Slide - Introdução à Mecânica dos Fluidos - Mecânicados Fluidos 1 - 2023-2

Introduc¸ ˜ao `a Mecˆanica dos Fluidos PME 3230 - Mecˆanica dos Fluidos I PME/EP/USP https://edisciplinas.usp.br/course/view.php?id=102619 Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico 2◦ Semestre de 2023 Conte´udo da Aula Noc¸ ˜oes Preliminares Propriedades F´ısicas dos Fluidos Descric¸ ˜ao e Classificac¸ ˜ao dos Movimentos dos Fluidos Exerc´ıcios Definic¸ ˜ao de Fluido 1 - Fluido ´e definido como a susbstˆancia que deforma continuamente quando submetida a uma tens˜ao de cisalhamento de qualquer valor. (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004) 2 - Fluido ´e o meio material que escoa e se deforma continuamente, enquanto uma tens˜ao de cisalhamento permanece aplicada. (WHITE, 2002) 3 - Fluido ´e um meio material cont´ınuo e deform´avel formado por uma infinidade de part´ıculas para as quais ´e imposs´ıvel o equil´ıbrio quando submetidas em suas faces a tens˜oes tangenciais n˜ao nulas ⇒ Quando um fluido est´a em repouso s´o h´a tens˜oes normais de compress˜ao. Fluido como Meio Cont´ınuo As mol´eculas est˜ao em constante movimento! A variac¸ ˜ao das propriedades em um fluido tomado como meio cont´ınuo ´e t˜ao suave que os c´alculos diferenciais podem ser usados para analisar a substˆancia. (WHITE, 2002): δV ′ ∼ 10−9 mm3. Noc¸ ˜oes de Tens˜ao e Press˜ao (FOX; MCDONALD; PRITCHARD, 2006): Cada part´ıcula fluida pode sofrer a ac¸ ˜ao de forc¸as de superf´ıcie (devidas `a press˜ao e atrito), que s˜ao geradas pelo contato com outras part´ıculas ou com superf´ıcies s´olidas, e forc¸as de campo ou de corpo (devidas a campos tais como gravitacional e eletromagn´etico) que agem a distˆancia nas part´ıculas. Forc¸as de superf´ıcie agindo sobre as part´ıculas geram tens˜oes. Num fluido essas tens˜oes est˜ao associdas majoritariamente ao seu movimento. Num s´olido n˜ao necessariamente (deflex˜ao ´e um estado de tens˜ao num s´olido sem movimento). Noções de Tensão e Pressão tensão normal: σₙ = lim(δAₙ→0) δFₙ/δAₙ; tensão de cisalhamento: τₙ = lim(δAₙ→0) δFₜ/δAₙ A orientação de δA é dada pelo vetor unitário, n̂, normal à superfície sempre apontando para fora dela. Noc¸ ˜oes de Tens˜ao e Press˜ao Press˜ao, p [N/m2 ≡ Pa no SI], ´e o resultado da distribuic¸ ˜ao de tens˜oes normais, σ, de compress˜ao atuando num elemento fluido. Tens˜oes de cisalhamento, τ [N/m2 ≡ Pa no SI], s˜ao tens˜oes tangenciais. τi,j ≡ τplano,eixo. τi,j > 0 quando tanto o plano como o eixo no qual atua s˜ao ambos positivos ou negativos. Mais adiante no curso o estado de tens˜oes num elemento fluido ser´a tratado com maior rigor. Massa, Volume e Peso Espec´ıficos; Densidade A massa espec´ıfica, ρ [kg/m3 no SI], ´e definida como a quantidade de massa de uma determinada substˆancia contida numa unidade de volume. A chamada densidade, tamb´em cohecida por SG (specific gravity) ´e a raz˜ao entre a massa espec´ıfica do fluido e a massa espec´ıfica da ´agua a 4 ◦C: SG = ρ ρH2O @ 4 ◦C = ρ 1000 O volume espec´ıfico, v [m3/kg no SI], de um fluido ´e dado pelo inverso da sua massa espec´ıfica: v = 