜oes utilizados ´e a atmosfera padr˜ao americana, ilustrada na figura ao lado. ´E importante salientar que esta atmosfera n˜ao ´e real, mas ´e uma tentativa de reproduc¸ ˜ao da atmosfera real dentro de certos limites observ´aveis de correlac¸ ˜ao com esta. Na atmosfera padr˜ao americana, ao n´ıvel do mar, tem-se: 15 ◦C; 101,3 kPa; 1,225 kg/m3; e 1,789× 10−5 Pa.s. Variação da Pressão em Um Fluido Estático Tomando a equação deduzida anteriormente: \frac{\partial p}{\partial z} = - \rho . g = - \gamma e integrando-a dentro dos limites (ver figura ao lado) estabelecidos, para um fluido incompressível, resulta: \int_{p(z)}^{p_{0}} dp = - \gamma \int_{z = -h}^{0} dz p_{0} - p(z) = - \gamma [0 - (-h)] p(z) = p_{0} + \gamma . h = p_{0} + \rho . g . h Lei de Stevin Variac¸ ˜ao da Press˜ao em Um Fluido Est´atico Princ´ıpio dos vasos comunicantes: A press˜ao ´e igual num mesmo fluido incompress´ıvel em repouso, na mesma cota, sem soluc¸ ˜ao de continuidade. Medic¸ ˜ao da Press˜ao Atmosf´erica h MORAN: Thermal Systems Engineering Fig. 11.4 W-231 pvapor A patm B Mercury Inicialmente em v´acuo (pabs ≈ 0) o tubo ´e mergulhado num recipiente com merc´urio. A press˜ao atmosf´erica atuante na superf´ıcie do recipinete empurra a coluna de merc´urio para cima. No equil´ıbrio a press˜ao atmosf´erica suporta a coluna de merc´urio. A altura da coluna ´e uma indicac¸ ˜ao da press˜ao atmosf´erica local. O merc´urio ´e muito utilizado em barˆometros, uma vez que a sua press˜ao de vapor ´e baix´ıssima. Assim, independente da temperatura ambiente, a contra-press˜ao que o vapor de m´ercurio faz no sentido de empurrar a coluna de merc´urio para baixo ´e insignificante e pode ser desprezada: patm = pvapor +γ.h = γ.h Variação da Pressão na Atmosfera Padrão Americana Gases, por serem compressíveis, apresentarão variação da sua massa específica com a variação da pressão. Como a pressão num meio fluido estático varia com a altura, segue-se que para gases haverá variação da sua massa específica com a altura. Considerando ar atmosférico como gás ideal: dp = - \rho . g . dz = - \frac{p . g}{R . T} \cdot dz = - \frac{p . g}{R . (T_{0} - m . z)} \cdot dz onde T = T_{0} - m . z é um modelo de variação de T com a altura z nos primeiros 11 km da atmosfera padrão americana. O símbolo m é a razão de decréscimo de T(z) [coeficiente angular da reta T = f(z)]. Procedendo à integração desde p = p_{0} em z = 0 até uma pressão p e altura z genéricos, obtém-se: \int_{p_{0}}^{p} \frac{dp}{p} = - \int_{0}^{z} \frac{g}{R . (T_{0} - m . z)} \cdot dz O resultado é: p = p_{0} \cdot \left( 1 - \frac{m . z}{T_{0}} \right)^{\frac{g / m . R}{g / m . R}} p = p_{0} \cdot \left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{\frac{g / m . R}{g / m . R}} Medidores de Press˜ao: Manˆometro em U Figura: Manˆometro em U aberto. Figura: Manˆometro em U diferencial. Medidores de Press˜ao: Manˆometros Inclinado e de Bourdon Medidores de Press˜ao: Manˆometro de Bourdon Figura: Esquema bourdon. Figura: Bourdon com transformador linear diferencial. Medidores de Press˜ao: Transdutores Figura: A press˜ao provoca deflex˜ao do diafragma e ´e medida pelo extensˆometro conectado ao eixo. Figura: Diferencial: A deflex˜ao modifica a capacitˆancia da cavidade. Exerc´ıcio 1 Enunciado: Para mostrar o efeito das dimens˜oes dos manˆometros considere a figura abaixo. Os reservat´orios A e B s˜ao cil´ındricos e est˜ao sujeitos `a mesma press˜ao nas suas superf´ıcies livres. Suponha que a interface ´agua-´oleo mova-se para cima a uma distˆancia ∆h < h. Nesta situac¸ ˜ao, encontre uma express˜ao para a diferenc¸a de press˜oes nos n´ıveis dos reservat´orios quando: (a) d ≪ D; e (b) d = 0,15.D. Qual a diferenc¸a percentual entre os resultados dos itens (a) e (b)? [White, Ex. 2.34, 4a Edic¸ ˜ao] água óleo SAE 30 A B H h d L D D Exerc´ıcio 2 Enunciado: O tanque cil´ındrico ilustrado na figura abaixo cont´em ´agua e ar a 20 ◦C. A ´agua ´e fornecida por uma bomba que alimenta o tanque na sua parte inferior. No instante ilustrado na figura a press˜ao no compartimento de ar ´e de 110 kPa e H = 35 cm. A bomba interrompe o fornecimento de ´agua quando a press˜ao na ´agua no n´ıvel da sua descarga para o tanque for de 175 kPa. Nesta situac¸ ˜ao