Slide - Semelhança Análise Dimensional e Modelos - Mecânicados Fluidos 1 - 2023-2

Semelhanc¸a, An´alise Dimensonal e Modelos PME 3230 - Mecˆanica dos Fluidos I PME/EP/USP https://edisciplinas.usp.br/course/view.php?id=102619 Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico 2◦ Semestre de 2023 Conte´udo da Aula Introduc¸ ˜ao An´alise Dimensional Teorema de Buckingham para Termos Π Principais Grupos Adimensionais em Mecˆanica dos Fluidos Modelagem e Semelhanc¸a Exerc´ıcios Introduc¸ ˜ao A Mecˆanica dos Fluidos ´e uma ciˆencia extremamente dependente da investigac¸ ˜ao experimental. As teorias de semelhanc¸a, an´alise dimensional e modelagem permitem que ensaios em modelos (realizados em laborat´orio) possam ser aplicados em escalas reais. A amplificac¸ ˜ao dos resultados com modelos possuem limitac¸ ˜oes, mas trazem sempre resultados que auxiliam na an´alise de problemas complexos. Exemplo Introdut´orio V, ρ, µ D Considere o escoamento ao redor de uma esfera. Deseja-se saber como a forc¸a de arrasto aerodinˆamico ´e influenciada pelas vari´aveis: velocidade, V, massa espec´ıfica, ρ, e viscosidade, µ, do fluido e pelo diˆametro, D, da esfera. Quantos experimentos ser˜ao necess´arios? Quanto tempo para realiz´a-los? Quais ser˜ao as principais dificuldades para sua realizac¸ ˜ao? E se V, ρ, µ e D pudessem ser agloremados num ´unico parˆametro? Dimens˜oes Toda grandeza f´ısica possui uma informac¸ ˜ao qualitativa (unidade de medida) e uma quantitativa (valor num´erico). Ex: 75 m/s → 75 ´e a informac¸ ˜ao quantitativa e m/s ´e a informac¸ ˜ao qualitativa. A informac¸ ˜ao qualitativa possui grandeza prim´aria quando ´e expressa em unidades de medidas fundamentais: m, kg, s, K, ... no SI; ou secund´aria quando ´e expressa em unidades de medidas derivadas (combinadas) das fundamentais: m/s, kg/m3, N, J, Pa, ... no SI. Premissas para Aplicac¸ ˜ao da An´alise Dimensional Homogeneidade Dimensional: Toda equac¸ ˜ao que envolve vari´aveis f´ısicas deve ter a mesma unidade de medida em ambos os lados do sinal de igualdade. Ex: W = p∆V ∴ N.m = (N/m2) . m3 ⇒ N.m = N.m. Ou, simbolicamente, F.L = (F.L−2).L3 ⇒ F.L = F.L A an´alise dimensional s´o tem sentido quando o n´umero de vari´aveis adimensionais necess´arias para descrever o fenˆomeno f´ısico for menor que o n´umero de vari´aveis f´ısicas dimensionais envolvidas no fenˆomeno. Teorema de Buckingham para Termos Π Se uma equac¸ ˜ao envolvendo k vari´aveis for dimensionalmente homogˆenea, ela pode ser reduzida a uma relac¸ ˜ao entre k −r produtos dimensionais independentes, onde r ´e o n´umero m´ınimo de dimens˜oes b´asicas necess´arias para descrever as vari´aveis (Munson). ´E comum em an´alise dimensional usar o s´ımbolo Π (pi grego mai´usculo) para representar um produto de vari´aveis dimensionais cujo resultado seja adimensional. M´etodo da Repetic¸ ˜ao de Vari´aveis 1. Liste todas as vari´aveis que est˜ao envolvidas no problema (determinac¸ ˜ao de k); 2. Represente cada uma das vari´aveis em termos das dimens˜oes b´asicas (determinac¸ ˜ao de r); 3. Determine o n´umero necess´ario de termos Π (k − r); 4. Escolha as vari´aveis de repetic¸ ˜ao, onde o n´umero necess´ario ´e igual ao n´umero de dimens˜oes b´asicas; 5. Forme um termo Π multiplicando uma das vari´aveis n˜ao repetidas pelo produto das vari´aveis de repetic¸ ˜ao, cada uma delas elevada a um expoente que torne a combinac¸ ˜ao adimensional; 6. Repita o passo 5 para cada uma das vari´aveis n˜ao repetidas remanescentes; 7. Verifique todos os termos Π resultantes cuidadosamente para ter certeza de que eles sejam adimensionais; 8. Represente a forma final como uma relac¸ ˜ao entre os termos Π e pense sobre o que isso significa. Geralmente: Π1 = φ(Π2,Π3,...,Πk−r) Exemplo: problema do arrasto sobre uma esfera S˜ao dados: FD = f(ρ,V,D,µ) Passo 1: FD,ρ,V,D,µ ⇒ k = 5 parˆametros (vari´aveis) dimensionais. Passo 2: Usando o sistema MLt: FD → M.L.t−2; ρ → M.L−3; V → M.t−1; D → L; e µ → M.L−1.t−1. Portanto bastam 3 dimens˜oes b´asicas para montar as dimens˜oes de todas as vari´aveis: r = 3. Passo 3: k − r = 5− 3 = 2 grupos Π. Passo 4: r = 3 ⇒ 3 vari´aveis de repetic¸ ˜ao devem ser escolhidas. Escolhe-se, por exemplo, ρ, V, D. Sempre que poss´ıvel escolhas aquelas cujas dimens˜oes envolvidas sejam as mais simples em termos de combinac¸ ˜ao de unidades b´asicas. Exemplo: problema do arrasto sobre uma esfera Passo 5: Determinagao de I,. M\? /L\? M.L nN, =p2.V°.D°.Fp..{ =) -(—) -(L)°- = =m??? ewan (B) (Jar M:a+1=0—>a=-1 n= dL 3.atb+o4+1=0>0=~2 1 p.V2.D2° ) 7 ~ ti —b—-2=0>b=-2 Exemplo: problema do arrasto sobre uma esfera Passo 6: Determinagao de Ilo. M\? /L\° M Ae =p*.V°.Do wef a) f=) (Lf =MeLet? 2=P M (i) (=) are M:d+1=0+d=-1 Uu Ne = —— :¢L: -3. -1= =- 2= OVD L: -3.d+e+f—-1=0-f=-1 t! -e-1=0e=—_1 Exemplo: problema do arrasto sobre uma esfera Passo 7: Verificagao da adimensionalidade. Fp M.L LS t? 1 n, =~ =—.—.5.5 =1 0K! 1 p.V2.D2~ 2 M'L2L? no- a ME TI OK e p.Vv.D LtMUbL ~ Passo 8: Conclusao. Fp H ny = (M2)... —~ =o( —— 1 =O 2) 52 Be (45) Principais Grupos Adimensionais em Mecˆanica dos Fluidos N´umero de Reynolds, Re: Importante na maioria dos problemas de mecˆanica dos fluidos. ´E uma medida da raz˜ao entre as forc¸as de in´ercia de um elemento fluido e os efeitos viscosos no elemento. Em homenagem a Osborne Reynolds (1842 a 1912). Re = ρ.V.L µ N´umero de Froude, Fr: Utilizado em escoamento com superf´ıcie livre (rios, oceanos, canais abertos...). Indica a raz˜ao entre forc¸as de in´ercia e o peso do elemento fluido. Em homenagem a William Froude (1810 a 1879). Fr = V √ g.L Principais Grupos Adimensionais em Mecˆanica dos Fluidos N´umero de Euler, Eu: Utilizado em problemas onde a press˜ao, ou diferenc¸ ˜a de press˜ao, s˜ao importantes. ´E uma medida da raz˜ao entre as forc¸as de press˜ao e forc¸as de in´ercia um elemento fluido. Em homenagem a Leonhard Euler (1707 a 1783). Eu = p ρ.V 2 N´umeros de Cauchy, Ca, e de Mach, Ma: Utilizados em situac¸ ˜oes onde a compressibilidade do fluido ´e importantes. ´E uma medida da raz˜ao entre as forc¸as de in´ercia e as de compressibilidade. Em homenagem a Augustin Louis de Cauchy (1789 a 1857) e Ernst Mach (1838 a 1916). Ca = ρ.V 2 Ev ; Ma = V c ; Ma2 = Ca Principais Grupos Adimensionais em Mecˆanica dos Fluidos N´umero de Strouhal, St: Utilizado em escoamentos transit´orios ou com frequˆencia de oscilac¸ ˜ao caracter´ıstica. ´E uma medida da relac¸ ˜ao entre as forc¸as de in´ercia devidas a transitoriedade do escoamento (acelerac¸ ˜ao local) e as forc¸as de in´ercia devidas a variac¸ ˜ao da velocidade de ponto a ponto do campo de escoamento (acelerac¸ ˜ao convectiva). Em homenagem a Vicenz Strouhal (1850 a 1922). St = f.L V N´umero de Weber, We: Utilizado em problemas onde os efeitos da tens˜ao superficial s˜ao importantes. Indica a raz˜ao entre forc¸as de in´ercia e forc¸a devida `a tens˜ao superficial que atuam num num elemento fluido. Em homenagem a Moritz Weber (1871 a 1951). We = ρ.V 2.L σ Modelagem e Semelhanc¸a Modelo ´e uma representac¸ ˜ao de um sistema f´ısico que pode ser utilizada para predizer o comportamento de um sistema com relac¸ ˜ao a algum aspecto desejado. O sistema f´ısico para o qual as estimativas s˜ao feitas ´e denominado prot´otipo. Se Π1 = φ(Π2,Π3,...,Πn) para um prot´otipo, ent˜ao