1/ρ. Finalmente, o peso espec´ıfico, γ [N/m3 no SI], de um fluido ´e definido como o peso da substˆancia contida numa unidade de volume: γ = ρ.g, onde g ´e o m´odulo da acelerac¸ ˜ao da gravidade local. Lei dos Gases Perfeitos A equac¸ ˜ao de estado (relac¸ ˜ao entre press˜ao e temperatura absolutas e volume) de uma g´as perfeito ´e dada por: p.V = n.R.T onde n ´e o n´umero de moles; V ´e o volume; R ´e a constante universal (= 8314 J/kmol.K); e T a temperatura absoluta. Recordando que n = m/M (m sendo a massa do g´as e M sua massa molecular), ent˜ao: p.V = m M · R.T ⇒ p.V = m.R.T p.v = R.T ; p = ρ.R.T onde R ´e a constante do g´as espec´ıfico. Ex: para ar M = 28,9645 g/mol = 28,9645 kg/kmol, segue-se que R = 8314/28,9645 = 287 J/kg.K. Compressibilidade dos Fluidos O módulo de elasticidade volumétrico, Eᵥ [N/m² no SI], é a propriedade do fluido utilizada para caracterizar sua compressibilidade: Eᵥ = -V · (dp/dV)ₜ como dp/dV < 0 para os fluidos, o sinal negativo é acrescentado à definição para que Eᵥ > 0. Uma vez que m = ρ·V, segue-se que, para gases perfeitos (p·V = m·R·T): Eᵥ = ρ · (dp/dρ)ₜ Fluidos incompressíveis possuem Eᵥ da ordem de giga-pascal (GPa): é necessária uma grande variação de pressão para uma criar uma pequena variação de volume em líquidos. Para gases o efeito é exatamente o contrário... Press˜ao de Vapor L´ıquidos tendem a evaporar quando expostos a uma atmosfera gasosa. Considere uma mistura de l´ıquido, g´as e vapor da substˆancia do l´ıquido. Chamando ppg a press˜ao parcial do g´as (tudo o que n˜ao ´e o vapor do l´ıquido); ppv a press˜ao parcial do vapor do l´ıquido, a press˜ao total, pt, da mistura gasosa ser´a: pt = ppg + ppv. Numa condic¸ ˜ao de equil´ıbrio o n´umero de mol´eculas por unidade de tempo que vaporizam ´e igual ao n´umero de mol´eculas por unidade de tempo condensam. Neste estado ppv = pv, onde pv ´e chamada press˜ao de vapor (ou de saturac¸ ˜ao). Esta press˜ao ´e func¸ ˜ao da temperatura e seu comportamento ´e do tipo dpv/dT > 0. Ebulic¸ ˜ao ocorre quando pv > press˜ao na superf´ıcie do l´ıquido. Um l´ıquido que se caracteriza por ter pv elevada ´e chamado de vol´atil. Para mantˆe-lo l´ıquido ´e, ent˜ao, necess´ario armazen´a-lo em recipientes `a alta press˜ao. Ex: CO2, gasolina, etc. Cavitac¸ ˜ao Cavitac¸ ˜ao ´e o fenˆomeno que ocorre quando h´a reduc¸ ˜ao brusca da press˜ao sobre um fluido tal que esta press˜ao passa a ser menor que a press˜ao de vapor do fluido na temperatura espec´ıfica. Neste estado o fluido entra em ebulic¸ ˜ao. Na sequˆencia h´a aumento da press˜ao acima da press˜ao de vapor e as bolhas se colapsam causando micro-jatos na sua vizinhanc¸a. A cavitac¸ ˜ao causa vibrac¸ ˜oes nas estruturas; desgaste ou eros˜ao de superf´ıcies s´olidas; reduc¸ ˜ao do rendimento de bombas e turbinas, entre outros efeitos indesej´aveis. Tens˜ao Superficial Superf´ıcies l´ıquidas livres mostram uma variedade de fenˆomenos que podem ser reduzidos `a mesma causa: a tendˆencia da superf´ıcie tornar-se t˜ao pequena quanto for poss´ıvel. O fato de que um l´ıquido, isento de forc¸as externas, adquira uma forma