final, determine o valor de H. [White, Ex. 2.47, 4a Edic¸ ˜ao] 20 C o bomba água ar 75 cm 50 cm H Exerc´ıcio 3 Enunciado: Um manˆometro de reservat´orio com tubo inclinado ´e constru´ıdo como mostrado na figura abaixo. Analise o manˆometro para obter uma express˜ao geral para a deflex˜ao do l´ıquido, L, no tubo inclinado, em termos da diferenc¸a de press˜ao aplicada, ∆p. Obtenha, tamb´em, uma express˜ao geral para a sensibilidade do manˆometro. [Fox, McDonald e Pritchard, Ex. 3.2, 6a Edic¸ ˜ao] Exerc´ıcio 4 Enunciado: ´Agua flui para baixo ao longo de um tubo inclinado de 30◦ em relac¸ ˜ao `a horizontal conforme mostrado na figura. A diferenc¸a de press˜ao pA − pB ´e causada parcialmente pela gravidade e parcialmente pelo atrito. Obtenha uma express˜ao alg´ebrica para a diferenc¸a de press˜ao citada. Calcule esta diferenc¸a se L = 5 p´es e h = 6′′. [Fox, McDonald e Pritchard, 3.24, 6a Edic¸ ˜ao] Exerc´ıcio 5 Enunciado: As duas extremidades do manˆometro de merc´urio em U mostrado na figura ao lado est˜ao inicialmente abertas para a atmosfera e sob a ac¸ ˜ao da atmosfera padr˜ao. Quando a v´alvula no topo da perna direita ´e aberta o n´ıvel de merc´urio abaixa hi. Ap´os isto, a v´alvula ´e fechada e ar comprimido ´e aplicado na perna esquerda do manˆometro. Determine a relac¸ ˜ao entre a leitura diferencial do manˆometro e a press˜ao aplicada na perna esquerda do manˆometro, pg. Mostre, num gr´afico, como a leitura diferencial varia com pg para hi = 25, 50, 75 e 100 mm e na faixa 0 ⩽ pg ⩽ 300 kPa. Admita que a temperatura do ar aprisionado no manˆometro permanece constante. [Munson, 2.39, 4a Edic¸ ˜ao] Exerc´ıcio 6 Enunciado: A leitura diferencial no manˆometro inclinado mostrado na figura abaixo ´e de 50 mm. Determine a nova leitura diferencial no manˆometro se a press˜ao em A aumentar em 10 kPa e a press˜ao em B permanecer a mesma. O fluido em A tem densidade de 0,9 e o fluido em B ´e ´agua. [Munson, 2.45, 4a Edic¸ ˜ao] Exerc´ıcio 7 Enunciado: ´Agua escoa no interior dos tubos A e B. ´Oleo lubrificante (SG = 0,88) est´a na parte superior do tubo em U invertido. Merc´urio (SG = 13,6) est´a na parte inferior dos dois tubos em U. Determine a diferenc¸a de press˜ao, pA − pB, em kPa. [Fox, McDonald e Pritchard, Ex. 3.3, 6a Edic¸ ˜ao]. Exerc´ıcio 8 Enunciado: Os compartimentos A e B do reservat´orio mostrado na figura abaixo cont´em ar e um l´ıquido que apresenta densidade igual a 0,6. Determine a altura h indicada no manˆometro sabendo que a press˜ao atmosf´erica vale 101,3 kPa. Observe que o manˆometro instalado no compartimento A indica que a press˜ao no ar ´e igual a 3,5 kPa. [Munson, 2.33, 4a Edic¸ ˜ao]. Exerc´ıcio 9 Enunciado: Um tanque repartido cont´em ´agua e merc´urio (SG = 13,6) conforme mostrado na figura. Qual ´e a press˜ao manom´etrica do ar preso na cˆamara esquerda? A que press˜ao deveria o ar da cˆamara esquerda ser comprimido de modo a levar a superf´ıcie da ´agua para o mesmo n´ıvel da superf´ıcie livre na cˆamara direita? [Fox, McDonald e Pritchard, 3.15, 6a Edic¸ ˜ao]. Exerc´ıcio 10 Enunciado: A figura abaixo mostra uma casca hemisf´erica cheia de ar que est´a presa no fundo do oceano (profundidade igual a 10 m). Um barˆometro localizado dentro da casca hemisf´erica apresenta uma coluna de merc´urio com altura de 765 mm e o manˆometro em U mostrado na figura indica uma leitura diferencial de 735 mm de merc´urio. Utilizando estes dados, determine qual o valor da press˜ao atmosf´erica na superf´ıcie livre do oceano. [Munson, 2.38 , 4a Edic¸ ˜ao]. Exerc´ıcio 11 Enunciado: Para o manˆometro de tubo inclinado da figura abaixo, sabendo-se que o fluido em A e B ´e ´agua, que pA = 0,6 psi, e que o fluido do manˆometro possui densidade de 2,6, calcule a press˜ao no pondo B. [Munson, 2.32 , 4a Edic¸ ˜ao]. Exerc´ıcio 12 Enunciado: Um tanque cil´ındrico fechado preenchido com ´agua tem um domo hemisf´erico e est´a conectado a uma tubulac¸ ˜ao invertida conforme mostra a figura abaixo. O l´ıquido na parte superior da tubulac¸ ˜ao tem densidade relativa de 0,8. As demais partes do sistema est˜ao preenchidas com ´agua. Se a leitura do manˆometro ´e de 60 kPa, determine: (a) a press˜ao no tubo B; and (b) a press˜ao no ponto C em mmHg. [Munson, 2.29 , 6a Edic¸ ˜ao].