Π1m = φ(Π2m,Π3m,...,Πnm) para o modelo: a func¸ ˜ao φ ´e a mesma. Assim diz-se que Π1 = Π1m ´e a equac¸ ˜ao de predic¸ ˜ao, enquanto Π2 = Π2m, Π3 = Π3m, ..., Πn = Πnm s˜ao as leis de modelagem (ou condic¸ ˜oes de similaridade). Enunciado: A elevacao de pressao, Ap, por meio de uma bomba pode ser representada como Ap= f(D, p, @, V) onde Déo diametro do impelidor, p 6 a massa especifica do fluido, o é a velocidade de roacao e V é a vazao volumétrica. Determine um conjunto de parametros adimensionais apropriados. Exercicio 2 Enunciado: Deseja-se determinar a altura de uma onda quando o vento sopra a superficie de um lago. Admite-se que a altura, H, da onda seja uma fung¢ao da velocidade do vento, V, da massa especifica da agua, p, da massa especifica do ar, pz, da profundidade da agua, d, da distancia da margem, /, e da aceleragao da gravidade, g, conforme mostrado na Figura a seguir. Utilize d, V e p como variaveis de repetigao para determinar um conjunto apropriado de termos pi, que possa ser utilizado para descrever este problema. \H d _Vv_ Exerc´ıcio 3 Enunciado: A queda de press˜ao por unidade de comprimento, ∆pl = ∆p/l, (N/m2)/m, para o escoamento do sangue atrav´es de um tubo horizontal de pequeno diˆametro ´e uma func¸ ˜ao da vaz˜ao volum´etrica, ˙V, do diˆametro, D, e da viscosidade do sangue, µ. Para uma s´erie de testes no qual D = 2 mm e µ = 0,004 N.s/m2, foram obtidos os seguintes dados, onde os valores listados de ∆p foram medidos ao longo do comprimento, l = 300 mm: ˙V ∆p [m3/s] [N/m2] 3,6× 10−6 1,1× 104 4,9× 10−6 1,5× 104 6,3× 10−6 1,9× 104 7,9× 10−6 2,4× 104 9,8× 10−6 3,0× 104 Desenvolva uma an´alise dimensional para este problema e utilize os dados fornecidos na Tabela acima para determinar uma relac¸ ˜ao geral entre ∆pl e ˙V que seja v´alida para ouros valores de D, l e µ. Exerc´ıcio 4 Enunciado: O projeto de um modelo de um rio ´e baseado na similaridade do n´umero de Froude, onde o n´umero de Froude, Fr = V/(g.y)1/2, ´e uma func¸ ˜ao da velocidade, V, da ´agua, da profundidade, y, da ´agua e da acelerac¸ ˜ao da gravidade, g. Se a profundidade do rio for de 3 m e a profundidade do modelo for de 100 mm, que velocidade do prot´otipo corresponde `a velocidade de 2 m/s do modelo? Enunciado: A elevacao de pressao, Ap, por meio de uma bomba centrifuga de uma dada forma (veja Figura a seguir) pode ser expressa por Ap = f(D, , P, V) onde D é 0 diametro do impelidor, @ é a velocidade angular do impelidor, p 6 a massa especifica do fluido e V € a vazao volumétrica através da bomba. Um modelo de bomba com um diametro de 8 in (= 0,2032 m) é testado em laboratorio, utilizando Agua. Quando operando a uma velocidade angular de 407 rad/s, a elevagao da pressao no modelo em fungao de V é mostrada na Figura a seguir. Utilize essa curva para estimar o aumento de pressao por meio de uma bomba geometricamente semelhante (prototipo) para uma vazdo no prototipo de 6 ft?/s (= 0,17 m/s). O protétipo tem um didmetro de 12 in (= 0,3048 m) e opera a uma velocidade angular de 607 rad/s. O fluido do protétipo também é agua. Continuacao do Exercicio 5 8 : : : : Dados do modelo o—os 6 : My =40 7 rad/s : SN Dy =8in mB Ng a — Ap=p2.-Pi | ; 4 — eo | 0 : : : 0 0,5 1,0 1,5 2,0 Vu (ft?