esf´erica, pode ser atribu´ıdo `a propriedade da superf´ıcie em buscar a m´ınima ´area para um dado volume. A causa deste efeito ´e devida `a forc¸a molecular assim´etrica entre as mol´eculas da superf´ıcie do l´ıquido. Enquanto dentro do l´ıquido as forc¸as moleculares compensam-se, as mol´eculas da superf´ıcie experimentam uma forc¸a dirigida para dentro previnindo o seu escape. Como resultado a superf´ıcie tem a tendˆencia a tornar-se t˜ao pequena quanto poss´ıvel. Este fenˆomeno tamb´em ocorre na interface entre l´ıquidos imisc´ıveis. Tens˜ao Superficial .ds2 σ σ .ds1 σ .ds1 .ds2 σ Figura: Aqui leia-se C ≡ σ. A tens˜ao superficial, σ [N/m no SI], ´e a mesma em qualquer parte de uma superf´ıcie l´ıquida e, em qualquer ponto dado, sua direc¸ ˜ao est´a no plano que tangencia a superf´ıcie naquele ponto; σ ´e a forc¸a por unidade de comprimento de um corte na superf´ıcie l´ıquida. Se trac¸armos o diagrama de forc¸as perpendicular a ds2 ent˜ao, uma vez que ds1 = r1.dα, a forc¸a resultante perpendicular ser´a: σ.ds2.dα = σ· ds2 · ds1 r1 uma vez que para ˆangulos muito pequenos, sen(dα) = dα. Analogamente, a forc¸a perpendicular a ds1 ser´a σ.ds1.(ds2/r2). Tensão Superficial Para equilíbrio: a soma desas duas forças deve ser balanceada pela diferença de pressão na área ds1.ds2: ΔFp = Δp.ds1.ds2 Como, σ · ds2 · ds1/r1 + σ · ds1 · ds2/r2 = ΔFp segue-se que, Δp = σ · (1/r1 + 1/r2) A pressão é maior sempre no lado côncavo da superfície. A equação acima é independente da direção na qual o elemento retangular é tomado. Tens˜ao Superficial A tens˜ao superficial entre dois corpos 1 e 2, rigorosamente falando, deve ser escrita como σ1,2. Considere a figura abaixo: 1 ´e l´ıquido, 2 ´e ar e 3 s´olido. σ12 σ13 σ23 Figura: Aqui leia-se C ≡ σ. σ1,2.cosα+σ1,3 = σ2,3 (⋆) Se σ2,3 −σ1,3 < 0 ⇒ α > π/2: diz-se que o l´ıquido n˜ao molha o s´olido (Ex: Hg no vidro); se σ2,3 −σ1,3 < σ1,2 ⇒ α < π/2: diz-se que o l´ıquido molha o s´olido, pois (⋆) j´a n˜ao pode ser satisfeita: n˜ao haver´a equil´ıbrio e o ponto P mover-se-´a para a direita continuamente. Ex: ´oleo em ´agua forma uma pel´ıcula fina e esparramada. Tens˜ao Superficial A press˜ao em qualquer ponto de um l´ıquido 1, de massa espec´ıfica ρ1, e a press˜ao em qualquer ponto de um l´ıquido 2, de massa espec´ıfica ρ2, s˜ao dadas por p1 = patm −ρ1.g.z e p2 = patm −ρ2.g.z. Para z = 0 ⇒ p1 = p2. Por outro lado, a se houver diferenc¸a de press˜ao, p1 − p2 = ∆p, ent˜ao ∆p = (ρ1 −ρ2).g.z. Aplicando este ao resultado anterior para ∆p: 1 r1 + 1 r2 = (ρ1 −ρ2).g.z σ1,2 os raios r1 e r2 ser˜ao positivos se: (1) a interface ´e cˆoncava na direc¸ ˜ao ascendente; (2) o l´ıquido 2 estando sobre o l´ıquido 1 com ρ2 < ρ1, caso contr´ario se ρ2 > ρ1, a interface ´e convexa Capilaridade Do resultado anterior, se for assumido que o menisco tem raio de curvatura a, e forc¸a superficial ao longo do per´ımetro do menisco, 2.π.a, ´e balanceada pelo peso da coluna ∆h de l´ıquido: 2.π.a.σ1,2.cosθ = π.a2.(ρ1 −ρ2).g.∆h ∆h = 2.σ1,2.cosθ (ρ1 −ρ2).g.a Para θ > π/2 ⇒ ∆h < 0. Ex: Merc´urio e tubo capilar. Para θ < π/2 ⇒ ∆h > 0. Ex: ´Agua em tubo capilar. Viscosidade τyx = lim δAy→0 δFx δAy = dFx dAy Durante um intervalo δt o elemento fluido ´e deformado de MNOP para M’NOP’. taxa de deformac¸ ˜ao = lim δt→0 δα δt = dα dt Pode-se expressar a distˆancia δl por: δl = δu.δt ; alternativamente para pequenos ˆangulos: δl = δy.δα Igualando essas duas express˜oes para δl e tomando o limite das raz˜oes: δα δt = δu δy ∴ dα dt = du dy Importante: a taxa de deformac¸ ˜ao (taxa de cisalhamento), dα/dt, pode ser expressa em func¸ ˜ao de quantidades mais f´aceis de serem medidas: du/dy. Viscosidade Quando a tens˜ao de cisalhamento ´e diretamente proporcional `a taxa de cisalhamento o fluido ´e dito Newtoniano, caso contr´ario ´e dito n˜ao-Newtoniano. Portanto, para fluido newtoniano: τyx ∝ du dy O coeficiente de proporcionalidade que completa a relac¸ ˜ao acima ´e conhecido como viscosidade absoluta (ou dinˆamica) do fluido, tem como s´ımbolo a letra grega µ e unidade no SI [N.s/m2 ≡ Kg/m.s ≡ Pa.s]. Assim, para um fluido newtoniano pode-se escrever, finalmente: τyx = µ· du dy Em mecˆanica dos fluidos, ocorre com freqˆencia a raz˜ao µ/ρ. Assim, designa-se esta raz˜ao por viscosidade cinem´atica; s´ımbolo grego ν e unidade no SI [m2/s]. Reologia Para fluidos n˜ao-newtonianos a inclinac¸ ˜ao da curva em func¸ ˜ao da taxa de deformac¸ ˜ao ´e conhecida como viscosidade aparente, µap. Para fluidos newtonianos esta viscosidade ´e sempre igual `a viscosidade absoluta. Pl´astico de Binghan: este material n˜ao ´e nem um fluido nem um s´olido! Ele resiste `a tens˜ao de cisalhemanto at´e um determinado limite. A partir dai comec¸a a escoar como um fluido newtoniano. Ex: pasta de dente, maionese. Pseudopl´astico: nestes fluidos a viscosidade (aparente) diminui `a medida que a taxa de cisalhamento aumenta. Ex: tinta l´atex, soluc¸ ˜oes de pol´ımeros em geral. Dilatante: comportamento contr´ario ao do pseudopl´astico: µap ↑ com ↑ du/dy. Ex: mistura de ´agua com Maizena; areia movedic¸a. Descric¸ ˜ao e Classificac¸ ˜ao dos Movimentos dos Fluidos Em sala de aula ser´a feito breve coment´ario sobre os seguintes t´opicos: ▶ Fluidos Viscosos e N˜ao-viscosos; ▶ Escoamentos Laminar e Turbulento; ▶ Escoamentos Compress´ıvel e Incompress´ıvel; ▶ Escoamentos Interno e Externo. Exerc´ıcio de Aula 1 Enunciado: Uma cinta de 60 cm de largura move-se a 10 m/s, como mostrado na figura abaixo. Calcule a potˆencia necess´aria, considerando um perfil de velocidade linear em ´agua a 10 ◦C. [(POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014), exerc´ıcio 1.47] Exerc´ıcio de Aula 2 Enunciado: Um cubo s´olido com 152,4 mm de lado, massa de 45,3 kg, desliza sobre uma superf´ıcie inclinada de 30◦ em relac¸ ˜ao `a horizontal. Entre o bloco e a superf´ıcie h´a um filme de ´oleo (µ = 0,819 N.s/m2). Qual a espessura deste filme se a velocidade terminal do bloco ´e de 0,36 m/s? Adote distribuic¸ ˜ao de velocidades linear no filme de ´oleo. Exercício de Aula 3 Enunciado: Determinar a expressão analítica para a distribuição de velocidades de um fluido de viscosidade dinâmica μ, peso específico γ, que escoa num canal de largura infinita inclinado de