/s) Exerc´ıcio 6 Enunciado: A velocidade, V, de uma part´ıcula esf´erica caindo lentamente em um l´ıquido muito viscoso pode ser expressa por V = f (d, µ, γ, γs) onde d ´e o diˆametro da part´ıcula, µ ´e a viscosidade do l´ıquido e γ e γs s˜ao os pesos espec´ıficos do l´ıquido e da part´ıcula, respectivamente. Desenvolva um conjunto de parˆametros adimensionais que possam ser utilizados neste problema. Exerc´ıcio 7 Enunciado: A sustentac¸ ˜ao e o arraste de um hidrof´olio devem ser determinados atrav´es de teste em t´unel de vento utilizando ar padr˜ao. Se houver necessidade de realizar testes correspondentes `a escala plana, qual a velocidade necess´aria no t´unel de vento correspondente `a velocidade do hidrof´olio na ´agua do mar de 20 mph (= 8,94 m/s)? Admita a similaridade do n´umero de Reynolds. Exerc´ıcio 8 Enunciado: A viscosidade, µ, de um l´ıquido pode ser medida atrav´es da determinac¸ ˜ao do tempo, t, tomado por uma esfera de diˆametro, d, para cair lentamente atrav´es de uma distˆancia, l, em um cilindro vertical de diˆametro, D, contendo o l´ıquido (Figura ao lado). Admita que t = f (l, d, D, µ, ∆γ), onde ∆γ ´e a diferenc¸a entre os pesos espec´ıficos da esfera e do l´ıquido. Utilize an´alise dimensional para mostrar como t ´e relacionado com µ e descreva como esse instrumento pode ser utilizado para medir viscosidade. d D l Esfera Cilindro Exerc´ıcio 9 Enunciado: O arraste sobre uma esfera em movimento no interior de um fluido ´e uma func¸ ˜ao do diˆametro, da velocidade da esfera, da viscosidade e da massa espec´ıfica do fluido. Testes em laborat´orio com uma esfera de 4 in (= 0,1016 m) de diˆametro foram realizados em um t´unel de ´agua e alguns dados do modelo foram representados graficamente na Figura a seguir. Para esses testes a viscosidade da ´agua foi de 2,3× 10−5 lbf.s/ft2 (= 1,10124× 10−3 N.s/m2) e a massa espec´ıfica da ´agua foi de 1,94 slug/ft3 (= 999,876 kg/m3). Estime o arraste em um bal˜ao de 8 ft (= 2,4384 m) de diˆametro movendo-se no ar com uma velocidade de 3 ft/s (= 0,9144 m/s). Admita o ar com uma viscosidade de 3,7× 10−7 lbf.s/ft2 (= 1,7716× 10−5 N.s/m2) e uma massa espec´ıfica de 2,38× 10−3 slug/ft3 (= 1,2267 kg/m3). Admita semelhanc¸a do n´umero de Reynolds. Continuac¸ ˜ao do Exerc´ıcio 9 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 12 Velocidade do modelo, ft/s Arrasto do modelo, lbf Resposta: 1,22 N (o resultado deste exerc´ıcio admite variac¸ ˜oes dentro de uma faixa de 10% em torno da resposta dada). Exerc´ıcio 10 Enunciado: Um vertedouro ´e um dispositivo simples para medic¸ ˜ao de vaz˜ao em canais. A figura abaixo mostra um vetedouro de ˆangulo α que descarrega ´agua de uma represa. A vaz˜ao volum´etrica, Q, depende do ˆangulo, α, da acelerac¸ ˜ao da gravidade, g, e da altura, δ. Testes de um modelo de vertedouro com α = 55◦ resultaram em: δ [cm] Q [m3/h] 10 8 20 47 30 126 40 263 Pede-se: (a) An´alise dimensional dos dados; (b) Usando o modelo desenvolvido no item anterior, estime a vaz˜ao volum´etrica de um prot´otipo de vertedouro, tamb´em com α = 55◦, quando a altura δ ´e de 3,2m. Exercicio 11 Enunciado: A correlagao tradicional para calculo do coeficiente de perda de carga distribuida, f, tem a forma: 2.Ap.D p.V.D € f= —.— =g| —,= p.V2.L u 7D onde D, L e € sao o diametro, comprimento e rugosidade (da superficie interna) do conduto, respectivamente. Note que a velocidade, V, é utilizada em ambos os lados da correlagdo. A correlagdo expressa desta forma é utilizada para encontrar Ap quando V é conhecida. (a) Suponha que Ap é conhecida, e queremos encontrar V. Rearranje a correlagao acima para que V fique isolada do lado esquedo. Use os seguintes dados, para ¢/D = 0,005, para fazer um grafico dessa nova analise, colocando V na ordenada. 0,0356 0,0316 0,0308 0,0305 0,0304 p.V.D/u | 15x10 | 75x 10° | 25x 107 | 90x 10* | 333 x 107 (b) Use 0 grafico obtido para determninar V, em m/s, para os seguintes parametros de escoamento: D = 5 cm; € = 0,025 cm; L= 10 m; para Aguaa 20°C e1 atm. A queda de pressao é Ap = 110 kPa.