α em relação à horizontal. A profundidade do fluido no canal é constante e igual a h. O eixo y é orientado da superfície livre para o fundo e é perpendicular a este. (Apostila, exercício 1.3) Exerc´ıcio de Aula 4 Enunciado: Dois discos s˜ao justapostos coaxialmente, face a face, separados por um filme de ´oleo lubrificante de espessura ε pequena e viscosidade absoluta µ. Aplicando-se um conjugado (momento ou torque), C, ao disco 1 este inicia um movimento em torno de seu eixo e atrav´es do fluido viscoso estabelece-se o regime permanente e as velocidades angulares ω1 e ω2, que ficam constantes. Para a condic¸ ˜ao de regime permanente, determine a func¸ ˜ao ω1 −ω2 = f(C,ε,D,µ), onde D ´e o diˆametro dos discos. (Apostila, exerc´ıcio 1.15) Exerc´ıcio de Aula 5 Enunciado: Um eixo de 30 mm de diˆametro (D1) gira em um mancal de diˆametro interno (D2) de 30,1 mm e 60 mm de comprimento (L) com frequˆencia (ω) de 5000 rpm. A esta frequˆencia pode-se supor que a excentricidade seja nula. O lubrificante utilizado ´e ´oleo SAE 30 a 60 ◦C (µ = 0,04 Pa.s). Qual ´e a potˆencia absorvida pelo mecanismo eixo-mancal? (Apostila, exerc´ıcio 1.18) Exerc´ıcio de Aula 6 Enunciado: Determinar a express˜ao da viscosidade absoluta de um fluido quando se opera com um viscos´ımetro de cilindros coaxiais. Admitir ω = cte e considerar linear o perfil de velocidades no fluido. As folgas do fundo e da lateral s˜ao iguais. (Apostila, exerc´ıcio 1.20) Exerc´ıcio de Aula 7 Enunciado: No Brasil, quando dizemos que o pneu de um autom´ovel ”est´a com 32 lb”, queremos dizer que a press˜ao interna do pneu ´e de 32 lbf/pol2 acima da press˜ao atmosf´erica local. Considerando que o pneu est´a ao n´ıvel do mar, tem um volume de 85 L e est´a `a temperatura de 24 ◦C, calcule o peso de ar, em N, no interior do pneu. ((WHITE, 2002), exerc´ıcio 1.26) Exerc´ıcio de Aula 8 Enunciado: O sistema na figura abaixo ´e utilizado para calcular a press˜ao p1 no tanque medindo-se a altura de l´ıquido de 15 cm no tubo de 1 mm de diˆametro. O fluido est´a a 60 ◦C. Calcule a verdadeira altura do fluido no tubo e o erro percentual devido `a capilaridade se o fluido ´e (a) ´agua; ou (b) merc´urio. ((WHITE, 2002), exerc´ıcio 1.65) Exerc´ıcio de Aula 9 Enunciado: Uma agulha cil´ındrica s´olida de diˆametro d, comprimento L e massa espec´ıfica ρa pode flutuar em um l´ıquido de tens˜ao superficial σ. Despreze o empuxo e considere um ˆangulo de contato de 0◦. Deduza uma f´ormula para o diˆametro m´aximo dmax capaz de flutuar no l´ıquido. Calcule dmax para uma agula de ac¸o (d = 7,84) em ´agua a 20 ◦C. ((WHITE, 2002), exerc´ıcio 1.69) Referˆencias Bibliogr´aficas FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introduc¸ ˜ao `a Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1468-5. MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. S˜ao Paulo: Bl¨ucher, 2004. ISBN 978-85-212-0343-8. POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. S˜ao Paulo: Bl¨ucher, 2014. ISBN 978-85-221-1568-6. WHITE, F. M. Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: McGraw Hill, 2002. ISBN 978-85-868-0424-3.